PENDAHULUAN
-
Upload
walter-clay -
Category
Documents
-
view
200 -
download
0
description
Transcript of PENDAHULUAN
PENDAHULUANMATEMATIKA EKONOMI
Dr. Luluk Kholisoh
Ruang Lingkup : Konsep-konsep Dasar, Hubungan Fungsional, Hubungan Nonlinear, Diferensial fungsi, Integral dan Matriks
Sasaran:Mahasiswa yang menempuh matakuliah Matematika Ekonomi
Tujuan:
Mahasiswa diharapkan mampu memahami Konsep-konsep Matematika dalam penerapannya pada masalah ekonomi.
Kompetensi Lulusan:
Mampu menyelesaikan persoalan Matematika permasalahan Ekonomi dan Bisnis.
LITERATUR
Chiang A.C. 1984. Fundamental Methods Of Mathematical Economics. Third Edition. Mc. Graw-Hill Book Inc. New York
Dumairy. 2004. Matematika Terapan Untuk Bisnis Dan Ekonomi. Edisi Ke dua belas. BPFE. Yogyakarta
Legowo. 1984. Dasar-dasar Kalkulus Penerapannya dalam Ekonomi, Ed. 2. Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia
Suryawati dkk. 2001. Matematika Ekonomi. Sekolah Tinggi Ilmu Ekonomi YKPN
Weber, Jean E. 1982. Mathematical Analysis: Business and Economics, Aplication, 4th ed. New York: Harper & Row 1982
RENCANA PENILAIAN
Ujian Tengah Semester (UTS) 35 % Ujian Akhir Semester (UAS) 40 % Tugas Terstruktur 10 % Kuis 10 % Kehadiran 5 %
MATERI
Himpunan Sistem Bilangan, Akar dan Logaritma Deret dan Fungsi Fungsi Linier Fungsi Multivariat Fungsi Non Linier Derivatif Integral Matriks
SILABUS MATERI HIMPUNAN
Pengertian Himpunan Penyajian Himpunan Himpunan Universal dan Himpunan Kosong Operasi Himpunan Kaidah Matematika dalam Operasi Himpunan
SILABUS MATERI SISTEM BILANGAN Hubungan Perbandingan antar Bilangan Operasi Bilangan Operasi Tanda
- Operasi Penjumlahan
- Operasi Pengurangan
- Operasi Perkalian
- Operasi Pembagian Operasi Bilangan Pecahan
- Operasi Pemadanan
- Operasi Penjumlahan dan Pengurangan
- Operasi Perkalian
- Operasi Pembagian
SILABUS MATERI PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
Pangkat Kaidah pemangkatan bilangan Kaidah perkalian bilangan berpangkat Kaidah pembagian bilangan berpangkat
Akar Kaidah pengakaran bilangan Kaidah penjumlahan bilangan terakar Kaidah perkalian bilangan terakar Kaidah pembagian bilangan terakar
Logaritma
- Basis Logaritma
- Kaidah-kaidah Logaritma
- Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma
SILABUS MATERI DERET
Deret Hitung- Suku ke-n dari DH- Jumlah n suku
Deret Ukur- Suku ke-n dari DU- Jumlah n suku
SILABUS MATERI FUNGSI
Pengertian dan Unsur- unsur Fungsi Jenis- jenis fungsi Penggambaran fungsi Linear Penggambaran fungsi non linear
- Penggal- Simetri- Perpanjangan- Asimtot- Faktorisasi
SILABUS MATERI HUBUNGAN LINEAR
Penggal dan lereng garis lurus Pembentukan Persamaan Linear
- Cara dwi- kordinat- Cara koordinat- lereng- Cara Penggal lereng- Cara dwi- penggal
Hubungan dua garis lurus Pencarian Akar- akar persamaan linear
- Cara substitusi- Cara eliminasi- Cara determinan
SILABUS MATERI HUBUGAN NON LINEAR Fungsi kuadrat
- Identifikasi persamaan kuadrat- Menentukan titik maksimum atau minimum
permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar
- Fungsi penerimaan, fungsi ongkos produksi dan analisis BEP
Fungsi Eksponensial dan aplikasinya- Fungsi ongkos produksi- Perhitungan bunga majemuk
SILABUS MATERI DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA
Kuosien Diferensi dan Derivatif Kaidah- Kaidah Diferensiasi Hakikat Derivatif dan Diferensial Derivatif dari Derivatif Hubungan antara Fungsi dan Derivatifnya
- Fungsi menaik dan fungsi menurun
- Titik ekstrim fungsi parabolik
- Titik ekstrim dan titik belok fungsi kubik
SILABUS MATERI DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK
Diferensial Parsial Derivatif dari Derivatif Parsial Nilai ekstrim : Maksimum dan Minimum Optimisasi Bersyarat
- Pengganda Lagrange- Kondisi Kuhn-Tucker
Homogenitas Fungsi
SILABUS MATERI INTEGRAL
Integral tak tentu Kaidah- kaidah Integrasi tak tentu Integral tertentu Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu
SILABUS MATERI MATRIKS
Pengertian Matriks dan Vektor Kesamaan Matriks dan Kesamaan
Vektor Pengoperasian Matriks dan Vektor Bentuk- bentuk khas matriks Pengubahan Matriks
Himpunan Merupakan suatu kumpulan atau
gugusan dari sejumlah obyek. Obyek yang membentuk himpunan
disebut anggota/elemen/unsur Himpunan dilambangkan dengan huruf
besar, sedangkan unsur dilambangkan dengan huruf kecil
Penulisan Matematis p є A A C B A = B p є A A C B A = B
Penyajian Himpunan A = { 1, 2, 3, 4, 5} ; B = {kucing,
anjing} A = { x; 0 < x < 6} ; B = {x; 1 ≤ x ≤
5} { } atau 0 . Merupakan himpunan
kosong. Secara teori, himpunan kosong adalah merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan apapun.
Notasi U digunakan untuk himpunan universal (yang bersifat besar).
Operasi Himpunan Gabungan (Union):
A U B = {x; x є A atau x є B} Irisan (Intersection):
A ∩ B = {x; x є A dan x є B} Selisih:
A – B ≡ A B = { x; x є A tetapi x є B} Pelengkap (Complement):
A = { x; x є U tetapi x є A} = U - A
Matematika Ekonomi 22
2. Tanda pertidaksamaan Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” Tanda > melambangkan “lebih besar dari” Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan” Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan”
3. Sifat Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d
Kaidah-kaidah Matematika Kaidah Indempoten:
a) A U A = A b) A ∩ A = A Kadiah Asosiatif:
a) (A U B) U C = A U (B U C)b) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Kaidah Komutatif:a) A U B = B U A b) A ∩ B = B ∩ A
Kaidah Distributif:a) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ ( A U C)b) A ∩ ( B U C) = (A ∩ B) U ( A ∩ C)
Kaidah – kaidah Matematika (lanjut) Kaidah Identitas:
a) A U 0 = A b) A ∩ 0 = 0c) A U U = U d) A ∩ U = A
Kaidah Kelengkapan:a) A U A = U b) A ∩ A = 0c) (A) = A d) U = 0, 0 = U
Kaidah De Morgan:( A U B ) = A ∩ B b) ( A ∩ B) =A U B
Matematika Ekonomi 25
Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsir
A B
S
Sifat-sifat gabungan
a.A U B = B U A Hukum komutasi
b. A (A U B) dan B (A U B)
Matematika Ekonomi 26
Operasi potongan (irisan) = ∩
A ∩ B = { x / x ε A dan x ε B }
A ∩ B, baca A irisan B; atau A dan B
Misal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 }
A ∩ B = { 5, 15 }
Dalam diagram Venn, A ∩ B adalah daerah diarsir:
A B
s
Matematika Ekonomi 27
Sifat : a. A ∩ B = B ∩ A (hukum komutasi)
b. (A ∩ B) A dan (A ∩ B) B
Operasi selisih
Selisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – B
A – B = { x / x € A, tetapi x € B }
Diagram Venn A – B sebagai berikut:
A B
S
Matematika Ekonomi 28
Misal: A = { a, b, c, d }; B = { f, b d, g }
A – B = { a, c } serta B – A = { f, g }
A – B sering dibaca “A bukan B”.
Sifat: a (A – B) A; (B – A) B
b (A – B); dan (B – A) adalah saling asing atau terputus
Matematika Ekonomi 29
Komplemen
A’ = { x / x € S, tetapi x € A } A’ baca “komplemen A” atau “bukan A”
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … } himp.bil bulat positip
A = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjil A’ = { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genap
Diagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir)S
A A’
A
Matematika Ekonomi 30
Sifat: a. A U A’ = S b. A ∩ A’ = ø c. (A’)’ = A
Latihan 1Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal S dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }A = {2, 3, 5, 7 }B = {1, 3, 4, 7, 8 }
Kemudian selesaikan :a). A – B b). B – A c) A ∩ Bd). A U B e) A ∩ B’ f) B ∩ A’g). (A U B)’ h) (A ∩ B)’
Matematika Ekonomi 31
Latihan 2
Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan himpunan: € atau €
A B A∩B AUB (A∩B)’ (AUB)’
€ € 2; 5 U 2,5 {0}
€ €
€ €
€ € 3 ; 7 1 ; 2; 3; 4; 7; 8
Matematika Ekonomi 32
Hubungan
Himpunan Hasil kali CartesiusApabila ada dua himpunan X dan Y masing-masing x ε X dan y ε Y, maka dari dua himpunan terserbut dapat disusun himpunan yang beranggotakan pasangan urut atau pasangan tersusun (x, y).
Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matika diberi dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaan rumah diberi angka 1 hingga 3.
Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan Y = {1, 2, 3}
Himpunan hasil kali Cartesius adalah:X x Y = {(x, y)/ x ε X, y ε Y}
Matematika Ekonomi 33
Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb: X 1 2 3
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3)
X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}
Y
Matematika Ekonomi 34
Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan dalam sistem koordinat cartesius berikut:
Y
3 • • • •
2 • • • •
1 • • • •
0 1 2 3 4 X
Gbr: Hubungan nilai ujian dan nilai pekerjaan rumah
H1
H2 H3
H4
PR = {1, 2} malas PR = {3, 4} rajin
U = {1, 2} kurang mengerti U = {3} pintar
Terdapat 4 himp bag
H1 = {malas ttp pintar} H2 = {malas dan krg
mengerti} H3 = {rajin ttp krg
ngerti} H4 = {rajin dan pintar}
Matematika Ekonomi 35
Daerah dan Wilayah (Range) hubungan Perhatikan kembali Himpunan hasil kali Cartesius:
H = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Himpunan unsur-unsur pertama pasangan urut, disebut dengan Daerah hubungan
Dh = {1, 2, 3, 4}
Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut, disebut dengan Wilayah hubungan:
Wh = {1, 2, 3}
Matematika Ekonomi 36
Kesimpulan: Himpunan hasil kali Cartesius adalah himpunan
pasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiap unsur x € X dipasangkan dengan setiap unsur y € Y.
X x Y = { (x, y) / x € X, y € Y } Daerah hubungan
Dh = { x / x € X} Wilayah hubungan:
Wh = { y / y € Y}
SISTEM BILANGAN
Matematika Ekonomi 38
SISTEM BILANGAN
Nyata+ dan -
Khayal
Rasional Irrasional
Bulat Pecahan
Bilangan
2; -2; 1,1; -1,1
Akar negatip
√(-4) = ± 2
Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal atau desimal berulang 0,1492525
Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal tak berulang 0,14925253993999… π, ℮
1; 4; 8; termasuk 0
½; 2/7 dsb
1. Pembagian bilangan
Penggolongan Bilangan (lanjut) Bilangan nyata dapat positif maupun
negatif. Bilangan khayal adalah bilangan yang
berupa akar pangkat genap dari suatu bilangan negatif.
Bilangan rasional= bilangan bulat, pecahan terbatas
Bilangan irrasional adalah bilangan pecahan yang tak terbatas.
Jenis-jenis Bilangan Lainnya Bilangan asli: bilangan bulat positif
tidak termasuk nol Bilangan cacah: bilangan bulat positif
atau nol Bilangan prima: bilangan asli yang
besarnya tidak sama dengan satu dan hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri.
Matematika Ekonomi 41
2. Tanda pertidaksamaan Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” Tanda > melambangkan “lebih besar dari” Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan” Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan”
3. Sifat Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d
Operasi Bilangan Kaidah Komutatif:
a + b = b + a a x b = b x a Kaidah Asosiatif:
( a + b ) + c = a + ( b + c )( a x b ) x c = a x ( b x c )
Kaidah Pembatalan:Jika a + c = b + c jika ac = bc (c = 0)maka a = b maka a = b
Kaidah Distributif:a ( b + c ) = ab + ac
Operasi Bilangan (lanjut) Unsur Penyama:
a ± 0 = aa x 1 = aa : 1 = a
Kebalikan:a + (-a) = 0a x 1/a = 1
Berbagai Operasi Tanda Operasi Penjumlahan Operasi Pengurangan Operasi Perkalian Operasi Pembagian
Operasi Bilangan Pecahan Operasi Pemadanan
a/b = (axc)/(bxc) a/b = (a:c)/(b:c) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Operasi Perkalian
(a/x) x (b/y) = (ab)/(xy) Operasi Pembagian:
a/b : c/d = a/b x d/ca/b : c/d = x/z : y/z = x/y z = habis dibagi b dan da/b : c/d = (a/b x z) : (c/d x z)
PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
PANGKAT Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks
yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan.
Notasi xn berarti bahwa x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-turut sbanyak n kali
Contoh: * 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 cukup ditulis 46
* 100.000 dapat diringkas menjadi 105
* 1/100.000 dapat diringkas menjadi 10-5
* 35.000.000.000 dapat diringkas menjadi 35 x 109
* 4.500.000.000 dapat diringkas menjadi 4,5 x 109
* 0,000.000.34 dapat diringkas menjadi 3,4 x 10-8
Kaidah-Kaidah Pemangkatan
Bilangan bukan-nol berpangkat nol adalah satux0 = 1 ( x ≠ 0) Contoh: 50 = 1
Bilangan berpangkat satu adalah bilangan itu sendiri
x1 = x Contoh: 51 = 5 Nol berpangkat sebuah bilangan adalah tetap nol
0x = 0 Contoh: 05 = 0 Bilangan berpangkat negatif adalah balikan
pengali (multiplicative inverse) dari bilangan itu sendiri
x-5 = 1/x5 Contoh: 2-5 = 1/25 = 1/32 = 32-1
Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut) Bilangan berpangkat pecahan adalah akar
dari bilangan itu sendiri, dengan suku pembagi dalam pecahan menjadi pangkat dari akarnya, sedangkan suku terbagi menjadi pangkat dari bilangan yang bersangkutan
Contoh: Bilangan pecahan berpangkat adalah
hasilbagi suku-suku berpangkatnya
Contoh:
b ab
a
xx 55,1933 55 25
2
a
aa
y
x
y
x
125
64
5
4
5
43
33
Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut) Bilangan berpangkat dipangkatkan lagi adalah
bilangan berpangkat hasilkali pangkat-pangkatnya(xa)b = xab Contoh: (22)3 = 22x3 = 26
=64 Bilangan dipangkatkan pangkat-berpangkat adalah
bilangan berpangkat hasil pemangkatan pangkatnya
dalam hal ini c = ab
Contoh:
ca xxb
721.046.4333 1624
Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut) Hasilkali bilangan-bilangan berpagnkat yang
basisnya sama adalah bilangan basis berpangkat jumlah pangkat-pangkatnyaxa….xb …..xz = xa+b+..+z Contoh: 23 x 23 = 23+3 = 26 = 64
Hasilkali bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda, adalah perkalian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan
xa . ya = (xy)a Contoh: 32 x 52 = (3x5)2 = 225
Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut) Hasilbagi bilangan-bilanganerpangkat yang
basisnya sama adalah bilangan basis berpangkat selisih pangkat-pangkatnya
xa : xb = xa-b Contoh: 55 : 53 = 55-3 = 52= 25
Hasilbagi bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda, adalah pembagian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan
xa : ya = (x/y)a Contoh: 32 : 52 = (3/5)2 = 9/25
AKAR Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan
bilangan berpangkat Akar dari suatu bilangan ialah basis yang
memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya.
Jika xa, maka x sebagai basis dan a sebagai pangkat
Jika xa = m, maka x dapat disebut sebagai akar pangkat a dari m dan dapat ditulis sebagai:
jika xa = mxma
Kaidah-kaidah Pengakaran Bilangan Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi
bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya
dalam hal ini adalah basis
Akar dari bilangan berpangkat adalah bilangan itu sendiri berpangkat pecahan, dengan pangkat dari bilangan bersangkutan menjadi suku terbagi sedangkan pangkat dari akar menjadi suku pembagi
aa mm1
am1
b
ab a mm
Kaidah-kaidah Pengakaran Bilangan (lanjut) Akar dari suatu perkalian bilangan adalah perkalian dari
akar-akarnya
Akar dari sebuah bilangan pecahan adalah pembagian dari akar suku-sukunya
Jumlah (selisih) bilangan-bilangan terakar adalah jumlah (selisih) koefisien-koefisien terakar
Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari bilangan bersangkutan; pangkat baru akarnya ialah hasilkali pangkat dari akar-akar sebelumnya
bbb yxxy
b
b
b
y
x
y
x
bc ac ab xx
b ab ab a xnmxnxm )(
LOGARITMA Logaritma merupakan kebalikan dari proses
pemangkatan dan/ atau pengakaran. Logaritma dari suatu bilangan ialah pangkat
yang harus dikenakan pada (memenuhi) bilangan pokok logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut.
Jika xa = m (dalam hal ini x adalah basis dan a adalah pangkat), maka pangkat a disebut juga logaritma dari m terhadap basis x yang ditulis dalam bentuk:
a = x log m Biasanya logaritma berbasis 10 sehingga
cukup ditulis log m
Kaidah-kaidah Logaritma xlog x = 1 sebab x1 = x xlog1 = 0 sebab x0 = 1 xlog xa = a sebab xa = xa
xlog ma = a xlog m
xlog m n = xlog m + xlog n xlog m/n = xlog m – xlog n xlog m mlog x = 1 sehingga xlog m = 1/mlog x xlog m mlog n nlog x = 1
mx mx
log
Kasus Sederhanakan dan selesaikan:
a) b)
Carilah x jika log x = 1,2304! Selesaikan x untuk log (3x + 298) = 3!
5752510 )42(:)165(