Pirmās kārtas diferenciālvienādojumu

elementārās atrisināšanas metodes

),( xtfdt

dx

)(tfdt

dx dttftx )()(

It 0 t

t

RCdssfCtx0

,)()(

00 )( xtx t

t

dssfxtx0

)()( 0

Secinājumi:

Katrai Košī problēmai vienādojumam eksistē viens vienīgs atrisinājums visā t maiņas intervālā I;

izoklīnas ir taisnes, paralēlas t asij un visas integrāllīnijas ir dabūjamas no jebkuras vienas, izdarot pārbīdi pa x asi.

)(xgdt

dx

0)( xgx

)(

1

xgdx

dt

)(

1)( dx

xgxt

00 )( xtx dssg

txtx

x0 )(

1)( 0

A)

B) 0*)( xgEksistē

*xx

*x kuram

Vienādojumam ir atrisinājums

Secinājumi.

Vienādojuma izoklīnas ir taisnes ar vienādojumiem x=k un, ja ( ) 0g x integrāllīnijas atšķiras tikai ar pārbīdi pa t asi.

Ja 0*)( xg taisne *xx ir vienlaikus izoklīna un

integrāllīnija.

Caur punktiem, kuros 0*)( xg var iet vairākas

integrāllīnijas.

xdt

dx

Piemēri.

1)

0x

0x

xdx

dt 1

Cxlnxt )(

( ) tx t Ce

2)3

1

xdt

dx

0x0x

3

1

xdx

dt .

,2

3)( 3

2

Cxxt RC

02

3

C , ,))(3

2(

,0

)(tCtCt

Ct

tx

Taisnes x=0 punktos atrisinājuma unitāte nepastāv

2

(0) 1

dxx

dtx

3) Atšķirīgs atrisinājuma eksistences intervāls

1(0) 1 ( ) , ] ;1[

11

(0) 1 ( ) , ] 1; [1

x x t tt

x x t tt

http://math.bu.edu/DYSYS/ode-bif/node2.html

Vienādojumi ar atdalāmiem mainīgajiem

)()( xgtfdt

dx

( )( )

( )( )

dxf t dt

g x

dxf t dt

g x

CtFxF )()( 21

Integrē katru pusi atsevišķi!

Substitūcijas metode 1)

( ) dx

f at bx cdt

: ' 'y at bx c y a bx

0b1 1

( ) ( ) ( )

dx dy dya a f y

dt b dt b dt

( )dy

a bf ydt

:

' ' 1

y x t

x y

Piemērs.

Piezīme: zaļā izoklīna norāda integrāllīniju ekstrēmu punktus.

2) Homogēni vienādojumi

dx xf

dt t

:x

z x ztt

Substitūcija

( )dx dz

t zdt

dzt z f z

dtdt

ln( )

dzt

f z z

Atdalot mainīgos un integrējot:

Piemērs. 2 2'tx x t x t x

2' 1u t u x=ut

21 arcsin ln

1

sin(ln ) ( ) sin(ln( )

duu dt u t C

u

u t C x t t t C

x t vienlaikus ir integrāllīnijas un izoklīnas.

(1) 1x ( )

( ) sin(ln 2 ), 2

x t t

x t t t k k Z

apmierina atrisinājumi

Piemērs.

2

222

x

yxy

> with(DEtools):> DEplot([diff(t(s),s)=t(s),diff(x(s),s)=x(s)+sqrt((t(s))^2-(x(s))^2)] ,[t(s),x(s)],s=0..4,t=-3..3,x=-3..3,[[t(2)=-2,x(2)=1],[t(2)=1,x(2)=1],[t(2)=1,x(2)=-1],[t(1)=-2,x(1)=-1],[t(1.2)=-2,x(1.2)=0],[t(2)=-1,x(2)=1],[t(2)=-1,x(2)=-1],[t(0.5)=2,x(0.5)=-1.5],[t(1.2)=2,x(1.2)=0],[t(1.5)=2,x(1.5)=1]],arrows=small,stepsize=0.01,color=black,linecolor=blue);

Lineāri pirmās kārtas vienādojumi

( ) ( )dx

p t x q tdt

dxp(t)x

dt Lineārs homogēns vienādojums

Lineārs nehomogēns vienādojums

p(t)dtx

dx p(t)dtxln

t

t

Cdsspx0

ln)(ln

0

( ) exp ( )t

t

x t C p s ds

Definē

t

t

p(s)ds(t)x0

exp1

Lineārā homogēnā vienādojuma vispārīgais atrisinājums ir partikulārā atrisinājuma reizinājums ar patvaļīgu konstanti

1( )x ux t

Lineārā nehomogēnā vienādojuma atrisināšanai substitūcija (konstantes variācijas metode):

q(t)(t)p(t)x(t)dt

dxu

dt

du(t)x 1

11

tq(t)xdt

du1 )p(s)ds(tq

dt

du t

t0

exp

)dz)p(s)ds(z(qCu(t)t

t

z

t 0 0

exp

0 0 0 0

exp exp( )exp( ( )exp( ( ) ) )t t t z

t t t t

x(t) C p(s)ds p(s)ds q z p s ds dz

0 0 0( ) x t x C x

Katrai Košī problēmai ir viens pats atrisinājums, kurš eksistē visā koeficientu nepārtrauktības intervālā.

Vienādojuma vispārīgais atrisinājums ir summa, kuras pirmais saskaitāmais ir lineārā homogēnā vienādojuma vispārīgais atrisinājums, bet otrs lineārā nehomogēnā vienādojuma partikulārs atrisinājums

2tt

x

dt

dx

Piemērs.

hom ( )dx x

x t Ctdt t

Substitūcija x=ut2tuutu

tu Ct

u(t) 2

2

2

3tCtx(t)

http://www.math.duke.edu/education/ccp/materials/diffeq/sprints/sprints1.html

sol1=DSolve[{y'[x]==-y[x]+Sin[3*x],y[0]==-2},y[x],x] sol2=DSolve[{y'[x]==-y[x]+Sin[3*x],y[0]==0},y[x],x]sol3=DSolve[{y'[x]==-y[x]+Sin[3*x],y[0]==2},y[x],x]plot1=Plot[Evaluate[y[x]/.sol1],{x,-1,6}]

-1 1 2 3 4 5 6

-1.5

-1

-0.5

-1 1 2 3 4 5 6-0.25

0.25

0.5

0.75

1

1.25

-1 1 2 3 4 5 6-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

sol2

sol3

Show[Out[9],Out[10],Out[13]]

-1 1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

Plot[Evaluate[y[x]/.{sol1,sol2,sol3}],{x,-1,6}]

Vispārīgo atrisinājumu atrod:

gensol=DSolve[y'[x]==-y[x]+Sin[3*x],y[x],x]

toplot=Table[C[1]*Exp[-x]-0.3*Cos[3*x]+0.1*Sin[3*x] /. C[1]->2*i,{i,-1,1}];Plot[Evaluate[toplot],{x,-1,6}]

To pašu var atrast arī citādi:

de:= diff(x(t),t)=-x(t)+t^2;

xq:=dsolve(de,x(t));

xq := x(t) = t^2-2*t+2+exp(-t)*_C1

x1:=dsolve((de,x(0)=2),x(t));

Maple

with(DEtools):DEplot(diff(x(t),t)=-x(t)+t^2 ,x(t),t=-3..3,x=-4..4,{[0,-1],[0,0],[0,1],[0,2],[0,-2],[0,3],[1,2.2],[1.5,-1]},arrows=none,stepsize=0.1,linecolor=blue);

Bernulli vienādojums

x p(t)x q(t)x

R, 0, 1

x0 q(t)p(t)x

dt

dxx 1

1: xzSubstitūcija

q(t)p(t)zdt

dz

1

1Lineārs vienādojums

Eksakts vienādojums

0f(t,x)dt g(t,x)dx , ja

g(t,x)dxf(t,x)dtdF

( , )0 F tdF x C

Nepieciešamais un pietiekamais nosacījums, lai vienādojums būtu eksakts

t

g

x

f

tx

xtx

2

22

Piemērs

dtxdtttxdx 222

)t(xx

tx)(t

222

dttdtxtxdx 222

Ct

tx 3

32

<<Graphics`PlotField`p1=PlotVectorField[{x*Sin[y]+Sin[x]-1,Cos[y]-y*Cos[x]},{x,0,4*Pi},{y,0,4*Pi}]

Piemērs zīmējumam ar Mathematica

toplot=-x*Cos[y[x]]-y[x]+Sin[x]*y[x] /. y[x]->ycp1=ContourPlot[toplot,{x,0,4*Pi},{y,0,4*Pi},ContourShading->False,PlotPoints->100]

0 2 4 6 8 10 12

0

2

4

6

8

10

12

Show[cp1,p1]

0 2 4 6 8 10 12

0

2

4

6

8

10

12

sol2[i_]=NDSolve[{y'[x]==Sin[2*x-y[x]],y[0]==i},y[x],{x,-5,5}];inits=Table[0.5*i,{i,1,10}];interpfunctions2=Map[sol2,inits];Plot[Evaluate[y[x] /.interpfunctions2],{x,-5,5}]

-4 -2 2 4

1

2

3

4

5

6

7

Zīmējuma piemērs

http://math.stcc.mass.edu/DiffEq/DiffEQ.html

http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq/ http://

http://legacy.ncsu.edu/classes-a/maple_info/www/Ma341Maple.html

http://www.math.udel.edu:80/teaching/course_materials/M302/monk/notes/book.html

Vienādojuma tips Risināšanas metode Piezīmes

)(tfdt

dx t

t

dssfxtx0

)()( 0 Izoklīnas ir vertikālas taisnes, paralēlas t asij

)(xgdt

dx

:0)( xg

duug

txtx

x0

)(

1)( 0

Izoklīnas ir horizontālas taisnes, paralēlas x asij. Ievērot: ja 0*)(:* xgx , taisne

*xx ir integrāllīnija, kuras punktos var nepastāvēt atrisinājuma unitāte

)()( xgtfdt

dx

:0)( xg

dttfxg

dxdttf

xg

dx)(

)()(

)(

Vienādojums ar atdalāmiem mainīgajiem

0

)(

b

cbxatfdt

dx

Substitūcija

)(1

:

zfadt

dz

b

cbxatz

Izoklīnas ir taisnes, paralēlas taisnei 0 cbxat Zīmējot meklēt integrāllīnijas, kuras sakrīt ar izoklīnām.

t

xf

dt

dx

Substitūcija

)(: ufudt

dut

t

xu

Homogēns vienādojums Izoklīnas ir stari, kuri iziet no koordinātu sākuma punkta.

)()( tqxtpdt

dx

Atrisinājumu meklē formā uvx Ja u izvēlas tā, lai utpu )( , v apmierina vienādojumu

)()( tqvtu . Atrisinājuma atklātā izteiksme

dtetqeCetxdttpdttpdttp

)()()(

)()(

Lineārs vienādojums. Cux ir lineārā homogēna

vienādojuma xtpx )( vispārīgais atrisinājums. Vispārīgais atrisinājums ir formā

wCux , kur w ir nehomogēnā vienādojuma partikulārs atrisinājums

1,0

,)()(

xtqxtpdt

dx

Substitūcija

)()(1

1: 1 tqztp

dt

dzxz

reducē uz lineāro vienādojumu

Bernulli vienādojums

)(

)()( 2

tr

xtqxtpdt

dx

Ja 1x ir vienādojuma partikulārs atrisinājums, substitūcija

)(: 1 txxz pārvērš šo par Bernulli tipa vienādojumu.

Rikati vienādojums Vispārīgā gadījumā atrisinājums nav izsakāms ar integrāļiem no elementārām funkcijām

dxxtgdtxtfdF

F

dxxtgdtxtf

),(),(

:

,0),(),(

CxtFdF ),(0 integrēt sistēmu

),(

),(

xtgF

xtfF

x

t

Vienādojums pilnos diferenciāļos, eksakts vienādojums

Pazīme t

g

x

f

0),(),( dxxtgdtxtf

t

g

x

f

Meklē ),( xt tā, lai 0 gdxfdt būtu

vienādojums pilnos diferenciāļos

sauc par integrējošo reizinātāju Vispārīgas metodes atrašanai nav.