Penggunaan Penyelesaian Persamaan Aljabar Riccati Waktu ......E E 0, 0 0, ˆ ( ) ( ) ξ ( )...
Transcript of Penggunaan Penyelesaian Persamaan Aljabar Riccati Waktu ......E E 0, 0 0, ˆ ( ) ( ) ξ ( )...
Penggunaan PenyelesaianPersamaan Aljabar Riccati Waktu Diskritpada Kendali Optimal Linier Kuadratikdan Sifat-Sifatnya
Dita Marsa Yuanita1209 100 019
PembimbingSoleha, M.Si
Bab 1
Bab 2
Bab 3
Bab 4
Bab 5
Abstrak
Dita Marsa Yuanita
Permasalahan kendali optimal adalah mendapatkan aturankendali optimal
Penyelesaian PRAWD dan matriks gain umpan balik
Penyelesaian PRAWD (steady state) didapat dengan
membalik waktu pada PRAWD non steady state(kasus pendulum terbalik)
Analisis PRAWD menghasilkan persamaan tetapapabila matriks pemberat indeks performansi diganti
PRAWD memiliki penyelesaian minimum yang unik
Invarian waktu untuk proses kendali tak berhingga (steady state)
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Bab 2
Bab 3
Bab 4
Bab 5
Bab 1|Pendahuluan
Pendahuluan
Dita Marsa Yuanita
Latar Belakang Masalah
Rumusan Masalah
Batasan Masalah
Tujuan
Manfaat
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik
Bab 2
Bab 3
Bab 4
Bab 5
Bab 1|Pendahuluan
Pendahuluan
Dita Marsa Yuanita
Latar Belakang Masalah
Penggunaan dan Penyelesaian
Persamaan Riccati Aljabar
dianggap sebagai dasar teori kendali modernmuncul pada masalah kendali optimal
Penelitian sebelumnya [1]Bellon, J. (2008) "Riccati Equations in OptimalControl Theory“. Mathematics Theses, GeorgiaState University.Membahas masalah optimal kuadratik menggunakan
penyelesaian persamaan Riccati aljabar kontinu
Bab 2
Bab 3
Bab 4
Bab 5
Bab 1|Pendahuluan
Pendahuluan
Dita Marsa Yuanita
Latar Belakang Masalah
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit(PRAWD) berbentuk
untuk menyelesaikan masalah kendali optimal linier
kuadratik dari sistem waktu diskrit
dan indeks performansi kuadratik
diminimalkan dengan aturan umpan balik
)()()1( tGxtFxtx +=+ cx =)0(
∑∞
=
++=0
*** )]()()()([)()(t
tRutukQxkxNSxNxJ
)()()( txtKtu −=
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik
XFGPGGRPGFPFFQP *1*** )( −+−+=
Bab 2
Bab 3
Bab 4
Bab 5
Bab 1|Pendahuluan
Pendahuluan
Dita Marsa Yuanita
Latar Belakang Masalah
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Pada Tugas Akhir ini dibahas
Kendali Optimal Linier Kuadratik yang memunculkan Persamaan Riccati AljabarWaktu Diskrit
Keadaan Steady State (Kasus Pendulum Terbalik dengan Sistem Servo)
Sifat Penyelesaian PRAWD
Bab 2
Bab 3
Bab 4
Bab 5
Bab 1|Pendahuluan
Pendahuluan
Dita Marsa Yuanita
Rumusan Masalah
Bagaimana mendapatkan penyelesaian padamasalah Sistem Servo dengan plant Pendulum Terbalik menggunakan persamaan Riccati Aljabar
Bagaimana mengkaji sifat terkait penyelesaianPRAWD
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik
Bab 2
Bab 3
Bab 4
Bab 5
Bab 1|Pendahuluan
Pendahuluan
Dita Marsa Yuanita
Batasan Masalah
1. Keadaan steady state serta non steady state dengan kasus sistem pendullumterbalik.
2. Penyelesaian dengan MATLAB
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Bab 2
Bab 3
Bab 4
Bab 5
Bab 1|Pendahuluan
Pendahuluan
Dita Marsa Yuanita
Tujuan
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik
1
2
Menunjukkan cara mendapatkan penyelesaianpada masalah Sistem Servo dengan plantPendulum Terbalik menggunakan persamaanRiccati Aljabar
Memberikan kajian sifat terkait penyelesaianPRAWD
Bab 2
Bab 3
Bab 4
Bab 5
Bab 1|Pendahuluan
Pendahuluan
Dita Marsa Yuanita
Manfaat
Memberikan suatu referensi yang mudahdimengerti mengenai kendali optimal kuadratik
menggunakan persamaan Riccati aljabar.
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Bab 3
Bab 4
Bab 1
Bab 5
Bab 2|Tinjauan Pustaka
TinjauanPustaka
Dita Marsa Yuanita
Inversi Matriks
Sistem
Contoh Sistem (Pendulum Terbalik)
Kendali Optimal Linier Kuadratik
Desain Sistem Servo
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik
Bab 3
Bab 4
Bab 1
Bab 5
Bab 2|Tinjauan Pustaka
TinjauanPustaka
Dita Marsa Yuanita
Inversi Matriks
Sifat 2.1. [2] Sifat Inversi Matriks
nmmnnn MCMBMA ××× ∈∈∈ ,, mmMD ×∈
1111111 )()( −−−−−−− +−=+ CABCADBAABDCA
Jika diberikan matriks persegidan
dan matriks memiliki inversMaka
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
BDCA+
Bab 3
Bab 4
Bab 1
Bab 5
Bab 2|Tinjauan Pustaka
TinjauanPustaka
Dita Marsa Yuanita
Sistem
)(tx
)(ty)(tu
)()()( tDutCxty +=
Persamaan Keadaan
Persamaan Output
denganvektor keadaanvektor inputvektor output
)()()1( tGutFxtx +=+
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik
Bab 3
Bab 4
Bab 1
Bab 5
Bab 2|Tinjauan Pustaka
TinjauanPustaka
Dita Marsa Yuanita
Sistem
))(())(()()())()(( 212121 tuTtuTtytytutuT βαβαβα +=+=+
)(2 ty)(2 tuT
LinierMisal terdapat operator bila diberikan input terdapat output dan input outputnya, maka
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik
)(1 tu)(1 ty
Invarian WaktuJikadiberikan input dengan output makainput memiliki output
)(tu )(ty)( τ−tu )( τ−ty
Bab 3
Bab 4
Bab 1
Bab 5
Bab 2|Tinjauan Pustaka
TinjauanPustaka
Dita Marsa Yuanita
Contoh Sistem (Pendulum Terbali
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Gambar 1. Pendulum Terbalik
Bab 3
Bab 4
Bab 1
Bab 5
Bab 2|Tinjauan Pustaka
TinjauanPustaka
Dita Marsa Yuanita
Contoh Sistem (Pendulum Terbali
umlmlxmM =+−+ θθθθ )(cos)(sin)( 2
θθθ sincos mgmlxm =+
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
xu)sin(2
2
2
2
=++ θlxdtdm
dtxdM
θθθθθ sin)sin()cos()cos()sin( 2
2
2
2
mgllldtdmllx
dtdm =
−
+
z
Persamaan gerak pendulum pada arah sumbu
Persamaan gerak massapada arah sumbu
θθ
θ
mgmlxmumlxmM
=+
=++
)(
Linearisasi
Bab 3
Bab 4
Bab 1
Bab 5
Bab 2|Tinjauan Pustaka
TinjauanPustaka
Dita Marsa Yuanita
Contoh Sistem (Pendulum Terbali
xxxx
x
x
===
=
4
3
2
1
θ
θ
[ ]
=
4
3
2
1
0100
xxxx
y
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
u
M
Ml
xxxx
gMm
gMl
mM
xxxx
−
+
−
+
=
10
10
0001000
0000010
4
3
2
1
4
3
2
1
DefinisikanPersamaan KeadaanPendulum Terbalik
Persamaan Output
Bab 3
Bab 4
Bab 1
Bab 5
Bab 2|Tinjauan Pustaka
TinjauanPustaka
Dita Marsa Yuanita
Desain Sistem Servo
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik
Dari gambardidapat dan
Gambar 2. Denah Sistem Servo
)()()()()()1()(
12 tvKtxKtutytrtvtv
+−=−+−=
)()( tCxty =
)()()1( tGutFxtx +=+
F
G
Bab 3
Bab 4
Bab 1
Bab 5
Bab 2|Tinjauan Pustaka
TinjauanPustaka
Dita Marsa Yuanita
Desain Sistem Servo
rKtu
txCGKGKICFKFKK
GFtutx
+
−−−−
=
++
112122
0)()(
)1()1(
)()()()()()(
∞−=∞−=
ututuxtxtx
E
E
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik
Dalam bentuk persamaan matriks
Definisikan
Menjadi
−−−−
=
)()(
)()(
12122 tutx
CGKGKICFKFKKGF
tutx
E
E
E
E
Bab 3
Bab 4
Bab 1
Bab 5
Bab 2|Tinjauan Pustaka
TinjauanPustaka
Dita Marsa Yuanita
Desain Sistem Servo
=
=
=
IG
GFF
tutx
tE
E 0,
00ˆ,
)()(
)(ξ
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik
Dapat ditulis sebagai
Dengan
Definisikan
Menjadi
)(0
)()(
00)()(
twItu
txGFtutx
E
E
E
E
+
=
[ ]CGKGKICFKFKKtw 12122)( −−−−=
)(ˆ)(ˆ)1( twGtFt +=+ ξξ
Bab 3
Bab 4
Bab 1
Bab 5
Bab 2|Tinjauan Pustaka
TinjauanPustaka
Dita Marsa Yuanita
Kendali Optimal Linier Kuadrati
)()( tKxtu −=
∑−
=++−−+
+−++++=1
0 *
**
*
*
)]1()}1()()({)}1()()(){1()}()(
)()([{)()(
N
tttxtGutFx
txtGutFxttRututQxtx
NSxNxL
λ
λ
∑−
=
++=1
0
*** )]()()()([)()(N
ttRututQxtxNSxNxJ
)()()1( tGutFxtx +=+
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Pandang persamaan
Indeks performansi
Aturan kendali optimal
Indeks Performansi dengan PengaliLagrange
Bab 3
Bab 4
Bab 1
Bab 5
Bab 2|Tinjauan Pustaka
TinjauanPustaka
Dita Marsa Yuanita
Kendali Optimal Linier Kuadrati
FtGXGtXGRGtXFFFtXFQtX )1(])1([)1()1()( 1*** ++++−−++= −
)()()1(;0)(
)1()(;0)(
)()(;0)(
)1()()(;0)(
*1
*
tGutFxtxt
L
tGRtutu
L
NNSxNxL
tFtQxttx
L
+=+=
+−==
==
++==
−
λδδ
λδδ
λδδ
λλδδ
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Didiferensialkan
Diselesaikan menjadi
Bab 3
Bab 4
Bab 1
Bab 5
Bab 2|Tinjauan Pustaka
TinjauanPustaka
Dita Marsa Yuanita
Kendali Optimal Linier Kuadrati
FtPGGtPGRtK )1(])1([)( *1* +++= −
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Persamaan Riccati Aljabar
Matriks gain umpan balik
Indeks Performansi minimum
)0()0()0(* xPxJ =
FtGPGtPGRGtPFFFtPFQtP )1(])1([)1()1()( 1*** ++++−−++= −
Bab 3
Bab 4
Bab 1
Bab 5
Bab 2|Tinjauan Pustaka
TinjauanPustaka
Dita Marsa Yuanita
Penyelesaian PRAWD
QPFGSPGGRXFGSPFFPPD −++++−= − )()()()( *1****
)()]()([)( *1* txFPGSGPGRGFtu optoptopt ++−= −
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Persamaan Riccati Aljabar sebagai fungsi
Aturan kendali optimal
Indeks performansi
Matriks Loop tertutup
( )
=∑
∞
= )()(
)()(*
0
**
tutx
RSSQ
tutxJt
)()()( *1* FPGSGPGRGFtF optoptP ++−= −
Bab 2
Bab 4
Bab 1
Bab 5
Bab 3|Metode Penelitian
MetodePenelitian
Dita Marsa Yuanita
Studi Literatur
Analisis
Penyelesaian Contoh Permasalahan
Penarikan KesimpulanDan Penulisan Tugas Akhir
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik
Evaluasi
Bab 2
Bab 3
Bab 1
Bab 5
Bab 4|Analisis dan Pembahasan
Analisis danPembahasan
Dita Marsa YuanitaPenggunaan dan Sifat Penyelesaian
Kendali Optimal Linier KuadratikSteady State
Kendali Optimal Linier Kuadratikdari Sistem Servo
Sifat Penyelesaian RiccatiAljabar
Bab 2
Bab 3
Bab 1
Bab 5
Bab 4|Analisis dan Pembahasan
Analisis danPembahasan
Dita Marsa Yuanita
Kendali Optimal Linier KuadratiSteady State
Ketika proses kendali berhingga,matriks dan menjadi matriks invarian waktu
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit Steady State
Matriks gain umpan balik
Indeks Performansi Minimum
PFGPGGRK *1* ][ −+=
)0()0(* PxxJ =
GPFPGGRPGFFPFFQP 1*** ][ −+−−+=
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik
)(tP )(tK
Bab 2
Bab 3
Bab 1
Bab 5
Bab 4|Analisis dan Pembahasan
Analisis danPembahasan
Dita Marsa Yuanita
Kendali Optimal Linier KuadratiSteady State
Diberikan sistem
Dengan
Indeks performansi kuadratik
∑∞
=
+
=
0
** )]()()(5.00
01)([
ttututxtxJ
)(01
)(15.000
)1( tutxtx
+
−
=+
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik
=
22
)0(x
Bab 2
Bab 3
Bab 1
Bab 5
Bab 4|Analisis dan Pembahasan
Analisis danPembahasan
Dita Marsa Yuanita
Kendali Optimal Linier KuadratiSteady State
Penyelesaian PRAWD Steady State
Iterasi dengan batas Didapat nilai matriksyang tetap
Matriks gain umpan balik Indeks PerformansiMinimum
−
−=
7556.21328.11328.15664.1
ssP
=
0000
)(tP
FtGPGtPGRGtPFFFtPFQtP )(])([)()()1( 1*** −+−−+=+
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik
[ ]4414.02207.0 −=K2656.8=J
Bab 2
Bab 3
Bab 1
Bab 5
Bab 4|Analisis dan Pembahasan
Analisis danPembahasan
Dita Marsa Yuanita
Kendali Optimal Sistem Servo (plant Pendulum Terbalik)
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Diketahui
Maka persamaan keadaan
Persamaan output[ ]
=
4
3
2
1
0100
xxxx
y
u
xxxx
xxxx
−
+
−
=
4.00
2.00
000981.010000003955.50010
4
3
2
1
4
3
2
1
mlkgmkgM 2,25.0,5.2 ===
Bab 2
Bab 3
Bab 1
Bab 5
Bab 4|Analisis dan Pembahasan
Analisis danPembahasan
Dita Marsa Yuanita
Kendali Optimal Sistem Servo (plant Pendulum Terbalik)
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Pendiskritan pada sistem
[ ]
=
4
3
2
1
0100
xxxx
y
u
xxxx
txtxtxtx
−−
+
−−−−
=
++++
04.0002.00202.0001.0
100049.0099.01.010002.00049.0
000271.15444.0001009.00271.1
)1()1()1()1(
4
3
2
1
4
3
2
1
Bab 2
Bab 3
Bab 1
Bab 5
Bab 4|Analisis dan Pembahasan
Analisis danPembahasan
Dita Marsa Yuanita
Kendali Optimal Sistem Servo (plant Pendulum Terbalik)
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Persamaan ruang keadaan
DenganPerhatikan bahwa
dan
)(ˆ)( tKtw ξ−=
)(
002.004.0002.00202.0001.0
)(
11.010002.00049.00100049.0099.001.010002.00049.00000271.15444.00001009.00271.1
)1( twtt
−
−−
+
−−−−−−=+ ξξ
−
=
−
=
=
CGG
GCFF
Ftvtx
tE
E ˆ,10ˆ,
)()(
)(ξ[ ]
−==
)()(
1)()(tvtx
KKtutwE
EE
Bab 2
Bab 3
Bab 1
Bab 5
Bab 4|Analisis dan Pembahasan
Analisis danPembahasan
Dita Marsa Yuanita
Kendali Optimal Sistem Servo (plant Pendulum Terbalik)
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Indeks Performansi Kontinu
didiskritkan
Dengan
∫∞
+=0
** )]()()()([ dttRwtwtQtJ ξξ
∑∞
=
+=0
** )()()()(t
tRwtwtQtJ ξξ
1,
1000001000001000000010000010
=
= RQ
Bab 2
Bab 3
Bab 1
Bab 5
Bab 4|Analisis dan Pembahasan
Analisis danPembahasan
Dita Marsa Yuanita
Kendali Optimal Sistem Servo (plant Pendulum Terbalik)
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Matriks gain umpan balik
Konstanta gain integral
[ ]0594.202665.171883.745430.116 −−−−=K
6623.01 −=K
Bab 2
Bab 3
Bab 1
Bab 5
Bab 4|Analisis dan Pembahasan
Analisis danPembahasan
Dita Marsa Yuanita
Kendali Optimal Sistem Servo (plant Pendulum Terbalik)
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Persamaan ruang keadaan
Respon Tangga Satuan
Dengan
rItv
txCGKCGKCF
GKGKFtvtx
+
−+−
−=
++ 0
)()(
1)1()1(
1
1
[ ]
=
)()(
000011 tvtx
x [ ][ ][ ][ ][ ]10000
0100000100
0001000001
=====
MMLLCCJJHH
Bab 2
Bab 3
Bab 1
Bab 5
Bab 4|Analisis dan Pembahasan
Analisis danPembahasan
Dita Marsa Yuanita
Kendali Optimal Sistem Servo (plant Pendulum Terbalik)
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Bab 2
Bab 3
Bab 1
Bab 5
Bab 4|Analisis dan Pembahasan
Analisis danPembahasan
Dita Marsa Yuanita
Kendali Optimal Sistem Servo (plant Pendulum Terbalik)
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Bab 2
Bab 3
Bab 1
Bab 5
Bab 4|Analisis dan Pembahasan
Analisis danPembahasan
Dita Marsa Yuanita
Kendali Optimal Sistem Servo (plant Pendulum Terbalik)
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Bab 2
Bab 3
Bab 1
Bab 5
Bab 4|Analisis dan Pembahasan
Analisis danPembahasan
Dita Marsa Yuanita
Kendali Optimal Sistem Servo (plant Pendulum Terbalik)
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Bab 2
Bab 3
Bab 1
Bab 5
Bab 4|Analisis dan Pembahasan
Analisis danPembahasan
Dita Marsa Yuanita
Kendali Optimal Sistem Servo (plant Pendulum Terbalik)
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Bab 2
Bab 3
Bab 1
Bab 5
Bab 4|Analisis dan Pembahasan
Analisis danPembahasan
Dita Marsa Yuanita
Sifat Penyelesaian PRAWD
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik
Sifat 4.1. [4]Misal matriks Hermit dan
maka
dan
dan
XXFFQQXFGSSXGGRR −+=+=+= *** ~,~,~
)~,~,~,,;(),,,,;( QSRGFXPDQSRGFPD −=
)~,~,~,,;(),,,,;( QSRGFzQSRGFz Ψ=Ψ
)~,~,,,(),,,( SRGFXPSRFP −Φ=Φ
Definisikan)()(),,,( *1* PFGSPGGRGFSRFP ++−=Φ −
[ ]
−
−=Ψ
−−−
IGFzI
RSSQ
IFzGQSRGFz1*
1*1* )()(),,,,;(
Bab 2
Bab 3
Bab 1
Bab 5
Bab 4|Analisis dan Pembahasan
Analisis danPembahasan
Dita Marsa Yuanita
Sifat Penyelesaian PRAWD
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik
Dari definisi
karena
Bukti
[ ]
−
+++−+
−=Ψ−
−−
IGFzI
XGGRXFGSXGFSXXFFQ
IFzGQSRGFz1
**
***1*1* )(
)()~,~,~,,;(
GFxIXFIzGGIFzIFXG
GIFzIFXFFzG
11*1*
1*
1*1*1*
)()())((
))(()(
−−−
−
−−−
−−−
+−+
+−−=
[ ]
−
−−=
−−−
IGFzI
XGGXFGXGFXXFF
IFzGzT1
**
**1*1* )(
)()(
)(),,,,;()~,~,~,,;( zTQSRGFzQSRGFz +Ψ=Ψ
11 )()( −− −=+− FzIzIFzIF
0)(][)( 1*** =−−+−= − GFzIXIzFzFIGzT
),,,,;()~,~,~,,;( QSRGFzQSRGFz Ψ=Ψ
Bab 2
Bab 3
Bab 1
Bab 5
Bab 4|Analisis dan Pembahasan
Analisis danPembahasan
Dita Marsa Yuanita
Sifat Penyelesaian PRAWD
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik
Sifat 4.2. [4]Misal adalah penyelesaian dari danadalah suatu penyelesaian dari dengan
Maka adalah penyelesaian persamaan0][)(
2222
*1* =++−= −PPPP YFGYGGRYGFYFFYYH
2P P̂)(PD
)(PD
2ˆ PP −=∆
GPGRR
FPGSGPGRGFFP
2*
2*1
2*
~)()(
2
+=
++−= −
Bab 2
Bab 3
Bab 1
Bab 5
Bab 4|Analisis dan Pembahasan
Analisis danPembahasan
Dita Marsa Yuanita
Sifat Penyelesaian PRAWD
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik
Bukti
Dari Sifat 4.1Jika dan penyeleseaian dari makaterdapat
Didapat
Akan dibuktikan bahwa
Dengan kata lain0][)(
2222
*1* =∆∆+∆+∆−∆=∆ −PPPP FGGGRGFFFH
UGFFP~
2−=
GFSSGGRR
GPFSSGPGRR
GPFSSGPGRR
∆=−∆=−
=−=−
=−=−
***
***
2**
2*
)~ˆ(,~ˆ
ˆ)ˆ(,ˆˆ)~(,~
SRUFPGSSGPGRR ~~~,~,~ 12
*2
* −=+=+=
SRUFPGSSGPGRR ˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆ 1** −=+=+=
2222
*1* ][ PPPP FGGGRGFFF ∆∆+∆−=∆−∆ −
2P P̂ )(PD
Bab 2
Bab 3
Bab 1
Bab 5
Bab 4|Analisis dan Pembahasan
Analisis danPembahasan
Dita Marsa Yuanita
Sifat Penyelesaian PRAWD
Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik
Bukti
Dari persamaan sebelumnya
Terbukti bahwa adalah penyelesaian dari
)~()~( *22
UGFUGFFF PP −∆−−∆=∆−∆
∆22
22
*1*
*1**
1*11**
1*1*1*12
*1*
12
*1*1**
*1**1*1*
******
)ˆ(
)(ˆ)(
)~~ˆˆ(ˆ)ˆ~~ˆ(
~~ˆ~~~ˆˆˆ~~)ˆ(~~
~~)ˆ(~~)~~)~ˆ((
)~~)~ˆ(()ˆˆˆ~~~(
)~~()~()~()(
PP
PP
FGGPGRGF
FGRFG
SRRSRRRSS
SRSSRSSRSSRGPPGRS
SRGPPGRSSRSS
SRSSSRSSRS
UGGUUGFFGUFF
∆+∆−=
∆∆−=
−−−=
++−−−=
−−−+
−+−=
∆−∆+∆+∆−∆=
−
−
−−−
−−−−−
−−−
−−−
0)( =YH
Bab 2
Bab 3
Bab 4
Bab 1
Bab 5|Penutup
Penutup
Dita Marsa YuanitaPenggunaan dan Sifat Penyelesaian
Kesimpulan
Saran
Bab 2
Bab 3
Bab 4
Bab 1
Bab 5|Penutup
Penutup
Dita Marsa Yuanita
Kesimpulan1. Persamaan keadaan dan output dari sistem
pendulum terbalik berbentuk persamaan kontinudengan indeks performansi kontinu, pendiskritandilakukan untuk membentuk suatu sistem linierinvariant waktu diskrit dari sistem
2. Desain sistem servo diselesaikan dengan mendapatkan penyelesaian PRAWD matriks dan konstanta integral dari persamaan ruang keadaan
PK 1K
)(ˆ)(
)(ˆ)(ˆ)1(
tKtw
twGtFt
ξ
ξξ
−=
+=+
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Bab 2
Bab 3
Bab 4
Bab 1
Bab 5|Penutup
Penutup
Dita Marsa Yuanita
Kesimpulan
4. Fungsi , dan mampu mempertahankan sifat invariant jika digantikan oleh dengan
5. Apabila dan merupakan penyelesaianmaka penyelesaian dari
merupakan penyelesaian minimum dari
)(),(),(),( 4321 txtxtxtx
)(PD )(zΨ),,,( SRFPΦ
P̂ )(PD
)(PD
0][)(2222
*1* =++−= −PPPP YFGYGGRYGFYFFYYH
2ˆ PP −=∆
)()(5 tvtx =
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
3. Dari matriks dan dapat diperolehrespon tangga satuandan
K 1K
XXFFQQXFGSSXGGRR −+=+=+= *** ~,~,~
2P
2P
Bab 2
Bab 3
Bab 4
Bab 1
Bab 5|Penutup
Penutup
Dita Marsa YuanitaPersamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik
Saran
1. Dapat diteliti penyelesaian permasalahan kendali optimalpada kasus waktu kontinu
2. Dapat dianalisis juga mengenai persamaanRiccati aljabar kontinu serta sifatpenyelesaiannya
3. Dapat ditunjukkan hubungan antara sifatpenyelesaian Riccati aljabar dengan masalahKendali Optimal
Bab 1
Bab 2
Bab 3
Bab 4
Bab 5
Daftar Pustaka
Dita Marsa Yuanita
[1] Bellon, J. (2008) "Riccati Equations in Optimal Control Theory“. Mathematics Theses, Georgia State University.
[3] Ogata, K. (1995). “Discrete-Time Control System”.Prentice-Hall International, London.
[4] Subiono. (2010). “Matematika Sistem”. Jurusan Matematika, FMIPA ITS.
[2] Clements, D. J., Wimmer, H.K. (2003). “Existence and Uniqueness of Unmixed Solutions of The Discrete-time Algebraic Riccati Equations”. Systems and Control Letters, Vol. 50, Hal 343-340.
Penggunaan dan Sifat Penyelesaian
Penggunaan PenyelesaianPersamaan Riccati Aljabar Waktu Diskritpada Kendali Optimal Linier Kuadratikdan Sifat-Sifatnya
Dita Marsa Yuanita1209 100 019
PembimbingSoleha, M.Si