phương pháp tính - lebaohoang05dhth3.files.wordpress.com · xxxxxn q-a£---=-=-Ta nhận...
-
Upload
trinhkhanh -
Category
Documents
-
view
235 -
download
0
Transcript of phương pháp tính - lebaohoang05dhth3.files.wordpress.com · xxxxxn q-a£---=-=-Ta nhận...
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 1
GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÍNH
***Giải bài tập dựa trên:
Sách Phương pháp tính
Nguyễn Thành Long- Nguyễn Công Tâm- Lê Thị Phương Ngọc- Nguyễn Văn Ý
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM -2013***
Chương 1: SAI SỐ
Câu 9: (Trần Đình Trọng)
Ta có: a = 12,3075 là số gần đúng có 2 chữ số đáng nghi:
=> 20,5.10a -D £ ;2
40,5.10 4,0626.1012,3075
aaa
d-
-D= = =
Chương 2: GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1:
a/ x3+3x2-3=0 , sai số 10-3 trong khoảng phân ly nghiệm (-3,-2).
Giải:
Ta có: 2 2 3
2 3log 1 log 10,9710
b ane -
- - +é ù é ù= + = »ê ú ê úë û ë û
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 2
( ) ( )3 3 0 , 2 1 0f f- = - < - = >
3 2 2,52
c - -= =
( ) ( )2,5 0f c f b c= - > Þ =
Ta có bảng:
n an bn 2
n nn
a bc += ( )nf c bn - an
0 -3 -2 -2,5 0,125 1 1 -3 -2,5 -2,75 -1,109375 0,5 2 -2,75 -2,5 -2,625 -0,416015625 0,25 3 -2,625 -2,5 -2,5625 -0,127197266 0,125 4 -2,5625 -2,5 -2,53125 0,003387451 0,0625 5 -2,5625 -2,53125 -2,546875 -0,060771942 0,03125 6 -2,546875 -2,53125 -2,5390625 -0,028410435 0,015625 7 -2,5390625 -2,53125 -2,53515625 -0,012441218 0,0078125 8 -2,53515625 -2,53125 -2,533203125 -0,004509337 0,00390625 9 -2,533203125 -2,53125 -2,532226563 -0,000556559 0,001953125 10 -2,532226563 -2,53125 -2,531738281 0,001416542 0,000976563 11 -2,532226563 -2,531738281 -2,531982422 0,000430265 0,000488281 Vậy: c =-2,531982422 là nghiệm của phương trình.
b/ x3-6x+2=0 , sai số 10-3 trong khoảng phân ly nghiệm (2,3).
Giải:
Ta có: 2 2 3
1log 1 log 1110
b ane -
-é ù é ù= + = »ê ú ê úë û ë û
( ) ( ) -2 0 , 11 0a bf f= < = >
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 3
Ta có bảng:
n an bn 2
n nn
a bc += ( )nf c bn - an
0 2 3 2,5 2,625 1 1 2 2,5 2,25 -0,109375 0,5 2 2,25 2,5 2,375 1,146484375 0,25 3 2,25 2,375 2,3125 0,491455078 0,125 4 2,25 2,3125 2,28125 0,184356689 0,0625 5 2,25 2,28125 2,265625 0,035831451 0,03125 6 2,25 2,265625 2,2578125 -0,037185192 0,015625 7 2,2578125 2,265625 2,26171875 -0,000780404 0,0078125 8 2,26171875 2,265625 2,263671875 0,017499618 0,00390625 9 2,26171875 2,263671875 2,262695313 0,008353134 0,001953125 10 2,26171875 2,262695313 2,262207031 0,003784747 0,000976563 11 2,26171875 2,262207031 2,261962891 0,001501767 0,000488281 Vậy: c = 2,261962891 là nghiệm của phương trình.
c/ 2x-5x-3=0 , sai số 10-3 trong khoảng phân ly nghiệm (4,5).
Giải:
Ta có: 2 2 3
1log 1 log 1110
b ane -
-é ù é ù= + = »ê ú ê úë û ë û
( ) ( ) -7 0 , 4 0f fa b= < = >
Ta có bảng:
n an bn 2
n nn
a bc += ( )nf c bn - an
0 4 5 4,5 -2,872583002 1 1 4,5 5 4,75 0,158685288 0,5
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 4
2 4,5 4,75 4,625 -1,449626793 0,25 3 4,625 4,75 4,6875 -0,669654689 0,125 4 4,6875 4,75 4,71875 -0,26166235 0,0625 5 4,71875 4,75 4,734375 -0,053049715 0,03125 6 4,734375 4,75 4,7421875 0,052425374 0,015625 7 4,734375 4,7421875 4,73828125 -0,000410008 0,0078125 8 4,73828125 4,7421875 4,740234375 0,025983191 0,00390625 9 4,73828125 4,740234375 4,739257813 0,012780472 0,001953125 10 4,73828125 4,739257813 4,738769531 0,006183703 0,000976563 11 4,73828125 4,738769531 4,738525391 0,002886465 0,000488281 Vậy: c =4,738525391 là nghiệm của phương trình.
d/ x3-x-1=0 , sai số 10-3 trong khoảng phân ly nghiệm (1,2).
Giải:
Ta có: 2 2 3
1log 1 log 1110
b ane -
-é ù é ù= + = »ê ú ê úë û ë û
( ) ( ) -1 0 , 5 0f fa b= < = >
Ta có bảng:
n an bn 2
n nn
a bc += ( )nf c bn - an
0 1 2 1,5 0,875 1 1 1 1,5 1,25 -0,296875 0,5 2 1,25 1,5 1,375 0,224609375 0,25 3 1,25 1,375 1,3125 -0,051513672 0,125 4 1,3125 1,375 1,34375 0,082611084 0,0625 5 1,3125 1,34375 1,328125 0,014575958 0,03125 6 1,3125 1,328125 1,3203125 -0,018710613 0,015625
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 5
7 1,3203125 1,328125 1,32421875 -0,002127945 0,0078125 8 1,32421875 1,328125 1,326171875 0,00620883 0,00390625 9 1,32421875 1,326171875 1,325195313 0,002036651 0,001953125 10 1,32421875 1,325195313 1,324707031 -4,65949.10-3 0,000976563 11 1,324707031 1,325195313 1,324951172 0,000994791 0,000488281 Vậy: c =1,324951172 là nghiệm của phương trình.
e/ x3-x-1=0 , sai số 10-3 trong khoảng phân ly nghiệm (-0,8;-0,5).
Giải:
Ta có: 2 2 3
0,3log 1 log 610
b ane -
-é ù é ù= + = »ê ú ê úë û ë û
( ) ( ) 0,486 >0 , -0,75<0af f b= =
Ta có bảng:
n an bn 2
n nn
a bc += ( )nf c bn - an
0 -0,8 -0,5 -0,65 -0,36 0,3 1 -0,8 -0,65 -0,725 -0,021 0,15 2 -0,8 -0,725 -0,7625 -0,2058 0,075 3 -0,7625 -0,725 -0,74375 -0,0866 0,02125 4 -0,74375 -0,725 -0,734375 0,0314 0,01875 5 -0,734375 -0,725 -0,7296875 4,88.10-3 9,375. 10-3 6 -0,7296875 -0,725 -0,7273375 8,18. 10-3 4,469. 10-3 Vậy: c =-0,7273375 là nghiệm của phương trình.
Bài 2:
a/ (Trần Đình Trọng)
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 6
3 23 3 0x x+ - = với sai số 10-4 trong khoảng phân ly nghiệm (-3,-2)
· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số
( )
3 22
2
33 3 3
3 3
x x xx
xx
j
= - Û = -
Þ = -
( ) ( )3
2' 0, 3; 2 .x xx
j-
= ³ " Î - - Do đó là hàm tăng trên[-3,-2]
Vậy:
[ ]8 93 ( 3) ( ) ( 2) 2, 3; 23 4
x xj j j- -
- < = - £ £ - = < - " Î - -
Mặt khác, ta có [ ]
( )3; 2
1max ' 14x
q xjÎ - -
= = < . Vậy hàm ( )xj thỏa mãn yêu cầu của
phương pháp lặp.
Chọn x0= 2 3 2,52
- + -= - . Tính các giá trị x1,x2,… theo công thức lặp
( )1
1 2
3 3, 1, 2,...n
n nx x nx
j-
-= = - =
Ta nhận được dãy lặp này hội tụ và có đánh giá sai số
1 11 , 1,2,...
1 3n n n n nqx x x x x n
qa - -- £ - = - =
-
Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây:
n ( )1n nx xj -= 1
13 n nx x --
1 -2,52 6,666.10-3
2 -2,52759 2,53. 10-3
3 -2,53042 9,433.10-3
4 -2,53147 3,5.10-4
5 -2,53186 1,3. 10-4
6 -2,53200 4,66667. 10-5
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 7
Vậy x6=2,53200 54,66667.10-± là nghiệm gần đúng thỏa mãn yêu cầu về sai số.
b/ (Trần Đình Trọng)
3 6 2 0x x- + = với sai số 10-5 trong khoảng phân ly nghiệm (2,3)
· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số:
Chọn [2,3]
max '( ) 21x
M f xÎ
= = . Đặt:
( ) ( ) 3 36 2 27 221 21
f x x x x xx x xM
j- + - + -
= - = - =
( ) ( )23 27' 0, 2;3 .21
xx xj- +
= ³ " Î Do đó là hàm tăng trên[2,3]
Vậy:
[ ]41 522 (2) ( ) (3) 3, 2;321 21
x xj j j< = £ £ = < " Î
Mặt khác, ta có [ ]
( )2;3
5max ' 17x
q xjÎ
= = < . Vậy hàm ( )xj thỏa mãn yêu cầu của
phương pháp lặp.
Chọn x0= 2 3 2,52+
= . Tính các giá trị x1,x2,… theo công thức lặp
( )3
1 11
27 1, 1, 2,...21
n nn n
x xx x nj - --
- + += = =
Ta nhận được dãy lặp này hội tụ và có đánh giá sai số
1 12,5 , 1, 2,...1n n n n n
qx x x x x nq
a - -- £ - = - =-
Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây:
n ( )1n nx xj -= 12,5 n nx x --
1 2,517857 0,0446425
2 2,524758 0,0172525
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 8
3 2,527364 6,515. 10-3
4 2,528339 2,4375. 10-3
5 2,528702 9,075.10-4
6 2,528838 3,4.10-4
7 2,528888 1,25.10-4
8 2,528906 4,5.10-5
9 2,528914 2.10-5
10 2,528916 5.10-6
Vậy x10=2,528916 65.10-± là nghiệm gần đúng thỏa mãn yêu cầu về sai số.
c/(Trần Đình Trọng)
2 5 3 0x x- - = với sai số 10-4 trong khoảng phân ly nghiệm (4,5)
· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số
( )( ) ( )
2
2
2 5 3 log 5 3
log 5 3
x x x x
x xj
= + Û = +
Þ = +
( ) ( ) ( )5' 0, 4;5 .5 3 ln 2
x xx
j = ³ " Î+
Do đó là hàm tăng trên[4,5]
Vậy:
( ) ( ) [ ]2 24 log 23 (4) ( ) (5) log 28 5, 4;5x xj j j< = £ £ = < " Î
Mặt khác, ta có [ ]
( ) ( )4;5
5max ' 0,3136 123ln 2x
q xjÎ
= = » < . Vậy hàm ( )xj thỏa mãn
yêu cầu của phương pháp lặp.
Chọn x0= 4 5 4,52+
= . Tính các giá trị x1,x2,… theo công thức lặp
( ) ( )1 2log 5 3 , 1,2,...n nx x x nj -= = + =
Ta nhận được dãy lặp này hội tụ và có đánh giá sai số
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 9
1 10, 4569 , 1,2,...1n n n n n
qx x x x x nq
a - -- £ - = - =-
Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây:
n ( )1n nx xj -= 10,4569 n nx x --
1 4,67243 0,07878
2 4,72039 0,02191
3 4,73346 5,9397.10-3
4 4,73700 1,617426.10-3
5 4,73796 4,38624.10-4
6 4,73822 1,18794.10-4
7 4,73829 3,1983.10-5
Vậy x7= 54,73829 3,1983.10-± là nghiệm gần đúng thỏa mãn yêu cầu về sai số.
d/ (Trần Đình Trọng)
3 1 0x x- - = với sai số 10-5 trong khoảng phân ly nghiệm (1,2)
· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số:
Chọn [1,2]
max '( ) 11x
M f xÎ
= = . Đặt:
( ) ( ) 3 31 12 111 11
f x x x x xx x xM
j- + - + +
= - = - =
( ) ( )23 12' 0, 1;2 .11
xx xj- +
= ³ " Î Do đó là hàm tăng trên[2,3]
Vậy:
[ ]12 171 (1) ( ) (2) 2, 1;211 11
x xj j j< = £ £ = < " Î
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 10
Mặt khác, ta có [ ]
( )2;3
9max ' 111x
q xjÎ
= = < . Vậy hàm ( )xj thỏa mãn yêu cầu của
phương pháp lặp.
Chọn x0= 2 1 1,52+
= . Tính các giá trị x1,x2,… theo công thức lặp
( )3
1 11
12 1, 1,2,...11
n nn n
x xx x nj - --
- + += = =
Ta nhận được dãy lặp này hội tụ và có đánh giá sai số
1 11,5 , 1, 2,...1n n n n n
qx x x x x nq
a - -- £ - = - =-
Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây:
n ( )1n nx xj -= 11,5 n nx x --
1 1,420455 0,119318 2 1,379947 0,060762 3 1,357418 0,0337935 4 1,344351 0,0196005 5 1,336599 0,011628 6 1,331942 0,0069855 7 1,329122 0,00423 8 1,327408 0,002571 9 1,326362 0,001569 10 1,325724 0,000957 11 1,325334 0,000585 12 1,325095 0,0003585 13 1,324949 0,000219 14 1,324859 0,000135 15 1,324804 8,25.10-5 16 1,324771 4,95.10-5 17 1,32475 3,15.10-5
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 11
18 1,324738 1,8.10-5 19 1,32473 1,2.10-5 20 1,324725 7,5.10-6
Vậy x20=1,324725 67, 5.10-± là nghiệm gần đúng thỏa mãn yêu cầu về sai số.
Bài 3:
b/ (Trần Đình Trọng)
3 20,2 0,2 1, 2 0x x x- - - = trên (1; 1,5) với sai số ε = 0,003
Ta có:
( ) ( ) ( )2' 3 0,4 0,2; '' 6 0,4; ''' 6f x x x f x x f x= - - = - =
( )( ) ( )'' 0 0,4 [1;1,5],
' 1,5 5,95; ' 1 2,4
f x x
f f
= Û = Ïìïí
= =ïî
Suy ra:
( )
( )1 1,5
1 1,5
'( ) 0, [1;1,5]
min ' 2, 4
max '' 8,6x
x
f x xm f x
M f x£ £
£ £
ì> " Îï
ï = =íïï = =î
· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số:
Chọn x0=1,5(vì ( )(1,5) '' 0, [1;1,5]f f x x> " Î
· Đánh giá sai số
1 143 , 1,2,...
2 24n n n n nMx x x x x nm
a - -- £ - = - =
Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây:
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 12
n ( )( )
11
1'n
n nn
f xx x
f x-
--
= - 2
14324n n nx x -D = -
0 1,5
1 1,260504 43/24(0,239496)2=0,429097
2 1,203173 5,234.10-3
3 1,200010 1,79249.10-5
· Đến bước k =3 thì 2
14324n n nx x -D = - =1,79249.10-5<0,003 thoả mãn yêu cầu bài
toán. Vậy nghiệm của phương trình là:
51,791, 2 249000 01 .1a -= ±
c/(Trần Đình Trọng)
3 3 5 0x x+ + = với độ chính xác 10-2
Ta tìm được khoảng ly nghiệm: [-1,5;-1]
Ta có:
( ) ( ) ( )2' 3 3; '' 6 ; ''' 6f x x f x x f x= + = =
( )( ) ( )'' 0 0 [-1,5;-1],
' 1,5 9, 45; ' 1 6
f x x
f f
= Û = Ïìïí
- = - =ïî
Suy ra:
( )
( )1,5 1
1,5 1
'( ) 0, [-1,5;-1]
min ' 6
max '' 9x
x
f x xm f x
M f x- £ £-
- £ £-
ì> " Îï
ï = =íïï = =î
· Kiểm tra (-1,5;-1) là khoảng ly nghiệm.
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 13
Ta có:
( ) ( )( )
( ) lien tuc tren [-1,5;-1]1,5 1 2,875 0
' 0, [-1,5;-1]
f xf f
f x x
ìï
- - = - <íï > " Îî
· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số:
Chọn x0=-1,5(vì ( )( 1,5) '' 0, [-1,5;-1]f f x x- > " Î
· Đánh giá sai số
1 13 , 1,2,...
2 4n n n n nMx x x x x nm
a - -- £ - = - =
Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây:
n ( )( )
11
1'n
n nn
f xx x
f x-
--
= - 2
134n n nx x -D = -
0 -1,5
1 -1,205128 0,065212
2 -1,155430 1,852.10-3
· Đến bước k =2 thì 2
134n n nx x -D = - =1,852.10-3<10-2 thoả mãn yêu cầu bài toán.
Làm tròn số: x=-1,154172≈-1,154 Sai số làm tròn
24
2 1,72.10' x x -- = -
Sai số cuối cùng: 3
2 24 3
2 1,72.10 2,024' ' 1,85 . .102 10nx x xa - --- £ - + D £ + »
Vậy nghiệm của phương trình là: 32,01 2,1 4.154 0a -- ±=
d/(Trần Đình Trọng)
4 3 1 0x x+ + = với độ chính xác 10-2
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 14
Ta tìm được khoảng ly nghiệm: [-0,5;-0,25]
Ta có:
( ) ( ) ( )3 2' 4 3; '' 12 ; ''' 24f x x f x x f x x= + = =
( )( ) ( )'' 0 0 [-0,5;-0,25],
' 0,5 2,5; ' 0, 25 2,9375
f x x
f f
= Û = Ïìïí
- = - =ïî
Suy ra:
( )
( )0,5 0,25
0,5 0,25
'( ) 0, [-0,5;-0,25]
min ' 2,5
max '' 0,75x
x
f x xm f x
M f x- £ £-
- £ £-
ì> " Îï
ï = =íïï = =î
· Kiểm tra (-0,5;-0,25) là khoảng ly nghiệm.
Ta có:
( ) ( )
( )
( ) lien tuc tren [-0,5;-0,25]4550,5 0, 25 0
4096' 0, [-0,5;-0,2]
f x
f f
f x x
ìïï - - = - <íïï > " Îî
· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số:
Chọn x0=-0,25(vì ( )( 0,25) '' 0, [-0,5;-0,25]f f x x- > " Î
· Đánh giá sai số
1 13 , 1,2,...
2 2n n n n nMx x x x x nm
a - -- £ - = - =
Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây:
n ( )( )
11
1'n
n nn
f xx x
f x-
--
= - 2
132n n nx x -D = -
0 -0,25
1 -0,336436 0,011206
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 15
2 -0,337666 2,26935. 10-6
· Đến bước k =2 thì 2
132n n nx x -D = - =2,26935. 10-6<10-2 thoả mãn yêu cầu bài
toán. Vậy nghiệm của phương trình là:
60,337666 2, 26935.10a -- ±=
e/(Trần Đình Trọng)
4 23 75 10000 0x x x- + - = với 5 chữ số chắc ( đáng tin)=> nD <0,5.10-4
· Ta tìm được khoảng ly nghiệm: [5;5,5]
Ta có:
( ) ( ) ( )3 2' 4 6 75; '' 12 6 ; ''' 24f x x x f x x x f x x= - + = - =
Suy ra:
( )
( )5 5,5
5 5,5
'( ) 0, [5;5,5]
min ' 545
max '' 357x
x
f x xm f x
M f x£ £
£ £
ì> " Îï
ï = =íïï = =î
· Kiểm tra (5;5,5) là khoảng ly nghiệm.
Ta có:
( ) ( )( )
( ) lien tuc tren [ ]5,5 5 0
' 0
5;5,5
5;5,[ 5, ]
f xf f
f x x
ìï
<íï > " Îî
· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số:
Chọn x0=5(vì ( )(5) '' 0, [5;5 ],5f f x x> " Î
· Đánh giá sai số
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 16
1 1357 , 1, 2,...
2 1090n n n n nMx x x x x nm
a - -- £ - = - =
Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây:
n ( )( )
11
1'n
n nn
f xx x
f x-
--
= - 2
1357
1090n n nx x -D = -
0 5
1 5,137615 7,875238.10-3
2 5,132780 3,605475. 10-8
· Đến bước k =3 thì 2
1357
1090n n nx x -D = - =3,605475. 10-8<0,5.10-4 thoả mãn yêu cầu
bài toán.
Vậy nghiệm của phương trình là: 85,132780 3,605475.10a -±=
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 17
Chương 3: GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN
TÍNH
Bài 1:
e/(Trần Đình Trọng)
A =
2 10 6 4 83 12 9 6 31 1 34 15 18
4 18 0 4 145 26 19 25 36
-é ùê ú- - -ê úê ú- -ê úê úê ú-ë û
; b =
8329
223
é ùê úê úê úê ú-ê úê úë û
Ax = b ta có hệ phương trình:
Lập bảng tính:
HS
của x1
HS
của
x2
HS
của
x3
HS
của x4
HS của
x5
Vế phải Phương trình
2
-3
-1
4
5
10
-12
1
18
26
-6
-9
-34
0
-19
4
6
15
4
25
8
3
18
14
36
8
3
29
-2
23
E1
E2
E3
E4
E5
1
0
0
0
5
3
16
-2
-3
-18
-43
12
2
12
21
-4
4
15
30
2
4
15
41
-18
E1(2)=1/2 E1
E2(2)= E2+3E1
(2)
E3(2)= E3+ E1
(2)
E4(2) = E4- 4E1
(2)
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 18
0
1 -4 15 16 3 E5(2)= E5- 5E1
(2)
1
0
0
0
0
5
3
0
0
0
-3
-18
53
0
2
2
12
-43
4
11
4
15
-50
12
11
4
15
-39
-8
-2
E1(2)
E2(2)
E3(3)= E3
(2)-16/3 E2(2)
E4(3)= E4
(2) +2/3 E2(2)
E5(3)= E5
(2)-1/3 E2(2)
0
0 0 669/53 683/53 -50 E5(4)= E5
(3)-2/53E3(3)
0 0 0 0 5296/669 9262/669 E5(5)= E5
(4)-212/669 E4(3)
0 0 0 0 1 1,7488867 E5(6)= 669/9262E5
(5)
Từ bảng suy ra:
1 2 3 4 1
2 3 4 2
3 4 3
4 4
5 5
5 3 2 2,995468 298,1651713 18 12 11,233006 66,00930453 43 48,443353 6,7940004 28,989641 7,247410
1,748867 1,748867
x x x x xx x x x
x x xx x
x x
+ - + = - = -ì ìï ï- + = - =ï ïï ï- = Û =í íï ï= - = -ï ïï ï= =îî
Bài 2:
c/(Trần Đình Trọng)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
10 2 3 010 2 5
2 3 20 103 2 20 15
x x x xx x x x
x x x xx x x x
- - + =ìï - - + =ïí + + - = -ïï + + + =î
với sai số ε=10-3 (C)
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 19
· Kiểm tra hệ có nghiệm duy nhất:
Ta có det
10 1 2 31 10 1 2
39012 02 3 20 13 2 1 20
- -é ùê ú- -ê ú = - ¹ê ú-ê úë û
Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất.
· Biến đổi hệ (C) ta được:
1 1 2 3 4
2 1 2 3 4
3 1 2 3 4
4 1 2 3 4
0 0,1 0,2 0,30,1 0 0,1 0,20,1 0,15 0 0,050,15 0,1 0,05 0
x x x x xx x x x xx x x x xx x x x x
= + - +ìï = - + - -ïí = - - + +ïï = - - - -î
Đặt B=
0 0,1 0,2 0,30,1 0 0,1 0,20,2 0,3 0 0,10,3 0,2 0,1 0
-é ùê ú- - -ê úê ú- -ê ú- - -ë û
c=(0;5;-10;15)T, X=(x1,x2,x3).
Khi đó ta có hệ (C) được viết dưới dạng: X=BX+c
Ta có { }max 0, 4;0,6;0,6 0,6 1B¥
= = < vậy ma trận B thỏa điêu kiện hội
tụ.
· Chọn X(0)=c=(0;5;-10;15)T
Tính X(1), X(2),… theo công thức
X(k+1)=B X(k)+c, k=0,1,2,3…
Ta nhận được dãy lặp này hội tụ và có đánh giá sai số
( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)3 , 1, 2,...1 2
k k k k kBX X X X X k
Ba - -¥
¥ ¥ ¥¥
- £ - = - =-
Tính toán theo từng bước cùng với giải thích bên dưới bảng này, ta được kết
quả:
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 20
k x1(k) x2
(k) x3(k) x4
(k) ( ) ( 1)32
k kX X -
¥-
0 0 5 -10 15
1 3 3 -10 15 4,5
2 2,8 3,3 -10 14,5 0,75
3 2,68 3,38 -10,1 14,5 0,18
4 2,668 3,378 -10,1 14,53 0,018
5 2,6768 3,3708 -10,094 14,534 0,0132
6 2,67848 3,37028 -10,0932 14,5322 2,7.10-3
7 2,678048 3,370728 -10,0936 14,53172 7,2.10-4
Giải thích cột sai số(cột cuối):
{ }(1) (1) (0) (1) (0)
1 4
3 3 3max max 3; 2;0;02 2 2
4,5i iiX X X X Xa
¥ ¥ £ £- £ - = - = - =
{ }(2) (2) (1) (2) (1)
1 4
3 3 3max max 0,2;0,3;0;0,52 2
0,72
5
i iiX X X X Xa
¥ ¥ £ £- £ - = - =
=
{ }(3) (3) (2) (3) (2)
1 4
3 3 3max max 0,12;0,0
0,
8;0,1;0
12 2 2
8
i iiX X X X Xa
¥ ¥ £ £- £ - = - =
=
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 21
{ }
(4) (4) (3) (4) (3)
1 4
0,018
3 3 max2 2
3 max 0,012;0,002;0;0,032
i iiX X X X Xa
¥ ¥ £ £- £ - = -
= =
{ }
(5) (5) (4) (5) (4)
1 4
3 3 max2 2
3 max 0,0088;0,0072;0,006;0,004 0,01322
i iiX X X X Xa
¥ ¥ £ £- £ - = -
= =
{ }
(6) (6) (5) (6) (5)
1 4
3
3 3 max2 2
3 max 0,00168;0,00052;0,0008;0,0018 2,7.102
i iiX X X X Xa
¥ ¥ £ £
-
- £ - = -
= =
{ }
(7) (7) (6) (7) (6)
1 4
4
3 3 max2 2
3 max 0,00043;0,00048;0,00036;0,000482
7, 2.10
i iiX X X X Xa
¥ ¥
-
£ £- £ - = -
= =
· k=7 thì ε= 7,2.10-4<10-3
Làm tròn số:
(7) (7)
(7) (7)2 2
(
1 1
37) (7)
(7) (7)4
3
4
2,678048 2,678 '3,370728 3,371 '
10,0936 10,094 '14,53172 14,532 '
x xx x
x xx x
= » == » =
=
ì
- » - == » =
ïïíïïî
Sai số làm tròn
( )(7) (7 5)' 4,8.10 ;0,00027;0,00044;0,00028XX -- = (7) (7)' XX
¥- =4,4.10-4
Từ cột cuối và dòng cuối của bảng, ta có:
(7) (7) (6) 432
7,2.10X X Xa¥ ¥
-- £ - =
Sai số cuối cùng:
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 22
(7) (7) (6) (
34 4
7)
34,4.10 7,2.1
' '
1,16.10 1,0 2.10
X X X Xa a¥
--
¥
-
¥
-
- £ - + -
£ + = »
Vậy nghiệm của hệ: 3
32
3
1
33
4
2,678 1,3,371 1,
10,094
2.102.102.102.1
1,14,53 02 1,
aa
aa
-
-
-
-
= ±±
= - ±= ±
ìï =ïíïïî
j/(Trần Đình Trọng)
2 40 6 4 8 83 12 9 50 3 3
75 15 18 2965 18 0 4 14 25 26 19 25 120 23
x y z u vx y z u v
x y z u vx y z u v
x y z u v
+ - + + =ìï- - - + + =ïï- + - + + =íï + + + + = -ï
+ - + + =ïî
với sai số ε=10-2 (D)
· Kiểm tra hệ có nghiệm duy nhất:
Ta có det
2 40 6 4 83 12 9 50 3
01 1 75 15 1865 18 0 4 145 26 19 25 120
1030066610
-é ùê ú- - -ê úê ú = ¹- -ê úê
-
úê ú-ë û
Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất.
· Biến đổi hệ (C) ta được:
2 40 6 4 8 65 18 0 4 143 12 9 50 3 2 40 6 4 81 1 75 15 18 1 1 75 15 18
65 18 0 4 14 3 12 9 50 35 26 19 25 120 5 26 19 25 120
-é ù é ùê ú ê ú- - - -ê ú ê úê ú ê úÛ- - - -ê ú ê ú- - -ê ú ê úê ú ê ú- -ë û ë û
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 23
0 0, 28 0 0,06 0, 220,05 0 0,15 0,1 0, 2
0,01 0,01 0 0, 2 0, 240,06 0,24 0,18 0 0,06
0,04 0, 22 0,16 0, 21 0
x x y z u vy x y z u vz x y z u vu x y z u vv x y z u v
= - - - +ìï = - + + - -ïï = - + - -íï = + + - -ï
= - - + - -ïî
Đặt B=
0 0, 28 0 0,06 0,220,05 0 0,15 0,1 0, 20,01 0,01 0 0, 2 0, 240,06 0, 24 0,18 0 0,060,04 0, 22 0,16 0,21 0
- -é ùê ú- - -ê úê ú- - -ê ú-ê úê ú- - -ë û
c=(8;3;29;-2;23)T, X=(x,y,z,u,v).
Khi đó ta có hệ (D) được viết dưới dạng: X=BX+c
Ta có { }max 0,56;0,5;0, 46;0,54;0,63 0,63 1B¥
= = < vậy ma trận B thỏa
điều kiện hội tụ.
· Chọn X(0)=c=(8;3;29;-2;23)T
Tính X(1), X(2),… theo công thức
X(k+1)=B X(k)+c, k=0,1,2,3…
Ta nhận được dãy lặp này hội tụ và có đánh giá sai số
( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)63 , 1,2,...1 37
k k k k kBX X X X X k
Ba - -¥
¥ ¥ ¥¥
- £ - = - =-
Tính toán theo từng bước cùng với giải thích bên dưới bảng này, ta được kết
quả:
k x(k) y(k) z(k) u(k) v(k) ( ) ( 1)6337
k kX X -
¥-
0 8 3 29 -2 23
1 2,22 11,75 34,57 5,8 -18,92 14,89865
2 0,1996 11,2785 33,4455 8,311 -21,3606 4,275486486
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 24
3 -0,35597 11,44787 34,01576 8,020642 -21,8833 0,97097473
4 -0,50096 11,69475 34,13395 8,161962 -21,7461 0,420379334
5 -0,54839 11,6782 34,0971 8,22556 -21,8054 0,108289073
6 -0,56061 11,68051 34,11103 8,215659 -21,8191 0,023700441
7 -0,56368 11,68694 34,11417 8,218816 -21,8148 0,010947412
8 -0,56473 11,68639 34,11305 8,220483 -21,8163 0,002839241
· Giải thích cột sai số(cột cuối):
{ }{ }
(1) (1) (0)
(1) (0) (1) (0) (1) (0) (1) (0) (1) (0)
6337
63 max , , , ,3763 max 5,78;8,75;5,57;7,8;4,08 14,898637
X X X
x x y y z z u u v v
a¥ ¥
- £ -
= - - - - -
= =
{ }{ }
(2) (2) (1)
(2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1)
6337
63 max , , , ,3763 2,0204max ;0, 4715 1,1245 2,511 2, 4406 4, 275486; ; ;37
X X X
x x y y z z u u v v
a¥ ¥
- £ -
= - - - - -
= =
{ }{ }
(3) (3) (2)
(3) (2) (3) (2) (3) (2) (3) (2) (3) (2)
6337
63 max , , , ,3763 ma 0,55557;0,169365;0,570255;0,29036;0,52268 0,970975x37
X X X
x x y y z z u u v v
a¥ ¥
- £ -
= - - - - -
= =
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 25
{ }{ }
(4) (4) (3)
(4) (3) (4) (3) (4) (3) (4) (3) (4) (3)
6337
63 max , , , ,
0,14499;0, 246889;0,118195;0,14132;0,1
376 37179 0, 43 max37
20379
X X X
x x y y z z u u v v
a¥ ¥
- £ -
= - - - - -
= =
{ }{ }
(5) (5) (4)
(5) (4) (5) (4) (5) (4) (5) (4) (5) (4)
6337
63 max , , , ,3763 m 0,04743;0,01659;0,03684;0,063598;0,05928 0,1082ax37
89
X X X
x x y y z z u u v v
a¥ ¥
- £ -
= - - - - -
= =
{ }{ }
(6) (6) (5)
(6) (5) (6) (5) (6) (5) (6) (5) (6) (5)
6337
63 max , , , ,3763 max3
0,01221;0,002342;0,013919;0,0099;0,0137 0,02377
X X X
x x y y z z u u v v
a¥ ¥
- £ -
= - - - - -
= =
{ }{ }
(7) (7) (6)
(7) (6) (7) (6) (7) (6) (7) (6) (7) (6)
6337
63 max , , , ,
0,00308;0,006429;0,003143;0,003157;0,
376 00428 0,03 max37
10947
X X X
x x y y z z u u v v
a¥ ¥
- £ -
= - - - - -
= =
{ }{ }
(8) (8) (7)
(8) (7) (8) (7) (8) (7) (8) (7) (8) (7)
6337
63 max , , , ,3763 m 0,00105;0,00055;0,00112;0,001667;0,00145 0,0028ax37
39
X X X
x x y y z z u u v v
a¥ ¥
- £ -
= - - - - -
= =
· k=8 thì ε=0,002839241<10-2
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 26
Làm tròn số:
(8) (8)
(8) (8)
(8) (8)
(8) (8)
(8) (8)
'0,56473 0,5611,68639 11,69
'34,11305 34,118, 220483 8, 22
21,8163 21,82
'
''
y y
u uv
x x
z z
v
ìï =
= =- » -= »= =»
»=
ïïíï =ïï =î - » -=
Sai số làm tròn (8) (8)' X X- =
(0,004729733; 0,003609616; 0,003048546; 0,000483331; 0,003737181) (8) (8)' XX
¥- =0,004729733
Từ cột cuối và dòng cuối của bảng, ta có:
(8) (8) (7) 0,002836337
9241X X Xa¥ ¥
- £ - =
Sai số cuối cùng: (8) (8) (7) (8)
30,004729733 0,00283924
' '
7,57.1 10
X X X Xa a¥ ¥ ¥
-
- £ - + -
£ + »
Vậy nghiệm của hệ: 3
32
3
34
35
1
3
7,57.107,57.107,57
0,5
.10
611,6934,118, 22
21,827,57.107,57.10
aaaa
a
-
-
-
-
-
ìï =ï
= - ±±
= ±ï
= ±- ±
íïï
=ïî
Bài 3
c/(Trần Đình Trọng)
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 27
1 2 3
1 2 3
1 2 3
8 15 16
4 7
x x xx x xx x x
- + + =ìï - + =íï + - =î
· Kiểm tra hệ đã cho có nghiệm duy nhất:
det8 1 11 5 1 163 01 1 4
é ùê ú =ê úê úë û
- ¹-
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất
· Đưa hệ đã cho về dạng
1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 1 18 8 88 1
1 1 165 165 5 5
4 7 1 1 74 4 4
x x xx x x
x x x x x xx x x
x x x
ì = + -ï- = - - -ì ï
- -ï ï- = - Û + = +í íï ï+ - =î - -ï - + =ïî
Phương pháp lặp Gauss-Seidel
( 1)1 2 3
( 1) ( 1)1 2 3
( 1) ( 1) ( 1)1 2 3
1 1 18 8 8
1 1 165 5 51 1 7
4 4 4
k k k
k k k
k k k
x x x
x x x
x x x
+
+ +
+ + +
ì = + -ïï
- -ï + = +íï
- -ï - + =ïî
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 28
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( 1) ( )1 2 3
( 1) ( 1)2 3 1
3 2 3
3 2
( 1) ( 1) ( 1)3 1 2
2 3 3 2
1 1 18 8 8
1 16 15 5 5
1 16 1 1 1 15 5 5 8 8 89 1 129
40 40 407 1 1
4 4 47 1 1 1 1 1 9 1 129
4 4 8 8 8 4 40 40 40
kk k
kk k
k k k
k k
k k k
k k k k
x x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x x x
+
+ +
+ + +
= + -
- -= + +
- - æ ö= + + + -ç ÷è ø
-Û = - +
- -= + -
- - -æ ö æ ö= + + - - - +ç ÷ ç ÷è ø è ø
= ( ) ( )2 3
101 1 140 40 40
k kx x
ìïïïïïïïïïíïïïïïïï
-ï - +ïî
( )
( )
( )
( 1)11
( 1)2 2
( 1)3 3
1 1 108 8 81 9 1290
40 40 401 1 1010
40 40 40
kk
kk
k k
xxx xx x
+
+
+
é ù é ù-ê ú ê úé ùé ù ê ú ê úê úê ú - -ê ú ê úÛ = +ê úê ú ê ú ê úê úê ú ê ú ê úê úë û - -ë ûê ú ê úê ú ê úë û ë û
Hay ( )( 1) kkx Bx c+ = + (3.3)
Với
B=
( )
( )
( )
1
( )2
3
1 108 81 9 1 129 1010 , ; ; ,
40 40 8 40 401 10
40 40
k
Tkk
k
x
c x x
x
é ùê ú é ùê ú ê ú- - -æ öê ú = - = ê úç ÷ê ú è ø ê úê ú ê ú- ë ûê úê úë û
Ta có: { }max 0, 25;0, 25;0,05 0,25 1B¥
= = < vậy ma trận B thỏa điều kiện hội tụ.
Đánh giá sai số
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 29
( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)1 , 1,2,...1 3
k k k k kBx x x x x k
Ba - -¥
¥ ¥ ¥¥
- £ - = - " =-
· Chọn x(0)=1 129 101; ;8 40 40
T
c -æ ö= -ç ÷è ø
Tính x(0), x(1),… theo công thức (3.3) ta nhận được kết quả:
k x1(k) x2
(k) x3(k) ( ) ( 1)1
3k kX X -
¥-
0 -0,125 3,225 -2,525
1 -0,038 3,7125 -2,669 0,1625
2 0,0055 3,7327 -2,685 0,014322917
3 0,006 3,7357 -2,685 0,001
· Giải thích cột sai số(cột cuối):
{ }
(1) (1) (0) (1) (0)
1 3
0,0875;0,4875;0,144 0,16
1 1 max3 3
3 ma 25x2
i iix x x x xa
¥ ¥ £ £- £ - = -
= =
{ }
(2) (2) (1) (2) (1)
1 3
1 1 max3 3
1 ma 0,04296875;0,02015625;0,01578125
0,014322917
x3
i iix x x x xa
¥ ¥ £ £- £ - = -
=
=
{ }
(3) (3) (2) (3) (2)
1 3
0,0005;0,003;0,0009 0,001
1 1 max3 3
1 max3
i iix x x x xa
¥ ¥ £ £- £ - = -
= =
· Đến bước k =3 thì ε=0,001<10-2
Làm tròn số:
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 30
(3) (3)1
(3) (3)2
(3) 3)3 3
1
2(
0,006 0,006 '3,7357 3,736 '2,685 2,685 '
x xx x
x x
» =» =
- » -
ì ==
= =
ïíïî
Sai số làm tròn (3) (3)' x x- = (0;3.10-4;0)
(3) (3)' x x¥
- =3.10-4
Từ cột cuối và dòng cuối của bảng, ta có:
(3) (3) (2) (3) (2)
1 3
3
1
0,001
1 m
10
ax3 3 i ii
x x x x xa
-
¥ ¥ £ £- £ - = -
==
Sai số cuối cùng: (3) (3) (2) (3)
4 3 33.
' '
10 1,3.1010
x x x xa a-
¥ ¥ ¥
- -
- £ - + -
£ + »
Vậy nghiệm của hệ: 3
1
33
32
,3.10,3.10
0,00
,3.10
6 13,736 12,685 1
aa
a
-
-
-
= ±±
=
ìï =
-í
±ï
ïïî
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 31
CHƯƠNG 4
ĐA THỨC NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT
Bài 1: (Đào Thị Hương) Tính giá trị của một đa thức 5 4 3 25( ) 2x 3x 4xP x x x= + - + - tại
32
x -= theo sơ đồ Hoocne.
1 2 1- 3 4- 0 32
-
32
- 34
- 218
13516
- 59732
1 12
74
- 458
19916
- 59732
= 5( 3 / 2)P -
Bài 2: Tìm đa thức nội suy Lagrange theo bảng số:
a/ (Hồ Thị My)
x 1 2 3 4 7 y 17 17,5 76 210,5 1970
4 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4 0 2 3 40 1
0 1 0 2 0 3 0 4 1 0 1 2 1 3 1 4
0 1 3 42 3
2 0 2 1 2 3 2 4
( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) (
( )( )( )( )
P x y L y L y L y L y Lx x x x x x x x x x x x x x x xy y
x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x xy y
x x x x x x x x
= + + + +- - - - - - - -
= +- - - - - - - -
- - - -+ +
- - - -0 1 2 4
3 0 3 1 3 2 3 4
0 1 2 34
4 0 4 1 4 2 4 3
)( )( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )( )( )
x x x x x x xx x x x x x x x
x x x x x x x xyx x x x x x x x
- - - -- - - -
- - - -+
- - - -
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 32
( 2)( 3)( 4)( 7) ( 1)( 3)( 4)( 7)17 17,536 10
( 1)( 2)( 4)( 7) ( 1)( 2)( 3)( 7)76 210,536 18
( 1)( 2)( 3)( 4)1970360
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
- - - - - - - -= +
-- - - - - - - -
+ +-
- - - -+
4 3 217 ( 16x 89x 206x+168)36
x= - + - 4 3 217,5 ( 15x 75x 145x 84)10
x- - + - +
4 3 295 ( 14x 63x 106x 56)10
x+ - + - + 4 3 2421( 13x 53x 83x 42)36
x- - + - +
4 3 2197 ( 10x 35x 50x 24)36
x+ - + - +
4 3 22x 17x 81x 153,5x 104,5= - + - +
Vậy đa thức nội suy Lagrange là: 4 3 24 ( ) 2x 17x 81x 153,5x 104,5P x = - + - +
b/ (Hồ Thị My)
x 0 2 3 5 y 1 3 2 5
3 0 0 1 1 2 2 3 3
1 2 3 0 2 30 1
0 1 0 2 0 3 1 0 1 2 1 3
0 1 3 0 1 22 3
2 0 2 1 2 3 3 0 3 1 3 2
( )( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
P x y L y L y L y Lx x x x x x x x x x x xy y
x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x xy y
x x x x x x x x x x x x
= + + +
- - - - - -= +
- - - - - -
- - - - - -+ +
- - - - - -
( 2)( 3)( 5)130
x x x- - -=
-( 3)( 5)3
6x x x- -
+( 2)( 5)2
6x x x- -
+-
( 2)( 3)530
x x x- -+
3 21( 10x 31x 30)30
x-= - + - 3 21 ( 8x 15x)
2x+ - + 3 21 ( 7x 10x)
3x- - + 3 21 ( 5x 6x)
6x+ - +
3 213 620,3x 16 15
x x= - + +
Vậy đa thức nội suy Lagrange là: 3 23
13 62( ) 0,3x 16 15
P x x x= - + +
c/ (Hồ Thị My)
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 33
x 321,0 322,8 324,2 325,0 y 2,50651 2,50893 2,51081 2,51188
3 0 0 1 1 2 2 3 3
1 2 3 0 2 30 1
0 1 0 2 0 3 1 0 1 2 1 3
0 1 3 0 1 22 3
2 0 2 1 2 3 3 0 3 1 3 2
( )( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
P x y L y L y L y Lx x x x x x x x x x x xy y
x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x xy y
x x x x x x x x x x x x
= + + +
- - - - - -= +
- - - - - -
- - - - - -+ +
- - - - - -
( 322,8)( 324,2)( 325,0)2,5065123,04
x x x- - -=
-( 321,0)( 324,2)( 325,0)2,50893
5,544x x x- - -
+
( 321,0)( 322,8)( 325,0)2,510813,584
x x x- - -+
-( 321,0)( 322,8)( 324,2)2,51188
7,04x x x- - -
+
5 3 4 21,2 10 4,6875 10 10201,55x 21232547,74x x- -= - ´ + ´ + -
Vậy đa thức nội suy Lagrange là: 5 3 4 2
3( ) 1,2 10 4,6875 10 10201,55x 21232547,74P x x x- -= - ´ + ´ + -
d/ (Lê Trần Mười)
x 2 4 6 8 10 y 0 3 5 4 1
L0 = ( 4)( 6)( 8)( 10) ( 4)( 6)( 8)( 10)(2 4)(2 6)(2 8)(2 10) 384x x x x x x x x- - - - - - - -
=- - - -
L1 = ( 2)( 6)( 8)( 10) ( 2)( 6)( 8)( 10)(4 2)(4 6)(4 8)(4 10) 96x x x x x x x x- - - - - - - -
=- - - - -
L2 =( 2)( 4)( 8)( 10) ( 2)( 4)( 8)( 10)(6 2)(6 4)(6 8)(6 10) 64x x x x x x x x- - - - - - - -
=- - - -
L3 = ( 2)( 4)( 6)( 10) ( 2)( 4)( 6)( 10)(8 2)(8 4)(8 6)(8 10) 96x x x x x x x x- - - - - - - -
=- - - - -
L4 =( 2)( 4)( 6)( 8) ( 2)( 4)( 6)( 8)
(10 2)(10 4)(10 6)(10 8) 384x x x x x x x x- - - - - - - -
=- - - -
P4 = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x) + y3L3(x) + y4L4(x)
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 34
= 4 3 21 19 47 65 1128 96 32 24
x x x x- + - +
e/ (Lê Trần Mười)
x 1 2 3 4 5
y 1 2 3 2 1
Lo = (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) ( 2)( 3)( 4)( 5)(1 2)(1 3)(1 4)(1 5) 24
x x x x- - - - - - - -=
- - - -
L1 = ( 1)( 3)( 4)( 5) ( 1)( 3)( 4)( 5)(2 1)(2 3)(2 4)(2 5) 6x x x x x x x x- - - - - - - -
=- - - - -
L2 = ( 1)( 2)( 4)( 5) ( 1)( 2)( 4)( 5)(3 1)(3 2)(3 4)(3 5) 4x x x x x x x x- - - - - - - -
=- - - -
L3 = ( 1)( 2)( 3)( 5) ( 1)( 2)( 3)( 5)(4 1)(4 2)(4 3)(4 5) 6x x x x x x x x- - - - - - - -
=- - - - -
L4 = ( 1)( 2)( 3)( 4) ( 1)( 2)( 3)( 4)(5 1)(5 2)(5 3)(5 4) 24x x x x x x x x- - - - - - - -
=- - - -
P4 = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x) + y3L3(x) + y4L4(x)
= 4 243 156 108
6x x x- + + =
4 243 26 186 6x x x- + +
Bài 3: (Lê Trần Mười) Cho bảng số liệu của hàm số y = f(x)
x 11 13 14 18 19 21 y 1342 2210 2758 5850 6878 9282
a/ Tìm đa thức nội suy Newton
n x y Tỉ sp cấp 1
Tỉ sp cấp 2
Tỉ sp cấp 3
Tỉ sp cấp4
Tỉ sp cấp 5
0 11 1342 434 1 13 2210 50 548 -1
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 35
2 14 2758 45 28
773 1 - 1
40
3 18 5850 51 0 1028 1 4 19 6878 58 1202 5 21 9282
P5= 1342 + (x-11)434 + (x-11)(x-13)50 + (x-11)(x-13)(x-14)(-1)
+ (x-11)(x-13)(x-14)(x-18) 28
+ (x-11)(x-13)(x-14)(x-18)(x-19) 140
P5= 5 4 3 256 2827 47871 393932 1273844
40x x x x x- + - + - +
b/ Tính f(13,5)
f (13,5) =P5(13,5)
= 5 4 3 213,5 56(13,5) 2827(13,5) 47871(13,5) 393932(13,5) 1273844
40- + - + - +
= -21589,70547
Bài 4: (Trần Đình Trọng) Cho bảng giá trị của hàm số y = f(x)
x 0 2 3 5 6
y 1 3 2 5 6
a/ Dùng đa thức nội suy tiến bậc 4 với 5 nút không cách đều. Ta lập được bảng tỉ sai phân
đến cấp 4.
n x y Tỉ SP cấp 1 Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3 Tỉ SP cấp 4
0 0 1
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 36
1
1 2 3 -2/3
-1 3/10
2 3 2 5/6 -11/120
3/2 -1/4
3 5 5 -1/6
1
4 6 6
Khi đó:
P4(x)= 1+(x-0).1 +(x-0)(x-2).(-2/3)
+(x-0)(x-2)(x-3).(3/10)
+ (x-0)(x-2)(x-3)(x-5).(-11/120)
( )4 3 211 73 601 413( ) ( ) 1120 60 120 60
x x x x= - + - + +
b/ Tính f(1,25)
f(1,25)= P4(1,25)
( )4 3 211 73 601 413(1, 25) 1, 25 (1, 25) .1, 25 1120 60 120 60
= - + - + +
=3,9311525
c/ Dùng đa thức nội suy lùi bậc 4 với 5 nút không cách đều. Ta lập được bảng tỉ sai phân
đến cấp 4.
n x y Tỉ SP cấp 1 Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3 Tỉ SP cấp 4
0 0 1
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 37
1
1 2 3 -2/3
-1 -3/10
2 3 2 5/6 -11/120
3/2 -1/4
3 5 5 -1/6
1
4 6 6
Khi đó:
P4(x)= 6+(x-6).1 +(x-6)(x-5).(-1/6)
+(x-6)(x-5)(x-3).(-1/4)
+ (x-6)(x-5)(x-3)(x-2).(-11/120)
( )4 3 211 73 601 413( ) ( ) 1120 60 120 60
x x x x= - + - + +
(5,25) 5,5124fÞ =
Bài 5: (Phan Thị Kim Ngân) i xi yi ∆� ∆�� ∆�� ∆�� 0 1,9 11,18 3,6 1 2,1 14,78 -0,49 3,11 3,08 2 2,3 17,89 2,52 -6,19 5,63 -3,11 3 2,5 23,52 -0,5 5,04 4 2,7 28,56 i xi yi ∇� ∇�� ∇�� ∇��
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 38
Ta có đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 = 1,9:
P4(1,9 + 0,2t) = 11,18 + 3,6t – �,���(���)�! + �,���(���)(���)�! – �,���(���)(���)(���)�! Tính gần đúng f(2,0).
Ta có: x = 2,0 = 1,9 + 0,2t ó t = 0,5.
Vậy
P4(2,0) = 11,18 + 3,6.0,5 – �,��.�.�(�.���)�! + �,��.�,�(�,���)(�,���)�! – �,��.�,�(�,���)(�,���)(�,���)�!
Ta có đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ x0 = 2,7:
P4(2,7 + 0,2t) = 28,56 + 5,04t – �.��(���)�! – �,���(���)(���)�! – �,���(���)(���)(���)�!
Bài 6: (Vương Bảo Nhi)
x 150 200 250 300 y = sin(x) 0,2588
19 0,342020 0,422618 0,500000
n x y Tỉ SP cấp 1
Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3
0 15 0,258819 0,0166402 1 20 0,342020 5,206.10-5 0,0161196 8,1733.10-7 2 25 0,422618 6,432.10-5 0,0154764 3 30 0,500000
P3(x) = 0,258819 + (x – 15). 0,0166402 + (x –15)(x – 20). 5,206.10–5 + (x –15)(x – 20)(x – 25).
8,1733.10-7
= 8,1733.10–7 x3 + 3,0202.10–6 x2 + 0,0158 x + 0,018704
P3(x) = 0,5 + (x – 30). 0,0154764 + (x –30)(x – 25). 6,432.10-5 + (x –30)(x – 25)(x – 20). 8,1733.10-7
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 39
= 8,1733.10-7 x3 + 3,02625.10–6 x2 + 0,0134508 x + 0,071688
Bài 7: (Vương Bảo Nhi)
a)
x 1 2 3 4 y 1 5 14 30
n x y Tỉ SP cấp 1 Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3 0 1 1 4 1 2 5 5/2 9 1/3 2 3 14 7/2 16 3 4 30
Đặt n= 1+ t
P3 (1+ t) = 1 + 4t + 5 ( 1)2
2!
t t -+
1 ( 1)( 2)3
3!
t t t- -
Sn= P3 (n) = 1 + 4(n –1) + 5 ( 1)( 2)2
2!
n n- -+
1 ( 1)( 2)( 3)3
3!
n n n- - -
= 1 + 4(n –1) + ( 1)( 2)2!
n n- -1 ( 3)5 3
2 3
né ù-ê ú+ê ú
ê úë û
= 1 + 4n – 4 + ( 1)( 2)2!
n n- - 5 1 ( 3)2 9
né ù+ -ê úë û
= 4n – 3 + ( 1)( 2)2!
n n- - 13 16 9
né ù+ê úë û
b)
x 1 2 3 4 5
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 40
y 1 9 36 100 225
n x y Tỉ SP cấp 1 Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3 Tỉ SP cấp 4 0 1 1 8 1 2 9 9,5 27 3 2 3 36 18,5 0,25 64 4 3 4 100 30,5 125
4 5 225
Đặt n= 1+ t
P4 (1 + t) = 1 + 8t + 9,5 ( 1)2!
t t - + 3 ( 1)( 2)3!
t t t- - + 0,25 ( 1)( 2)( 3)4!
t t t t- - -
Sn= P4 (n) = 1+ 8(n – 1) + 9,5( 1)( 2)2!
n n- - + 3( 1)( 2)( 3)3!
n n n- - - +
0,25( 1)( 2)( 3)( 4)4!
n n n n- - - -
= 1+ 8n – 8 + ( 1)( 2)2!
n n- - 3( 3) 0,25( 3)( 4)9,53 12
n n n- - -é ù+ +ê úë û
= 8n – 7 + ( 1)( 2)2!
n n- - ( 3)( 4)6,548
n nn - -é ù+ +ê úë û
Bài 8: (Đào Thị Hương)
Dùng đa thức nội suy Newton bậc 6 với 7 nút nội suy. Ta lập được bảng các sai phân:
i xi yi yD 2 yD 3 yD 4 yD 5 yD 6 yD 0 1,4 0,9523 0,0138 1 1,5 0,9661 -0,0036
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 41
0,0102 0,0009 2 1,6 0,9763 -0,0027 -0,0004 0,0075 0,0005 0,0005 3 1,7 0,9838 -0,0022 0,0001 0,0895 0,0053 0,0006 0,09 4 1,8 0,9891 -0,0016 0,0901 0,0037 0,0907 5 1,9 0,9928 0,0891 -0,0928 6 2,0 0,9
Ta có đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 = 1,4 với h = 0,1
6( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)(1,4 0,1 ) 0,9523 0,0138 0,0036 0,0009 0,0004
2 3! 4!( 1)( 2)( 3)( 4) ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)0,0005 0,0895
5! 6!
t t t t t t t t tP t t
t t t t t t t t t t t
- - - - - -+ = + - + -
- - - - - - - - -+ +
(1,43) (1,4 0,3.0,1) 0,9548188379Pf » + =
Bài 9:
a/ (Trần Đình Trọng)
Ta có:
x 0 1 2 3 4 5 6 7
y 1,4 1,3 1,4 1,1 1,3 1,8 1,6 2,3
Ta lập bảng từ số liệu trên:
i ix iy 2ix i ix y
1 0 1,4 0 0
2 1 1,3 1 1,3
3 2 1,4 4 2,8
4 3 1,1 9 3,3
5 4 1,3 16 5,2
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 42
6 5 1,8 25 9
7 6 1,6 36 9,6
8 7 2,3 49 16,1
1
n
i =å
28 12,2 140 256,8
Sau đó ta giải hệ:
{ 28 8 12,2140 28 47,3
b ab a+ =+ =
Ta được: a = 1,14166666667 ≈ 1,14
b = 0,1095238095 ≈0,11
Vậy ta có: y = 1,14 + 0,11x
b) (Phan Thị Kim Ngân)
f(x) = a + bx + cx2
Ta lập bảng số liệu:
i xi yi xi2 xi
3 xi4 xiyi xi
2yi 1 0 1,4 0 0 0 0 0 2 1 1,3 1 1 1 1,3 1,3 3 2 1,4 4 8 16 2,8 5,6 4 3 1,1 9 27 81 3,3 9,9 5 4 1,3 16 64 256 5,2 20,8 6 5 1,8 25 125 625 9 45 7 6 1,6 36 216 1296 9,6 57,6 8 7 2,3 48 343 2401 16,1 112,7 � ���� 28 12,2 140 784 4676 47,3 252,9
Ta có hệ phương trình:
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 43
�4676� + 784� + 140� = 252,9784� + 140� + 28� = 47,3140� + 12,2� + 8� = 12,2 ó � � = 1,441667 � = −0,190476� = 0,042857
Vậy: y = 1,441667x2 – 0,190476x + 0,042857
c/ (Đào Thị Hương)
Lấy logarit Neper ln ( ) ln xf x a b= +
ta có bảng:
x 0 1 2 3 4 5 6 7 ln f(x) ln(1,4) ln(1,3) ln(1,4) ln(1,1) ln(1,3) ln(1,8) ln(1,6) ln(2,3)
ln 0,17153314160,06469348092
ab
=ìí =î
→1,187123485
0,06469348092a
b=ì
í =î
Vậy 0,06469348092( ) 1,187123485f x e= ´
d/ (Đào Thị Hương)
( ) ln( x)f x a b= +
( ) xf xe a b= +
ta có bảng sau:
x 0 1 2 3 4 5 6 7 ( )f xe 1,4e 1,3e 1,4e 1,1e 1,3e 1,8e 1,6e 2,3e
2,6579181490,648809873
ab
=ìí =î
Vậy ( ) ln(2,657918149 0,648809873 )f x x= + ´
e/ (Đào Thị Hương)
x( ) a bf x e +=
ln ( ) xf x a b= +
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 44
ta có bảng sau:
x 0 1 2 3 4 5 6 7 ln f(x) ln(1,4) ln(1,3) ln(1,4) ln(1,1) ln(1,3) ln(1,8) ln(1,6) ln(2,3)
0,17153314160,06469348092
ab
=ìí =î
Vậy 0,1715331416 0,06469348092( ) xf x e + ´=
Bài 10: (Phan Thị Kim Ngân)
a) Hàm thực nghiệm y=a + bx2
Ta lập bảng số tư liệu trên
i xi yi xi2 xi3 xi
4 xiyi xi2yi
1 1 0,1 1 1 1 0,1 0,1 2 2 3 4 8 16 6 12 3 3 8,1 9 27 81 24,3 72,9 4 4 14,9 16 64 256 59,3 238,4 5 5 23,9 25 125 625 119,5 597,5
1
n
i=å
15 50 55 225 979 205,5 920,9
Ta có hệ phương trình:
3
2
979a 225 55 920,9225a 55 15 209,555a 15 5 50
0,992857 17,142857.10 00,9 1
1
b cb c
b c
abc
y x
-
+ + =ìï + + =íï + + =î
= »ìïÞ = - »íï = - » -î
Þ = -
b)
2( ) x
cy dxx
y x c d
= +
Û = +
Đặt f(x)=yx
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 45
theo kết quả câu a
Ta có
( ) 2
2
1
1 1
( ) 1
f x yx x
xy xx x
f xy xx x
= = -
-Û = = - +
Þ = = - +
Bài 11: (Đào Thị Hương) Cho bảng số liệu
x 2 4 6 8 10 12 y 7,32 8,24 9,20 10,19 11,01 12,05
a/
3( x)y a b= +
23 xy a b= +
ta có bảng sau;
x 2 4 6 8 10 12 23y
3,769994535 4,07960524 4,3906136 4,70019767 4,94908462 5,25603237
3,4894333340,1478315912
ab
=ìí =î
Vậy 3(3,489433534 0,1478315912 )y x= + ´
b/
2ln( x )y c d= +
2xye c d= +
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 46
Ta có bảng sau:
x 2 4 6 8 10 12 ye 1510,20397 3789,5403 9897,129 26635,4949 60475,88684 171099,408
Ta lập bảng số từ bảng số liệu trên:
i xi yi 2ix 3
ix 4ix i ix y 2
i ix y 1 2 1510,20397 4 8 16 3020,40794 6040,81588 2 4 3789,5403 16 64 256 15158,1612 60632,6448 3 6 9897,129 36 216 1296 59382,774 356296,644 4 8 26635,4949 64 512 4096 213083,9592 1704671,674 5 10 60475,88684 100 1000 10000 604758,8684 6047588,684 6 12 171099,408 144 1728 20736 2053192,896 24638314,75
1
n
i=å 42 273407,7
364
3528
36400
2948597
32813545
Giải hệ phương trình:
36400d +364c = 32813545 d = 1133,3683
364d +6c = 273407,7 c = -23189,7246
Vậy ta có: ye = -23189,7246 + 1133,3683 x2 → y = ln(-23189,7246 + 1133,3683 x2 )
Bài 12: (Trần Thị Kim Ngân)
( )( ) ( )1 2
1
( 1) ln( 1)
1 ln( 1)
( ) ( )( ) ( 1) e (1) (2)
x
x
x x
y a e b x
f a e f b x y
f x f x yf x a e a a f f
= - + +
Û - + + =
Û + =
= - = - = -
1
1
1
(1) eln ln
( 1)
xy f ay a x
y A XB
= =Û = +Û = +
=
Điều Kiện: ln(y) với y ¹ 0
Suy ra
[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 47
x 1 3 2 y ln3,8 ln23,2 ln9,7
Ta có hệ:
( )
1
1
1
2
14a 6 15,316a 3 6,75
0,903 110,442
12
12
1 1 1( ) 12 2 2
( ) ln( 1)
x
x x
bb
a
b
y X
y e
f x e e
f x x
+ =ìí + =î
= »ìïÞ í
= »ïî
Þ = +
Û =
Þ = - = -
Þ = +
-------------------------------------------------THE END----------------------------------------------