Persamaan Trigonometri

PERSAMAAN TRIGONOMETRI 1

Kelompok 8

Tri Kuntoro (1111017000055)

Sari Juniatun Nikmah (11140170000010)

Fitria Maghfiroh (11140170000018)

Putri Eka Nur Oktavia (11140170000022)

Peta Konsep

1. Bentuk Dasar Persamaan Trigonometri

2. Persamaan yang mengandung JumlahPerbandingan Trigonometri

3. Persamaan Kuadrat PerbandinganTrigonometri

4. Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = c

a) Persamaan Identik atau identitas, jika persamaan inidipenuhi oleh semua nilai dari sudut-sudut yang tidakdiketahui dimana fungsi-fungsi tersebut terdefinisi.

b) Persamaan bersyarat, atau persamaan, jika persamaanini hanya dipenuhi oleh beberapa nilai dari sudut-sudutyang tidak diketahui.

Persamaan Trigonometri yaitu persamaan yang mengandung fungsi-fungsi trigonometri dari sudut-sudut yang tidak diketahui, dibagi menjadi 2, yaitu:

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Contoh

a. sin x csc x = 1 adalahidentitas, Karenadipenuhiolehsemuanilaix, dimanacscx terdefinisi

b. sin x = 0 adalahpersamaanbersyaratkarenatidakdipenuhiolehx = 1 4∏ atau½∏

Dalam bahasan ini kita akan menggunakan“persamaan” bukan “persamaan identik”

Persamaan Trigonometri Sederhana

1. Penyelesaian persamaan sin x˚ = sin ˚ (xϵR)

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sin x˚ = sin ˚ (xϵR) dapat ditentukan denganmenggunakan hubungan-hubungan yang berlakupada perbandingan trigonometri sudut berelasiberikut.

a. sin (180˚- ˚) = sin ˚

b. sin ( ˚ + k.360˚) = sin ˚

Dengan menggunakan hubungan-hubungan diatas, maka penyelesaian persamaan trigonometri sin x˚ = sin ˚ dapat ditetapkan sebagai berikut.

Jika sin x˚ = sin ˚ (xϵR), maka :

x = + k.360˚ atau x = (180˚- ˚) + k.360˚, dengan kϵB

Catatan : x dalam derajat

Jika sin x˚ = sin A˚ (xϵR), maka :

x = A + k.2 atau x = ( - A) + k.2 , dengan kϵB

Catatan : x dalam radian

2. Penyelesaian persamaan cos x˚ = cos ˚ (xϵR)

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri cos x˚ = cos ˚(xϵR) dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan-hubungan yang berlaku pada perbandingan trigonometrisudut berelasi berikut.

a. cos (- ˚) = cos ˚

b. cos ( ˚ + k.360˚) = cos ˚

Dengan menggunakan hubungan-hubungan diatas, makapenyelesaian persamaan trigonometri cos x˚ = cos ˚ dapat ditetapkan sebagai berikut.Jika cos x˚ = cos ˚ (xϵR), maka :

x = + k.360˚ atau x = (- ) + k.360˚, dengan kϵBCatatan : x dalam derajatJika cos x˚ = cos A˚ (xϵR), maka :

x = A + k.2 atau x = -A + k.2 , dengan kϵBCatatan : x dalam radian

3. Penyelesaian persamaan tan x˚ = tan ˚ (xϵR)Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri tan x˚ = tan ˚ (xϵR) dapat ditentukan dengan menggunakanhubungan-hubungan yang berlaku pada perbandingantrigonometri sudut berelasi berikut.

a. tan (180˚+ ˚) = tan ˚

b. tan ( ˚ + k.360˚) = tan ˚

Dengan menggunakan hubungan-hubungan diatas, makapenyelesaian persamaan trigonometri tan x˚ = tan ˚ dapatditetapkan sebagai berikut.

Jika tan x˚ = tan ˚ (xϵR), maka :

x = + k.360˚

Catatan : x dalam derajat

Jika tan x˚ = tan A˚ (xϵR), maka :

x = A + k.

Catatan : x dalam radian

Latihan Soal

Tentukan penyelesaian dari tiap persamaan trigonometri berikut ini.

1. a. sin x˚ = sin 25˚

b. sin 2x˚ = sin 40˚, jika x dalam interval 0≤x≤360˚

2. cos 3x = cos 0, jika x dalam interval 0≤x≤ 2

3. tan 2x˚ = tan 20˚, jika x dalam interval 0≤x≤180˚

Jawab :

1. a. sin x˚ = sin 25˚, maka diperoleh :

x = 25˚ + k.360˚ atau x = (180˚-25˚) + k.360˚

x = 155˚ + k.360˚

Jadi, x = 25˚ + k.360˚ atau 155˚ + k.360˚

b. sin 2x˚ = sin 40˚, maka diperoleh :

2x = 40˚ + k.360˚ atau 2x = (180˚-40˚) + k.360˚

x = 20˚ + k.180˚ 2x = 140˚ + k.360˚

x = 70˚ + k.180˚

untuk k=0 x=20˚ atau untuk k=0 x=70˚

k=1 x=200˚ k=1 x=250˚

Jadi , himpunan penyelesaiannya adalah :

HP = {20˚, 70˚, 200˚, 250˚}

2. cos 3x = cos 0, maka diperoleh3x = 0 + k.2 3x = -0 + k.2x = 0 + k. x = -0 + k.

untuk k=0 x=0k=1 x=k=2 x=

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah :HP = {0, , }

3. tan 2x˚ = tan 20˚, maka diperoleh2x = 20˚ + k.180˚x = 10˚ + k.90˚

untuk k=0 x=10˚k=1 x=100˚

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah :HP = {10˚, 100˚}

Persamaan Trigonomerti yang Berbentuksin x˚=a, cos x˚, dan tan x˚=a

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sin x˚=a, cos x˚=a, tan x˚=a, kita harus mengubah bagian ruaskanan, yaitu a dalam bentuk perbandingantrigonometri dasar. Dengan demikian,

1. sin x˚=a, diubah dahulu menjadi sin x˚= sin

2. cos x˚=a, diubah dahulu menjadi cos x˚= cos

3. tan x˚=a, diubah dahulu menjadi tan x˚= tan

Setelah itu, persamaan-persamaan tersebutdiselesaikan dengan menggunakan cara-carapersamaan trigonometri dasar.

Latihan SoalTentukan penyelesaian dari tiap persamaan trigonometri berikut ini.1. sin x˚=2. cot (2x˚-6x˚) =Jawab :1. sin x˚ =

sin x˚=sin 30˚, maka diperoleh :x=30˚+k.36 atau x=(180˚-30˚)+k.360˚

x=150˚+k.360˚2. cot (2x˚-60˚) =

tan (2x˚-60˚) = = tan (2x˚-60˚+ = tan 30, maka diperoleh :2x-60˚ = 30˚ + k.180˚

2x = 90˚ + k.180˚x = 45˚ + k.45˚

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 45˚ + k.90˚

Persamaan Trigonometri yang Berbentuksin px˚=a, cos px˚=a, tan px˚=a

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometriyang berbentuk sin px˚=a, cos px˚=a, tan px˚=a, kita dapat melakukannya dengan terlebih dahulumengubah bentuk persamaan trigonometritersebut menjadi bentuk persamaan trigonometrisederhana.Latihan SoalTentukan penyelesaian dari tiap persamaantrigonometri berikut ini.1. sin 3x˚ = , 0≤x≤360˚2. cos 2x˚ = , 0≤x≤360˚

Jawab :

1. sin 3x˚ =

sin 3x˚ = sin 60˚, maka :

3x = 60˚ + k.360˚ atau 3x = (180˚-60˚) + k.360˚

x = 20˚ + k.360˚ 3x = 120˚ + k.360˚

x = 40˚ + k.360˚


k=1 x=140˚ k=1 x=160˚

k=2 x=260˚ k=2 x=280˚

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah :

HP = {20˚, 40˚, 140˚, 160˚, 260˚, 280˚}

2. cos 2x˚ =

cos 2x˚ = cos 60˚, maka :

2x = 60˚ + k.360˚ atau 2x = -60˚ + k.360˚

x = 30˚ + k.180˚ x = -30˚ + k.180˚


k=1 x=210˚ k=2 x=330˚


HP = {30˚, 60˚, 210˚, 240˚}

Pada bagian ini kita akan menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dan selisih dua sudut untuk memperoleh rumus perkalian sinus dan kosinus. Pada bagian sebelumnya kita memperoleh :

Sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β ......... (1)Sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β ..........(2)

Penjumlahan kedua persamaan di atas menghasilkan :* 2 sin α cos β = Sin (α + β) + Sin (α - β)

Pengurangan persamaan 1 oleh persamaan 2 menghasilkan :* 2 cos α sin β = Sin (α + β) - Sin (α - β)

Persamaan yang mengandung Jumlah

Perbandingan Trigonometri

Selanjutnya pada bagian sebeumnya kita memperoleh :cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β ......(3)cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β ......4)

Penjumlahan kedua persamaan di atas menghasilkan :*2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α - β)

Pengurangan persamaan 3 oleh persamaan 4 menghasilkan :* -2 sin α sin β = cos (α + b) - cos (α - β)

Identitas yang kita peroleh di atas di sebut sebagai “rumus trigonometri untuk perkalian sinus dan kosinus “ dan kita rangkum sebagai berikut:

2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α ̶ β)2 cos α sin β = sin (α + β) ̶ sin (α ̶ β) 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β)2 sin α sin β = ̶ cos (α + β) + cos (α – β)

Rumus trigonometri untuk perkalian sinus dan kosinus yang telah kita dapatkan tadi, dapat pula kita gunakan pada hal sebaliknya yaitu menyatakan jumlah atau selisih sinus dan kosinus sebagai perkalian sinus dan kosinus. Untuk hal tersebut kita lakukan sebagai berikut:Misal a + b = A dan a - b= B, maka

½ (α + β) = ½ (α + β + α - β) = ½ (2 α) = α½ (α - β) = ½ (α + β – α - β) = ½ (2 β) = β

Jika hasil di atas kita substitusikan ke rumus trigonometri untuk perkalian sinus dan kosinus yang telah kita dapatkan tadi maka diperoleh :

sin α + sin β = 2 sin ½ (α + β) cos ½ (α ̶ β)sin α ̶ sin β = 2 cos ½ (α + β) cin ½ (α ̶ β) cos α + cos β = 2 cos ½ (α + β) cos ½ (α ̶ β) cos α ̶ cos β = ̶ 2 sin ½ (α + β) sin ½ (α ̶ β)

RUMUS JUMLAH DAN SELISIH PADA SINUS DAN KOSINUS

RUMUS UNTUK 2 SIN α COS β DAN 2 COS α SIN β

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri yang memuatjumlah , selisih sinus atau kosinus. Maka kita dapatmenggunakan rumus jumlah dan selisih dalam trigonometri.

sin α + sin β = 2 sin ½ (α + β) cos ½ (α ̶ β)sin α ̶ sin β = 2 cos ½ (α + β) cin ½ (α ̶ β) cos α + cos β = 2 cos ½ (α + β) cos ½ (α ̶ β) cos α ̶ cos β = ̶ 2 sin ½ (α + β) sin ½ (α ̶ β)

2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α ̶ β)2 cos α sin β = sin (α + β) ̶ sin (α ̶ β) 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β)2 sin α sin β = ̶ cos (α + β) + cos (α – β)

Latihan SoalCarilah himpunan penyelesaian dari setiappersamaan trigonometri berikut ini dalaminterval yang diberikan: a. cos 8x˚ + cos 2x˚ = 0, 0≤x≤180˚b. sin (x˚+75˚) + sin (x˚-15˚) = , 0≤x≤360˚Jawab:

a. cos 8x˚ + cos 2x˚ = 0, 0≤x≤180˚2 cos (8x˚+2x˚) cos (8x˚-2x˚) = 02 cos 5x˚ cos 3x˚ = 02 cos 5x˚ = 0 atau cos 3x˚ = 0cos 5x˚ = 0 atau cos 3x˚ = 0

Dari cos 5x˚ = 0 didapat :

cos 5x˚ = cos 90˚ atau cos 5x˚ = cos (-90˚)

5x˚ = 90˚ + k.360˚ 5x˚ = -90˚ + k.360˚

x˚ = 18˚ + k.72˚ x˚ = -18˚ + k.360˚


k=1 x=90˚ k=2 x=126˚

k=2 x=162˚

Dari cos 3x˚ = 0 didapat :

cos 3x˚ = cos 90˚ atau cos 3x˚ = cos (-90˚)

3x˚ = 90˚ + k.360˚ 3x˚ = -90˚ + k.360˚

x = 20˚ + k.120˚ x˚ = -30˚ + k.120˚


k=1 x=150˚


HP = {18˚, 30˚, 54˚, 90˚, 126˚, 150˚, 162˚}

b. sin (x˚+75˚) + sin (x˚-15˚) = , 0≤x≤360˚

2 sin (x˚+75˚+x˚-15˚) cos (x˚+75˚-(x˚-15˚)) =

2 sin (x˚+30˚) cos 45˚ =

sin (x˚+30˚) =

2 cos 45

sin (x˚+30˚) =

2 .

sin (x˚+30˚) = , diperoleh:

sin (x˚+30˚) = sin 30˚ atau sin (x˚+30˚) = sin 150˚

x˚+30˚ = 30˚+k.360˚ x˚+30˚= 150˚+k.360˚

x˚ = 0 + k.360˚ x˚= 120˚+k.360˚

untuk k = 0 x= 0˚ atau untuk k= 0 x= 120˚


HP = {0˚, 120˚}

Persamaan kuadrat dalam sinus, kosinus, dantangen.Persamaan kuadrat dalam sinus, cosinus dantangen akar-akarnya dapat ditentukan dengancara:1.Dengan memfaktorkan2.Dengan melengkapi kuadrat sempurna3.Dengan menggunakan rumus ABC

Persamaan Kuadrat PerbandinganTrigonometri

Persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan kuadrat dapatdiselesaikanmenggunakan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Nyatakan persamaan trigonometri dalam bentuk persamaankuadrat umum.2. Tentukan akar-akarnya menggunakan salah cara yang telahditentukan3. Akar-akar yang telah ditentukan harus memenuhi syarat-syaratsebagai berikut.

a. Nilai sin x, cos x dan tan x, haruslah bilangan real, sehingga D ≥ 0 (D=b²- 4ac)b. Nilai sin x = {– 1 ≤ sin ≤ 1}, cos x = {– 1 ≤ cos ≤ 1}.

Jika salah satu syarat diantara kedua itu tidak dipenuhi, makapersamaan tersebut tidak memiliki penyelesaian atau himpunanpenyelesaianya adalah ∅ (Himpunan kosong).

Latihan soal:Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin²x = 3 sin x - 1, dengan 0 ≤ x ≤ 360°Jawab :2 sin²x = 3 sin x - 12 sin²x – 3 sin x + 1 = 02p² - 3p + 1 = 0(2p- 1) (p -1) = 0

p = ½ p = 1a. Dari persamaan diperoleh sin x = ½

sin x = sin 30°x = 30° + k . 360° x = (180°- 30°) + k . 360°k=0 x = 30° k = 0 x = 150°k=1 x= 390° k = 1 x = 510°

b. Dari persamaan diperoleh sin x =1sin x = sin 90°x= 90 + k . 360° atau x = (180 – 90) ° + k.360 k= 0 x = 90° k= 0 x = 90o

k= 1 x = 450° k=1 x = 450o

misal sin x = p

Maka Hp = {30°, 90°,150°}

Latihan SoalJika x memenuhi 2 sin²x – 7 sin x + 3 =0 dan 0≤ x ≤90°, maka cos x adalah……..

Jawab :2 sin²x – 7 sin x + 3 =0⇔2p² - 7xp+3 = 0⇔ (2p – 1)(p – 3)=0⇔ p = ½ atau p = 3 (ditolak)

Maka, sin x =½ dan sin x = 3Sin x = ½ = sin 30°x = 30° + k . 360° atau x = 150° + k . 360°Untuk k = 0, maka x = 30° atau x = 150°dalam interval 0 ≤ x ≤ 90° dipenuhi oleh x = 30°

Latihan SoalTentukan Himpunan Penyelesaian persamaan cos2 2x + sin 2x -1 = 0 untuk 0o

≤ x ≤ 180o

Penyelesaian :cos2 2x + sin 2x – 1 = 0(1-sin2 2x) + sin 2x – 1 = 0- sin2 2x + sin 2x = 0sin2 2x – sin 2x = 0sin 2x (sin 2x - 1) = 0sin 2x = 0 atau sin 2x = 1

a. Sin 2x = 0 = sin 0o b. Sin 2x = 1 = sin 90o

Penyelesaiannya : Penyelesaiannya :1. 2x = 0o + k.360 2x = 90o + k.360o

x = 0o + k.360 x = 45o + k.180k = 0 --> x = 0o k = 0 --> x = 45o

k = 1 --> x = 360o

2. 2x = 180o + k . 360x = 90o + k . 180o

k = 0 --> x = 90o

k = 1 --> x = 270o

Jadi, Harga x yang memenuhi adalah 0o 45o

90o 180o

Tentukan himpunan penyelesaian dari : 3 cos2 2x + 2 cos 2x = 8

Missal cos 2x = q

3q2 + 2q – 8 = 0

(3q-4) (q+2)

q = 4/3 atau q = -2

syarat akar-akar yang ditentukan :

D ≥ 0

D = b2 – 4ac

D = 22 – (4.3.-8)

D = 4 – (-96)

D = 100 Memenuhi

Nilai cos x = {– 1 ≤ cos ≤ 1}

q1 = 4/3 > 1

q2 = -2 < -1

Keduanya tidak memenuhi

Karna salah satu syarat tidakterpenuhi maka

HP = { }

Untuk mengubah suatu persamaan trigonometri menjadi persamaan kuadratDalam sinus, cosinus dan tangen kita dapat menggunakan rumus-rumus sudutrangkap, dan rumus trigonometri sudut pertengahan. Perhatikan contoh dibawah ini.

Tentukan penyelesaian dari persamaan cos 2x – 10 sin x = - 11 dalam interval0 ≤ x ≤ 360°

solusi !Cos 2x – 10 sin x = -11⇔1- 2 sin²x – 10 sin x = -11⇔ 2 sin²x + 5 sin x – 6 = 0⇔(sin x + 6)(sin x – 1)=0⇔sin x = -6(ditolak) atau sin x = 1(diterima)⇔sin x = 1 = 90°x = 90° + k . 360°Untuk k = 0 maka x = 90°Jadi penyelesaianya adalah 90°

Ingat cos 2x = 1 – 2sin²x

Persamaan trigonometri yang dapat diubah menjadipersamaan kuadrat dalam sinus, cosinus dan tangen.

Mengubah Bentuk a cos x˚ + b sin x˚ MenjadiBentuk k cos (x - )˚ dan Bentuk k cos (x - )˚

Bentuk a cos x˚ + b sin x˚ dapat diubah menjadi bentuk k cos (x - )˚ dengan k suatu skalar positif dan 0≤ ≤360˚.

a cos x˚ + b sin x˚ = k cos (x - )˚

a cos x˚ + b sin x˚ = k (cos x˚ cos ˚ + sin x˚ sin ˚)

a cos x˚ + b sin x˚ = k cos x˚ cos ˚ + k sin x˚ sin ˚

a cos x˚ + b sin x˚ = k cos ˚ cos x˚ + k sin ˚ sin x˚

Dari persamaan diatas, koefisien cos x˚ di kiri harus samadengan koefisien cos x˚ di ruas kanan, demikian pula keefisien sin x˚. Dengan demikian, kita dapat hubungkan :

k cos ˚ = a ………………………..(1)

k sin ˚ = b ………………………..(2)

1. Menentukan nilai k

Jika persamaan (1) dan (2) dikuadratkan, diperoleh :

k²cos² ˚= a²

k²sin² ˚= b²

Selanjutnya, kita jumlahkan kedua persamaan, diperoleh :

k²cos² ˚= a²

k²sin² ˚= b²

k²cos² ˚ + k²sin² ˚ = a² + b²

k² (cos² ˚ + sin² ˚) = a² + b²

k² (1) = a² + b²

k² = a² + b²

k = ± , diambil k>0

Jadi, k =

2. Menentukan besar sudutJika persamaan (2) dibagi dengan persamaan (1), diperoleh :k sin ˚ b sin ˚ b k cos ˚ a cos ˚ atan ˚ = Berdasarkan nilai k dan besar sudut yang telahdidapat maka dapat kita simpulkan bahwa :1. a cos x˚ + b sin x˚ = k cos (x - )˚ berlaku hubungank = dan tan ˚ =

2. a cos x˚ + b sin x˚ = k cos (x + )˚ berlaku hubungan :k = dan tan ˚ =

= =

Kuadran Tanda a, b b/a Tanda

I a>0, b>0 >0 >0

II a<0, b>0 <0 <0

III a<0, b<0 >0 >0

IV a>0, b<0 <0 <0

(-a,-b)

(a,b)

(a,-b)

(-a,b)

Kuadran I

Kuadran IVKuadran III

Kuadran II

Latihan SoalNyatakan bentuk cos x˚ + sin x˚ ke dalam bentuk k cos (x- )˚ Jawab :cos x˚ + sin x˚ = k cos (x- )˚

cos x˚ + sin x˚ = k cos ˚ cos x˚ + k sin ˚ sin x˚Diperoleh :k cos ˚ = 1 a = 1k sin ˚ = b = Nilai kk = = = = 2Besar sudut ˚ :tan ˚ = = dan terletak di kuadran I

(a>0, b<0) , ˚= 60˚Jadi, cos x˚ + sin x˚ = 2 cos (x-60)˚

Persamaan a cos x˚ + b sin x˚ = c

Dalam menyelesaikan persamaan bentuk a cosx˚ + b sin x˚ = c (a, b, dan c bilangan real yang tidak nol) diperlukan sejumlah langkah-langkah, di antara perubahan bentuk a cos x˚ + b sin x˚ menjadi bentuk k cos (x - )˚ akan digunakan pula. Berikut langkah-langkah dalammenyelesaikan persamaan bentuk a cos x˚ + b sin x˚ = c (a, b, dan c bilangan real yang tidakreal).

Langkah 1

a cos x˚ + b sin x˚ = c

Ubah ruas kiri menjadi bentuk k cos (x- )˚ dengan k = dan tan ˚ =

Langkah 2

Setelah mengganti a cos x˚ + b sin x˚ = c dengan cos (x- )˚, persamaan menjadi:

k cos (x- )˚ = c

cos (x- )˚ =

Langkah 3Nilai cos (x- )˚ antara -1 dan 1, sehingga cos (x- )˚ = akan mempunyai penyelesaian jikamemenuhi persyaratan -1≤ ≤ 1-1≤ ≤1

-k≤ ≤k

- ≤c≤IcI ≤ Jadi, syarat agar persamaan a cos x˚ + b sin x˚ = c mempunyai penyelesaian adalah:

- ≤c≤atau

IcI ≤

Langkah 4

Setelah persamaan a cos x˚ + b sin x˚ = c diubahmenjadi:

cos (x- )˚ = , kita lakukan penyelesaiannya

sebagai berikut:

cos (x- )˚ =

cos (x- )˚ = cos p˚

x- = p + k.360˚ atau x- = -p + k.360˚

x = ( +p) + k.360˚ atau x = ( -p) + k.360˚

Latihan Soal

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari cos x˚ - sin x˚ = -1 dalam interval 0≤x≤360˚

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari cos x˚ -sin x˚ = 1 dalam interval -2 ≤x≤2

Jawab :

1. cos x˚ - sin x˚ = k cos (x- )˚

cos x˚ - sin x˚ = k cos x˚ cos ˚ + k sin x˚ sin ˚

Diperoleh : k cos ˚= b =

k sin ˚= -1 b = -1

Nilai k : k= = = = 2

Besar sudut : tan ˚= = = dan terletak di kuadran IV(a>0, b<0), ˚ = 330˚Jadi, cos x˚ - sin x˚ = 2 (cosx-330˚)Persamaan cos x˚ - sin x˚ = -1 dapat ditulis sebagai :

cos x˚ - sin x˚ = 2 (cosx-330˚) = -12 (cos x - 330) = -1cos (x-330) = cos (x-330) = cos 120x-330˚ = 120˚+k.360˚ atau x-330˚= -120˚+k.360˚

x = 450˚+k.360˚ atau x = 210˚+ k.360˚ untuk k = -1 x=90˚ untuk k = 0 x=210˚

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan cos x˚ - sin x˚ = -1 adalah HP = {90˚, 210˚}

2. cos x˚ - sin x˚ = k cos (x- )˚

cos x˚ - sin x˚ = k cos x˚ cos ˚ + k sin x˚ sin ˚

Diperoleh : k cos ˚= 1 a = 1

k sin ˚= -1 b = -1

Nilai k : k = = =

Besar sudut :

tan ˚= = = -1 dan terletak di kuadran IV

(a>0, b<0), ˚=

Jadi, cos x˚ - sin x˚ = cos (x- )

Persamaan cos x˚ - sin x˚ = 1 dapat ditulis sebagai :

cos x˚ - sin x˚ = cos (x- ) = 1

cos (x- ) = 1

cos (x- ) =

cos (x- ) = cos

x - = + k.2 atau x-330˚ = + k.2

x = 2 + k.2 atau x- = 210˚ + k.2

untuk k=-2 x=-2 untuk k=-1 x=

k=-1 x=0 k=0 x=

k=0 x=2

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan cos x˚ -sin x˚ adalah : HP = {-2 , , 0, , 2 )

Nilai Minimum dan Maksimum Fungsif(x) = a cos x˚ + b sin x˚

Dengan menggunakan aturan pengubahan bentuka cos x˚ + b sin x˚ menjadi bentuk k cos (x- )˚, makafungsi trigonometri :

y = f(x) = a cos x˚ + b sin x˚ dapat diubah ke dalam bentuk :

y = f(x) = k cos (x- )˚dengan k = dan tan ˚ =

Berdasarkan bentuk fungsi y = f(x) = k cos (x- )˚, kita dapat menentukan nilai maksimum dan nilaiminimum (nilai-nilai stasioner)

1. Nilai maksimumymaksimum = k = dicapai untuk cos (x- )˚ = 1cos (x- )˚ = 1

cos (x- )˚ = cos 0˚x - = k.360x = + k.360

2. Nilai minimumyminimum = -k = - dicapai untuk cos (x- )˚ = -1cos (x- )˚ = -1

cos (x- )˚ = cos 180˚x - = 180 + k.360x = (180 + ) + k.360

Berdasarkan uraian tentang nilai maksimum dan minimum dari fungsi trigonometri dalam bentuk y = f(x) = k cos (x- )˚, maka dapat disimpulkan bahwa :

Fungsi trigonometri y = f(x) = a cos x˚ + b sin x˚ yang telah diubah ke dalam bentuk y = f(x) = k cos (x- )˚ mempunyai :

1. Nilai maksimum

ymaksimum = k = dicapai untuk cos (x- )˚= 1

2. Nilai minimum

yminimum = -k=- dicapai untuk cos (x- )˚=-1

Latihan Soal

Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi y = 2 cos x˚ + 3 sin x˚

Jawab :

y = 2 cos x˚ + 3 sin x˚ = k cos (x- )˚

a cos x˚ + b sin x˚ = k (cos x˚ cos ˚ + sin x˚ sin ˚)

a cos x˚ + b sin x˚ = k cos ˚ cos x˚ + k sin ˚ sin x˚

k cos ˚ = 2 a = 2

k sin ˚ = 3 b = 3

ymaksimum = k =

= =

yminimum = -k = -

= - = -

TERIMA KASIH

Persamaan Trigonometri

Education

Transcript of Persamaan Trigonometri