• Parità

• Parità intrinseca

• Isospin

• Multipletti di isospin

Lezione 10

PARITÀL’operatore di inversione spaziale è una trasformazione discreta che inverte il segno delle tre coordinate spaziali:

x, y, z -x, -y, -z

(x, y, z) ’ (x, y, z) = P (x, y, z) = (-x, -y, -z)

La trasformazione è detta di PARITÀ; essa è discreta perchè nessuna trasformazione continua può trasformare un sistema di riferimento destrorso in uno sinistrorso. Essa equivale ad una riflessione del sistema in uno specchio (che inverte la destra con la sinistra) e una rotazione di intorno all’asse ortogonale allo specchio (che inverte l’alto con il basso).

z

yx

-x-y

-z

P

L’operatore di parità è unitario. Infatti:

P2 (x, y, z) = P (-x, -y, -z) = (x, y, z)

P2 = 1

P = +1, -1

Gli autovalori di P definiscono la parità del sistema.

P ( a b ) = P(a) P(b) PL

Con la notazione JP si indica lo stato di momento angolare totale e di parità del sistema.

La parità è un numero quantico moltiplicativo. Pertanto, preso un sistema composto da più particelle, la parità globale del sistema sarà dato dal prodotto delle parità delle sue parti. Come vedremo tra poco, le parità che descrivono ogni sistema dotato di spin o composto da parti dotate di spin è dato dal prodotto delle parità intrinseche delle particelle che lo compongono per la parità legata al momento angolare orbitale relativo tra le particelle:

Se la Hamiltoniana del sistema è invariante per trasformazioni di parità: [H, P]=0, allora la parità del sistema è un buon numero quantico, cioè essa è una costante del moto, è conservata nelle interazioni. In tal caso le autofunzioni della Hamiltoniana hanno parità definita. Ad esempio:

(x) = cos (x) parità definita positiva

perchè P (x) = cos (-x)= cos(x) = (x) P = +1

(x) = sin (x) parità definita negativa

perchè P (x) = sin (-x)= - sin (x) = -(x) P = -1

Al contrario:

(x) = A cos (x) + B sin (x) parità non definita

perchè P (x) = A cos (-x) + B sin(-x) = A cos(x) - B sin (x) (x)

Come vedremo la parità è conservata (è una costante del moto) nelle interazioni elettromagnetiche e in quelle forti, ma è violata in quelle deboli.

PARITÀ DELLE ARMONICHE SFERICHE

Uno stato avente momento angolare orbitale L definito, cioè con L2 ed Lz

costanti del moto, potrà essere scomposto sulla base delle armoniche

sferiche Ylm(,). Tradotto in coordinate polari, l’operatore di parità

genera la seguente trasformazione:

x, y, z -x, -y, -z

equivalente a: r r - +

Pertanto applicando P alle armoniche sferiche avremo:

P Ylm(,) = Ylm( - , + ) = (-1)l Yl

m(,)

Le armoniche sferiche sono autostati di parità associati all’autovalore P=(-1)l.

P

P P P

Ricordiamo infatti l’espressione delle prime armoniche sferiche e vediamo come si trasformano per effetto dell’operazione di parità, ricordando che:

22

22

2i222

12

12

12

02

02

202

11

11

11

01

01

01

2i)2i(π2i

i)i(πi

YYP2Le)(sin2π

15

4

1Y

YYP2Le)cos()sin(8π

15Y

YYP2L2

1)(cos

2

3

4π

5Y

YYP1Le)sin(8π

3Y

YYP1L)cos(4π

3Y

eee

eee

)sin()sin(π)sin(

)cos()cos(π)cos(

ππ:P

i

i

PARITÀ DI UN VETTORE POLARE

Per effetto dell’operatore di parità un vettore polare viene mandato nel vettore polare opposto:

pp

rrP

P

PARITÀ DI UNO SCALARE

Lo scalare può essere pensato come il prodotto scalare di due vettori polari, pertanto per effetto dell’operatore di parità lo scalare viene mandato in se stesso. Infatti:

a)v()u(a'vua P

PARITÀ DI UN VETTORE ASSIALE

Il vettore assiale risulta dal prodotto vettoriale di due vettori polari (es. il momento angolare) . Pertanto per effetto dell’operatore di parità il vettore assiale viene mandato in se stesso. Infatti:

σσ

L)p(r('LprLP

P

)

PARITÀ DI UNO PSEUDOSCALARE

Lo pseudoscalare è il risultato del prodotto scalare tra un vettore polare e uno assiale, pertanto per effetto dell’operatore di parità lo pseudoscalare viene cambiato di segno. Infatti:

hp

pσh

p

pσh P

)('

PARITÀ INTRINSECA DEI FERMIONIÈ un fenomeno puramente quantistico. Nella teoria di Dirac, vedremo che un fermione senza struttura di spin ½ è descritto da una funzione d’onda dipendente dal quadrimpulso e dalla quadriposizione, che si può esprimere come il prodotto di uno spinore a quattro componenti u(p) e di un esponenziale:

Et)xpi(E)epu(xE,pψ

,),(

Per effetto dell’operatore di parità, la funzione d'onda si trasforma nel modo seguente:

Et)xpi(a

Et))x()pi((a E)epu(PE)epu(PxE,,pPψ

,,)(

Nel sistema di riferimento in cui la particella è a riposo, la funzione (0,x) diventa autofunzione dell’ operatore di parità. Il numero quantico associato è detto parità intrinseca della particella:

)(,)( xm,,0ψPm)e0u(Pxm,,0Pψ aimt

a

imtm)e,0u(xm,0ψ

),(

P(e+e-) = P(e+) P(e-) (-1)L = -1

Nella categoria dei fermioni cadono ovviamente anche i quark e gli antiquark, pertanto anche la parità di un sistema quark-antiquark è negativa se L=0:

Si può dimostrare che delle due soluzioni dell’ equazione di Dirac che sono associate rispettivamente al fermione e all’antifermione, una è associata all’autovalore di parità +1 e l’altra all’autovalore -1.

Benchè sia arbitraria l’assegnazione della parità positiva al fermione e di quella negativa all’antifermione, rimane tuttavia assoluto il fatto che essi hanno parità opposta uno all’altro. Pertanto, prendendo il sistema formato da un fermione e da un antifermione, se il loro momento angolare orbitale relativo è nullo, la parità di tale sistema sarà negativa:

Per convenzione assumiamo positiva la parità del fermione:

P( f ) = +1 P( f ) = -1 P( f f ) = -1

P(q q ) = P(q) P(q) (-1)L = -1

PARITÀ INTRINSECA DEI MESONI Un mesone è composto da un quark e un antiquark ( M= qq ). Dotati di

momento angolare relativo L. Pertanto la sua parità intrinseca è data da:

P( M ) = P( q q ) = P( q ) P( q ) (-1)L = (-1) (-1)L = (-1)L+1

Per i mesoni degli stati fondamentali L=0 e pertanto avremo:

P( M ) = -1

I mesoni a energia più bassa avranno L=0 e gli spin del quark e dell’antiquark antiparalleli. Pertanto:

S = 0 P = -1 JP = 0-

e sono detti mesoni pseudoscalari. Es.: 0, +, -, K0, K+, K0, K- ,0, 0’

Stati eccitati del sistema quark-antiquark avranno L=0 ma gli spin del quark e dell’antiquark paralleli a dare spin S=1. Pertanto:

S = 1 P = -1 JP = 1-

e sono detti mesoni vettori. Es.: 0, +, -, K*0, K*+, K*0, K*- ,0, 0

q

q

L

PARITÀ INTRINSECA DEI BARIONIUn barione è composto da tre quark. Chiamiamo L12 il momento angolare della

coppia q1-q2 e L3 il momento angolare del terzo quark q3 rispetto al centro di massa del sistema q1-q2. Pertanto la parità intrinseca del barione sarà data da:

q1

L12

Per un barione nello stato fondamentale avremo: L12 = L3 = 0. Pertanto:

Questa parità è convenzionale, in quanto è convenzionale l’attribuzione della parità positiva ai quark, ma non è convenzionale il fatto che l’antibarione rispettivo ha parità opposta a quella del barione (come è per un fermione con il suo antifermione). Pertanto porremo:

Pp = Pn = P = +1

L3

P(B) = P(q1q2q3) = P(q1) P(q2) P(q3) (-1)L12 (-1)L3 = (+1) (-1)L12+L3 = (-1)L12+L3

P(B) = +1

q2

q3

PARITÀ INTRINSECA DEL FOTONEPossiamo dedurre la parità intrinseca del fotone dal fatto che il fotone è rappresentato dal potenziale vettore A tale che:

AB

Il campo magnetico B è uno pseudovettore cioè ha parità positiva; infatti esso può essere espresso come il seguente prodotto vettoriale tra vettori polari:

1)rvP(q)BP(rvqB

Da questo possiamo dedurre la parità di A (cioè se A sia un vettore polare o assiale):

)AP()AP()P()AP()BP(1

1)AP(

La parità intrinseca del fotone è P = -1.

PARITÀ INTRINSECA DEI BOSONI

Dalla teoria dei campi consegue che un bosone e il suo antibosone hanno sempre la stessa parità intrinseca.

P (bosone) = P(antibosone)

Le teorie di gauge ci dicono che tutti i bosoni di gauge (non soltanto il fotone) hanno parità intrinseca negativa.

P = Pg = PW = PZ = -1

PARITÀ INTRINSECA DEL PIONE

0πnnd π(2)

nnd π(1)

OSSERVATO

Studiamo infatti la parità degli stati iniziale e finale delle due reazioni.

NON OSSERVATO

Parità intrinseca del Deuterio: JP = 1+ Jdeuterio = 1 e P(d) = +1

Stato iniziale:d)L(π Ldove (3) )1(P(d))P(πd)P(π L

Parità intrinseca del Pione : JP = 0? J = 0 e P(-) = ?

Nel caso in cui: L(-d) = 0:

P(-d) = P(-) P(d) (-1)L = P(-) (4)

Abbiamo detto che:

P()= (-1)L+1 P()= -1 per L=0

Ciò è dimostrato sperimentalmente dalla reazione di cattura del - nel deuterio:

Momento angolare totale J del sistema (-d): J(-d) = Jdeuterio = 1 :

0d)per L(π JJJ d)L(πd)J(π ---deuterioπdeuterio

Stato finale (1):

)nL(n Ldove (5) 1)()1()P(n)P(n)nP(n 21finLfinLfin

2121

In che stato relativo di moto si trovano i due neutroni, cioè quanto vale il momento angolare orbitale relativo L? Sappiamo che essendo i neutroni due fermioni identici, essi devono soddisfare la statistica di Fermi e cioè la loro funzione d’onda totale deve essere antisimmetrica per scambio del primo neutrone con il secondo:

(n1, n2) = - (n2, n1)

dove: (n1, n2) = spazio ( r1, r2 ) spin ( s1, s2 )

(Come vedremo dopo, ci sarebbe anche la parte di funzione d'onda di isospin, ma questa è per forza simmetrica per scambio di due neutroni.)

Il comportamento della funzione d’onda spaziale per scambio di n1 con n2 è equivalente a quello di una inversione di coordinate, in quanto:

spazio( r1, r2 ) = spazio( r1- r2 )

spazio ( r2, r1 ) = spazio( r2- r1) = (-1)Lfin spazio( r1, r2 )

I due neutroni hanno spin 1/2. Pertanto la composizione della parte di spin ci darà due possibilità:

1) tre stati di tripletto simmetrici a spin Sfin=1 2) uno stato di singoletto antisimmetrico a spin Sfin=0

Il comportamento di (s1, s2) per effetto dello scambio di n1 con n2 pertanto è:

(s1, s2) (s2, s1) = (-1)Sfin+1 (s1, s2)

Globalmente avremo:

(n1, n2) (n2, n1)= (-1)Lfin L( r1, r2 ) (-1)Sfin+1 (s1, s2) = (-1)Lfin+Sfin+1 (n1,n2)

ma deve essere anche:

(n1, n2) (n2, n1)= - (n1, n2)

Lfin+Sfin+1 = dispari Lfin+Sfin = pari

Ricordando che lo stato iniziale aveva momento angolare totale J(-d) =1 e che lo stato finale deve avere lo stesso momento angolare totale dello stato iniziale, vediamo quali combinazioni di Lfin ed Sfin sono accettabili:

Lfin=0 Sfin=0 Jfin = J(n1n2) = 0 NO per la conservazione del momento angolare

Lfin=0 Sfin=1 Jfin = 1 NO perchè L+S deve essere pari

Lfin=1 Sfin=0 JfinJ = 1 NO perchè L+S deve essere pari

Lfin=1 Sfin=1 Jfin = 2, 1, 0 SI perchè il valore J=1 è accessibile e L+S=2=pari

I neutroni sono in uno stato 2S+1LJ=3P1

Pertanto la parità dello stato finale n-n è (formula (5)): 11)(1)()1()P(n)P(nnnP 1LfinLfin

2121

che deve essere uguale a quella dello stato iniziale (4) (l’interazione è forte):

P(-d) = P(-)Pertanto la parità intrinseca del pione è negativa. Il suo spin è nullo. Il pione è

uno stato JP = 0- cioè è una particella pseudoscalare.

IsospinNel 1932 Heisenberg, sulla base del fatto che il neutrone e il protone hanno approssimativamente la stessa massa (Mpn = 1.3 MeV rispetto a un valore di 938.272 e 939.565 MeV), suggeri che il neutrone e il protone potevano essere trattati come differenti stati di carica della stessa particella, il nucleone. In assenza di interazione e.m. essi avrebbero la stessa massa.

Il nuovo numero quantico associato è l’isospin, di valore I =½ e terza componente I3=±½ (+1/2 per il protone e -1/2 per il neutrone).

Lo spazio dell’isospin è del tutto analogo a quello dello spin (SU(2) nella sua rappresentazione più semplice) ed è quello spazio nel quale protone e neutrone hanno orientazione della terza componente di isospin opposta. Una trasformazione che trasforma un protone in un neutrone è una rotazione nello spazio dell’isospin:

1

0n

0

1p

Se la fisica resta invariata per effetto della rotazione, allora i generatori del gruppo sono quantità conservate e la trasformazione costituisce un gruppo di simmetria. Gli operatori che introduciamo sono analoghi a quelli introdotti per lo spin:

10

01τ

0i

i0τ

01

10τ 321

In questo formalismo, la carica dei nucleoni è data da:

2

1I

Q 3e

pp 2

1Ip

Q

3e

0n0n 2

1In

Q

3e

I2 I1, I2, I3

e le rappresentazioni fondamentali nelllo spazio dell’isospin sono date dalle matrici di Pauli (indicate qui con i anzichè i):

Tutte le interazioni conservano la carica. Le interazioni forti non dipendono dalla carica, cioè dalla terza componente dell'isospin, e conservano l' isospin. Le interazioni e.m. dipendono dalla carica e possono violare l'isospin.

Tali operatori godono delle stesse proprietà di commutazione degli operatori di spin:

[ i, j ] = i ijk k

Lo stato di protone e di neutrone sono autostati dell’ operatore I3 = ½ 3 associati agli autovalori +1/2 e -1/2:

n2

1

1

0

2

1

1

0

10

01

2

1nτ

2

1nΙ

p2

1

0

1

2

1

0

1

10

01

2

1pτ

2

1pΙ

33

33

e sono autostati dell’operatore I2 = ¼ 2 =¾ 12x2 entrambi associati all’autovalore ¾ :

p4

3

0

1

4

3

0

1

10

01

4

3p1

4

3pΙ

22

2

Gli operatori I± = I1 + i I2 trasformano un protone in neutrone e viceversa:

n1

0

0

1

01

00pΙ

p0

1

1

0

00

10nΙ

Gli isospin di più particelle possono essere sommati esattamente con le stesse regole di somma dei momenti angolari orbitali e di spin:

ITOT = I1 + I2

| I TOT | = | I1 - I2 |, | I1 - I2| +1, . . . , I1 + I2 -1, I1 + I2

ITOT, 3 = I1,3 + I2,3

ESEMPI DI MULTIPLETTI DI ISOSPINMESONI

+ | 1 1

: I = 1 0 | 1 0

- | 1 -1

K+ | ½ ½

K : I = ½

K0 | ½ -½

: I = 0 | 0 0

BARIONI

++ | 3/2 3/2

+ | 3/2 1/2

: I =3/2

0 | 3/2 -1/2

++ | 3/2 -3/2

: I = 0 | 0 0

p | ½ ½

N : I = ½

n | ½ -½

+ | 1 1

: I = 1 0 | 1 0

- | 1 -1

: I = 0 | 0 0

+ | 1 1

: I = 1 0 | 1 0

- | 1 -1

ESEMPI DI MULTIPLETTI DI ISOSPINSe l’ isospin I=1 come nel caso del pione, o della o della , la rappresentazione del gruppo SU(2) non sarà più quella fondamentale con le matrici di Pauli (che sono matrici 2x2) ma sarà quella aggiunta con le seguenti matrici:

1-00

000

001

I

0i0

i-0i

0i-0

2

1I

010

101

010

2

1I 321

Le autofunzioni di I3 sono i tre stati visti prima:

π πI π 0 πIπ

0

0

1

0

0

1

1-00

000

001

πI 300

33

Avendo definito in analogia con lo spin: I± = I1 + i I2, dimostrate che:

ππIππI

ππIππI

00

00