Persamaan Diferensial Orde-1
-
Upload
arief-goeritno -
Category
Documents
-
view
57 -
download
2
description
Transcript of Persamaan Diferensial Orde-1
-
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE-1Cara Penyelesaiannya dengan:#A#PENJUMLAHAN JAWABAN HOMOGEN DAN PARSIAL/PARTIKULER;#B#METODE PEMISAHAN;#C#METODE REDUKSI;#D#METODE FAKTOR INTEGRAL; atau#E#PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI.
A#PENJUMLAHAN JAWABAN HOMOGEN DAN PARSIAL/PARTIKULER
Jawaban: y= yh+ y p
# yh = jawaban homogen yh=A esx
Persamaan menggunakan yh dan dipersamakan dengan nol.
1
-
# y p = jawaban parsial/partikulerPermisalan y p mengikuti ketentuan-ketentuan berikut.
(1) Untuk f ( x )=eax Pn (x ) , dengan Pn (x ) = polynomial berderajat n .
(a) Jika a bukan akar-akar persamaan karakteristik, maka y p=eax Qn (x ) dengan Qn (x )
= polynomial berderajat n dengan koefisien-koefisien tidak ditentukan.(b) Jika a akar-akar persamaan karakteristik, maka y p=x
r eax Qn ( x ) dengan r adalah jumlah akar yang bernilai a ( r=1 atau r=2 ).
(2) Untuk f ( x )=eax [Pn (x ) cosbx+Qn ( x ) sin bx ] ,
(a) (abi )0y p=e
ax [ SN (x ) cosb x+T N ( x ) sin bx ] , dengan SN ( x ) dan T N ( x ) adalah polinomial-polinomial berderajat Nmaksimum {n ,m } .
(b) (abi )0y p=x
r eax [SN ( x ) cosbx+T N ( x ) sin bx ] , dengan r adalah jumlah akar yang sama dengan(abi ) #untuk persamaan-persamaan orde-2, r=1 .
2
-
CONTOH#1#penjumlahan jawaban homogen dan parsialSelesaikan persamaan diferensial berikut!
ddx
y+ y=ex
PENYELESAIAN CONTOH#1#penjumlahan jawaban homogen dan parsialJawaban HomogenBentuk persamaan homogenya, adalah: yh
' + yh=0
Dimisalkan: yh=Aesx
>>>>>> yh'=s A esx
Substitusikan yh dan yh'
ke persamaan homogen-nya, diperoleh:
A esx+s A esx=0 (1+s ) A esx=0
Dicari nilai s dari (1+s ) A esx=0 , maka:
3
-
1+s=0 s=1
Catatan:1+s=0 persamaan karak teristiks=1 akar persamaan karakteristik
Jawaban homogen:yh=Ae
x
Jawaban ParsialBentuk persamaan untuk jawaban parsial, adalah:
y p' + y p=e
x
f ( x )=e x=eax Pn ( x ) , maka: a=1 dan Pn (x )=1 . Berarti n=0 #tidak terdapat fungsi x .
y p=ex [Bx0+0 ] y p=Bex y p'=Be x
4
-
Substitusikan y p dan y p'
ke persamaan parsial-nya, diperoleh:
B ex+Bex=ex 2Bex=ex
Dicari nilai B dari 2Bex=ex , maka:
2B=1B=12
Jawaban parsial:y p=
12ex
Jawaban keseluruhan (total):y= yh+ y p=A e
x+ 12ex
CONTOH#2#penjumlahan jawaban homogen dan parsialSelesaikan persamaan diferensial berikut!
4 ddx
y+12 y=10 x e5 x
5
-
PENYELESAIAN CONTOH#2#penjumlahan jawaban homogen dan parsialJawaban HomogenBentuk persamaan homogennya, adalah:
4 yh' +12 yh=0
Dimisalkan: yh=Aesx
>>>>>> yh'=s A esx
Substitusikan yh dan yh'
ke persamaan homogen-nya, diperoleh:
4 sA esx+12 A esx=0 (4 s+12 ) A esx=0
Dicari nilai s dari (4 s+12 ) A esx=0 , maka:
4 s+12=0 4 s=12 s=3
Catatan:
6
-
4 s+12=0 persamaan karak teristiks=3 akar persamaan karakteristik
Jawaban homogen:yh=Ae
3x
Jawaban ParsialBentuk persamaan untuk jawaban parsial, adalah:
4 y p' +12 y p=10 x e
5 x
f ( x )=10 x e5 x=eax Pn ( x ) , maka: a=5 akar persamaan karakteristik dan Pn (x )=10 x . Berarti n=1 #terdapat fungsi x .
y p=e5x [Bx+C ] y p'=5e5 x [Bx+C ]+Be5x
4 y p' +12 y p , maka:
7
-
4 [5e5 x (Bx+C )+Be5x ]+12 [ e5 x (Bx+C ) ]=10 xe5x
4 [ (5e5x Bx )+(5e5 x C )+Be5 x ]+12e5 xBx+12e5xC=10 x e5 x
20 e5x Bx20Ce5x+4 Be5x+12Bxe5 x+12Ce5 x=10x e5x
20 Bxe5 x+12Bxe5x+4 Be5x20Ce5 x+12Ce5x=10 x e5 x
8Bxe5 x+4 Be5 x8Ce5x=10 x e5 x
[8Bx+ (4 B8C ) ] e5x=10 x e5 x
8Bx+ (4 B8C )=10 x
8B=10B=54
4 B8C=0 4 B=8CC=12BC=1
2 (54 )
8
-
C=58
Jawaban parsial:y p=e
5x [Bx+C ] y p=e5 x [54 x58 ]
y p=( 54 x+ 58 )e5x
Jawaban keseluruhan (total):y= yh+ y p=A e
3 x( 54 x+ 58 )e5x
CONTOH#3#penjumlahan jawaban homogen dan parsialSelesaikan persamaan diferensial berikut!
5 ddx
y15 y=20 x3e3x
9
-
PENYELESAIAN CONTOH#3#penjumlahan jawaban homogen dan parsialJawaban homogenBentuk persamaan homogennya, adalah:
5 yh'15 yh=0
Dimisalkan: yh=Aesx
>>>>>> yh'=s A esx
Substitusikan yh dan yh'
ke persamaan homogen-nya, diperoleh:
5 sA esx15 Aesx=0 (5s15 ) A esx=0
Dicari nilai s dari (5 s15 ) A esx=0 , maka:
5 s15=0 5 s=15 s=3
Catatan:5 s15=0 persamaan karak teristiks=3 akar persamaan karakteristik
10
-
Jawaban homogen:yh=Ae
3x
Jawaban parsialBentuk persamaan untuk jawaban parsial, adalah:
5 y p' 15 y p=20 x
3 e3 x
f ( x )=20 x3 e3 x=xr eax Pn ( x ) , maka: a=3= akar persamaan karakteristik ( r=1 ) dan Pn (x )=20x3 . Berarti n=3 #terdapat fungsi x .
y p=xr Bxn eax
y p=x1 Bx3 e3 x y p=Bx
4 e3x
yp'=Bx4 3e3x+4Bx3 e3x
11
-
Substitusikan y p dan y p'
ke persamaan parsial-nya ( 5 y p' 15 y p ), maka diperoleh:
5 (Bx43e3x+4 Bx3 e3x )15 Bx4 e3 x=20 x3 e3 x
(15Bx415Bx4 ) e3 x+4 Bx3 e3 x=20 x3 e3x
4 Bx3 e3x=20 x3e3x
4 Bx3=20 x3
4 B=20 B=5
Substitusikan B=5 ke y p=Bx4 e3x=5 x4 e3x , maka:
Jawaban parsial:y p=5 x
4e3x
Jawaban keseluruhan (total):
12
-
y= yh+ y p=A e3 x+5 x4 e3x
B#METODE PEMISAHANUntuk kondisi dimana terdapat bentuk:
g ( y ) ddx
y+ f ( x )=0 atau g ( y ) ddx y=f ( x ) , maka diubah menjadi:
g ( y ) dy=f ( x ) dx .
Selanjutnya diselesaikan dengan pengintegralan terhadap kedua ruas.CONTOH#1#metode pemisahanSelesaikan persamaan berikut!x (2 y3 )+(x2+1 ) d
dxy=0
13
-
PENYELESAIAN#CONTOH#1#metode pemisahan
Diubah dalam bentuk: g ( y ) dy=f ( x ) dx , sehingga diperoleh:
(x2+1 ) ddx
y=x (2 y3 )
1(2 y3 )
dy= x(x2+1 )
dx
1(2 y3 ) dy=x dx
(x2+1 )
12
1(2 y3 )
dy= x(x2+1 )dx
12ln (2 y3 )=1
2ln (x2+1 )
(2 y3 )12=(x2+1 )
12 2 y3= 1
x2+1
14
-
2 y= 1x2+1
+3 2 y= 1x2+1
+3 x2+1
x2+1
2 y= 1x2+1
+ 3 x2+3
x2+1 2 y=1+3 x
2+3x2+1
2 y=3 x2+4
x2+1 y= 3 x
2+42 (x2+1 )
y=3 x2+4
2x2+2
CONTOH#2#metode pemisahanSelesaikan persamaan berikut!
(1ex) sec2 y dy+3ex tan y dx=0
PENYELESAIAN#CONTOH#2#metode pemisahan
15
-
Diubah dalam bentuk: g ( y ) dy=f ( x ) dx , sehingga diperoleh:
(1ex) sec2 y dy=3 ex tan y dx
sec2 ytan y
dy= 3ex
(1ex )dx
sec2 ytan y
dy= 3ex
(1ex )( 1ex ) d (1ex )
sec2 y 1tan y
dy=3 ex
ex d
(1ex )(1ex)
1cos2 y
cos ysin y
dy=3 d(1ex)
(1ex )
1cos y sin y
dy=3 d(1ex )
(1ex )
16
-
dysin y cos y
=3 d(1e x)
(1ex )
dy12 [sin ( y+ y )+sin ( y y ) ]
=3 d(1ex )
(1e x)
dy12
[sin 2 y+sin 0 ]=3 d
(1ex )(1ex )
dy12 sin 2 y
=3 d(1ex )
(1ex)
2 dysin 2 y
=3 d(1ex )
(1ex )
2 12 d
(2 y )sin 2 y
=3 d(1ex )
(1ex )
csc 2 y d (2 y )=3 d(1ex )
(1ex )
17
-
csc 2 y d2 y=3 d (1ex)
(1ex )
ln|tan y|=3 ln (1ex ) tan y=(1ex )3
y= tan1 (1ex )3
C#METODE REDUKSIUntuk kondisi dimana terdapat persamaan diferensial dalam bentuk yang mengandung
yx
(karena y'
dikalikan dengan x ), maka digunakan metode reduksi dengan permisalanyx=u .
yx=u y=u x y '= d
dxy
18
-
y '=u+ x ddx
u y '=u+x u'
kemudian, substitusikan bentuk y'
dan y yang baru ke persamaan. Selanjutnya, diselesaikan dengan metode pemisahan.
CONTOH#1#metode reduksiSelesaikan persamaan diferensial berikut!
x y '= y+x2 sec( yx )
PENYELESAIAN#CONTOH#1#metode reduksi
x y '= y+x2 sec ( yx ) y '= yx + x2
xsec ( yx )
Diubah ke bentuk dasar: y'=u+x u' .
19
-
y '= yx+x sec( yx )u+ x u '=u+x secu
x ddx
u=uu+ x sec u x ddx
u=x sec u
ddx
u=sec u dsecu
u=dx cosu du=dx
cosudu=dx sin u=x
u=sin1 x yx=sin1 x
y=x sin1 x
CONTOH#2#metode reduksiSelesaikan persamaan berikut!
20
-
(x2+1 ) y (x y ' y )=x3
PENYELESAIAN#CONTOH#2#metode reduksi
(x2+1 ) y (x y ' y )=x3(dikalikan dengan 1x)
(x2+1 ) y ( y ' yx )=x2
y ( y ' yx )= x2
(x2+1 )
Diketahui (dalam penjelasan teorema):
yx=u y=ux y'=u+xu'
ux (u+xu 'u )= x2
(x2+1 )
21
-
u (x u' )= x(x2+1 )
u u'= 1(x2+1 )
u ddx
u= 1(x2+1 )
u du= dx(x2+1 )
u du=12d (x2+1 )(x2+1 )
u du=12d (x2+1 )(x2+1 )
12u2=1
2 ln (x2+1 ) u2=ln (x2+1 )
u= ln ( x2+1 )
D#METODE FAKTOR INTEGRALUntuk kondisi dimana terdapat bentuk:
y '+ f ( x ) y=r ( x )
22
-
maka penyelesaiannya:
y=eh [eh r ( x ) dx+C ]
h= faktor integral h= f ( x )+C .
CONTOH#1#metode faktor integralSelesaikan persamaan berikut!
(x2+1 ) y '=xyx
PENYELESAIAN#CONTOH#1#metode faktor integral
(x2+1 ) y 'xy=x
y ' x(x2+1 )
y= x(x2+1 )
23
-
Sesuai teorema sebelumnya, bahwa bentuk dasar: y'+ f ( x ) y=r ( x ) , sehingga:
f ( x )= x(x2+1 )
r ( x )= x(x2+1 )
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++Digunakan teorema dasar:y=eh [eh r ( x ) dx+C ] . h= (faktor integral) h= f ( x )+C .
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
h= x(x2+1 )dx h=1
2ln (x2+1 )
h=ln ( x2+1 )12
Digunakan persamaan dasar:
y=eh [eh r ( x ) dx+C ]
24
-
y=eln (x2+1 )
12 [ eln (x2+1)
12
( x(x2+1 ) ) dx+C ]
y=(x2+1 )12 [ 1(x2+1 )12 x(x2+1 ) dx+C ]
y=(x2+1 )12 [ x(x2+1 )32 dx+C]
y=(x2+1 )12 [ x (x2+1 )32 dx+C ]
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++Gunakan teorema bentuk integral: x (ax2+c )ndx= 12a
(ax2+c )n+1
n+1;n1
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++Diperoleh:
25
-
y=(x2+1 )12 (12 ) (x
2+1 )12
12
+(x2+1 )12 C
y=1+(x2+1 )12 C y=1+C x2+1
CONTOH#2#metode faktor integralSelesaikan persamaan berikut!
x2 y2+2xy=sinh 3 x
PENYELESAIAN#CONTOH#2#metode faktor integral
x2 y2+2xy=sinh 3 x{dikalikandengan 1x2 }y2+ 2
xy= 1
x2sinh 3 x
Digunakan bentuk dasar: y'+ f ( x ) y=r ( x ) , sehingga:
26
-
f ( x )=2x r ( x )= 1
x2sinh 3 x
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++Digunakan teorema dasar:y=eh [eh r ( x ) dx+C ] . h= (faktor integral) h= f ( x )+C .
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
h= 2x dx h=2 ln x=ln x2
h=ln x2
Digunakan teorema dasar: y=eh [eh r ( x ) dx+C ] .
y=eln x2[e ln x2 1x2 sinh 3x dx+C ]
27
-
y= 1x2 [ x2 1x2 sinh 3 x dx+C ]
y= 1x2
[ sinh 3 x dx+C ]
y= 1x2 [ 12 [e3 xe3 x ] dx+C ]
y= 1x2 [12 e3 x dx12e3x dx+C ]
y= 1x2 [12 13 e3 x12 (13 )e
3x
+C ]
y= 1x2 [ 16 e3x+ 16 e3x+C ]
y= 1x2 [ 16 (e3 x+e3x )+C ]
28
-
y= 1x2 [ 16 (12 sinh 3 x)+C ] y= 1x2 [13 sinh 3 x+C ]
y= sinh 3 x3 x2
+ Cx2
E#PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLIUntuk kondisi dimana terdapat bentuk:
y '+ f ( x ) y=g ( x ) ya , maka untuk penyelesaiannya, semua suku dikalikan dengan (1a ) ya ; sehingga:
(1a ) ya y '+f ( x ) y (1a ) ya=g ( x ) ya (1a ) ya
(1a ) ya y '+f ( x ) (1a ) y1a=(1a ) g ( x )
Selanjutnya dimisalkan:29
-
u ( x )= y1a u'=(1a ) ya y1
Sehingga:u'+ (1a ) f ( x ) u= (1a ) g ( x )
Bentuk tersebut dapat diselesaikan dengan faktor integral dengan:
h= f ( x ) dx dan r ( x )=g (x ) .
CONTOH#1#persamaan diferensial BernoulliSelesaikan persamaan berikut!y '+x1 y=x y2
Penyelesaian:y '+x1 y=x y2
a=2 ; f ( x )=1x; g ( x )=x ;u= y12= y1= 1
y .
Disubstitusikan ke persamaan dasar:30
-
u'+ (1a ) f ( x ) u= (1a ) g ( x )
Diperoleh:u'+ (12 ) 1
xu=(12 ) x
u'1xu=x
h= 1x dx=ln x
u=eln x [ eln x x dx +C ]
u=x [ 1x x dx +C ]
u=x [x+C ] u=x2+cxu= 1y
31
-
1y=x2+cx y= 1
x2+cx
CONTOH#2#persamaan diferensial BernoulliSelesaikan persamaan berikut!3 y '+ y=(12 x ) y4
Penyelesaian:
3 y '+ y=(12 x ) y4 {ruas kiridibagidengan3 }
Menjadi bentuk lain:y '+ 1
3y=(12 x ) y 4
a=4 ; f ( x )=13; g ( x )=(12 x ) ;u= y14= y3= 1
y3
Disubstitusikan ke persamaan dasar:
u'+ (1a ) f ( x ) u= (1a ) g ( x )
Diperoleh:
32
-
u'+ (14 ) 13 u= (14 ) (12 x )
u'3 13u=3 (12 x ) u'u=3 (12 x )
u 'u=6 x3
h= dx=x
u=ex [ ex (6 x3 ) dx+C ]
u=ex [ ex 6 x dx3ex dx+C ]
u=ex [6 x dex3 ex dx+C ]
u=ex [6 x ex6ex dx3 ex dx+C ]
u=ex [6 x e x9ex+C ]
33
-
u=ex [ (6 x9 ) ex+C ]
u= (6 x9 ) e2 x+Ce x
u= 1y3 1
y3= (6x9 ) e2 x+Ce
x
y= 3 1(6 x9 ) e2x+Cex
34