PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA … · PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI...
Transcript of PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA … · PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI...
i
PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA
POPULASI DENGAN KONDISI ADANYA PENCILAN
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh :
Petronela Yuni Iswari
NIM: 133114001
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
ON THE ESTIMATION OF POPULATION MEAN
CONFIDENCE INTERVAL IN THE PRESENCE OF
OUTLIERS
A Thesis
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Degree of Sarjana Sains
Mathematics Study Program
Written by :
Petronela Yuni Iswari
Student Number: 133114001
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Skripsi ini dipersembahkan untuk:
Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang senantiasa menyertai, memberikan
berkat-Nya, dan memberi perlindungan sepanjang perjalanan hidup saya.
Kedua orangtua, Bapak Hendricus Bagyo dan Ibu Margaretta Istikomah, S.Pd, serta
kakak Heribertus Henta Nooristyanto, S.T yang selalu mendokan, memberi kasih
sayang, serta menjadi penyemangat dalam hidup saya.
“Aku tahu, bahwa Engkau sanggup melakukan segala sesuatu, dan tidak ada
rencana-Mu yang gagal.” (Ayub 42:2)
“Banyaklah rancangan di hati manusia, tetapi keputusan Tuhanlah yang
terlaksana.” (Amsal 19:21)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Pencilan adalah nilai ekstrim yang muncul di dalam suatu analisis data. Adanya
pencilan dapat mengakibatkan bias kesimpulan atas hasil analisis. Untuk
mendeteksi pencilan digunakan metode grafis, Boxplot, Uji Grubbs, dan Uji MAD.
Penulisan skripsi ini bertujuan untuk menduga selang kepercayaan rata-rata
populasi dengan kondisi adanya pencilan. Untuk menyimpulkan hasil analisis pada
data yang memuat pencilan digunakan statistik robust (kekar) yang menghasilkan
kesimpulan data tetap akurat meskipun dalam keadaan yang tidak ideal. Statistik
robust yang digunakan adalah penduga median (Fraiman, et al) dan penduga 𝑀
(penduga Huber). Dalam skripsi ini digunakan empat metode selang kepercayaan,
yaitu metode selang kepercayaan dengan penduga rata-rata, median (Kendall and
Stuart), median (Fraiman, et al), dan penduga Huber. Selang kepercayaan robust
dengan simulasi data acak diperoleh dari distribusi Normal, Cauchy, dan Chi-
Square dengan ukuran 𝑛 = 10, 50, 100, dan 500 untuk setiap distribusi. Hasil
simulasi menunjukkan bahwa selang kepercayaan robust bagi parameter lokasi
dengan penduga median (Fraiman, et al) dan penduga Huber adalah selang
kepercayaan robust yang insensitif terhadap adanya pencilan. Hal ini disebabkan
karena hasil dari standard error (galat standar) dan lebar selang kepercayaan yang
tetap, meskipun nilai pencilan semakin besar untuk setiap ukuran sampel yang
diberikan.
Kata Kunci: Pencilan, Pendeteksian Pencilan, Statistik Robust, Penduga Robust,
Selang Kepercayaan Robust.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
An outlier is an extreme value which is appeared in data analysis. The presence of
outliers will affect to the bias conclusion of analytical results. Graphical method,
Boxplot, Grubbs Test, and MAD Test can be applied to detect the presence of
outliers. The purpose of this thesis is to estimate the population mean confidence
interval in the presence of outliers. To summarize the results of the analysis on the
data contains the outliers, robust statistics is used so that the result in the conclusion
of the data remains accurate although it is not ideal. Robust statistics for location
parameters which were used are median estimators (Fraiman, et al) and M
estimators (Huber estimators). We apply four confidence interval methods that are
confidence interval method for mean estimators, median estimators (Kendall and
Stuart), median estimators (Fraiman, et al), and Huber estimators. Robust
confidence interval with random data simulation was obtained from Normal,
Cauchy, and Chi-Square distributions of sample sizes 𝑛 = 10, 50, 100, and 500 for
each distributions. From the simulation, robust confidence interval for location
parameters with the median estimators (Fraiman, et al) and Huber estimators were
insensitive robust confidence interval to the presence of outliers while two others
were sensitive. It is due to the value of the standard error and the width of the
confidence interval which remains constant although the value of the outlier
becomes bigger for each sample size.
Keywords: Outlier, Detection of Outlier, Robust Statistics, Robust Estimators,
Robust Confidence Intervals.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu
mencurahkan rahmat dan Roh KudusNya sehingga penulis mampu mengerjakan
dan menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini dibuat dengan tujuan
memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan
memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si.) pada Program Studi Matematika, Fakultas
Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Penulis menyadari bahwa proses penulisan skripsi ini melibatkan banyak
pihak untuk membantu dalam menghadapi berbagai macam tantangan, kesulitan
dan hambatan selama proses penulisan skripsi. Oleh karena itu, pada kesempatan
ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing skripsi
yang telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran, serta dengan penuh
kesabaran telah memberikan masukan, nasihat dan arahan kepada
penulis.
2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan
Fakultas Sains dan Teknologi.
3. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.
4. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Wakaprodi Matematika
dan Dosen Pembimbing Akademik angkatan 2013.
5. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Dr. rer. nat. Herry P.
Suryawan, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak
Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., Bapak YG. Hartono, S.Si.,
M.Sc., Ph.D., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia
Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen Prodi Matematika yang
telah memberikan banyak pengetahuan dan pengalaman kepada penulis
selama proses perkuliahan.
6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan Bapak/Ibu
dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah banyak
membantu selama penulis berkuliah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ...........................................................................................i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ........................................ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................iii
HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................iv
HALAMAN PERSEMBAHAN .........................................................................v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .............................................................vi
ABSTRAK ..........................................................................................................vii
ABSTRACK .......................................................................................................viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ...................................................ix
KATA PENGANTAR ........................................................................................x
DAFTAR ISI .......................................................................................................xii
DAFTAR TABEL ...............................................................................................xvi
DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................xvii
BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................1
A. Latar Belakang ....................................................................................1
B. Rumusan Masalah ..............................................................................2
C. Pembatasan Masalah...........................................................................3
D. Tujuan Penulisan ................................................................................3
E. Manfaat Penulisan ..............................................................................4
F. Metode Penulisan ...............................................................................4
G. Sistematika Penulisan .........................................................................4
BAB II PENDUGAAN PARAMETER ..............................................................6
A. Statistika .............................................................................................6
B. Distribusi Probabilitas ........................................................................11
1. Variabel Acak ..............................................................................11
2. Fungsi Probabilitas bagi Variabel Acak .......................................12
3. Fungsi Distribusi Kumulatif .........................................................14
4. Karakteristik Distribusi Probabilitas ............................................14
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
C. Distribusi Sampling ............................................................................30
1. Teorema Limit Pusat ....................................................................30
2. Distribusi 𝑡 ....................................................................................32
D. Pendugaan Parameter .........................................................................33
1. Pendugaan (Estimasi) ...................................................................33
2. Macam-macam Pendugaan Parameter..........................................34
E. Konsistensi Penduga ...........................................................................45
F. Metode Kemungkinan Maksimum .....................................................47
G. Pencilan ..............................................................................................51
1. Definisi Pencilan ..........................................................................51
2. Pengaruh Pencilan ........................................................................55
3. Pendeteksian Pencilan ..................................................................56
BAB III SELANG KEPERCAYAAN ROBUST ................................................69
A. Statistik Robust ...................................................................................69
B. Pengujian Robustness .........................................................................70
C. Penduga 𝑀 (Penduga Huber) .............................................................75
D. MAD (Median Absolute Deviation) ...................................................79
E. Selang Kepercayaan Robust bagi Parameter Lokasi ..........................82
BAB IV SELANG KEPERCAYAAN ROBUST DENGAN SIMULASI DATA
ACAK ...................................................................................................85
BAB V PENUTUP ..............................................................................................89
A. Kesimpulan .........................................................................................89
B. Saran ...................................................................................................90
DAFTAR PUSTAKA .........................................................................................92
LAMPIRAN ........................................................................................................94
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Fungsi probabilitas banyaknya laptop yang rusak ............................... 13
Tabel 2.2 Nilai harapan dan galat standar beberapa penduga titik ....................... 38
Tabel 2.3 Banyaknya barang yang terjual dan harga barang ................................ 52
Tabel 2.4 Produksi hasil hutan rimba (kayu pertukangan) menurut jenisnya di
provinsi D. I. Yogyakarta ................................................................... 53
Tabel 2.5 Jumlah wisatawan yang masuk melalui pintu Makassar ...................... 56
Tabel 2.6 Durasi (dalam menit) periode aktif dari Geyser Old Faithful ............. 61
Tabel 2.7 Ketebalan lapisan oksida bagi silicon wafers ....................................... 63
Tabel 2.8 Data Boiler ........................................................................................... 66
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Fungsi probabilitas Normal ............................................................. 24
Gambar 2.2 Distribusi nilai dugaan ..................................................................... 35
Gambar 2.3 Distribusi sampling untuk penduga titik bias positif ....................... 35
Gambar 2.4 Fungsi probabilitas bagi 𝑈 ............................................................... 42
Gambar 2.5 Letak −𝑧𝛼 2⁄ dan 𝑧𝛼 2⁄ ...................................................................... 44
Gambar 2.6 Harga barang terhadap banyaknya barang yang terjual ................... 53
Gambar 2.7 Produksi hasil hutan rimba terhadap waktu ..................................... 54
Gambar 2.8 Scatter-plot jumlah wisman dan pengunjung asing ......................... 57
Gambar 2.9 Anatomi dari Boxplot ....................................................................... 60
Gambar 2.10 Boxplot contoh 2.29 ....................................................................... 61
Gambar 2.11 Perbandingan boxplot untuk data ketebalan lapisan oksida .......... 64
Gambar 3.1 Kurva sensitivitas untuk rata-rata .................................................... 72
Gambar 3.2 Kurva sensitivitas untuk median ...................................................... 73
Gambar 3.3 Kurva sensitivitas untuk median contoh 3.4 .................................... 74
Gambar 3.4 (a) Fungsi tujuan, 𝜌(𝑥; 𝑡) = (𝑥 − 𝑡)2 ............................................. 76
(b) Fungsi 𝜓,𝜓(𝑥; 𝑡) = 𝑥 − 𝑡.......................................................... 77
Gambar 3.5 Pendugaan dengan fungsi tujuan mutlak residual. (a) Fungsi tujuan,
𝜌(𝑥; 𝑡) = |𝑥 − 𝑡|; (b) Fungsi 𝜓, 𝜓(𝑥; 𝑡) = sgn(𝑥 − 𝑡) .................. 79
Gambar 3.6 Hasil pendeteksian uji MAD ........................................................... 80
Gambar 3.7 (a) Kurva sensitivitas untuk MAD .................................................. 81
(b) Kurva sensitivitas untuk standar deviasi .................................... 82
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Pendugaan sering muncul di lingkungan sekitar dalam kehidupan sehari-
hari yang tidak dapat dihindari. Permasalahan yang sering terjadi adalah
bagaimana dugaan tersebut dapat mendekati kebenaran. Terdapat dua jenis
pendugaan, yaitu pendugaan titik dan pendugaan selang. Pendugaan titik
adalah penentuan suatu nilai tunggal berdasarkan atas sampel yang dengan baik
menduga parameter sasaran, sedangkan pendugaan selang adalah penentuan
batas-batas selang nilai, yang disebut batas atas (𝜃𝑈) dan batas bawah (𝜃𝐿).
Batas-batas itu dihitung berdasarkan pengukuran sampel dan hasilnya
mempunyai peluang tertentu yang memuat parameter sasaran (Wackerly, et al,
2008: 391). Peluang tersebut disebut tingkat kepercayaan. Tingkat kepercayaan
itu sering dinyatakan dengan persen (%) dan memuat parameter tertentu (𝜃)
yang disebut koefisien kepercayaan. Selang yang dihasilkan dengan tingkat
kepercayaan tertentu disebut selang kepercayaan. Bentuk selang kepercayaan
yang sering digunakan adalah
𝑷(𝜃𝐿 < 𝜃 < 𝜃𝑈) = 1 − 𝛼, 0 < 𝛼 < 1,
dengan 1 − 𝛼 adalah koefisien kepercayaan dan 𝜃𝐿 < 𝜃 < 𝜃𝑈 adalah selang
kepercayaan.
Pada umumnya bentuk selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜇 adalah
�̅� − 𝑧𝛼 2⁄ ∙𝜎
√𝑛< 𝜇 < �̅� + 𝑧𝛼 2⁄ ∙
𝜎
√𝑛
dengan 𝜎 adalah standar deviasi populasi yang diketahui dan 𝑧𝛼 2⁄ adalah
kuartil ke (𝛼 2⁄ ) dari distribusi Normal standar 𝑍 dengan 𝑛 ≥ 30 menurut
Teorema Limit Pusat.
Suatu pendugaan yang dilakukan tidak tertutup kemungkinan akan
terjadi kesalahan (error). Kondisi tersebut kerap kali dipengaruhi oleh adanya
pencilan (outlier) yang dapat mengganggu proses analisis data, sehingga
pendeteksian pencilan sangat penting untuk dilakukan. Pencilan (outlier)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
adalah data yang memiliki perbedaan cukup ekstrim bila dibandingkan dengan
data lainnya (Barnett, 1978: v). Pengaruh pencilan pada proses analisis data,
salah satunya adalah terhadap nilai rata-rata dan standar deviasi. Adanya
pencilan dapat menunjukkan kesalahan pengukuran dalam distribusi data, serta
dapat menyebabkan variansi data menjadi besar, selang data menjadi lebar, dan
rata-rata tidak dapat menunjukkan nilai yang sebenarnya (bias). Oleh karena
itu, akan lebih baik jika pencilan dihapuskan supaya tidak ada kejanggalan
dalam analisis data, tetapi diupayakan terlebih dahulu untuk menyelidiki
penyebab adanya pencilan. Di sisi lain, adakalanya pencilan tidak dapat
dihapuskan begitu saja karena pencilan dapat memberikan suatu informasi
yang tidak dapat diberikan oleh data lainnya.
Skripsi ini akan membahas tentang selang kepercayaan yang robust
(kekar). Sifat robust (kekar) sendiri memiliki kinerja yang baik dalam
menghasilkan pendugaan yang dapat mencapai kebenaran yang memuaskan
dengan selang kepercayaan yang cenderung lebih sempit. Kata “robust”
(kekar) seringkali muncul di dalam proses analisis data yang menginginkan
pencilan tetap ada, namun tidak menyebabkan adanya kejanggalan. Dengan
demikian, akan diperoleh selang kepercayaan baru yang menjadikan selang
kepercayaan dapat tetap kekar untuk digunakan dalam pendugaan rata-rata
populasi. Akan diperkenalkan selang kepercayaan robust bagi parameter lokasi
dengan penduga median dan penduga Huber. Selang kepercayaan robust bagi
parameter lokasi dengan penduga Median dibedakan menjadi dua berdasarkan
galat standar yang diberikan oleh Fraiman, et al (2001) dengan Kendall dan
Stuart (2001).
B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada skripsi ini adalah:
1. Bagaimana cara mengetahui data yang mengandung pencilan?
2. Apa pengaruh pencilan dalam pendugaan selang kepercayaan rata-rata
populasi?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
3. Bagaimana penduga robust (kekar) dapat membuat selang kepercayaan
menjadi lebih baik dengan adanya pencilan?
4. Bagaimana perbandingan selang kepercayaan yang robust dengan selang
kepercayaan yang biasa?
C. Pembatasan Masalah
Penulis akan membatasi penulisan agar menjadi lebih terarah dan tidak
menyimpang dari masalah yang akan dibahas, yaitu:
1. Data yang digunakan dalam penulisan hanyalah data yang mengandung
pencilan univariat.
2. Metode yang digunakan dalam pengujian sifat robust yang dimiliki oleh
suatu penduga hanya dengan menggunakan kurva sensitivitas.
3. Penulis hanya menggunakan dua penduga robust dengan menggunakan
penduga median (Fraiman, et al) dan penduga M (Huber) bagi parameter
lokasi.
4. Galat standar dan lebar selang yang dihasilkan dari selang kepercayaan
bagi suatu penduga akan dibandingkan dengan galat standar dan lebar
selang yang dihasilkan dari selang kepercayaan bagi penduga lainnya.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan yang ingin dicapai penulis, selain untuk memenuhi syarat skripsi
dalam Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma, juga untuk:
1. Mengetahui penduga robust dalam menduga parameter lokasi untuk data
yang memuat pencilan.
2. Mengetahui seberapa robust (kekar) selang kepercayaan yang terbentuk
dari suatu data yang memuat pencilan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
E. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
1. Penulis memperoleh pengetahuan baru selama mengerjakan tulisan ini.
2. Pembaca mendapat gambaran tentang pendugaan selang kepercayaan
bagi rata-rata populasi dengan kondisi adanya pencilan di dalam suatu
data.
3. Skripsi ini dapat dijadikan referensi bagi penganalisis lain.
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan penulis dalam penulisan skripsi ini
adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-
buku atau jurnal yang berkaitan dengan pendugaan selang kepercayaan rata-
rata populasi, pencilan, serta sifat robust (kekar) dari selang kepercayaan.
G. Sistematika Penulisan
Skripsi ini ditulis menggunakan sistematika berikut:
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II PENDUGAAN PARAMETER
A. Statistika
B. Distribusi Probabilitas
C. Distribusi Sampling
D. Pendugaan Parameter
E. Konsistensi Penduga
F. Metode Kemungkinan Maksimum
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
G. Pencilan
BAB III SELANG KEPERCAYAAN ROBUST
A. Statistik Robust
B. Pengujian Robustness
C. Penduga M
D. MAD (Median Absolute Deviation)
E. Selang Kepercayaan yang Robust bagi Parameter Lokasi
BAB IV SELANG KEPERCAYAAN ROBUST DENGAN SIMULASI
DATA ACAK
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II
PENDUGAAN PARAMETER
A. Statistika
Teknik statistik hampir digunakan dalam setiap fase kehidupan banyak
orang di berbagai bidang. Contohnya, para ahli ekonomi yang mengamati
berbagai indeks kesehatan ekonomi selama periode waktu dan menggunakan
informasi tersebut untuk meramalkan kondisi ekonomi di masa depan, serta
pelaksanaan survey yang dirancang untuk mengumpulkan data pada hari
pemilihan dan meramalkan hasil pemilu.
Definisi dari statistika sendiri muncul dari para statistikawan. Stuart dan
Ord (1991) menyatakan: "Statistika adalah cabang dari metode ilmiah yang
berkaitan dengan data yang diperoleh dengan menghitung atau mengukur sifat
dari populasi. Rice (1995) dalam komentarnya mengenai eksperimen dan
aplikasi dalam statistika, menyatakan bahwa statistika pada dasarnya berkaitan
dengan prosedur untuk menganalisis data, terutama data yang memiliki karakter
acak. Freund dan Walpole (1987) menyatakan statistika adalah ilmu yang
mendasarkan kesimpulan pada data yang diamati dan seluruh masalah dalam
membuat keputusan dalam menghadapi ketidakpastian. Mood, Graybill, dan
Boes (1974) mendefinisikan statistika sebagai teknologi dari metode ilmiah dan
menambahkan bahwa statistika berkaitan dengan desain eksperimen dan
penyelidikan, serta statistika inferensi. Dari beberapa definisi tersebut dapat
disimpulkan bahwa statistika adalah sekumpulan metode untuk merencanakan
eksperimen, mengumpulkan data, menganalisis, menafsirkan dan mengambil
kesimpulan berdasarkan data.
Pengambilan sampel dari populasi yang akan diteliti diperlukan untuk
mengambil kesimpulan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
Definisi 2.1
Populasi adalah kumpulan yang lengkap dari semua elemen (nilai, orang, benda,
hasil, dan lain-lain) yang menjadi pusat perhatian untuk dipelajari dan diteliti.
Lengkap berarti mencakup semua obyek yang akan diambil kesimpulannya.
Banyaknya observasi dalam populasi didefinisikan sebagai ukuran
populasi. Di bidang statistika inferensi, statistik tertarik pada kesimpulan
mengenai populasi bila tidak memungkinkan untuk mengamati seluruh
pengamatan yang membentuk populasi. Misalnya, dalam upaya untuk
menentukan rata-rata hidup dari suatu lampu merk tertentu. Hal ini tidak
mungkin untuk menguji semua lampu. Biaya yang terlalu tinggi juga bisa
menjadi faktor penghalang dalam mengamati seluruh populasi. Oleh karena itu,
pengamatan bergantung pada bagian dari populasi, yang disebut sampel, untuk
membantu memperoleh kesimpulan tentang populasi yang diamati berdasarkan
informasi yang terdapat di dalam sampel .
Definisi 2.2
Sampel adalah himpunan bagian dari populasi yang menjadi perhatian kita.
Jika menginginkan kesimpulan yang valid, maka harus didapatkan sampel
yang mewakili populasi. Oleh karena itu, diperlukan pemilihan sampel secara
acak, yaitu setiap individu dalam populasi mempunyai peluang tertentu untuk
dipilih sebagai anggota sampel. Tujuan utama dalam memilih sampel secara
acak adalah untuk memperoleh informasi tentang parameter populasi yang tidak
diketahui.
Definisi 2.3
Parameter adalah karakteristik dari populasi yang biasa dinyatakan dalam suatu
nilai/konstanta.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Secara umum, parameter dilambangkan dengan 𝜃. Parameter 𝜃 dapat
berupa rata-rata µ, variansi 𝜎2 dan proporsi 𝑝. Parameter dibagi menjadi dua
bagian, yaitu parameter lokasi dan parameter skala yang definisi eksaknya akan
dibahas kemudian pada Definisi 2.15 dan Definisi 2.18. Parameter lokasi
dirancang untuk memenuhi analisis dengan banyaknya nilai pada data yang
berada di pusat. Contohnya adalah rata-rata µ dan median. Sedangkan parameter
skala dirancang untuk mengetahui penyebaran data analisis. Contoh dari
parameter skala adalah variansi 𝜎2 dan standar deviasi 𝜎.
Definisi 2.4
Statistik adalah fungsi dari variabel-variabel acak yang diamati dalam sampel
dan dinyatakan dalam suatu bilangan.
Ada beberapa contoh statistik, yaitu rata-rata sampel �̅�, standar deviasi sampel
𝑠, dan proporsi sampel �̂�. Parameter 𝜇, 𝜎2 dan 𝑝 adalah parameter yang nilainya
sama sekali tidak terpengaruh atau dipengaruhi oleh pengamatan sampel acak.
Statistik yang paling umum digunakan adalah mean (rata-rata), median (nilai
tengah) dan modus.
Definisi 2.5
Misalkan pengamatan di dalam sampel berukuran 𝑛 adalah 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛.
Rata-rata sampel dilambangkan dengan �̅� yang didefinisikan sebagai
�̅� =𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛=∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1
𝑛.
Definisi 2.6
Diberikan pengamatan sampel 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛. Sampel disusun dari data yang
nilainya terkecil hingga data yang nilainya terbesar, maka nilai tengah (median)
sampel adalah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
�̃� = {
𝑥(𝑛+1)/2 , jika 𝑛 bilangan ganjil,
1
2(𝑥𝑛/2 + 𝑥𝑛
2+1) , jika 𝑛 bilangan genap,
dengan 𝑥(𝑛+1)/2 adalah pengamatan ke- (𝑛 + 1)/2 dari variabel acak 𝑋.
Definisi 2.7
Modus sampel adalah nilai dari sampel yang paling sering muncul atau memiliki
frekuensi yang paling besar.
Ukuran variasi yang lebih umum digunakan dalam statistika adalah variansi
yang merupakan fungsi deviasi (atau jarak) ukuran sampel dari rata-ratanya.
Definisi 2.8
Variansi dari sampel berukuran 𝑛, diberikan sebagai berikut
𝑠2 =∑ (𝑥𝑖 − �̅�)
2𝑛𝑖=1
𝑛 − 1.
Variansi populasi yang sesuai, dilambangkan dengan 𝜎2.
Definisi 2.9
Standar deviasi dari sampel berukuran 𝑛 adalah akar kuadrat positif dari variansi
yang diberikan sebagai berikut
𝑠 = √𝑠2.
Standar deviasi populasi yang sesuai, dilambangkan dengan 𝜎 = √𝜎2.
Contoh 2.1
Dari hasil penelitian mengenai nilai ujian matematika dari 50 mahasiswa
diperoleh data sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Carilah rata-rata, median, modus, variansi serta standar deviasi dari sampel
penelitian tersebut.
Solusi:
Rata-rata Sampel
�̅� =∑ 𝑥𝑖50𝑖=1
50=3292
50= 65.8.
Median Sampel
Data penelitian yang sudah urut adalah sebagai berikut:
sehingga diperoleh,
�̃� =1
2(𝑥25 + 𝑥26) =
1
2(67 + 68) = 67.5.
Modus Sampel
Nilai yang sering muncul dalam pengamatan sampel adalah 74, yaitu sebanyak
empat kali. Oleh karena itu, modus sampel dari pengamatan adalah 74.
Variansi Sampel
𝑠2 =∑ (𝑥𝑖 − 65.8)
250𝑖=1
49=19080.04
49= 389.3886.
42 74 68 54 78 57 83 71 41 89
64 50 76 100 90 74 59 89 98 23
84 64 90 95 33 45 71 87 66 67
57 78 62 38 79 65 87 67 42 74
71 50 34 57 90 69 59 23 74 34
23 23 33 33 34 38 41 42 42 45
50 50 54 57 57 57 59 59 62 64
64 65 66 67 67 68 69 71 71 71
74 74 74 74 76 78 78 79 83 84
87 87 89 89 90 90 90 95 98 100
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Standar Deviasi Sampel
𝑠 = √389.3886 = 19.73.
B. Distribusi Probabilitas
1. Variabel Acak
Definisi 2.10
Variabel acak adalah fungsi bernilai bilangan real yang domainnya adalah
ruang sampel.
Variabel acak dinotasikan dengan huruf kapital dan nilainya
dinotasikan dengan huruf kecil. Misalkan 𝑋 menyatakan variabel acak,
maka nilai dari 𝑋 adalah 𝑥.
Definisi 2.11
Variabel acak 𝑋 dikatakan variabel acak diskrit jika himpunan dari
kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika hal ini tidak terpenuhi, maka
variabel acak 𝑋 disebut variabel acak kontinu.
Contoh 2.2
Para statistikawan menggunakan perencanaan pengambilan sampel untuk
menerima atau menolak sekumpulan barang. Misalnya, salah satu rencana
pengambilan sampel yaitu sampel diambil secara acak sebanyak 10 dari
100 barang. Dari 100 barang tersebut terdapat 12 barang yang rusak.
Misalkan 𝑋 adalah variabel acak yang didefinisikan sebagai banyaknya
barang yang ditemukan rusak dalam sampel dari 10 barang. Dalam hal ini,
variabel acak bernilai 0,1,2, . . . ,9,10.
Contoh 2.3
Pusat survey melakukan percobaan dengan mengirimkan surat pada para
responden dan melihat proporsi responden dalam merespon surat tersebut.
Misalkan 𝑋 adalah variabel acak yang didefinisikan sebagai proporsi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
responden. 𝑋 akan memuat semua nilai 𝑥 dalam selang
0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
2. Fungsi Probabilitas bagi Variabel Acak
Fungsi probabilitas dibagi menjadi dua macam, yaitu fungsi
probabilitas diskrit dan kontinu.
a. Fungsi Probabilitas Diskrit
Definisi 2.12
Himpunan pasangan terurut (𝑥, 𝑝(𝑥)) adalah suatu fungsi
probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel acak
diskrit 𝑋, jika
1. 0 ≤ 𝑝(𝑥) ≤ 1 untuk setiap 𝑥,
2. ∑ 𝑝(𝑥)𝑥 = 1,
3. 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑝(𝑥).
Contoh 2.4
Pengiriman 20 laptop ke toko pengecer berisi 3 yang rusak. Apabila
ada sekolah yang membeli laptop secara acak sebanyak 2 laptop,
temukanlah distribusi probabilitas untuk banyaknya laptop yang
rusak.
Solusi:
Misalkan 𝑋 adalah variabel acak yang nilainya 𝑥, yaitu kemungkinan
banyaknya laptop rusak yang dibeli oleh sekolah. Kemudian 𝑥 hanya
dapat berisi nilai 0,1, dan 2, sehingga diperoleh
𝑝(0) = 𝑃(𝑋 = 0) =(30)(17
2)
(202)
=136
190,
𝑝(1) = 𝑃(𝑋 = 1) =(31)(17
1)
(202)
=51
190,
𝑝(2) = 𝑃(𝑋 = 2) =(32)(17
0)
(202)
=3
190.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Tabel 2.1. Fungsi probabilitas banyaknya laptop yang rusak
b. Fungsi Probabilitas Kontinu
Definisi 2.13
Fungsi 𝑓(𝑥) adalah fungsi probabilitas untuk variabel acak kontinu
𝑋, jika
1. 𝑓(𝑥) ≥ 0, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅,
2. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1∞
−∞,
3. 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎.
Contoh 2.5
Misalkan suhu dalam ℃ yang diuji dalam pengontrolan laboratorium
adalah suatu variabel acak kontinu 𝑋 yang mempunyai fungsi
probabilitas
𝑓(𝑥) = {𝑥2
3 , 𝑑𝑎𝑛 − 1 < 𝑥 < 2,
0 , lainnya.
a) Periksalah bahwa 𝑓(𝑥) adalah fungsi probabilitas.
b) Temukan 𝑃(0 < 𝑋 ≤ 1).
Solusi:
a) Dengan jelas, 𝑓(𝑥) ≥ 0.
Untuk memeriksa syarat kedua dalam Definisi 2.13, diperoleh
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑥2
3
2
−1𝑑𝑥 =
𝑥3
9| 2−1= 1
∞
−∞.
b) 𝑃(0 < 𝑋 ≤ 1) = ∫𝑥2
3
1
0𝑑𝑥 =
𝑥3
9| 10=
1
9.
𝑥 0 1 2
𝑝(𝑥) 136
190 51
190
3
190
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
3. Fungsi Distribusi Kumulatif
Definisi 2.14
Fungsi distribusi kumulatif 𝐹(𝑥) dari variabel acak 𝑋 dengan fungsi
probabilitas 𝑝(𝑥) adalah
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) =
{
∑ 𝑝(𝑡)
∀𝑡≤𝑥
, 𝑑𝑎𝑛jika 𝑋 diskrit
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥
−∞
, 𝑑𝑎𝑛jika 𝑋 kontinu
4. Karakteristik Distribusi Probabilitas
Distribusi probabilitas suatu variabel acak dicirikan dengan
parameter lokasi dan parameter skala.
Definisi 2.15
Misalkan 𝑓(𝑥; 𝜃, 𝜆) adalah sembarang fungsi probabilitas suatu variabel
acak 𝑋. Parameter 𝜃 adalah parameter lokasi jika fungsi probabilitas dapat
ditulis sebagai fungsi dari 𝑥 − 𝜃; yaitu 𝑓(𝑥; 𝜃, 𝜆) = ℎ(𝑥 − 𝜃; 𝜆) untuk
setiap fungsi ℎ(∗; 𝜆) yang tidak bergantung pada 𝜃.
Contoh 2.6
Diberikan fungsi probabilitas sebagai berikut
𝑓(𝑥; 𝜇, 𝜎) =1
𝜎√2𝜋𝑒−(1/2) [(𝑥−𝜇)/𝜎]
2.
Misalkan 𝑦 = 𝑥 − 𝜇, maka fungsi 𝑓(𝑥; 𝜇, 𝜎) dapat ditulis sebagai
ℎ(𝑦; 𝜎) =1
𝜎√2𝜋𝑒−(1/2) [𝑦/𝜎]
2.
Dengan demikian, 𝜇 adalah parameter lokasi.
Contoh 2.7
Jika 𝑋~𝑁(0, 𝜃), maka 𝑋 − 𝜃~𝑁(−𝜃, 𝜃) mempunyai distribusi yang tidak
bebas dari 𝜃. Dengan demikian, 𝜃 adalah bukan parameter lokasi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Definisi 2.16
Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 adalah variabel acak dari suatu distribusi dengan
fungsi probabilitas 𝑓(𝑥; 𝜇); 𝜇 ∈ Ω, Ω adalah ruang parameter. Penduga
𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛) didefinisikan sebagai ekuivarian lokasi jika dan hanya jika
𝑡(𝑥1 + 𝑐,… , 𝑥𝑛 + 𝑐) = 𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛) + 𝑐,
untuk semua nilai 𝑥1, … , 𝑥𝑛 dan sebuah konstanta 𝑐.
Dengan kata lain, penambahan konstanta 𝑐 pada variabel acak akan
menambah nilai dugaan sebesar 𝑐.
Definisi 2.17
Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 adalah variabel acak dari suatu distribusi dengan
fungsi probabilitas 𝑓(𝑥; 𝜇); 𝜇 ∈ Ω, Ω adalah ruang parameter. Penduga
𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛) didefinisikan sebagai invarian lokasi jika dan hanya jika
𝑡(𝑥1 + 𝑐,… , 𝑥𝑛 + 𝑐) = 𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛),
untuk semua nilai 𝑥1, … , 𝑥𝑛 dan sebuah konstanta 𝑐.
Dengan kata lain, penambahan konstanta 𝑐 pada variabel acak tidak akan
mengubah nilai penduga.
Contoh 2.8
Apakah �̅� adalah penduga invarian atau ekuivarian lokasi?
Solusi:
Misalkan 𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = �̅�.
Kemudian,
𝑡(𝑥1 + 𝑐,… , 𝑥𝑛 + 𝑐) =∑ (𝑥𝑖 + 𝑐)𝑛𝑖=1
𝑛
=∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 + 𝑛𝑐
𝑛
= �̅� + 𝑐
= 𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛) + 𝑐.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Oleh karena penambahan konstanta 𝑐 pada variabel acak akan menambah
nilai dugaan �̅� sebesar 𝑐, maka �̅� adalah penduga ekuivarian lokasi dan
tidak invarian.
Contoh 2.9
Apakah 𝑠2 adalah penduga invarian atau ekuivarian lokasi?
Solusi:
Misalkan 𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = 𝑠2 =∑ (𝑥𝑖−(
∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑛
))
2
𝑛𝑖=1
𝑛−1.
Kemudian,
Oleh karena penambahan konstanta 𝑐 pada variabel acak tidak
mengalami perubahan nilai dugaan 𝑠2, maka 𝑠2 adalah penduga invarian
lokasi dan tidak ekuivarian.
Definisi 2.18
Misalkan 𝑓(𝑥; 𝜃) adalah sembarang fungsi probabilitas suatu variabel
acak 𝑋. Keluarga fungsi probabilitas 𝑓(𝑥/𝜃) 𝜃⁄ , untuk 𝜃 > 0, parameter
𝜃 adalah parameter skala bagi 𝑓(𝑥) jika dan hanya jika distribusi dari 𝑥 𝜃⁄
tidak bergantung pada 𝜃.
𝑡(𝑥1 + 𝑐,… , 𝑥𝑛 + 𝑐) =
∑ (𝑥𝑖 + 𝑐 − (∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 + 𝑐𝑛 ))
2
𝑛𝑖=1
𝑛 − 1
=∑ (𝑥𝑖 + 𝑐 − (�̅� + 𝑐))
2𝑛𝑖=1
𝑛 − 1
=∑ (𝑥𝑖 − �̅�)
2𝑛𝑖=1
𝑛 − 1
=
∑ (𝑥𝑖 − (∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1
𝑛 ))
2
𝑛𝑖=1
𝑛 − 1
= 𝑠2
= 𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Contoh 2.10
Diberikan fungsi probabilitas sebagai berikut
𝑓(𝑥) =1
𝜃𝑒−(𝑥/𝜃).
Misalkan 𝑦 = 𝑥/𝜃, maka keluarga fungsi probabilitas 𝑓(𝑥/𝜃) 𝜃⁄ dapat
ditulis sebagai
𝑓(𝑦)
𝜃=1
𝜃𝑒−(𝑦)
𝑓(𝑦) = 𝑒−(𝑦), untuk 𝑦 > 0
Dengan demikian, 𝜃 adalah parameter skala.
Definisi 2.19
Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 adalah variabel acak dari suatu distribusi dengan
fungsi probabilitas 𝑓(𝑥; 𝜇); 𝜇 ∈ Ω, Ω adalah ruang parameter. Penduga
𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛) didefinisikan sebagai ekuivarian skala jika dan hanya jika
𝑡(𝑐𝑥1, … , 𝑐𝑥𝑛) = 𝑐𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛),
untuk semua nilai 𝑥1, … , 𝑥𝑛 dan sebuah konstanta 𝑐 > 0.
Definisi 2.20
Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 adalah variabel acak dari suatu distribusi dengan
fungsi probabilitas 𝑓(𝑥; 𝜇); 𝜇 ∈ Ω, Ω adalah ruang parameter. Penduga
𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛) didefinisikan sebagai invarian skala jika dan hanya jika
𝑡(𝑐𝑥1, … , 𝑐𝑥𝑛) = 𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛),
untuk semua nilai 𝑥1, … , 𝑥𝑛 dan sebuah konstanta 𝑐 > 0.
Dengan kata lain, penduga bersifat invarian terhadap skala jika nilainya
tidak mengalami perubahan dengan adanya perkalian dengan 𝑐.
Contoh 2.11
Apakah �̅� adalah penduga invarian atau ekuivarian terhadap skala?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Solusi:
Misalkan 𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = �̅�.
Kemudian,
𝑡(𝑐𝑥1, … , 𝑐𝑥𝑛) =∑ 𝑐𝑥𝑖𝑛𝑖=1
𝑛
=𝑐 ∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1
𝑛
= 𝑐�̅�
= 𝑐𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛).
Oleh karena penambahan konstanta 𝑐 pada variabel acak akan mengubah
nilai dugaan �̅�, maka �̅� adalah penduga ekuivarian terhadap skala dan tidak
invarian.
a. Nilai Harapan atau Rata-rata dari Variabel Acak
Definisi 2.21
Misalkan 𝑋 adalah variabel acak dengan fungsi probabilitas 𝑝(𝑥). Nilai
harapan atau rata-rata dari 𝑋 adalah
𝜇 = 𝐸(𝑋) =
{
∑𝑥𝑝(𝑥)
𝑥
, 𝑑𝑎𝑛jika 𝑋 diskrit
∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞
−∞
, 𝑑𝑎𝑛jika 𝑋 kontinu
Teorema 2.1
Diberikan 𝑎, 𝑏 suatu konstanta, 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏.
Bukti:
Berdasarkan Definisi 2.21, diperoleh:
untuk variabel acak diskrit,
𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) =∑(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑝(𝑥)
𝑥
=∑(𝑎𝑥 𝑝(𝑥) + 𝑏 𝑝(𝑥))
𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
= 𝑎∑𝑥 𝑝(𝑥) + 𝑏∑𝑝(𝑥)
𝑥𝑥
= 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏.
Untuk variabel acak kontinu,
𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = ∫ (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞
−∞
= 𝑎∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞
−∞
+ 𝑏∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞
−∞
= 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏. ∎
Lemma 2.1
Diberikan 𝑎 = 0, maka 𝐸(𝑏) = 𝑏.
Bukti:
Untuk variabel acak diskrit,
𝐸(𝑏) = ∑ 𝑏𝑝(𝑥) = 𝑏∑ 𝑝(𝑥) = 𝑏(1) = 𝑏𝑥𝑥 .
Untuk variabel acak kontinu,
𝑥𝐸(𝑏) = ∫𝑏𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑏 ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑏. ∎
Lemma 2.2
Diberikan 𝑏 = 0, maka 𝐸(𝑎𝑋) = 𝑎𝐸(𝑋).
Bukti:
Untuk variabel acak diskrit,
𝐸(𝑎𝑋) = ∑ 𝑎𝑥𝑝(𝑥) = 𝑎∑ 𝑥𝑝(𝑥) = 𝑎𝐸(𝑋)𝑥𝑥 .
Untuk variabel acak kontinu,
𝐸(𝑎𝑋) = ∫𝑎𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎𝐸(𝑋). ∎
Teorema 2.2
Misalkan 𝑋 adalah variabel acak dengan fungsi probabilitas 𝑝(𝑥) dan
𝑔1(𝑋), 𝑔2(𝑋),… , 𝑔𝑘(𝑋) adalah 𝑘 buah fungsi dari 𝑋; maka
𝐸[𝑔1(𝑋) + 𝑔2(𝑋) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑋)]
= 𝐸[𝑔1(𝑋)] + 𝐸[𝑔2(𝑋)] + ⋯+ 𝐸[𝑔𝑘(𝑋)].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Bukti:
Akan dibuktikan dengan 𝑘 = 2, tetapi langkah tetap sama untuk setiap 𝑘.
Menurut Definisi 2.21, diperoleh:
untuk 𝑋 diskrit,
𝐸[𝑔1(𝑋) + 𝑔2(𝑋)] =∑[𝑔1(𝑥) + 𝑔2(𝑥)]𝑝(𝑥)
𝑥
=∑𝑔1(𝑥)𝑝(𝑥) +
𝑥
∑𝑔2(𝑥)𝑝(𝑥)
𝑥
= 𝐸[𝑔1(𝑋)] + 𝐸[𝑔2(𝑋)].
Untuk 𝑋 kontinu,
𝐸[𝑔1(𝑋) + 𝑔2(𝑋)] = ∫ [𝑔1(𝑥) + 𝑔2(𝑥)]𝑝(𝑥)𝑑𝑥∞
−∞
= ∫ 𝑔1(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞
−∞
∫ 𝑔2(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞
−∞
= 𝐸[𝑔1(𝑥)] + 𝐸[𝑔2(𝑥)]. ∎
b. Variansi dari Variabel Acak
Definisi 2.22
Jika 𝑋 adalah variabel acak dengan rata-rata 𝐸(𝑋) = 𝜇, maka variansi dari
𝑋 didefinisikan sebagai nilai harapan dari (𝑋 − 𝜇)2, yaitu
𝜎2 = 𝑉(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2]
=
{
∑(𝑥 − 𝜇)2𝑝(𝑥)
𝑥
, 𝑑𝑎𝑛jika 𝑋 diskrit,
∫ (𝑥 − 𝜇)2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∞
−∞
, jika 𝑋 kontinu.
Standar deviasi dari 𝑋 adalah akar dari 𝑉(𝑋).
Contoh 2.12
Diberikan 7 komponen sebagai sampel yang terdiri atas 4 komponen tidak
rusak dan 3 komponen rusak. Penguji mengambil sampel secara acak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
sebanyak 3 komponen. Temukan nilai harapan dan variansi dari
banyaknya komponen rusak di dalam pengambilan sampel tersebut.
Solusi:
Misalkan 𝑋 adalah variabel acak yang menunjukkan banyaknya komponen
rusak di dalam sampel. Fungsi probabilitas dari 𝑋 adalah
𝑝(𝑥) =(3𝑥)(
43−𝑥)
(73), 𝑥 = 0,1,2,3.
Diperoleh:
𝑝(0) =(30)(
43)
(73)=
4
35,
𝑝(1) =(31)(
42)
(73)=
18
35,
𝑝(2) =(32)(
41)
(73)=
12
35,
𝑝(3) =(33)(
40)
(73)=
1
35.
Oleh karena itu,
𝜇 = 𝐸(𝑋) = (0) (4
35) + (1) (
18
35) + (2) (
12
35) + (3) (
1
35) = 1.3.
𝜎2 = 𝑉(𝑋) =∑(𝑥 − 1.3)2𝑝(𝑥)
3
𝑥=0
= (0 − 1.3)2 (4
35) +⋯+ (3 − 1.3)2 (
1
35)
= 0.49.
Contoh 2.13
Diberikan variabel acak 𝑋 yang mempunyai fungsi kontinu sebagai
berikut:
𝑓(𝑥) = {(3 8)𝑥2⁄ , 0 ≤ 𝑑𝑎𝑛𝑥 ≤ 2 0 , 𝑑𝑎𝑛lainnya
Temukanlah nilai harapan dan variansi bagi 𝑋.
Solusi:
Menurut definisi nilai harapan dan variansi, diperoleh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 (3
8) 𝑥2𝑑𝑥
2
0= (
3
8) (
1
4) 𝑥4]
0
2
= 1.5.
𝜎2 = 𝑉(𝑋) = ∫ (𝑥 − 1.5)2 (3
8) 𝑥2𝑑𝑥
2
0
= (3
8)∫ (𝑥2 − 3𝑥 + 2.25)𝑥2𝑑𝑥
2
0
= (3
8)∫ (𝑥4 − 3𝑥3 + 2.25𝑥2)𝑑𝑥
2
0
= (3
8)((
1
5) 𝑥5 − (
3
4) 𝑥4 + (
2.25
3) 𝑥3)]
0
2
= (3
40𝑥5 −
9
32𝑥4 + (
6.75
24)𝑥3)]
0
2
= 0.15.
Teorema 2.3
Misalkan 𝑋 adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas 𝑝(𝑥)
dan rata-rata 𝐸(𝑋) = 𝜇; maka
𝑉(𝑋) = 𝜎2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2.
Bukti:
𝑉(𝑋) = 𝜎2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2]
= 𝐸(𝑋2 − 2𝜇𝑋 + 𝜇2)
= 𝐸(𝑋2) − 2𝜇𝐸(𝑋) + 𝐸(𝜇2)
= 𝐸(𝑋2) − 2𝜇2 + 𝜇2
= 𝐸(𝑋2) − 𝜇2
= 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2. ∎
Contoh 2.14. Distribusi Normal
Distribusi probabilitas kontinu yang paling banyak digunakan adalah
distribusi Normal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Definisi 2.23
Variabel acak 𝑋 dikatakan berdistribusi Normal jika dan hanya jika untuk
𝜎 > 0 dan −∞ < 𝜇 < ∞, fungsi probabilitas dari 𝑋 adalah
𝑓(𝑥) =1
𝜎√2𝜋𝑒−(𝑥−𝜇)
2/(2𝜎2), −∞ < 𝑥 < ∞.
Teorema 2.4
Jika 𝑋 adalah variabel acak berdistribusi Normal dengan parameter 𝜇 dan
𝜎, maka
𝐸(𝑋) = 𝜇 dan 𝑉(𝑋) = 𝜎2.
Bukti:
Rata-rata dari distribusi Normal diberikan dengan
𝐸(𝑋 − 𝜇) = ∫𝑥 − 𝜇
√2𝜋𝜎𝑒−
12(𝑥−𝜇𝜎)2
𝑑𝑥.∞
−∞
Misalkan 𝑧 = (𝑥 − 𝜇) 𝜎⁄ dan 𝑑𝑥 = 𝜎 𝑑𝑧, maka
𝐸(𝑋 − 𝜇) =𝜎
√2𝜋∫ 𝑧𝑒−
𝑧2
2 𝑑𝑧 = 0∞
−∞
karena fungsi dari 𝑧 adalah fungsi ganjil. Dengan menggunakan Teorema
2.1, diperoleh:
𝐸(𝑋 − 𝜇) = 0
𝐸(𝑋) − 𝜇 = 0
𝐸(𝑋) = 𝜇.
Variansi dari distribusi Normal diberikan dengan
𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] = ∫(𝑥 − 𝜇)2
𝜎√2𝜋𝑒−12(𝑥−𝜇𝜎)2
𝑑𝑥∞
−∞
.
Misalkan 𝑧 = (𝑥 − 𝜇) 𝜎⁄ dan 𝑑𝑥 = 𝜎 𝑑𝑧, maka
𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] =𝜎2
√2𝜋∫ 𝑧2𝑒−
𝑧2
2 𝑑𝑧∞
−∞
.
Misalkan 𝑢 = 𝑧 dan 𝑑𝑣 = 𝑧𝑒−𝑧2
2 𝑑𝑧, maka 𝑑𝑢 = 𝑑𝑧 dan 𝑣 = −𝑒−𝑧2
2 ,
sehingga diperoleh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] =𝜎2
√2𝜋(−𝑧𝑒−
𝑧2
2 |−∞
∞
+∫ 𝑒−𝑧2
2 𝑑𝑧∞
−∞
)
= 𝜎2(0 + 1) = 𝜎2. ∎
Teorema 2.4 menunjukkan bahwa parameter 𝜇 berada pada pusat distribusi
dan 𝜎 mengukur penyebarannya. Grafik fungsi probabilitas Normal
ditunjukkan pada gambar berikut.
Gambar 2.1. Fungsi probabilitas Normal
Variabel acak Normal 𝑋 dapat diubah ke variabel acak Normal standar 𝑍
dengan menggunakan hubungan
𝑍 =𝑋 − 𝜇
𝜎.
Kemudian melalui Tabel distribusi Normal Standar (Tabel 𝑍), dapat
digunakan untuk menghitung probabilitas. Nilai rata-rata 𝑍 harus 0 dan
standar deviasinya harus 1.
Contoh 2.15
Skor prestasi untuk ujian masuk perguruan tinggi memiliki rata-rata 75
dan standar deviasi 10. Hitunglah 𝑃(80 < 𝑋 < 90).
Solusi:
Ingat bahwa
𝑍 =𝑋−𝜇
𝜎.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Dengan demikian,
𝑃(80 < 𝑋 < 90) = 𝑃 (80 − 75
10<𝑋 − 𝜇
𝜎<90 − 75
10)
= 𝑃(0.5 < 𝑍 < 1.5)
= 𝑃(𝑍 > 0.5) − 𝑃(𝑍 > 1.5)
= 0.3085 − 0.0668
= 0.2417
Hasil tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan Tabel 𝑍 (terlampir).
Contoh 2.16
Misalkan 𝑍 adalah variabel acak Normal dengan rata-rata 0 dan standar
deviasi 1.
a) Temukan 𝑃(𝑍 > 2).
b) Temukan 𝑃(−2 ≤ 𝑍 ≤ 2).
Solusi:
a) Karena 𝜇 = 0 dan 𝜎 = 1, maka dengan menggunakan Tabel
distribusi Normal, diperoleh 𝑃(𝑍 > 2) = 0.0228.
b) Karena fungsi probabilitas Normal simetri pada rata-rata
𝜇 = 0, maka dengan menggunakan Tabel 𝑍 (terlampir), diperoleh
𝑃(−2 ≤ 𝑍 ≤ 2) = 1 − 2(𝑃(𝑍 > 2))
= 1 − 2(0.0228) = 0.9544.
Contoh 2.17. Distribusi Chi-Square
Variabel acak kontinu 𝑋 berdistribusi chi-square dengan derajat bebas 𝑣,
jika fungsi probabilitasnya diberikan dengan
𝑓(𝑥; 𝑣) = {
1
2𝑣2Γ(𝑣 2)⁄
𝑥𝑣2−1𝑒−
𝑥2, 𝑑𝑎𝑛𝑥 > 0,
0 , 𝑑𝑎𝑛lainnya,
dengan 𝑣 adalah bilangan bulat positif dan Γ(𝑣 2)⁄ adalah fungsi
Gamma.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Teorema 2.5
Jika 𝑋 adalah variabel acak berdistribusi chi-square dengan derajat bebas
𝑣, maka nilai harapan (rata-rata) dan variansinya adalah
𝜇 = 𝐸(𝑋) = 𝑣 dan 𝜎2 = 𝑉(𝑋) = 2𝑣.
Bukti:
Misalkan 𝑐 =1
2𝑣2Γ(𝑣 2)⁄
.
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑐𝑥𝑣2−1𝑒−
𝑥2𝑑𝑥
∞
0
= 𝑐∫ 𝑥
𝑣2𝑒−
𝑥2𝑑𝑥
∞
0
= 𝑐 {[−2𝑥
𝑣2𝑒−
𝑥2]0
∞
+∫ 2𝑣
2𝑥𝑣2−1𝑒−
𝑥2𝑑𝑥
∞
0
}
= 𝑐 {(0 − 0) + 𝑣∫ 𝑥
𝑣2−1𝑒−
𝑥2𝑑𝑥
∞
0
}
= 𝑣∫ 𝑐𝑥
𝑣2−1𝑒−
𝑥2𝑑𝑥
∞
0
= 𝑣. (berdasarkan Definisi 2.13 (2))
Berdasarkan Teorema 2.3,
𝑉(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2.
𝐸(𝑋2) = ∫ 𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞
−∞
= ∫ 𝑥2𝑐𝑥𝑣2−1𝑒−
𝑥2𝑑𝑥
∞
0
= 𝑐∫ 𝑥𝑣2+1𝑒−
𝑥2𝑑𝑥
∞
0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
= 𝑐 {−2𝑥
𝑣2+1𝑒−
𝑥2]0
∞
+∫ 2(𝑣
2+ 1) 𝑥
𝑣2𝑒−
𝑥2𝑑𝑥
∞
0
}
= 𝑐 {(0 − 0) + (𝑣 + 2)∫ 𝑥
𝑣2𝑒−
𝑥2𝑑𝑥
∞
0
}
= 𝑐(𝑣 + 2) {∫ 𝑥
𝑣2𝑒−
𝑥2𝑑𝑥
∞
0
}
= 𝑐(𝑣 + 2) {[−2𝑥
𝑣2𝑒−
𝑥2]0
∞
+∫ 2𝑣
2𝑥𝑣2−1𝑒−
𝑥2𝑑𝑥
∞
0
}
= 𝑐(𝑣 + 2) {(0 − 0) + 𝑣∫ 𝑥
𝑣2−1𝑒−
𝑥2𝑑𝑥
∞
0
}
= 𝑣(𝑣 + 2) {∫ 𝑐𝑥
𝑣2−1𝑒−
𝑥2𝑑𝑥
∞
0
}
= 𝑣(𝑣 + 2){∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞
0} = 𝑣(𝑣 + 2),
(berdasarkan Definisi 2.13 (2))
[𝐸(𝑋)]2 = 𝑣2
𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2 = 𝑣(𝑣 + 2) − 𝑣2 = 𝑣(𝑣 + 2 − 𝑣) = 2𝑣. ∎
c. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen (FPM)
Definisi 2.24
Momen ke-𝑘 dari variabel acak 𝑋 didefinisikan sebagai 𝐸(𝑋𝑘) dan
dinotasikan dengan 𝜇′𝑘 dengan 𝑘 = 1,2,3, … .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Definisi 2.25
Fungsi pembangkit momen dari variabel acak 𝑋 diberikan dengan 𝐸(𝑒𝑡𝑋)
dan dinotasikan dengan 𝑀𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ ℝ. Oleh karena itu,
𝑀𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑋) =
{
∑𝑒𝑡𝑥𝑝(𝑥)
𝑥
, jika 𝑑𝑎𝑛𝑋 diskrit,
∫ 𝑒𝑡𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∞
−∞
, jika 𝑑𝑎𝑛𝑋 kontinu.
Contoh 2.18
Temukanlah FPM dari Contoh 2.12 dan Contoh 2.13.
Solusi:
Untuk Contoh 2.12, diperoleh:
Untuk Contoh 2.13, diperoleh:
Dengan menggunakan integral parsial, diperoleh hasil sebagai berikut:
𝑀𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑋) =∑𝑒𝑡𝑥𝑝(𝑥)
𝑥
= 𝑒0𝑡𝑝(0) + 𝑒𝑡𝑝(1) + 𝑒2𝑡𝑝(2) + 𝑒3𝑡𝑝(3)
=4
35+18
35𝑒𝑡 +
12
35𝑒2𝑡 +
1
35𝑒3𝑡 .
=1
35(4 + 18𝑒𝑡 + 12𝑒2𝑡 + 𝑒3𝑡); 𝑡 ∈ ℝ.
𝑀𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑋) = ∫ 𝑒𝑡𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
∞
−∞
=3
8∫ 𝑥2𝑒𝑡𝑥𝑑𝑥2
0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Dengan menggunakan kembali integral parsial, diperoleh:
𝑀𝑋(𝑡) =3
8{[𝑥2𝑒𝑡𝑥
𝑡]0
2
−2
𝑡∫ 𝑥𝑒𝑡𝑥𝑑𝑥2
0
}
=3
8[(4𝑒2𝑡
𝑡) −
2
𝑡∫ 𝑥𝑒𝑡𝑥𝑑𝑥2
0
]
𝑀𝑋(𝑡) =3
8[(4𝑒2𝑡
𝑡) −
2
𝑡(𝑥𝑒𝑡𝑥
𝑡]0
2
−1
𝑡∫ 𝑒𝑡𝑥𝑑𝑥2
0
)]
=3
8[(4𝑒2𝑡
𝑡) −
2
𝑡(2𝑒2𝑡
𝑡−1
𝑡[𝑒𝑡𝑥
𝑡]0
2
)]
=3
8[(4𝑒2𝑡
𝑡) −
2
𝑡(2𝑒2𝑡
𝑡−1
𝑡(𝑒2𝑡
𝑡−1
𝑡))]
=3
8[(4𝑒2𝑡
𝑡) −
2
𝑡(2𝑒2𝑡
𝑡−𝑒2𝑡
𝑡2+1
𝑡2)]
=3
8[4𝑒2𝑡
𝑡−4𝑒2𝑡
𝑡2+2𝑒2𝑡 + 2
𝑡3]
=3
8[2
𝑡(2𝑒2𝑡 −
2𝑒2𝑡
𝑡+𝑒2𝑡 + 1
𝑡2)]
=3
4𝑡(2𝑒2𝑡 −
2𝑒2𝑡
𝑡+𝑒2𝑡 + 1
𝑡2).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
C. Distribusi Sampling
Kesimpulan pada statistika pada dasarnya berkaitan dengan generalisasi
dan dugaan yang diperoleh dari sampel. Oleh karena itu, sampel yang diamati
harus memiliki distribusi probabilitas.
Definisi 2.26
Distribusi probabilitas dari statistik disebut sebagai distribusi sampling.
Distribusi sampling dari statistik bergantung pada distribusi populasi, ukuran
sampel, dan metode pemilihan sampel. Distribusi probabilitas dari �̅� disebut
distribusi sampling dari rata-rata.
Distribusi sampling dari �̅� dan 𝑠2 dapat digunakan untuk membuat kesimpulan
pada parameter 𝜇 dan 𝜎2.
1. Teorema Limit Pusat
Jika dilakukan penarikan sampel dari populasi dengan distribusi
yang tidak diketahui, maka distribusi sampling dari �̅� akan tetap mendekati
Normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎2
𝑛⁄ , asalkan ukuran sampelnya
besar. Hal ini adalah akibat langsung dari Teorema Limit Pusat (TLP).
Teorema 2.6 (TLP)
Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 merupakan variabel acak saling bebas dan
terdistribusi dengan 𝐸(𝑥𝑖) = 𝜇 dan 𝑉(𝑥𝑖) = 𝜎2 < ∞. Variabel acak 𝑈𝑛
didefinisikan sebagai
𝑈𝑛 = (�̅�−𝜇
𝜎/√𝑛) dengan �̅� =
1
𝑛∑ 𝑥𝑖.𝑛𝑖=1
Fungsi distribusi dari 𝑈𝑛 konvergen ke fungsi distribusi Normal standar
untuk 𝑛 → ∞, yaitu
lim𝑛→∞
𝑃(𝑈𝑛 ≤ 𝑢) = ∫1
√2𝜋𝑒−𝑡
2 2⁄ 𝑑𝑡, ∀𝑢𝑢
−∞
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Teorema 2.7
Misalkan 𝑋 dan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 adalah variabel acak dengan FPM 𝑚(𝑡) dan
𝑚1(𝑡),𝑚2(𝑡),𝑚3(𝑡), …, dan seterusnya.
Jika
lim𝑛→∞
𝑚𝑛(𝑡) = 𝑚(𝑡), ∀𝑡 ∈ ℝ,
maka fungsi distribusi dari 𝑋𝑛 konvergen ke fungsi distribusi dari 𝑋 untuk
𝑛 → ∞.
Bukti:
Bukti terdapat pada buku Williams, David. (1991). Probability with
Martingales. New York: Cambridge University Press. Halaman: 185.
Bukti Teorema Limit Pusat
Diketahui:
𝑈𝑛 = √𝑛 (�̅� − 𝜇
𝜎) = √𝑛(
∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1
𝑛 − 𝜇
𝜎)
= √𝑛 (∑ 𝑋𝑖−𝑛𝜇𝑛𝑖=1
𝑛𝜎) =
√𝑛
𝑛(∑ 𝑋𝑖−𝑛𝜇𝑛𝑖=1
𝜎) =
1
√𝑛(∑ 𝑧𝑖
𝑛𝑖=1 ),
dengan 𝑧𝑖 =𝑋𝑖−𝜇
𝜎.
Karena variabel acak 𝑥𝑖 saling bebas dan berdistribusi secara identik, maka
𝑧𝑖 dengan 𝑖 = 1,2, . . . , 𝑛 juga saling bebas dan berdistribusi secara identik
dengan 𝐸(𝑧𝑖) = 0 dan 𝑉(𝑧𝑖) = 1.
Karena fpm dari banyaknya variabel acak saling bebas masing-masing
adalah hasil kali dari masing-masing fpm, maka
𝑚∑𝑍𝑖(𝑡) = 𝑚𝑍1
(𝑡) × 𝑚𝑍2(𝑡) …× 𝑚𝑍𝑛
(𝑡) = [𝑚𝑍1(𝑡)]𝑛
dan
𝑚𝑈𝑛(𝑡) = 𝑚∑𝑍𝑖
(𝑡
√𝑛) = [𝑚𝑍1 (
𝑡
√𝑛)]𝑛
.
Dengan menggunakan Teorema Deret Taylor di sekitar 0 dan dengan suku
sisa bentuk Lagrange,
𝑚𝑍1(𝑡) = 𝑚𝑍1
(0) +𝑚′𝑍1(0)𝑡 + 𝑚′′𝑍1(𝜉)𝑡2
2, dengan 0 < 𝜉 < 𝑡,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
sehingga
𝑚𝑈𝑛(𝑡) = [1 +
𝑚′′𝑍1(𝜉𝑛)
2(𝑡
√𝑛)2
]
𝑛
= [1 +𝑚′′𝑍1(𝜉𝑛)𝑡
2
2𝑛]𝑛
, dengan 0 < 𝜉𝑛 <𝑡
√𝑛.
Perhatikan bahwa karena 𝑛 → ∞, 𝜉𝑛 → 0 dan
𝑚′′𝑍1(𝜉𝑛)(𝑡2 2⁄ ) → 𝑚′′𝑍1(0)(𝑡
2 2⁄ ) = 𝐸(𝑍12)(𝑡2 2⁄ ) = (𝑡2 2⁄ ) dengan
𝐸(𝑍12) = 𝑉(𝑍1) = 1.
Perlu diingat bahwa jika lim𝑛→∞
𝑏𝑛 = 𝑏, maka lim𝑛→∞
(1 +𝑏𝑛
𝑛)𝑛
= 𝑒𝑏.
Akhirnya diperoleh,
lim𝑛→∞
𝑚𝑈𝑛(𝑡) = lim
𝑛→∞[1 +
𝑚′′𝑍1(𝜉𝑛)(𝑡2 2⁄ )
𝑛]𝑛
= 𝑒(𝑡2 2⁄ ),
fpm untuk variabel acak Normal standar. Dengan menerapkan Teorema
2.7, dapat disimpulkan bahwa 𝑈𝑛 memiliki fungsi distribusi yang
konvergen ke fungsi distribusi dari variabel acak Normal standar. ∎
2. Distribusi 𝑡
Definisi 2.27
Misalkan 𝑍 =�̅�−𝜇
𝜎/√𝑛 adalah variabel acak Normal standar dan 𝑊 =
(𝑛−1)𝑠2
𝜎2
berdistribusi 𝜒2 dengan derajat bebas 𝑣. Jika 𝑍 dan 𝑊 saling bebas, maka
𝑇 =𝑍
√𝑊/𝑣
berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣.
Lemma 2.3
Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 sebagai variabel acak saling bebas berdistribusi
Normal dengan rata-rata 𝜇 dan standar deviasi 𝜎; maka variabel acak 𝑇 =
�̅�−𝜇
𝑠/√𝑛 berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣 = 𝑛 − 1.
Bukti:
Berdasarkan Definisi 2.27,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
𝑇 =𝑍
√𝑊/𝑣 =
(�̅� − 𝜇) (𝜎/√𝑛)⁄
√[(𝑛 − 1)𝑠2/𝜎2] (𝑛 − 1)⁄
=√𝑛(�̅� − 𝜇) 𝜎⁄
√𝑠2/𝜎2
=√𝑛(�̅� − 𝜇) 𝜎⁄
𝑠/𝜎=√𝑛(�̅� − 𝜇)
𝑠
berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣 = (𝑛 − 1). ∎
Contoh 2.19
Temukan 𝑃(−𝑡0.025 < 𝑇 < 𝑡0.025).
Solusi:
Dari tabel distribusi 𝑡 (terlampir) diperoleh,
𝑃(−𝑡0.025 < 𝑇 < 𝑡0.025) = 1 − 0.05 − 0.025 = 0.925.
D. Pendugaan Parameter
Pendugaan adalah pokok bahasan dalam statistika yang berhubungan
dengan pendugaan nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur/data
empiris yang berasal dari sampel acak. Tujuan dari percobaan atau penelitian
statistik adalah untuk menduga satu atau lebih parameter yang relvan. Pendugaan
parameter adalah suatu proses untuk membuat kesimpulan tentang parameter
populasi berdasarkan sampel acak.
1. Pendugaan (Estimasi)
Di dalam statistika, pendugaan-pendugaan dilakukan untuk
menyimpulkan karakteristik dari populasi (parameter).
Definisi 2.28 (Wackerly, et al., 2008: 391)
Penduga adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam bentuk rumus, yang
memberitahukan bagaimana cara menghitung nilai suatu dugaan
berdasarkan pengukuran yang termuat di dalam sampel.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Penduga dari parameter 𝜃 adalah statistik 𝜃. Contoh dari parameter
𝜃 dapat berupa rata-rata µ, standar deviasi 𝜎, dan proporsi 𝑝 yang diduga
dengan rata-rata �̅�, standar deviasi 𝑠, dan proporsi �̂�.
2. Macam-Macam Pendugaan Parameter
Nilai parameter dapat diduga dengan dua cara, yakni: penduga titik
dan penduga selang.
2.1. Penduga Titik
Definisi 2.29
Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal berdasarkan atas
sampel yang dengan baik menduga parameter yang sebenarnya.
Bias dan Rata-rata Galat Kuadrat dari Penduga Titik
Dalam pemilihan sampel, hal yang sering dilakukan adalah
memilih anggota yang paling cocok dari populasi. Cara tersebut
dapat menyebabkan kesimpulan yang keliru mengenai populasi dan
dapat dikatakan sebagai bias. Oleh karena itu, diperlukan pemilihan
sampel secara acak.
Misalkan seorang pria menembak satu tembakan pada suatu
sasaran dan mengenai sasaran tersebut. Apakah dapat disimpulkan
bahwa pria tersebut adalah penembak jitu? Apakah ingin
disimpulkan dugaan sementara pada tembakan kedua? Jelas, tidak
bisa disimpulkan bahwa pria tersebut adalah seorang ahli menembak
berdasarkan bukti yang sedikit. Di sisi lain, jika 100 tembakan
berturut-turut dapat menembak tepat sasaran, mungkin dapat
diperoleh keyakinan bahwa orang tersebut adalah seorang penembak
jitu dan berkeyakinan besar untuk menembak tepat sasaran. Dapat
dikatakan bahwa hal itu adalah distribusi dari pendugaan yang tepat
mengenai parameter sasaran, seperti yang ditunjukkan pada Gambar
2.2. Dengan kata lain, rata-rata atau nilai yang diharapkan dari
distribusi nilai dugaan akan sama dengan parameter nilai dugaan,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
𝜃 𝜃
yaitu 𝐸(𝜃) = 𝜃. Penduga titik yang memenuhi sifat ini dikatakan
sebagai penduga tak bias. Distribusi sampling untuk suatu penduga
titik bias positif adalah 𝐸(𝜃) > 𝜃, ditunjukkan pada Gambar 2.3.
Gambar 2.2. Distribusi Nilai Dugaan
Gambar 2.3. Distribusi Sampling untuk Penduga Titik Bias Positif
Definisi 2.30
Misalkan 𝜃 adalah penduga titik dari parameter 𝜃, maka 𝜃 adalah
penduga tak bias bagi 𝜃 jika 𝐸(𝜃) = 𝜃. Jika 𝐸(𝜃) ≠ 𝜃, maka 𝜃
dikatakan penduga yang bias bagi 𝜃.
Definisi 2.31
Bias dari penduga titik 𝜃 didefinisikan sebagai 𝐵(𝜃) = 𝐸(𝜃) − 𝜃.
Contoh 2.20
Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 adalah sampel acak dengan 𝐸(𝑥𝑖) = 𝜇 dan
𝑉(𝑥𝑖) = 𝜎2. Tunjukkan bahwa 𝑠′
2=
1
𝑛∑ (𝑥𝑖 − �̅�)
2𝑛𝑖=1 adalah
penduga bias bagi 𝜎2 dan bahwa 𝑠2 =1
𝑛−1∑ (𝑥𝑖 − �̅�)
2𝑛𝑖=1 adalah
penduga tak bias bagi 𝜎2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Solusi:
∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 =
𝑛
𝑖=1
∑(𝑥𝑖2 − 2�̅�𝑥𝑖 + �̅�
2)
𝑛
𝑖=1
=∑𝑥𝑖2 − 2�̅�∑𝑥𝑖 +∑�̅�2
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
=∑𝑥𝑖2 − 2�̅�𝑛
𝑛
𝑖=1
�̅� + 𝑛�̅�2
=∑𝑥𝑖2 − 2𝑛�̅�2
𝑛
𝑖=1
+ 𝑛�̅�2 =∑𝑥𝑖2 − 𝑛�̅�2
𝑛
𝑖=1
sehingga,
𝐸 [∑(𝑥𝑖 − �̅�)2
𝑛
𝑖=1
] = 𝐸 [∑𝑥𝑖2 − 𝑛�̅�2
𝑛
𝑖=1
] = 𝐸 [∑𝑥𝑖2
𝑛
𝑖=1
] − n𝐸[�̅�2]
=∑𝐸[𝑥𝑖2]
𝑛
𝑖=1
− n𝐸[�̅�2]
Karena 𝐸[𝑋𝑖2] sama untuk ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan
𝑉(𝑋) = 𝐸[𝑋2] − (𝐸[𝑋])2 = 𝐸[𝑋2] − 𝜇2,
maka
𝐸[𝑋2] = 𝑉(𝑋) + 𝜇2
dan
𝐸 [∑(𝑥𝑖 − �̅�)2
𝑛
𝑖=1
] =∑𝐸[𝑥𝑖2]
𝑛
𝑖=1
− n𝐸[�̅�2]
=∑[𝑉(𝑥𝑖) + 𝜇2] − 𝑛[𝑉(�̅�) + 𝜇2]
𝑛
𝑖=1
=∑(𝜎2 + 𝜇2) − 𝑛 (𝜎2
𝑛+ 𝜇2)
𝑛
𝑖=1
= 𝑛(𝜎2 + 𝜇2) − 𝑛 (𝜎2
𝑛+ 𝜇2)
= 𝑛𝜎2 + 𝑛𝜇2 − 𝜎2 − 𝑛𝜇2
= (𝑛 − 1)𝜎2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Oleh karena itu,
𝐸(𝑠′2) =
1
𝑛𝐸[∑ (𝑥𝑖 − �̅�)
2𝑛𝑖=1 ] =
1
𝑛[(𝑛 − 1)𝜎2] =
𝑛−1
𝑛𝜎2, maka
𝑛
𝑛−1𝐸(𝑠′
2) = 𝜎2.
Dengan demikian, 𝑠′2 adalah penduga bias bagi 𝜎2 karena
𝐸(𝑠′2) ≠ 𝜎2.
Akan tetapi,
𝐸(𝑠2) =1
𝑛 − 1𝐸 [∑(𝑥𝑖 − �̅�)
2
𝑛
𝑖=1
]
=1
𝑛 − 1[(𝑛 − 1)𝜎2]
=𝑛 − 1
𝑛 − 1𝜎2 = 𝜎2,
sehingga 𝑠2 adalah penduga tak bias bagi 𝜎2 karena 𝐸(𝑠2) = 𝜎2.
Definisi 2.32
Rata-rata kuadrat galat (Mean Square Error) dari penduga titik 𝜃
adalah
𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝐸 [(𝜃 − 𝜃)2].
𝑀𝑆𝐸(𝜃) adalah fungsi dari variansi dan biasnya.
Definisi 2.33
Variansi penduga titik 𝜃 adalah 𝑉(𝜃) = 𝐸 [(𝜃 − 𝐸(𝜃))2
].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Teorema 2.8
Jika 𝐵(𝜃) menunjukkan bias dari penduga titik 𝜃, maka
𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝑉(𝜃) + [𝐵(𝜃)]2.
Bukti:
Petunjuk:
(𝜃 − 𝜃) = [𝜃 − 𝐸(𝜃)] + [𝐸(𝜃) − 𝜃] = [𝜃 − 𝐸(𝜃)] + 𝐵(𝜃).
Dengan menggunakan petunjuk di atas, diperoleh:
𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝐸 [(𝜃 − 𝜃)2]
= 𝐸 [((𝜃 − 𝐸(𝜃)) + 𝐵(𝜃)) ∙ ((𝜃 − 𝐸(𝜃)) + 𝐵(𝜃))]
= 𝐸 [(𝜃 − 𝐸(𝜃))2
+ 2(𝜃 − 𝐸(𝜃))𝐵(𝜃) + (𝐵(𝜃))2
]
= 𝐸 [(𝜃 − 𝐸(𝜃))2
] + 2𝐵(𝜃)𝐸[𝜃 − 𝐸(𝜃)] + [𝐵(𝜃)]2
= 𝑉(𝜃) + 2𝐵(𝜃)(𝐸[𝜃] − 𝐸[𝐸(𝜃)]) + [𝐵(𝜃)]2
= 𝑉(𝜃) + 2𝐵(𝜃)[𝐸(𝜃) − 𝐸(𝜃)] + [𝐵(𝜃)]2
= 𝑉(𝜃) + [𝐵(𝜃)]2. ∎
Tabel 2.2. Nilai Harapan dan galat standar Beberapa Penduga Titik
Parameter
Sasaran
𝜃
Ukuran
Sampel
Penduga
Titik
𝜃
Galat standar
𝐸(𝜃) 𝜎𝜃
𝜇 𝑛 �̅� 𝜇 𝜎
√𝑛
𝑝 𝑛 �̂� =𝑋
𝑛 𝑝 √
𝑝𝑞
𝑛
𝜇1 − 𝜇2 𝑛1dan 𝑛2 �̅�1 − �̅�2 𝜇1 − 𝜇2 √𝜎12
𝑛1+𝜎22
𝑛2
𝑝1 − 𝑝2 𝑛1dan 𝑛2 �̂�1 − �̂�2 �̂�1 − �̂�2 √𝑝1𝑞1𝑛1
+𝑝2𝑞2𝑛2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
2.2. Penduga Selang Kepercayaan
Definisi 2.33
Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang dihitung
berdasarkan pengukuran sampel dan mempunyai peluang tertentu,
akan memuat parameter yang sebenarnya.
Idealnya, selang yang dihasilkan akan memiliki dua sifat:
Pertama, akan memuat parameter sasaran 𝜃; kedua, menghasilkan
selang yang relatif sempit. Salah satu atau kedua batas dari selang
menjadi fungsi dari pengukuran sampel, yang akan bervariasi secara
acak dari sampel yang satu ke sampel lainnya.
Penduga selang biasa disebut “Selang Kepercayaan”. Pro-
babilitas bahwa selang kepercayaan akan memuat parameter sasaran
𝜃 disebut “Koefisien Kepercayaan”. Jika diketahui bahwa koefisien
kepercayaan memiliki nilai yang tinggi, maka dapat dipercaya
bahwa setiap selang kepercayaan yang dibentuk dengan mengguna-
kan hasil dari sampel akan memuat parameter sasaran 𝜃.
Misalkan 𝜃𝐿 dan 𝜃𝑈 adalah batas bawah dan atas untuk parameter 𝜃.
Jika
𝑃(𝜃𝐿 ≤ 𝜃 ≤ 𝜃𝑈) = 1 − 𝛼,
untuk 0 < 𝛼 < 1, maka probabilitas (1 − 𝛼) adalah koefisien
kepercayaan. Selang 𝜃𝐿 ≤ 𝜃 ≤ 𝜃𝑈 dihitung dari sampel yang
diseleksi, ini adalah selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)%, dan titik
akhir 𝜃𝐿 dan 𝜃𝑈 sebagai titik batas terbesar dan terkecil dari selang
kepercayaan. Jadi, sebagai contohnya, ketika 𝛼 = 0.05, berarti
diperoleh selang kepercayaan 95%, dan ketika 𝛼 = 0.01, diperoleh
selang kepercayaan 99%. Semakin lebar selang kepercayaan, maka
selang kepercayaan tersebut memuat parameter yang tidak diketahui.
Akan tetapi, lebih baik jika menghasilkan selang yang relatif pendek
dengan tingkat kepercayaan yang tinggi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Selang acak yang dihasilkan didefinisikan dengan [𝜃𝐿 , 𝜃𝑈] yang
disebut sebagai “Selang Kepercayaan Dua Sisi”.
Definisi 2.34
Selang kepercayaan satu sisi yang dinyatakan dengan
𝑃(𝜃𝐿 ≤ 𝜃) = 1 − 𝛼
akan menghasilkan selang kepercayaan satu sisi bawah, yaitu
[𝜃𝐿 , ∞), dan
𝑃(𝜃 ≤ 𝜃𝑈) = 1 − 𝛼
akan menghasilkan selang kepercayaan satu sisi atas, yaitu
(−∞, 𝜃𝑈].
Salah satu metode yang sangat berguna untuk mencari selang
kepercayaan adalah Metode Pivot. Metode ini tergantung pada suatu
nilai yang disebut besaran Pivot. Besaran ini memiliki dua karak-
teristik, yaitu:
i. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter 𝜃 yang
tidak diketahui.
ii. Distribusi probabilitas dari besaran ini tidak tergantung pada
parameter 𝜃.
Jika distribusi probabilitas dari besaran Pivot diketahui, maka
besaran tersebut dapat digunakan untuk membentuk nilai dugaan
selang yang diinginkan.
Contoh 2.21
Diberikan pengamatan tunggal 𝑋 dari distribusi eksponensial dengan
rata-rata 𝜃. Gunakan 𝑋 untuk membentuk selang kepercayaan bagi
𝜃 dengan koefisien kepercayaan 0.90.
Solusi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Fungsi densitas probabilitas bagi 𝑋 diberikan dengan
𝑓(𝑥) = {(1
𝜃) 𝑒−
𝑥𝜃⁄ , 𝑑𝑎𝑛𝑥 ≥ 0
0 , danlainnya
Dengan menggunakan Metode Pivot, akan diperiksa apakah 𝑈 =𝑋
𝜃
memenuhi syarat sebagai besaran Pivot?
1) 𝑈 =𝑋
𝜃 adalah fungsi dari 𝑋 (ukuran sampel) dan 𝜃 tidak
diketahui.
2) 𝑈 =𝑋
𝜃
𝑓𝑢(𝑢) = ⋯?
Untuk 𝑥 < 0, 𝐹(𝑥) = 0.
Untuk 𝑥 ≥ 0,
𝐹(𝑥) = ∫ 0 𝑑𝑡 +0
−∞
∫ (1
𝜃) 𝑒−
𝑡𝜃⁄ 𝑑𝑡 =
𝑥
0
1
𝜃(−𝜃)𝑒−
𝑡𝜃⁄ ]𝑥0
= −𝑒−𝑥𝜃⁄ + 1.
𝐹(𝑥) = {0 , 𝑑𝑎𝑛𝑥 < 0
−𝑒−𝑥𝜃⁄ + 1, 𝑑𝑎𝑛𝑥 ≥ 0
𝐹𝑢(𝑢) = 𝑃(𝑈 ≤ 𝑢) = 𝑃 (𝑋
𝜃≤ 𝑢)
= 𝑃(𝑋 ≤ 𝑢𝜃) = 𝐹(𝑢𝜃) = −𝑒−𝑢𝜃
𝜃⁄ + 1
= −𝑒−𝑢 + 1.
𝐹𝑢(𝑢) = {0 , 𝑑𝑎𝑛𝑢 < 0−𝑒−𝑢 + 1, 𝑑𝑎𝑛𝑢 ≥ 0
𝑓𝑢(𝑢) = {0 , 𝑑𝑎𝑛𝑢 < 0𝑒−𝑢 , 𝑑𝑎𝑛𝑢 ≥ 0
𝑓𝑢(𝑢) tidak bergantung pada 𝜃.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Kedua syarat besaran Pivot terpenuhi
Gambar 2.4. Fungsi probabilitas bagi 𝑈
Selanjutnya akan dicari selang kepercayaan bagi 𝜃
∗ 𝑃(𝑈 < 𝑎) = ∫ 𝑒−𝑢 𝑑𝑢 =𝑎
00.05
−𝑒−𝑢]𝑎0
= 0.05
1−𝑒−𝑎 = 0.05
𝑒−𝑎 = 0.95
ln(𝑒−𝑎) = ln(0.95)
−𝑎 = −0.051
𝑎 = 0.051
*𝑃(𝑈 > 𝑏) = ∫ 𝑒−𝑢 𝑑𝑢 =∞
𝑏0.05
−𝑒−𝑢]∞𝑏
= 0.05
𝑒−𝑏 = 0.05
ln(𝑒−𝑏) = ln(0.05)
−𝑏 = −2.996
𝑏 = 2.996
sehingga,
0.9 = 𝑃(0.051 ≤ 𝑈 ≤ 2.996) = 𝑃 (0.051 ≤𝑋
𝜃≤ 2.996).
Karena akan dicari penduga selang bagi 𝜃, maka diperoleh:
0.9 = 𝑃 (0.051 ≤𝑋
𝜃≤ 2.996) = 𝑃 (
0.051
𝑋≤1
𝜃≤2.996
𝑋)
0.9 = 𝑃 (𝑋
0.051≥ 𝜃 ≥
𝑋
2.996) = 𝑃 (
𝑋
2.996≤ 𝜃 ≤
𝑋
0.051)
0.90
a b
f(u)
0.05
0.05
u
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Dengan demikian, diperoleh batas bawah dan batas atas untuk selang
kepercayaan 𝜃 adalah 𝑋
2.996 dan
𝑋
0.051.
2.3. Selang Kepercayaan Sampel Besar
Untuk sampel besar, semua penduga titik akan mendekati
distribusi sampling Normal dengan galat standar yang telah
ditunjukkan pada Tabel 2.2.
Jika parameter sasaran 𝜃 adalah 𝜇, 𝑝, 𝜇1 − 𝜇2, atau
𝑝1 − 𝑝2, maka untuk sampel besar,
𝑍 =𝜃 − 𝜃
𝜎�̂�
akan mendekati distribusi Normal standar. Akibatnya, 𝑍 adalah
suatu besaran Pivot dan Metode Pivot dapat digunakan untuk
menghasilkan selang kepercayaan untuk parameter sasaran 𝜃.
Contoh 2.22
Misalkan 𝜃 adalah statistik berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜃
dan galat standar 𝜎𝜃. Temukan selang kepercayaan bagi 𝜃 yang
memiliki koefisien kepercayaan (1 − 𝛼).
Solusi:
Nilai 𝑍 =�̂�−𝜃
𝜎�̂� berdistribusi Normal. Sekarang, pilih dua nilai di
dalam selang, yaitu 𝑧𝛼 2⁄ dan −𝑧𝛼 2⁄ , sehingga
𝑃(−𝑧𝛼 2⁄ ≤ 𝑍 ≤ 𝑧𝛼 2⁄ ) = 1 − 𝛼.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
1 - α α/2α/2
−𝑧𝛼 2⁄
𝑧𝛼 2⁄ 0
Gambar 2.5. Letak −𝑧𝛼 2⁄ dan 𝑧𝛼 2⁄
Dengan mensubstitusi nilai 𝑍 =�̂�−𝜃
𝜎�̂� , diperoleh
𝑃 (−𝑧𝛼 2⁄ ≤�̂�−𝜃
𝜎�̂�≤ 𝑧𝛼 2⁄ ) = 1 − 𝛼.
Pada ketidaksamaan tersebut, kalikan semuanya dengan 𝜎�̂�,
diperoleh
𝑃(−𝑧𝛼 2⁄ 𝜎�̂� ≤ 𝜃 − 𝜃 ≤ 𝑧𝛼 2⁄ 𝜎�̂�) = 1 − 𝛼
𝑃(−𝜃 − 𝑧𝛼 2⁄ 𝜎�̂� ≤ −𝜃 ≤ −𝜃 + 𝑧𝛼 2⁄ 𝜎�̂�) = 1 − 𝛼
𝑃(𝜃 − 𝑧𝛼 2⁄ 𝜎�̂� ≤ 𝜃 ≤ 𝜃 + 𝑧𝛼 2⁄ 𝜎�̂�) = 1 − 𝛼
Dengan demikian, titik akhir untuk 100(1 − 𝛼)% selang ke-
percayaan bagi 𝜃 diberikan dengan
𝜃𝐿 = 𝜃 − 𝑧𝛼 2⁄ 𝜎�̂� dan 𝜃𝑈 = 𝜃 + 𝑧𝛼 2⁄ 𝜎�̂�. ∎
Dengan cara yang sama, dapat ditentukan pula 100(1 − 𝛼)% batas
kepercayaan satu sisi, yaitu
100(1 − 𝛼)% batas bawah bagi 𝜃 = 𝜃 − 𝑧𝛼𝜎�̂�.
100(1 − 𝛼)% batas atas bagi 𝜃 = 𝜃 + 𝑧𝛼𝜎�̂�.
Contoh 2.23
Suatu supermarket mencatat waktu belanja 64 sampel acak dari
konsumen yang datang. Rata-rata dan variansi dari ke-64 konsumen
tersebut adalah 33 dan 256 menit. Tentukan penduga waktu rata-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
rata setiap konsumen (µ) dengan koefisien kepercayaan dari 1 −
𝛼 = 0.9.
Solusi:
Diketahui: 𝑛 = 64, �̅� = 33 dan 𝑠2 = 256.
Variansi dari populasi tidak diketahui, maka digunakan s2 untuk
menduga 𝜎2. Batas selang kepercayaan adalah
𝜃 ± 𝑧𝛼2⁄𝜎�̂�
akan menjadi
�̅� ± 𝑧𝛼2⁄(𝜎
√𝑛) ≈ �̅� ± 𝑧𝛼
2⁄(𝑠
√𝑛)
Dengan menggunakan Tabel Z (terlampir), diperoleh
𝑧𝛼2⁄= 𝑧0.05 = 1.645; oleh karena itu, batas kepercayaannya adalah
�̅� − 𝑧𝛼2⁄(𝑠
√𝑛) = 33 − 1.645 (
16
√64) = 29.71l,
�̅� + 𝑧𝛼2⁄(𝑠
√𝑛) = 33 + 1.645 (
16
√64) = 36.29.
Dengan demikian, selang kepercayaan bagi 𝜇 adalah (29.71,36.29).
Dalam pengambilan sampel berulang, sekitar 90% dari semua
selang yang berbentuk �̅� ± 1,645 (𝑠/√𝑛) akan memuat 𝜇, yaitu
rata-rata sebenarnya dari waktu belanja setiap pelanggan.
E. Konsistensi Penduga
Definisi 2.36
Penduga 𝜃𝑛 dikatakan sebagai penduga konsisten bagi 𝜃 jika ∀𝜀 > 0,
lim𝑛→∞
𝑃(|𝜃𝑛 − 𝜃| ≤ 𝜀) = 1,
atau
lim𝑛→∞
𝑃(|𝜃𝑛 − 𝜃| > 𝜀) = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Teorema 2.9
Suatu penduga tak bias 𝜃𝑛 bagi 𝜃 adalah penduga konsisten bagi 𝜃 jika
lim𝑛→∞
𝑉(𝜃𝑛) = 0.
Bukti:
Jika 𝑋 adalah sembarang variabel acak dengan 𝐸(𝑋) = 𝜇 dan 𝑉(𝑋) = 𝜎2 < ∞
dan ∀𝑘 > 0, dapat digunakan Teorema Tchebysheff yang menyatakan bahwa
𝑃(|𝑋 − 𝜇| > 𝑘𝜎) ≤1
𝑘2.
Bukti Teorema Tchebysheff terdapat pada buku Wackerly, et al. (2008).
Mathematical Statistics with Applications. Seventh Edition. Duxbury: Thomson
Brooks/Cole. Halaman: 208.
Karena 𝜃𝑛 adalah penduga tak bias bagi 𝜃, itu menunjukkan bahwa
𝐸(𝜃𝑛) = 𝜃.
Misalkan 𝜎�̂�𝑛 = √𝑉(𝜃𝑛) menotasikan galat standar bagi 𝜃𝑛.
Dengan menerapkan Teorema Tchebysheff untuk variabel acak 𝜃𝑛, diperoleh:
𝑃(|𝜃𝑛 − 𝜃| > 𝑘𝜎�̂�𝑛) ≤1
𝑘2.
Misalkan 𝑛 adalah ukuran sampel,
𝑘 =𝜀
𝜎�̂�𝑛, ∀𝜀 > 0, 𝑘 > 0.
Penerapan Teorema Tchebysheff untuk pemilihan nilai 𝑘 tersebut menunjukkan
bahwa
𝑃(|𝜃𝑛 − 𝜃| > 𝜀) = 𝑃 (|𝜃𝑛 − 𝜃| > [𝜀
𝜎�̂�𝑛] 𝜎�̂�𝑛) ≤
1
(𝜀 𝜎�̂�𝑛⁄ )2 =
𝑉(𝜃𝑛)
𝜀2.
Dengan demikian,
0 ≤ 𝑃(|𝜃𝑛 − 𝜃| > 𝜀) ≤𝑉(𝜃𝑛)
𝜀2.
Bila lim𝑛→∞
𝑉(𝜃𝑛) = 0, maka untuk 𝑛 → ∞,
lim𝑛→∞
0 ≤ lim𝑛→∞
𝑃(|𝜃𝑛 − 𝜃| > 𝜀) ≤ lim𝑛→∞
𝑉(𝜃𝑛)
𝜀2= 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Dengan demikian, 𝜃𝑛 adalah penduga konsisten bagi 𝜃. ∎
Contoh 2.24
Misalkan 𝑋𝑖 adalah variabel acak berdistribusi Normal dengan 𝑖 = 1,2, . . 𝑛, rata-
rata 𝜇 dan variansi 𝜎2. Tunjukkan bahwa �̅� adalah penduga konsisten bagi 𝜇.
Solusi:
Akan diperiksa terlebih dahulu apakah �̅� merupakan penduga tak bias bagi 𝜇.
𝐸(�̅�) = 𝐸 (1
𝑛∑𝑋𝑖) =
1
𝑛[𝐸(𝑋1) + 𝐸(𝑋2) +⋯+ 𝐸(𝑋𝑛)] =
1
𝑛∙ 𝑛𝜇 = 𝜇.
Terbukti bahwa �̅� adalah penduga tak bias bagi 𝜇.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa �̅� adalah penduga konsisten bagi 𝜇.
𝑉(�̅�) = 𝑉 (1
𝑛∑𝑋𝑖) =
1
𝑛2[𝑉(𝑋1) + 𝑉(𝑋2) + ⋯+ 𝑉(𝑋𝑛)]
=1
𝑛2∙ 𝑛𝜎2 =
𝜎2
𝑛.
lim𝑛→∞
𝑉(�̅�) = lim𝑛→∞
𝜎2
𝑛= 0.
Jadi, terbukti bahwa �̅� adalah penduga konsisten bagi 𝜇. ∎
F. Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation
Method/MLE)
Salah satu metode dalam pendugaan parameter adalah metode Pendugaan
Kemungkinan Maksimum (MLE). Sebagai contoh, misalkan terdapat sebuah
kotak yang berisi tiga bola. Diketahui bahwa setiap bola berwarna merah atau
putih, tetapi tidak diketahui banyaknya bola untuk setiap warna. Dipilih sampel
secara acak dua bola tanpa pengembalian. Jika sampel acak menghasilkan dua
bola merah, maka disimpulkan bahwa banyaknya bola merah pada kotak haruslah
dua atau tiga. Jika terdapat dua bola merah dan satu bola putih pada kotak, maka
peluang terpilihnya dua bola merah secara acak adalah
(22)(10)
(32)
=1
3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Di sisi lain ketika ketiga bola berwarna merah, maka peluang terpilihnya
tiga bola merah secara acak adalah
(32)
(32)= 1.
Oleh karena itu, dipilih tiga bola merah sebagai penduga dari banyaknya
bola merah di dalam kotak karena nilai dugaan ini merupakan penduga yang
memaksimumkan probabilitas dari sampel yang diamati. Hal ini jika
dibandingkan dengan dua bola merah, tiga bola merah mempunyai probabilitas
yang lebih besar, yaitu 1 >1
3. Tentu saja kemungkinan terdapat dua bola merah
pada kotak juga benar, tetapi hasil yang diamati memberikan kepercayaan yang
lebih untuk tiga bola merah di dalam kotak.
Contoh tersebut mengilustrasikan sebuah metode untuk menemukan sebuah
penduga yang dapat diaplikasikan pada berbagai situasi. Secara teknis, metode ini
disebut Metode Kemungkinan Maksimum. Metode tersebut diperkenalkan
pertama kali oleh R. A. Fisher (1912) yang menghasilkan penduga yang sangat
baik bagi parameter 𝜃 untuk sampel berukuran besar.
Definisi 2.37
Diberikan pengamatan saling bebas 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 yang merupakan variabel acak
kontinu berukuran 𝑛 dengan fungsi probabilitas 𝑓(𝑥|𝜃) dan 𝜃 adalah parameter
yang tidak diketahui. Misalkan fungsi kemungkinan tergantung pada 𝑘 buah
parameter, yaitu 𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑘, maka tujuan dari metode kemungkinan maksimum
adalah untuk menentukan penduga dari 𝜃 yang memaksimumkan fungsi
likelihood
𝐿(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛|𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑘) = 𝑓(𝑥|𝜃) =∏𝑓(𝑥𝑖; 𝜃).
𝑛
𝑖=1
Terkadang sulit untuk mencari turunan fungsi likelihood, maka yang
dilakukan adalah menentukan nilai maksimum dari fungsi log-likelihood. Fungsi
log-likelihood dapat ditulis dalam bentuk:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
𝑙 = ln 𝐿(𝜃).
Nilai parameter 𝜃 dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-
likelihood. Hal tersebut dilakukan dengan mencari turunan parsial pertama dari
fungsi log-likelihood-nya terhadap setiap parameternya. Sehingga, MLE 𝜃
merupakan penyelesaian dari persamaan berikut:
𝜕𝑙
𝜕𝜃= 0.
Misalkan terdapat 𝑘 buah parameter yang tidak diketahui, maka pendugaan
parameter 𝜃𝑖 dengan Metode Kemungkinan Maksimum adalah
𝜕𝑙
𝜕𝜃𝑖= 0,
dengan 𝑙 = ln(𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑘), 𝑖 = 1,2, … , 𝑘.
Contoh 2.25
Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 adalah sampel acak berdistribusi Normal dengan rata-rata
𝜇 dan variansi 𝜎2. Temukanlah �̂� dan �̂�2 dengan menggunakan Metode
Kemungkinan Maksimum.
Solusi:
Karena 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 adalah sampel acak kontinu berdistribusi Normal dengan
rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎2, maka fungsi probabilitasnya didefinisikan sebagai
𝑓(𝑥) =1
𝜎√2𝜋exp [(−
1
2𝜎2) (𝑥 − 𝜇)2] , − ∞ < 𝑥 < ∞.
Berdasarkan Definisi MLE, diperoleh
𝐿(𝜇, 𝜎2) = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛|𝜇, 𝜎2)
= 𝑓(𝑥1|𝜇, 𝜎2) × 𝑓(𝑥2|𝜇, 𝜎
2) × …× 𝑓(𝑥𝑛|𝜇, 𝜎2)
= [
1
𝜎√2𝜋exp(
−(𝑥1 − 𝜇)2
2𝜎2)] × …× [
1
𝜎√2𝜋exp(
−(𝑥𝑛 − 𝜇)2
2𝜎2)]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
= (1
2𝜋𝜎2)
𝑛2exp [−
1
2𝜎2∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
2
𝑛
𝑖=1
].
Fungsi log-likelihood dari persamaan di atas adalah
ln[𝐿(𝜇, 𝜎2)] = ln {(1
2𝜋𝜎2)
𝑛2exp [−
1
2𝜎2∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
2
𝑛
𝑖=1
]}
=𝑛
2[ln (
1
2𝜋𝜎2)] −
1
2𝜎2∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
2
𝑛
𝑖=1
= −
𝑛
2ln(𝜎2) −
𝑛
2ln(2𝜋) −
1
2𝜎2∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
2
𝑛
𝑖=1
Penduga kemungkinan maksimum dari 𝜇 dan 𝜎2 adalah penduga yang
memaksimumkan ln[𝐿(𝜇, 𝜎2)] dengan mencari nilai turunan parsial terhadap 𝜇
dan 𝜎2, maka diperoleh
Jika turunan parsial terhadap 𝜇 dan 𝜎2 disamakan dengan nol, maka diperoleh:
1
𝜎2∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
𝑛
𝑖=1
= 0
∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
𝑛
𝑖=1
= 0
∑𝑥𝑖 − 𝑛𝜇
𝑛
𝑖=1
= 0
𝜕 ln[𝐿(𝜇, 𝜎2)]
𝜕𝜇 =
1
𝜎2∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
𝑛
𝑖=1
𝜕 ln[𝐿(𝜇, 𝜎2)]
𝜕𝜎2 = −
𝑛
2𝜎2+
1
2𝜎4∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
2
𝑛
𝑖=1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
𝜇 =∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1
𝑛= �̅�
−𝑛
2𝜎2+
1
2𝜎4∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
2
𝑛
𝑖=1
= 0
1
2𝜎4∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
2
𝑛
𝑖=1
=𝑛
2𝜎2
1
𝜎2∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
2
𝑛
𝑖=1
= 𝑛
𝜎2 =1
𝑛∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
2
𝑛
𝑖=1
.
Dengan substitusi 𝜇 = �̅� ke persamaan, diperoleh
𝜎2 =1
𝑛∑ (𝑥𝑖 − �̅�)
2𝑛𝑖=1 .
Jadi, penduga kemungkinan maksimum untuk 𝜇 dan 𝜎2 adalah
𝜇 = �̅� dan 𝜎2 =1
𝑛∑ (𝑥𝑖 − �̅�)
2𝑛𝑖=1 .
G. Pencilan
1. Definisi Pencilan
Pencilan seringkali ada di dalam proses pengolahan data. Banyak
peneliti menganggap bahwa pencilan akan menjadikan pendugaan terjadi
kesalahan (error), sehingga diperlukan pendeteksian pencilan.
Definisi yang tepat dari pencilan sering tergantung pada asumsi data
dan metode deteksi yang diterapkan. Namun, beberapa definisi dianggap
cukup untuk berbagai jenis data dan metode. Hawkins (1980)
mendefinisikan pencilan sebagai satu atau lebih pengamatan yang nilainya
menyimpang jauh dari pengamatan lain yang menimbulkan kecurigaan
bahwa pengamatan dihasilkan oleh mekanisme yang berbeda. Barnet dan
Lewis (1994) mendefinisikan pencilan sebagai suatu pengamatan yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
menyimpang dengan sangat mencolok dari anggota sampel lainnya.
Johnson (1992) mendefinisikan pencilan sebagai pengamatan dalam
kumpulan data yang tampaknya tidak konsisten dengan kumpulan data
lainnya. Ferguson (1961), pencilan adalah data yang menyimpang dari
sekumpulan data yang lain. R. K. Sembiring (1950) mendefinisikan
pencilan dalam konteks analisis regresi, yaitu pengamatan yang jauh dari
pusat data yang mungkin berpengaruh besar terhadap koefisien regresi.
Dilihat dari beberapa definisi tersebut, dapat disimpulkan bahwa
pencilan adalah pengamatan yang nilainya menyimpang jauh dari
kumpulan data/pengamatan lainnya.
Contoh 2.26
Sebuah toko mempunyai rincian banyaknya barang yang terjual beserta
harganya yang disajikan dalam Tabel 2.3. Dengan 𝑋 = banyaknya buku
yang terjual dan 𝑌 = harga barang (dalam ribuan).
Tabel 2.3. Banyaknya barang yang terjual dan harga barang
Pengamatan X Y
1 19 792
2 17 807
3 14 812
4 11 829
5 18 835
6 35 850
7 9 855
Dengan menggambar grafik nilai Y terhadap nilai X, akan terlihat apakah
data tersebut memuat pencilan atau tidak, sehingga diperoleh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Gambar 2.6. Harga Barang terhadap Banyaknya Barang yang Terjual
Berdasarkan Gambar 2.6 terlihat bahwa pengamatan ke-6 jauh di
atas pengamatan yang lain pada umumnya. Hal ini diperkuat dengan letak
titik pada grafik yang mencolok pada data pengamatan ke-6, sehingga data
tersebut bila dibandingkan dengan data lainnya memiliki perbedaan yang
sangat signifikan dan dapat diduga sebagai pencilan.
Contoh 2.27
Pada penelitian Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi D. I. Yogyakarta
telah diperoleh data produksi hasil hutan rimba menurut jenisnya pada
tahun 2001-2015 yang disajikan dalam tabel berikut:
Tabel 2.4. Produksi Hasil Hutan Rimba (Kayu Pertukangan)
Menurut Jenisnya di Provinsi D. I. Yogyakarta
No Tahun
Produksi
Hasil Hutan
(m3)
No Tahun
Produksi
Hasil Hutan
(m3)
1 2001 600.95 9 2009 1120.62
2 2002 52.78 10 2010 174.66
3 2003 36.36 11 2011 35.59
4 2004 20.16 12 2012 63.72
780
800
820
840
860
0 10 20 30 40
Y
X
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
No Tahun
Produksi
Hasil Hutan
(m3)
No Tahun
Produksi
Hasil Hutan
(m3)
5 2005 54.89 13 2013 195.65
6 2006 17.76 14 2014 266.66
7 2007 5.10 15 2015 14.50
8 2008 1120.62
Sumber: BPS Provinsi D. I. Yogyakarta
www.yogyakarta.bps.go.id/linkTabelStatis/view/id/49
Dengan menggambar grafik produksi hasil hutan rimba terhadap
waktu, akan terlihat apakah data tersebut mengandung data pencilan atau
tidak, sehingga diperoleh
Gambar 2.7. Produksi Hasil Hutan Rimba Terhadap Waktu
Berdasarkan Gambar 2.7 terlihat bahwa data tahun 2001, 2008 dan 2009
jauh di atas data yang lain pada umumnya. Hal ini diperkuat dengan letak
titik pada grafik yang mencolok pada data tahun 2001, 2008 dan 2009,
sehingga data tersebut bila dibandingkan dengan data lainnya memiliki
perbedaan yang sangat signifikan dan dapat diduga sebagai pencilan.
0
200
400
600
800
1000
1200
2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013 2015Pro
du
ksi
Ha
sil
Hu
tan
(m3)
Tahun
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
2. Pengaruh Pencilan
Data pengamatan yang mengandung pencilan akan mengganggu
proses analisis data. Keberadaan pencilan dapat berpengaruh pada proses
perhitungan statistik yang akan berdampak pada hasil kesimpulan.
Melalui data pengamatan, diperoleh informasi-informasi penting
yang dapat membantu proses perhitungan. Informasi tersebut dapat berupa
rata-rata. Pada contoh 2.26 diperoleh rata-rata dari keseluruhan
pengamatan sebesar 825.7143. Di sisi lain, jika pengamatan yang
merupakan pencilan (pengamatan ke-6) tidak diikutsertakan dalam proses
perhitungan rata-rata, maka diperoleh rata-rata sebesar 821.667. Pada
contoh berikutnya (contoh 2.27) akan dicari pula rata-rata data. Diperoleh
rata-rata dari keseluruhan pengamatan sebesar 252.0013. Apabila
pengamatan yang merupakan pencilan (pengamatan tahun 2001, 2008, dan
2009) tidak diikutsertakan dalam perhitungan, maka diperoleh rata-rata
sebesar 78.1525. Hal ini terlihat bahwa dari kedua contoh tersebut
menunjukkan adanya perbedaan antara rata-rata keseluruhan pengamatan
dalam data dengan rata-rata data yang dihitung tanpa mengikutsertakan
pencilan. Jadi, keberadaan pencilan dapat memberikan perbedaan pada
perhitungan/hasil analisis data. Perbedaan yang terjadi akibat
meningkatnya pendugaan variansi (pengukuran semakin meluas), selang
data menjadi lebar dan rata-rata yang dihitung tidak dapat menunjukkan
nilai yang sebenarnya (bias).
Seringkali pencilan dihilangkan/dihapuskan untuk meningkatkan
akurasi dari pendugaan. Akan tetapi dalam praktiknya, hal tersebut tidak
dianjurkan karena terkadang pencilan dapat memiliki informasi yang
sangat berguna. Kehadiran data pencilan dapat menunjukkan individu atau
kelompok yang memiliki perilaku/nilai sangat berbeda dari situasi standar
dibanding dengan kumpulan pengamatan yang lain pada data.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
3. Pendeteksian Pencilan
3.1. Metode Grafis
Pencilan dapat dilihat berdasarkan grafis (gambar). Dengan
memplot data penelitian ke-i (i=1,2,…,n) dengan n adalah
banyaknya data penelitian, dapat diketahui data tersebut memuat
pencilan atau tidak. Apabila terdapat satu atau beberapa data yang
terletak jauh dari pola grafis pada kumpulan data keseluruhan, maka
hal ini dapat diidentifikasi bahwa data mengandung pencilan.
Metode ini mempunyai keuntungan, yaitu sangat mudah dipahami
karena tidak perlu menggunakan perhitungan rumit untuk mencari
pencilan, serta tampilannya yang menarik karena menampilkan data
secara grafis. Di sisi lain, terdapat pula kelemahan melalui metode
ini, yaitu keputusan bahwa suatu data disebut pencilan sangat
bergantung pada subyektivitas peneliti. Hal ini dikarenakan hanya
mengandalkan visualisasi grafis dan untuk itu dibutuhkan seseorang
yang ahli dan berpengalaman dalam menginterpretasikan grafis
tersebut.
Untuk lebih jelasnya, akan diperlihatkan identifikasi data
pencilan yang terdapat pada contoh berikut.
Contoh 2.28
Dalam suatu penelitian diketahui data jumlah wisatawan
mancanegara dan pengunjung asing yang masuk melalui pintu
Makassar pada tahun 2007 yang disajikan dalam tabel berikut.
Tabel 2.5. Jumlah wisatawan yang masuk melalui pintu Makassar
No Bulan X No Bulan X
1 Januari ‘07 187 11 November 383
2 Februari 989 12 Desember 246
3 Maret 741 13 Januari ‘08 228
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
No Bulan X No Bulan X
4 April 78 14 Februari 79
5 Mei 154 15 Maret 94
6 Juni 36 16 April 78
7 Juli 178 17 Mei 67
8 Agustus 99 18 Juni 112
9 September 323 19 Juli 430
10 Oktober 88
Keterangan: X adalah jumlah wisman dan pengunjung asing
Sumber: Ditjen Imigrasi, BPS dan Angkasa Pura I dan II
Diolah kembali oleh Pusat Pengelolaan Data dan Sistem Jaringan
www.budpar.go.id
Dengan menguji data menggunakan metode grafis akan
terlihat apakah data tersebut mengandung data pencilan atau tidak,
sehingga diperoleh:
Gambar 2.8. Scatter-plot Jumlah Wisman dan Pengunjung Asing
Berdasarkan Gambar 2.8 terlihat bahwa pengamatan bulan Februari
dan Maret 2007 jauh di atas pengamatan yang lain pada umumnya,
sehingga dapat diprediksi sebagai pencilan. Bila dibandingkan
0
200
400
600
800
1000
1200
0 5 10 15 20Wis
man
& P
eng
un
jun
g A
sin
g
Bulan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
dengan pengamatan bulan Februari dan Maret 2008, terlihat
pengamatan bulan Februari dan Maret 2007 memiliki perbedaan
yang sangat signifikan. Hal ini dapat diduga sebagai pencilan.
3.2. Diagram Kotak Garis (Boxplot)
John Tukey (1977) memperkenalkan beberapa metode untuk
penyelidikan analisis data, salah satunya adalah metode Boxplot.
Sebuah Boxplot adalah grafik yang menyajikan median (𝑄2), kuartil
pertama (𝑄1) dan kuartil ketiga (𝑄3), serta setiap pencilan yang
termuat di dalam sampel. Melalui Boxplot dapat menunjukkan
ada/tidaknya nilai ekstrim dari data pengamatan.
Perhatikan bahwa 75% dari data adalah kurang dari kuartil
ketiga dan 25% adalah kurang dari kuartil pertama, hal berikut
bahwa 50%, atau setengah data berada di antara kuartil pertama dan
ketiga. Oleh karena itu, selang interkuartil (𝐼𝑄𝑅) adalah perbedaan
antara kuartil pertama dan kuartil ketiga. Jika 𝐼𝑄𝑅 = 𝑄3 − 𝑄1 akan
mewakili selang interkuartil, maka untuk menggambar Boxplot,
untuk setiap titik yang lebih dari 1.5 IQR di atas kuartil ketiga, atau
lebih dari 1.5 IQR di bawah kuartil pertama, dianggap pencilan.
Kerangka Boxplot terdiri dari: sebuah kotak memanjang dari
kiri ke kanan, sisi bawah kotak adalah 𝑄1 dan sisi atas adalah 𝑄3;
sebuah garis horizontal yang ditarik dari median; serta whiskers yang
memanjang dari atas dan bawah kotak, yaitu dari 𝑄1 dan 𝑄3.
Biasanya, whiskers secara signifikan lebih panjang dibandingkan
kotak. Whiskers yang pendek dapat diidentifikasi sebagai distribusi
seragam dengan titik-titik perhentian yang ekstrim.
Terdapat dua tipe pencilan yang terkenal, yaitu: pencilan
ringan (mild outliers) dan pencilan ekstrim (extreme outliers). Suatu
pengamatan 𝑥 disebut sebagai pencilan ekstrim, jika berada di luar
selang (𝑄1 − 3 × 𝐼𝑄𝑅, 𝑄3 + 3 × 𝐼𝑄𝑅). Perhatikan bahwa pusat dari
selang adalah (𝑄1 + 𝑄3) 2⁄ dan jangkauannya adalah 3.5 × 𝐼𝑄𝑅.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Suatu pengamatan 𝑥 disebut sebagai pencilan ringan jika berada di
luar selang (𝑄1 − 1.5 × 𝐼𝑄𝑅, 𝑄3 + 1.5 × 𝐼𝑄𝑅). Angka 1.5 dan 3
dipilih dari perbandingan dengan distribusi Normal.
Untuk sampel besar dari populasi berdistribusi Normal,
kuartil harus dekat dengan 𝜇 ± 0.67𝜎. Dengan demikian, selang
bagian dalam harus dekat dengan 𝜇 ± 2.67𝜎 dan selang bagian luar
dekat dengan 𝜇 ± 4.67𝜎. Dapat disimpulkan bahwa, jika populasi
berdistribusi Normal, hanya sekitar 0.8% data akan ditemukan di
luar selang bagian dalam. Pencilan-pencilan diduga sebagai bukti
dari kumpulan data yang terkontaminasi, dapat menjadi bukti bahwa
populasi memiliki distribusi tidak Normal, atau diduga muncul
dalam sampel dari populasi berdistribusi Normal.
Untuk ukuran sampel yang kecil, diharapkan data ekstrim
yang lebih sedikit. Jika yang diambil hanyalah sampel kecil, maka
lebih cenderung untuk mendapatkan 𝐼𝑄𝑅 yang tidak dapat mewakili
yang kecil, sehingga menghasilkan selang yang sempit. Ketika ini
terjadi, kemungkinan besar bahwa data akan ditandai sebagai
pencilan, kecuali untuk 𝑁 kecil dan distribusi tunggal, perhitungan
probabilitas yang tepat adalah mustahil.
Di bawah ini diperlihatkan anatomi dari Boxplot beserta cara
penentuan batas-batasnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Gambar 2.9. Anatomi dari Boxplot
Langkah-langkah pembuatan Boxplot:
1) Hitunglah median, kuartil pertama dan ketiga dari sampel.
Tunjukkan ini dengan garis horisontal. Gambar garis vertikal
untuk menyelesaikan kotak.
2) Cari nilai sampel terbesar yang tidak lebih dari 1.5 IQR
di atas kuartil ketiga, dan nilai sampel terkecil yang tidak lebih
dari 1.5 IQR di bawah kuartil pertama. Perpanjang garis
vertikal (whiskers) dari garis-garis kuartil menuju ke titik nilai
tersebut.
3) Nilai yang lebih dari 1.5 IQR di atas kuartil ketiga, atau lebih
dari 1.5 IQR di bawah kuartil pertama, tetapkan itu sebagai
pencilan. Gambarlah setiap pencilan secara satu per satu.
Data titik terbesar dari
1.5 IQR di bawah 𝑄1
Pencilan 𝑄2
𝑄1
𝑄3
Data titik terbesar dari
1.5 IQR di atas 𝑄3
𝑥
𝑥
𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Contoh 2.29
Tabel 2.6. Durasi (dalam menit) periode aktif dari Geyser Old
Faithful
42 45 49 50 51 51 51 51 53 53
55 55 56 56 57 58 60 66 67 67
68 69 70 71 72 73 73 74 75 75
75 75 76 76 76 76 76 79 79 80
80 80 80 81 82 82 82 83 83 84
84 84 85 86 86 86 88 90 91 93
Berikut adalah gambar Boxplot yang diperoleh berdasarkan data
Gambar 2.10. Boxplot Contoh 2.29
Gambar 2.10 menyajikan Boxplot untuk data yang disajikan
pada Tabel 2.6. Catatan pertama bahwa tidak ada pencilan dalam
data tersebut. Dengan membandingkan empat bagian Boxplot,
dapat dikatakan bahwa nilai-nilai sampel relatif dekat antara
median dan kuartil ketiga, serta lebih jauh antara median dan
kuartil pertama. Whiskers bawah adalah sedikit lebih jauh dari
yang atas, ini menunjukkan bahwa data memiliki bagian yang
sedikit lebih panjang dan lebih rendah dari bagian atas. Oleh
karena jarak antara median dan kuartil pertama lebih jauh dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
jarak antara median dan kuartil ketiga, maka seperempat data
yang rendah menghasilkan whiskers yang lebih panjang
dibandingkan dengan seperempat yang paling atas. Boxplot ini
menunjukkan bahwa data tidak simetris ke kiri.
Contoh 2.30
Tabel 2.7 memberikan informasi tentang ukuran ketebalan dalam
angstrom (𝐴)̇ , dari lapisan oksida untuk 24 wafers (Navidi, 2011:
36). Sembilan kali pengukuran dilakukan pada setiap wafer.
Wafers tersebut diproduksi di dalam dua pengukuran secara
terpisah dengan 12 wafers berada di dalam setiap pengukuran.
Kedua belas wafers di dalam setiap pengukuran terdiri dari
beberapa jenis yang berbeda dan diproses dalam beberapa lokasi
tungku yang berbeda. Tujuan dalam mengumpulkan data adalah
untuk menentukan apakah ketebalan lapisan oksida salah satunya
dipengaruhi oleh jenis wafer atau lokasi tungku. Oleh karena itu,
hal yang menjadi sorotan dalam percobaan ini adalah jenis wafer
dan lokasi tungku sebagai faktor-faktornya, dan ketebalan lapisan
oksida sebagai hasilnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Tabel 2.7. Ketebalan Lapisan Oksida Bagi Silicon Wafers
Wafer Ketebalan
Penilaian 1
1 90.0 92.2 94.9 92.7 91.6 88.2 92.0 98.2 96.0
2 91.8 94.5 93.9 77.3 92 89.9 87.9 92.8 93.3
3 90.3 91.1 93.3 93.5 87.2 88.1 90.1 91.9 94.5
4 92.6 90.3 92.8 91.6 92.7 91.7 89.3 95.5 93.6
5 91.1 89.8 91.5 91.5 90.6 93.1 88.9 92.5 92.4
6 76.1 90.2 96.8 84.6 93.3 95.7 90.9 100.3 95.2
7 92.4 91.7 91.6 91.1 88.0 92.4 88.7 92.9 92.6
8 91.3 90.1 95.4 89.6 90.7 95.8 91.7 97.9 95.7
9 96.7 93.7 93.9 87.9 90.4 92.0 90.5 95.2 94.3
10 92.0 94.6 93.7 94 89.3 90.1 91.3 92.7 94.5
11 94.1 91.5 95.3 92.8 93.4 92.2 89.4 94.5 95.4
12 91.7 97.4 95.1 96.7 77.5 91.4 90.5 95.2 93.1
Wafer Ketebalan
Penilaian 2
1 93.0 89.9 93.6 89 93.6 90.9 89.8 92.4 93.0
2 91.4 90.6 92.2 91.9 92.4 87.6 88.9 90.9 92.8
3 91.9 91.8 92.8 96.4 93.8 86.5 92.7 90.9 92.8
4 90.6 91.3 94.9 88.3 87.9 92.2 90.7 91.3 93.6
5 93.1 91.8 94.6 88.9 90.0 97.9 92.1 91.6 98.4
6 90.8 91.5 91.5 91.5 94.0 91.0 92.1 91.8 94.0
7 88.0 91.8 90.5 90.4 90.3 91.5 89.4 93.2 93.9
8 88.3 96.0 92.8 93.7 89.6 89.6 90.2 95.3 93.0
9 94.2 92.2 95.8 92.5 91.0 91.4 92.8 93.6 91.0
10 101.5 103.1 103.2 103.5 96.1 102.5 102 106.7 105.4
11 92.8 90.8 92.2 91.7 89.0 88.5 87.5 93.8 91.4
12 92.1 93.4 94.0 94.7 90.8 92.1 91.2 92.3 91.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Solusi:
Langkah pertama dalam analisis ini adalah membuat sebuah
Boxplot untuk data di masing-masing penilaian untuk membantu
menentukan apakah ditemukan pencilan dan apakah salah satu
pengamatan harus dihapus?
Hasil Boxplot disajikan pada Gambar 2.11.
Gambar 2.11. Perbandingan Boxplot untuk Data Ketebalan Lapisan
Oksida
Boxplot menunjukkan bahwa ada beberapa pencilan
dalam setiap pengukuran. Perhatikan bahwa selain dari pencilan
ini, tidak ada perbedaan yang mencolok antara sampel, dan
karena itu tidak ada bukti perbedaan secara sistematis
antarpengukuran. Langkah berikutnya adalah memeriksa
pencilan, jika ada, harus dihapus. Dengan memeriksa data
tersebut, dapat dilihat bahwa sembilan pengukuran terbesar
berada di dalam pengukuran 2 yang terjadi pada wafer ke-10. Hal
itu kemudian ditetapkan bahwa wafer tersebut telah
terkontaminasi dengan residual film, yang menyebabkan
pengukuran ketebalan besar. Oleh karena itu, akan sesuai untuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
menghapus pengukuran ini. Dalam pengukuran 1, telah
ditemukan tiga pengukuran terkecil yang disebabkan oleh
rusaknya alat pengukuran ketebalan, dan karena itu tepat dihapus.
Akan tetapi, tidak adanya alasan yang kuat untuk dua pencilan
yang tersisa dalam pengukuran 1, sehingga dapat dimasukkan
dalam analisis.
3.3. Uji Grubbs
Uji ini digunakan untuk mendeteksi pencilan pada suatu
waktu dalam kumpulan data univariat. Hal ini didasarkan pada
asumsi Normalitas. Artinya bahwa sebelum menerapkan uji
Grubbs, data harus cukup dekat dengan distribusi Normal. Jika
sampel diselidiki berdistribusi lainnya, maka uji ini memberikan
hasil yang tidak sebenarnya.
Uji ini didasarkan pada perbedaan rata-rata sampel dan
data yang paling ekstrim dengan mempertimbangkan standar
deviasi (Grubbs, 1950, 1969; DIN 32645; DIN 38402).
Definisi 2.38
Statistik uji Grubbs diberikan dengan
𝐺 =maks|𝑋𝑖 − �̅�|
𝑠
dengan 𝑋𝑖 adalah pengamatan ke-𝑖, �̅� dan 𝑠 adalah rata-rata dan
standar deviasi sampel. (Dan, E. D., and Ijeoma, O. A., 2013: 11)
Langkah-langkah Pengujian Hipotesis
1) H0: Pengamatan ke-𝑖 bukan pencilan
2) H1: Pengamatan ke-𝑖 merupakan pencilan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
3) Asumsi: Data Pengamatan Berdistribusi Normal
Statistik Uji:
𝐺 =maks|𝑋𝑖 − �̅�|
𝑠, 𝑖 = 1. . , 𝑛
4) Wilayah Kritis:
H0 ditolak jika 𝐺 >(𝑛−1)
√𝑛√
𝑡(𝛼 𝑛,𝑛−2)⁄2
𝑛−2+𝑡(𝛼 𝑛,𝑛−2)⁄2 ,
dengan 𝑛 adalah ukuran sampel, 𝑡(𝛼 𝑛,𝑛−2)⁄ adalah nilai kritis dari
distribusi 𝑡 dengan derajat bebas (𝑛 − 2) dan tingkat signifikansi
dari (𝛼 𝑛)⁄ .
5) Perhitungan
6) Kesimpulan
Contoh 2.31
Diketahui data penelitian sebagai berikut
Tabel 2.8. Data Boiler
1200 2566 3120 3728 4206 6500
1206 2635 3137 3748 4268 6565
1515 2680 3163 3775 4526 6928
1965 2735 3211 4006 5651 7606
2048 2974 3698 4065 6454 14791
2000 2972 3590 4023 6387 10825
Temukanlah pencilan di dalam data Boiler tersebut.
Solusi:
Dengan menggunakan Program R (lampiran 1), diperoleh data ke-
30 dan 36, yaitu 14791 dan 10825 terdeteksi sebagai pencilan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
3.4. Uji MAD (Median Absolute Deviation)
Pengujian ini dilakukan untuk mendeteksi adanya pencilan
dalam suatu kumpulan data yang diteliti.
Definisi 2.39 (Huber, 1981)
MAD didefinisikan sebagai berikut:
MAD = 𝑏�̃�𝑖(|𝑥𝑖 − �̃�𝑗(𝑥𝑗)|)
dengan �̃�𝑗(𝑥𝑗) adalah median dari 𝑛 pengamatan, 𝑥𝑖 adalah
pengamatan terurut, �̃�𝑖(|𝑥𝑖 − �̃�𝑗(𝑥𝑗)|) adalah median dari 𝑛 nilai
mutlak dari (𝑥𝑖 − �̃�𝑗(𝑥𝑗)). (Rousseeuw dan Croux, 1993)
Nilai 𝑏 adalah sebuah konstanta yang terkait dengan asumsi
Normalitas atau ketidaknormalan yang disebabkan oleh pencilan.
Nilai 𝑏 dapat diperoleh dari 𝑏 = 1/𝑄(0.75), dengan 𝑄(0.75) adalah
kuartil 0.75 dari distribusi yang diasumsikan. Dalam kasus
Normalitas, nilai 𝑏 = 1/𝑄(0.75) = 1.4826 (Huber, 1981).
Dalam pengujian menggunakan MAD harus ditentukan
terlebih dahulu kriteria penolakan suatu nilai. Miller (1991)
mengusulkan beberapa nilai, yaitu 3 (sangat konservatif), 2.5
(cukup konservatif) atau 2 (kurang konservatif).
Misalkan dipilih batas tepi dengan nilai 3, maka kriteria
keputusan menjadi:
�̃� − 3 × MAD < 𝑥𝑖 < �̃� + 3 × MAD
atau
𝑥𝑖−�̃�
MAD> | ± 3|,
dengan �̃� adalah median dari data pengamatan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Langkah-langkah Pengujian Hipotesis
1) H0: Pengamatan ke-𝑖 bukan pencilan
2) H1: Pengamatan ke-𝑖 merupakan pencilan
3) Asumsi: Data Pengamatan Berdistribusi Normal
Statistik Uji:
𝑥𝑖 − �̃�
MAD,
dengan �̃� adalah median dari data pengamatan
4) Wilayah Kritis:
H0 ditolak jika
𝑥𝑖 ∉ (�̃� − 3 × MAD, �̃� + 3 × MAD)
atau
𝑥𝑖 − �̃�
MAD< | ± 3|
5) Perhitungan
6) Kesimpulan
Uji ini akan diaplikasikan pada contoh 3.8 dalam bab 3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
BAB III
SELANG KEPERCAYAAN ROBUST
A. Statistika Robust
Bidang statistika robust menjadi penting dalam beberapa dekade terakhir.
Banyak peneliti menggunakan metode statistik 𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡 yang klasik dan
pengembangan teori komprehensif dari kekekaran (𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡𝑛𝑒𝑠𝑠), karena ada
keuntungan dari statistik 𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡.
Dengan digunakannya metode robust, hasil yang diharapkan meskipun
dalam kondisi yang tidak ideal (seperti variansi data terlalu besar dan terdapat
pencilan) akan tetap akurat. Banyak ahli statistik mengatakan bahwa analisis data
statistik harus selalu mempertimbangkan aspek "𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡". Apa yang dimaksud
" 𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡"?
Menurut Kamus Oxford, kata robust dapat didefinisikan sebagai berikut.
(a) (of an object) study in construction.
‘a robust metal cabinet’
(b) (of a system, organization, etc.) able to withstand or overcome adverse
conditions.
‘the country's political system has continued to be robust in spite of its economic
problems’
(c) Uncompromising and forceful.
‘he took quite a robust view of my case’
Berdasarkan ketiga definisi tersebut, dapat disimpulkan bahwa robust
adalah kata sifat yang berarti kekar, kuat, atau kokoh. Diharapkan dengan statistik
robust inilah suatu data dapat tetap kekar walaupun ada faktor-faktor pengganggu
yang terdapat di dalam suatu data, misalnya pengamatan pencilan.
Asumsi Normalitas, saling bebas, dan linearitas sering tidak terpenuhi
dalam analisis data. Penduga dan uji statistik yang didasarkan pada asumsi-asumsi
tersebut akan memberikan hasil yang bias, tergantung pada "besarnya" pe-
nyimpangan dan "sensitivitas" dari prosedur yang ada. Untuk mendapatkan hasil
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
yang dapat diandalkan, teori statistik diperlukan untuk jenis penyimpangan model
parametrik. Statistik nonparametrik membolehkan berbagai variasi distribusi
probabilitas, sehingga asumsi distribusi Normal tidak lagi relevan. Namun, ada
juga asumsi yang harus dipenuhi dalam statistik nonparametrik, seperti simetri
dan kontinuitas mutlak. Penyimpangan dari prasyarat ini menyebabkan hasil yang
bias dan terdistorsi. Sifat robust di dalam statistika umumnya menunjukkan
ketidaksensitivan pada penyimpangan di sekitar suatu model probabilistik yang
mendasari (Hoaglin, et al: 2). Statistik robust dapat dilihat sebagai pendekatan
terhadap teori pendugaan model parametrik.
Statistik yang robust adalah cara tepat untuk meringkas hasil, ketika
diduga ada sebagian kecil dalam data yang merupakan pencilan. Sebagian besar
penduga parameter lokasi (misalnya, rata-rata) dan parameter skala (misalnya,
standar deviasi) tergantung pada asumsi implisit, misalnya data merupakan
sampel acak berdistribusi Normal. Tetapi, diketahui bahwa data analitik seringkali
bermula dari suatu model. Distribusi dari suatu data seringkali berbentuk sangat
miring dan terkadang memuat pencilan.
B. Pengujian Robustness
Kurva Sensitivitas
Kurva sensitivitas menunjukkan pengaruh nilai tambahan pada suatu
pengamatan terhadap penduga. Misalkan ada sebuah penduga yang didefinisikan
untuk sampel yang berukuran sembarang 𝑛. Untuk sampel yang berukuran 𝑛 − 1
dengan variabel acak 𝑥1, … , 𝑥𝑛−1 akan menduga 𝑇𝑛−1(𝑥1, … , 𝑥𝑛−1). Perubahan
nilai dugaan terjadi ketika adanya suatu nilai yang sama dengan 𝑥 dari sebuah
pengamatan ke-𝑛, yaitu 𝑇𝑛(𝑥1, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥) − 𝑇𝑛−1(𝑥1, … , 𝑥𝑛−1). Kita dapat
membuat perbandingan ukuran sampel dengan mempertimbangkan perubahan
secara proporsional dalam ukuran sampel. Kita bagi perubahan nilai dugaan
dengan 1/𝑛 atau ekuivalen dengan mengalikannya dengan 𝑛. Hasilnya berupa
kurva sensitivitas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Definisi 3.1
Kurva sensitivitas dari penduga 𝑇𝑛, didefinisikan untuk 𝑛 = 2,3, …, pada sampel
𝑥1, … , 𝑥𝑛−1 adalah
𝑆𝐶(𝑥; 𝑥1, … , 𝑥𝑛−1, 𝑇𝑛) = 𝑛{𝑇𝑛(𝑥1, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥) − 𝑇𝑛−1(𝑥1, … , 𝑥𝑛−1)}.
Kurva sensitivitas dianggap sebagai fungsi dari penambahan pengamatan
𝑥, tetapi bergantung pada sampel dan bentuk dari penduga. Notasi untuk kurva
sensitivitas adalah 𝑆𝐶(𝑥).
Contoh 3.1
Diberikan pengamatan sampel 𝑥1, … , 𝑥𝑛−1. Pengamatan sampel dengan
penambahan 𝑥, yaitu 𝑥1, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥. Tentukanlah kurva sensitivitas dari penduga
rata-rata sampel.
Solusi:
Penduga 𝑇𝑛 = �̅� =∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1
𝑛.
𝒊 𝒙𝒊
1 𝑥1
2 𝑥2
⋮ ⋮
𝑛 − 1 𝑥𝑛−1
𝑛 𝑥𝑛
Nilai
tambahan
Contoh 3.2
Diberikan data pengamatan sampel berukuran 𝑛 − 1 sebagai berikut.
𝒊 1 2 3 4 5 6 7 8 9
𝒙𝒊 5 6 7 8 9 10 11 12 13
𝑆𝐶(𝑥) = 𝑛{𝑇𝑛(𝑥1, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥) − 𝑇𝑛−1(𝑥1, … , 𝑥𝑛−1)}
= 𝑛 (
∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1
𝑛−∑ 𝑥𝑖𝑛−1𝑖=1
𝑛 − 1)
= (∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
−𝑛
𝑛 − 1∑𝑥𝑖
𝑛−1
𝑖=1
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Tentukanlah kurva sensitivitas dari penduga rata-rata sampel tersebut dengan nilai
tambahan yang berbeda-beda, yaitu 90, 150, 225, 450.
Solusi:
Dengan menggunakan rumus yang telah diperoleh pada Contoh 3.1,
untuk 𝑥𝑛 = 90 * untuk 𝑥𝑛 = 150
untuk 𝑥𝑛 = 225 * untuk 𝑥𝑛 = 450
Gambar 3.1. Kurva Sensitivitas untuk Rata-rata
Dari Gambar 3.1 terlihat bahwa semakin besar nilai tambahan pada data
pengamatan, semakin besar pula nilai dari sensitivitas kurva untuk rata-rata.
50
150
250
350
450
0 100 200 300 400
SC (
x)
Xn
𝑆𝐶(𝑥) =∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
−𝑛
𝑛 − 1∑𝑥𝑖
𝑛−1
𝑖=1
= 231 − 90 = 141
𝑆𝐶(𝑥) =∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
−𝑛
𝑛 − 1∑𝑥𝑖
𝑛−1
𝑖=1
= 171 − 90 = 81
𝑆𝐶(𝑥) =∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
−𝑛
𝑛 − 1∑𝑥𝑖
𝑛−1
𝑖=1
= 531 − 90
= 441
𝑆𝐶(𝑥) =∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
−𝑛
𝑛 − 1∑𝑥𝑖
𝑛−1
𝑖=1
= 306 − 90
= 216
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
Contoh 3.3
Misalkan 𝑛 = 2𝑚 + 1 adalah bilangan ganjil dan penduganya adalah median.
Misalkan 𝑥(1) < ⋯ < 𝑥(𝑛−1) adalah statistik terurut bagi sampel 𝑥1, … , 𝑥𝑛−1.
Kemudian
𝑇𝑛−1(𝑥1, … , 𝑥𝑛−1) =1
2[𝑥(𝑚) + 𝑥(𝑚+1)],
dan
𝑆𝐶(𝑥) =
{
𝑛 {𝑥(𝑚) −
1
2[𝑥(𝑚) + 𝑥(𝑚+1)]} =
𝑛
2[𝑥(𝑚) − 𝑥(𝑚+1)] jika 𝑥 < 𝑥(𝑚),
𝑛 {𝑥 −1
2[𝑥(𝑚) + 𝑥(𝑚+1)]} jika 𝑥(𝑚) ≤ 𝑥 ≤ 𝑥(𝑚+1),
𝑛 {𝑥(𝑚+1) −1
2[𝑥(𝑚) + 𝑥(𝑚+1)]} =
𝑛
2[𝑥(𝑚+1) − 𝑥(𝑚)] jika 𝑥 > 𝑥(𝑚+1).
Gambar 3.2. Kurva Sensitivitas untuk Median Contoh 3.3
Contoh 3.4
Diberikan data pengamatan statistik terurut pada sampel berukuran 𝑛 − 1 sebagai
berikut.
𝒊 1 2 3 4 5 6 7 8
𝒙𝒊 5 6 7 8 9 10 11 12
Xn
SC (x)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Tentukanlah kurva sensitivitas dari penduga median sampel tersebut dengan nilai
tambahan yang sama seperti nilai tambahan pada Contoh 3.2, yaitu 90, 150, 225,
450.
Solusi:
Karena 𝑛 = 9 adalah bilangan ganjil, maka 𝑚 = 4.
Dengan menggunakan rumus pada Contoh 3.3,
untuk 𝑥 = 90 * untuk 𝑥 = 150
untuk 𝑥 = 225 * untuk 𝑥 = 450
Gambar 3.3. Kurva Sensitivitas untuk Median Contoh 3.4
Dari gambar 3.3 terlihat bahwa semakin besar nilai tambahan pada data
pengamatan, maka nilai dari kurva sensitivitas untuk median adalah suatu nilai
yang konstan.
0
1
2
3
4
5
0 100 200 300 400
SC (
x)
Xn
𝑆𝐶(𝑥) =𝑛
2[𝑥(𝑚+1) − 𝑥(𝑚)]
= 4.5(9 − 8)
= 4.5
𝑆𝐶(𝑥) =𝑛
2[𝑥(𝑚+1) − 𝑥(𝑚)]
= 4.5(9 − 8)
= 4.5
𝑆𝐶(𝑥) =𝑛
2[𝑥(𝑚+1) − 𝑥(𝑚)]
= 4.5(9 − 8)
= 4.5
𝑆𝐶(𝑥) =𝑛
2[𝑥(𝑚+1) − 𝑥(𝑚)]
= 4.5(9 − 8)
= 4.5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
C. Penduga 𝑴 (Penduga Huber)
Salah satu teori untuk mempelajari sifat 𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡 dari penduga lokasi yang
sangat sederhana adalah dengan menerapkan penduga 𝑀. Penduga 𝑀 di-
perkenalkan oleh Huber (1964, 1967), yang meminimalkan fungsi deviasi
pengamatan dari nilai dugaan. Dengan cara ini, penduga 𝑀 meliputi rata-rata dan
median sebagai kasus khusus. Di samping itu, secara umum penduga 𝑀
merupakan penduga kemungkinan maksimum (maximum-likelihood) dari
parameter lokasi di dalam distribusi tertentu. Dengan demikian, pemilihan
penduga 𝑀 yang sesuai akan memiliki efisiensi robust yang baik di dalam sampel
berukuran besar.
Penduga 𝑀 meminimalkan fungsi tujuan yang bersifat lebih umum
daripada yang sudah dikenal, yaitu jumlah kuadrat residual terkait dengan rata-
rata sampel. Penduga 𝑀 menerapkan fungsi 𝜌(𝑥; 𝑡) dan membentuk fungsi tujuan
dengan menjumlahkan untuk seluruh sampel: ∑ 𝜌(𝑥𝑖; 𝑡)𝑛𝑖=1 . Seringkali 𝜌(𝑥; 𝑡)
hanya tergantung pada 𝑥 dan 𝑡 melalui 𝑥 − 𝑡, sehingga dapat ditulis 𝜌(𝑥 − 𝑡).
Sifat 𝜌 menentukan sifat-sifat penduga 𝑀.
Definisi 3.2
Penduga 𝑀, 𝑇𝑛(𝑥1, … , 𝑥𝑛) sebagai fungsi 𝜌 dan sampel 𝑥1, … , 𝑥𝑛 adalah nilai 𝑡
yang meminimalkan fungsi tujuan ∑ 𝜌(𝑥𝑖; 𝑡)𝑛𝑖=1 .
Jika diketahui turunan dari 𝜌 terhadap 𝑡, maka sebuah fungsi yang
dilambangkan dengan 𝜓 dapat digunakan untuk menentukan 𝑇𝑛 dengan mencari
nilai 𝑡 yang memenuhi:
∑ 𝜓(𝑥𝑖; 𝑡) = 0𝑛𝑖=1 .
(Hoaglin, et al: 341)
Contoh 3.5. Rata-rata Sampel
Misalkan 𝑇𝑛 = �̅� dari sampel acak 𝑥1, … , 𝑥𝑛 sebagai fungsi 𝜌, yaitu kuadrat
residual yang diberikan dengan:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
𝜌(𝑥; 𝑡) = (𝑥 − 𝑡)2.
Carilah nilai 𝑡.
Solusi:
Akan dicari terlebih dahulu turunan dari 𝜌(𝑥; 𝑡) terhadap 𝑡, yaitu:
𝜌′(𝑥; 𝑡) =𝑑𝜌(𝑥; 𝑡)
𝑑𝑡= −2(𝑥 − 𝑡)
Selanjutnya mencari nilai 𝑡 yang memenuhi:
∑ 𝜓(𝑥𝑖; 𝑡) = 0𝑛
𝑖=1
∑(𝑥𝑖 − 𝑡)
𝑛
𝑖=1
= 0
∑𝑥𝑖 − 𝑛𝑡
𝑛
𝑖=1
= 0
𝑡 =∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1
𝑛= �̅�.
Karena 𝑡 = ∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 ⁄ menyelesaikan persamaan tersebut, maka 𝑇𝑛 benar sebagai
penduga rata-rata sampel. Gambar 3.4 menunjukkan fungsi 𝜌 dan 𝜓 untuk rata-
rata sampel.
(a)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
(b)
Gambar 3.4. Penduga dengan fungsi tujuan kuadrat residual.
(a) Fungsi Tujuan, 𝜌(𝑥; 𝑡) = (𝑥 − 𝑡)2; (b) Fungsi 𝜓, 𝜓(𝑥; 𝑡) = 𝑥 − 𝑡.
Rata-rata memiliki 𝜓(𝑥𝑖; 𝑇𝑛) = 𝑥𝑖 − 𝑇𝑛 yang sensitif terhadap semua
pengamatan dan secara khusus saat dipengaruhi oleh adanya pencilan. Fungsi 𝜓
tak terbatas di kedua arah seperti yang digambarkan pada Gambar 3.4 (b). Dari
grafik tersebut dapat dibaca bahwa adanya pencilan yang sangat kecil atau sangat
besar akan berpengaruh terhadap rata-rata (sensitif).
Contoh 3.6. Median Sampel
Misalkan 𝑇𝑛 sebagai penduga median dari sampel acak 𝑥1, … , 𝑥𝑛. Fungsi 𝜌 adalah
nilai mutlak residual yang diberikan dengan:
𝜌(𝑥; 𝑡) = |𝑥 − 𝑡|.
Akan ditunjukkan bahwa penyelesaian dari ∑ 𝜓(𝑥𝑖; 𝑡) = 0𝑛𝑖=1 adalah median.
Sebelum menyelesaikan persamaan tersebut, terlebih dahulu akan didefinisikan
fungsi signum.
Definisi 3.3
Misalkan diberikan nilai mutlak 𝑥 yang dinotasikan dengan |𝑥|. Turunan dari nilai
mutlak 𝑥 adalah sebuah fungsi signum yang didefinisikan dengan:
sgn(𝑥) = {+1 , 𝑥 > 00 , 𝑥 = 0−1 , 𝑥 < 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
Contoh 3.7
Temukan turunan 𝑓′(𝑥) dari 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1|.
Solusi:
Misalkan 𝑢 = 𝑥 − 1, diperoleh turunan dari 𝑓(𝑥) adalah sebagai berikut:
sgn(𝑢) = {+1 , 𝑥 > 10 , 𝑥 = 1−1 , 𝑥 < 1.
Selanjutnya akan dicari solusi untuk Contoh 3.6. Turunan dari 𝜌(𝑥; 𝑡) = |𝑥 − 𝑡|
adalah sebagai berikut:
𝜓(𝑥; 𝑡) = sgn(𝑥 − 𝑡),
dengan 𝑢 = 𝑥 − 𝑡,
sgn(𝑢) = {+1 , 𝑥 > 𝑡0 , 𝑥 = 𝑡−1 , 𝑥 < 𝑡.
Rumus
∑ 𝜓(𝑥𝑖; 𝑡) =∑ sgn(𝑥𝑖 − 𝑡)𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
menghitung setiap pengamatan yang lebih dari 𝑡 akan bernilai +1 dan setiap
pengamatan yang kurang dari 𝑡 akan bernilai −1, sehingga 𝑡 = median yang
menghasilkan jumlahan nol. Gambar 3.5 menunjukan 𝜌 dan 𝜓 sebagai fungsi
tujuan mutlak residual.
(a)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
(b)
Gambar 3.5. Pendugaan dengan fungsi tujuan mutlak residual.
(a) Fungsi Tujuan, 𝜌(𝑥; 𝑡) = |𝑥 − 𝑡|; (b) Fungsi 𝜓, 𝜓(𝑥; 𝑡) = sgn(𝑥 − 𝑡).
Pemilihan fungsi tujuan untuk pendugaan 𝑀 menggeneralisasikan
pendugaan kuadrat terkecil. Namun demikian, fungsi 𝜓 bekerja lebih baik
daripada fungsi 𝜌. Median adalah solusi dari ∑ sgn(𝑥𝑖 − 𝑇𝑛)𝑛𝑖=1 = 0. Median
insensitif terhadap pencilan tetapi sensitif terhadap nilai dari satu atau dua
pengamatan yang berada di tengah. Fungsi 𝜓 terbatas tetapi memiliki sebuah
loncatan pada 0 seperti yang digambarkan pada Gambar 3.5 (b). Dari grafik
tersebut dapat dibaca bahwa adanya pencilan yang sangat kecil atau sangat besar
tidak berpengaruh terhadap median (insensitif).
D. MAD (Median Absolute Deviation)
MAD ditemukan dan dipopulerkan oleh Hampel (1974) sebagai salah satu
penduga skala yang robust, yaitu menduga standar deviasi dari sampel. Dapat
dikatakan bahwa MAD sebagai penduga skala yang insensitif terhadap adanya
pencilan. Huber (1981) mendeskripsikan MAD sebagai "penduga skala tunggal
yang paling berguna".
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Contoh 3.8
Diketahui data sebagai berikut:
Temukanlah nilai MAD dari data tersebut.
Solusi:
Langkah awal adalah melakukan pendeteksian pencilan pada data.
Dengan menggunakan pendeteksian uji MAD melalui program R (lampiran 2),
diperoleh:
Gambar 3.6. Hasil Pendeteksian Uji MAD
Melalui Gambar 3.6 dapat terlihat bahwa data memuat pencilan pada 𝑥 = 9.9.
Langkah selanjutnya adalah menghitung nilai MAD yang memerlukan tahap-
tahap sebagai berikut.
(a) Urutkan setiap pengamatan dalam data dari yang terkecil sampai yang
terbesar, sehingga diperoleh
4.2 4.5 4.9 5.2 5.6 6.2 9.9
(b) Carilah median dari data pengamatan terurut tersebut.
Karena 𝑛 = 7 (ganjil), maka diperoleh �̃� = 𝑥(𝑛+1)/2 = 𝑥4 = 5.2.
4.5 4.9 5.6 4.2 6.2 5.2 9.9
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
(c) Setiap pengamatan terurut dikurangi dengan median yang menghasilkan
nilai-nilai mutlak, yaitu
1.0 0.7 0.3 0.0 0.4 1.0 4.7
(d) Urutkan hasil yang diperoleh pada (c), sehingga diperoleh
0.0 0.3 0.4 0.7 1.0 1.0 4.7
(e) Temukan median dari data terurut pada (d).
Karena 𝑛 = 7 (ganjil), maka diperoleh �̃� = 𝑥(𝑛+1)/2 = 𝑥4 = 0.7.
(f) Temukan MAD dengan cara mengalikan median pada (e) dengan 𝑏 =
1.4826, sehingga diperoleh:
MAD = 1.4826 × 0.7 = 1.03782. ∎
Untuk menguji kerobustan dari penduga MAD akan ditunjukkan dengan
kurva sensitivitas yang akan dibandingkan dengan standar deviasi (𝑠). Melalui
data pada Contoh 3.8 dan dengan diberikan penambahan nilai ekstrim yang
berbeda-beda, yaitu 9.9, 50, 75, 105 akan diperoleh kurva sensitivitas sebagai
berikut:
(a)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
(b)
Gambar 3.7. (a) Kurva Sensitivitas untuk MAD; (b) Kurva
Sensitivitas untuk Standar Deviasi.
Dari grafik tersebut dapat dibaca bahwa adanya pencilan yang sangat kecil
atau sangat besar tidak berpengaruh terhadap MAD (insensitif), tetapi
berpengaruh pada standar deviasi (sensitif).
E. Selang Kepercayaan Robust bagi Parameter Lokasi
Selang kepercayaan robust berdasarkan penduga yang robust dapat
terbentuk ketika distribusi yang mendasari bukan dari distribusi simetris.
Kepercayaan robust diperkenalkan oleh Huber (1968). Fraiman, et al (2001)
mengkonstruksikan selang kepercayaan robust berdasarkan optimal robust pada
penduga 𝑀 bagi parameter lokasi. Selang kepercayaan robust bagi parameter
lokasi dengan penduga median diperkenalkan oleh Staudte dan Sheater (1990).
Seperti yang telah dibahas pada Bab II subbab 2.2 tentang penduga selang
kepercayaan, maka cara paling umum untuk menemukan selang kepercayaan
100 (1 − 𝛼)% bagi pusat distribusi simetris adalah
�̅� ± 𝑡1−𝛼 2;𝑛−1⁄ (𝑠/√𝑛),
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
dengan 𝑡 adalah titik 100 (1 − 𝛼/2)% dari distribusi 𝑡 pada derajat bebas
𝑛 − 1. Selang tersebut adalah selang kepercayaan bagi penduga lokasi dan skala
yang lebih efisien untuk distribusi Normal.
Apa yang terjadi jika data tidak berdistribusi Normal, tetapi dari distribusi
yang miring? Karena kedua �̅� dan 𝑠 mempunyai efisiensi yang rendah, maka
kemungkinan selang akan bervariasi dari sampel yang satu dengan yang lainnya.
Nilai dari rata-rata dan variansi sampel mungkin cukup besar dan cenderung
memberikan selang yang relatif lebar. Oleh karena itu, digunakan cara alternatif
untuk menemukan selang kepercayaan yang 𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡. Berikut diperkenalkan dua
selang kepercayaan robust bagi parameter lokasi, yaitu selang kepercayaan robust
dengan penduga median dan penduga Huber.
Definisi 3.4
Selang kepercayaan robust bagi parameter lokasi dengan penduga median
diberikan dengan
�̃� ± 𝑡1−𝛼 2;𝑛−1⁄ 𝑆𝐸(�̃�),
dengan �̃� adalah median sampel dan 𝑆𝐸(�̃�) adalah galat standar bagi median.
Galat standar bagi median yang diberikan oleh Fraiman et al (2001) adalah
sebagai berikut:
𝑆𝐸(�̃�) =𝑠∗
√𝑛,
dengan 𝑠∗ = (𝑥𝑎 − 𝑥𝑏) 3.4641⁄ . Nilai 𝑎 dan 𝑏 dapat diperoleh dengan:
𝑎 =𝑛
2+√3𝑛
2 dan 𝑏 =
𝑛
2−√3𝑛
2.
Galat standar bagi median yang diberikan oleh Kendall dan Stuart (2001)
adalah sebagai berikut:
𝑆𝐸(�̃�) = √𝜋
2× 𝑆𝐸(�̅�) = 1.2533 ×
𝑠
√𝑛,
dengan 𝑆𝐸(�̅�) adalah galat standar bagi rata-rata dan 𝑠 adalah standar deviasi
sampel.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
Definisi 3.5
Selang kepercayaan robust berdasarkan penduga Huber diberikan dengan
𝐻𝑢𝑏𝑒𝑟 ± 𝑡1−𝛼 2;𝑛−1⁄ (𝑠𝐻𝑢𝑏𝑒𝑟),
dengan Huber adalah penduga 𝑀 bagi lokasi dan 𝑠𝐻𝑢𝑏𝑒𝑟 adalah galat standar bagi
penduga Huber yang diberikan dengan
𝑠𝐻𝑢𝑏𝑒𝑟 =𝑀𝐴𝐷(𝑥)
1.486
(Cetin, Meral., Aktas, Serpil., 2008: 254)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
BAB IV
SELANG KEPERCAYAAN ROBUST
DENGAN SIMULASI DATA ACAK
Kinerja selang kepercayaan yang robust dari parameter lokasi diilustrasikan
dengan menggunakan pengkodean program R. Empat jenis selang kepercayaan
yang akan disimulasikan adalah selang kepercayaan bagi parameter lokasi dengan
penduga titik berupa rata-rata sampel, median dengan galat standar dari Fraiman,
et al (2001), median dengan galat standar dari Kendall dan Stuart (2001), dan Huber
(pendugaan 𝑀). Selang kepercayaan menggunakan tingkat kepercayaan sebesar
95% untuk setiap penduga. Sampel acak dihasilkan dari distribusi Normal, Cauchy,
dan Chi-Square untuk ukuran sampel 𝑛 = 10, 50, 100, dan 500, sebagaimana
diketahui bahwa distribusi Cauchy dan Chi-Square adalah dua contoh distribusi
yang miring ke kanan (tidak simetris). Untuk melihat pengaruh pencilan pada suatu
penduga dan juga pada selang kepercayaan, digunakan simulasi data yang
diimplementasikan memuat nilai tambahan sebagai pencilan. Pencilan ini
digunakan untuk ukuran sampel yang sama.
Hasil simulasi data acak yang diperoleh dengan menggunakan program R
dilampirkan pada lampiran 5 sampai dengan lampiran 7. List code pemrograman
yang terlampir hanya data dari distribusi Normal berukuran 𝑛 = 10 (lampiran 3)
dan yang lainnya diperoleh secara analog. Diberikan pula plot yang
menggambarkan setiap nilai tambahan yang diberikan terhadap galat standar dari
masing-masing penduga. Batas bawah dan batas atas selang kepercayaan
ditunjukkan pada Tabel 4.1 sampai Tabel 4.12 (lampiran 5 sampai dengan lampiran
7) berkenaan dengan ukuran sampel dan pencilan. Gambar 4.1 sampai Gambar 4.12
(lampiran 5 sampai dengan lampiran 7) menunjukkan galat standar dari masing-
masing penduga lokasi terhadap setiap nilai tambahan yang diberikan.
Berdasarkan hasil pembangkitan data dengan simulasi pada Tabel 4.1 sampai
dengan Tabel 4.12 (lampiran 5 sampai dengan lampiran 7) dapat dihasilkan
beberapa temuan berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
Tabel 4.13. Hasil Simulasi Data Acak
Distribusi 𝑛 Metode Temuan Ket
Normal
10
1
Semakin besar nilai pencilan, semakin
besar galat standar dan semakin lebar
selang kepercayaan (selang bersifat
sensitif terhadap pencilan)
Lampiran
5
50
100
500
10
2
Galat standar dan lebar selang
kepercayaan tidak mengalami perubah-
an meskipun nilai pencilan semakin
besar (selang bersifat insensitif ter-
hadap pencilan)
50
100
500
10
3
Semakin besar nilai pencilan, semakin
besar galat standar dan semakin lebar
selang kepercayaan (selang bersifat
sensitif terhadap pencilan)
50
100
500
10
4
Galat standar dan lebar selang
kepercayaan tidak mengalami perubah-
an meskipun nilai pencilan semakin
besar (selang bersifat insensitif ter-
hadap pencilan)
50
100
500
Cauchy
10
1
Semakin besar nilai pencilan, semakin
besar galat standar dan semakin lebar
selang kepercayaan (selang bersifat
sensitif terhadap pencilan) Lampiran
6
50
100
500
10
2
Galat standar dan lebar selang
kepercayaan tidak mengalami perubah-
an meskipun nilai pencilan semakin
besar (selang bersifat insensitif ter-
hadap pencilan)
50
100
500
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
Distribusi 𝑛 Metode Temuan Ket
Cauchy
10
3
Semakin besar nilai pencilan, semakin
besar galat standar dan semakin lebar
selang kepercayaan (selang bersifat
sensitif terhadap pencilan) Lampiran
6
50
100
500
10
4
Galat standar dan lebar selang
kepercayaan tidak mengalami perubah-
an meskipun nilai pencilan semakin
besar (selang bersifat insensitif ter-
hadap pencilan)
50
100
500
Chi-
Square
10
1
Semakin besar nilai pencilan, semakin
besar galat standar dan semakin lebar
selang kepercayaan (selang bersifat
sensitif terhadap pencilan)
Lampiran
7
50
100
500
10
2
Galat standar dan lebar selang
kepercayaan tidak mengalami perubah-
an meskipun nilai pencilan semakin
besar (selang bersifat insensitif ter-
hadap pencilan)
50
100
500
10
3
Semakin besar nilai pencilan, semakin
besar galat standar dan semakin lebar
selang kepercayaan (selang bersifat
sensitif terhadap pencilan)
50
100
500
10
4
Galat standar dan lebar selang
kepercayaan tidak mengalami perubah-
an meskipun nilai pencilan semakin
besar (selang bersifat insensitif ter-
hadap pencilan)
50
100
500
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
Keterangan:
Metode selang kepercayaan (SK) yang digunakan, yaitu
1. SK dengan penduga µ menurut Definisi 2.33
2. SK robust dengan penduga median (Fraiman, et al) menurut Definisi 3.4
3. SK robust dengan penduga median (Kendall dan Stuart) menurut Definisi
3.4
4. SK robust dengan penduga Huber menurut Definisi 3.5
Dari temuan yang diperoleh pada Tabel 4.13 di atas dapat disimpulkan bahwa
statistik untuk setiap ukuran sampel rata-rata dan median (Kendall dan Stuart, 2001)
sangat sensitif terhadap kehadiran pencilan, yang ditunjukkan dengan semakin
besarnya galat standar dan semakin lebarnya selang kepercayaan. Sebaliknya, hal
ini tidak terjadi pada penduga robust median (Fraiman, et al) dan penduga Huber.
Kedua penduga menghasilkan galat standar dan lebar selang kepercayaan yang
tetap, meskipun nilai pencilan semakin besar (penduga tidak sensitif terhadap
pencilan). Penduga robust median (Fraiman, et al) adalah penduga robust yang
lebih baik dari penduga Huber, karena memiliki galat standar yang lebih kecil dan
lebar selang kepercayaan yang relatif lebih sempit.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Hasil simulasi data acak dari distribusi Normal, Cauchy, dan Chi-Square
dengan ukuran sampel 𝑛 = 10, 50, 100, 500 untuk setiap distribusi, menemukan
bahwa selang kepercayaan bagi parameter lokasi dengan penduga rata-rata dan
median yang menggunakan galat standar dari Kendall dan Stuart (2001) sangat
sensitif terhadap pencilan. Hal ini terlihat dari semakin besar nilai pencilan,
semakin besar galat standar dan semakin lebar selang kepercayaan untuk setiap
ukuran sampel. Sebaliknya hal ini tidak terjadi pada selang kepercayaan robust bagi
parameter lokasi dengan penduga median yang menggunakan galat standar dari
Fraiman, et al (2001) dan penduga Huber. Kedua penduga menghasilkan galat
standar dan lebar selang kepercayaan yang tetap, meskipun nilai pencilan semakin
besar (penduga tidak sensitif terhadap pencilan). Akan tetapi dari antara penduga
median dengan menggunakan galat standar dari Fraiman, et al (2001) dan penduga
Huber, penduga robust yang paling baik adalah penduga median dengan
menggunakan galat standar dari Fraiman, et al. Hal ini dikarenakan penduga
median tersebut menghasilkan galat standar yang kecil dan membentuk selang
kepercayaan yang relatif lebih sempit.
B. Saran
Penulis sadar bahwa dalam penulisan skripsi ini masih banyak kekurangan.
Oleh sebab itu, penulis mengharapkan kelak ada yang melanjutkan penelitian ini.
Tulisan ini hanya membahas penyelesaian selang kepercayaan robust bagi
parameter lokasi dengan penduga median yang menggunakan galat standar dari
Fraiman, et al (2001), penduga median yang menggunakan galat standar dari
Kendall dan Stuart (2001), dan penduga Huber. Penulis berharap di waktu yang
akan datang, ada yang melanjutkan penulisan ini dengan metode yang lain dan lebih
baik. Misalnya, selang kepercayaan robust bagi parameter skala dengan suatu
penduga yang robust.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
DAFTAR PUSTAKA
Acuna, Edgar., and Rodriguez, Caroline. On Detection of Outliers and Their Effect
in Supervised Classification. Mayaguez: Department of Mathematics.
(https://www.researchgate.net/publication/228965221_On_Detection_Of_Out
liers_And_Their_Effect_In_Supervised_Classification)
Analytical Methods Commitee. (2001). Robust Statistics: A Method of Coping
with Outliers. AMC Technical Brief, 6.
Barnett, Vic., and Lewis, T. (1978). Outliers In Statistical Data. First Edition.
Chichester: John Wiley dan Sons.
Ben-Gal, Irad. (2005). Outlier Detection. Israel: Kluwer Academic Publisher.
Cetin, Meral., and Aktas, Serpil. (2008). Confidence Interval Based on Robust
Estimators. Digital Commons, 7 (1): 253-258.
Dan, E. D., and Ijeoma, O. A. (2013). Statistical Analysis/Methods of Detecting
Outliers in A Univariate Data in A Regression Analysis Model. International
Journal of Education and Research, 1 (5): 1-24.
Dawson, Robert. (2011). How Significant Is A Boxplot Outlier?. Journal of
Statistics Education, 19 (2): 1-13.
Fraiman, R., et al. (2001). Optimal Robust M-estimates of Location. Annals of
Statistics, 29 (1): 194-223.
Harding, Bradley., et al. Standard Errors: A Review and Evaluation of Standard
Error Estimators Using Monte Carlo Simulations. The Quantitative Methods
for Psychology, 10 (2): 107-123.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
Hoaglin, D. C., et al. (1983). Understanding Robust and Exploratory Data
Analysis. New York: John Wiley dan Sons.
Location & Scale Parameter.ppt
(https://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&
cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiQoOug95rVAhWCEbwKHZHzAEcQFggr
MAE&url=http%3A%2F%2Fusers.metu.edu.tr%2Foilk%2F6.LOCATION%
2520%26%2520SCALE%2520PARAMETERS%2520-
%2520552.ppt&usg=AFQjCNGEkRudSE8PgQvBOeLpbcXKCl62Qw)
Leys, C., et al. (2013). Detecting Outliers: Do Not Use Standard Deviation Around
The Mean, Use Absolute Deviation Around The Median. Journal of
Experimental Social Psychology, 3.
Navidi, William. (2011). Statistics for Engineers and Scientists. Third Edition. New
York: The McGraw-Hill Companies.
Paludi, Salman. (2009). Identifikasi dan Pengaruh Keberadaan Data Pencilan
(Outlier). Majalah Ilmiah Panorama Nusantara, VI: 56-62.
Rousseeuw, P. J., and Croux, Christophe. (1993). Alternatives to the Median
Absolute Deviation. Journal of the American Statistical Association, 88 (424):
1273-1283.
Staudte, R. G., and Sheater, S. J. (1990). Robust Estimation and Testing. New York:
John Wiley dan Sons.
Wackerly, D. D., et al. (2008). Mathematical Statistics With Applications. Seventh
Edition. Duxubury: Thompson Brooks/Cole.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
Walpole , R. E., et al. (2012). Probability dan Statistics for Engineers dan
Scientists. Ninth Edition. New York: Prentice Hall.
William, David. (1991). Probability with Martingales. New York: Cambridge
University Press.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
Berikut ini merupakan list code pada program statistika R versi 3.3.3.
Lampiran 1
Contoh 2.31. Uji Grubbs
> x=scan(file.choose(),skip=0)
Read 36 items
> x
[1] 1200 2566 3120 3728 4206 6500 1206 2635 3137 3748 4268 6565
[13] 1515 2680 3163 3775 4526 6928 1965 2735 3211 4006 5651 7606
[25] 2048 2974 3698 4065 6454 14791 2000 2972 3590 4023 6387 10825
#Uji Normalitas Data
> shapiro.test(x)
Shapiro-Wilk normality test
data: x
W = 0.80159, p-value = 1.752e-05
#Pengujian dengan 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓
> library(outliers)
> library(ggplot2)
> grubbs.flag=function(x) {
+ outliers=NULL
+ test=x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
+ grubbs.result <- grubbs.test(test)
+ pv <- grubbs.result$p.value
+ while(pv < 0.05) {
+ outliers <- c(outliers,as.numeric(strsplit(grubbs.result$alternative," ")[[1]][3]))
+ test <- x[!x %in% outliers]
+ grubbs.result <- grubbs.test(test)
+ pv <- grubbs.result$p.value
+ }
+ return(data.frame(X=x,Outlier=(x %in% outliers)))
+ }
> grubbs.flag(x)
X Outlier
1 1200 FALSE
2 2566 FALSE
3 3120 FALSE
4 3728 FALSE
5 4206 FALSE
6 6500 FALSE
7 1206 FALSE
8 2635 FALSE
9 3137 FALSE
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
10 3748 FALSE
11 4268 FALSE
12 6565 FALSE
13 1515 FALSE
14 2680 FALSE
15 3163 FALSE
16 3775 FALSE
17 4526 FALSE
18 6928 FALSE
19 1965 FALSE
20 2735 FALSE
21 3211 FALSE
22 4006 FALSE
23 5651 FALSE
24 7606 FALSE
25 2048 FALSE
26 2974 FALSE
27 3698 FALSE
28 4065 FALSE
29 6454 FALSE
30 14791 TRUE
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
31 2000 FALSE
32 2972 FALSE
33 3590 FALSE
34 4023 FALSE
35 6387 FALSE
36 10825 TRUE
#Plot Pencilan
> ggplot(grubbs.flag(x),aes(x=X,color=Outlier,fill=Outlier))+
+ geom_histogram(binwidth=diff(range(x))/30)+
+ theme_bw()
Lampiran 2
Contoh 3.8. Uji MAD
> x=c(4.5,4.9,5.6,4.2,6.2,5.2,9.9)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
> center=median(x, na.rm = F)
> center
[1] 5.2
> MAD=mad(x, center, constant = 1.4826, na.rm = FALSE)
> MAD
[1] 1.03782
> require(BHH2)
> dotchart(x)
> mean.x=mean(x)
> sd.x=sd(x)
> lines(rep(mean.x,2),c(0.2, 0.25)) #Vertical line at mean
> lines(rep(mean.x + 2*sd.x, 2), c(0.2, 0.25)) #Vertical line at mean + 2 SD
> text(mean.x , 0.3, expression(bar(x)))
> text(mean.x + 2*sd.x, 0.3, expression(paste(bar(x), " + 2s")))
Lampiran 3
Simulasi BAB IV
#Membangkitkan Data dari distribusi Normal Berukuran n-1=9
> a=rnorm(9,10,2)
> a
[1] 8.750761 11.132768 10.929959 13.235969 6.478947 7.073720 8.932900
[8] 10.150914 8.525724
#Cari Nilai Maksimum Untuk Menentukan Penambahan Nilai Ekstrim
> max(a)
[1] 13.23597
#Nilai tambahan informasi
> x=c(20,30,50,90,100)
#Mencari Nilai t
> n=10
> alpha=0.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
> t=qt(1-(alpha/2),df=n-1)
> t
[1] 1.833113
#Pembentukan Data Setelah Diberi Nilai Tambahan
> ax1=c(a,x[1])
> ax2=c(a,x[2])
> ax3=c(a,x[3])
> ax4=c(a,x[4])
> ax5=c(a,x[5])
#Cek Pencilan dengan Metode Boxplot
> par(mfrow=c(2,3))
> boxplot(ax1)
> boxplot(ax2)
> boxplot(ax3)
> boxplot(ax4)
> boxplot(ax5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
#Mencari Galat standar
#Galat standar bagi 𝝁
> SExbar.ax1=sd(ax1)/sqrt(n)
> SExbar.ax1
[1] 1.228187
> SExbar.ax2=sd(ax2)/sqrt(n)
> SExbar.ax2
[1] 2.14822
> SExbar.ax3=sd(ax3)/sqrt(n)
> SExbar.ax3
[1] 4.102154
> SExbar.ax4=sd(ax4)/sqrt(n)
> SExbar.ax4
[1] 8.077951
> SExbar.ax5=sd(ax5)/sqrt(n)
> SExbar.ax5
[1] 9.075225
#Galat standar bagi Median menurut Fraiman et al
> o=(n/2)+(sqrt(3*n)/2)
> p=(n/2)-(sqrt(3*n)/2)
> SEmedian.Fraiman.ax1=abs((ax1[o]-ax1[p])/(3.4641*sqrt(n)))
> SEmedian.Fraiman.ax1
[1] 0.2008196
> SEmedian.Fraiman.ax2=abs((ax2[o]-ax2[p])/(3.4641*sqrt(n)))
> SEmedian.Fraiman.ax2
[1] 0.2008196
> SEmedian.Fraiman.ax3=abs((ax3[o]-ax3[p])/(3.4641*sqrt(n)))
> SEmedian.Fraiman.ax3
[1] 0.2008196
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
> SEmedian.Fraiman.ax4=abs((ax4[o]-ax4[p])/(3.4641*sqrt(n)))
> SEmedian.Fraiman.ax4
[1] 0.2008196
> SEmedian.Fraiman.ax5=abs((ax5[o]-ax5[p])/(3.4641*sqrt(n)))
> SEmedian.Fraiman.ax5
[1] 0.2008196
#Galat standar bagi Median menurut Kendall and Stuart
> SEmedian.Kendall.ax1=sqrt(pi/2)*SExbar.ax1
> SEmedian.Kendall.ax1
[1] 1.539304
> SEmedian.Kendall.ax2=sqrt(pi/2)*SExbar.ax2
> SEmedian.Kendall.ax2
[1] 2.692395
> SEmedian.Kendall.ax3=sqrt(pi/2)*SExbar.ax3
> SEmedian.Kendall.ax3
[1] 5.141287
> SEmedian.Kendall.ax4=sqrt(pi/2)*SExbar.ax4
> SEmedian.Kendall.ax4
[1] 10.12421
> SEmedian.Kendall.ax5=sqrt(pi/2)*SExbar.ax5
> SEmedian.Kendall.ax5
[1] 11.37411
#Galat standar bagi Huber
> SEhuber.ax1=mad(ax1)/1.486
> SEhuber.ax1
[1] 1.486048
> SEhuber.ax2=mad(ax2)/1.486
> SEhuber.ax2
[1] 1.486048
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
> SEhuber.ax3=mad(ax3)/1.486
> SEhuber.ax3
[1] 1.486048
> SEhuber.ax4=mad(ax4)/1.486
> SEhuber.ax4
[1] 1.486048
> SEhuber.ax5=mad(ax5)/1.486
> SEhuber.ax5
[1] 1.486048
#Mencari Nilai Median
> median.ax1=median(ax1)
> median.ax1
[1] 9.541907
> median.ax2=median(ax2)
> median.ax2
[1] 9.541907
> median.ax3=median(ax3)
> median.ax3
[1] 9.541907
> median.ax4=median(ax4)
> median.ax4
[1] 9.541907
> median.ax5=median(ax5)
> median.ax5
[1] 9.541907
#Mencari Nilai Penduga Huber
> require(MASS)
> huber.ax1=huber(ax1)
> huber.ax1
$mu
[1] 9.829877
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
$s
[1] 2.208268
> huber.ax2=huber(ax2)
> huber.ax2
$mu
[1] 9.829877
$s
[1] 2.208268
> huber.ax3=huber(ax3)
> huber.ax3
$mu
[1] 9.829877
$s
[1] 2.208268
> huber.ax4=huber(ax4)
> huber.ax4
$mu
[1] 9.829877
$s
[1] 2.208268
> huber.ax5=huber(ax5)
> huber.ax5
$mu
[1] 9.829877
$s
[1] 2.208268
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
#Pembentukan Selang Kepercayaan
#Selang Kepercayaan untuk data ax1
#Selang Kepercayaan Biasa
> t.test(ax1)
One Sample t-test
data: ax1
t = 8.5664, df = 9, p-value = 1.276e-05
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
7.742815 13.299517
sample estimates:
mean of x
10.52117
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Median
(SE Fraiman et al)
> left.Fraiman.ax1=median.ax1-(t*SEmedian.Fraiman.ax1)
> left.Fraiman.ax1
[1] 9.173782
> right.Fraiman.ax1=median.ax1+(t*SEmedian.Fraiman.ax1)
> right.Fraiman.ax1
[1] 9.910032
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Median
(SE Kendall and Stuart)
> right.Kendall.ax1=median.ax1+(t*SEmedian.Kendall.ax1)
> right.Kendall.ax1
[1] 12.36362
> left.Kendall.ax1=median.ax1-(t*SEmedian.Kendall.ax1)
> left.Kendall.ax1
[1] 6.720189
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Huber
> left.huber.ax1=huber.ax1$mu-(t*SEhuber.ax1)
> left.huber.ax1
[1] 7.105782
> right.huber.ax1=huber.ax1$mu+(t*SEhuber.ax1)
> right.huber.ax1
[1] 12.55397
#Selang Kepercayaan untuk data ax2
#Selang Kepercayaan Biasa
> t.test(ax2)
One Sample t-test
data: ax2
t = 5.3631, df = 9, p-value = 0.0004544
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
6.661554 16.380778
sample estimates:
mean of x
11.52117
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median
(SE Fraiman et al)
> right.Fraiman.ax2=median.ax2+(t*SEmedian.Fraiman.ax2)
> right.Fraiman.ax2
[1] 9.910032
> left.Fraiman.ax2=median.ax2-(t*SEmedian.Fraiman.ax2)
> left.Fraiman.ax2
[1] 9.173782
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median
(SE Kendall and Stuart)
> left.Kendall.ax2=median.ax2-(t*SEmedian.Kendall.ax2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
> left.Kendall.ax2
[1] 4.606443
> right.Kendall.ax2=median.ax2+(t*SEmedian.Kendall.ax2)
> right.Kendall.ax2
[1] 14.47737
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Huber
> left.huber.ax2=huber.ax2$mu-(t*SEhuber.ax2)
> left.huber.ax2
[1] 7.105782
> right.huber.ax2=huber.ax2$mu+(t*SEhuber.ax2)
> right.huber.ax2
[1] 12.55397
#Selang Kepercayaan untuk data ax3
#Selang Kepercayaan Biasa
> t.test(ax3)
One Sample t-test
data: ax3
t = 3.2961, df = 9, p-value = 0.009287
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
4.24145 22.80088
sample estimates:
mean of x
13.52117
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median
(SE Fraiman et al)
> left.Fraiman.ax3=median.ax3-(t*SEmedian.Fraiman.ax3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
> left.Fraiman.ax3
[1] 9.173782
> right.Fraiman.ax3=median.ax3+(t*SEmedian.Fraiman.ax3)
> right.Fraiman.ax3
[1] 9.910032
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median
(SE Kendall and Stuart)
> right.Kendall.ax3=median.ax3+(t*SEmedian.Kendall.ax3)
> right.Kendall.ax3
[1] 18.96647
> left.Kendall.ax3=median.ax3-(t*SEmedian.Kendall.ax3)
> left.Kendall.ax3
[1] 0.1173469
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Huber
> left.huber.ax3=huber.ax3$mu-(t*SEhuber.ax3)
> left.huber.ax3
[1] 7.105782
> right.huber.ax3=huber.ax3$mu+(t*SEhuber.ax3)
> right.huber.ax3
[1] 12.55397
#Selang Kepercayaan untuk data ax4
#Selang Kepercayaan Biasa
> t.test(ax4)
One Sample t-test
data: ax4
t = 2.169, df = 9, p-value = 0.05821
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-0.752429 35.794761
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
sample estimates:
mean of x
17.52117
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median
(SE Fraiman et al)
> right.Fraiman.ax4=median.ax4+(t*SEmedian.Fraiman.ax4)
> right.Fraiman.ax4
[1] 9.910032
> left.Fraiman.ax4=median.ax4-(t*SEmedian.Fraiman.ax4)
> left.Fraiman.ax4
[1] 9.173782
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median
(SE Kendall and Stuart)
> left.Kendall.ax4=median.ax4-(t*SEmedian.Kendall.ax4)
> left.Kendall.ax4
[1] -9.016914
> right.Kendall.ax4=median.ax4+(t*SEmedian.Kendall.ax4)
> right.Kendall.ax4
[1] 28.10073
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Huber
> left.huber.ax4=huber.ax4$mu-(t*SEhuber.ax4)
> left.huber.ax4
[1] 7.105782
> right.huber.ax4=huber.ax4$mu+(t*SEhuber.ax4)
> right.huber.ax4
[1] 12.55397
#Selang Kepercayaan untuk data ax5
#Selang Kepercayaan Biasa
> t.test(ax5)
One Sample t-test
data: ax5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
t = 2.0408, df = 9, p-value = 0.07167
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-2.008418 39.050751
sample estimates:
mean of x
18.52117
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median
(SE Fraiman et al)
> left.Fraiman.ax5=median.ax5-(t*SEmedian.Fraiman.ax5)
> left.Fraiman.ax5
[1] 9.173782
> right.Fraiman.ax5=median.ax5+(t*SEmedian.Fraiman.ax5)
> right.Fraiman.ax5
[1] 9.910032
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median
(SE Kendall and Stuart)
> right.Kendall.ax5=median.ax5+(t*SEmedian.Kendall.ax5)
> right.Kendall.ax5
[1] 30.39193
> left.Kendall.ax5=median.ax5-(t*SEmedian.Kendall.ax5)
> left.Kendall.ax5
[1] -11.30812
#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Huber
> left.huber.ax5=huber.ax5$mu-(t*SEhuber.ax5)
> left.huber.ax5
[1] 7.105782
> right.huber.ax5=huber.ax5$mu+(t*SEhuber.ax5)
> right.huber.ax5
[1] 12.55397
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
Lampiran 4
Plot simulasi data acak dari Distribusi Normal (n=10, µ=10, σ=2) antara nilai
tambahan (x) terhadap Galat standar (SE)
> x=c(20,30,50,90,100) #nilai tambahan
> SExbar=c(1.228187,2.14822,4.102154,8.077951,9.075225)
> SEmedian.Fraiman=c(0.2008196,0.2008196,0.2008196,0.2008196,0.2008196)
> SEmedian.Kendall=c(1.539304,2.692395,5.141287,10.12421,11.37411)
> SEhuber=c(1.486048,1.486048,1.486048,1.486048,1.486048)
> plot(x, SExbar, type="o", col="blue", pch="o", lty=1, ylim=c(0,15),
ylab="Galat standar")
> points(x,SEmedian.Fraiman, col="red", pch="*")
> lines(x, SEmedian.Fraiman, col="red", lty=2)
> points(x, SEmedian.Kendall, col="brown", pch="+")
> lines(x, SEmedian.Kendall, col="brown", lty=3)
> points(x, SEhuber, col="black", pch="^")
> lines(x, SEhuber, col="black", lty=4)
>
legend(21,14,legend=c("SExbar","SEmedian.Fraiman","SEmedian.Kendall","SEh
uber"), col=c("blue","red","brown","black"),pch=c("o","*","+","^"),lty=c(1,2,3,4),
ncol=1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
111
Lampiran 5 Hasil Simulasi Data Acak dari Distribusi Normal
Tabel 4.1. Pembangkitan Data dari Distribusi Normal (n=10, µ=10, σ=2)
Metode SK
Nilai Tambahan
Nilai Penduga
Galat standar
Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang
Batas Bawah Batas Atas
1
20 10.52117 1.228187 7.742815 13.299517 5.556702
30 11.52117 2.14822 6.661554 16.380778 9.719224
50 13.52117 4.102154 4.24145 22.80088 18.55943
90 17.52117 8.077951 -0.752429 35.794761 36.54719
100 18.52117 9.075225 -2.008418 39.050751 41.059169
2
20 9.541907 0.2008196 9.173782 9.910032 0.73625
30 9.541907 0.2008196 9.173782 9.910032 0.73625
50 9.541907 0.2008196 9.173782 9.910032 0.73625
90 9.541907 0.2008196 9.173782 9.910032 0.73625
100 9.541907 0.2008196 9.173782 9.910032 0.73625
3
20 9.541907 1.539304 6.720189 12.36362 5.643431
30 9.541907 2.692395 4.606443 14.47737 9.870927
50 9.541907 5.141287 0.1173469 18.96647 18.8491231
90 9.541907 10.12421 -9.016914 28.10073 37.117644
100 9.541907 11.37411 -11.30812 30.39193 41.70005
4
20 9.829877 1.486048 7.105782 12.55397 5.448188
30 9.829877 1.486048 7.105782 12.55397 5.448188
50 9.829877 1.486048 7.105782 12.55397 5.448188
90 9.829877 1.486048 7.105782 12.55397 5.448188
100 9.829877 1.486048 7.105782 12.55397 5.448188
Gambar 4.1. Galat standar dari Distribusi Normal (n=10, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
112
Tabel 4.2. Pembangkitan Data dari Distribusi Normal (n=50, µ=10, σ=2)
Metode SK
Nilai Tambahan
Nilai Penduga
Galat standar
Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang
Batas Bawah Batas Atas
1
100 11.25921 1.829071 7.583554 14.934864 7.35131
180 12.85921 3.420646 5.985164 19.733254 13.74809
200 13.25921 3.819639 5.583356 20.935062 15.351706
300 15.25921 5.816682 3.570149 26.94827 23.378121
350 16.25921 6.815854 2.562238 29.95618 27.393942
2
100 9.399257 0.149233 9.14906 9.649453 0.500393
180 9.399257 0.149233 9.14906 9.649453 0.500393
200 9.399257 0.149233 9.14906 9.649453 0.500393
300 9.399257 0.149233 9.14906 9.649453 0.500393
350 9.399257 0.149233 9.14906 9.649453 0.500393
3
100 9.399257 2.2924 5.555931 13.24258 7.686649
180 9.399257 4.287143 2.211642 16.58687 14.375228
200 9.399257 4.787208 1.373259 17.42525 16.051991
300 9.399257 7.29013 -2.823017 21.62153 24.444547
350 9.399257 8.542406 -4.922522 23.72104 28.643562
4
100 9.413415 1.122698 7.531155 11.29568 3.764525
180 9.413415 1.122698 7.531155 11.29568 3.764525
200 9.413415 1.122698 7.531155 11.29568 3.764525
300 9.413415 1.122698 7.531155 11.29568 3.764525
350 9.413415 1.122698 7.531155 11.29568 3.764525
Gambar 4.2. Galat standar dari Distribusi Normal (n=50, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
113
Tabel 4.3. Pembangkitan Data dari Distribusi Normal (n=100, µ=10, σ=2)
Metode SK
Nilai Tambahan
Nilai Penduga
Galat standar
Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang
Batas Bawah Batas Atas
1
150 11.574 1.40904 8.778154 14.369837 5.591683
180 11.874 1.707144 8.486652 15.26134 6.774688
200 12.074 1.90621 8.291661 15.85633 7.564669
300 13.074 2.903467 7.312887 18.835105 11.522218
350 13.574 3.4027 6.822301 20.32569 13.503389
2
150 10.08675 0.01746087 10.05776 10.11575 0.05799
180 10.08675 0.01746087 10.05776 10.11575 0.05799
200 10.08675 0.01746087 10.05776 10.11575 0.05799
300 10.08675 0.01746087 10.05776 10.11575 0.05799
350 10.08675 0.01746087 10.05776 10.11575 0.05799
3
150 10.08675 1.76597 7.154553 13.01896 5.864407
180 10.08675 2.139588 6.534202 13.63931 7.105108
200 10.08675 2.38908 6.119947 14.05356 7.933613
300 10.08675 3.638957 4.044663 16.12885 12.084187
350 10.08675 4.264652 3.005765 17.16774 14.161975
4
150 10.17211 1.099026 8.347296 11.99692 3.649624
180 10.17211 1.099026 8.347296 11.99692 3.649624
200 10.17211 1.099026 8.347296 11.99692 3.649624
300 10.17211 1.099026 8.347296 11.99692 3.649624
350 10.17211 1.099026 8.347296 11.99692 3.649624
Gambar 4.3. Galat standar dari Distribusi Normal (n=100, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
114
Tabel 4.4. Pembangkitan Data dari Distribusi Normal (n=500, µ=10, σ=2)
Metode SK
Nilai Tambahan
Nilai Penduga
Galat standar
Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang
Batas Bawah Batas Atas
1
680 11.27603 1.343203 8.637003 13.915065 5.278062
750 11.41603 1.482913 8.502511 14.329557 5.827046
800 11.51603 1.582737 8.406384 14.625684 6.2193
1000 11.91603 1.982211 8.021527 15.810542 7.789015
1050 12.01603 2.082111 7.92525 16.10682 8.18157
2
680 9.889217 0.106006 9.714528 10.06391 0.349382
750 9.889217 0.106006 9.714528 10.06391 0.349382
800 9.889217 0.106006 9.714528 10.06391 0.349382
1000 9.889217 0.106006 9.714528 10.06391 0.349382
1050 9.889217 0.106006 9.714528 10.06391 0.349382
3
680 9.889217 1.683456 7.115028 12.66341 5.548382
750 9.889217 1.858556 6.826478 12.95196 6.125482
800 9.889217 1.983667 6.620307 13.15813 6.537823
1000 9.889217 2.484333 5.795253 13.98318 8.187927
1050 9.889217 2.609539 5.588924 14.18951 8.600586
4
680 9.951158 1.447588 7.565659 12.33666 4.771001
750 9.951158 1.447588 7.565659 12.33666 4.771001
800 9.951158 1.447588 7.565659 12.33666 4.771001
1000 9.951158 1.447588 7.565659 12.33666 4.771001
1050 9.951158 1.447588 7.565659 12.33666 4.771001
Gambar 4.4. Galat standar dari Distribusi Normal (n=500, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
115
Lampiran 6 Hasil Simulasi Data Acak dari Distribusi Cauchy
Tabel 4.5. Pembangkitan Data dari Distribusi Cauchy (n=10, µ=10, σ=2)
Metode SK
Nilai Tambahan
Nilai Penduga
Galat standar
Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang
Batas Bawah Batas Atas
1
20 7.993803 1.960875 3.557995 12.42961 8.871615
30 2.129139 2.740999 -5.877356 10.135635 16.012991
50 4.129139 4.566088 -8.034837 16.293116 24.327953
90 8.129139 8.457029 -12.81115 29.06942 41.88057
100 9.129139 9.444013 -14.03798 32.29626 46.33424
2
20 8.61436 0.1966047 8.253962 8.974759 0.720797
30 8.61436 0.1966047 8.253962 8.974759 0.720797
50 8.61436 0.1966047 8.253962 8.974759 0.720797
90 8.61436 0.1966047 8.253962 8.974759 0.720797
100 8.61436 0.1966047 8.253962 8.974759 0.720797
3
20 8.61436 2.457592 4.109316 13.1194 9.010084
30 8.61436 3.435333 2.317007 14.91171 12.594703
50 8.61436 5.722743 -1.876074 19.10479 20.980864
90 8.61436 10.59931 -10.81538 28.0441 38.85948
100 8.61436 11.83632 -13.08294 30.31166 43.3946
4
20 7.524453 3.150254 1.749682 13.29922 11.549538
30 7.524453 3.150254 1.749682 13.29922 11.549538
50 7.524453 3.150254 1.749682 13.29922 11.549538
90 7.524453 3.150254 1.749682 13.29922 11.549538
100 7.524453 3.150254 1.749682 13.29922 11.549538
Gambar 4.5. Galat standar dari Distribusi Cauchy (n=10, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
116
Tabel 4.6. Pembangkitan Data dari Distribusi Cauchy (n=50, µ=10, σ=2)
Metode SK
Nilai Tambahan
Nilai Penduga
Galat standar
Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang
Batas Bawah Batas Atas
1
100 10.2516 3.857795 0.528874 19.974334 19.44546
180 2.129139 4.838202 -5.877356 10.135635 16.012991
200 10.6516 5.132212 0.3380385 20.9651696 20.6271311
300 12.6516 6.767319 -0.947833 26.251041 27.198874
350 13.6516 7.650171 -1.72199 29.0252 30.74719
2
100 9.816656 0.01654206 9.788922 9.844389 0.055467
180 9.816656 0.01654206 9.788922 9.844389 0.055467
200 9.816656 0.01654206 9.788922 9.844389 0.055467
300 9.816656 0.01654206 9.788922 9.844389 0.055467
350 9.816656 0.01654206 9.788922 9.844389 0.055467
3
100 9.816656 4.835029 -0.349591 19.9829 20.332491
180 9.816656 6.063786 2.317007 14.91171 12.594703
200 9.816656 6.432273 -0.9673783 20.60069 21.5680683
300 9.816656 8.481577 -4.40314 24.03645 28.43959
350 9.816656 9.588067 -6.258227 25.89154 32.149767
4
100 9.412648 2.157443 5.795584 13.02971 7.234126
180 9.412648 2.157443 5.795584 13.02971 7.234126
200 9.412648 2.157443 5.795584 13.02971 7.234126
300 9.412648 2.157443 5.795584 13.02971 7.234126
350 9.412648 2.157443 5.795584 13.02971 7.234126
Gambar 4.6. Galat standar dari Distribusi Cauchy (n=50, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
117
Tabel 4.7. Pembangkitan Data dari Distribusi Cauchy (n=100, µ=10, σ=2)
Metode SK
Nilai Tambahan
Nilai Penduga
Galat standar
Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang
Batas Bawah Batas Atas
1
150 5.952787 7.324704 -8.581015 20.48659 29.067605
180 6.252787 7.390149 -8.410872 20.916447 29.327319
200 6.452787 7.440183 -8.310149 21.215724 29.525873
300 7.452787 7.763141 -7.950969 22.856544 30.807513
350 7.952787 7.966893 -7.855257 23.760831 31.616088
2
150 9.563134 0.2885671 9.084 10.04227 0.95827
180 9.563134 0.2885671 9.084 10.04227 0.95827
200 9.563134 0.2885671 9.084 10.04227 0.95827
300 9.563134 0.2885671 9.084 10.04227 0.95827
350 9.563134 0.2885671 9.084 10.04227 0.95827
3
150 9.563134 9.180156 -5.679515 24.80578 30.485295
180 9.563134 9.262179 -5.815705 24.94197 30.757675
200 9.563134 9.324886 -5.919824 25.04609 30.965914
300 9.563134 9.729655 -6.591898 25.71817 32.310068
350 9.563134 9.98502 -7.015904 26.14217 33.158074
4
150 9.541773 2.08141 6.085818 12.99773 6.911912
180 9.541773 2.08141 6.085818 12.99773 6.911912
200 9.541773 2.08141 6.085818 12.99773 6.911912
300 9.541773 2.08141 6.085818 12.99773 6.911912
350 9.541773 2.08141 6.085818 12.99773 6.911912
Gambar 4.7. Galat standar dari Distribusi Cauchy (n=100, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
118
Tabel 4.8. Pembangkitan Data dari Distribusi Cauchy (n=500, µ=10, σ=2)
Metode SK
Nilai Tambahan
Nilai Penduga
Galat standar
Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang
Batas Bawah Batas Atas
1
680 9.065528 1.922967 5.287417 12.843639 7.556222
750 9.205528 2.023334 5.230225 13.180832 7.950607
800 9.305528 2.097806 5.183906 13.42715 8.243244
1000 9.705528 2.414216 4.962247 14.448809 9.486562
1050 9.805528 2.497068 4.899465 14.711592 9.812127
2
680 10.00257 0.09471295 9.846494 10.15865 0.312156
750 10.00257 0.09471295 9.846494 10.15865 0.312156
800 10.00257 0.09471295 9.846494 10.15865 0.312156
1000 10.00257 0.09471295 9.846494 10.15865 0.312156
1050 10.00257 0.09471295 9.846494 10.15865 0.312156
3
680 10.00257 2.410082 6.030966 13.97418 7.943214
750 10.00257 2.535873 5.823674 14.18147 8.357796
800 10.00257 2.62921 5.669862 14.33528 8.665418
1000 10.00257 3.025771 5.016365 14.98878 9.972415
1050 10.00257 3.129611 4.845246 15.1599 10.314654
4
680 10.04852 1.897944 6.920869 13.17616 6.255291
750 10.04852 1.897944 6.920869 13.17616 6.255291
800 10.04852 1.897944 6.920869 13.17616 6.255291
1000 10.04852 1.897944 6.920869 13.17616 6.255291
1050 10.04852 1.897944 6.920869 13.17616 6.255291
Gambar 4.8. Galat standar dari Distribusi Cauchy (n=500, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
119
Lampiran 7 Hasil Simulasi Data Acak dari Distribusi Chi-Square
Tabel 4.9. Pembangkitan Data dari Distribusi Chi-Square (n=10, µ=10, σ=2)
Metode SK
Nilai Tambahan
Nilai Penduga
Galat standar
Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang
Batas Bawah Batas Atas
1
20 10.52117 2.013593 7.742815 13.299517 5.556702
30 11.52117 2.779988 6.661554 16.380778 9.719224
50 13.52117 4.590847 4.24145 22.80088 18.55943
90 17.52117 8.471775 -0.752429 35.794761 36.54719
100 18.52117 9.457523 -2.008418 39.050751 41.059169
2
20 5.74352 0.9744533 9.173782 9.910032 0.73625
30 5.74352 0.9744533 9.173782 9.910032 0.73625
50 5.74352 0.9744533 9.173782 9.910032 0.73625
90 5.74352 0.9744533 9.173782 9.910032 0.73625
100 5.74352 0.9744533 9.173782 9.910032 0.73625
3
20 5.74352 2.523665 6.720189 12.36362 5.643431
30 5.74352 3.484198 4.606443 14.47737 9.870927
50 5.74352 5.753774 0.1173469 18.96647 18.8491231
90 5.74352 10.6178 -9.016914 28.10073 37.117644
100 5.74352 11.85325 -11.30812 30.39193 41.70005
4
20 6.493084 2.482404 7.105782 12.55397 5.448188
30 6.493084 2.482404 7.105782 12.55397 5.448188
50 6.493084 2.482404 7.105782 12.55397 5.448188
90 6.493084 2.482404 7.105782 12.55397 5.448188
100 6.493084 2.482404 7.105782 12.55397 5.448188
Gambar 4.9. Galat standar dari Distribusi Chi-Square (n=10, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
120
Tabel 4.10. Pembangkitan Data dari Distribusi Chi-Square (n=50, µ=10, σ=2)
Metode SK
Nilai Tambahan
Nilai Penduga
Galat standar
Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang
Batas Bawah Batas Atas
1
100 49.21651 1.793433 45.61247 52.82055 7.20808
180 50.81651 3.01544 44.75676 56.87626 12.1195
200 51.21651 3.370756 44.44272 57.9903 13.54758
300 53.21651 5.244767 42.67676 63.75626 21.0795
350 54.21651 6.211311 41.73441 66.69861 24.9642
2
100 46.30712 1.01155 44.6112 48.00303 3.39183
180 46.30712 1.01155 44.6112 48.00303 3.39183
200 46.30712 1.01155 44.6112 48.00303 3.39183
300 46.30712 1.01155 44.6112 48.00303 3.39183
350 46.30712 1.01155 44.6112 48.00303 3.39183
3
100 46.30712 2.247736 42.53867 50.07556 7.53689
180 46.30712 3.779293 39.97094 52.64329 12.67235
200 46.30712 4.224616 39.22433 53.3899 14.16557
300 46.30712 6.573341 35.28658 57.32766 22.04108
350 46.30712 7.784724 33.25563 59.3586 26.10297
4
100 48.26307 7.6356 35.4616 61.06454 25.60294
180 48.26307 7.6356 35.4616 61.06454 25.60294
200 48.26307 7.6356 35.4616 61.06454 25.60294
300 48.26307 7.6356 35.4616 61.06454 25.60294
350 48.26307 7.6356 35.4616 61.06454 25.60294
Gambar 4.10. Galat standar dari Distribusi Chi-Square (n=50, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
121
Tabel 4.11. Pembangkitan Data dari Distribusi Chi-Square (n=100, µ=10, σ=2)
Metode SK
Nilai Tambahan
Nilai Penduga
Galat standar
Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang
Batas Bawah Batas Atas
1
150 99.9281 1.309796 97.32918 102.52702 5.19784
180 100.2281 1.45225 97.34652 103.10968 5.76316
200 100.4281 1.57205 97.30881 103.54739 6.23858
300 101.4281 2.341558 96.78194 106.07426 9.29232
350 101.9281 2.781847 96.40831 107.44789 11.03958
2
150 98.95515 0.3659062 98.34761 99.5627 1.21509
180 98.95515 0.3659062 98.34761 99.5627 1.21509
200 98.95515 0.3659062 98.34761 99.5627 1.21509
300 98.95515 0.3659062 98.34761 99.5627 1.21509
350 98.95515 0.3659062 98.34761 99.5627 1.21509
3
150 98.95515 1.641586 96.22948 101.6808 5.45132
180 98.95515 1.820126 95.93303 101.9773 6.04427
200 98.95515 1.970273 95.68373 102.2266 6.54287
300 98.95515 2.934708 94.08239 103.8279 9.74551
350 98.95515 3.486528 93.16615 104.7442 11.57805
4
150 99.41169 8.412008 85.44447 113.3789 27.93443
180 99.41169 8.412008 85.44447 113.3789 27.93443
200 99.41169 8.412008 85.44447 113.3789 27.93443
300 99.41169 8.412008 85.44447 113.3789 27.93443
350 99.41169 8.412008 85.44447 113.3789 27.93443
Gambar 4.11. Galat standar dari Distribusi Chi-Square (n=100, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
122
Tabel 4.12. Pembangkitan Data dari Distribusi Chi-Square (n=500, µ=10, σ=2)
Metode SK
Nilai Tambahan
Nilai Penduga
Galat standar
Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang
Batas Bawah Batas Atas
1
680 498.5649 1.4622 495.692 501.4377 5.7457
750 498.7049 1.503142 495.7516 501.6581 5.9065
800 498.8049 1.539531 495.7801 501.8296 6.0495
1000 499.2049 1.735809 495.7945 502.6152 6.8207
1050 499.3049 1.795481 495.7772 502.8325 7.0553
2
680 498.5799 0.1323977 498.3617 498.7981 0.4364
750 498.5799 0.1323977 498.3617 498.7981 0.4364
800 498.5799 0.1323977 498.3617 498.7981 0.4364
1000 498.5799 0.1323977 498.3617 498.7981 0.4364
1050 498.5799 0.1323977 498.3617 498.7981 0.4364
3
680 498.5799 1.832596 495.5599 501.5999 6.04
750 498.5799 1.883909 495.4754 501.6844 6.209
800 498.5799 1.929516 495.4002 501.7596 6.3594
1000 498.5799 2.175514 494.9948 502.165 7.1702
1050 498.5799 2.250302 494.8716 502.2882 7.4166
4
680 498.32 22.00634 462.0554 534.5845 72.5291
750 498.32 22.00634 462.0554 534.5845 72.5291
800 498.32 22.00634 462.0554 534.5845 72.5291
1000 498.32 22.00634 462.0554 534.5845 72.5291
1050 498.32 22.00634 462.0554 534.5845 72.5291
Gambar 4.12. Galat standar dari Distribusi Chi-Square (n=500, µ=10, σ=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
123
TABEL 𝒁
z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
-3.8 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001
-3.7 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001
-3.6 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001
-3.5 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002
-3.4 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002
-3.3 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003
-3.2 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005
-3.1 0.001 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007
-3 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.001 0.001
-2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014
-2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.002 0.0019
-2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.003 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026
-2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.004 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036
-2.5 0.0062 0.006 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048
-2.4 0.0082 0.008 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064
-2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084
-2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.011
-2.1 0.0179 0.0174 0.017 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.015 0.0146 0.0143
-2 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183
-1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.025 0.0244 0.0239 0.0233
-1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294
-1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367
-1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455
-1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.063 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559
-1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681
-1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823
-1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.102 0.1003 0.0985
-1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.123 0.121 0.119 0.117
-1 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379
-0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.166 0.1635 0.1611
-0.8 0.2119 0.209 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867
-0.7 0.242 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148
-0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451
-0.5 0.3085 0.305 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.281 0.2776
-0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.33 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121
-0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.352 0.3483
-0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.409 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859
-0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247
0 0.5 0.496 0.492 0.488 0.484 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
124
(lanjutan) TABEL 𝒁
z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0 0.5 0.504 0.508 0.512 0.516 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.591 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.648 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.67 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.695 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.719 0.7224
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.7 0.758 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.8 0.7881 0.791 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.834 0.8365 0.8389
1 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.877 0.879 0.881 0.883
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.898 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.937 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.975 0.9756 0.9761 0.9767
2 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.983 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.985 0.9854 0.9857
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.989
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
2.4 0.9918 0.992 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936
2.5 0.9938 0.994 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.996 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.997 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974
2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.998 0.9981
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986
3 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.999 0.999
3.1 0.999 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993
3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995
3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997
3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998
3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998
3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999
3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999
3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
125
TABEL DISTRIBUSI-𝒕
df 𝜶
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0.025 0.02 0.01 0.005 0.0025 0.001 0.0005
1 1 1.376 1.963 3.078 6.31 12.7 15.9 31.82 63.65 127.3 318.3 636.619
2 0.817 1.061 1.386 1.886 2.92 4.303 4.849 6.965 9.925 14.08 22.33 31.599
3 0.765 0.979 1.25 1.638 2.353 3.182 3.482 4.541 5.841 7.453 10.22 12.924
4 0.741 0.941 1.19 1.533 2.132 2.776 2.999 3.747 4.604 5.598 7.173 8.61
5 0.727 0.92 1.156 1.476 2.015 2.571 2.757 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869
6 0.718 0.906 1.134 1.44 1.943 2.447 2.612 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959
7 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.517 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408
8 0.706 0.889 1.108 1.397 1.86 2.306 2.449 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041
9 0.703 0.883 1.1 1.383 1.833 2.262 2.398 2.821 3.25 3.69 4.297 4.781
10 0.7 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.359 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587
11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.328 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437
12 0.696 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.303 2.681 3.055 3.428 3.93 4.318
13 0.694 0.87 1.079 1.35 1.771 2.16 2.282 2.65 3.012 3.372 3.852 4.221
14 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.264 2.624 2.977 3.326 3.787 4.14
15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.249 2.602 2.947 3.286 3.733 4.073
16 0.69 0.865 1.071 1.337 1.746 2.12 2.235 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015
17 0.689 0.863 1.069 1.333 1.74 2.11 2.224 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965
18 0.688 0.862 1.067 1.33 1.734 2.101 2.214 2.552 2.878 3.197 3.61 3.922
19 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.205 2.539 2.861 3.174 3.579 3.883
20 0.687 0.86 1.064 1.325 1.725 2.086 2.197 2.528 2.845 3.153 3.552 3.85
21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.08 2.189 2.518 2.831 3.135 3.527 3.819
22 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.183 2.508 2.819 3.119 3.505 3.792
23 0.685 0.858 1.06 1.319 1.714 2.069 2.177 2.5 2.807 3.104 3.485 3.768
24 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.172 2.492 2.797 3.091 3.467 3.745
25 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.06 2.167 2.485 2.787 3.078 3.45 3.725
26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.162 2.479 2.779 3.067 3.435 3.707
27 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.158 2.473 2.771 3.057 3.421 3.69
28 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.154 2.467 2.763 3.047 3.408 3.674
29 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.15 2.462 2.756 3.038 3.396 3.659
30 0.683 0.854 1.055 1.31 1.697 2.042 2.147 2.457 2.75 3.03 3.385 3.646
40 0.681 0.851 1.05 1.303 1.684 2.021 2.123 2.423 2.704 2.971 3.307 3.551
50 0.679 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.109 2.403 2.678 2.937 3.261 3.496
60 0.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2 2.099 2.39 2.66 2.915 3.232 3.46
80 0.678 0.846 1.043 1.292 1.664 1.99 2.088 2.374 2.639 2.887 3.195 3.416
100 0.677 0.845 1.042 1.29 1.66 1.984 2.081 2.364 2.626 2.871 3.174 3.39
1000 0.675 0.842 1.037 1.282 1.646 1.962 2.056 2.33 2.581 2.813 3.098 3.3
∞ 0.674 0.841 1.036 1.282 1.645 1.96 2.054 2.326 2.576 2.807 3.09 3.291
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI