Potencia n-ésima por Hamilton Cayley
1
Potencia en´ esima por Cayley-Hamilton Damos un ejemplo de como hallar la potencia en´ esima de una matriz usando el teorema de Cayley-Hamilton. 1. (Ejercicio propuesto en examen de ´ Algebra, ETS de Ingenier´ ıa de Montes de la UPM) Dada la matriz real A = -14 25 -9 16 , calcular l´ ım n→+∞ 1 n A n . Resoluci´on Polinomio caracter´ ıstico de A: χ(λ) = det(A - λI )= λ 2 - tr(A)λ + det A = λ 2 - 2λ +1=(λ - 1) 2 El ´ unico valor propio de la matriz es por tanto λ = 1 (doble). Efectuando la divisi´ on eucl´ ıdea de λ n entre χ(λ) obtenemos: λ n = q(λ)(λ - 1) 2 + αλ + β (1) Sustituyendo λ por A en (1) y usando el teorema de Cayley-Hamilton A n = q(A)(λ - I ) 2 + αA + βI = q(A) · 0+ αA + βI = αA + βI (2) Sustituyendo el valor propio λ = 1 en (1) obtenemos 1 = α + β. Derivando la igualdad (1): nλ n-1 = q 0 (λ)(λ - 1) 2 + 2(λ - 1)q(λ)+ α. Sustituyendo en esta ultima expresi´ on de nuevo λ = 1 obtenemos n = α, con lo cual β =1 - n. Como consecuencia de (2): A n = nA +(1 - n)I = n -14 25 -9 16 +(1 - n) 1 0 0 1 = -15n +1 25n -9n 15n +1 Por tanto l´ ım n→+∞ 1 n A n = l´ ım n→+∞ 1 n -15n +1 25n -9n 15n +1 = -15 25 -9 15 Autor: Fernando Revilla 1
-
Upload
facundo-ferrin -
Category
Documents
-
view
79 -
download
1
description
Ejemplo de cálculo
Transcript of Potencia n-ésima por Hamilton Cayley
-
Potencia enesima por Cayley-Hamilton
Damos un ejemplo de como hallar la potencia enesima de una matriz usandoel teorema de Cayley-Hamilton.
1. (Ejercicio propuesto en examen de Algebra, ETS de Ingeniera de Montesde la UPM)
Dada la matriz real A =
[14 259 16
], calcular lm
n+
1
nAn.
Resolucion Polinomio caracterstico de A:
() = det(A I) = 2 tr(A)+ detA = 2 2+ 1 = ( 1)2
El unico valor propio de la matriz es por tanto = 1 (doble). Efectuando ladivision eucldea de n entre () obtenemos:
n = q()( 1)2 + + (1)
Sustituyendo por A en (1) y usando el teorema de Cayley-Hamilton
An = q(A)( I)2 + A+ I = q(A) 0 + A+ I = A+ I (2)
Sustituyendo el valor propio = 1 en (1) obtenemos 1 = +. Derivando laigualdad (1): nn1 = q()(1)2 +2(1)q()+. Sustituyendo en estaultima expresion de nuevo = 1 obtenemos n = , con lo cual = 1 n.Como consecuencia de (2):
An = nA+(1n)I = n[14 259 16
]+(1n)
[1 00 1
]=
[15n+ 1 25n
9n 15n+ 1
]Por tanto
lmn+
1
nAn = lm
n+
1
n
[15n+ 1 25n
9n 15n+ 1
]=
[15 259 15
]
Autor: Fernando Revilla
1
http://www.fernandorevilla.es/home
![Cayley Graphs of Free Groups - math.columbia.edualessandrini/Courses... · Cayley Graphs of Free Groups (3.3) Theorem 3.3.1 Cayley Graphs of Free Groups Cayley graph Cay(𝒁/2, [1])](https://static.fdocument.pub/doc/165x107/5f0f0c067e708231d44239c6/cayley-graphs-of-free-groups-math-alessandrinicourses-cayley-graphs-of.jpg)
