ANLISIS de estabilidad

CRITERIO DE ROUTH HURWITZEl problema ms importante de los sistemas de control lineal tiene que ver con la estabilidad. Un sistema de control es estable si y solo si todos los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s.Consideremos la siguiente funcin de transferencia de lazo cerrado.

En donde las a y las b son constantes y mn.Criterio de estabilidad de RouthEl criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s (races positivas) sin tener que factorizar el polinomio. Este criterio de estabilidad slo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de trminos.Procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh:1. Escriba el polinomio en s del denominador en la forma siguiente:

En donde los coeficientes son cantidades reales. Suponemos que ;es decir, se elimina cualquier raz cero.2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raz, o races imaginarias o que tiene parte reales positivas. En tal caso, el sistema no es estable.La condicin necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es que todos los coeficientes de ecuacin estn presentes y tengan signo positivo.3. Si todos los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el patrn o arreglo siguiente:

Los coeficientes b1,b2,b3,,c1,c2,c3,.,d1,d2.,etc., se evalan del modo siguiente:

La evaluacin contina hasta que todas las restantes son cero.

El criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz plantea que el nmero de races de la ecuacin con partes reales positivas es igual al nmero de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo.La condicin necesaria y suficiente para que todas las races de la ecuacin se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuacin sean positivos y que todos los trminos de la primera columna del arreglo tengan signo positivo.

Ejemplo 1Considere el polinomio siguiente:

Los primeros dos renglones se obtienen directamente del polinomio dado. El arreglo de coeficientes sera:

Hay dos cambios de signo en los coeficientes de la primera columna. Esto significa que existen dos races con partes reales positivas. Observe que el resultado no se modifica cuando los coeficientes de cualquier rengln se multiplican por, o se dividen entre, un nmero positivo para simplificar el clculo.

Ejemplo 2

Aplicacin del criterio de estabilidad de Routh al anlisis de un sistema de control.

Considere el sistema de la figura. Determine el rango de valores deK para la estabilidad. La funcin de transferencia en lazo cerrado es

La ecuacin caracterstica es:

El arreglo de coeficientes se convierte en

Para la estabilidad, K debe ser positiva, y todos los coeficientes de la primera columna deben de serlo tambin.

Por tanto, para que el sistema de control sea estable, el rango de K sera

Cuando , el Coeficiente de la primer columna de la fila se hace cero, esto significa que existen races imaginarias y el sistema se vuelve oscilatorio y, matemticamente, la oscilacin se mantiene en una amplitud constante.Se pueden calcular las races imaginarias, considerando un polinomio auxiliar el cul se obtiene tomando los coeficientes de la fila que se encuentra arriba donde se gener el cero. La ecuacin sera

Casos especialesSi el trmino de la primera columna de cualquier rengln es cero, pero los trminos restantes no son cero, o no hay trminos restantes, el trmino cero se sustituye con un nmero positivo muy pequeo y se evala el resto del arreglo.

Ejemplo 3Considere la ecuacin

El arreglo de coeficiente es

Si el signo del coeficiente que est encima del cero () es igual al signo que est abajo de l, quiere decir que hay un par de races imaginarias.

Ejemplo 4Si todos los coeficientes de cualquier rengln son cero significa que existen races con magnitudes iguales y signos opuestos y/o dos races imaginarias conjugadas. En este caso, la evaluacin del resto del arreglo contina mediante la formacin de un polinomio auxiliar con los coeficientes del ltimo rengln y mediante el empleo de los coeficientes de la derivada de este polinomio en el rengln siguiente. Tales races se encuentran despejando el polinomio auxiliar, que siempre es par. Para un polinomio auxiliar de grado 2n, existen n pares de races iguales y opuestas. Por ejemplo, considere la ecuacin:

El arreglo de coeficientes es

Todos los trminos del rengln son cero. Despus se forma el polinomio auxiliar a partir de los coeficientes del rengln El polinomio auxiliar P(s) es

lo cual indica que hay dos pares de races de igual magnitud y signo opuesto. Estos pares se obtienen resolviendo la ecuacin del polinomio auxiliar P(s)=0. La derivada de P(s) con respecto a s es:

Los coeficientes de la ltima ecuacin, sustituyen los trminos del rengln 3 del arreglo. Por consiguiente, el arreglo de coeficientes se convierte en

No existen cambios de signo en la primera columna, no hay races con parte real positiva, sin embargo si hay races imaginarias.Despejando las races del polinomio auxiliar

Ejemplo 5Determine el rango de valores de K para la estabilidad.La ecuacin caracterstica es

El arreglo de coeficientes se convierte en

Para la estabilidad, K debe ser positiva, y todos los coeficientes de la primera columna deben de serlo tambin.

Por tanto, para que el sistema de control sea estable, el rango de K sera Cuando K=600, el sistema se vuelve oscilatorio y, matemticamente, la oscilacin se mantiene en una amplitud constante.

Ejemplo 6Determine la estabilidad para el siguiente sistemaLa ecuacin caracterstica es

El arreglo de coeficientes se convierte en

Como el signo arriba y debajo de son diferentes, existen dos cambios de signo en los coeficientes de la primera columna, hay dos races con parte real positiva, el sistema es inestable

Ejemplo 7Determine la estabilidad para siguiente sistemaLa ecuacin caracterstica es

El arreglo de coeficientes es

Todos los trminos del rengln son cero. Entonces se forma el polinomio auxiliar a partir de los coeficientes del rengln El polinomio auxiliar P(s) es

Lo cual indica que hay dos races de igual magnitud y signo opuesto. La derivada de P(s) con respecto a s es

Los coeficientes del rengln de la ecuacin, se sustituyen por el polinomio determinado. Por consiguiente, el arreglo de coeficientes se convierte en

Existen dos cambios de signo en la primera columna, hay dos races con parte real positiva. Pero tambin existen races imaginarias por el cero que se form en el rengln Despejando las races del polinomio auxiliar

Obtenemos las dos races imaginarias

Anlisis del Lugar Geomtrico de las Races (LGR) oMtodo de Evans

La caracterstica bsica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la ubicacin de los polos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la ubicacin de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida. Los polos en lazo cerrado son las races de la ecuacin caracterstica. W. R. Evans dise un mtodo sencillo para encontrar las races de la ecuacin caracterstica, que se usa ampliamente en la ingeniera de control. Este mtodo se denomina mtodo del lugar geomtrico de las races, y en l se grafican las races de la ecuacin caracterstica para todos los valores de un parmetro del sistema. Observe que el parmetro es, por lo general, la ganancia la cual se vara de cero a infinito, aunque es posible usar cualquier otra variable de la funcin de transferencia en lazo abierto.

Sea el siguiente sistema de control

La funcin de transferencia de lazo abierto y de lazo cerrado son

La ecuacin caracterstica de lazo cerrado

Las races de la ecuacin caracterstica o polos de lazo cerrado son