Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z b é um número racional diferente de 0 e m n; n...
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Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z
Podemos expressar o produto de quatro fatores iguais a 2.
2.2.2.2. por meio de uma potência de base 2 e expoente 4:
2.2.2.2 = 24
Temos, dois elevado à Quarta ou dois à Quarta.
Do mesmo modo, podemos representar um produto de quatro fatores iguais a –2.
(-2). (-2). (-2). (-2)
por meio de uma potência de base –2 e expoente 4:
(-2). (-2). (-2). (-2) = (-2)4
Para todos os números a e n,. com n > 1, a potência an
é o produto de n fatores iguais a a. .
Se n = 1, a1 = a , sen = 0 , a0 = 1
Exemplo: Se a = -8 e b = 3, calcule o valor da expressão algébrica ab.
Exercícios:
01 – Calcule cada potência abaixo.
a) (-3)2 = d) (-8)2 =
b) (–5)3 = e) (-1)5 =
c) (+10)4 = f) (-1)4 =
02 – Escreva cada expressão na forma de potência.
a) (-6) . (-6) . (-6) =
b) (+7) . (+7) . (+7) . (+7) =
c) (-9) . (-9) . (-9) =
d) (-1) . (-1) . (-1) . (-1) . (-1) . (-1) . (-1) =
e) 4.4.4.4.4 =
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Propriedade da Potenciação
Veja como simplificamos o produto (-5)3.(-5)4:
(-5)3.(-5)4 = (-5).(-5).(-5).(-5).(-5).(-5).(-5) = (-5)7 = (-5)3+4
Se a é um número inteiro e m e n são números naturais,
am. an = a m+n
O quociente de duas potências também pode ser expresso de um modo mais simples.
Por exemplo,
2
5
22
= (-2)5 (-2)2 =
2.22.2.2.2.2
= (-2)3
Se b é um número inteiro diferente de 0 e m e n são números naturais,
como m n,
n
m
bb
= bm bn = b m-n
Se c é um elemento do conjunto dos números inteiros
C1 = C e C0 = 1
Para elevar uma potência a um novo expoente, basta conservar a base e multiplicar os
expoentes. Veja:
232 = (-2)3 (-2)3 =(-2)3+3 = (-2)6 = (-2)3.2
Se d é um número inteiro e m e n são números naturais,
(dm)n = d m.n
Exercícios
1 – Verifique o máximo que puder .
a) (- a)5 .(- a)3 =
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3
b) (-10)100 .(-10)105.(-10)0 =
c) 5
5 4
=
d) 4
4
88
=
e) 7
38
33
=
f)
52
510
3
33
=
2 - Sabendo que a = -4 e b = 2, qual é o valor da expressão algébrica.
OBS:
1º. Todo número elevado ao expoente zero é igual a 1.
2º. Todo número negativo elevado ao expoente par é positivo.
3º. Todo número negativo elevado ao expoente ímpar é negativo.
Propriedade da Potenciação dos números Racionais (Q)
Para todo número racional b e para todos os números naturais m e n, temos:
bm. bn = b m+n ; 53232
21
21
21
21
(bm)n = b m-n ;
84.242
21
21
21
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4
Se b é um número racional diferente de 0 e mn;
n
m
b
b= b m-n :
325
2
5
21
21
2121
Uma Quarta propriedade é muito útil para simples cálculos com potências:
12527
3
33
53
5.5.5333
53
53
53
53
Para todos os números racionais b e c, com c 0, e para todo o número natural n:
n
nn
cb
cb
Exercícios
1 – Calcule cada potência
a)
2
21
b)
3
34
c)
1
127
d) 0
10037
=
e)
2
103
2 - Simplifique as expressões numéricas.
a)
21
23
21
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5
b)
1
30
232
2117
c)
123
32
23
21
3 - Simplifique usando as propriedades de potenciação
a)
62
21
21
b)
6
15
3131
c)
3
85
32
32
32
d)
5
41
e) 64,0 =
Expoente Inteiro Negativo
Qualquer número elevado ao número inteiro negativo para podermos efetuar tal
potência devemos:
8
1
3
333
21
212
4
9
2
222
23
23
32
Expoente Racional Fracionário
23
3 22 52
5 2 33
Lembrando que a multiplicação de raízes pode ser expressa:
baa.b
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6
32
32
3 23 23 22 .bababa
e o quociente:
baba
52
52
5 25 25 22 bababa
Base 10
Sem dúvida como estamos nos relacionando com Eletrotécnica e Eletrônica é
importante que saibamos trabalhar com a base dez, não esquecendo que são válidas as
propriedades da potenciação.
Exercícios
Resolva
a) (-10)3 =
b) (+100)2.(1000)1. (+10)2 =
c)
2732
3237
101010101010
d)
23
5
1010
e)
3235
2523
10101010
Resumo de Potenciação
1) nmnm aa.a
2) nmn
ma
aa
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7
3) n mnm
aa
4) 1a0
5) aa1
6) 2
22
a1
a1a
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FUNÇÕES
Conceito de Função
Definição
Dado dois conjuntos A e B (*) , não vazios, uma relação f de A e B recebe o nome de
aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo
x e A existe um só y e B tal que (x, y) e f.
f é aplicação de A em B f y) (x, / B y / A, x .
Vejamos agora com o auxílio do esquema das flechas, que condições deve satisfazer
uma relação f de A em B para ser aplicação (ou função).
1. É necessário que todo elemento x A participe de pelo menos um par (x,
y) f, isto é, todo elemento de A deve servir como ponto de partida de flecha.
2. É necessário que cada elemento x A participe de apenas um único par
(x, y) e f, isto é, cada elemento de A deve servir como ponto de partida de uma
flecha.
Uma relação f, não é aplicação (ou função) se não satisfazer uma das condições acima.
isto é:
( i ) se existe um elemento de A do qual não parta flecha alguma ou
A B
f não é função
( ii ) se existe um elemento de A do qual partam duas ou mais flechas.
A B
f não é função
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Exemplo:
1) A relação f em IR, com A = { x IR / -1 x 3} representada abaixo é função,
pois toda reta vertical conduzida pelos pontos de abscissa x A encontra sempre o
gráfico de f num só ponto.
2) A relação f de A em IR representa abaixo, onde A = {x IR / -2 x 2} não é
função, pois há retas verticais que encontram o gráfico de f em dois pontos
Exercícios
1) Estabelecer se cada um dos esquemas das relações abaixo define ou não uma função
de A = {-1, 0, 1 , 2} em B = {-2, -1, 0, 1 , 2}. Justificar.
IR S -1 -2 -1 -2 0 -1 0 -1 1 0 1 0 2 1 2 1
3 2 2 3
A (a) B A (b) B
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IR -1 -2 0 -1 1 0 2 1
2 3
A (c) B
DOMÍNIO E IMAGEM
Definição
Chamamos de domínio o conjunto D dos elementos x A para os quais existe y B
tal que (x, y) f . Como pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedade,
temos nas funções: domínio = conjunto de partida, isto é,
Dom = A
Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y B para os quais existe x A
tal que (x, y) f , portanto, imagem é subconjunto de contra domínio, isto é, Im de C está
contido em B.
Domínio Contradomínio
Notemos, que, feita a representação cartesiana de função f, temos:
Domínio: (D) é o conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais
conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o
conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f.
A B
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Imagem: (Im) é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais
conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o
conjunto formado por todas as ordenada dos pontos do gráfico de f.
Exemplo:
1)
D = {x IR / -2 x 1}
Im = {y IR / 0 y 4}
2)
D = {x IR / -2 x 3}
Im = {y IR / -1 y 4}
Exercícios:
1) Tomemos algumas funções e determinemos os seu domínio.
a) y = 2x D = IR
b) y = x2 D = IR
c) y = 1 D = IR*
d) y = x D = IR*
y
y
4
1
1 x -2 -1 0
4
-1 3 x -2
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2) Estabeleça o domínio e a imagem das funções abaixo:
a)
f g -1 0 -1 0 0 1 0 1 1 2 1 2 2
2
3) Determine a imagem das funções abaixo:
a) b)
FUNÇÕES DO 1.º GRAU
I – Função Constante
Definição
Uma aplicação f em IR em IR recebe o nome de função constante quando a cada
elemento x IR associa sempre o mesmo elemento C IR.
Isto é:
f : IR IR xx
x
(o, C)
y
-2
-2
2
2 x
y
2
-2
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O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo dos x passando pelo ponto
(0,C).
A imagem e o conjunto Im = { C}.
Exemplo
1) y = 3 2) y = -1
II – Função Identidade
Definição:
Uma aplicação de IR em IR recebe o nome de função identidade quando a cada
elemento x IR associa o próprio, isto é:
f : IR IR
xx
O gráfico da função identidade é uma reta que contém as bissetrizes do 1.º e 3.º
quadrantes.
A imagem é Im = IR
1 (0,0)
(1,1)
(2,2)
-1
-1
2
y
1 2 x
y
x
-1
y
x
(0, 3) 3
1
2
(-1,1)
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II – Função Linear
Definição
Uma aplicação de IR em IR recebe o nome de função linear quando a cada elemento x IR, associa o elemento ax IR , onde a 0 é um número real dado, isto é:
f : IR IR
x ax, a 0(*)
Demonstra-se que o gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem a
imagem é Im = IR.
De fato, qualquer que seja o y IR, existe x = ay
IR, a 0 , tal que
f (x) = f
ay
= a ay
= y
Exemplo
y = 2x
x y 1 2
Exercícios
1) Construir num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções de IR em IR:
a) y = 2 b) y = x c) y = 2x
2
y
x 1
y
x
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IV – Função Afim
Definição
Uma aplicação de IR em IR recebe o nome de função afim quando a cada x IR
estiver associado o elemento (ax + b) IR a 0, isto é:
f : IR IR
x ax + b , a 0
V - Gráfico
Obs.: “O gráfico da função f (x) = ax + b (a 0) é uma reta”.
Exemplo:
y = 2x + 1 é uma função afim onde a= 2 e b =1 , e determinemos agora o gráfico
atribuindo ax valores distintos.
x y 0 1 1 3
O gráfico procurado é uma reta que passa pelos pontos (0,1) e (1,3)
Exercícios:
Construa o gráfico cartesiano da função IR em IR.
a) y 2x – 1
b) y = -20 + 3
c) y = 23x4
VI – Imagem
O conjunto imagem da função afim f: IR IR definida por f (x) = ax + b com a 0 é
IR.
y
x
(0,1)
(1,3)
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VII – Zero da função afim
Definição
Zero de uma função é todo número x cuja imagem é nula , isto é f (x) = 0, x é zero de y
= f (x) f (x) = 0.
Assim, para determinamos o zero da função afim basta resolver a equação do 1.º grau.
Ax + b =0
Exemplo:
O zero da função f (x) = 2x –1 e x = 21
pois, fazendo
2x –1 =0 2x = 1
x = 21
Podemos interpretar o zero da função afim, como sendo a abscissa do ponto onde o
gráfico corta o eixo dos x.
Exemplo:
Fazemos o gráfico da função y = 2x – 1, podemos notar que a reta intercepta o eixo dos
x em x = 21
, isto é, no ponto (21
, 0).
x y 0 -1 1 1
VIII - Função Crescente ou Descrecente
Definição
A função f AB definida por y = f (x) é crescente no conjunto A1 C A se, para dois
valores quaisquer x1 e x2 pertencentes a A1, com x1 < x2 , tivermos f (x1) < f (x2).
1
y
x 1
0 ,2
1
1
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Em símbolos: f é crescente quando
( x1 ,x2) (x1 < x2 f (x1) < f (x2).
Exemplo:
A função f (x) = 2x é crescente em IR, pois:
x1 < x2 2x1 < 2x2 para todo x1 IR e todo x2 IR.
f (x1) f (x2)
Definição
A função f : AB definida por y = f (x) é decrescente no conjunto A1 C A se, para dois
valores quaisquer x1 e x2 pertencentes a A1 com x1 < x2, tem-se f (x1) > f (x2).
Em símbolos f é decrescente quando
( x1 , x2) (x1 < x2 f (x1) > f (x2))
Exemplo:
A função f(x) = -2x é decrescente em IR, pois
x1 < x2 -2x1 > -2x2 para todo x1 IR e todo x2 IR.
f (x1) f(x2)
IX – Sinal de uma Função
Definição
Seja a função f: AB definida por y = f (x). Vamos resolver o problema “ para que
valores de x temos f (x) > 0, f (x) = 0 ou f (x) < 0?”.
Resolver este problema significa estudar o sinal da função y = f (x) para cada x
pertencente ao seu domínio.
Exemplo:
Estudar o sinal da função y = f (x) cujo gráfico está abaixo representado.
y = f (x)
7 4 2 -1 x
y
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Observemos, inicialmente, que interessa o comportamento da curva y = f (x) em
relação ao eixo dos x, não importando a posição dos y.
Preparando o gráfico com aspecto prático, temos:
y = f(x)
sinal de y = f(x) Conclusão:
f(x) = 0 x = -1 ou x = 2 ou x = 4 x= 7
f(x) > 0 -1< x < 2 ou 2 < x < 4 ou x > 7
f(x) < 0 x < -1 ou 4< x < 7.
Exercícios
1) Estudar o sinal das funções cujos gráficos estão representados abaixo.
a)
y = f(x)
b)
y = f(x)
X – Sinal da Função Afim
Considerando que x = -ab
, zero da função afim f(x) = ax + b, o valor de x para o qual
f(x) = 0, examinemos, então, para que valores ocorre f(x) > 0 ou f(x) < 0.
y
2 6 -3 -1
-1 2 4 7 x - 0 + 0 + 0 - 0 +
-1 2 4 7 x
x
y
3 -3 -1 x
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ab
-a
b
ab
Devemos considerar dois casos. 1.º Caso a > 0
f(x) = ax + b > 0 ax > -b x > -ab
f (x) = ax + b < 0 ax < -b x < ab
Colocando os valores de x sobre um eixo, igual sinal da função f(x) = ax + b com a>0,
é:
f(x) ax + b (a > 0)
construindo o gráfico de f(x) = ax + b com a > 0, e lembrando que não , importa a
posição do eixo y, temos:
2.º Caso a < 0
f(x) = ax +b > 0 ax > -b x < -ab
f(x) = ax + b < 0 ax < -b x> - ab
Colocando os valores de x sobre um eixo, o sinal da função f(x) = ax + b com a < 0, é:
- - - - 0 + + + + x
-
+
x
+ 0 - x
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-a
b
Podemos analisar o sinal da função f(x) = ax + b, com a< 0, construindo o gráfico
cartesiano. Lembremos que neste caso a função é decrescente.
Exercícios
1) Estudar os sinais das funções definidas em IR :
a) y = 2x + 3
b) y = 4 - x
-
+
x
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ARCOS E ÂNGULOS (I)
Arcos de Circunferência
Arco de circunferência é cada uma das duas partes em que uma circunferência fica
dividida dois de seus pontos. Assim, sendo A e B dois pontos quaisquer de uma
circunferência, eles a dividem em duas partes:
Medida de um Arco
Grau
Grau é o arco equivalente a 360
1da circunferência que o contém.
Radiano
Radiano é o arco cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência
que o contém.
Se m BA
= 1 rad, então comp BA
= 1r.
Em relação à circunferência, observe:
m( BA
) = 1°
m( BA
) = 1 rad
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Se com BA
= 2 r, então m BA
= 2 rad.
Observação: O raio da circunferência é utilizado como unidade de medida, por isso seu
comprimento não deve ser levado em consideração. Nessas condições, o raio é
denominado raio unitário. Lembrando que qualquer circunferência tem 360º , temos que:
360º corresponde a 2 rad ou 180º corresponde a π rad
Assim, podemos converter grau para radiano (e vice-versa), estabelecendo uma regra de
três.
Exercícios Resolvidos
1. Determine, em radianos, a medida do arco 60º.
Solução
180º --------
x= rad3π
180ºπ 60º.
60º --------- x
2. Calcule, em graus, a medida de cada arco a seguir:
a) 4
3rad b) 1 rad
Solução
a) x = 4
3=
4180º . 3
= 135º
b) rad ------ 180º
x
180º1 x = 180º x =
º180
1 rad ------- x Fazendo 3,14, temos x = 57º19’29”.
Logo, 1 rad equivale a 57º19’29”.
Exercícios Propostos
1. Calcule, em radianos, as medidas dos arcos.
a) 30º c) 240º e) 330º
b) 45º d) 300º f) 72º
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2. Transformando 12º em radianos, obtemos:
a) 15
c) 30
rad. e) 12 rad.
b) 15
rad. d) 152
rad.
3. Determine, em graus, as medidas dos arcos.
a) 6π
rad. e) 3
2π rad.
b) 4π
rad. f) 6
5πrad.
c) 3π
rad. g) 6
7π rad.
d) 2 rad. h)
3π 4
rad.
ARCOS E ÂNGULOS (II)
Ângulo Central
Ângulo Central de uma circunferência é o ângulo que tem o vértice no centro dessa
circunferência.
Comprimento de um Arco
Considere a figura a seguir: : é ângulo central
(AB): arco da circunferência determinado por dois pontos,
medido em a radianos
: comprimento de A
B ( = comp BA
r: raio da circunferência
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Sendo a medida em radianos de , temos: = r
= r
Considerando o raio como unidade de medida: = .1 = m( BA
= m( ̂ )
Assim, o ângulo central de uma circunferência tem medida igual à do arco delimitado
por ele.
Circunferência Orientada
Uma circunferência pode ser percorrida em dois sentidos:
horário: sentido do movimento dos ponteiros de
um relógio; por convenção, esse sentido é negativo;
anti-horário: sentido contrário ao do movimento
dos ponteiros do relógio; por convenção, esse sentido é
positivo.
Dizemos que uma circunferência está orientada quando levamos em consideração esses
sentidos.
Todo arco contido numa circunferência orientada recebe o nome de arco orientado.
Na circunferência orientada da figura a seguir, os pontos A e B determinam quatro arcos
orientados. Veja:
Exercícios Resolvidos
1. Calcule o comprimento de uma pista circular de 30 m de raio que descreve um arco
de meia volta ( rad). Dado: = 3,14
Solução
Como rad, temos:
r = 3,14 . 30 = 94,20
Logo, = 94,20 m.
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25
2. Determine o comprimento do arco BA
da figura. Dado: 3,14.
Solução:
180º
= 9
4180º
π 80º. rad
80º
= r = 6,98 5 .93,14 . 4 5 .
94
Logo, = 6,98 cm.
3. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que marca 9h 25
min.
Solução:
Observando o ângulo entre os ponteiros do relógio ao lado, podemos escrever: = 4 . 30º + x
(Cada divisão do relógio equivale a um arco de 30º.)
x equivale ao arco que o ponteiro menor descreveu quando o
ponteiro maior se deslocou da posição A para a posição B.
Assim, temos a regra de três:
Ponteiro maior Ponteiro menor
Minutos Graus
60 30º
x= 12º30'225x
60º25 . 30º º
25 x Logo, = 4 . 30º + x = 120º + 12º30”. Então, = 132º 30’
Exercícios Propostos
1. Uma circunferência de 3 cm de raios tem um arco de circunferência que mede 9,42
cm. Calcule, em radianos, a medida do ângulo central corresponde a esse arco.
2. Em uma circunferência de 5 cm de raio, um arco de circunferência mede 3
rad.
Determine o comprimento desse arco.
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3. Um arco de circunferência de 6 cm de comprimento está contido numa
circunferência de 2 cm de raio. Qual a medida desse arco em radianos? 4. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando este marca:
a) 2h 30min b) 12h 15min
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Uma circunferência orientada, de raio unitário (r = 1), sobre a qual um ponto A é a
origem de medida de todos os arcos nela contidos, é uma circunferência trigonométrica.
Vamos considerar uma circunferência trigonométrica cujo centro coincide com a
origem do sistema cartesiano e o ponto A (1, 0), que é origem de todos os arcos, como mostra
a figura a seguir:
Os eixos Ox e Oy do plano cartesiano dividem a circunferência em quatro arcos de
mesma medida (90° ou 2
rad), numerados no sentido anti-horário, como vemos na figura.
Esses eixos dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes, também numeradas
no sentido anti-horário.
Exercício Resolvido
Represente na circunferência trigonométrica e na reta real os seguintes números reais:
3π- e 2π 2, ,
2π 1,π, ,
6π
.
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Solução:
Para localizar um número real na circunferência trigonométrica, devemos lembrar que
todo número real x ocupa um ponto dessa circunferência, localizado no extremo do arco
trigonométrico igual a x rad.
Assim:
6
está localizado no extremo do arco BA
tal que m( BA
) = 6
rad;
1 está localizado no extremo do arco CA
tal que m( CA
) = 1 rad ( 57°); e
assim sucessivamente. Portanto, temos:
Para localizar um número real na reta, devemos observar o seguinte:
6 1
6π0 logo 0,52,
614,3
- 314,3
3
-1,04 , logo – 2 < - 3
< -1
e assim sucessivamente. Logo, temos:
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Exercícios Propostos
1. Em relação às figuras abaixo, determine, em radianos e em graus, a medida dos
seguintes arcos: BA
, CA
, DA
, EA
, FA
e GA
.
2. Represente na circunferência trigonométrica e na reta real os seguintes números
reais:
.3
5e 2π,,2
3π π,,4π ,2 ,
23π ,,
2,
4,
3,
6
3. Represente, na circunferência trigonométrica, as extremidades dos arcos de
2 e 6
11,3
5,3
4,6
5,3
2,3
4. Represente, na circunferência trigonométrica, as extremidades dos arcos de
medidas:
a) 45°, 135°, 225° e 315°;
b) 60°, 120°, 180°, 240°. 300° e 360°:
c) 30°, 60°, 80°, 120°, 150°, 180°, 210°. 240°, 270°, 300°, 330° e 360°.
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ARCOS TRIGONOMÉTRICOS E ARCOS CÔNGRUOS
Arcos Trigonométricos
Arcos de uma circunferência trigonométrica com mesma origem e mesma extremidade
são chamados de arcos trigonométricos. Eles podem ser:
positivos, quando marcados no sentido anti-horário;
negativos, quando marcados no sentido horário;
maiores que 360° ou 2 rad, quando têm mais de uma volta.
Observe a figura em que temos um arco de origem A e extremidade E: ele pode assumir
infinitos valores, dependendo do número de voltas no sentido anti-horário ou no sentido
horário.
Sendo m( EA
) = 20°, temos:
Quando medidos em graus, esses arcos podem ser representados algebricamente pela
expressão:
x = x0 + 360°' . k (k Z )
sendo x0 a 1a determinação positiva do arco trigonométrico (0 x0 < 360°) e k o número de
voltas.
Quando medidos em radianos, os arcos trigonométricos são representados por:
x = x0 + 2k (k Z )
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Arcos Côngruos
Dois arcos são côngruos quando a diferença entre eles é um múltiplo de 360° (ou 2
rad.)
30º e 1 110º são côngruos: 1 100º - 30º = 1 080º = 3 . 360º
3
14 e
32
são côngruos: 3
14 -
32
= 3
12 = 4 = 2 . 2
Exercícios Resolvidos
1. Represente na circunferência trigonométrica os arcos de medida x = Zk,2
k4
Solução:
Basta atribuir valores para k, determinando os arcos, até completar a primeira vota. A
partir daí, os demais arcos serão côngruos e, portanto, de mesma extremidade que os
anteriores.
k = 0 x = 4
+ 0 . 2
= 4
k = 1 x = 4
+ 1 . 2
= 4
34
2 π
k = 2 x = 4
+ 2 . 2
= 4
+ =
45
44 π
k = 3 x = 4
+ 3 . 2
= 4
74
6π π
k = 4 x = 4
+ 4 . 2
= 4
+ 2
2. Calcule a 1a determinação positiva dos arcos a seguir:
a) 1 530º b) 2
7rad
Solução:
Para calcular a 1a determinação, devemos eliminar as voltas inteiras (k – 360º ou 2 k ),
já que a diferença entre suas medidas é múltiplo de 360º (ou de 2 ). Assim:
a) 1 530º 360º 1 530º = 4 . 360º +90º
90º 4 4 voltas
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Logo, a 1a determinação positiva é 90º.
b) 2
32π2
32
42
7
1 volta
Logo, a 1a determinação positiva do arco 2
7 rad é
23
rad.
3. Se x = 30º + k . 120º, k Z, calcule a 1a determinação negativa e a 3a determinação
positiva desse arco.
Solução
1a determinação negativa: k = -1 x = 30º +(-1) 120º = -90º
3a determinação positiva: k = 2 x = 30° + 2 . 120º = 270º
Exercícios Propostos
1. Dentre os arcos abaixo, identifique os côngruos.
a) –60º e 300º d) 4
rad e 4
13rad
b) 200º e 920º e) –20º e 340º
c) 3º e 310º 2. Represente, na circunferência trigonométrica, as extremidades dos arcos de medidas
(k Z):
a) x = 2
+ k d) x = 2
3 + k
b) x = 2
+ 2 k e) x = k
c) x = 2
3 + 2 k f) x = 2 k
3. Calcule a medida da 1a determinação positiva dos arcos a seguir:
a) 750º c) –500º
b) 3 810º d) 2
33rad.
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4. Um arco côngruo de 5
137rad é:
a) 5
2rad. d) 2 rad.
b) 3 rad e) 5
7 rad.
c) 5
rad.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: SENO DE UM ARCO
Associando cada número real x a um arco da circunferência trigonométrica, com origem
no ponto A (1,0) e extremidade em um ponto P tal que m ( PA
)= x rad, dizemos que seno do
arco x é a ordenada OP1 do ponto P.
Função Seno
Chamamos de função seno a função f: IR IR que, cada número real x, associa o seno
desse número:
f: IR IR, f(x) = sen x
O domínio dessa função é IR e a imagem é Im = [-1,1], visto que, na circunferência
trigonométrica, o raio é unitários e, pela definição de seno, -1 sen x 1, ou seja:
D (sen x) = IR Im (sen x) = [-1,1]
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Sinal da Função
Como sen x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:
f(x) = sen x é positiva no 1o e 2o quadrantes (ordenada positiva)
f(x) = sen x é negativa no 3o e 4o quadrantes (ordenada negativa)
Exercícios Resolvidos
1. Calcule os valores de sen 0, sen 2
, sen , sen 2
3 e sen 2 .
Solução
Os valores dos senos dos arcos de 0 rad, 2
rad , rad, 2
3 rad e 2 rad
correspondem, respectivamente, às ordenadas dos pontos A, B, C, D, e A:
2. Determine os sinais de sen 30º, sen 130º, sen 220º e sen 330º.
Solução:
Como o seno de um ângulo é a ordenada do ponto-extremidade do arco, os ângulos do
1o e 2o quadrantes são positivos e os 3o e 4o quadrantes, negativos.
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Assim,
sen 30º e sen 130º são positivos, pois 30º e 130º estão, respectivamente, no
1o e 2o quadrantes.
sen 220º e sen 330º são negativos, pois 220º e 330º estão, respectivamente,
no 3o e 4o quadrantes.
3. Determine para que valores de k IR existe tal que sen x = 2k –3.
Solução:
Como a imagem da função seno é dada por –1 sen x 1, temos:
-1 2k –3 1 -1 + 3 2k 1 + 3 2 2k 4 1 k 2
Logo, S = {k IR / 1 k 2}.
Exercícios Propostos
1. Determine os sinais de sen 40º, sen 140º, sen 240º e sen 340º. 2. Calcule os valores de k para os quais existe x nas igualdades:
a) sen x = 2k – 1 c) sen x = 1 – k
b) 2 . sen x = 2k - 4
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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICA: GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO (y = sen x)
Para construir o gráfico da função seno, devemos localizar inicialmente, na
circunferência trigonométrica, alguns arcos e determinar o valor do seu seno. Observe:
Marcando esses valores no plano, construímos o gráfico da função y = sen x.
Podemos perceber, pela circunferência trigonométrica e pelo gráfico, que os valores do
2o quadrante são simétricos aos do 1o, e os do 4o são simétricos aos do 3o.
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Período da Função Seno
Observando o gráfico da função seno, verificamos que o seu comportamento se repete
nos intervalos 0 x 2 (1a volta), 2 x 4 (2a volta) e assim por diante. Dessa
forma, dizemos que a função seno é periódica do período igual a 2 .
p (sen x) = 2π
Exercício Resolvido
Construa o gráfico f(x) sen 2x
, 0 x 4 , determinando o seu período e a sua
imagem.
Solução:
2x
x sen 2
x
0 0 0
2
1
2 0
23
3 -1
2 4 0 p = 4
Im = [-1, 1]
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Exercício Proposto
Construa o gráfico, determine o período e a imagem de cada função para x IR.
a) y sen 2x c) y = sen 3x e) y = sen 3x
b) y = sen 4x
d) y = 2 . sen x f) y = -3 . sen x
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICA: COSSENO DE UM ARCO
Associando cada número real x a um arco de circunferência trigonométrica, com origem
no ponto A (1,0) e extremidade em um ponto P tal que m ( PA
) = x rad, podemos dizer que o
cosseno do arco x é a abscissa OP2 do ponto P.
Função Cosseno
Chamamos de função cosseno a função f: IR IR que, a cada número real x, associa o
cosseno desse número:
f: IR IR, f(x) = cos x
O domínio de f é IR e a imagem é Im = [-1, 1], uma vez que na circunferência
trigonométrica o raio é unitário e, pela definição de cosseno; -1 cos x 1, ou seja:
D (cos x) = IR Im (cos x) = [-1, 1]
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Sinal da Função
Como cos x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:
f(x) cos x é positiva no 1o e 4o quadrantes (abscissa positiva)
f(x) = cos é negativa no 2o e 3o quadrantes (abscissa negativa)
Exercícios Resolvidos
1. Calcule os valores de cos 0, cos 2
, cos , cos 2
3 e cos 2 .
Solução
Os valores dos cossenos dos números 0, 2
, , 2
3 e 2 correspondem,
respectivamente, às abscissas dos pontos A, B, C, D, e A:
2. Determine os sinais de cos 30º, cos 210º, cos 300º e cos 900º.
Solução:
Como o cosseno de um ângulo é a abscissa do ponto-extremidade do arco, os ângulos
do 1º e 4º quadrantes são positivos e os 2º e 3º quadrantes, negativos. Assim:
cos 30º e cos 300º são positivos, porque 30º e300º estão, respectivamente,
no 1o e 4o quadrantes.
cos 120º e cos 210º são negativos, porque 120º e 210º estão,
respectivamente, no 2o e 3o quadrantes.
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39
Como o ângulo de 900º ultrapassa uma volta, calculemos sua 1a determinação positiva:
900º 360º
180º 2 voltas
1a determinação positiva 0 180º < 360º Sendo 900º e 180º arcos côngruos, temos cos 900º = cos 180º = -1
3. Para que valores de k IR existe x IR tal que cos x = 5K – 3?
Solução:
Como a imagem da função cosseno é dada por –1 cos x 1, temos:
-1 5k – 3 1 -1 + 3 5k 1 + 3 2 5k 4 52
k 54
Logo: S =
54
52 / IRk k
Exercícios Propostos
1. Calcule os valores de k para os quais existe x nas igualdades:
a) cos x = 4k – 7 b) cos x = 4 – 2k 2. Determine os sinais de cos 20º, cos 80º, cos 130º, cos 200º e cos 300º.
3. Calcule o valor de cos 3
+ cos 2 + cos 3
2.
4. Sendo x = 7
, calcule o valor de sen 7x + cos 14x.
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40
5. Calcule o valor de y =
2cos4
sen . 2πcos
2πsen . 0sen . 2
2π3sen
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS : GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO (y =
cos x)
Para construir o gráfico da função cosseno, devemos localizar inicialmente, na
circunferência trigonométrica, alguns arcos e determinar o valor do seu cosseno. Observe:
Marcando esses valores no plano, construímos o gráfico da função y = cos x.
Podemos perceber que os valores do 1o quadrante são simétricos em relação aos 4o, e os
do 2o são simétricos aos 3o.
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Período da Função Cosseno
Observando o gráfico da função cosseno, verificamos que o seu comportamento se
repete nos intervalos 0 x 2 (1a volta), 2 x 4 (2a volta) e assim por diante.
Dessa forma, dizemos que a função cosseno é periódica de período igual a 2 .
p (cos x) = 2
Exercício Resolvido
Construa o gráfico f(x) = cos 2x, 0 x 2 , determinado a imagem e o período da
função.
Solução:
2x
x cos 2x
0 0 1
2
4
0
2
-1
23
43
0
2 1 p = Im = [-1, 1]
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42
Observação: Sendo a e c números reais e b e m números reais não-nulos, as funções
f(x) = a + b . sen (mx + c) e g (x) = a + b . cos (mx + c) têm período p = m2
Exemplo:
y = 5 + 8 . sen
3x4
p = m2
Como m = 4, logo, p = 42
p = 2
.
y = 10 . cos
2x2
p = m2
Como m = 2, logo, p = 22
=2
2 p = .
Exercícios Proposto
Construa o gráfico de cada uma das funções, determinando o período e a imagem.
a) f(x) = cos 2x
para 0 x 4
b) f(x) = 1 + cos x para 0 x 2
c) f(x) 2 . cos x para 0 x 2
d) f (x) = - cos x para 0 x 2
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICA: TANGENTE DE UM ARCO
Considere a circunferência trigonométrica e uma reta t paralela ao eixo y traçada pelo
ponto A. A essa reta, com a mesma orientação do eixo y, damos o nome de eixo das
tangentes.
Traçando-se uma reta que passe pelo centro O e por um ponto P qualquer da
circunferência trigonométrica, essa reta OP interceptará o eixo das tangentes num ponto T,
determinando em t o segmento orientado AT . Assim, tangente do arco PA
é a medida
algébrica do segmento orientado AT :
tg PA
= AT
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43
Se associarmos ao arco PA
um número real x tal que m ( PA
) = x rad, podemos dizer
que tg x = AT:
Do exposto, concluímos que:
Se m( PA
) = 2
, a reta OP será paralela à reta t. Logo, não existe tg 2
Se m( PA
) = 2
3, a reta OP será paralela à reta t. Logo, não existe tg
23
Generalizando, dizemos que não existe tg
k2 , k Z.
Relação entre Tangente, Seno e Cosseno de um Arco
Trigonométrico
Observe a figura a seguir:
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44
O triângulo OMP é semelhante ao triângulo OAT; assim, podemos escrever:
ATMP
OAOM
Como OM = cos x, MP = OP1 = sen x, AT = tg x e OA = 1 (raio unitário):
x cosx senx tg
xtgsen x
1 xcos
para todo x IR, x 2π
+ k , k Z
Exercício Resolvido
Complete a tabela determinando os valores que faltam com aproximação de 0,001.
(Sugestão: usar calculadora.)
Ângulo (graus) 15º 30º 85º
Seno 0,259 0,500
Cosseno 0,966 0,087
Tangente 0,577 11,430 Solução:
tg 15º = 0,9660,259
15º cos15ºsen
0,268, logo tg 15º = 0,268
tg 30º = 577,0500,0º30cos
30º cos0,500577,0
30º cos30ºsen
, logo cos 30º =
0,866
tg 85º = 0,087
85ºsen 430,1185º cos85ºsen
sen 85º = 11,430 . 0,087, logo sen 85º
= 0,996
Exercício Proposto
Complete a tabela abaixo com aproximação de 0,001
Ângulo (graus) 10º 20º 30º 45º 55º 60º
Seno 0,174 0,342 0,500 0,866
Cosseno 0,985 0,866 0,707 0,574
Tangente 0,364 1,000 1,421 1,732
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45
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICA : FUNÇÃO TANGENTE
Chamamos de função tangente a função f definida de E =
Zk ,πk
2π / xIRx
em IR que a cada número x E associa a tangente desse número:
f(x) = tg x
Dessa forma: D(f) =
Zk , kπ
2πx IR /x
Observe a circunferência trigonométrica a seguir:
Note que, no 1o e 3o quadrantes, a função tg x
varia de 0 até , no 2o e 4o quadrantes, de – até 0.
Assim:
Im (tg x) = (- , + ) = IR
Sinal da Função Tangente
Vamos estudar o sinal de f(x) = tg x considerando alguns exemplo:
a) ponto P no 1o quadrante
c) ponto P no 3o quadrante
b) ponto P no 2o quadrante
d) ponto P no 4o quadrante
Resumidamente, a variação do sinal da função y = tg x é:
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46
Exercício Resolvido
1. Determine o sinal de:
a)tg 50º b) tg 190o c) tg 3
5
Solução:
Observando as figuras abaixo, temos:
2. Determine o domínio da função y = tg
2π2x
Solução:
y = tg
2π2x
2x + 22
+ k 2x k x 2
k
Logo:
D =
Zk ,
2kπ / xIRx
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Exercício Proposto
1. Determine o sinal de:
a) tg 60° b) tg 150° c) tg 3
4 d) tg 350°
2. Determine o domínio das funções:
a) y = tg 2x b) y = tg2x
c) f(x) = tg
3x
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE
Com base na relações trigonométricas nos triângulos retângulos, podemos obter os
seguintes
33
6π tg tg
4
=1 tg 3
= 3
A partir deles, podemos determinar outros, por simetria na circunferência
trigonométrica:
Assim, para valores de x tal que 0 x 2 , temos:
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x tg x
0 0
6
33
4
1
3
3
2
0
23
2 0
Período da Função tangente
Analisando o gráfico anterior, observamos que o comportamento da função f(x) = tg x
no 1o e 2o quadrantes é o mesmo que no 3o e 4o quadrantes. Ou seja, tg x = tg (x + ) tg (x +
2 ) = ... = tg (x + k ), k Z. Logo, a função é periódica, pois seus valores se repetem a
cada meia volta, de em , e na mesma ordem. Portanto, o período p é:
p (tg x) = π
Exercício Resolvido
Construa o gráfico de f(x) = tg 2x
, 0 x 4 , determinando a imagem e o período da
função.
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2x
x
tg 2x
0 0 0
2
2 0
23
3
2 4 0
A função y = tg 2x
se comporta do mesmo modo de 2 em 2 rad. Assim:
p
2xtg = 2
Im
2xtg = IR
De modo geral, as funções da forma y = tg mx, m IR*, têm período p = mπ
.
Assim, para f(x) = tg 2x
, por exemplo, temos:
m = 2x p
2xtg =
1
= . 2 = 2
Exercício Propostos
1. Construa o gráfico e dê o período de cada uma das funções, para 0 x 2 .
a) y = tg 2x b) y = tg 2x
2. Sendo tg 30° = 33 , calcule os valores de:
a) tg 150° b) tg. 210°