1

Edellisellä luennolla käsiteltiin vapaan rahavirran (FCF, Free Cash Flow)laskemista ja investointilaskelman rakennetta. Rahavirtojen diskonttaamiseenperustuva nettonykyarvo on yksi investointiprojektin kannattavuuden tunnusluku.Vapaiden rahavirtojen avulla voidaan määritellä myös muita tunnuslukuja, kutensisäinen korkokanta ja takaisinmaksuaika. Nettonykyarvo (NPV, Net PresentValue) on näistä tärkein ja yleiskäyttöisin, mutta muutkin tunnusluvut valottavatinvestoinnin kannattavuutta.Tunnusluvun avulla päätöksentekijä arvioi investoinnin kannattavuutta.Nettonykyarvoon ja sisäiseen korkokantaan voidaan liittää mekaaninen jaobjektiivinen päätössääntö. Päätös investointiprojektin toteuttamisesta ei olekuitenkaan automatisoitava päätös. Laskelman vapaat rahavirrat ovat arvioita,joten päätöksentekijän on syytä olla tietoinen arviointivirheiden merkityksestä.Tämän vuoksi investointiprojektista tehdään erilaisia jatkoanalyysejä.Suoraviivaisimmillaan kyse on erilaisista mitä-jos-kysymyksistä, esimerkiksimitä tapahtuu NPV:lle jos myyntituotot ovat 5 % arvioitua pienemmät?Laskutehtävissä rahavirta-arvioiden tekemiseen tarvittavat numeroarvot onmuodossa tai toisessa annettu. Todellisessa investointiprojektissa ensimmäinenvaihe on investoinnin vaikutusten laadullinen tunnistaminen: Miteninvestointiprojektin toteutus vaikuttaa yrityksen toimintaan? Mitä hyötyjä jakustannuksia syntyy, jos projekti toteutetaan, ja mitkä hyödyt ja kustannuksetsyntyisivät joka tapauksessa? Tätä tarkoittaa relevanttien erien tunnistaminen.

2

Ensimmäisellä luennolla esiteltiin rahavirtojen diskonttaamisen tekniikka(discounted cash flow), jota voi soveltaa erilaisissa käyttökohteissa.Diskonttauskorko kuvaa pääoman vaihtoehtoiskustannusta sijoittajien kannalta.Pääoman kustannus on edelleen sidoksissa sijoituksen riskiin. Reaali-investoinnitliittyvät jonkin liiketoiminnan kehittämiseen, joten investointiprojektinarvioinnissa käytettävä diskonttauskorko kuvaa kyseisen liiketoiminnan riskiä.Yleisessä kaavassa diskonttauskorkokantaa voi merkitä yksinkertaisestisymbolilla r, mutta kussakin käyttökohteessa r:n merkitys on täsmennettävä.Tämän vuoksi yllä olevassa kaavassa käytetään symbolia rU. Alaindeksi U viittaayritykseen, jolla ei ole velkaa (unlevered company). Investointiprojektinrahoittamiseen ei siis ajatella käytettävän lainaa. Tämä on yhteensopiva oletusFCF-kaavan kanssa, koska siinäkään ei ole korkoja. Seuraavilla luennoillatäsmennetään, miten kaavan käyttö muuttuu, jos investointiprojektia rahoitetaanmyös lainalla.Investointeja arvioitaessa paras tunnusluku on projektin nettonykyarvo (NPV).Positiivinen nettonykyarvo (NPV>0) tarkoittaa, että laaditun arvionperusteella investointi on kannattava eli lisää yrityksen arvoa rahoittajiennäkökulmasta. Teoriassa kaikille yrityksen NPV-positiivisille hankkeille pitäisilöytyä rahoitus ja ne kannattaisi toteuttaa. Jos jotkin hankkeet ovat toisensa poissulkevia, esimerkiksi kolmesta hankevaihtoehdosta vain yksi voidaan valita, niinsuurimman nettonykyarvon tuottava projekti kannattaa toteuttaa, sillä se lisääeniten yrityksen arvoa.

3

Sisäinen korkokanta (IRR, Internal Rate of Return) vastaa kysymykseen, milläpääoman kustannuksella (diskonttauskorkokannalla) investointiprojektinnettonykyarvo on nolla. Toisin sanottuna NPV-kaavasta on ratkaistava IRR.Taulukkolaskennan standardifunktio on helpoin tapa IRR:n ratkaisemiseen.NPV:n laskemisessa käytetyn diskonttauskoron rU ja IRR:n ero kertoo, kuinkasuuri virhearvio pääoman kustannuksessa muuttaa johtopäätöksen investoinninkannattavuudesta (NPV-positiivisesta hankkeesta tulee hanke jonka NPV=0.)Pääoman kustannukseen liittyvän kriittisen raja-arvon (IRR) selvittäminen onesimerkki ns. break-even analyysista. Yleisesti break-even analyysi onlaskennallinen menetelmä, jossa valitaan yksi investointilaskelman muuttuja jaratkaistaan muuttujan arvo, jolla NPV=0. Esimerkiksi päätöksentekijä voisihakea vastausta kysymykseen: millä myyntimäärällä nettonykyarvoksi tuleenolla.NPV-päätössäännöstä voidaan johtaa myös sisäiseen korkokantaan sovellettavapäätössääntö: IRR > rU

Tyypillinen harhakäsitys on, että IRR:n avulla olisi helppo verrata erikokoisiainvestointeja, koska tunnusluku antaa tuottoprosentin (NPV antaa absoluuttisenarvon, joka luonnollisesti suurissa hankkeissa on suurempi kuin pienissä.).Vertailun mielekkyyden kannalta on kuitenkin ratkaisevaa, että hankkeiden riski(ja sitä kautta rU) on sama. Riskiltään erilaisten projektien IRR:t eivät ole suoraanvertailukelpoisia.Rahoituksen oppikirjoissa esitetään muitakin IRR:n käytön haasteita.

4

Takaisinmaksuajalle (Payback Period) ei voi kirjoittaa yhtä kompaktia kaavaakuin nettonykyarvolle ja sisäiselle korkokannalle. Orientoivassa materiaalissakuitenkin selitettiin, että takaisinmaksuaika on helposti todettavissa laskemallamilloin kumulatiivinen vapaa rahavirta on nolla (minkä kahden elinkaarenvuoden välissä kumulatiivinen rahavirta muuttuu negatiivisesta positiiviseksi).Takaisinmaksuajalle ei voida muotoilla päätössääntöä, joka olisi suoraansidoksissa yrityksen kannattavuuteen tai yrityksen arvoon (toisin kuin NPV:lle taiIRR:lle), koska takaisinmaksuaika ei ole sidoksissa pääoman vaihtoehtois-kustannukseen (eli sijoittajien tuotto-odotukseen).Tavoitteellinentakaisinmaksuaika on puhtaasti yritysjohdon tekemä valinta.Toisaalta voidaan sanoa, että samankaltaisia hankkeita verrattaessa lyhyempitakaisinmaksu on parempi. Koska lähivuosien rahavirta-arviot ovatluotettavampia kuin myöhempien vuosien, nopea takaisinmaksu nostaatodennäköisyyttä sille, että hanke todella on kannattava (NPV-positiivinen). Jostakaisinmaksuaikaa käytetään pääasiallisena tunnuslukuna investoinneistapäätettäessä, on vaara, että yrityksen tulevaisuuden kannalta tärkeitäpitkävaikutteisia projekteja ei toteuteta.Takaisinmaksuajan muunnelma on diskontattu takaisinmaksuaika (discountedpayback period), joka luonnollisesti määritetään diskontattujen vapaidenrahavirtojen avulla.

5

Mitä-jos-analyysi (what-if) on samanlainen yksittäisiin kysymyksiin perustuvajatkoanalyysi kuin aiemmin mainittu break-even analyysi. Mitä jos analyysinkysymys on tyypillisesti muotoa: mikä on projektin NPV, jos valittuinvestointilaskelman muuttuja saa arvon X. (Break-even analyysissa tavoitteenaoli ratkaista X siinä tapauksessa, että NPV=0). Molemmat analyysit auttavatpäätöksentekijää hahmottamaan, millä reunaehdoilla suunniteltuinvestointiprojekti on kannattava.Myyntituottojen vaihtelulla on yleensä suurin merkitys projektin NPV:lle, jotentyypilliset mitä-jos-kysymykset liittyvät myyntihintaan tai –määrään.Diskonttaamisen (rahan aika-arvon) vuoksi myös positiivisten rahavirtojenajoittumisella on merkitystä. Investointiprojektin toteutuksen myöhästyminen ontilanne, jota on syytä pohtia. Jos hanke ei valmistu suunnitellussa aikataulussa,myyntituottoja asiakkailta saadaan kaavailtua myöhemmin. Jos kilpailijat tuovatomat tuotteensa markkinoille aikaisemmin, myöhästymisen vaikutukset voivatolla kriittiset koko projektin kannattavuudelle.Investoinnin elinkaaren pituus on yksi epävarmuustekijä. Markkinoille tuleetodennäköisesti kilpailevia tai korvaavia tuotteita, minkä vuoksi investoinninmyyntituotot kääntyvät laskuun odotettua aikaisemmin ja investoinninvuosittainen vapaa rahavirta muuttuu negatiiviseksi. Tällöin investointi on tullutelinkaarensa päähän.Diskontattu takaisinmaksuaika (myös tavallinen takaisinmaksuaika) kertoooikeastaan elinkaaren minimipituuden.

6

Break-even analyysi on oikeastaan laskuharjoitus, joka liittyy johonkin FCF-laskelman soluun. Kriittisen arvon laskeminen on mekaaninen toimenpide, jossavoi käyttää esim. Excelin Solver-toimintoa. Mitä-jos-kysymyksen muotoiluedellyttää parempaa käsitystä investointiprojektin luonteesta ja mahdollisistavaikutuksista yrityksen kannattavuuteen. Vaikka mitä-jos-analyysinlaskutoimitukset tehdään arviointiprosessin loppupuolella, oleellisten elirelevanttien vaikutusten tunnistaminen on edellytys jo ensimmäiselle versiolleinvestointilaskelmasta.Päätöstä tukevassa laskelmassa otetaan huomioon päätöksen aiheuttamatmuutokset yrityksen tulevassa vapaassa rahavirrassa (relevantit tuotot jakustannukset).Kalvossa ”ENNEN” kuvaa yrityksen tilaa, jos ehdotettua päätöstä eitoimeenpanna (kielteinen päätös). Tavallaan ajatellaan, että toiminta jatkuu kutenennenkin. ”JÄLKEEN” kuvaa yrityksen tilaa, jos ehdotettu päätös pannaantoimeen (myönteinen päätös).Myönteisellä päätöksellä voi olla monenlaisia vaikutuksia. Tyypillisesti lisäähyötyjä tarkoittaa enemmän myyntituottoja, mutta niiden aikaansaamiseksisyntyy myös lisää kustannuksia. Toiminnan tehostaminen ei välttämättä lisäämyyntiä, mutta tuo kustannussäästöjä. Valintatilanteissa voi syntyä myösmenetettyjä hyötyjä. Ajatellaan kahta toisensa pois sulkevaa päätösvaihtoehtoa Aja B. Jos A toteutetaan, niin B:n hyödyt jäävät saamatta. Vastaavasti, jos Btoteutetaan, niin A:n hyödyt jäävät saamatta.

7

Relevanttien erien määrittely on yhtä tärkeää lyhytvaikutteisissa päätöksissä kuinpitkävaikutteisissa investointipäätöksissäkin. Esimerkki käsitteleelyhytvaikutteista päätöstä, joten diskonttausta ei tehdä. Pääasianhavainnollistamiseksi myöskään veroja ei oteta huomioon.Jos yritys toimii täydellä kapasiteetilla, niin liikevoitto eliEBIT = 10 000 kpl * (18 – 10) €/kpl – 50 000 € = 30 000 €.Päätös koskee erillistilauksen toimittamista. Jos päätöstä tarkastellaan irrallaanmuusta toiminnasta, niin tilauksen hyväkyminen tuo katetuottoa 3400 € – 3000 €= 400 € (lisääntynyt hyöty).Jos yritys odottaa jonakin kautena toimivansa täydellä kapasiteetilla, niinerikoistilauksen hyväksyminen tarkoittaa toisaalta, että yrityksen perustuotetta eivoida myydä 10 000 kpl/kausi. Erikoistilaus vaatii 100 kpl:a vastaavan määränkapasiteettia, eli tästä johtuen yrityksen myyntituotot vähenevät 1800 € jamuuttuvat kustannukset vähenevät 1000 €. Yritys siis menettää katetuottoa 800 €(menetetty hyöty). Tässä tilanteessa päätöksen (erikoistilauksen toimittamisen)kokonaisvaikutus on +400 € - 800 € = -400 €. Tilausta ei siis kannata toimittaa.Päätöksen vaikutukset koko yrityksen kannalta on esitetty seuraavan sivuntaulukossa.

Tämän tyyppisissä laskutehtävissä vaikutukset rajataan vain tarkasteltavaankauteen, jotta tehtävä olisi helposti ratkaistavissa. Yritys ei siis voi viivästyttääperustuotteiden toimitusta seuraavalle kaudelle hyvittämällä asiakastamyyntihinnassa. Jos tuotteita ei toimiteta tällä kaudella, niin tilaukset onmenetetty.

8

Tässä tilanteessa menetettyä katetuottoa voidaan kutsua myös kapasiteetin käytönvaihtoehtoiskustannukseksi.Jos erikoistilauksen myyntiuotot olisivat 3800 € (ja muuttuvat kustannuksetedelleen 3000 €), niin erikoistilaus ja yrityksen perustuote olisivat täydenkapasiteetin tilanteessa samanarvoisia.Jos erikoistilauksen myyntituotot ja muuttuvat kustannukset käyttäytyisivätsuorassa suhteessa toisiinsa, pitäisi erikoistilauksen olla 100 % suurempi (6800 –6000 = 800), jotta se olisi kilpailukykyinen perustuotteeseen verrattuna.

Päätös muuttuu, jos yritys olettaa, että perustuotteen menekki jää tavanomaistaalhaisemmaksi eli kapasiteetista vain 80 % olisi käytössä. Käyttämättä jääväkapasiteetti vastaa 2 000 kpl perustuotetta. Kauden liikevoitto olisi tässätapauksessa vain 14 000 €. Yritys voisi toisaalta helposti toimittaaerikoistilauksen ilman, että se häiritsee muuta tuotantoa, koska erikoistilaustarvitsee kapasiteettia vain 100 kpl:a vastaavan määrän. Tässä päätöstilanteessakapasiteetin käytön vaihtoehtoiskustannus on nolla. Erikoistilaus lisää aidostiyrityksen liikevoittoa 400 € eli se kannattaa toimittaa.

Tuloverojen ottaminen huomioon muuttaisi jonkin verran laskettuja lukuarvojamutta ei kuitenkaan päätöstä eri tilanteissa, koska loppujen lopuksi verokerroin(1-τ) vaikuttaa jokaiseen erään.

9

Arvioitaessa investoinnin aiheuttamia hyötyjä ja kustannuksia on hyvä erotellasuorat ja epäsuorat vaikutukset. Investointiprojektin suorat vaikutukset liittyvätvain kyseiseen projektiin eli niillä ei ole heijastusvaikutuksia yrityksen muuhuntoimintaan eikä yrityksen muihin vapaisiin rahavirtoihin. Epäsuorat vaikutuksetnäkyvät taas yrityksen nykyisessä toiminnassa, ja niiden tunnistaminen onhankalampaa.Edellisessä esimerkissä päätöksen vaikutukset rajattiin yhden kauden sisälle.Investointipäätös vaikuttaa useana vuotena eikä ennakolta ole helppo tehdäoletuksia siitä, milloin yrityksen nykyinen kapasiteetti on täydessä tai vajaassakäytössä. Tämän vuoksi, jos investointiprojektin oletetaan hyödyntävän jotainyrityksen käytössä olevaa resurssia, on tämän resurssin käytölle arvioitavavaihtoehtoiskustannus. Resurssin käyttö ei siis ole investointiprojektinnäkökulmasta ilmaista.Epäsuorat vaikutukset voivat olla positiivisia tai negatiivisia:• Uuden tuotteen tuominen markkinoille voi lisätä yrityksen muiden tuotteiden

kysyntää, jos uusi tuote täydentää tuotevalikoimaa sopivalla tavalla(synergiahyödyt)

• Uuden tuotteen tuominen markkinoille voi vähentää yrityksen muidentuotteiden kysyntää, jos uusi tuote on korvaava jollekin vanhalle tuotteelle. Josasiakkaat esimerkiksi tietävät, että tuotteesta on tulossa uusi versio, helykkäävät ostopäätöstään eivätkä osta yrityksen tällä hetkellä tarjoamaaversiota. (kannibalismi)

10

11

Vaihtoehtoiskustannus (opportunity cost) on menetys, joka aiheutuu, kunrajallista resurssia ei käytetä parhaaseen vaihtoehtoiseen käyttötarkoitukseen.Vaihtoehtoiskustannuksen käytössä on syytä olla varovainen, koskavaihtoehtoiskustannus muuttuu tilanteen ja tunnettujen vaihtoehtojen mukaan.Kuten aiempi esimerkki havainnollisti, menetetty kate vaihteleekuormitustilanteen ja tilauskannan mukaan.Koska kahdesta hahmotetusta vaihtoehdosta vain toinen toteutetaan, eivaihtoehtoiskustannusta voi jälkeenpäin todentaa kirjanpidossa. Ainoastaantoteutetun vaihtoehdon seuraukset havaitaan.Vaihtoehtoiskustannus on määritelmänsä vuoksi vaikeasti arvioitava tekijä. Muttavaikka vaihtoehtoiskustannusta ei ole aina helppo havaita tai mitata, se vaikuttaaihmisten päätöksiin. Kun ihminen esimerkiksi valitsee työn ja vapaa-ajan välillä,hän arvioi korvaako työstä saatava palkkio menetetyn vapaa-ajan tuomannautinnon.Pääoman vaihtoehtoiskustannus on tärkeä käsite. Yritykseen pääomaa sijoittaneethaluavat korvauksen sijoitukselleen. Se ilmaistaan tuottovaatimuksen avulla.Vaikka tuottovaatimus muistuttaa korkoprosenttia, pääomanvaihtoehtoiskustannusta ei saa sekoittaa lainan korkokustannukseen. Sijoittajallaon mahdollisuus sijoittaa yritykseen tai muihin sijoituskohteisiin. Päättäessäänsijoittaa yritykseen, hän menettää tuoton, jonka voisi saada vaihtoehtoisestasijoituskohteesta. Tämän sijoittajan vaihtoehtoiskustannuksen kautta määritelläänyritykseen sijoitetun pääoman tuottovaatimus.

12

Edes siinä tapauksessa, että investointiprojekti käyttää yritykselle pysyvästitarpeetonta resurssia, vaihtoehtoiskustannus ei ole nolla. Jos jokin resurssi onpysyvästi tarpeeton, niin yrityksen pitäisi luopua tuosta resurssista. Mikäliresurssia päätetään käyttää jossain investointiprojektissa, niin siitä ei voi luopuaja vastaavat hyödyt jäävät saamatta.Tarpeettomasta resurssista luopuminen tarkoittaa esimerkiksi henkilöstönvähentämistä irtisanomisten tai luonnollisen poistuman avulla.Tuotantovälineiden (koneiden, laitteiden, rakennusten myyminen) on myös tapaluopua tarpeettomista resursseista. Koska yrityksen päätehtävä ei ole myydätuotantovälineitään, niin kyseessä ei ole myyntituotto, vaikka omaisuudenmyynnistä syntyykin positiivista rahavirtaa. Tämän vuoksi puhutaan omaisuudenluovutuksesta eikä myynnistä.Luovutusarvo (salvage or liquidation value) tarkoittaa hintaa, jolla omaisuusmyydään. Luovutusarvo lisää vapaata rahavirtaa, mutta siitä aiheutuu myösveroseurauksia. Omaisuuden luovutusvoitto (Gain on Sale) lisää verotettavaaliikevoittoa, ja se lasketaan vähentämällä omaisuuden luovutusarvostaomaisuuden kirjanpidollinen tasearvo (Book Value) luovutushetkellä. Jos tasearvoon suurempi kuin luovutusarvo, syntyy luovutustappiota, joka vähentääverotettavaa tuloa. Omaisuuden tasearvo saadaan, kun omaisuuden alkuperäisestähankintahinnasta vähennetään kertyneet poistot (Accumulated Depreciation).

13

Investointilaskelmaa laadittaessa on myös tarkistettava, ettei laskelmaan päädyepärelevantteja eriä. Niitä ovat luonnollisesti tuotot ja kustannukset, joilla ei olemitään asiayhteyttä päätökseen. Edellä tarkasteluilla epäsuorilla vaikutuksilla oliasiayhteys päätökseen.Uponneet kustannukset (sunk costs) tarkoittavat aikaisempiin jo tehtyihinpäätöksiin liittyviä peruuttamattomia kustannuksia. Uponneet kustannukset eivätole käsillä olevassa päätöksentekotilanteessa relevantteja kustannuksia.Vaiheittaisissa päätöksissä, kuten tuotekehityspäätöksissä, päätöksentekohetkentunnistaminen on tärkeää. Siinä vaiheessa kun tehdään päätöstä tuotteen myynninja valmistuksen aloittamisesta, tuotekehityskustannukset voivat olla suurelta osinuponneita kustannuksia. Tuotekehitystyö on jo tehty ja siitä aiheutuneetkustannukset ovat syntyneet, päätettiinpä valmistuksen aloittamisesta mitätahansa. Jos kyse on taas tuotekehitysprojektin aloittamispäätöksestä,tuotekehityskustannukset eivät ole uponneita kustannuksia.Termillä yhteiskustannukset (joint costs) viitataan toisenlaiseen epärelevanttiinerään. Yrityksellä voi olla tutkimusosasto, jonka tuloksia hyödynnetään tuote-kehitysprojekteissa. Osaston kustannukset eivät ole yksittäisten tuotekehitys-projektien relevantteja kustannuksia, koska osaston olemassaolo ei ole kiinniyksittäisestä projektista. Vain jos osastolla tehdään työtä, joka suoraan liittyyyhteen projektiin, on osaston kustannus tältä osin projektin relevantti kustannus.Yritysten kustannuslaskentajärjestelmät yleensä kohdistavat yhteiskustannuksiatuotteille ja projekteille, mutta tämä ei automaattisesti vastaa relevanttiakustannusta.

Koska nettonykyarvo (NPV) on absoluuttinen tunnusluku, niin elinkaarenpidentäminen kasvattaa NPV:n arvoa, kunhan lisätyn vuoden FCF on vainpositiivinen. Tämän vuoksi on myös tarpeen arvioida laskelmassa käytetynelinkaaren realistisuutta.Edellä tarkasteltiin tilannetta, jossa yritys voisi luopua tarpeettomastaomaisuudesta, jos investointiprojektia ei toteuteta. Omaisuuden luovutus voitoisaalta liittyä myös investointimenon kuvaamaan omaisuuteen. Elinkaarenalussa hankitaan tuotantovälineitä, joiden hankintameno tarkoittaainvestointilaskelman investointimenoa. Ne eivät ole arvottomia tai loppuunkäytettyjä investointiprojektin (laskelman) elinkaaren lopussa. Vaikka yritys eiitse enää haluaisi käyttää tuotantovälineitä, ne voivat olla täysin käyttökelpoisiamuille yrityksille.Tässäkin tapauksessa on aiemmin esitetyllä tavalla arvioitava omaisuudenluovutuksen vaikutus vapaaseen rahavirtaan. Siitä voidaan käyttää myösnimitystä jäännösarvo. Kun investointimeno yleensä oletetaan poistettavaksilaskelman elinkaaren aikana, on omaisuuden kirjanpitoarvo tässä tilanteessanolla.Omaisuuden luovutuksen kokonaisvaikutus eli luovutusarvo vähennettynätuloveroilla on selkeintä käsitellä investointilaskelmassa omalla rivillään taiaputaulukossa. Investoinnin vaikutusajan (N) lopussa tehtävän luovutuksen,rahavirran voi olettaa syntyvän luovutusta seuraavana vuonna (N+1) tailuovutusvuonna (N). Laskutehtävissä on kerrottu miten ajoitus on tehtävä, jottapääsee numeerisesti oikeaan vastaukseen. Ajoitustapaa ei voi siis itse valita.

14

Rahavirran diskonttaaminen on yleinen tekniikka (Discounted Cash Flowtechnique), jota voi soveltaa erilaisiin rahavirtoihin. Yleisissä kaavoissarahavirtaa merkitään symbolilla C, rahavirran ajoittumista alaindeksillä n jaasiaankuuluvaa diskonttauskorkoa symbolilla r.Peruskaavana voi pitää pistemäisen rahavirran Cn nykyarvon kaavaa.Laskentataulukkoja voi laatia pelkästään tämän kaavan avulla (käyttämättästandardifunktioita).Investointikohteiden elinkaari eli taloudellinen vaikutusaika (kuinka monenavuotena rahavirtoja syntyy) vaihtelee. Jos hankkeen elinkaari on esimerkiksi 15vuotta, niin yksityiskohtaiset vuosittaiset rahavirta-arviot tehdään muutamalleensimmäiselle vuodelle. Elinkaaren loppuosalle käytetään usein kaavamaisempiaarvioita: rahavirran oletetaan olevan vakio tai kasvavan/pienenevänvakiokertoimella (1+g).Rahavirran vuosittaista kasvuprosenttia merkitään symbolilla g. Se voi saadamyös negatiivisen arvon, mikä tarkoittaa, että rahavirta pienenee vuosittainvakioprosentilla.Tarkastellaan tällaista vakiokertoimella muuttuvaa rahavirtaa, joka alkaavuodesta 1 ja jatkuu vuoteen N. Rahavirran nykyarvoa merkitään tässä symbolillaA.

15

Taulukkolaskentaa käytettäessä pitkä elinkaari tarkoittaa lähinnä sitä, ettälaskelmassa on enemmän sarakkeita. Aikanaan on kuitenkin johdettu laskutyötähelpottavia kaavoja.Annuiteetti tarkoittaa joka vuosi vakiona pysyvää summaa. Kasvava annuiteettitarkoittaa, että Cn = C1 ∙(1+g)n . Kasvavan annuiteetin nykyarvon kaava perustuulukusarjaan, joka alkaa vuodesta 1. Jos g=0 saadaan kaavasta annuiteetinnykyarvon kaava.Jos kasvun oletetaan jatkuvan loputtomasti (perpetuity) ja r > g, niin saadaanloputtomasti kasvavan annuiteetin nykyarvon kaava C/(r-g). Tämä on hyödyllinenkaava muistaa.Varsinkin ikuisesti jatkuva kasvu on rohkea oletus. Kaavoja voi kuitenkin yhtähyvin soveltaa silloin, jos g=0 (vakiona pysyvä rahavirta) tai jos g<0 (samallaprosentilla vähenevä rahavirta). on syytä olettaa aina, että r > g, koska muutenhankokonaan positiiviselle rahavirroille saadaan negatiivinen nykyarvo. Lisäksi onvältettävä oletuksia jossa r – g ≈ 0, koska laskennallisesti tällöin lähestytäännollalla jakamista. Kaavan soveltamistilanteen kannalta kyse on epärealistisistaoletuksista tai vähintään ratkaisun virhemarginaalin huomattavasta kasvamisesta.

Lopuksi käydään lyhyesti läpi kaavojen johtaminen. Se ei ole kuitenkaan asia,jota vaaditaan tentissä.

16

Edellä on määritelty vakiokertoimella kasvava äärellinen rahavirta (n = 1, … N)ja sen nykyarvo (A).Kerrotaan seuraavaksi A termillä (1+g)/(1+r). Nyt saadaan yhtälöpari, josta Nvoidaan ratkaista.Ratkaisun ensimmäisessä vaiheessa ylemmästä yhtälöstä vähennetään alempi.Vähennyslasku johtaa siihen, että yhtälöiden oikeanpuoleisen lukusarjanuseimmat termit kumoavat toisensa. Esimerkiksi ylemmän yhtälön lukusarjantoinen tekijä (n=2) on C1∙ (1+g)/(1+r)2. Toisaalta myös alemman yhtälönlukusarjan ensimmäinen tekijä (n=1) on C1∙ (1+g)/(1+r)2.Eli kun ylemmästä yhtälöstä vähennetään alempi, niin yhtälön oikealle puolellejäävät vain ylemmän yhtälön oikean puolen lukusarjan ensimmäinen tekijä ja siitävähennettävä alemman yhtälön oikean puolen lukusarjan viimeinen tekijä (n=N).Seuraavaksi yhtälöä aletaan muokata havainnollisempaan muotoon

17

Yhtälön vasemmalla puolella A:n kerroin on (r-g)/(1+r). Kun yhtälön molemmatpuolet jaetaan tällä kertoimella, niin yhtälöstä saadaan määriteltyä A:n kaava.Kun sulkulauseke lopulta kerrotaan (1+r):llä, saadaan aiemmin esitetty kasvavanannuiteetin nykyarvon kaava.

Jos seuraavaksi oletetaan että N=∞ ja r >g, niin sulkulausekkeen jälkimmäinentekijä on 0. Kun r>g niin (1+g) ∞ <<< (1+r) ∞. Näin saadaan loputtomastikasvavan annuiteetin nykyarvon kaava.

18

19

20