PENAKSIRAN PARAMETER PADA DISTRIBUSI RAYLEIGH …
Transcript of PENAKSIRAN PARAMETER PADA DISTRIBUSI RAYLEIGH …
PENAKSIRAN PARAMETER PADA DISTRIBUSI RAYLEIGH
MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD
DAN METODE BAYES
SKRIPSI
FITRI ARDIANTI
130803077
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2017
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PENAKSIRAN PARAMETER PADA DISTRIBUSI RAYLEIGH
MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD
DAN METODE BAYES
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar
Sarjana Sains
FITRI ARDIANTI
130803077
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2017
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
i
PERSETUJUAN
Judul : Penaksiran Parameter pada Distribusi Rayleigh
menggunakan Metode Maximum Likelihood dan
Metode Bayes
Kategori : Skripsi
Nama : Fitri Ardianti
Nomor Induk Mahasiswa : 130803077
Program Studi : Sarjana (S1) Matematika
Departemen : Matematika
Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Oktober 2017
Komisi Pembimbing :
Pembimbing,
Dr. Sutarman, M.Sc
NIP. 19631026 199103 1 001
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Dr. Drs. Suyanto, M.Kom
NIP. 19590813 198601 1 002
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ii
PERNYATAAN
PENAKSIRAN PARAMETER PADA DISTRIBUSI RAYLEIGH
MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD
DAN METODE BAYES
SKRIPSI
Menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya serahkan ini benar-benar
merupakan hasil karya saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang
masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Oktober 2017
FITRI ARDIANTI
130803077
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
iii
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT Yang Maha Pemurah dan
Maha Penyayang, dengan limpah karunia-Nya Penulis dapat menyelesaikan
penyusunan skripsi ini dengan judul Skripsi “Penaksiran Parameter pada
Distribusi Rayleigh menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode
Bayes”.
Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku
pembimbing yang telah meluangkan waktunya selama penyusunan skripsi ini.
Terima kasih kepada Bapak Dr. Open Darnius, M.Sc dan Ibu Dr. Esther S M
Nababan, M.Sc selaku dosen pembanding 1 dan pembanding 2 yang memberikan
kritik dan saran yang membangun dalam menyelesaikan skripsi penulis.
Terimakasih kepada Bapak Dr. Drs. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman
Siregar, M.Si selaku Ketua Departemen dan Sekertaris Departemen Matematika
FMIPA USU Medan, Bapak Dr. Kerista sebayang, M.S selaku Dekan FMIPA
USU Medan, seluruh Staff dan Dosen Matematika FMIPA USU serta pegawai
FMIPA USU. Terima kasih kepada kedua orangtua tercinta, Ayahanda Poniman
dan Ibunda Sugiati. Terima kasih kepada sahabat-sahabat yang terhimpun dalam
grup “Muslimah Kece” yaitu Dhira, Dilla, Indri, Mia, dan Shindi. Terima kasih
kepada teman-teman Pema Sekawasan USU yaitu Surya, Rozy, Lusi, dan Putri.
Terima kasih kepada keluarga PEMA FMIPA USU, teman-teman Matematika
2013 FMIPA USU serta rekan-rekan kuliah lainnya yang tidak dapat saya
sebutkan satu persatu namanya yang telah membantu penulis dalam
menyelesaikan skripsi ini. Semoga Allah SWT Yang Maha Esa akan
membalasnya.
Medan, Oktober 2017
FITRI ARDIANTI
130803077
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
iv
PENAKSIRAN PARAMETER PADA DISTRIBUSI RAYLEIGH
MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD
DAN METODE BAYES
ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk membandingkan metode Maximum Likelihood dan
metode Bayes dalam menaksir parameter Distribusi Rayleigh. Distribusi prior
untuk metode Bayes yang digunakan pada penelitian ini adalah prior Jeffrey.
Perbandingan kedua metode dilakukan melalui simulasi data pada berbagai
kondisi parameter dan ukuran sampel. Evaluasi terhadap kedua metode dilakukan
melalui pengamatan terhadap nilai bias dan MSE yang dihasilkan. Berdasarkan
simulasi data dari estimator yang diperoleh dengan menggunakan program R,
diketahui bahwa nilai bias dari kedua metode menunjukkan pola yang sama yakni
nilai bias yang semakin kecil dengan ukuran sampel semakin besar. Nilai bias
pada metode Bayes dengan fungsi kegurian loss function-L1 menunjukkan angka
yang semakin kecil dibandingkan dengan metode Maximum Likelihood dan
metode Bayes dengan fungsi kerugian precautionary loss function, entropy loss
function, dan loss function-L1. Sedangkan, untuk nilai MSE menunjukkan error
yang semakin besar dengan kondisi ukuran sampel semakin besar. Nilai MSE
metode Maksimum Likelihood lebih kecil dibandingkan nilai MSE pada metode
Bayes dengan fungsi kerugian precautionary loss function, entropy loss function,
dan loss function-L1. Penelitian ini menunjukkan bahwa tidak selamanya metode
Bayes lebih baik dibandingkan dengan metode Maximum Likelihood dalam
menaksir parameter.
Kata Kunci: Penaksiran Parameter, Distribusi Rayleigh, Metode Maximum
Likelihood, Metode Bayes
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
v
ESTIMATING PARAMETER OF RAYLEIGH DISTRIBUTION
BY USING MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD
AND BAYES METHOD
ABSTRACT
This study aims to compare the Maximum Likelihood method and Bayes method
in estimating the Rayleigh Distribution parameter. The prior distribution for the
Bayes method used in this study is Jeffrey's priority. Comparison of both methods
is done by simulation of data on various condition of parameter and sample size.
Evaluation of both methods is done through observation of the bias and MSE
values generated. Based on the data simulation of estimator obtained by using
program R, it is known that the bias value of both methods shows the same pattern
that the smaller the bias value with the bigger the sample size. The bias value on
the Bayes under loss function-L1 method shows a smaller number compared to
Maximum Likelihood method and Bayes method with loss function loss
precautionary function, entropy loss function, and loss function-L1. Meanwhile,
for the MSE value shows an increasingly small error with the condition of the
larger the sample size. The MSE value of the Likelihood Maximum method is
smaller than the MSE value of the Bayes method with the loss function of
precautionary loss function, entropy loss function, and loss function-L1. This
study shows that Bayes method is not always better than Maximum Likelihood
method in estimating parameters.
Keywords: Estimation of Parameter, Rayleigh Distribution, Maximum Likelihood
Method, Bayes Method
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN i
PERNYATAAN ii
PENGHARGAAN iii
ABSTRAK iv
ABSTRACT v
DAFTAR ISI vi
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
viii
ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Rumusan Masalah 4
1.3 Tujuan Penelitian 4
1.4 Batasan Masalah 5
1.5 Kontribusi Penelitian 5
1.6 Metodologi Penelitian 6
BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1 Probabilitas Dasar 8
2.2 Peubah Acak 9
2.2.1 Peubah Acak Diskrit 10
2.2.2 Peubah Acak Kontinu 10
2.3 Ekspektasi dan Varians 11
2.3.1 Ekspektasi 11
2.3.2 Varians 14
2.4 Distribusi Gamma 15
2.4.1 Fungsi Gamma 16
2.4.2 Fungsi Kepadatan Probabilitas dan Fungsi
Distribusi Kumulatif Gamma
18
2.4.3 Ekspektasi dan Varians Distribusi Gamma 18
2.5 Distribusi Weibull 19
2.5.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas dan Fungsi
Kumulatif Distribusi Weibull
19
2.5.2 Ekspektasi dan Varians Distribusi Weibull 19
2.6 Distribusi Rayleigh 20
2.6.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas dan Fungsi
Kumulatif Distribusi Rayleigh
21
2.6.2 Ekspektasi dan Varians Distribusi Rayleigh 22
2.7 Fungsi Densitas Peluang Bersama 22
2.8 Fungsi Densitas Peluang Marginal 22
2.9 Distribusi Sampel 23
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
vii
2.10 Distribusi Bersyarat 24
2.11 Penaksiran Parameter 25
2.12.1 Metode Maximum Likelihood 26
2.12.2 Teorema Bayes
2.12.2.1 Distribusi Prior
2.12.2.2 Distribusi Posterior
2.12.2.3 Fungsi Risiko
27
29
30
31
2.12.3 Metode Evaluasi Estimator 34
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Desain Penelitian 36
3.2 Metode Penyelesaian 36
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Penaksiran Parameter pada Distribusi Rayleigh 39 4.1.1 Menentukan Estimator Parameter dengan
Metode Maximum Likelihood 40 4.1.2 Menentukan Estimator Parameter dengan
Metode Bayes 42
4.1.2.1 Menentukan Distribusi Prior Non-
Informatif Distribusi Rayleigh
42
4.1.2.2 Menentukan Distribusi Posterior
Distribusi Rayleigh 43
4.1.2.3
4.1.2.4
Menentukan Fungsi Densitas
Marginal Distribusi Rayleigh 44
Menetukan Estimator Bayes 46 4.2 Simulasi Data menggunakan Program R 53
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan 55 5.2 Saran 56
DAFTAR PUSTAKA 57
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
viii
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman
Tabel
4.1 Nilai Bias Estimasi Distribusi Rayleigh 53
4.2 Nilai MSE Estimasi Distribusi Rayleig 54
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ix
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar Judul Halaman
2.1
2.2
3.1
Empat kejadian 𝐵𝑖 untuk 𝑖 = 1,⋯ , 4 merupakan partisi dari
himpunan semesta U, sekitar kejadian A
Himpunan semesta berkurang mengingat kejadian A telah
terjadi, bersama dengan mempartisi empat kejadian
himpunan semesta
Diagram Alir
28
29
39
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pengetahuan tentang penaksiran parameter menjadi hal yang sangat penting. Para
peneliti, administrator dalam bidang pendidikan, bisnis, atau pemerintah, dan
pengamat politik semuanya berkepentingan dalam masalah penaksiran (Walpole,
1997). Penaksiran yang dilakukan harus dapat dipertanggungjawabkan yang
dinyatakan dengan tingkat keyakinan dari hasil taksiran yang diperoleh. Banyak
pihak sangat berkepentingan dengan masalah penaksiran ini. Penaksiran
parameter merupakan salah satu teknik pengambilan keputusan tentang suatu
parameter populasi. Penaksiran parameter dan pengujian hipotesis merupakan
teori statistika inferensi. Statistika inferensi merupakan salah satu cabang
statistika yang digunakan dalam penarikan kesimpulan atau generalisasi mengenai
suatu populasi (Waluyo, 2001). Statistika inferensi meliputi metode analisis,
interpretasi, dan prediksi berdasarkan hasil sampel dalam membantu penarikan
kesimpulan suatu populasi.
Statistika inferensi dapat dikelompokkan ke dalam dua teknik utama, yaitu
penaksiran parameter dan pengujian hipotesis. Teknik ini menggunakan informasi
sampel dalam menentukan kesimpulan. Dalam teori keputusan, inferensi
didasarkan pada kombinasi informasi sampel beserta bagian-bagian lainnya yang
dianggap relevan dengan suatu persoalan tertentu agar dihasilkan keputusan yang
terbaik. Penaksiran adalah proses yang menggunakan sampel (statistik) untuk
mengestimasi hubungan parameter populasi yang tidak diketahui. Jadi dengan
penaksiran, keadaan parameter populasi dapat diketahui (Hasan & Iqbal, 2002).
Nilai dugaan yang diperoleh dari statistik contoh acak akan menghasilkan
nilai yang berbeda dengan berbedanya contoh acak yang diambil. Dengan
demikian, dalam penaksiran ini terdapat ketidakpastian (uncertainty). Karena
ketidakpastian ini, maka suatu penaksir yang baik harus memiliki sifat-sifat
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
2
tertentu agar penaksiran yang dihasilkan memberikan nilai taksiran yang terbaik.
Penaksir yang memiliki sifat terbaiklah yang akan digunakan sebagai penaksir
sebuah parameter. Suatu penaksir yang baik adalah bila nilai tengah sebaran
penaksir tersebut sama dengan parameter sebarannya. Penaksir yang bersifat
demikian disebut penaksir tak berbias (unbiased). Selain penaksir tak berbias, ciri
penaksir yang baik adalah memiliki variansi minimum, yakni penaksir yang
memiliki varians terkecil diantara seluruh penaksir untuk parameter yang sama
dan penaksir yang konsistensi, yakni apabila ukuran sampel n mendekati ukuran
populasi dan menyebabkan θ mendekati (Gurajati, 1998).
Secara umum penaksiran parameter digolongkan menjadi dua yaitu
penaksiran titik (point estimation) dan penaksiran interval (interval estimation).
Penaksiran titik (point estimation) merupakan penaksiran dari sebuah parameter
populasi yang dinyatakan oleh bilangan tunggal.
Penaksiran interval (interval estimation) merupakan penaksiran dari
parameter populasi yang dinyatakan dengan dua buah bilangan diantara posisi
parameternya diperkirakan berbeda. Penaksiran interval mengindikasikan tingkat
kepresisian atau akurasi dari sebuah penaksiran sehingga penaksiran interval akan
dianggap semakin baik jika mendekati penaksiran titik. (Murrary & Larry, 1999).
Karakteristik yang berkaitan dengan sampel disebut sebagai statistik, sedangkan
karakteristik yang berkaitan dengan populasi disebut dengan parameter.
Sedangkan nilai sampel statistik yang digunakan untuk mengestimasi parameter
populasi disebut dengan estimator. Parameter adalah ukuran seluruh populasi
yang diwakili oleh nilai estimasi. Parameter populasi pada umumnya tidak
diketahui karena banyaknya anggota populasi.
Teori penaksiran sering dipakai sebagai prosedur untuk mencari parameter
dari sebuah model yang paling cocok pada suatu data pengamanan yang ada.
Dalam analisis keandalan (reliabilitas) dan teori antrian, penaksiran parameter
digunakan untuk mencari parameter dari distribusi yang berkaitan dengan data
yang dimiliki.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
3
Beberapa penelitian seperti di bidang Biologi, Fisika, Pertanian dan
Kedokteran biasanya akan menghasilkan data yang berhubungan dengan waktu
hidup dari suatu individu. Data waktu hidup merupakan variabel random non
negatif. Analisis statistika yang digunakan untuk menganalisis data waktu hidup
tersebut disebut analisis tahan hidup (survival).
Analisis uji hidup merupakan suatu analisis terhadap individu-individu suatu
populasi dengan memusatkan perhatian pada lamanya waktu individu
menjalankan fungsinya dengan baik sampai kematian individu tersebut, yang
dinyatakan dengan fungsi selamat dan fungsi bahaya. Fungsi distribusi tahan
hidup yang didasarkan pada pengetahuan atau asumsi tertentu tentang distribusi
populasinya termasuk dalam fungsi parametrik. Beberapa distribusi yang dapat
digunakan dalam menggambarkan waktu hidup antara lain distribusi
Eksponensial, distribusi Weibull, distribusi Gamma, distribusi Rayleigh, dan lain-
lain (Lawless, 1982). Berdasarkan beberapa distribusi tersebut dipilih fungsi tahan
hidup berdistribusi Rayleigh pada penelitian ini.
Pada teori estimasi dapat dilakukan dengan dua metode yaitu metode klasik
dan metode bayes. Metode klasik sepenuhnya mengandalkan proses infernsi pada
data sampel yang diambil dari populasi, sedangkan metode bayes disamping
memanfaatkan data sampel yang diperoleh dari populasi juga memperhitungkan
suatu distribusi awal yang disebut distribusi prior (Box & Tiao, 1973). Metode
statistik klasik terdiri dari metode kuadrat terkecil (least square method), metode
momen, dan metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood method).
Salah satu metode yang paling sering digunakan untuk menaksir parameter
suatu distribusi adalah metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood
method). Memaksimumkan fungsi likelihood biasanya dilakukan dengan metode
derivatif (turunan). Pendugaan maksimum likelihood mempunyai sifat-sifat
penting yaitu: tak bias secara asimtotik (ada kemungkinan akan berbias pada
sampel kecil) tapi sangat baik pada sampel berukuran besar, konsisten, efisien
secara asimtotis, invarian pada skala pengukuran (satuan pengukuran tidak
mempengaruhi nilai dugaan parameter model) (Bollen, 1989).
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
4
Metode klasik memandang parameter sebagai besaran tetap yang tidak
diketahui harganya, dan inferensi didasarkan hanya pada informasi dalam sampel.
Metode bayes memandang parameter sebagai variabel yang menggambarkan
pengetahuan awal tentang parameter sebelum pengamatan dilakukan dan
dinyatakan dalam suatu distribusi yang disebut sebagai distribusi prior (Bolstad,
2007). Sedangkan penentuan distribusi prior yang tidak didasarkan pada data yang
ada disebut non-informatif prior. Setelah pengamatan dilakukan, informasi dalam
distribusi prior dikombinasikan dengan informasi dengan data sampel melalui
teorema Bayes, dan hasilnya dinyatakan dalam bentuk distribusi yang disebut
distribusi posterior yang selanjutnya menjadi dasar untuk inferensi dalam metode
Bayes (Berger, 1990).
Langkah-langkah yang dilakukan adalah mencari distribusi non-informatif
prior yang kemudian digabungkan dengan informasi sampel melalui teorema
bayes sehingga dihasilkan distribusi posterior (Albert, 2009). Selanjutnya bisa
dicari distribusi posterior marginal untuk tiap parameter dari distribusi posterior
yang terbentuk.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian dari latar belakang penelitian ini, maka rumusan masalah pada
penelitian ini adalah bagaimana mencari estimator parameter dari distribusi
Rayleigh dengan menggunakan metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes
dengan beberapa fungsi kerugian yang digunakan, kemudian akan dilakukan
simulasi data terhadap estimator yang telah diperoleh dengan menggunakan
program R untuk melihat metode yang terbaik diantara kedua metode tersebut
dalam menaksir parameter .
1.3 Tujuan Penelitian
Menentukan estimator parameter dari distribusi Rayleigh dengan metode
Maximum Likelihood dan Metode Bayes, kemudian akan dilakukan simulasi data
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
5
terhadap estimator yang telah diperoleh dengan menggunakan program R untuk
melihat metode yang terbaik diantara kedua metode tersebut dalam menaksir
parameter .
1.4 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah:
1. Distribusi yang dipakai pada penelitian ini adalah distribusi Rayleigh dengan
satu parameter.
2. Penaksiran yang dilakukan pada penelitian ini adalah penaksiran titik (point
estimation).
3. Metode yang digunakan untuk melakukan penaksiran terhadap parameter
pada penelitian ini adalah metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes.
4. Fungsi kerugian yang digunakan pada Metode Bayes adalah precautionary
loss function, entropy loss function, dan loss function-L1 sebagai bahan
perbandingan.
1.5 Kontribusi Penelitian
1. Mengembangkan dan menerapkan probabilitas dan statistika dengan teorema
Maximum Likelihood dan teorema Bayes serta memperlihatkan prosedur
penggunaan metode Maximum Likelihood dan metode Bayes dalam menduga
parameter dari distribusi Rayleigh serta melihat perbandingan metode yang
menghasilkan penaksiran yang baik.
2. Menerapkan metode Maximum Likelihood dan metode Bayes dalam
penunjang ilmu matematika statistika dan probabilitas sehingga dapat
meningkatkan penguasaan dan pemikiran teknik estimasi yang lebih baik serta
memudahkan dalam pengambilan keputusan pada tingkat populasi.
3. Bahan acuan tambahan untuk penelitian sejenis di masa akan datang.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
6
1.6 Metodologi Penelitan
Metodologi yang digunakan pada penelitian ini adalah studi literatur. Berikut
tahapan-tahapan studi literatur yang digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan didalam penelitian ini.
1. Studi literatur
Pada tahap ini dilakukan studi literatur tentang penaksiran parameter pada
distribusi Rayleigh dengan Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes.
Adapun teori pendukung yang digunakan seperti penaksiran parameter,
distribusi Rayleigh, Metode Maximum Likelihood, Metode Bayes, dan teori-
teori pendukung lainnya.
2. Melakukan penaksiran parameter pada Distribusi Rayleigh
Pada tahap ini dilakukan penaksiran parameter pada Distribusi Rayleigh
menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes sehingga
diperoleh estimator dari setiap parameter menggunakan studi literatur yang
berkaitan. Adapun langkah-langkah dalam melakukan penaksiran parameter
pada distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut:
2.1 Melakukan estimasi Maksimum Likelihood
a. Menentukan fungsi likelihood berdasarkan distribusi Rayleigh.
b. Menentukan logaritma natural (ln) pada fungsi likelihood berdasarkan
distribusi Rayleigh.
c. Melakukan differensial fungsi likelihood berdasarkan distribusi
Rayleigh sebagai konsekuensi memaksimumkan parameter distribusi
Rayleigh terhadap parameter, dan kemudian menyamakan persamaan
dengan nol.
2.2 Melakukan estimasi Bayes
a. Menentukan distribusi prior dengan aturan Jeffrey’s yang menyatakan
bahwa distribusi prior merupakan akar dari informasi Fisher.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
7
b. Menentukan distribusi posterior distribusi Rayleigh.
c. Menentukan fungsi densitas marginal distribusi Rayleigh.
d. Menentukan fungsi densitas posterior.
e. Melakukan estimasi Bayes berdasarkan fungsi densitas posterior yang
diperoleh dengan fungsi kerugian precautionary loss function, entropy
loss function, dan loss function-L1.
3. Membandingkan Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes
Pada tahap ini dilakukan perbandingan metode Maximum Likelihood dan
metode Bayes berdasarkan simulasi data yang diperoleh dengan program R.
Adapun langkah-langkah untuk melakukan perbandingan adalah sebagai
berikut:
a. Membangkitkan data berdistribusi Rayleigh dengan program R untuk
metode Maximum Likelihood maupun metode Bayes.
b. Menentukan ukuran sampel.
c. Menghitung nilai bias dan nilai Mean Square Error (MSE) dari kedua
metode untuk membandingkan hasil penaksiran parameter antara
metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes dengan beberapa
fungsi kerugian yang digunakan.
d. Membuat tabel perbandingan nilai bias dan nilai Mean Square Error
(MSE) dari kedua metode tersebut dari data berdistribusi Rayleigh
yang dibangkitkan dengan program R.
4. Analisis dan Kesimpulan
Pada tahap ini dilakukan analisis dari hasil perbandingan antara Metode
Maximum Likelihood dan Metode Bayes yang selanjutnya akan diambil
suatu kesimpulan terhadap metode yang terbaik dalam menaksir parameter.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Probabilitas Dasar
Istilah percobaan atau percobaan statistik telah digunakan untuk menjelaskan
sembarang proses yang menghasilkan satu atau lebih ukuran bagi faktor
kebetulan. Sering kali, kita tidak tertarik pada keterangan rinci setiap titik contoh,
namun hanya pada suatu keterangan numerik hasil percobaan. Dalam mempelajari
dasar-dasar teori statistika kita sudah mengetahui bahwa statistika merupakan
suatu alat dan juga metode analisa yang digunakan untuk mengevaluasi data di
mana pada akhirnya akan diperoleh suatu kesimpulan dari data sampel yang ada.
Dari semua alat analisa yang ada, maka konsep probabilitas merupakan salah satu
alat analisa yang cukup penting untuk diketahui, karena dalam statistik modern
sekarang ini konsep teori probabilitas banyak sekali digunakan dalam
memecahkan masalah yang ada.
Andrei Kolgomorov (1930-1987) meletakkan landasan matematis teori
probabilitas dan teori acak. Dalam tulisannya, Kolgomorov menggunakan teori
probabilitas dalam mempelajari pergerakan planet dan turbulensi aliran udara.
Kontribusi penting lainnya adalah proses stokastik, informasi, mekanika statistik
dan dinamika nonlinear.
Konsep probabilitas memungkinkan peneliti dalam mengolah statistika
deskriptif ke dalam statistika inferensial. Asal teori probabilitas adalah modelisasi
peluang permainan. Probabilitas muncul dari kolaborasi antara Blaise Pascal dan
Pierre de Fermat dalam menemukan peluang dari suatu permainan. Sejak
kolaborasi tersebut probabilitas lebih banyak digunakan kepada permainan hingga
abad ke 18, ketika Pierre di Laplace dan Karl F Gauss menggunakan aturan dasar
probabilitas terhadap masalah fisis lainnya.
Kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang dihasilkan dari suatu
percobaan statistik dievaluasi dengan segugus (himpunan) bilangan riil yang
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
9
disebut bobot atau probabilitas dengan berjangkauan 0 sampai 1. Untuk setiap
titik di dalam ruang contoh tersebut kita menetapkan suatu probabilitas
sedemikian rupa sehingga jumlah semua probabilitas adalah 1. Untuk
mendapatkan probabilitas dari suatu kejadian 𝐴, kita menjumlahkan semua
probabilitas yang diketahui titik-titik contoh dalam 𝐴. Jumlah ini disebut
probabilitas dari 𝐴 dan ditandai dengan 𝑃 𝐴 .
Definisi 2.1
Andaikan S adalah ukuran sampel yang berhubungan dengan sebuah eksperimen.
Untuk setiap kejadian 𝐴 dalam 𝑆 (𝐴 himpunan bagian dari 𝑆), kita ambil sebuah
angka, 𝑃 𝐴 yang disebut dengan probabilitas 𝐴 (Wackerly et al. 2008). Jadi,
berikut axioma:
Axioma 1 : 𝑃 𝐴 ≥ 0
Axioma 2 : 𝑃 𝑆 = 0
Axioma 3 : Jika 𝐴1,𝐴2, 𝐴3, ⋯ bentuk barisan kejadian saling lepas pada S
(itu berarti 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅, jika 𝑖 ≠ 𝑗, kemudian:
𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ⋯ = 𝑃 𝐴𝑖 ∞𝑖=1
2.2 Peubah Acak
Eksperimen probabilitas memiliki keluaran (outcome) yang bisa berupa suatu nilai
numerik (angka/bilangan), suatu cacahan/hitungan, atau suatu hasil pengukuran
(measurement). Variabel acak (random variable), biasa ditandai dengan sebuah
simbol seperti 𝑋, adalah variabel yang memiliki sebuah nilai numerik tunggal
untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas. Dengan kata lain, nilai
tertentu dari 𝑋 dalam sebuah eksperimen adalah suatu kemungkinan keluaran
yang acak.
Definisi 2.2
Peubah acak adalah suatu fungsi yang menghubungkan sebuah bilangan real
dengan setiap unsur di dalam ruang sampel (Walpole dan Myers, 1998).
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
10
2.2.1 Peubah Acak Diskrit
Definisi 2.3
Jika himpunan seluruh nilai yang mungkin dari peubah acak 𝑋 adalah suatu
himpunan yang dapat dicacah sedemikian rupa 𝑥1,𝑥2,𝑥3,⋯ ,𝑥𝑛 atau
𝑥1,𝑥2,𝑥3, ⋯ ,𝑥𝑛 disebut sebagai variabel acak diskrit. Bagi suatu peubah acak
diskrit 𝑋, didefinisikan fungsi massa peluang 𝑃𝑋 𝑥 sebagai:
𝑃𝑋 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 (2.1)
Fungsi massa peluang 𝑃 𝑥 bernilai positif, untuk sejumlah nilai x tercacah.
Dengan kata lain, jika 𝑋 mengambil salah satu dari nilai 𝑥1,𝑥2,𝑥3,⋯ , 𝑥𝑛 maka
peubah acak diskrit 𝑋 dengan nilai yang mungkin 𝑥1, 𝑥2,𝑥3, ⋯ , 𝑥𝑛 fungsi massa
peluang adalah fungsi yang memenuhi kriteria berikut:
1) 𝑝 𝑥𝑖 ≥ 0; 𝑖 = 1, 2,⋯
2) 𝑝 𝑥𝑖 𝑛𝑖=1 = 1
3) 𝑝 𝑥𝑖 = 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖
2.2.2 Peubah Acak Kontinu
Definisi 2.4
Sebuah peubah acak 𝑋 berdistribusi kontinu jika terdapat fungsi f tak negatif,
terdefinisi pada garis bilangan riil, sehingga setiap interval pada bilangan riil
(berbatas atau tak berbatas), probabilitas bahwa 𝑋 yang berada pada interval
tersebut merupakan jumlahan daerah f pada interval tersebut. Sebagai contoh,
keadaan yang menggambarkan definisi di atas, dengan batas dalam interval
tertutup [a,b].
𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Berimplikasi pada:
𝑃 𝑋 ≥ 𝑎 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
𝑎 dan 𝑃 𝑋 ≤ 𝑏 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 (2.2)
𝑏
−∞
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
11
Berdasarkan karakteristik 𝑓 distribusi variabel acak kontinu dengan cara yang
sama menyatakan bahwa fungsi probabilitas berkarakteristik distribusi peubah
acak kontinu. Fungsi kepadatan peluang 𝑓 dapat digunakan untuk
menggambarkan distribusi probabilitas peubah acak kontinu. Jika suatu interval
memuat kemiripan nilai 𝑋, probabilitasnya besar dan berkorespondensi dengan
𝑓 𝑥 . Memenuhi ketiga kaidah berikut:
1) 𝑓 𝑥 ≥ 0
2) ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞= 1
3) 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
Distribusi probabilitas adalah visualisasi peubah acak 𝑋 dalam bentuk kurva.
Ketika 𝑋 merupakan peubah acak berbatas, himpunan probabilitas yang
digambarkan terhadap nilai yang mungkin disebut probabilitas 𝑋.
Jika 𝑋 adalah peubah acak berbatas, dengan nilai-nilai 𝑛1, 𝑛2,⋯ maka
daftar distribusi probabilitas bekaitan dengan 𝑋 = 𝑛1,𝑋 = 𝑛2, ⋯ Jumlah seluruh
probabilitas selalu sama dengan 1.
Ingat bahwa 𝑋 merupakan variabel acak, sedangkan 𝑥 merupakan nilai
spesifik dari variabel acak 𝑋. Berakibat jika 𝑥 = 2 maka probabilitas 𝑃 𝑋 = 𝑥
berarti 𝑃 𝑋 = 2 , probabilitas bahwa 𝑋 adalah 2. Hal yang sama jika 𝑌
merupakan peubah acak maka 𝑃 𝑌 = 𝑦 probabilitas 𝑌 dengan nilai khusus 𝑦.
2.3 Ekpektasi dan Varians
Berikut ini akan dijelaskan pengertian serta sifat-sifat dari ekspektasi dan varians.
2.3.1 Ekspektasi
Dalam suatu pengukuran eskperimen, hasil pengukuran eksperimen seringkali
menghasilkan variasi. Ukuran-ukuran yang menggambarkan karakteristik sampel
berkorespondensi dengan karakteristik populasi. Secara sederhana karakteristik
tersebut digambarkan sebagai nilai harapan atau lebih dikenal dengan mean.
Secara matematis dinyatakan dengan formula berikut:
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
12
1) Peubah Acak Diskrit
𝜇𝑥 = 𝐸 𝑋 = 𝑥𝑖𝑃 𝑥𝑖 𝑛𝑖=1 (2.3)
2) Peubah Acak Kontinu
𝜇𝑥 = 𝐸 𝑋 = ∫ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞ (2.4)
Sifat-sifat Ekspektasi:
1) 𝐸 𝑏 = 𝑏 (2.5)
Bukti: 𝐸 𝑋 = ∫ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞
𝐸 𝑏 = 𝑏
Substitusi 𝑋 = 𝑏 maka 𝐸 𝑏 = ∫ 𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞, karena b merupakan
konstanta maka berlaku:
𝐸 𝑏 = ∫ 𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞, karena ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
−∞= 1, maka
𝐸 𝑏 = 𝑏. 1
∴ 𝐸 𝑏 = 𝑏 ∎
2) 𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎𝐸 𝑋 + 𝑏 (2.6)
Bukti: Misalkan 𝑋 adalah suatu peubah acak dengan a dan b merupakan suatu
tetapan, maka
𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎𝐸 𝑋 + 𝑏
𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
−∞
= 𝑎 ∫ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑏 ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞
∞
−∞
Karena ∫ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐸 𝑋 ∞
−∞, dan ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
∞
−∞,
∴ 𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎𝐸 𝑋 + 𝑏 ∎
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
13
3) 𝐸 𝑔 𝑋,𝑌 ± 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑔 𝑋,𝑌 ± 𝐸 𝑋,𝑌 (2.7)
Bukti: 𝐸 𝑔 𝑋,𝑌 ± 𝑋,𝑌 = ∫ ∫ 𝑔 𝑥, 𝑦 ± 𝑥,𝑦 ∞
−∞𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
∞
−∞
= ∫ ∫ 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 ±∞
−∞
∞
−∞
∫ ∫ 𝑥, 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦∞
−∞
∞
−∞
∴ 𝐸 𝑔 𝑋, 𝑌 ± 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑔 𝑋, 𝑌 ± 𝐸 𝑋, 𝑌 ∎
4) 𝐸 𝑔 𝑋 ± 𝑋 = 𝐸 𝑔 𝑋 ± 𝐸 𝑋 (2.8)
Bukti: 𝐸 𝑔 𝑌 ± 𝑌 = 𝐸 𝑔 𝑋 ± 𝐸 𝑋
Karena 𝐸 𝑋 = ∫ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞, maka substitusi 𝑌 = 𝑔 𝑋 ± 𝑋 ,
sehingga diperoleh
𝐸 𝑌 = ∫ 𝑌𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞
𝐸 𝑌 = ∫ 𝑔 𝑋 ± 𝑋 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞
Berlaku;
𝐸 𝑌 = ∫ 𝑔 𝑋 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔 𝑋 ∞
−∞𝑓 𝑋 𝑑𝑥
∞
−∞
𝐸 𝑔 𝑋 ± 𝑋 = ∫ 𝑔 𝑋 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔 𝑋 ∞
−∞𝑓 𝑋 𝑑𝑥
∞
−∞
∴ 𝐸 𝑔 𝑋 ± 𝑋 = 𝐸 𝑔 𝑋 ± 𝐸 𝑋 ∎
5) 𝐸 𝑋𝑌 = 𝐸 𝑋 𝐸 𝑌 (2.9)
Bukti: 𝑋 dan 𝑌 adalah dua peubah acak bebas, maka
𝐸 𝑋𝑌 = 𝐸 𝑋 𝐸 𝑌
Menurut definisi,
𝐸 𝑋𝑌 = ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦∞
−∞
∞
−∞
Karena 𝑋 dan 𝑌 adalah bebas, dapat kita tuliskan 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑦 .
Dimana 𝑔 𝑥 dan 𝑦 adalah sebaran marginal dari 𝑋 dan 𝑌. Oleh
sebab itu:
𝐸 𝑋𝑌 = ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑔 𝑥 ∞
−∞ 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
∞
−∞
𝐸 𝑋𝑌 = ∫ 𝑥𝑔 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞∫ 𝑦 𝑦 𝑑𝑦
∞
−∞
𝐸 𝑋𝑌 = ∫ 𝑥𝑔 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞∫ 𝑦 𝑦 𝑑𝑦
∞
−∞
∴ 𝐸 𝑋𝑌 = 𝐸 𝑋 𝐸 𝑌 ∎
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
14
2.3.2 Varians
Pengukuran suatu variabel memungkinkan untuk mempermudah pemahaman
mengenai suatu data. Untuk mengetahui seberapa besar tingkat variabilitas sampel
yang berhubungan dengan populasi didefinisikan oleh 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝜇 2 ,
secara lebih jelas diperlihatkan oleh:
1) Variabel Acak Diskrit
𝜎2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑋 − 𝜇 2𝑝 𝑥𝑖 𝑛𝑖=0 (2.10)
2) Variabel Acak Kontinu
𝜎2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = ∫ 𝑋 − 𝜇 2𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞ (2.11)
Varians untuk kasus kontinu dapat dijabarkan sebagai berikut:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝜇 2
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = ∫ 𝑋 − 𝜇 2∞
−∞𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = ∫ 𝑋2 − 2𝑋𝜇 + 𝜇2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞
= ∫ 𝑋2 − 2𝑋𝜇 + 𝜇2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞
= ∫ 𝑋2𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 2𝜇 ∫ 𝑋𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞+ 𝜇2 ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
−∞
∞
−∞
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 2𝜇𝐸 𝑋 + 𝜇2
Karena 𝜇 = 𝐸 𝑋 , maka diperoleh:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2
Sifat-sifat Varians:
1) 𝑉𝑎𝑟 𝑐 = 0 (2.12)
Bukti: Berdasarkan definisi dari perumusan varians, maka:
𝑉𝑎𝑟 𝑐 = 𝐸 𝑐 − 𝐸 𝑐 2
= 𝐸 𝑐 − 𝑐 2
= 𝐸 0
∴ 𝑉𝑎𝑟 𝑐 = 0 ∎
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
15
2) 𝑉𝑎𝑟 𝑐𝑋 = 𝑐2𝑉𝑎𝑟 𝑋 (2.13)
Bukti: Berdasarkan definisi dari perumusan varians, maka:
𝑉𝑎𝑟 𝑐𝑋 = 𝐸 𝑐𝑋 − 𝐸 𝑐𝑋 2
= 𝐸 𝑐𝑋 − 𝐸 𝑐𝑋 2
= 𝐸 𝑐𝑋 − 𝑐𝐸 𝑋 2
= 𝐸 𝑐2𝐸[𝑋 − 𝐸(𝑥) 2
∴ 𝑉𝑎𝑟 𝑐𝑋 = 𝑐2𝑉𝑎𝑟[𝑋] ∎
3) 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑐 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 (2.14)
Bukti: Berdasarkan definisi dari perumusan varians, maka:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑐 = 𝐸 𝑋 + 𝑐 − 𝐸 𝑋 + 𝑐 2
= 𝐸 𝑋 + 𝑐 − 𝐸 𝑋 − 𝐸(𝑐) 2
= 𝐸 𝑋 + 𝑐 − 𝐸 𝑋 − 𝑐 2
= 𝐸 𝑋 − 𝐸 𝑋 2
∴ 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑐 = 𝑉𝑎𝑟[𝑋] ∎
2.4 Distribusi Gamma
Distribusi Gamma merupakan salah satu alternatif model yang banyak digunakan
dalam eksperimen yang menunjukkan distribusi yang tidak simetris. Meskipun
distribusi normal memiliki peranan yang luas di berbagai bidang, dalam
kenyatannya terdapat situasi di mana hasil-hasil eksperimen menunjukkan
distribusi yang tidak simetris ataupun tidak menunjukkan kecendrungan simetris.
Dalam kasus-kasus semacam ini, model distribusi normal tidak dapat memberikan
hasil yang tepat jika digunakan. Untuk eksperimen-eksperimen probabilitas yang
hasilnya menunjukkan suatu bentuk distribusi yang mempunyai variasi ukuran
kemencengan yang cukup signifikan.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
16
2.4.1 Fungsi Gamma
Didefinisikan untuk 𝛼 > 0, fungsi Gamma Γ 𝛼 adalah:
Γ 𝛼 = 𝑥𝛼−1𝑒−𝑥𝑑𝑥
∞
0
(2.15)
Sifat-sifat penting fungsi Gamma antara lain:
1) Γ 𝛼 = α − 1 Γ 𝛼 − 1 atau
Γ 𝛼 − 1 =Γ 𝛼
𝛼 − 1 ; 𝛼 > 1 (2.16)
Bukti: Berdasarkan persamaan (2.15) jika dilakukan integral parsial dari
fungsi Gamma dengan 𝑢 𝑥 = 𝑥𝛼−1 dan 𝑑𝑣 𝑥 = 𝑒𝑥𝑑𝑥, sehingga
diperoleh:
𝑢 𝑥 = 𝑥𝛼−1 → 𝑑𝑢 𝑥 = 𝛼 − 1 𝑥𝛼−2𝑑𝑥
𝑑𝑣 𝑥 = 𝑒−𝑥𝑑𝑥 → 𝑣 𝑥 = ∫ 𝑒−𝑥∞
0𝑑𝑥 = −𝑒−𝑥
sehingga
Γ 𝛼 = ∫ 𝑢 𝑥 𝑑𝑣 𝑥 ∞
0
= 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 − ∫ 𝑣 𝑥 𝑑𝑢 𝑥 ∞
0
= 𝑥𝛼−1 − 𝑒−𝑥 − ∫ −𝑒−𝑥 𝛼 − 1 𝑥𝛼−2𝑑𝑥∞
0
= −𝑒−𝑥𝑥𝛼−1|∞0
+ 𝛼 − 1 ∫ 𝑥𝛼−2 −𝑒−𝑥 𝑑𝑥∞
0
= 0 + 𝛼 − 1 Γ 𝛼
= 𝛼 − 1 Γ 𝛼 − 1
∴ Γ 𝛼 = α − 1 Γ 𝛼 − 1 , 𝛼 > 1 ∎
2) Untuk sebuah bilangan bulat positif 𝑛,
Γ 𝑛 = 𝑛 − 1 ! (2.17)
Bukti: Berdasarkan persamaan (2.17), dapat diperoleh
Γ 𝛼 = α − 1 Γ 𝛼 − 1 , dengan cara yang sama akan dihasilkan
Γ 𝑛 = n − 1 n − 2 Γ 𝑛 − 2
= n − 1 n − 2 ⋯ Γ 1
dalam hal ini,
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
17
Γ 1 = ∫ x0e−x dx = −e−x |∞0
1
0
= −𝑒−∞ − −𝑒0
= 0 − (−1)
=1
Sehingga diperoleh,
Γ 𝛼 = α − 1 α − 2 ⋯ 1
∴ Γ 𝛼 = α − 1 ! ∎
3) Didefinisikan
Γ 1
2 = π (2.18)
Bukti: Γ 𝛼 = ∫ 𝑥𝛼−1𝑒−𝑥𝑑𝑥∞
0
Γ 1
2 = ∫ 𝑥
1
2−1𝑒−𝑥𝑑𝑥
∞
0
Γ 1
2 = lim𝑘→∞ ∫ 𝑥−
1
2𝑒−𝑥𝑑𝑥𝑘
0
Fungsi di atas dijadikan dalam bentuk polar, maka pertama-tama
misalkan sebagai berikut:
Substitusi 𝑥 = 𝑢2 →𝑑𝑥
𝑥𝑢= 2𝑢 ke persamaan (2.19)
Γ 1
2 = lim𝑘→∞ ∫ 𝑢2 −
1
2𝑒−𝑢2 1
2𝑢𝑑𝑢
𝑘
0
Γ 1
2 = lim𝑘→∞ ∫ 𝑢−1 𝑒−𝑢2 1
2𝑢𝑑𝑢
𝑘
0
= lim𝑘→∞ ∫ 𝑒−𝑢2 1
2𝑑𝑢
𝑘
0
=1
2lim𝑘→∞ ∫ 𝑒−𝑢2
𝑑𝑢𝑘
0
karena;
𝐼2 = ∫ 𝑒−𝑢2𝑑𝑢
∞
0∫ 𝑒−𝑣2
𝑑𝑣∞
0
𝐼2 = ∫ ∫ 𝑒−𝑢2−𝑣2𝑑𝑢
∞
0
∞
0𝑑𝑣
𝐼2 = ∫ ∫ 𝑒−𝑟2𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
∞
0
2𝜋
0
𝐼2 = ∫ 𝑑𝜃 ∫ 𝑒−𝑟22𝑟𝑑𝑟 = 4𝜋
∞
0
2𝜋
0
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
18
sehingga;
Γ 1
2 = lim𝑘→∞ ∫ 𝑢−1 𝑒−𝑢2 1
2𝑢𝑑𝑢
𝑘
0
=1
2lim𝑘→∞ ∫ 𝑒−𝑢2
𝑑𝑢𝑘
0
=1
2 2 𝜋
= 𝜋
∴ Γ 1
2 = 𝜋 ∎
2.4.2 Fungsi Kepadatan Probabilitas dan Fungsi Distribusi Kumulatif
Gamma
Definisi 2.5
Sebuah variabel acak 𝑌 dikatakan memiliki distribusi gamma dengan parameter
𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0 jika dan hanya jika fungsi densitas dari 𝑌 adalah:
𝑓 𝑌 = 𝑦𝛼−1𝑒
−𝑦𝛽
𝛽𝛼Γ 𝛼 , 0 ≤ 𝑦 ≤ ∞
0 , 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
(2.19)
sedangkan fungsi distribusi kumulatif Gamma adalah (Wackerly et al. 2007):
𝐹𝐺 𝑌 = 𝑦𝛼−1𝑒
−𝑦𝛽
𝛽𝛼Γ 𝛼
𝑑
𝑐
𝑑𝑦 , 0 < 𝑐 < 𝑑 < ∞ (2.20)
2.4.3 Ekspektasi dan Varians Distribusi Gamma
Teorema 2.1
Jika 𝑌 merupakan distribusi gamma dengan parameter 𝛼 dan 𝛽, maka:
𝜇 = 𝐸 𝑌 = 𝛼𝛽 (2.21)
𝜎2 = 𝑉 𝑌 = 𝛼𝛽2 (2.22)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
19
2.5 Distribusi Weibull
Distribusi Weibull meliputi distribusi Eksponensial dan distribusi Rayleigh
sebagai bentuk khususnya. Karena fungsi hazard dari distribusi ini adalah fungsi
turun ketika parameter bentuk 𝑐 lebih kecil daripada 1, konstan ketika 𝑐 sama
dengan 1 (kasus eksponensial), dan fungsi naik ketika 𝑐 lebih besar dari 1
(Johnson et al. 1994).
2.5.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas dan Fungsi Distribusi Kumulatif
Weibull
Fungsi densitas probabilitas dari variabel acak 𝑋 Weibull adalah sebagai berikut
(Johnson et al. 1994):
𝑓 𝑥 =𝑐
𝛼 𝑥 − 휀0
𝛼 𝑐−1
𝑒− 𝑥−휀0
𝛼 𝑐
,𝑥 > 휀0 (2.23)
Fungsi distribusi kumulatif:
𝐹 𝑥 = 1 − 𝑒− 𝑥−휀0
𝛼 𝑐
, 𝑥 > 휀0 (2.24)
Fungsi survival atau keandalan:
𝑅 𝑥 = 1 − 𝐹 𝑥 = 𝑒− 𝑥−휀0
𝛼 𝑐
,𝑥 > 휀0 (2.25)
dari persamaan (2.25) dan (2.27), kita peroleh fungsi hazard sebagai berikut:
𝑥 =𝑃 𝑥
𝑅 𝑥 =
𝑐
𝛼 𝑥 − 휀0
𝛼 𝑐−1
,𝑥 > 휀0 (2.26)
2.5.2 Ekspektasi dan Varians Distribusi Weibull
𝐸 𝑥 = 𝑏Γ 1 +1
𝑐 (2.27)
𝑉 𝑥 = 𝑏2Γ 1 +2
𝑐 − Γ 1 +
1
𝑐
2
(2.28)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
20
2.6 Distribusi Rayleigh
Distribusi Rayleigh diperkenalkan oleh Lord Rayleigh (J.W. Strutt, 1880) dalam
Johnson (1994:456) sehubungan dengan masalah di bidang akustik. Distribusi
Rayleigh adalah kasus khusus dari distribusi Weibull dengan b = 2𝑏, c = 2 dan
m = 0 (Krishnamoorthy, 2006).
Miller (1964) dalam Johnson (1994: 456) memperoleh distribusi Rayleigh
sebagai distribusi probabilitas jarak dari sumber menuju titik 𝑌1,𝑌2 ,⋯ , 𝑌𝑁
pada
ruang Euclidean N-dimensi, dimana sYi ' adalah independen dan identik dengan
variabel distribusi 𝑁 0,𝜎2 .
Siddiqui (1962) dalam Johnson (1994: 456) menunjukkan bahwa luas
distribusi Rayleigh (kekuatan distribusi atau luas gelombang elektronik diterima
melewati medium yang menyebar) adalah distribusi asimtotik dari 2 dimensi jalan
acak. Polovko (1986) dalam Johnson (1994: 456) mencatat bahwa beberapa tipe
dari alat perlengkapan elektrovacuum mempunyai keistimewaan yang menua
dengan cepat seiring berjalannya waktu meskipun mereka tidak memiliki cacat
manufaktur.
Distribusi Rayleigh adalah distribusi yang tepat untuk memodelkan
beberapa unit hidup secara linear meningkatkan nilai hazard. Mengutip kerja
Hertz (1909) dan Skellam (1952) dengan cepat, Cliff dan Ord (1975) menunjuk
bahwa distribusi Rayleigh terdiri sebagai distribusi dari jarak antara seorang
individu dengan tetangga terdekatnya ketika pola yang renggang dihasilkan
dengan proses Poisson. Hirano (1986) telah menjelaskan laporan singkat
mengenai sejarah dan kekayaan dari distribusi ini (Johnson, et al. 1994).
Distribusi Rayleigh sering digunakan dalam bidang fisika yang
berhubungan dengan pemodelan proses seperti radiasi suara dan cahaya, tinggi
gelombang, dan kecepatan angin. Selain Distribusi Weibull, Distribusi Rayleigh
juga merupakan distribusi yang dianggap sesuai untuk menggambarkan distribusi
kecepatan angin.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
21
Secara empiris, model distribusi Rayleigh mampu digunakan dengan baik
pada sejumlah proses desain dengan feedback yang sangat signifikan sebagai
bagian dari proses solusi. Pada perkembangan selanjutnya telah dilakukan
penelitian juga bahwa model kehandalan Rayleigh ini sangat mendekati data
defect yang sebenarnya dari proyek yang dikumpulkan pada upaya pengembangan
software. Pada tahun 1982, Trachtenberg memeriksa histori defect per bulan pada
proyek software yang diujinya dan menemukan bahwa pola dari defect yang
dihasilkan menyerupai kurva Rayleigh.
Pada tahun 1984, Gaffney dari divisi Federal System IBM mampu
memproyeksikan jumlah laten dari data defect yang diperkirakan muncul dengan
memodelan data yang dimilikinya menggunakan model Rayleigh (Gaffney, 1984).
2.6.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas dan Fungsi Distribusi Kumulatif
Rayleigh
Sebuah variabel acak Rayleigh 𝑋 mempunyai fungsi densitas probabilitas sebagai
berikut:
𝑓 𝑥 =𝑥
𝜎2𝑒𝑥𝑝
−𝑥2
𝜎2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞, 𝜎 > 0 (2.29)
Fungsi distribusi kumulatif:
𝐹 𝑥 = 1 − 𝑒𝑥𝑝 −𝑥2
𝜎2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞,𝜎 > 0 (2.30)
Fungsi survival atau keandalan:
𝑅 𝑥 = 1 − 𝐹 𝑥 = 𝑒𝑥𝑝 −𝑥2
𝜎2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞,𝜎 > 0 (2.31)
dan fungsi hazard:
𝑥 =𝑃(𝑥)
𝑅(𝑥)=
𝑥
𝜎2; 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞,𝜎 > 0 (2.32)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
22
2.6.2 Ekspektasi dan Varians Distribusi Rayleigh
𝐸 𝑥 = 𝜎 𝜋
2 (2.33)
𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝜎2 2 −𝜋
2 (2.34)
2.7 Fungsi Densitas Peluang Bersama
Fungsi densitas peluang bersama dari k-dimensi variabel random diskrit 𝑋 =
𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 ,⋯ , 𝑋𝑘 didefinisikan:
𝑓𝑋 𝑥1,𝑥2,𝑥3,⋯ ,𝑥𝑘 = 𝑃 𝑋1 = 𝑥1,𝑋2 = 𝑥2,⋯ , 𝑋𝑘 = 𝑥𝑘 (2.35)
untuk semua nilai 𝑥 = 𝑥1,𝑥2,𝑥3, ⋯ ,𝑥𝑛 dari 𝑋.
Sebuah k-dimensi nilai vektor variabel random 𝑋 = 𝑋1, 𝑋2 ,𝑋3 ,⋯ ,𝑋𝑘
kontinu dengan fungsi densitas bersama 𝑓 𝑥1,𝑥2,𝑥3, ⋯ ,𝑥𝑘 , maka fungsi densitas
kumulatifnya dapat tulis:
𝐹𝑋 𝑥1,⋯ , 𝑥𝑘 = ⋯
𝑥1
−∞
𝑓 𝑡1, ⋯ , 𝑡𝑘 𝑑𝑡1𝑑𝑡2
𝑥𝑘
−∞
⋯𝑑𝑡𝑘 (2.36)
untuk semua 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2,𝑥3,… , 𝑥𝑘 .
2.8 Fungsi Densitas Peluang Marginal
Jika pasangan (𝑋1,𝑋2) adalah variabel random diskrit yang mempunyai fungsi
densitas peluang bersama 𝑓(𝑥1,𝑥2), maka fungsi densitas peluang marginal untuk
𝑋1 dan 𝑋2 adalah
𝐹1 𝑥1 = 𝑓 𝑥1,𝑥2 𝑥2 (2.37)
𝐹2 𝑥2 = 𝑓 𝑥1,𝑥2 𝑥1 (2.38)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
23
Jika pasangan (𝑋1,𝑋2) adalah variabel random kontinu yang mempunyai fungsi
densitas peluang bersama 𝑓(𝑥1,𝑥2), maka fungsi densitas peluang marginal untuk
𝑋1 dan 𝑋2 adalah
𝐹1 𝑥1 = ∫ 𝑓 𝑥1, 𝑥2 𝑑𝑥2∞
−∞ (2.39)
𝐹2 𝑥2 = ∫ 𝑓 𝑥1,𝑥2 𝑑𝑥1∞
−∞ (2.40)
2.9 Distribusi Sampel
Bidang statistika inferensi pada dasarnya berkenaan dengan penempatan dan
prediksi, hasil suatu percobaan statistika dapat dicatat dalam bentuk numerik
ataupun aksara. Bila sepasang dadu dilantumkan dan jumlahnya merupakan hal
yang ingin diselidiki maka hasilnya dicatat dalam bentuk numerik.
Keseluruhan pengamatan yang ingin diteliti, berhingga atau tidak,
membentuk apa yang disebut populasi atau universum. Kata populasi pengamatan
yang diperoleh dari penelitian statistik yang menyangkut manusia. Sekarang
statistikawan menggunakan kata tersebut untuk menyatakan seluruh pengamatan
tentang hal yang ingin diselidiki, terlepas apa itu menyangkut orang, binatang,
ataupun benda lainnya. Banyaknya pengamatan dalam populasi dinamakan
ukuran. Suatu populasi terdiri atas keseluruhan pengamatan yang menjadi
perhatian.
Dalam bidang inferensial statistik, statistikawan ingin menarik kesimpulan
mengenai suatu populasi dalam hal tidak mungkin atau tidak praktis mengenai
himpunan seluruh pengamatan yang membentuk populasi tersebut. Sebagai
contoh dalam usaha menentukan rata-rata panjang umur bola lampu merk tersebut
agar masih ada sisa dijual. Biaya yang amat tinggi juga merupakan kendala dalam
memeriksa seluruh populasi. Karena itu peneliti menggunakan sebagaian
pengamatan dari populasi dalam menarik inferensi tentang populasi tersebut.
Sampel adalah suatu bagian himpunan dari populasi (Ronald & Raymod, 1995).
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
24
Dalam mengambil sampel acak berukuran 𝑛 dari suatu populasi 𝑓(𝑥),
didefinisikan variabel acak 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1, 2, ⋯ ,𝑛, sebagai pengukuran atau nilai
sampel ke 𝑖 yang diamati, variabel acak 𝑥1,𝑥2,⋯ ,𝑥𝑛 merupakan suatu sampel
acak populasi 𝑓(𝑥), dengan nilai numerik 𝑥1,𝑥2,⋯ ,𝑥𝑛 , bila pengukuran
dikerjakan dengan mengulangi percobaan n kali secara bebas dalam keadaan yang
pada dasarnya sama, maka dapat dianggap bahwa ke-n variabel acak 𝑥1,𝑥2,⋯ ,𝑥𝑛
bebas dan masing-masing berdistribusi 𝑓(𝑥). Ini berarti bahwa 𝑥1,𝑥2, ⋯ ,𝑥𝑛
masing-masing berdistribusi peluang 𝑓 𝑥1 ,𝑓 𝑥1 ,⋯ ,𝑓 𝑥𝑛 .
Misalkan 𝑥1,𝑥2, ⋯ ,𝑥𝑛 merupakan n variabel acak bebas yang masing-
masing berdistribusi peluang 𝑓(𝑥), 𝑥1,𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛 didefinisikan sebagai sampel
acak ukuran n dari populasi 𝑓(𝑥) dan distribusi peluang gabungannya ditulis
sebagai: 𝑓 𝑥1,𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥1 ,𝑓 𝑥1 ,⋯ ,𝑓 𝑥𝑛 (Ronald & Raymond, 1995).
2.10 Distribusi Bersyarat
Jika 𝑋1 dan 𝑋2 merupakan variabel random diskrit atau kontinu dengan fungsi
densitas peluang bersama 𝑓(𝑥1,𝑥2), maka fungsi densitas peluang bersyarat dari
𝑋2, jika diketahui 𝑋1 = 𝑥1 didefinisikan dengan:
𝑓 𝑥2 𝑥1 =𝑓 𝑥1, 𝑥2
𝑓1 𝑥1 (2.41)
Untuk nilai 𝑥1 sedemikian hingga 𝑓1 𝑥1 > 0, dan nol untuk lainnya. Sedangkan
fungsi densitas peluang bersyarat dari 𝑋1, jika diketahui 𝑋2 = 𝑥2 didefinisikan
dengan:
𝑓 𝑥1 𝑥2 =𝑓 𝑥1, 𝑥2
𝑓2 𝑥2 (2.42)
Untuk nilai 𝑥2 sedemikian hingga 𝑓2 𝑥2 > 0, dan nol untuk lainnya.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
25
2.11 Penaksiran Parameter
Statistika inferensi adalah statistika yang dengan segala informasi dari sampel
digunakan untuk menarik kesimpulan mengenai karakteristik populasi darimana
sampel itu diambil. Statistika inferensi digunakan untuk memprediksi keadaan
dari suatu populasi berdasarkan sampel yang diambil dan berusaha untuk
menyimpulkan karakteristik dari suatu populasi tersebut. Untuk ini kelakuan
populasi dipelajari berdasarkan data yang diambil baik secara sampling ataupun
sensus.
Dalam kenyataannya mengingat beberapa faktor, untuk keperluan tersebut
diambil sebuah sampel yang representatif lalu berdasarkan pada hasil analisis
terhadap data sampel yang kesimpulan mengenai populasi dibuat. Kelakuan
populasi yang akan ditinjau hanyalah mengenai parameter populasi dan sampel
yang digunakan adalah sampel acak. Data sampel dikumpulkan dan dianalisis,
nilai-nilai yang perlu yaitu statistik, dihitung dan dari nilai-nilai statistik tersebut
dapat disimpulkan bagaimana parameter bertingkah laku, dan parameter yang
diduga adalah rata-rata dan variansi (Surwako, 2007).
Sebuah nilai 𝜃 bagi suatu statistik ^
𝜃 disebut suatu nilai dugaan bagi
parameter populasi . Misalnya, nilai 𝑥 bagi statistik 𝑋 , yang dihitung dari suatu
contoh berukuran 𝑛, merupakan nilai dugaan bagi parameter populasi 𝜇. Begitu
pula, 𝑝 =𝑥
𝑛 merupakan suatu nilai dugaan bagi proporsi sebenarnya p dalam suatu
percobaan binom. Statistik yang digunakan untuk memperoleh sebuah nilai
dugaan disebut penduga atau fungsi keputusan. Jadi, fungsi keputusan 𝑆2, yang
merupakan fungsi dari contoh acak yang bersangkutan, adalah suatu penduga bagi
𝜎2, sedangkan nilai dugaan 𝑠2 merupakan “realisasinya” (Walpole, 1997). Contoh
yang berbeda pada umumnya akan menghasilkan nilai dugaan yang berbeda pula.
Pada teori estimasi dapat dilakukan dengan dua metode yaitu metode klasik
dan metode bayes. Metode klasik sepenuhnya mengandalkan proses inferensi
pada data sampel yang diambil dari populasi, sedangkan metode bayes disamping
memanfaatkan data sampel yang diperoleh dari populasi juga memperhitungkan
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
26
suatu distribusi awal yang disebut distribusi prior (Box & Tiao, 1973). Metode
statistik klasik terdiri dari metode kuadrat terkecil (least square method), metode
momen, dan metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood method).
Salah satu metode yang paling sering digunakan untuk menaksir parameter
suatu distribusi adalah metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood
method). Memaksimumkan fungsi likelihood biasanya dilakukan dengan metode
derivatif (turunan). Pendugaan maksimum likelihood mempunyai sifat-sifat
penting yaitu: tak bias secara asimtotik (ada kemungkinan akan berbias pada
sampel kecil) tapi sangat baik pada sampel berukuran besar, konsisten, efisien
secara asimtotis, invarian pada skala pengukuran (satuan pengukuran tidak
mempengaruhi nilai dugaan parameter model) (Bollen, 1989).
2.11.1 Metode Maximum Likelihood
Definisi 2.6
Misalkan 𝑥1,𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛 adalah sampel random dari populasi dengan densitas
𝑓 𝑥,𝜃 di mana 𝜃 𝜃1 ,𝜃2 , ⋯ ,𝜃𝑘 merupakan parameter tak diketahui, fungsi
likelihood dituliskan:
𝐿 𝜃1, 𝜃2 ,⋯ , 𝜃3 = 𝑓 𝑥𝑖; 𝜃
𝑛
𝑖=1
(2.43)
Fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui . Dalam
aplikasi 𝐿 𝜃 menunjukkan fungsi densitas probabilitas bersama dari sampel
random. Jika 𝑆 ruang parameter yang merupakan interval terbuka dan 𝐿 𝜃
merupakan fungsi yang dapat diturunkan serta diasumsikan maksimum pada 𝑆 S
maka persamaan maksimum likelihodnya adalah:
𝜕
𝜕𝜃𝐿 𝜃 = 0 (2.44)
Ketika menentukan nilai estimator kemungkinan maksimum, itu sering lebih
mudah menentukan nilai dari parameter yang memaksimumkan logaritma natural
dari fungsi likelihood daripada nilai parameter yang memaksimumkan fungsi
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
27
likelihood itu sendiri. Karena fungsi logaritma natural adalah fungsi naik, dan
solusinya akan sama. Sehingga persamaan logaritma natural likelihoodnya adalah:
𝜕
𝜕𝜃ln 𝐿 𝜃 = 0 (2.45)
2.11.2 Teorema Bayes
Dari definisi probabilitas bersyarat:
𝑃 𝐵|𝐴 =𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃 𝐴
Kita tau bahwa probabilitas marginal dari kejadian 𝐴 ditentukan dengan
menjumlahkan probabilitas dari bagian saling lepas nya. Karena 𝐴 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∪
𝐴 ∩ 𝐵
dan jelas bahwa 𝐴 ∩ 𝐵 dan 𝐴 ∩ 𝐵
adalah saling lepas, sehingga:
𝑃 𝐴 = 𝐴 ∩ 𝐵 + 𝐴 ∩ 𝐵
Kita substitusi ke dalam definisi probabilitas bersyarat, sehingga diperoleh:
𝑃 𝐵|𝐴 =𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 + 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
Sekarang kita gunakan aturan perkalian untuk menentukan distribusi gabungan.
Teorema Bayes untuk kejadian tunggal diperoleh:
𝑃 𝐵|𝐴 =𝑃 𝐴|𝐵 𝑃 𝐵
𝑃 𝐴|𝐵 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐴|𝐵 𝑃 𝐵 (2.46)
Sering kita mempunyai himpunan lebih dari 2 kejadian partisi dari ruang sampel.
Contohnya, andaikan kita mempunyai n kejadian 𝐵1,⋯ ,𝐵𝑛 sedemikian:
Gabungan 𝐵1 ∪ 𝐵2 ∪ ⋯ , 𝐵𝑛 = 𝑈, dan
Setiap pasang dari kejadian adalah saling lepas, 𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅ untuk
𝑖 = 1,⋯ , 𝑛, 𝑗 = 1,⋯ , 𝑛 dan 𝑖 ≠ 𝑗.
Kemudian kita nyatakan himpunan kejadian 𝐵1,⋯ , 𝐵𝑛 partisi himpunan semesta.
Kejadian 𝐴 akan dipartisi menjadi bagian partisinya. 𝐴 = 𝐴 ∩ 𝐵1 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵2 ∪
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
28
𝐴 ∩ 𝐵𝑖 dan 𝐴 ∩ 𝐵𝑗 adalah saling lepas, karena 𝐵𝑖 dan 𝐵𝑗 adalah saling lepas.
Oleh sebab itu,
𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝑗
𝑛
𝑗=1
Ini diketahui sebagai hukum probabilitas total. Probabilitas bersyarat, dikatakan
bahwa probabilitas dari sebuah kejadian 𝐴 adalah jumlah dari probabilitas bagian
saling lepasnya. Menggunakan aturan perkalian dari tiap probabilitas
gabungannya diberikan:
𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴|𝐵𝑗 𝑃 𝐵𝑗
𝑛
𝑗=1
Probabilitas bersyarat 𝑃 𝐵𝑖|𝐴 untuk 𝑖 = 1,⋯ , 𝑛 ditentukan dengan membagi tiap
probabilitas gabungan dengan probabilitas kejadian 𝐴.
𝑃 𝐵𝑖|𝐴 =𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝑖
𝑃 𝐴
Menggunakan aturan perkalian untuk menentukan probabilitas gabungan,
sehingga diperoleh:
𝑃 𝐵𝑖|𝐴 =𝑃 𝐴|𝐵𝑖 𝑃 𝐵𝑖
𝑃 𝐴|𝐵𝑗 𝑃 𝐵𝑗 𝑛𝑗=1
(2.47)
Gambar 2.1 Empat kejadian 𝐵𝑖 untuk 𝑖 = 1,⋯ , 4 merupakan partisi dari
himpunan semesta U, sekitar kejadian A.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
29
Gambar 2.2 Himpunan semesta berkurang mengingat kejadian A telah terjadi
bersama dengan mempartisi empat kejadian himpunan semesta.
Ini adalah hasil yang diketahui sebagai teorema Bayes (Bolstad, 2007). Metode
Bayes memperkenalkan suatu metode dimana kita perlu mengetahui bentuk
distribusi awal (prior) dari populasi. Sebelum menarik sampel dari suatu populasi
terkadang memperoleh informasi mengenai parameter yang akan diestimasi.
Informasi ini kemudian digabungkan dengan informasi dari sampel yang
digunakan dalam mengestimasi parameter populasi dan parameter populasi
berasal dari suatu distribusi, sehingga nilainya tidaklah tunggal dan merupakan
variabel random.
Bayes menggunakan interpretasi probabilitas secara subjektif di dalam
analisa statistika formal. Pendekatan bayes terhadap metode estimasi statistik
menggabungkan informasi yang dikandung dalam sampel dengan informasi lain
yang telah tersedia sebelumnya. Dari segi statistikawan klasik memandang bahwa
parameter populasi mempunyai harga tertentu yang tidak diketahui sehingga
pernyataan probabilitas tentang parameter populasi tidak mempunyai arti.
2.11.2.1 Distribusi Prior
Prior merupakan bentuk distribusi frequency yang merupakan representasi
objektif pada suatu parameter yang lebih rasional untuk dipercayai, atau prior
merupakan suatu representasi subjektifitas seseorang dalam memandang sebuah
parameter menurut penilaiannya sendiri. Sehingga permasalahan pokok agar prior
dapat interpretatif adalah bagaimana memilih distribusi prior untuk suatu
parameter yang tidak diketahui namun sesuai dengan permasalahan yang ada.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
30
Permasalahan utama dalam metode bayes adalah bagaimana memilih
distribusi prior 𝑓(𝜃), dimana prior menunjukan ketidakpastian tentang parameter
𝜃 yang tidak diketahui. Distribusi prior dikelompokan menjadi dua kelompok
berdasarkan fungsi likelihoodnya, yaitu sebagai berikut: (Box dan Tiao, 1973)
Berkaitan dengan bentuk hasil identifikasi pola datanya.
1. Distribusi prior konjugat (conjugate), mengacu pada acuan analisis model
terutama dalam pembentukan fungsi likelihoodnya sehingga dalam
penentuan prior konjugat selalu dipikirkan mengenai penentuan pola
distribusi prior yang mempunyai bentuk konjugat dengan fungsi densitas
peluang yang pembangun fungsi likelihoodnya.
2. Distribusi prior tidak konjugat (non-conjugate), apabila pemberian prior
pada suatu model tidak mengindahkan pola pembentuk fungsi likelihoodnya.
Berkaitan dengan penentuan masing-masing parameter pada pola distribusi prior
1. Distribusi prior informatif, mengacu pada pemberian parameter dari
distribusi prior yang telah dipilih baik distribusi prior konjugat atau tidak,
pemberian parameter pada distribusi prior ini akan sangat mempengaruhi
bentuk dari distribusi posterior yang akan didapatkan pada informasi data
yang diperoleh.
2. Distribusi prior non-informatif, pemilihannya tidak didasarkan pada data
yang ada atau distribusi prior yang tidak mengandung informasi tentang
parameter 𝜃, salah satu pendekatan dari non-informatif prior adalah metode
Jeffrey’s.
2.11.2.2 Distribusi Posterior
Definisi 2.7
Distribusi posterior adalah fungsi densitas bersyarat 𝜃 jika diketahui nilai
observasi 𝑥. Distribusi posterior dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑓 𝜃|𝑥 =𝑓 𝜃,𝑥
𝑓 𝑥 (2.48)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
31
Apabila 𝜃 kontinu, distribusi prior dan distribusi posterior 𝜃 dapat disajikan
dengan fungsi densitas. Fungsi densitas bersyarat satu variabel random jika
diketahui nilai variabel random kedua hanyalah fungsi kepadatan bersama dua
variabel random itu dibagi dengan fungsi densitas marginal variabel random
kedua. Tetapi fungsi densitas bersama 𝑓(𝜃, 𝑥) dan fungsi densitas marginal 𝑓(𝑥)
pada umumnya tidak diketahui, hanya distribusi prior dan fungsi likelihood yang
biasanya dinyatakan.
Fungsi densitas bersama yang diperlukan dapat ditulis dalam bentuk
distribusi prior dan fungsi likelihood sebagai berikut:
𝑓 𝜃, 𝑥 = 𝑓 𝑥|𝜃 𝑓 𝜃 (2.49)
Dimana 𝑓(𝑥,𝜃) merupakan fungsi likelihood dan 𝑓(𝜃) merupakan fungsi densitas
distribusi prior. Selanjutnya fungsi densitas marginal dapat dinyatakan sebagai
berikut:
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝜃,𝑥 𝑑
∞
−∞
𝜃 = 𝑓 𝑥|𝜃 𝑓 𝜃 𝑑
∞
−∞
𝜃 (2.50)
sehingga dari persamaan (2.49), dan (2.50), fungsi densitas posterior untuk
variabel random kontinu dapat ditulis sebagai berikut:
𝑓 𝜃, 𝑥 =𝑓 𝜃 𝑓 𝑥|𝜃
∫ 𝑓 𝑥|𝜃 𝑓 𝜃 𝑑𝜃∞
−∞
(2.51)
Distribusi posterior dapat digunakan untuk menentukan estimator dan estimasi
interval dari parameter yang tidak diketahui (Soejoeti & Soebanar, 1988).
2.11.2.3 Fungsi Risiko
Definisi 2.8
Misalkan 𝐿(𝜃 ,𝜃) adalah fungsi kerugian yang diasosiasikan dengan estimasi
parameter 𝜃. Misalkan 𝑔
(𝜃|𝑊 = 𝑤) adalah distribusi posterior dari variabel
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
32
acak . Kemudian risiko dari 𝜃 adalah nilai ekspektasi dari fungsi kerugian
dengan distribusi posterior 𝜃 (Larsen, 2012).
𝑟𝑖𝑠𝑖𝑘𝑜 =
𝐿(𝜃 ,𝜃)𝑔
(𝜃|𝑊 = 𝑤)𝑑
𝜃
𝜃 𝑗𝑖𝑘𝑎 adalah kontinu
𝐿 𝜃 ,𝜃 𝑔
𝜃 𝑊 = 𝑤
𝑎𝑙𝑙 𝜃
𝑗𝑖𝑘𝑎 adalah diskrit
Estimasi Bayes 𝜃 dari 𝜃 adalah serangkaian relatif optimal menuju fungsi
kerugian yang dipilih. Pada umumnya fungsi kerugian yang digunakan adalah
squared error loss function (fungsi error kuadratik). Adapun beberapa macam
fungsi kerugian, diantaranya:
1) Squarred Error Loss Function (SELF)
𝐿 𝜃 ,𝜃 = 𝜃 − 𝜃 2 (2.52)
Estimator bayes dari fungsi kerugian pada persamaan (2.52) adalah:
𝜃 𝐵 = 𝐸𝜋 𝜃 (2.53)
Sehingga diperoleh fungsi resiko:
𝑅𝐵 𝜃 = 𝐸𝜃 𝜃 2− 2𝜃𝐸𝜃 𝜃 + 𝜃2 (2.54)
2) Precautionary Loss Function
Norstom (1996) memperkenalkan sebuah alternatif fungsi kerugian asimetri
precautionary dan juga menjelaskan sebuah pembagian fungsi kerugian
precautionary dengan fungsi kuadrat sebagai bentuk khusus (Srivastava, R.S.
et al. 2004). Adapun fungsi kerugian precationary sebagai berikut:
𝐿 𝜃 ,𝜃 = 𝜃 −𝜃
2
𝜃 (2.55)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
33
Ekpektasi posterior dari fungsi kerugian pada persamaan (2.55) adalah:
𝐸𝜋 𝐿 𝜃 − 𝜃 = 𝐸𝜋 𝜃2
𝜃 + 𝐸𝜋 𝜃 − 𝐸𝜋 𝜃 (2.56)
Nilai yang meminimumkan persamaan (2.56), dinotasikan sebagai dengan
menyelesaikan persamaan di bawah ini:
𝑑
𝑑𝜃𝐸𝜋 𝐿 𝜃 − 𝜃 = 0
𝜃 𝑝 = 𝐸𝜋 𝜃2
12 (2.57)
3) Entropy Loss Function
Banyak kasus praktek, itu lebih lebih realistis menunjukkan kerugaian dalam
istilah rasio 𝜃
𝜃. Dalam hal ini, Calabria dan Pulcini (1994) menunjuk fungsi
kerugian yang asimetri adalah kerugian entropy sebagai berikut:
𝐿 𝛿 = 𝛿𝑝 − 𝑝 log 𝛿 − 1𝑒 (2.58)
dimana
𝛿 =𝜃
𝜃,
Sehingga eskpektasi posterior dari fungsi kerugian pada persamaan (2.58)
adalah sebagai berikut:
𝐸𝜋 𝐿 𝛿 = 𝑏 𝐸𝜋 𝜃
𝜃 − 𝐸𝜋 𝑙𝑜𝑔 𝑒
𝜃
𝜃 − 1 (2.59)
Nilai yang meminimumkan persamaan (2.59), dinotasikan sebagai dan dengan
menyelesaikan persamaan berikut:
𝑑
𝑑𝜃𝐸𝜋 𝐿 ∆ = 0
𝜃 𝑒 = 𝐸𝜋 1
𝜃
−1
(2.60)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
34
4) Loss Function-L1
Mempertimbangkan fungsi kerugian diberikan:
𝐿1 𝜃 , 𝜃 = 𝜃
𝜃− 1
2
(2.61)
Estimator Bayes dari loss function L1, katakan menggunakan nilai dari
𝑓 𝜃|𝑦
𝜃 1 =𝐸𝜋
1𝜃
𝐸𝜋 1𝜃2
(2.62)
5) Loss Function-L2
Mempertimbangkan fungsi kerugian diberikan:
𝐿2 𝜃 , 𝜃 = 𝜃
𝜃 − 1
2
(2.63)
Estimator Bayes dari loss function L2, katakan menggunakan nilai dari
𝑓 𝜃|𝑦 ,
𝜃 2 =𝐸𝜋 𝜃
2
𝐸𝜋 𝜃 (2.64)
2.12.4 Metode Evaluasi Estimator
Estimator yang telah diperoleh dengan metode pendekatan klasik dan pendekatan
Bayes akan menghasilkan estimator yang berbeda. Estimator terbaik yang
memiliki sifat tertentu, diantaranya sifat tak bias, variansi minimum estimator tak
bias, dan Mean Square Error (MSE).
1) Sifat Tidak Bias (Unbiased)
Nilai ekspektasi sebuah estimator adalah ukuran pusat dari distribusinya. Ini
adalah nilai rata-rata bahwa estimator akan mempunyai rata-rata dari keseluruhan
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
35
kemungkinan sampel. Sebuah estimator dikatakan “tak bias (unbiased)” jika rata-
rata dari distribusi sampling adalah nilai parameter yang sebenarnya. Hal itu
berarti, sebuah estimator 𝜃 bersifat tak bias jika dan hanya jika:
𝐸 𝜃 = 𝜃 𝑓 𝜃 |𝜃 𝑑𝜃 = 𝜃
Dimana 𝑓 𝜃 |𝜃 adalah distribusi sampling dari estimator 𝜃 dengan parameter 𝜃.
Seringkali statistik menegaskan bahwa estimator tak bias karena rata-rata
kemungkinan keseluruhan contoh acak, sebuah estimator tak bias memberikan
nilai sebenarnya. Nilai bias dari estimator 𝜃 adalah selisih dari nilai ekspektasi
nya dan nilai parameter yang sebenarnya.
𝑏𝑖𝑎𝑠 𝜃 = 𝐸 𝜃 − 𝜃
Estimator tak bias memiliki bias sama dengan nol (Bolstad, 2007).
2) Mean Square Error (MSE)
Teorema 2.2 (Berger, 1990)
Jika W merupakan sebuah estimator untuk 𝜃, maka Mean Square Error (MSE)
dari estimator W merupakan fungsi 𝐸(𝑊 − 𝜃)2, MSE mengukur rataan kuadrat
dari selisih estimator W dengan parameter 𝜃 yang didefinisikan sebagai:
𝐸 𝑊 − 𝜃 2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑊 + 𝐸 𝑊 − 𝜃 2
= 𝑉𝑎𝑟 𝑊 + 𝑏𝑖𝑎𝑠 𝑊 2 (2.65)
Bukti persamaan (2.65)
𝑀𝑆𝐸 𝑊 = 𝐸 𝑊 − 𝜃 2
= 𝐸 𝑊 − 𝐸 𝑊 + 𝐸 𝑊 − 𝜃 2
= 𝐸 𝑊 − 𝐸 𝑊 2
+ 𝐸 𝐸 𝑊 − 𝜃 2 + 2𝐸 𝑊 − 𝐸 𝑊 𝐸 𝑊 − 𝜃
= 𝐸 𝑊 − 𝐸 𝑊 2
+ 𝐸 𝑊 − 𝜃 2
+ 0
= 𝑉𝑎𝑟 𝑊 + 𝑏𝑖𝑎𝑠 𝑊 2
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
36
Sehingga berdasarkan persamaan (2.65), 𝑀𝑆𝐸 𝑊 untuk estimator tak bias akan
sama dengan nilai variansinya dari estimator W, karena nilai 𝑏𝑖𝑎𝑠 𝑊 2 pada
estimator tak bias akan sama dengan nilai nol. Secara umum MSE mempunyai
dua komponen, yaitu variansi yang mengukur variabilitas estimator dan bias yang
mengukur keakuratan dari estimator.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB 3
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Desain Penelitian
Penelitian ini bersifat literatur dan melakukan studi kepustakaan untuk mengkaji
dan menelaah berbagai buku, jurnal, karya ilmiah, laporan dan berbagai tulisan
lainnya yang berkaitan dengan pokok permasalahan yang dibahas dalam
penelitian ini.
3.2 Metode Penyelesaian
Untuk menaksir parameter pada distribusi Rayleigh digunakan metode Maximum
Likelihood dan metode Bayes. Dimana metode yang digunakan diharapkan dapat
menghasilkan parameter yang memiliki sifat tak bias, efisien dan konsisten yang
kemudian akan dibandingkan antara kedua metode untuk melihat metode yang
terbaik dalam menaksir parameter pada distribusi Rayleigh. Setelah perhitungan
selesai, maka akan dibuat hasil dan kesimpulan dari penelitian tersebut. Adapun
alur penyelesaiannya sebagai berikut:
1. Studi literatur
Pada tahap ini dilakukan studi literatur tentang penaksiran parameter pada
distribusi Rayleigh dengan Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes
dengan teori pendukung seperti penaksiran parameter, distribusi Rayleigh,
Metode Maximum Likelihood, Metode Bayes, dan teori-teori pendukung
lainnya.
2. Melakukan penaksiran parameter pada Distribusi Rayleigh
Pada tahap ini dilakukan penaksiran parameter pada Distribusi Rayleigh
menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes sehingga
diperoleh estimator dari setiap parameter menggunakan studi literatur yang
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
38
berkaitan. Adapun langkah-langkah dalam melakukan penaksiran parameter
pada distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut:
2.1 Melakukan estimasi Maksimum Likelihood
a. Menentukan fungsi likelihood berdasarkan distribusi Rayleigh.
b. Menentukan logaritma natural (ln) pada fungsi likelihood berdasarkan
distribusi Rayleigh.
c. Melakukan differensial fungsi likelihood berdasarkan distribusi
Rayleigh sebagai konsekuensi memaksimumkan parameter distribusi
Rayleigh terhadap parameter, dan kemudian menyamakan persamaan
dengan nol.
2.2 Melakukan estimasi Bayes
a. Menentukan distribusi prior dengan aturan Jeffrey’s yang menyatakan
bahwa distribusi prior merupakan akar dari informasi Fisher.
b. Menentukan distribusi posterior.
c. Menentukan distribusi posterior marginal untuk parameter.
d. Melakukan estimasi Bayes berdasarkan fungsi densitas posterior yang
diperoleh dengan fungsi kerugian precautionary loss function, entropy
loss function, dan loss function-L1.
3. Membandingkan Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes
Pada tahap ini dilakukan perbandingan metode Maximum Likelihood dan
metode Bayes berdasarkan simulasi data yang diperoleh dengan program R.
Adapun langkah-langkah untuk melakukan perbandingan adalah sebagai
berikut:
a. Membangkitkan data berdistribusi Rayleigh dengan program R untuk
metode Maximum Likelihood maupun metode Bayes.
b. Menentukan ukuran sampel dan banyaknya perulangan yang akan
dilakukan.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
39
c. Menghitung nilai bias dan nilai Mean Square Error (MSE) dari kedua
metode untuk membandingkan hasil penaksiran parameter antara
metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes.
d. Membuat tabel perbandingan nilai bias dan nilai Mean Square Error
(MSE) dari kedua metode tersebut dari data berdistribusi Rayleigh
yang dibangkitkan dengan program R.
4. Analisis dan Kesimpulan
Pada tahap ini dilakukan analisis dari hasil perbandingan antara Metode
Maximum Likelihood dan Metode Bayes yang selanjutnya akan diambil
suatu kesimpulan terhadap metode yang terbaik dalam menaksir parameter.
Gambar 3.1 Diagram Alir
Studi
Literatur
Membandingkan Metode
Maximum Likelihood
Estimation dan Metode
Bayes berdasarkan simulasi
data
Kesimpulan
Penaksiran parameter
pada Distribusi
Rayleigh
Penaksiran titik dengan
Metode Maximum Likelihood
dan Metode Bayes
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Penaksiran Parameter pada Distribusi Rayleigh
Pada penelitian ini, peneliti akan melakukan penaksiran terhadap parameter pada
distribusi Rayleigh satu parameter dengan metode klasik dan metode Bayes.
Beberapa metode klasik yang biasanya digunakan untuk menaksir parameter
diantaranya adalah metode kuadrat terkecil (least square method), metode
momen, dan metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood method).
Metode klasik yang digunakan pada pada penelitian ini adalah metode
maximum likelihood. Memaksimumkan fungsi likelihood biasanya dilakukan
dengan metode derivatif (turunan). Pendugaan maximum likelihood mempunyai
sifat-sifat penting yaitu: tak bias secara asimtotik (ada kemungkinan akan berbias
pada sampel kecil) tapi sangat baik pada sampel berukuran besar, konsisten,
efisien secara asimtotis, invarian pada skala pengukuran (satuan pengukuran tidak
mempengaruhi nilai dugaan parameter model). Metode bayes memandang
parameter sebagai variabel yang menggambarkan pengetahuan awal tentang
parameter sebelum pengamatan dilakukan dan dinyatakan dalam suatu distribusi
yang disebut sebagai distribusi prior (Bolstad, 2007).
Berikut akan dilakukan penaksiran parameter pada distribusi Rayleigh satu
parameter dengan metode maximum likelihood dan metode Bayes yang kemudian
hasil estimator dari kedua metode tersebut akan dilakukan simulasi dengan
menggunakan program R untuk melihat metode yang terbaik dalam menaksir
parameter distribusi Rayleigh satu parameter.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
41
4.1.1 Menentukan Estimator Parameter dengan Metode Maksimum
Likelihood
Distribusi Rayleigh merupakan salah satu keluarga distribusi peluang kontinu
yang biasa digunakan dalam pemodelan data kelangsungan hidup. Distribusi
Rayleigh diperkenalkan oleh Lord Rayleigh pada tahun 1880. Distribusi Rayleigh
dikenal secara luas di bidang oseanografi dan dalam teori komunikasi untuk
menggambarkan puncak sesaat kekuatan sinyal radio yang diterima. Distribusi
Rayleigh memiliki beberapa parameter, diantaranya satu parameter. Dalam hal ini
peneliti akan melakukan penaksiran parameter terhadap distribusi Rayleigh
dengan satu parameter, adapun fungsi densitas probabilitas distribusi Rayleigh
satu parameter sebagai berikut:
𝑓 𝑥|𝜎 =𝑥
𝜎2𝑒𝑥𝑝
−𝑥2
2𝜎2 ; 𝑥,𝜎 > 0 4.1
fungsi likelihood dari fungsi densitas probabilitas pada persamaan (4.1) adalah
misalkan nxxx ,,, 21 adalah variabel acak independen ukuran n, sehingga
diperoleh:
𝐿 𝑥, 𝜎 = 𝑓 𝑥1;𝜎 𝑓 𝑥2;𝜎 ⋯𝑓 𝑥𝑛 ;𝜎
𝐿 𝑥, 𝜎 =𝑥1
𝜎2𝑒𝑥𝑝
−𝑥2
2𝜎2 𝑥2
𝜎2𝑒𝑥𝑝
−𝑥2
2𝜎2 ⋯
𝑥𝑛
𝜎2𝑒𝑥𝑝
−𝑥2
2𝜎2
𝐿 𝑥, 𝜎 = 𝑥𝑖 1
𝜎2 𝑛𝑛
𝑖=1
𝑒𝑥𝑝 −1
2
𝑥𝑖
𝜎
2𝑛
𝑖=1
4.2
kemudian untuk memaksimumkan fungsi likelihood, maka logaritma naturalkan
fungsi likelihood sehingga diperoleh:
𝑙𝑛 𝐿 𝑥;𝜎 = 𝑙𝑛 𝑥𝑖 1
𝜎2 𝑛𝑛
𝑖=1
𝑒𝑥𝑝 −1
2
𝑥𝑖
𝜎
2𝑛
𝑖=1
𝑙𝑛 𝐿 𝑥;𝜎 = 𝑙𝑛 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 𝑙𝑛 1
𝜎2 𝑛
+ 𝑙𝑛 𝑒𝑥𝑝 −1
2
𝑥𝑖
𝜎
2𝑛
𝑖=1
𝑙𝑛 𝐿 𝑥;𝜎 = 𝑙𝑛 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 𝑛 𝑙𝑛 𝜎−2 + 𝑙𝑛 𝑒𝑥𝑝 −1
2
𝑥𝑖
𝜎
2𝑛
𝑖=1
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
42
𝑙𝑛 𝐿 𝑥;𝜎 = 𝑙𝑛 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
− 2𝑛 𝑙𝑛 𝜎 + 𝑙𝑛 𝑒𝑥𝑝 −1
2
𝑥𝑖
𝜎
2𝑛
𝑖=1
𝑙𝑛 𝐿 𝑥;𝜎 = 𝑙𝑛 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
− 2𝑛 𝑙𝑛 𝜎 −1
2
𝑥𝑖
𝜎
2𝑛
𝑖=1
(4.3)
kemudian, differensial parsialkan fungsi ;ln xL pada persamaan (4.3)
sehingga diperoleh:
𝜕
𝜕𝜎 𝑙𝑛 𝐿 𝑥; 𝜎 = 0
𝜕
𝜕𝜎 𝑙𝑛 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
− 2𝑛 𝑙𝑛 𝜎 −1
2
𝑥𝑖
𝜎
2𝑛
𝑖=1
= 0
𝜕
𝜕𝜎 𝑙𝑛 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
−𝜕
𝜕𝜎 2𝑛 𝑙𝑛 𝜎 −
𝜕
𝜕𝜎 1
2
𝑥𝑖
𝜎
2𝑛
𝑖=1
= 0
−2𝑛
𝜎+
1
2
2𝑥𝑖2
𝜎3
𝑛
𝑖=1
= 0
−2𝑛
𝜎 = −
𝑥𝑖2
𝜎3
𝑛
𝑖=1
2𝑛 = 𝑥𝑖
2
𝜎2
𝑛
𝑖=1
2𝑛𝜎2 = 𝑥𝑖2
𝑛
𝑖=1
𝜎2 = 1
2𝑛 𝑥𝑖
2
𝑛
𝑖=1
∴ 𝜎 = 1
2𝑛 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1
1
2 atau 𝜎 =
1
2𝑛 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 (4.4)
diperoleh estimator distribusi Rayleigh satu parameter dengan metode maximum
likelihood pada persamaan (4.4), yaitu 𝜎 𝑀𝐿𝐸 = 1
2𝑛 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1
1
2 atau 𝜎 𝑀𝐿𝐸 =
1
2𝑛 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
43
4.1.2 Menentukan Estimator Parameter dengan Metode Bayes
Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa langkah-langkah yang akan peneliti
lakukan dalam menentukan estimator parameter dari distribusi Rayleigh dengan
metode Bayes. Adapun langkah-langkahnya sebagai berikut:
4.1.2.1 Menentukan Distribusi Prior Non- Informatif Distribusi Rayleigh
Metode Bayes merupakan suatu metode yang memperhitungkan peranan
informasi dari sebaran sebelumnya (prior). Hal inilah yang membedakan metode
Bayes dengan metode pendugaan yang lain. Sehingga dapat dikatakan bahwa
metode Bayes menggunakan informasi yang lebih lengkap untuk menduga suatu
obyek.
Asumsi dapat dilakukan seperti pada saat menentukan distribusi prior ini.
Asumsi-asumsi yang diberikan dapat didasarkan pada bentuk distribusi hasil
identifikasi pola datanya atau dengan penentuan masing-masing parameter untuk
pola distribusi prior tersebut. Ketika suatu sejarah data dan data sampel yang ada
tidak menunjukkan informasi untuk distribusi prior, maka dapat memilih asumsi
berdasarkan penentuan masing-masing parameter untuk pola distribusi prior
tersebut. Asumsi seperti ini biasanya disebut dengan asumsi distribusi prior non-
informatif.
Non-informatif berhubungan dengan situasi dimana distribusi prior tidak
memiliki basis populasi. Hanya terdapat sedikit informasi prior sehingga distribusi
prior berperan minimal dalam distribusi posterior. Salah satu bentuk pendekatan
dari prior non-informatif adalah dengan menggunakan metode Jeffrey’s.
Distribusi prior untuk distribusi Rayleigh satu parameter adalah sekitar
non-informatif jika diambil proporsional akar kuadrat dari informasi Fisher (Box
dan Tiao, 1973). Diperoleh differensial pertama dari fungsi ;ln xL pada
persamaan (4.3), sebagai berikut:
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
44
𝜕
𝜕𝜎 𝑙𝑛 𝐿 𝑥; 𝜎 = −
2𝑛
𝜎+
1
2
2𝑥𝑖2
𝜎3
𝑛
𝑖=1
(4.5)
untuk mendapatkan informasi Fisher, differensial parsial kan persamaan (4.5)
untuk yang kedua kalinya, sehingga diperoleh:
𝜕2
𝜕𝜎2 𝑙𝑛 𝐿 𝑥; 𝜎 =
2𝑛
𝜎2− 3
𝑥𝑖2
𝜎4
𝑛
𝑖=1
𝐼 𝜎2 = −𝐸 𝜕2
𝜕𝜎2 𝑙𝑛 𝐿 𝑥; 𝜎
𝐼 𝜎2 =2𝑛
𝜎2
𝑓 𝜎 = 𝐼 𝜎2 ∝1
𝜎 (4.6)
diperoleh persamaan (4.6) yang merupakan nilai non-informatif prior pada
distribusi Rayleigh satu parameter.
4.1.2.2 Menentukan Distribusi Posterior Distribusi Rayleigh
Setelah mencari fungsi likelihood dan menentukan distribusi prior dari distribusi
Rayleigh, kemudian akan dicari distribusi posterior dari distribusi Rayleigh.
Kepadatan posterior bersama dari adalah:
𝑓 𝜎|𝑥 ∝ 𝑓 𝜎 ∗ 𝐿 𝑥; 𝜎 (4.7)
dimana 𝑓 𝜎 merupakan nilai non-informatif prior pada distribusi Rayleigh satu
parameter dan 𝐿 𝑥;𝜎 merupakan fungsi likelihood distribusi Rayleigh satu
parameter, sehingga diperoleh:
𝑓 𝜎|𝑥 ∝1
𝜎
1
𝜎2 𝑛
𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑒𝑥𝑝 −1
2
𝑥𝑖
𝜎
2𝑛
𝑖=1
𝑓 𝜎|𝑥 ∝1
𝜎2𝑛+1 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑒𝑥𝑝 −1
2
𝑥𝑖
𝜎
2𝑛
𝑖=1
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
45
∴ 𝑓 𝜎|𝑥 ∝𝑐
𝜎2𝑛+1 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑒𝑥𝑝 −1
2
𝑥𝑖
𝜎
2𝑛
𝑖=1
(4.8)
dimana c adalah konstanta normal. (Box & Tiao, 1973) pada bukunya
menjelaskan jika 𝑃 𝜎 menjadi prior dan 𝐿 𝑥; 𝜎 menjadi fungsi likelihood,
fungsi padat peluang (pdf) posterior 𝑃 𝜎|𝑥 diberikan:
𝑃 𝜎|𝑥 = 𝑐 ∗ 𝑃 𝜎 ∗ 𝑃 𝑥; 𝜎 (4.9)
dimana c adalah konstanta normal. Sehingga diperoleh distribusi posterior dari
distribusi rayleigh satu parameter pada persamaan (4.8)
4.1.2.3 Menentukan Fungsi Densitas Marginal Distribusi Rayleigh
Dari persamaan (4.8), kita peroleh fungsi densitas marginal:
𝑃 𝜎|𝑥 = 𝑓 𝜎|𝑥 𝑑𝜎
∞
0
𝑃 𝜎|𝑥 = 𝑐
𝜎2𝑛+1 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑒𝑥𝑝 −1
2
𝑥𝑖
𝜎
2𝑛
𝑖=1
𝑑𝜎
∞
0
𝑃 𝜎|𝑥 = 𝑐 1
𝜎
1
𝜎2 𝑛
𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑒𝑥𝑝 −1
2
𝑥𝑖
𝜎
2𝑛
𝑖=1
𝑑𝜎
∞
0
𝑃 𝜎|𝑥 = 𝑐 1
𝜎
1
𝜎2 𝑛
𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑒𝑥𝑝 −1
2
𝑥𝑖2
𝜎2
𝑛
𝑖=1
𝑑𝜎
∞
0
dengan menggunakan transformasi, diperoleh:
𝑢 =1
2
𝑥𝑖2
𝜎2
𝑛
𝑖=1
→1
𝜎2=
2𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
→1
𝑑𝜎2=
2𝑑𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
→ 𝑑𝜎 = 2
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
−12
𝑑𝑢
kemudian kita substitusi ke persamaan berikut:
𝑃 𝜎|𝑥 = 𝑐 2𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
12
2𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑒𝑥𝑝 −𝑢 2
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
−12
𝑑𝑢
∞
0
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
46
𝑃 𝜎|𝑥 = 𝑐 2𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
𝑛+12
𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑒𝑥𝑝 −𝑢 2
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
−12
𝑑𝑢
∞
0
𝑃 𝜎|𝑥 = 𝑐 2𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
𝑛+12
𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑒𝑥𝑝 −𝑢 2−
12
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 −12
𝑑𝑢
∞
0
𝑃 𝜎|𝑥 = 2𝑛+12−
12𝑐
𝑢𝑛+12 𝑒𝑥𝑝 −𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 𝑛+12−
12
𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑑𝑢
∞
0
𝑃 𝜎|𝑥 = 2𝑛𝑐 𝑢𝑛+
12 𝑒𝑥𝑝 −𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑑𝑢
∞
0
𝑃 𝜎|𝑥 = 2𝑛𝑐 𝑢𝑛+12 𝑒𝑥𝑝 −𝑢
𝑥𝑖𝑛𝑖=1
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 𝑛𝑑𝑢
∞
0
karena ∫ 𝑢𝑛+1
2 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 ∞
0 𝑑𝑢 = Γ 𝑛 +
3
2 , diperoleh:
∴ 𝑃 𝜎|𝑥 =2𝑛𝑐 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1 Γ 𝑛 +
32
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 𝑛 (4.10)
oleh karena itu, dapat diperoleh fungsi densitas posterior sebagai berikut:
𝜋 ∗ 𝜎|𝑥𝑖 =𝑓 𝜎|𝑥
𝑃 𝜎|𝑥
𝜋 ∗ 𝜎|𝑥𝑖 =
𝑐𝜎2𝑛+1 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1 𝑒𝑥𝑝 −
12
𝑥𝑖
𝜎 2
𝑛𝑖=1
2𝑛𝑐 𝑥𝑖 𝑛𝑖=1 Γ 𝑛 +
32
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 𝑛
∴ 𝜋 ∗ 𝜎|𝑥𝑖 = 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝 −
12
𝑥𝑖
𝜎 2
𝑛𝑖=1
𝜎2𝑛+1 2𝑛 Γ 𝑛 +32
(4.11)
4.1.2.4 Menentukan Estimator Bayes
Dari persamaan (4.11) akan dicari estimator bayes pada distribusi Rayleigh satu
parameter. Estimator Bayes merupakan estimator yang meminimalkan fungsi
resiko, dengan merupakan harga harapan dari fungsi kerugian.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
47
Ada beberapa fungsi kerugian yang dapat diaplikasikan pada metode
Bayes diantaranya squarred error loss function, precautionary loss function,
entropy loss function, loss function-L1 dan loss function-L2 sesuai dengan artikel
Singh dan Srivastava.
Dalam hal ini, peneliti menggunakan 3 fungsi kerugian untuk estimasi
distribusi Rayleigh pada pendekatan bayesian, yaitu precautionary loss function,
entropy loss function, dan loss function-L1.
(a) Precautionary Loss Function
Estimator bayes dengan precautionary loss function adalah sebagai berikut:
𝜃 𝑝 = 𝐸 𝜃2 12 4.12
Sehingga diperoleh:
𝐸 𝜎2 12 = 𝜎2
∞
0
𝜋 ∗ 𝜎|𝑥𝑖 𝑑𝜎
12
𝐸 𝜎2 12 = 𝜎2
∞
0
𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝 −
12
𝑥𝑖
𝜎 2
𝑛𝑖=1
𝜎2𝑛+1 2𝑛 Γ 𝑛 +32
𝑑𝜎
12
dengan menggunakan transformasi, dapat diperoleh:
𝑢 =1
2
𝑥𝑖2
𝜎2
𝑛
𝑖=1
→ 𝜎−2 =2𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
→ 𝑑𝜎−2 =2𝑑𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
→ 𝑑𝜎 = 2
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
−12
𝑑𝑢
kemudian kita substitusi ke persamaan berikut:
𝐸 𝜎2 12 = 𝜎2𝜎−2𝑛𝜎−1
∞
0
𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝 −
12
𝑥𝑖
𝜎 2
𝑛𝑖=1
2𝑛 Γ 𝑛 +32
𝑑𝜎
12
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
48
𝐸 𝜎2 12 =
2𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 −
12
2𝑢 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 2
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 −
12
2𝑛 Γ 𝑛 +32
𝑑𝑢
∞
0
12
𝐸 𝜎2 12 =
2𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 𝑛−
12 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝 −𝑢
2 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1
−
12
2𝑛 Γ 𝑛 +32
𝑑𝑢
∞
0
12
𝐸 𝜎2 12 = 2𝑛−
12 2−
12 2−𝑛
𝑢 𝑛−12 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1
Γ 𝑛 +32
𝑑𝑢
∞
0
12
𝐸 𝜎2 12 = 2−1
𝑢 𝑛−12 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1
Γ 𝑛 +32
𝑑𝑢
∞
0
12
karena ∫ 𝑢 𝑛−1
2 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 ∞
0𝑑𝑢 = Γ 𝑛 +
1
2 , diperoleh:
𝐸 𝜎2 12 =
Γ 𝑛 +12
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
2Γ 𝑛 +32
12
∴ 𝐸 𝜎2 12 =
Γ 𝑛 +12
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
2 Γ 𝑛 +32
(4.13)
Jadi, diperoleh estimator bayes 𝜎 𝐵𝑆𝑝 = Γ 𝑛+
1
2 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1
2 Γ 𝑛+3
2
(b) Entropy Loss Function
Estimator bayes dengan entropy loss function adalah sebagai berikut:
𝜃 𝑒 = 𝐸 1
𝜃
−1
4.14
Sehingga diperoleh:
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
49
𝐸 1
𝜎
−1
= 1
𝜎
∞
0
𝜋 ∗ 𝜎|𝑥𝑖 𝑑𝜎
−1
𝐸 1
𝜎
−1
= 1
𝜎
∞
0
𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝 −
12
𝑥𝑖
𝜎 2
𝑛𝑖=1
𝜎2𝑛+1 2𝑛 Γ 𝑛 +32
𝑑𝜎
−1
dengan menggunakan transformasi, dapat diperoleh:
𝑢 =1
2
𝑥𝑖2
𝜎2
𝑛
𝑖=1
→ 𝜎−2 =2𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
→ 𝑑𝜎−2 =2𝑑𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
→ 𝑑𝜎 = 2
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
−12
𝑑𝑢
kemudian kita substitusi ke persamaan berikut:
𝐸 1
𝜎
−1
= 𝜎−1𝜎−2𝑛𝜎−1
∞
0
𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝 −
12
𝑥𝑖
𝜎 2
𝑛𝑖=1
2𝑛 Γ 𝑛 +32
𝑑𝜎
−1
𝐸 1
𝜎
−1
=
2𝑢 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1
2𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 𝑛
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 2
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 −
12
2𝑛 Γ 𝑛 +32
𝑑𝑢
∞
0
−1
𝐸 1
𝜎
−1
=
2𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 𝑛+1
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 2
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 −
12
2𝑛 Γ 𝑛 +32
𝑑𝑢
∞
0
−1
𝐸 1
𝜎
−1
= 2𝑛+1 2−12 2−𝑛
𝑢 𝑛+1 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 −12
Γ 𝑛 +32
𝑑𝑢
∞
0
−1
𝐸 1
𝜎
−1
= 2 𝑢 𝑛+1 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 −
12
Γ 𝑛 +32
𝑑𝑢
∞
0
−1
karena ∫ 𝑢 𝑛+1 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 ∞
0𝑑𝑢 = Γ 𝑛 + 2 , diperoleh:
𝐸 1
𝜎
−1
= 2 Γ 𝑛 + 2
Γ 𝑛 +32 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
50
∴ 𝐸 1
𝜎
−1
=Γ 𝑛 +
32 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1
2 Γ 𝑛 + 2 (4.15)
Jadi, diperoleh estimator bayes 𝜎 𝐵𝑆𝑒 = Γ 𝑛+
3
2 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1
2 Γ 𝑛+2
(c) Loss Function-L1
Mempertimbangkan fungsi kerugian diberikan:
𝐿 𝜎 ,𝜎 = 𝜎
𝜎− 1
2
(4.16)
Estimator Bayes dibawah fungsi kerugian-L, sebagai berikut:
𝜎 =𝐸
1𝜎
𝐸 1𝜎2
(4.17)
untuk ekspektasi yang berlaku sebagai pembilang, akan dihitung sebagai berikut:
𝐸 1
𝜎 =
1
𝜎
∞
0
𝜋 ∗ 𝜎|𝑥𝑖 𝑑𝜎
𝐸 1
𝜎 =
1
𝜎
∞
0
𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝 −
12
𝑥𝑖
𝜎 2
𝑛𝑖=1
𝜎2𝑛+1 2𝑛 Γ 𝑛 +32
𝑑𝜎
dengan menggunakan transformasi, dapat diperoleh:
𝑢 =1
2
𝑥𝑖2
𝜎2
𝑛
𝑖=1
→ 𝜎−2 =2𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
→ 𝑑𝜎−2 =2𝑑𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
→ 𝑑𝜎 = 2
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
−12
𝑑𝑢
kemudian kita substitusi ke persamaan berikut:
𝐸 1
𝜎 = 𝜎−1𝜎−2𝑛𝜎−1
∞
0
𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝 −
12
𝑥𝑖
𝜎 2
𝑛𝑖=1
2𝑛 Γ 𝑛 +32
𝑑𝜎
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
51
𝐸 1
𝜎 =
2𝑢 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1
2𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 𝑛
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 2
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 −
12
2𝑛 Γ 𝑛 +32
𝑑𝑢
∞
0
𝐸 1
𝜎 =
2𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 𝑛+1
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 2
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 −
12
2𝑛 Γ 𝑛 +32
𝑑𝑢
∞
0
𝐸 1
𝜎 = 2𝑛+1 2−
12 2−𝑛
𝑢 𝑛+1 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 −12
Γ 𝑛 +32
𝑑𝑢
∞
0
𝐸 1
𝜎 = 2
𝑢 𝑛+1 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 −12
Γ 𝑛 +32
𝑑𝑢
∞
0
karena ∫ 𝑢 𝑛+1 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 ∞
0𝑑𝑢 = Γ 𝑛 + 2 , diperoleh:
∴ 𝐸 1
𝜎 =
2 Γ 𝑛 + 2 𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 −12
Γ 𝑛 +32
(4.18)
untuk ekspektasi yang berlaku sebagai penyebut, akan dihitung sebagai berikut:
𝐸 1
𝜎2 =
1
𝜎2
∞
0
𝜋 ∗ 𝜎|𝑥𝑖 𝑑𝜎
𝐸 1
𝜎2 =
1
𝜎2
∞
0
1𝜎
1𝜎2𝑛 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝 −
12
𝑥𝑖
𝜎 2
𝑛𝑖=1
2𝑛 Γ 𝑛 +32
𝑑𝜎
dengan menggunakan transformasi, dapat diperoleh:
𝑢 =1
2
𝑥𝑖2
𝜎2
𝑛
𝑖=1
→ 𝜎−2 =2𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
→ 𝑑𝜎−2 =2𝑑𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
→ 𝑑𝜎 = 2
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
−12
𝑑𝑢
kemudian kita substitusi ke persamaan berikut:
𝐸 1
𝜎2 = 𝜎−2𝜎−2𝑛𝜎−1
∞
0
𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝 −
12
𝑥𝑖
𝜎 2
𝑛𝑖=1
2𝑛 Γ 𝑛 +32
𝑑𝜎
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
52
𝐸 1
𝜎2 = ∫
2𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
2𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
𝑛
2𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
12 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1
𝑛
𝑒𝑥𝑝 −𝑢 2
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
−12
2𝑛 Γ 𝑛+3
2
𝑑𝑢∞
0
𝐸 1
𝜎2 =
2𝑢
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 𝑛+
32 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝 −𝑢
2 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1
−
12
2𝑛 Γ 𝑛 +32
𝑑𝑢
∞
0
𝐸 1
𝜎2 = 2𝑛+
32 2−
12 2−𝑛
𝑢 𝑛+32 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 −1
Γ 𝑛 +32
𝑑𝑢
∞
0
𝐸 1
𝜎2 = 2
𝑢 𝑛+32 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 −1
Γ 𝑛 +32
𝑑𝑢
∞
0
karena ∫ 𝑢 𝑛+3
2 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 ∞
0𝑑𝑢 = Γ 𝑛 +
5
2 , diperoleh:
∴ 𝐸 1
𝜎2 =
2 Γ 𝑛 +52
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 −1
Γ 𝑛 +32
(4.19)
sehingga dengan menggunakan persamaan (4.14) dan (4.15), diperoleh estimator Bayes:
𝜎 =𝐸
1𝜎
𝐸 1𝜎2
𝜎 =
2 Γ 𝑛 + 2 𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 −
12
Γ 𝑛 +32
2 Γ 𝑛 +52 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1
−1
Γ 𝑛 +32
𝜎 = 2 Γ 𝑛 + 2 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1
−12
2 Γ 𝑛 +52 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1
−1
∴ 𝜎 = 2 Γ 𝑛 + 2
2 Γ 𝑛 +52
𝑥𝑖2
𝑛
𝑖=1
(4.20)
Jadi, diperoleh estimator bayes 𝜎 𝐵𝑆1 = 2 Γ 𝑛+2
2 Γ 𝑛+5
2
𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
53
4.2 Simulasi Data menggunakan Program R
Penaksir yang diperoleh menggunakan metode Maximum Likelihood dan metode
Bayes akan dibandingkan menggunakan simulasi. Simulasi data dilakukan dengan
membangkitkan berbagai jenis kondisi data yang melibatkan tiga macam ukuran
sampel yaitu n = 10, n = 25, n = 50, dan n = 100. Data yang diperoleh tersebut
dianalisis untuk menduga parameter menggunakan metode Maximum Likelihood
dan metode Bayes. Selanjutnya dihitung nilai bias dan MSE (Mean Square Error)
dari kedua metode tersebut. Simulasi pada penelitian ini dilakukan dengan
program R.
Tabel 4.1 Nilai Bias Estimasi Distribusi Rayleigh
N 𝝈 Nilai Estimator Nilai Bias
𝝈 𝑴𝑳𝑬 𝝈 𝑩𝑺𝒑 𝝈 𝑩𝑺𝒆 𝝈 𝑩𝑺𝟏 𝝈 𝑴𝑳𝑬 𝝈 𝑩𝑺𝒑 𝝈 𝑩𝑺𝒆 𝝈 𝑩𝑺𝟏
10
0,5 0.7496453 0.7315789 0.7066852 0.691493 -0.2846832 -0.2898723 -0.2970224 -0.3013859
1 0.7496453 0.7315789 0.7066852 0.691493 -0.7846832 -0.7898723 -0.7970224 -0.8013859
1,5 0.7496453 0.7315789 0.7066852 0.691493 -1.284683 -1.289872 -1.297022 -1.301386
2 0.7496453 0.7315789 0.7066852 0.691493 -1.784683 -1.789872 -1.797022 -1.801386
2,5 0.7496453 0.7315789 0.7066852 0.691493 -2.284683 -2.289872 -2.297022 -2.301386
25
0,5 0.6645003 0.6579534 0.6484712 0.6423827 -0.3881442 -0.3892462 -0.3908424 -0.3918672
1 0.6645003 0.6579534 0.6484712 0.6423827 -0.8881442 -0.8892462 -0.8908424 -0.8918672
1,5 0.6645003 0.6579534 0.6484712 0.6423827 -1.388144 -1.389246 -1.390842 -1.391867
2 0.6645003 0.6579534 0.6484712 0.6423827 -1.888144 -1.889246 -1.890842 -1.891867
2,5 0.6645003 0.6579534 0.6484712 0.6423827 -2.388144 -2.389246 -2.390842 -2.391867
50
0,5 0.7435811 0.7398909 0.7344527 0.7308961 -0.4095031 -0.4099522 -0.4106141 -0.4110469
1 0.7435811 0.7398909 0.7344527 0.7308961 -0.9095031 -0.9099522 -0.9106141 -0.9110469
1,5 0.7435811 0.7398909 0.7344527 0.7308961 -1.409503 -1.409952 -1.410614 -1.411047
2 0.7435811 0.7398909 0.7344527 0.7308961 -1.909503 -1.909952 -1.910614 -1.911047
2,5 0.7435811 0.7398909 0.7344527 0.7308961 -2.409503 -2.409952 -2.410614 -2.411047
100
0,5 0.7096232 0.7078558 0.7052282 0.7034933 -0.4382613 -0.438415 -0.4386436 -0.4387946
1 0.7096232 0.7078558 0.7052282 0.7034933 -0.9382613 -0.938415 -0.9386436 -0.9387946
1,5 0.7096232 0.7078558 0.7052282 0.7034933 -1.438261 -1.438415 -1.438644 -1.438795
2 0.7096232 0.7078558 0.7052282 0.7034933 -1.938261 -1.938415 -1.938644 -1.938795
2,5 0.7096232 0.7078558 0.7052282 0.7034933 -2.438261 -2.438415 -2.438644 -2.438795
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
54
Tabel 4.2 Nilai MSE Estimasi Distribusi Rayleigh
N 𝝈 Nilai Estimator Nilai MSE
𝝈 𝑴𝑳𝑬 𝝈 𝑩𝑺𝒑 𝝈 𝑩𝑺𝒆 𝝈 𝑩𝑺𝟏 𝝈 𝑴𝑳𝑬 𝝈 𝑩𝑺𝒑 𝝈 𝑩𝑺𝒆 𝝈 𝑩𝑺𝟏
10
0,5 0.7496453 0.7315789 0.7066852 0.691493 0.1299173 0.1317209 0.1342944 0.1359151
1 0.7496453 0.7315789 0.7066852 0.691493 0.6646005 0.6715932 0.6813168 0.687301
1,5 0.7496453 0.7315789 0.7066852 0.691493 1.699283 1.711465 1.728338 1.738687
2 0.7496453 0.7315789 0.7066852 0.691493 3.233966 3.251337 3.27536 3.290073
2,5 0.7496453 0.7315789 0.7066852 0.691493 5.268649 5.291209 5.322382 5.341459
25
0,5 0.6645003 0.6579534 0.6484712 0.6423827 0.1885944 0.1890773 0.1897811 0.1902356
1 0.6645003 0.6579534 0.6484712 0.6423827 0.8267386 0.8283235 0.8306235 0.8321028
1,5 0.6645003 0.6579534 0.6484712 0.6423827 1.964882 1.967569 1.971465 1.973969
2 0.6645003 0.6579534 0.6484712 0.6423827 3.603026 3.606815 3.612307 3.615836
2,5 0.6645003 0.6579534 0.6484712 0.6423827 5.74117 5.746061 5.753149 5.757703
50
0,5 0.7435811 0.7398909 0.7344527 0.7308961 0.196964 0.1971867 0.1975158 0.1977314
1 0.7435811 0.7398909 0.7344527 0.7308961 0.8564671 0.8571389 0.8581299 0.8587783
1,5 0.7435811 0.7398909 0.7344527 0.7308961 2.01597 2.017091 2.018744 2.019825
2 0.7435811 0.7398909 0.7344527 0.7308961 3.675473 3.677043 3.679358 3.680872
2,5 0.7435811 0.7398909 0.7344527 0.7308961 5.834976 5.836995 5.839972 5.841919
100
0,5 0.7096232 0.7078558 0.7052282 0.7034933 0.2095575 0.2096487 0.2097844 0.2098742
1 0.7096232 0.7078558 0.7052282 0.7034933 0.8978188 0.8980637 0.898428 0.8986688
1,5 0.7096232 0.7078558 0.7052282 0.7034933 2.086079 2.086479 2.087073 2.087465
2 0.7096232 0.7078558 0.7052282 0.7034933 3.77434 3.774894 3.775717 3.77626
2,5 0.7096232 0.7078558 0.7052282 0.7034933 5.962601 5.963309 5.964361 5.965055
Dari tabel 4.1 dapat dilihat bahwa untuk nilai bias dari kedua metode
menunjukkan nilai bias semakin kecil dengan ukuran sampel semakin besar. Hal
ini sesuai dengan teori yang mengatakan bahwa pendugaan Maximum Likelihood
sangat baik pada sampel ukuran besar. Nilai bias pada metode Bayes dengan
fungsi kerugian loss function-L1 menunjukkan angka yang semakin kecil
dibandingkan dengan metode Maximum Likelihood dan metode Bayes dengan
fungsi kerugian precautionary loss function, entropy loss function, dan loss
function-L1.
Sedangkan untuk nilai MSE, dari tabel 4.2 menunjukkan nilai error yang
semakin besar dengan kondisi ukuran sampel semakin besar. Nilai MSE pada
metode Maximum Likelihood menunjukkan angka lebih kecil dibandingkan
dengan metode Bayes dengan fungsi kerugian precautionary loss function,
entropy loss function, dan loss function-L1.
Dari hasil simulasi data pada tabel diatas menunjukkan bahwa metode
Bayes tidak selamanya lebih baik dalam menaksir parameter dibandingkan
dengan metode Maximum Likelihood.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
Pada bab ini akan diperlihatkan kesimpulan yang diperoleh dari hasil penelitian
yang diperoleh pada bab sebelumnya.
5.1 Kesimpulan
1. Estimator yang diperoleh dari penaksiran parameter pada distribusi Rayleigh
dengan metode Maximum Likelihood dan metode Bayes menggunakan
fungsi kerugian dibawah quasi-prior dengan asumsi bahwa distribusi prior
non-informatif dan pendekatan yang dilakukan dengan metode Jeffrey’s
adalah:
Estimasi dengan metode Maksimum Likelihood :
𝜎 𝑀𝐿𝐸 = 1
2𝑛 𝑥𝑖
2
𝑛
𝑖=1
Estimasi dengan metode Bayes dengan beberapa fungsi risiko:
(a) Precautionary Loss Function
𝜎 𝐵𝑆𝑝 = Γ 𝑛+
1
2 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1
2 Γ 𝑛+3
2
(b) Entropy Loss Function
𝜎 𝐵𝑆𝑒 = Γ 𝑛+
3
2 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1
2 Γ 𝑛+2
(c) Loss Function-L1
𝜎 𝐵𝑆1 = 2 Γ 𝑛 + 2
2 Γ 𝑛 +52
𝑥𝑖2
𝑛
𝑖=1
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
56
2. Berdasarkan simulasi data dari estimator yang diperoleh dengan
menggunakan program R, diketahui bahwa nilai bias dari kedua metode
menunjukkan pola yang sama yakni nilai bias semakin kecil dengan ukuran
sampel semakin besar. Nilai bias pada metode Bayes dengan fungsi
kerugian loss function-L1 menunjukkan angka yang semakin kecil
dibandingkan dengan metode Maximum Likelihood dan metode Bayes
dengan fungsi kerugian precautionary loss function, entropy loss function,
dan loss function-L1.
3. Nilai MSE dari tabel hasil simulasi data menunjukkan error yang semakin
besar dengan kondisi ukuran sampel semakin besar. Nilai MSE pada metode
Maximum Likelihood menunjukkan angka lebih kecil dibandingkan dengan
metode Bayes dengan fungsi kerugian precautionary loss function, entropy
loss function, dan loss function-L1.
4. Dari analisis tersebut menunjukkan bahwa metode Bayes tidak selamanya
lebih baik dalam menaksir parameter dibandingkan dengan metode
Maximum Likelihood.
5.2 Saran
1. Melakukan penaksiran parameter distribusi Rayleigh lebih dari satu
parameter.
2. Melakukan penaksiran parameter distribusi Rayleigh dengan
membandingkan beberapa metode penaksiran untuk melihat metode terbaik
dalam menaksir parameter distribusi Rayleigh.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
57
DAFTAR PUSTAKA
Al-Mayali dan Al-Shaibani. 2013. A Comparison for Some of the Estimators of
Rayleigh Distribution with Simulation. Journal of Karbala University. 4 (11).
Bolstad, W.M. 2007. Introduction to Bayesian Statistics Second Edition. America:
A John Wiley & Sons. Inc.
Box, G.E.P and Tiao, G.C. 1973. Bayesian Inference In Statistical Analysis.
Phlilippines: Addision-Wesley Publishing Company, Inc.
Berger, C. 1990. Statistical Inference. New York: Pasific Grove.
Gaffney, J., dan John, E. 1984. On Predicting Software Related Performance of
Large-Scale Systems dalam Tenth International Computer Measurement
Group Conference. San Fransisco.
Harinaldi. 2005. Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains. Jakarta:
Erlangga.
Hasan, dan Iqbal. 2002. Pokok-Pokok Materi Statistik 1 (Statistik Deskriptif).
Jakarta: Bumi Aksara.
Hogg, R.V and Tanis, E.A., 1997. Probability and Statistical Inference Fifth
Edition. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall International, Inc.
Hogg, R.V and Tanis, E.A., 2001. Probability and Statistical Inference Sixth
Edition. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall International, Inc.
Johnson, N. L., Kotz, S. and Balakrishnan, N. 1994. Continuous Univariate
Distributions, Volume 1, Second Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Krishnamoorthy, K. 2006. Handbook of Statistical Distributions with
Applications. USA: Chapman & Hall/CRC.
Larsen, R.J and Marx, M.L. 2012. An Introduction to Mathematical Statistics and
Its Applications Fifth Edition. Prentice Hall.
Lawless, J.K. 1982. Statistik Model and Methods for Lifetime Data. New York:
John Willey and Sons, Inc.
L. H. Putnam. 1978. A General Empirical Solution to the Macro Software Sizing
and Estimating Problem, Ieee Transactions On Software Engineering Vol. %1
dari %2SE-4 no. 4, 345-361.
Millar, R. B. 2011. Maximum Likelihood Estimation and Inference: with example
in R, SAS and ADMB. New Zealand: John Wiley & Sons.
Montgomery, D.C and Runger, G.C. 2003. Applied Statistics and Probability for
Engineers Third Edition. John Wiley & Sons, Inc.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
58
M. Trachtenberg. 1982. Discovering How to Ensure Software Relaibility. Pp. 53-
57.
Singh, K.L., dan Srivastava, R. S. 2014. Bayesian estimation of parameter of
invers Maxwell distribution via size-biased sampling, International Journal of
Science and Research. 1835–1839.
Soejoeti, Z dan Soebanar. 1988. Inferensi Bayesian. Jakarta: Karunika Universitas
Terbuka.
Wackerly, D.D., Medenhall III, W., Scheaffer, R.L. 2008. Mathematical Statistics
with Applications, Seventh Edition. USA: Thomson Learning, Inc.
Walpole, R.E. 1997. Pengantar Statistika Edisi ke-3. Alih bahasa oleh Sumantri,
B. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama.
Walpole, R.E., Myers, R.H., and Myers, S.L. 1998. Probability and Statistics for
Engineers and Scientists, Sixth Edition. Upper Saddle River, New Jersey:
Prentice Hall, Inc.
Waluyo, S. D. 2001. Statistika untuk Pengambilan Keputusan. Jakarta: Ghalia
Indonesia.
Widiharih T, Suparti. 2003. Statistika Matematika II. Semarang: Universitas
Diponegoro.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA