Plasma 概論 1. The equation of state of plasma

incl. shielded interaction

between plasma particles

2.gas-plasma transition as a function of T

2005.05.17

2

１．プラズマの状態方程式

• 自由エネルギーを分布関数で表現し、体積微分を行う。

V

FP

dpdqeN

eNT

eTF

Tqp

n

TEn

/),(ln

ln

§ 　２ Eq6

§ 　２ Eq3

先週のおさらい

3

Fideal

　2

42

1

223

22

333

2

2

mTVdppeVdqdpe

m

pqp

mTpT

)(

,),(理想気体ではエネルギーは p の２次形式

23

2 mT

N

eVNTFid ln

4

相互作用のある系での方法（分布関数への相互作用の組み込

み）

　　　理想気体では０である相互作用 U( 空間座標）を組み込み、自由エネルギーＦを表現する。

)/)(exp(*)/)(exp(

)/),(exp(

TqUTpK

Tqp

ii

)(!

ln /)....,,(/

UFFF

dqedpeN

TF

id

TqqqUTK

Nii

ninteractio

33 211

5

相互作用の積分• 仮定１：相互作用は２体相互作用のみ• 表式１：相互作用は２体間相対距離のみで記述可

能• 仮定２：３体以降も２体衝突の重ね合わせで記述

可能• 表式２：相互作用は運動エネルギーに比べて微少

• 仮定１：相互作用は２体相互作用のみ• 表式１：相互作用は２体間相対距離のみで記述可

能• 仮定２：３体以降も２体衝突の重ね合わせで記述

可能• 表式２：相互作用は運動エネルギーに比べて微少

dVeVV

N

dVdVeVNN

Vedq

TrU

TrUN

N

TqU

)(

)()(

/)(

)()(

12

112

11

2

2

2123

6

)(!

ln /)....,,(/

UFFF

dqedpeN

TF

id

TqqqUTK

Nii

ninteractio

33 211

TUTUe

xx

/~)/(

,~)ln(

1

1

に、先ほどの相互作用の積分を適用し、さらに

dVeV

Nx TrU )( /)( 1

2

2

とおき、次の近似を行うと

7

相互作用に基づく自由エネルギーのー般表式

drrT

U

V

TNF 2

2

ninteractio 42

この方法はＵのｒに対するべき形式を適用して相互作用エネルギーを計算可能である。しかし、ｒのべき数が３以下では即ち、Ｕ～ｒ－３

までは積分は発散し計算できない。

プラズマの相互作用 potential はすでに求めたように　　　　　Ｕ＝ＵＣｏｕｌ o ｍｂ＋ shield=q0/r*exp(-r/L)

即ち、直接この potential を代入しては求めることができない。

8

湯川型相互作用で支配されるプラズマの取り扱い

• 仮定１：プラズマは全体としては中性である。• 仮定２：プラズマは理想気体からわずかにしか

ずれていない（ U<<T)• 仮定３：プラズマ粒子は存在している空間に一

様にしかも互いに独立に分布している。• 仮定４：相互作用は２体間のみとする

Coulomb energy=<0>+interaction ＝ Uself+Uint

　　　　　　　　　 <Uself>=0

• 仮定１：プラズマは全体としては中性である。• 仮定２：プラズマは理想気体からわずかにしか

ずれていない（ U<<T)• 仮定３：プラズマ粒子は存在している空間に一

様にしかも互いに独立に分布している。• 仮定４：相互作用は２体間のみとする

Coulomb energy=<0>+interaction ＝ Uself+Uint

　　　　　　　　　 <Uself>=0

9

• 荷電粒子系の静電エネルギー

iiii

nq

dVdSD

dVDdVD

DdV

DdVEU

02

1

2

12

1

2

12

1

2

1

)()(

単位長さあたりの電気力線のエネルギー＊電束密度

i 番目の電荷の位置に作られる電気ポテンシャルの総和

10

ba ab

ba

ba ab

baself r

qq

r

qqUUU

2

1

2

1int

Uself= ある電荷 qa が自分自身で作る場の静電エネルギー

Uint= ある電荷 qa にそれ以外のすべての電荷が作る場の　　　　静電エネルギー

Debye によると、

Debye

bbrbb

q

r

qe

r

q Debye

000 444

11

熱力学的自由エネルギーと全エネルギー

T

F

TT

T

FTFTSFE 2

これを利用して空間積分の発散を回避しながら、自由エネルギーF を計算し、その空間微分から状態方程式を導出する

エネルギーの温度積分の境界条件：　　　温度を無限大にしたとき相互作用エネルギーが０（仮定２）

2ninteractio T

UdTF int （ § 　３－３ P6～７参照）

12

The equation of state of a plasma

232223

0

nteraction

1

8

1

3

2ZNe

VTF

FFF

ideal

iideal

これを V で微分して

2322

23230

1

8

1

3

1ZNe

TVV

NTP

１．理想気体に比べて圧力は低くなる　２．温度があがると理想気体にちかづく 　　従って核融合プラズマでも理想気体の状態方程式が使える

=> ?=> ?

13

　２． Gas から Plasma へ１．中性ガス＋プラズマの混合状態を考える。　　　　　 n0,nion,ne 　これらがある統計的平衡状態にある状況を　　　　　　仮定する　　 => 熱プラズマ２．これらの気体は理想気体の条件を満たし、　　あるエネルギー状態 E をしめる密度は Boltzmann 分布に従う。 n=g exp(-E/T) T ：気体温度 g: 統計重率

３．中性気体（エネルギー順位 E0) 、一価イオン（エネルギー順位 Ei=E0+Eionization , 電子（運動エネルギー： Pe2/2me ）

４．中性気体の状態数、プラズマの状態数（＝イオン＊電子）の比は

　　　　　　

)exp(mT

P

T

E

g

gg

n

nn eionizationeioneion

20

2

0

14

Saha の熱平衡式• 電離過程は　　　　　　電子と中性ガスの衝突現象　が支配的なので　電子についてはすべて

の運動量に関して積分を実行する。

232

0

2

3

3

0

2

20

))(exp(

)exp()exp(

h

Tm

T

E

g

gg

mT

P

h

pd

T

E

g

gg

n

nn

eionizationeion

eeionizationeioneion

Ge=2S+1=2, gion=(2L+1)(2S+1), g0=(2L’+1)(2S’+1)

15

電離度（ degree of ionization) ０ :gas 1:plasma 　

0

0

0 1 nn

nn

nn

n

ion

ion

ion

ion

電離度を導入し、温度に対して電離度が０から１にどう変化するかを調べる

気体の全圧力が一定の条件下で温度に対する電離度の変化を調べる。

.)()(

)(

constnnTnnnT

nnnTPPPP

ionion

eioneiontotal

000

00

12

16

• Saha 　 Eq

• 圧力の式　　　

0

2

0

23

200

2 22

nn

n

eh

Tm

g

g

n

n

i

TEeiion ionization

)(

00 21

n

nTnP i

17

2

2

2

00

02

00

1

1

121

11

21

T

T

Tnnn

nnn

P

nnn

i

iie

)(

)/(

TEion

i

emTh

gg

TP

2320

2211

こうして、電離度として、圧力一定の条件で T の関数として

を得る。

18

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5000 1　104 1.5　104 2　104 2.5　104

P_const_E-1_data

degree　of　ionization(P=1E-1Pa)degee　of　ionization(P=1E2Pa)ionization　degree(H,P=100kPa)

degree　of　ionization　(H)

temperature(K)

Vi=13.6eV

水素ガスの電離　 Eionization=13.6eV に対する電離度の温度依存