Paradoxon perdületreParadoxon perdületre

TÉTEL:TÉTEL:

Zárt rendszer perdülete állandó.Zárt rendszer perdülete állandó.

A Fizikai Szemle 2007. júliusi számában jelent meg Radnai Gyula és Tichy Géza hasonló című cikke.

Gondolatok a cikk elolvasása után, fizika szakköri feldolgozásra

Két gyermek fekszik egy-egy gumimatracon, Két gyermek fekszik egy-egy gumimatracon, egymással szemben a vízen.egymással szemben a vízen.Egyikük meglöki a másik matracát. Mi történik Egyikük meglöki a másik matracát. Mi történik ezután, ha a víz fékező hatásától és egyéb ezután, ha a víz fékező hatásától és egyéb zavaró körülményektől eltekintünk? zavaró körülményektől eltekintünk?

Tételezzük fel, hogy az erő merőleges a Tételezzük fel, hogy az erő merőleges a matracok hossztengelyére!matracok hossztengelyére!

Valami ilyet láthatnánk.Valami ilyet láthatnánk. Nézzük meg néhányszor! Nézzük meg néhányszor!

Tekintsük meg az egyenlő időközönként készült Tekintsük meg az egyenlő időközönként készült pillanatfelvételeket!pillanatfelvételeket!

Kezdetben mindkét testKezdetben mindkét test nyugalomban volt, most pedig nyugalomban volt, most pedig mindkettő forog és ellentétes irányban mozognak.mindkettő forog és ellentétes irányban mozognak.Figyeljük meg a matracok forgásának irányát!Figyeljük meg a matracok forgásának irányát!

Mit mondhatunk a két test perdületének összegéről?Mit mondhatunk a két test perdületének összegéről?

elmozdulásokerőhatások

A rendszer tömegközéppontja A téglatestek tömegközéppontja

Fel fogjuk használni, hogy erőpár forgatónyomatéka Fel fogjuk használni, hogy erőpár forgatónyomatéka független a forgás tengelyétől.független a forgás tengelyétől.

Az ábrán piros nyilak jelölik a tényleges kölcsönhatást. Az ábrán piros nyilak jelölik a tényleges kölcsönhatást. A továbbiakban szükségünk lesz egy gyakran hasznos trükkre.A továbbiakban szükségünk lesz egy gyakran hasznos trükkre.

Lényege az, hogy a tömegközéppontokban olyan erőket vettünk Lényege az, hogy a tömegközéppontokban olyan erőket vettünk fel, melyek eredője külön-külön zérus. Az erők nagysága a fel, melyek eredője külön-külön zérus. Az erők nagysága a

kölcsönhatáskor fellépő erő nagyságával azonos.kölcsönhatáskor fellépő erő nagyságával azonos.

Figyeljük meg a perdületek irányát, mely azonos az Figyeljük meg a perdületek irányát, mely azonos az erőpárok forgatónyomatékainak irányával! erőpárok forgatónyomatékainak irányával!

Az ábrán most a matracokra ható erőpárokat emeltük ki.Az ábrán most a matracokra ható erőpárokat emeltük ki.

Zárt a rendszer és belső erő hozza létre Zárt a rendszer és belső erő hozza létre ezeket a perdületeket? ezeket a perdületeket?

Tehetetlenségi nyomaték:A testek tömegétől, geometriai adataitól és a forgás tengelyétől is függ. Perdület: A tehetetlenségi nyomaték és a szögsebesség szorzata.

Figyeljük meg a rendszer tömegközéppontjához viszonyított Figyeljük meg a rendszer tömegközéppontjához viszonyított elmozdulásokat és a haladó mozgást létrehozó erőket!elmozdulásokat és a haladó mozgást létrehozó erőket!

Ezeknek az erőknek a Ezeknek az erőknek a rendszer tömegközéppontjárarendszer tömegközéppontjára vonatkozóan vonatkozóan van forgatónyomatéka.van forgatónyomatéka.

Ez az erőpárEz az erőpár milyen irányú perdületet hoz létre?milyen irányú perdületet hoz létre?

Nézzük meg az előző két ábrát együtt!Nézzük meg az előző két ábrát együtt!

Így már lehet zérus a perdületek összege!Így már lehet zérus a perdületek összege! A paradoxont feloldottuk.A paradoxont feloldottuk.

EMLÉKEZTETŐ:EMLÉKEZTETŐ:

Zárt rendszer perdülete állandó.Zárt rendszer perdülete állandó.

Mennyire reális a bevezetőben látott Mennyire reális a bevezetőben látott animáció?animáció?

Érdemes kiszámítani, hogy egy adott erőlökés Érdemes kiszámítani, hogy egy adott erőlökés esetén milyen a haladó mozgás és a forgó mozgás esetén milyen a haladó mozgás és a forgó mozgás

viszonya.viszonya.

Vizsgáljunk most egyetlen m tömegű téglatestet!Vizsgáljunk most egyetlen m tömegű téglatestet!(Majdnem olyan, mint a gyerek a matracon.)(Majdnem olyan, mint a gyerek a matracon.)

Ennek tehetetlenségi nyomatéka a tömegközépponton áthaladó, Ennek tehetetlenségi nyomatéka a tömegközépponton áthaladó, aa és és bb élre merőleges tengelyre vonatkozóan: élre merőleges tengelyre vonatkozóan:

22

12

1bam

A haladó mozgás vS sebességének és a forgó mozgás ω szögsebességének a kapcsolatát szeretnénk megvizsgálni.

Az erőhatás rövid időtartama miatt célszerű a mozgásegyenleteket a következő alakban Az erőhatás rövid időtartama miatt célszerű a mozgásegyenleteket a következő alakban

felírni:felírni:

tM

vmtF

Az alkalmazott jelölések:d

rα

2sin

A mozgásegyenletek ismét:

rFM v 00

ωrΔωrvΔv S

Itt , és ha

Svm

ωΘr

A második egyenletet az elsővel osztva:

és ω 00 P

Q

S

a

r

d

α

F

b

22 412

1ramΘ

2k

S rm

vΘ

rm

ωΘv

2

22

2k

S

12

4

r

ra

rm

Θ

v

v

Mivel homogén téglatestet vizsgálunk és b=2r,

Svm

ωΘr

Tovább alakítva az összefüggést

Itt vk a P és Q pontok tömegközépponthoz viszonyított kerületi sebességét jelöli, és vk=rω, mert PS=QS=r

P

Q

S

a

r

d

α

b

F

22

2

22

2

S

k sin343

4

12

d

r

ra

r

v

v

Láthatjuk, hogy a arány csak a téglatest két

élének arányától függ. A nevezőben felismerhetjük a téglalap d átlójának négyzetét.

Ha α az a oldal és az átló hajlásszöge, akkor

22

2

S

k

4

12

ra

r

v

v

Ennek akkor van minimuma, ha α = 0, vagyis akkor, ha egy homogén tömegeloszlású pálcát hosszirányban lökünk meg. (b = r = 0)

Maximuma van a függvénynek, ha α = 90°, vagyis ha ha egy homogén pálcát hosszirányára merőlegesen lökünk meg.

Egy pálcánál, ha ≈ 0, sinα ≈ 1, a vizsgált pontok sebességére:

4P

S

vv

2P

Q

vv

Ha indításkor az erő merőleges a matrac hossztengelyére és a P pont az erő támadáspontja,

kSP vvv αv

v

v

v 2

S

k

S

P sin311

kSQ vvv αv

v

v

v 2

S

k

S

Q sin311

Az ellentett Q pontra pedig

SP 4 vv SQ 2 vv

A mozgásegyenletből a sebességek nagyságát is kiszámíthatjuk, ha az erőlökés, A mozgásegyenletből a sebességek nagyságát is kiszámíthatjuk, ha az erőlökés, a tömeg és a geometriai méretek ismertek. a tömeg és a geometriai méretek ismertek.

Házi feladat!Házi feladat!

Ismételjük meg az előző gondolatmenetet Ismételjük meg az előző gondolatmenetet elhanyagolható tömegű pálcával összekötött elhanyagolható tömegű pálcával összekötött mm11 és m és m22 tömegpontokra, azaz egy súlyzóra! tömegpontokra, azaz egy súlyzóra!

A következő ábrákon a tömegpontok és a A következő ábrákon a tömegpontok és a súlyzó S tömegközéppontjának mozgását súlyzó S tömegközéppontjának mozgását megtekinthetjük. megtekinthetjük.

A bal oldali táblázat második

oszlopába beírt adatok

alapján készült az

ábra.

Induló adatok Számított adatok(SI egységekben)

1. tömegre ható erő (N) (x irányú) 25 Súlypont helye , ha t=0 (x) 0

Erőhatás ideje (s) 0,4 Súlypont helye ha t=0 (y) 0,8

1. tömeg P pont (kg) 2 Súlypont sebessége 5

2. tömeg Q pont (kg) 3 Q pont helye, ha t=0 (x) 0

tömegpontok távolsága (m) 1 Q pont helye, ha t=0 (y) 1,2

A képpontok száma T idő alatt 50 Tehetetlenségi nyomaték 0,7

A súlypontra vonatkozó forgatónyomaték 20,00

Szögsebesség 5,5

Periódusidő 1,1

Időintervallum az ábránál Δt 0,0

P pont kerületi sebessége 4,4

Q pont kerületi sebessége 2,2

Itt játszhatunkaz adatokkal

(EXCEL)

-1,0

0,0

1,0

2,0

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

x irányú elmozdulás (m)

y ir

ányú

elm

ozd

ulá

s (m

)

P pont pályája Súlypont pályája Q pont pályája

Visszatérve egy korábbi ábrára: Visszatérve egy korábbi ábrára: Hiba az, hogy a kölcsönhatáskor az erőkHiba az, hogy a kölcsönhatáskor az erőknem esnek egy egyenesbe?nem esnek egy egyenesbe?

Kérdés:Kérdés:

Választ Választ nati44@tvnetwork.hu címre várok címre várok

Összeállította:Összeállította:Zagyva TibornéZagyva Tiborné

BajaBaja

2007.2007.