Pavimentacaoes_Tarefas
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PAVIMENTAES
Uma pavimentao no plano a cobertura do plano de modo a que no haja sobreposies nem espaos vazios.
Uma pavimentao diz-se monodrica ou pura se for constituda pela repetio de um nico ladrilho.
Ex:
Chama-se vrtice da pavimentao qualquer ponto que resulte da interseco de trs ou mais ladrilhos.
Os vrtices de uma pavimentao com polgonos no tm de coincidir com os vrtices dos polgonos:
vrtice da pavimentao
vrtice do polgono que no vrtice da pavimentao
Chama-se aresta da pavimentao qualquer arco, linha poligonal ou segmento
que resulte da interseco de dois ladrilhos. Os lados dos polgonos podem no coincidir com as arestas da pavimentao: aresta da pavimentao
lado do polgono no aresta da pavimentao
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Tarefa 1 Criar diferentes pavimentaes monodricas.
Procurar no meio ambiente exemplos de pavimentaes monodricas.
Explorar pavimentaes monodricas com: . tringulos
.quadrilteros . pentgonos
. hexgonos
. polgonos no convexos
. no polgonos
. polimins etc.
PAVIMENTAES REGULARES
Pavimentaes regulares so pavimentaes monodricas em que os ladrilhos so polgonos regulares congruentes.
Nota: No so pavimentaes regulares aquelas em que num vrtice concorre pelo menos um dos lados do polgono, por exemplo:
ou no so pavimentaes
regulares
Nas pavimentaes regulares, os vrtices da pavimentao coincidem com os vrtices dos ladrilhos. Do mesmo modo, as arestas da pavimentao coincidem com os lados dos polgonos.
Ex:
Tarefa 2 Descobrir as pavimentaes regulares possveis. Concluir sobre as razes que fazem com que um polgono regular d ou no origem a uma pavimentao regular.
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PAVIMENTAES SEMI-REGULARES OU ARQUIMEDIANAS PAVIMENTAES DEMI-REGULARES
Pavimentaes semi-regulares ou arquimedianas so pavimentaes que combinam dois ou mais tipos de polgonos regulares, que em cada vrtice aparecem pela mesma ordem.
Nas pavimentaes semi-regulares, os vrtices so todos do mesmo tipo. A classificao de um vrtice da pavimentao obtm-se assinalando o n de lados dos polgonos concorrentes nesse vrtice, comeando no polgono com menor n de lados e rodando no sentido dos ponteiros do relgio.
Ex:
3.6.3.6 4.8.8 3.4.6.4
Pavimentaes demi-regulares so pavimentaes que combinam dois ou mais polgonos regulares, mas em que os vrtices no so todos do mesmo tipo.
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Uma pavimentao irregular uma pavimentao que no regular, nem semi-
regular, nem demi-regular.
Tarefa 3 Descobrir quais as 8 pavimentaes semi-regulares possveis.
Concluir sobre as razes que conduzem a que uma combinao de polgonos regulares d ou no origem a uma pavimentao semi-regular.
Encontrar alguma pavimentaes demi-regulares possveis (so em nmero infinito)
PAVIMENTAES PERIDICAS. PAVIMENTAES NO PERIDICAS
Pavimentaes peridicas so pavimentaes que permanecem invariantes por translao. Assim, se deslocarmos, numa determinada direco e sentido, uma pavimentao peridica sobre a sua original, ser possvel sobrep-la de modo que os ladrilhos fiquem coincidentes com os da posio original.
Ex:
Uma pavimentao aperidica ou no peridica se, feita uma translao segundo qualquer direco ou sentido, nunca for possvel a coincidncia com a pavimentao original.
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Ex:
Pavimentao construda com os 6 protoladrilhos de Robinson
REALIZAO DE PAVIMENTAES. RECURSO A ISOMETRIAS E OUTRAS TCNICAS
Pode obter-se uma pavimentao realizando uma isometria (rotao, translao ou reflexo) de um ladrilho ou conjunto de ladrilhos.
a) Pavimentao por rotao
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b) Pavimentao por translao
c) Pavimentao por reflexo
Tarefa 4 Investigar isometrias nas pavimentaes de Escher ou outras. Criar pavimentaes usando: . translao . rotao
. reflexo
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d) Tcnica da dentada
ainda possvel criar ladrilhos que pavimentem o plano, usando a tcnica da dentada. Esta tcnica consiste em retirar um pedao do ladrilho de um dos lados e aplic-lo a outro lado (por rotao ou translao), de modo a obter um novo ladrilho.
Ex:
Tarefa 5 Criar pavimentaes usando a tcnica da dentada sobre polgonos, usando: . translao
. rotao
. translao e rotao
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Referncias:
Farmer, D. W. (1999). Grupos e Simetria. Lisboa: Gradiva. Veloso, E. (1998). Geometria Temas Actuais. Lisboa: IIE.
http://www.apm.pt/apm/AeR/tipav.html http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm16/ http://easyweb.easynet.co.uk/~iany/patterns/tessellations.htm