UPC

Ecuaciones Diferencialesy Algebra Lineal

Unidad 4

TRANSFORMACIONES LINEALES

VECTORES y VALORES PROPIOS

TRANSFORMACION LINEALTRANSFORMACION LINEAL

Sean V y W dos espacios vectoriales y T una aplicación de V en W .

T es una transformación lineal si se

cumple:

1. , ,

2. , ,

T T T V

T cv cT V c R

u v u v u v

v v

):( WVT

TRANSFORMACION LINEAL

Las transformaciones lineales tienen una gran cantidad de aplicaciones importantes, como:

Circuitos eléctricos con m mallas y n fuentes de voltaje.

Las coordenadas de un punto en la pantalla del display que son función

de las coordenadas del punto en el mundo real y las del observador.

TRANSFORMACION LINEAL (sigue)

Una empresa puede concebirse como un objeto que relaciona un conjunto de entradas (capital, productividad de los operarios, parámetros de operación , inventarios, etc.) con un conjunto de salidas o resultados (producción, ganancias, capital, etc.).

TRANSFORMACIONES LINEALES MATRICIALES

Teorema

Si A una matriz de mxn, entonces la transformación matricial T:RnRm definida por: TA(x) = Ax, xRn

es una transformación lineal.

TEOREMA

T : Rn Rm es una transformación lineal T es una transformación matricial.

EJEMPLOS

Verifique si las siguientes aplicaciones son transformaciones lineales ó no:

1. T:R3 R2 , T(x,y,z) = (-2x, x+y)

2. T:R2 R2 , T(x,y) = (x, y2 )

EJEMPLO

Operador transposición de matrices:

La aplicación

que a cada matriz asigna su transpuesta, es una transformación lineal.

: mn nmF M M

PROPIEDADES

1 2 1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1)

2)

3) ...

...

v w

n n

n n

T

T a b aT bT

T a a a

aT a T a T

0 0

v v v v

v v v

v v v

EJEMPLO

La aplicación T (x,y) = (x-y,y+x+2)

no es lineal ya que:

T(0,0)=(0,2)

Nota: Si fuese lineal hubiese salido

T(0,0)=(0,0)

NÚCLEO O KERNEL DE UNA NÚCLEO O KERNEL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEALTRANSFORMACIÓN LINEAL

Sea T:V W una T.L.

Definición:

Ker / WT V T v v 0

IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL

Sea T:V W

Definición:

Img / para algún T W T V w w v v

una transformación linealuna transformación lineal

REPRESENTACIÓN EN DIAGRAMA DE VENN

Ker (T)

Img(T)

V W

0

T:V WT:V W

TEOREMA

Si es una transformación lineal, entonces:

a) El núcleo de T es un subespacio de V.

b) La imagen de T es un subespacio de W

WVT :

TEOREMA DE LAS DIMENSIONES

WVT : una transformaciónuna transformaciónSeaSea

lineal, entonces lineal, entonces

VTTKer dim))dim(Im())(dim(

VALORES Y VECTORES PROPIOS

DefiniciónDefinición::

Sea A una matriz de orden n. El número se llama valor propiovalor propio de A si existe un vector v de Rn, no nulo, llamado vector propio de A, tal que:

Avv = = vv..

OBSERVACIONES

A los valores propios también se les llama autovalores, eigenvalores o valores característicos.

En la definición se excluye v = 0, toda vez que A.0 = 0 = 0 y así cualquier sería valor propio de A.

Dv= v

=2 es un valor propio de D porque:

1 0 0 0 00 0 0 0 2 00 0 2 1 1

200

000

001

D

EJEMPLO

POLINOMIO Y ECUACIONCARACTERÍSTICA

Sea Anxn y v no nulo, tal que Av = v, entonces:

P() = det (A – I) Polinomio característico

det (A – I) = 0 Ecuación característica

PROCEDIMIENTO PARA HALLAR PROCEDIMIENTO PARA HALLAR VALORES Y VECTORES PROPIOSVALORES Y VECTORES PROPIOS

1. Halle las raíces de P() = det (A - I) = 0.Estas constituyen los valores propios.

2. Para determinar los vectores propios se resuelve el sistema homogéneo

(A - I)v = 0, correspondiente a cada valor propio.

0 1 0

0 0 1

2 5 4

A

EJEMPLO

Halle los valores y vectores propios de:

EJEMPLO (sigue)

En este caso, puede determinarse que los valores propios son =2, =1 y =1. Al estar repetido uno de ellos, decimos que este valor propio tiene multiplicidad 2.

Puede verificarse además que al valor propio =1 le corresponde el vector propio (1, 1, 1) y que al valor propio =2 le corresponde el (1, 2, 4).

TEOREMATEOREMA

Si A es una matriz de orden n y 11,,22,...,,...,mm son “m” valores propios distintos de A, con vectores propios uu11,,uu2,2,...,...,uumm, entonces el conjunto de vectores { { uu11,,uu2,2,...,...,uumm } es L.I. } es L.I.

DIAGONALIZACION DE DIAGONALIZACION DE MATRICESMATRICES

Definición

Una matriz A de orden n es diagonalizable si existe una matriz diagonal D y una matriz inversible P tal que:

D = P-1 AP

TEOREMA

Una matriz A de orden n es diagonalizable si y sólo tiene n vectores propios L.I.

En tal caso, la matriz diagonal D que es semejante a A:

1)Tiene la diagonal conformada por los valores propios de A.

2) P es una matriz cuyas columnas son los vectores propios L.I de A, entonces

D = P-1AP.

201

051

102

A

EJEMPLO

3 2: 9 23 15

1, 3, 5

P

EJEMPLO (sigue)

Matriz Diagonal

Matriz de transición

5 0 0

0 3 0

0 0 1

D

0 2 4

1 1 1

0 2 4

P

COMPROBACION

10 2 4 2 0 1 0 2 4 5 0 0

1 1 1 1 5 0 1 1 1 0 3 0

0 2 4 1 0 2 0 2 4 0 0 1

1P AP D

COROLARIO

Si A es una matriz de orden n y tiene n valores propios diferentes, entonces A es diagonalizable.

EJEMPLO

La matriz:

tiene tres valores propios diferentes:

1 1 2

1 2 1

0 1 1

C

1, 1, 2

En consecuencia C es diagonalizableEn consecuencia C es diagonalizable

25

12A

EJEMPLO

Diagonalice la matriz A (si es posible):

EL TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON

Si A es una matriz cuadrada de orden n y p(λ) es su polinomio característico, entonces p(A)=0 (matriz nula)

EL TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON (Continua)

Ejemplo

Verifique el TCH para la matriz

1 2

2 1A

EL TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON (Continua)

Ejemplo

Una matriz A de orden 3 tiene polinomiocaracterístico 3 29 2 1p

Use el TCH para determinar

1A

x1(t)Equilibrio

x2(t)

Equilibrio

m1 m2

k1 k2

SISTEMAS DE EDOL

¿Cómo describiría el movimiento de los bloques mostrados?

CONDICIONES

Sistema Lineal

1) Cada ecuación es lineal con coeficientes constantes.

2) Hay una sola variable independiente: t

3) Hay tantas variables dependientes como ecuaciones: x1(t), x2(t), …, xn(t)

SOLUCION DEL SISTEMA

Se denomina solución del sistema a un conjunto de funciones x1(t), x2(t),..., xn(t), que satisfaga idénticamente a cada ecuación del mismo.

EJEMPLO

yxdtdy

yxdtdx

SISTEMA DE TANQUES(EJEMPLO)

Considere los dos tanques que se ilustran en la figura del ppt que sigue. Suponga que el tanque A contiene 50 galones de agua en los que hay disueltas 25 libras de sal. Suponga que el tanque B contiene 50 galones de agua pura. A los tanques les entra y sale líquido como se indica en la figura. Se supone que tanto la mezcla intercambiada entre los dos tanques como el líquido bombeado hacia fuera del tanque B están bien mezclados. Se desea construir un modelo matemático que describa la cantidad de libras x1(t) y x2(t) de sal en los tanques A y B, respectivamente, en el tiempo t.

EJEMPLO (sigue)

agua pura3 gal/min

mezcla1 gal/min

mezcla4 gal/min

mezcla3 gal/min

SISTEMAS DE EDOLcon Valores y Vectores Propios

Consideremos el sistema de EDOL:

Es posible reescribir el sistema matricialmente como x'=Ax, donde las variables se definen en la siguiente diapositiva.

'1 11 1 12 2 1

'2 21 1 22 2 2

'1 1 2 2

...

...

...

n n

n n

n n n nn n

x a x a x a x

x a x a x a x

x a x a x a x

SISTEMAS DE EDOLcon Valores y Vectores Propios (sigue)

'1 1

'2 2

'

11 12 1

21 22 2

1 2

, '

y

n n

n

n

n n nn

x t x t

x t x tx t x t

x t x t

a a a

a a aA

a a a

EJEMPLO

Escriba matricialmente el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

'1 1 2 3

'2 1 2 3

'3 1 2 3

2

3 2

x x x x

x x x x

x x x x

EJEMPLO (sigue)

En este caso:

Luego, el sistema en forma matricial es:

1

2

3

1 2 1

, 3 1 2

1 1 1

x t

x t x t A

x t

'1 1

'2 2

'33

1 2 1

3 1 2

1 1 1

x x

x x

xx

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE EDOL CON VALORES Y VECTORES PROPIOS

En la diapositiva que sigue se enunciará un teorema que nos permitirá emplear valores y vectores propios para determinar la solución de un sistema de EDOL, con la condición de que los valores propios sean distintos.

TEOREMA

Si A es una matriz diagonalizable de orden n y P = [v1, v2,…vn] tal que:

entonces, la solución general del sistema

x' = Ax es:

1

21

0 0

0 0

0 0 n

P AP

1 21 1 2 2 ... nt t t

n nc e c e c e x v v v

Resuelva el siguiente sistema de EDOL usando valores y vectores propios.

EJEMPLO

'1 1 2

'2 1 2

2

3 2

x x x

x x x