Phương trình lượng giác bậc một theo Sin ,Cos

DANAMATH

www.toanhocdanang.com

www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang

ĐẠI SỐ 11

GV:Phan Nhật Nam

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN, COS

http://www.toanhocdanang.com/


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com


Kiến thức chẩn bị

Phương trình lượng giác cơ bản

1. 2

sin sin sin2

x kx a x

x k

(với 1 1a )

2. 2

cos cos cos2

x kx a x

x k

(với 1 1a )

3. tan tan tanx a x x k

4. cot cot cotx a x x k

Trường hợp riêng:

sin 1 22

x x k

, sin 1 22

x x k

, sin 0x x k

cos 1 2x x k , cos 1 2x x k , cos 02

x x k

Công thức thường dùng trong bài viết :

Hạ bậc:

2 21 cos 2 1 cos 2,

2 2

a asin a cos a

3 33sin sin 3 3cos cos3

,4 4

a a a asin a cos a

Biến đổi tích thành tổng :

)sin()sin(2

1cos.sin

)cos()cos(2

1sin.sin

)cos()cos(2

1cos.cos

bababa

bababa

bababa

Biến đổi tổng thành tích:

cos cos 2cos .cos cos cos 2sin .sin2 2 2 2

sin sin 2sin .cos sin sin 2cos .sin2 2 2 2

a b a b a b a ba b a b

a b a b a b a ba b a b

Công thức cộng:

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin

a b a b a b

a b a b a b




Dấu hiệu :

Dạng cơ bản : cxbxa )(cos)(sin. (1)

với 2 2 2a b c

222222

)(cos)(sin)1(ba

cx

ba

bx

ba

a

)(2)(

2)(sin))(sin( Zk

kx

kxx

Với sin;sin;cos222222

ba

c

ba

b

ba

a

Chú ý : Phương trình (1) có 2 2 2a b c thì nó vô nghiệm.

Các dạng phương trình sau có thể giải được bằng phương pháp trên

Dạng MR 1:

)(cos.

)(sin.)(cos)(sin.

xc

xcxbxa

Với ĐK:

222 cba

Dạng MR 2: )(cos)(sin)(cos)(sin. 2211 xbxaxbxa Với ĐK: 2

2

2

2

2

1

2

1 baba

Dạng MR 3: 02cos2sin3;cos3sin xxxxf

hoặc 02cos32sin;cos3sin xxxxf

Chú ý: (quan trọng)

Trong PTLG có chứa 3 thì thông thường ta có 2 hướng sử lý như sau:

Hướng 1: (dùng cho pt chứa bậc cao và dạng tích của hai biểu thức lượng giác)

Sử dụng công thức hạ bậc và tích thành tổng để quy tất cả các số hạng về bậc 1

và không còn tích khi đó ta sẽ có được phương trình ở một trong bốn dạng trên

Hướng 2: (dùng cho pt không chứa bậc cao)

Sử dụng công thức tổng thành tích, nhân đôi để biến đổi phương trình

về dạng phương trình tích

Dấu hiệu sử dụng công thức tổng thành tích: PT chứa 2 số hạng thỏa mãn:

cùng loại hàm (sin hoặc cos), cùng hệ số, cùng tính chẵn, lẻ của cung

Thông thường phương trình chứa 3




Ví dụ 1: (B – 2009 ) Giải pt : 3sin cos .sin 2 3cos3 2(cos4 sin )x x x x x x

Bình luận : Dễ thấy PT chứa 3 và có bậc cao ( 3sin x ) và có dạng tích ( cos .sin 2x x )

Do đó ta sẽ giải bài này theo hướng 1: sử dụng công thức hạ bậc , tích thành tổng

Giải:

1 3sin sin 3

sin in 3 sin 3 cos3 2 cos 42 4

x xpt x s x x x x

1 1 3 1

sin in 3 in 3 cos3 2cos 4 sin sin 32 2 2 2

x s x s x x x x x

in3 3 cos3 2cos4s x x x (Dạng mở rộng 1)

1 3

in 3 cos3 cos 42 2

s x x x cos3 cos sin 3 sin cos 46 6

x x x

4 3 2 26 6

cos 4 cos 326

4 3 26 42 7

x x k x k

x x

x x k x k

Ví dụ 2: (A – 2013) Giải pt: 3sin 2 cos 2 2cos 1x x x

Bình luận : Dễ thấy PT chứa 3 và tất cả các số hạng đều ở dạng bậc một. Do

đó ta sẽ giải ví dụ này theo hương 2 – quy về dạng phương trình tích

Giải:

22 3sin cos 2cos 1 2cos 1pt x x x x

22 3 sin cos 2cos 1 2cos 1 cos 3 sin cos 1 0x x x x x x x

cos 0

2

3 sin cos 1 (1)

x x k

x x

3 1 1

(1) 3 sin cos 1 sin cos2 2 2

x x x x

2223 3

cos cos 33 3

223 3

x kx k

x

x kx k




Ví dụ 3: Giải pt: 2sin6 2sin 4 3 os2 3 sin 2x x c x x

4cos5 sin 3 os2 3 sin 2x x c x x

24cos5 sin 3 1 2sin 3 2sin cosx x x x x

2sin 2cos5 3 sin cos 0x x x x

(1)

sin 0

cos 3 sin 2cos5

x x k

x x x

1 3

(1) cos sin cos52 2

x x x

12 2cos cos sin sin cos5 cos5 cos

3 3 3

18 3

x k

x x x x x

x k

Ví dụ 4: Giải pt: 22cos3 .cos 3 1 sin 2 2 3 cos 24

x x x x

Ta có: 2cos3 .cos cos4 cos2x x x x

2

1 cos 4 1 cos 4 cos sin 4 sin1 sin 42 2 2cos 2

4 2 2 2

x x xx

x

Do đó :

cos4 cos2 3 3sin 2 3 3sin 4pt x x x x

cos 4 3sin 4 cos 2 3sin 2 0x x x x

1 3 1 3

cos 4 sin 4 cos 2 sin 2 02 2 2 2

x x x x

cos 4 cos 2 03 3

cos 02 2

2cos 3 cos 0cos 3 03

333 2 18 3

x x

x x k x k

x xx

x k x k

Dấu hiệu sử dụng công

thức: Tổng thành tích

Mục tiêu: chuyển về phương trình tích nên

ta phải phân tích các số hạng còn lại

phải xuất hiện sin x hoặc cos5x

DD Dạng MR 1

Dấu hiệu sử sụng công thức

tích thành tổng và hạ bậc

Dạng MR 2 hoặc MR3




Ví dụ 5: (A – 2009 ) Giải phương trình .

Điều kiện:

22

sin 1

216sin

27

26

x k

x

x kx

x k

Khi đó phương trình tương đương với phương trình sau:

2cos 2sin cos 3 1 sin 2sinx x x x x

cos sin 2 3 cos 2 3sinx x x x

cos 3sin 3 cos 2 sin 2x x x x

cos cos 23 6

x x

2 2 2 ( )6 3 2

22 2

18 36 3

x x k x k loai

x kx x k

Bài tập áp dụng:

Bài 1: (B – 2012 ) Giải phương trình : 2 cos 3 sin cos cos 3 sin 1x x x x x

Bài 2: Giải phương trình : sin 2 cos 3 cos 2 sin

02sin 2 3

x x x x

x

Bài 3: Giải phương trình : xx

xsin

1

cos

3sin8

Bài 4: Giải phương trình :

4sin .sin 5 3 sinx 3(cos 2)3

11 2cos

x x x

x

Bài 5: Giải phương trình : 2sin 1 os2 s inx 1

3 2cos3 s inx sin 2

x c xx

x

Bài 6: Giải phương trình : tan cos3 2cos 2 1

3 sin 2 cos1 2sin

x x xx x

x

Bài 7: Giải phương trình : 2cos6 2cos4 3cos2 sin 2 3x x x x

Bài 8: Giải phương trình : 2sin .sin 4 2 2 os 4 3 os sin cos 2

6x x c x c x x x

(1 2sin x)cos x3

(1 2sin x)(1 sin x)

Dạng MR 2




Bài 9: Giải phương trình : sin 3 2sin 4

tan 2 3 os2cos

x xx c x

x

Bài 10: Giải phương trình : 2sin 1 cos 2 2cos 7sin 5

2cos 3 cos 2 2cos 1 3(cos 1)

x x x x

x x x x

Bài 11: Giải phương trình : 2

3 4 2sin 22 cot 1 3

cos sin 2

xx

x x

Bài 12: Giải phương trình : 2 2

3 4sin 2 2sin 43

6sin 2cos

sin3

x x

x x

x


Phương trình lượng giác bậc một theo Sin ,Cos

Education

Transcript of Phương trình lượng giác bậc một theo Sin ,Cos