Teori PenaksiranKelompok 5:Mega NoviantiDevi HaryantiRiska Novita Sari

PendahuluanDi bab ini kita mulai secara resmi membahas garis besar dari tujuan:Inferensi statistikPenaksiran parameter populasi

Inferensi StasistikDibagi menjadi dua:PenaksiranPengujian hipotesis

Metode Penaksiran Klasik = populasi = sampel/taksiran titik = rataan populasi = rataan sampel

Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksiran titik disebut penaksir atau fungsi keputusan

Contoh:Suatu sampel yang terdiri atas nilai 2, 5, dan 11 yang diambil dari suatu populasi yang rataannya 4, tapi yang dimisalkan tak diketahui. Kita akan menaksir dengan =6 bila menggunakan rataan sampel sabagai taksiran, atau =5 bila menggunakan median sampel sebagai taksiran.

Dalam hal ini panaksiran menghasilkan taksiran yang lebih dekat ke parameter sesungguhnya dari pada penaksiran . Sebaliknya, bila sampel acak terdiri dari 2,6, dan 7, maka = 5 dan = 6, sehingga sekarang menjadi penaksir yang lebih baik.karena nilai sesungguhnya tak diketahui, kita harus memutuskan sebelumnya apakah menggunakan penaksiran atau .

Penaksiran Takbias Sifat fungsi keputusan yang manakah yang dianggap baik yang akan mempengaruhi kita dalam memilih suatu penaksiran dan bukan penaksiran lainnya?

Definisi: Statistik dikatakan penaksiran takbias parameter bila = E( ) =

Contoh:Tunjukkan bahwa merupakan penaksir takbias parameter .Jawab

Sekarang

Tetapi, Untuk i = 1, 2, 3, . . . , n

dan

Jadi,

Variansi Penaksir Titik dan dua penaksir takbias parameter populasi yang sama, < penaksir yang lebih efisien dari pada .

Distribusi sampel dari berbagai penaksir

Penaksiran SelangTaksiran selang suatu parameter populasi_ialah suatu selang yang berbentuk < < ; dan tergantung pada nilai statistik untuk sampel tertentu dan juga pada distribusi sampel .

, selang kepercayaan (1- )%1- , koefisien kepercayaan/taraf kepercayaan dan , batas kepercayaan bawah dan atas.

Menaksir RataanCenderung merupakan taksiran yang amat tepat bila n besar.menurut teorema limit sentral, distribusi sampel dapat diharapkan secara hampiran, berdistribusi normal dengan rataan dari simpangan baku:

Kalikan setiap suku denganKurangi tiap suku denganKalikan dengan -1

Selang kepercayaan untuk ; diketahui

Teorema: Bila x dipakai untuk menaksir maka dengan kepercayaan (1 -)100% galatnya akan lebiih kecil dari:

Penaksiran selang untuk berbagai sampel

Teorema:

Kalikan denganKurangi denganKalikan dengan -1

Selang kepercayaan untuk , tidak diketahui

Derajat kebebasan V = n 1

Contoh:Tujuh botol yang mirip masing-masing berisi asam sulfat 9,8; 10,2; 10,4; 9,8; 10,0; 10,2; dan 9,6 liter. Carilah selang kepercayaan 95% untuk rataan isi botolsemacam itu bila distribusinya dianggap hampir normal.

Jawab Rataan dan simpangan baku sampel di atas ialah = 10,0 dan S = 0,283Dari tabel L.4 diperoleh = 2,447 untuk derajat kebebasan v = 6. jadi selang kepercayaan 95% untuk adalah

Yang bila disederhanakan, menjadi9,74 < < 10,26

Galat Baku Taksiran TitikGalat baku dari adalahGalat baku suatu penaksir adalah simpangan bakunya.Untuk , batas kepercayaan dari penghitungan adalah

ditulis

, g.b = galat baku

Lebar selang kepercayaan untuk bergantung pada kualitas titik melalui galat bakunyaJika tidak diketahui dan sampling dari distribusi normal, diganti dengan s dan melibatkan taksiran galat baku s/ . Batas kepercayaan untuk berbentuk :

Batas ToleransiBatas toleransi untuk pengukuran yang berdistribusi normal dengan rataan dan simpangan baku yang keduanya tak diketahui, batas toleransi diberikan oleh :

k ditentukan sedemikian sehingga dapat ditegaskan dengan 100(1 - )% kepercayaan bahwa batas tersebut mengandung paling sedikit 1- proporsi pengukuran.

Menaksir Selisih Dua RataanSelang kepercayaan untuk ; danDiketahui bila dan menyatakan rataan sampel acak ukuran dan yang berasal dari dua proporsi yang variansi diketahui masing-masing dan , maka selang kepercayaan (1 - )100% untuk diberikan oleh

dengan menyatakan nilai z sehingga luas daerah sebelah kanannya .

Selang kepercayaan untuk ; , tapi tidak diketahui. bila dan rataan sampel acak berukuran dan yang bebas berasal dari dua populasi yang hampir normal dengan variansi yang tidak diketahui tapi sama maka selang kepercayaan (1 - )100% berikut untuk diberikan oleh

bila menyatakan taksiran gabungan dari simpangan baku populasi, dan menyatakan nilai pada distribusi t dengan derajat kebebasan , seehingga luas daerah disebelah kanannya .

Selang kepercayaan untuk ; dan tidak diketahui . Bila dan , dan dan , masing-masing rataan dan variansi sampel kecil bebas berukuran dan dari distribusi hampiran normal dengan variansi tidak diketahui dan tidak sama maka selang kepercayaan hampiran (1 - )100% untuk ialah

Bila nilai distribusi-t dengan derajat kebebasan

sehingga luas di daerah sebalah kanannya .

Selang kepercayaan untuk untuk pengamatan berpasangan. Bila dan adalah rataan dan simpangan baku dari selisih n pasangan pengukuran acak yang berdistribusi normal, maka selang kepercayaan (1 - )100% untuk diberikan oleh

bila menyatakan nilai distribusi t, dengan derajat kebebasan v=n-1, sehingga luas di sebalah kanannya .

Contoh SoalTinggi sampel acak 50 mahasiswa rata-rata 174,5 cm dengan simpangan baku 6,9 cm.a) buatlah sellang kepercayaan 98% untuk rataan tinggi semua mahasiswa .b) apakah yang dapat dikatakan tentang kemungkinan besarnya galat dengan kepercayaan 98% bila ditaksir rataan tinggi semua mahasiswa 174,5 cm?

2) Suatu penelitian bertujuan menentukan apakah cairan A mempunyai pengaruh terhadap banyaknya logam itu direndam dalam cairan tersebut. Suatu sampel acak 100 potong logam direndam selama 24 jam dalam cairan lain dan menghasilkan rata-rata 12,2 mm logam yang tersingkir dengan simpangan baku 1,1 mm. sampel kedua dengan 200 potong logam yang sama direndam selama 24 jam dalam cairan A menyingkirkan rata-rata 9,1 mm logam dengan simpangan baku 0,9 mm. hitunglah selang kepercayaan 98% untuk selisih kedua rataan populasi. Apakah cairan A menurunkan banyaknya logam yang tersingkir?

Latihan SoalSeorang peneliti di UCLA menyatakan bahwa umur tikus dapat diperpanjang sebanyak 25% bila kalori dalam makanannya dikurangi kira-kira sebanyak 40% sejak tikus itu disapih. Makanan tersebut kemudian diperkaya sampai tahap normal dengan vitamin dan protein. Misalkan dari penelitian terdahulu diketahui bahwa = 5,8 bulan, berapa ekor tikus seharusnya diikut sertakan dalam sampel bila kita ingin yakin 99% bahwa rataan umur tikus dalam sampel sepanjang 2 bulan dari rataan populasi semua tikus yang diberi makan menurut diet seperti ini?

2) Sebuah mesin menghasilkan potongan logam yang berbentuk silinder. Sampel beberapa potongan diukur dan ternyata diameternya 1,01; 0,97; 1,03; 1,04; 0,99; 0,98; 0,99; 1,01; dan 1,03 cm. Hitunglah selang kepercayaan 99% untuk rataan diameter potongan yang dihasilkan mesin tersebut bila dimisalkan distribusinya hampir normal.

3) Dalam suatu penelitian yang dilakukan di Virginia Polytechnic Institute and State University pada 1983 mengenai perkembangan ectomycorrhizal, hubungan simbiosis antara akar pohon dan cendawa yang memindahkan mineral dari cendawan ke pohon dan gula dari pohon ke cendawan. Untuk itu 20 bibit oak merah dengan cendawan Pisolithus tinctorus ditanam dalam rumah kaca. Semua bibit ditanam dalam jenis tanah yang sama dan mendapat jumlah sinar matahari dan air yang sama. Setengahnya sama sekali tidak mendapat nitrogen waktu menanam yang bertindak sebagai kontrol dan setengah dari lainnya mendapat 368 ppm nitrogen dalam bentuk NaNO3.

Berat batang, dalam gr, pada hari ke 140 tercatat sebagai berikut:

Tanpa nitrogennitrogen0,320,260,530,430,280,470,370,490,470,520,430,750,360,790,420,860,380,620,430,46

Buatlah selang kepercayaan 95% untuk selisih rataan berat batang antara bibit yang tidak mendapat nitrogen dan yang mendapat 368 ppm nitrogen. Anggap populasinya berdistribusi normal dengan variansi yang sama.

4) Data berikut, dalam hari, menyatakan waktu yang diperlukan penderita sampai sembuh, penderita dipilih secara acak untuk mendapat salah satu dari dua obat yang dapat menyembuhkan infeksi berat pada saluran kencing:

Buat seklang kepercayaan 99% untuk selisih rataan waktu sembuh untuk kedua obat , anggap populasinya berdistribusi normal dengan variansi yang sama.

SELESAI