PEMODELAN OSEANOGRAFIII. HIDRODINAMIKA

II. HIDRODINAMIKAII.1. Persamaan Hidrodinamika Sederhana 1-DII.2. Pengerjaan Eksplisit Persamaan Hidrodinamika Sederhana 1-DII.3. Pengerjaan Implisit (Crank - Nicholson)II.4. Pemodelan Hidrodinamika di Kanal 1-D dgn Topografi bervariasiII.5. Pemodelan Hidrodinamika di Kanal 1-D dgn Memperhatikan :Gesekan dasar dan Stress anginII.6. Pemodelan Hidrodinamika di Kanal 1-D dgn Memperhatikan : Gesekan dasarStress anginSuku non linier Penampang melintang yg bervariasiII.7. Pemodelan Hidrodinamika 2-D dgn Memperhatikan : Gesekan dasar dan Stress anginII.8. Pemodelan Hidrodinamika 2-Ddgn Memperhatikan : Suku Coriolis dan suku gesekan Eddy dlm bentuk transpor

Persamaan hidrodinamika sederhana satu dimensi yang lengkap adalah :(1)(2)Sistem persamaan (1) dan (2) adalah persamaan yang diintegrasikan terhadap kedalamanjadi kecepatan u adalah kecepatan yang dirata-ratakan terhadap kedalaman.Kedalaman total H diberikan oleh= elevasi muka air= kedalaman aktual(3)(4)Persamaan gerak / momentumPersamaan kontinuitasII.1. Persamaan Hidrodinamika Sederhana 1-D

(1)(2)Sistem persamaan (1) dan (2) dapat disederhanakan menjadi (5)(6)pada persamaan gerak, suku non linier, gaya disipasi dan gaya luar kita abaikan.untuk mendapatkan solusi eksak dari sistem persamaan (5) dan (6),

maka sistem persamaan tsb perlu diubah bentuknya menjadi persamaan gelombang :solusi numerik solusi eksak / analitiksolusi numerikbaikPersamaan gerak / momentumPersamaan kontinuitas

??Arti Fisis Persamaan Gerak / Momentum1212Gradien elevasi POSITIF menghasilkan arus yang bergerak ke arah-x NEGATIFGradien elevasi NEGATIF menghasilkan arus yang bergerak ke arah-x POSITIF

00Tidak ada arus12Gradien elevasi NOL menyebabkanTIDAK ADA ARUS (pergerakkan air )

??Arti Fisis Persamaan Kontinuitas1212Elevasi muka air : turunGradien kecepatan arus POSITIF menghasilkan perubahan elevasi thd waktu NEGATIF (levasi muka air turun)

??Arti Fisis Persamaan Gerak / MomentumElevasi muka air : naik1212Gradien kecepatan arus NEGATIF menghasilkan perubahan elevasi thd waktu POSITIF (elevasi muka air naik)

??Arti Fisis Persamaan Gerak / Momentum00Tidak ada perubahan elevasi1212Gradien kecepatan arus NOL menyebabkan TIDAK ADA PERUBAHAN ELEVASI thd waktu (elevasi muka tetap)

Diferensiasikan (I) terhadap t dan (II) terhadap x kemudian jumlahkan menjadi :persamaan gelombang :Untuk membentuk persamaan gelombang dalam kita diferensiasikan (I) terhadap x dan (II) terhadap t kemudian jumlahkan menjadi : persamaan gelombang dalam u.

Dalam kedua persamaan kecepatan gelombang adalah,(5)(6)( I )( II )

(I)(II)Tinjau kembali persamaan (5) dan (6)II.2. Pengerjaan Eksplisit Persamaan Hidrodinamika Sederhana 1-D

jj + 2j - 1j + 1j + 3Sistem 1 Dimensi

(I)(II)Tinjau kembali persamaan (5) dan (6)bentuk persamaan (I) dan (II) sama dengan persamaan adveksi Utk menghindari ketidakstabilan disusun suatu kasa (grid) oleh Richardson 1967, Hansen 1956, Sundermann 1966. FTCSbeda maju utk waktubeda pusat utk ruangFTCSTidak Stabil !!Kasa RichardsonII.2. Pengerjaan Eksplisit Persamaan Hidrodinamika Sederhana 1-D

jj + 2j - 1j + 1j + 3Sistem 1 Dimensijjj + 2j - 1j + 1j + 3

jj + 2j - 1j + 1j + 3nn + 1n + 2n - 1ruangwaktu

jj + 2j - 1j + 1j + 3nn + 1n + 2n - 1ruangwaktuLetak dipindah thd ruang

jj + 2j - 1j + 1j + 3nn + 1n + 2n - 1ruangwaktuKasa Richardsonn + 3/2n 1/2n + 1/2n 3/2Letak dipindah thd waktu

jj + 2j - 1j + 1j + 3nn + 1n + 2n - 1ruangwaktuDiskretisasi Persamaan Hidrodinamika dengan FTCSn + 3/2n 1/2n + 1/2n 3/2

(I)(II)Diskretisasi Persamaan Hidrodinamika dengan FTCSPersamaan MomentumPersamaan Kontinuitas

jj + 2j - 1j + 1j + 3nn + 1n + 2n - 1ruangwaktuDiskretisasi Persamaan Hidrodinamika dengan FTCSn + 3/2n 1/2n + 1/2n 3/2

Untuk menentukan kriteria kestabilan sistem persamaan (I) dan (II)Tentukan matriks cuplikan amplifikasi dari sistem persamaan yang dihubungkanKita tentukan dari determinan matrik amplifikasi atau nilai eigen dari matriks amplifikasi, A.(I)(II)

Persamaan II dapat ditulis dengan n n-1 :Dalam rumus Kita dapat menuliskan :Dalam bentuk matriks persamaan ini ditulisdimana Cara Fourier (I)(II)

Dengan cara yang sama kita juga dapat menulis (I) dalam bentuk matriks sbb :(I) dan (II) digabungkan menjadi :(I)(II)

Matriks amplifikasi A adalah :

Menentukan nilai eigen dari matriks A atau jika

atau Nilai eigen :Tinjau beberapa kasus dari harga Akarnya imajiner

Akarnya sama dengan nolBila akarnya realdapat disimpulkan bahwa kriteria stabilitas penyelesaian eksplisit dari persamaan hidrodinamika satu dimensi yaitu : yang disebut dengan Kriteria Stabilitas Courant-Friederichs-Lewy (CFL)Dari &

II.3. Pengerjaan Implisit (Crank - Nicholson)(5)(6)Tinjau kembali persamaan (5) dan (6)Persamaan selisih dari persamaan (5) dan (6) diselesaikan secara implisit dengan memperhatikan kasa berikut :

jj + 2j - 1j + 1j + 3nn + 1n + 2n - 1ruangwaktu

jj + 2j - 1j + 1j + 3nn + 1n + 2n - 1ruangwaktu

(5)(6)Tinjau kembali persamaan (5) dan (6)Persamaan selisih dari persamaan (5) dan (6) diselesaikan secara implisit adalah :(I)(II)

(I)Untuk menyelesaikan sistem persamaan (I) dan (II) di atas, kita tentukan dan dari (I)Kemudian harga dan dengan menggunakan hubungan dan ini disubstitusikan ke dalam (II)Hasilnya kita peroleh sbb :

Hasilnya kita peroleh sbb :dimana :Dengan persamaan ini kita dapat menghitung Hasil perhitungan ini kita substitusikan ke dalam (I) untuk memperoleh (I)

(5)(6)Gunakan persamaan (5) dan (6)II.4. Pemodelan Hidrodinamika di Kanal 1-D dgn Topografi bervariasiDan mengganti parameter kecepatan dengan transport (volume) yang didefinisikan sebagai , maka diperoleh persamaan hidrodinamika dalam bentuk transport sbb :dimana (I)(II)

dimana (I)(II)Pengerjaan Eksplisit dari persamaan I dan II perhatikan kasa yang digunakan !

jj + 2j - 1j + 1j + 3nn + 1n + 2n - 1ruangwaktuDiskretisasi Persamaan Hidrodinamika dlm transpor dengan EKSPLISITn + 3/2n 1/2n + 1/2n 3/2

jj + 1ruangj

dimana (I)(II)Pengerjaan Eksplisit dari persamaan I dan II adalah(I)(II)Atau dapat juga ditulis dalam bentuk lain sbb :(I)(II)

II.5. Pemodelan Hidrodinamika di Kanal 1-D dgn Memperhatikan :Gesekan dasar dan Stress anginPengerjaan EksplisitPersamaan model yang dipakai adalah persamaan hidrodinamika dalam kecepatan (persamaan 5 dan 6 + gesekan).(I)(II)dimana = stress angin= koefisien gesekan angin= 3,2 x10-6 yang merupakan bilangan tak berdimensi= kecepatan angin= gesekan dasar

Persamaan model yang dipakai adalah persamaan hidrodinamika dalam kecepatan (persamaan 5 dan 6 + gesekan).(I)(II)????gesekan dasar besar kecepatan arus berkurang stress angin besar kecepatan arus bertambah (angin membangkitkan arus)Arti Fisis

Pengerjaan Eksplisit(I)Untuk pendiskritan suku gesekan dasar, kita tinjau persamaan gerak yang disederhanakan : a. Bentuk linier : Ada dua bentuk gesekan dasar yang digunakan :b. Bentuk kuadratif: koefisien gesekan dasar yang merupakan bilangan tak berdimensi = 3,0 x 10-3

b. Bentuk kuadratif: Pendiskritan cara pertama adalah :Substitusikan ke dalam persamaan di atas :

b. Bentuk kuadratif: Pendiskritan cara kedua adalah :Substitusikan ke dalam persamaan di atas :

Pendiskritan cara kedua adalah :Pendiskritan cara pertama adalah :H kecil gesekan mengubah arah arus tidak dikehendaki !tidak diemukan pada cara

Pendiskritan cara kedua adalah :Pendiskritan cara pertama adalah :KELEBIHAN dan KEKURANGAN dari kedua cara pendiskritan di atas kita tinjau dua kasus berikut : H besar

Pendiskritan cara kedua adalah :Pendiskritan cara pertama adalah :Energi kinetik dihilangkan hanyaoleh gesekan dasar tidak dikehendaki !tidak diemukan pada caraKelemahan pendiskritan cara pertama juga berlaku bila kita menggunakan persamaan hidrodinamika dalam bentuk transport (volume) :

Bentuk penyelesaian eksplisit dari persamaan hidro dalam bentuk transport danmenggunakan pendiskritan cara pertama untuk gesekan dasar adalah :Persamaan hidrodinamika dalam bentuk transport

Bentuk penyelesaian eksplisit dari persamaan hidro dalam bentuk transport danmenggunakan pendiskritan cara pertama untuk gesekan dasar adalah :Persamaan hidrodinamika dalam bentuk transportdimana

Bentuk penyelesaian eksplisit dari persamaan hidro dalam bentuk transport danmenggunakan pendiskritan cara kedua untuk gesekan dasar adalah :Persamaan hidrodinamika dalam bentuk transportdimana

II.6. Pemodelan Hidrodinamika di Kanal 1-D dgn Memperhatikan : Gesekan dasarStress anginSuku non linier Penampang melintang yg bervariasiPersamaan model yang dipakai adalah persamaan dalam bentuk transport, sbb :Sistem persamaan (I) dan (II) ini kita transformasikan dalam bentuk persamaan debit (Q), dimana :Q = Kecepatan x penampang yang dialiri = u x A = u x H x B ; B : lebar kanalQ = UB U = Q/B(I)(II)Suku non linier(turbulen)Gesekan dasarStress anginGradien elevasi

Persamaan model yang dipakai adalah persamaan dalam bentuk transport, sbb :(I)(II)transformasikan dalam bentuk persamaan debit (Q)(I)(II)

jj + 2j - 1j + 1j + 3nn + 1n + 2n - 1ruangwaktu

jj + 2j - 1j + 1j + 3nn + 1n + 2n - 1ruangwaktu

(I)(II)Diskretisasi (IMPLISIT) dari sistem persamaan dalam bentuk debit di atas diberikan oleh :(I)(II)

(I)(II)Diskretisasi (IMPLISIT) dari sistem persamaan dalam bentuk debit di atas diberikan oleh :(I)

(I)(II)Sistem persamaan di atas dapat disederhanakan dalam bentuk :(I)(II)