OPU_chap4_part3

Notes de cours CHIM0083-1

Opérations Physiques Unitaires Chapitre IV

Prof. M. Crine

154

C. LA DISTILLATION MONO-ÉTAGÉE DISCONTINUE (mélange binaire A-B) C.1 Bilan de matière

Bilan sur A

( )Vy

dt

mxdA

LA −=

Bilan total

Vdt

dmL −=

Equilibre thermodynamique

( ) AAB

AABA

x

xy

11 −+=

αα

mF : Nombre total de moles présentes en phase liquide dans le bouilleur au temps t = 0 (kgmole)

mL : Nombre total de moles en phase liquide restant dans le bouilleur au cours de la distillation

(kgmole)

La dérivée de produit dans la première équation peut être développée :

( )A

AL

LA

LA yVdt

dxm

dt

dmx

dt

mxd−=+=

En introduisant la deuxième équation, il vient :

( )AAA

L yxVdt

dxm −=

yA(t) V(t)

xD D (distillat)

xA(t)

mL(t)

→ temps



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155

On obtient un ensemble de deux équations différentielles ordinaires reliées entre elles par l’équation d’équilibre liquide-vapeur.

Vdt

dmL −=

( )AL A A

dxm V y x

dt= − −

Ces deux équations ne peuvent cependant pas être intégrées sans connaître le débit de vapeur V et son évolution au cours du temps. Cette information sera fournie par le bilan de chaleur. On peut éviter provisoirement le recours à cette information en divisant les deux équations précédentes (et en faisant disparaître V).

AA

A

L

L

xy

dx

m

dm

−=

Cette équation est appelée l’équation de Rayleigh135. Sous sa forme intégrale, elle relie le degré d’avancement de la distillation aux fractions molaires :

- yA dans la vapeur (égale à xD dans le distillat) et,

- xA dans le résidu

lnA

F

x

L A

F A Ax

m dx

m y x

∗

=−∫

xF : Fraction molaire de A dans le bouilleur au temps t = 0 ∗

Ax : Fraction molaire de A dans le bouilleur en cours de distillation

Le terme au dénominateur dans l’intégrale (yA – xA) est déterminé par l’équation d’équilibre liquide-vapeur : il est d’autant plus élevé que la volatilité relative du mélange est élevée. Plus ce terme sera élevé :

- plus la quantité résiduelle de liquide dans le bouilleur (mL), correspondant à une valeur

déterminée de ∗Ax , sera élevée ou, inversement,

- plus la fraction molaire ∗Ax sera faible, pour une valeur fixée de mL.

136

135 Lord Rayleigh, physicien anglais, 1842 – 1919.

136 Voir les deux graphiques de la page suivante.

0 xA 1

1 yA xA 0



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156

Dans le cas d’un mélange binaire idéal ( constante=ABα ), l’intégrale peut être calculée

analytiquement après avoir exprimé l’équilibre liquide-vapeur.

∫∗

−=

A

F

x

x AA

A

F

L

xy

dx

m

mln

devient :

( )

( )[ ]

( )( ) ∗∗

∗

−

−+

−

−

−=

−

−+

−=

−−+

= ∫∫∗∗

A

F

AF

FA

AB

A

x

x AA

AAAB

AB

x

xA

AAB

AAB

A

F

L

x

x

xx

xx

dxxx

x

xx

x

dx

m

m A

F

A

F

1

1ln

1

1ln

1

1

11

1

1

11

ln2

α

αα

αα

Cette équation permet de calculer l’évolution de la fraction molaire en A (composé volatil)

en fonction du degré d’avancement de la distillation défini par FL mm−1 137, tel qu’illustré

sur les 2 graphiques suivants : 138

137

FL mm−1 vaut 0 en début de distillation (mL = mF) et 1 en fin de distillation (mL = 0). 138 ∗

Ax est calculée par la formule ci-dessus, ∗Ay y est reliée par l’équation d’équilibre liquide-vapeur.

0 0,5 1

1 xF 0

1 L Fm m−

A

A

x

y

2ABα =

5ABα =

10ABα =

Ax

1 L Fm m−



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157

Il est également possible de calculer la concentration moyenne en A dans le distillat, Dx .

Cette dernière est égale à la concentration moyenne dans la vapeur, Ay 139, collectée tout

au long du processus de distillation. Elle peut être déterminée par un simple bilan de matière :

- Quantité totale de vapeur entraînée : LF mm −

- Quantité de A entraînée par la phase vapeur : ALFF xmxm −

En divisant ces deux quantités, on obtient la concentration moyenne en A, Ay :

1 1

LF A

F F L A F F AD A A

L LF L

F F

mx x

m x m x m x xx y x

m mm m

m m

−− −

= = = = +− − −

Cette dernière grandeur est également reproduite sur les deux graphiques précédents. Quelques observations � La composition en composé volatil dans le bouilleur (xA) diminue plus rapidement avec

le degré d’avancement ( FL mm−1 ) de la distillation lorsque la volatilité relative ABα

augmente.

� La diminution de xA avec FL mm−1 permet de déterminer à partir de quel degré

d’avancement, le résidu est suffisamment appauvri en composé volatil ( seuil≤Ax ).

� Il faut toutefois utiliser des mélanges de volatilité relative très élevée (par exemple :

>ABα 5) pour pouvoir collecter une quantité significative de résidu suffisamment pur.

� La diminution de Dx avec FL mm−1 permet de déterminer jusqu’à quel degré

d’avancement la composition moyenne du distillat reste suffisamment riche en volatil

( seuilAy ≥ ) : au-delà, il est nécessaire de fractionner la collecte.

� De ma même manière, il faut utiliser des mélanges de volatilité relative très élevée

(par exemple : >ABα 5) pour pouvoir collecter une quantité significative de distillat

suffisamment pur.

� Une séparation satisfaisante est donc très difficile à obtenir en distillation mono-étagée discontinue.

� De toute façon, cette séparation est limitée à des quantités assez faibles en début et fin de distillation.

139 La vapeur est condensée totalement dans le condenseur : la composition ne change donc pas.



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158

C.2 Bilan de chaleur

Bilan de chaleur

( )LL Vd m H

Q H Vdt

= −

Bilan total

Vdt

dmL −=

Q : Débit de calories apportées au bouilleur (kW) H

V : Enthalpie de la phase vapeur à son point de rosée (kJ/kgmole)

HL : Enthalpie de la phase liquide à son point d’ébullition (kJ/kgmole)

Si on néglige la variation temporelle 140 de l’enthalpie LH de la phase liquide, l’équation de bilan de chaleur devient :

( )VHQ

dt

dmH

dt

Hmd VLLL

L −==

En introduisant l’équation de bilan total dans l’équation de bilan de chaleur simplifiée, il vient :

VHQVHdt

dmH VLLL −=−= ⇒ ( ) VVHHQ VLV Λ=−=

140 La variation d’enthalpie de la phase liquide est due aux variations de composition et de température.

L’équation de bilan de chaleur néglige aussi la contribution enthalpique de la phase vapeur présente dans le bouilleur.

HV(t) V(t)

xD D (distillat)

HL(t)

mL(t)

→ temps

Q



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159

Le bilan de chaleur permet donc de relier le débit de vapeur V à la source de chaleur

apportée au bouilleur Q et à l’enthalpie de vaporisation VΛ .

V

QV

Λ=

Pour rappel, l’enthalpie de vaporisation VΛ varie en cours de distillation dans le cas des mélanges non idéaux. 141 Elle reste par contre constante dans le cas de mélanges idéaux. L’impact du bilan de chaleur est donc limité à la vitesse à laquelle une opération de distillation mono-étagée discontinue se déroule. Contrairement à la distillation mono-étagée continue, le bilan de chaleur n’influence par la qualité de la séparation.

141 Voir la description du diagramme enthalpique d’un mélange binaire.



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160

4. BILANS GLOBAUX DE MATIÈRE ET DE CHALEUR : LA DISTILLATION MULTI-ÉTAGÉE

A. PRINCIPES GÉNÉRAUX La distillation multi-étagée consiste à mettre en contact une phase vapeur circulant vers le haut et venant du bouilleur et d’une phase liquide circulant vers le bas et venant du condenseur où la vapeur à été condensée et partiellement recirculée (reflux).

Les phases vapeur et liquide circulent donc à contre-courant dans un contacteur gaz-liquide. 142

Ce type de distillation est le plus souvent appelée rectification, en référence à l’opération réalisée dans la partie supérieure de la colonne : la redistillation de la phase vapeur à des températures de plus en plus basses. 143

Bien que la définition de distillation multi-étagée fasse penser à l’utilisation d’un contacteur étagé (colonne à plateaux), la mise en contact des deux phases peut être réalisée dans n’importe quel autre type de contacteur, en particulier le contacteur continu (colonne à garnissage).

Fondamentalement, la rectification comporte :

- Un bouilleur et un condenseur, comme dans le cas de la distillation mono-étagée

- Un contacteur gaz-liquide situé entre le bouilleur et le condenseur, comme dans une colonne d’absorption gaz-liquide.

L’analyse du fonctionnement d’une colonne de rectification présente en conséquence beaucoup de points de similitude avec l’analyse du fonctionnement d’une colonne d’absorption gaz-liquide, entre autres les concepts de plateau théorique et d’unité de transfert.

La différence principale tient à la présence du bouilleur et du condenseur qui introduit une dimension enthalpique dans l’analyse, ce qui implique la prise en compte de bilans de chaleur fortement couplés aux bilans de matière.

Nous aborderons successivement la modélisation de :

- La distillation multi-étagée continue ou rectification continue

- La distillation multi-étagée discontinue ou rectification discontinue

142 Voir chapitre II : Absorption gaz-liquide

143 Voir la partie consacrée à la description des différents moyens mis en œuvre.



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161

B. LA RECTIFICATION CONTINUE (mélange binaire A-B) L’analyse du fonctionnement d’une colonne de rectification implique l’écriture des bilans de matière et de chaleur sur différentes zones de l’appareil pour tenir compte des conditions de fonctionnement au-dessus et en-dessous de l’alimentation de la charge. En pratique, nous considérerons quatre zones, représentées sur le schéma ci-dessous : - Zone I : L’entièreté de l’appareil (y compris le bouilleur et le condenseur)

permettant d’expliciter les termes d’entrée et de sortie de l’appareil. - Zone II : La partie de l’appareil située au-dessus du point d’alimentation, appelée

zone de rectification. - Zone III : La partie de l’appareil située en-dessous du point d’alimentation, appelée

zone d’épuisement. - Zone IV : Le plan d’alimentation. Zone I

Zone II

Zone IV

Zone III

Notation des débits et fractions molaires - Alimentation (zone IV)

F : Débit molaire d’alimentation

xF : Fraction molaire du composé A

- Zone de rectification (zone II)

D : Débit molaire soutiré au condenseur

xF : Fraction molaire du composé A au condenseur

QC : Débit de calories emportées au condenseur

- Zone d’épuisement (zone III)

B : Débit molaire soutiré au bouilleur

xB : Fraction molaire du composé A au bouilleur

QB : Débit de calories apportées au bouilleur

Les débits de vapeur (V) et de liquide (L) seront indicés

- r dans la partie de rectification (Vr et Lr)

- e dans la zone d’épuisement (Ve et Le)

F xF

D xD

B xB

QB

QC

VA : apport de vapeur au bouilleur ER : apport d’eau de refroidissement au condenseur



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162

Bilan sur A (composé le plus volatil)

DxBxFx DBF +=

Bilan global

DBF +=

� BD

BF

xx

xx

F

D

−

−= et

BD

FD

xx

xx

F

B

−

−=

Bilan sur A

DxLxVy DrArA +=

Bilan global

DLV rr +=

� D

r

rA

r

rA x

V

Lx

V

Ly

−+= 1 ⇒ Ligne opératoire de la rectification

B.1 Bilan de matière

Ces deux relations permettent de déterminer la répartition de l’alimentation (F) entre le bouilleur (B) et le condenseur (D) en fonction des spécifications des produits de sortie (xB et xD).

Cette ligne opératoire relie les évolutions de yA et xA dans la zone de rectification. Elle est une droite si le rapport Lr/Vr est constant sur toute cette zone.

En fait, l’évolution de Lr/Vr est fixée par le bilan de chaleur. 144

Si le rapport Lr/Vr est constant, cette grandeur est fixée par le taux de reflux au condenseur RD définissant le rapport entre le débit de liquide recirculé Lr et le débit de liquide D soutiré en tête.

D

LR r

D = ⇒ D

D

A

D

DA x

Rx

R

Ry

1

1

1 ++

+= : droite de pente positive < 1

144 Voir plus loin le point B.2 : Bilan de chaleur

Zone 2

Zone 1

F

→→→→ B ←←←←

D

→→→→

D

→→→→

Vr↑↑↑↑↓↓↓↓Lr



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163

Bilan sur A

BxVyLx BeAeA +=

Bilan global

BLV ee +=

� B

e

eA

e

eA x

V

Lx

V

Ly

−+= 1 ⇒ Ligne opératoire de l’épuisement

Bilan sur A

eArArAeAF LxVyLxVyFx +=++

Bilan global

erre LVLVF +=++ ⇒ )()( reer LLVVF −+−=

Cette ligne opératoire relie les évolutions de yA et xA dans la zone d’épuisement. Elle est une droite si le rapport Le/Ve est constant sur toute cette zone. Comme pour la zone de rectification, l’évolution de Le/Ve est fixée par le bilan de chaleur. Si le rapport Le/Ve est constant, cette grandeur est fixée par le taux de revaporisation au bouilleur RB définissant le rapport entre le débit de vapeur Ve renvoyé dans la colonne et le débit de liquide soutiré B en pied.

B

VR e

B = ⇒ B

B

A

B

BA x

Rx

R

Ry

11−

+= : droite de pente positive > 1

Les bilans portent sur le plan d’alimentation, infiniment mince : les compositions (xA , yA) des flux venant et partant des zones 1 et 3 sont supposées identiques.

Les termes )( er VV − et )( re LL − représentent les accroissements des débits de vapeur et

de liquide dus à l’ajout de l’alimentation F et à sa vaporisation partielle. Cette vaporisation partielle est caractérisée par la fraction vaporisée de l’alimentation:

F

VV er −=ω

B

←←←←

Vr↑↑↑↑↓↓↓↓Lr

Zone 4

Ve↑↑↑↑↓↓↓↓Le

Zone 3

Ve↑↑↑↑↓↓↓↓Le

F

→→→→



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164

� Droite opératoire de la rectification

- de pente 1+D

D

R

R < 1

- passant par le point DAA xxy ==

� Droite opératoire de l’épuisement

- de pente B

B

R

R 1+ > 1

- passant par le point BAA xxy ==

� Droite d’alimentation

- de pente ωω 1−

- passant par le point FAA xxy ==

Le débit d’alimentation dans l’équation de bilan de matière sur A peut dès lors être

exprimé en fonction ω et de )( er VV − . Il vient :

( ) ( ) 0A e r A r e Fy V V x L L x F− + − + = ⇒ 0=+−

+−

Fer

Are

A xF

LLx

F

VVy

qui peut être mise sous la forme suivante :

1 1A A Fy x x

ωω ω−

= + ⇒ droite de l’alimentation

La pente de cette ligne d’alimentation est fixée par la valeur de la fraction vaporisée ω .

On notera à ce stade 145 deux valeurs particulières de ω :

- 0=ω (vaporisation nulle de l’alimentation) ⇒ droite verticale (pente = ∞)

- 1=ω (vaporisation totale de l’alimentation) ⇒ droite horizontale (pente = 0)

Comme pour les rapports L/V précédents, le taux de vaporisation est fixé par le bilan de chaleur. Représentation graphique Les équations de bilan de matière décrites ci-dessus peuvent être représentées graphiquement de manière semblable à celle utilisée en absorption gaz-liquide.

145 Voir plus loin le point B.2 : Bilan de chaleur

1 0 0 xB xF xD 1

Ay

�

�

�

Potentiel moteur de l’échange L-V

Courbe d’équilibre L-V

DR ր

BR ր

ωր

Ax



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165

Quelques observations � L’écart entre les droites (ou courbes) opératoires et la courbe d’équilibre liquide-

vapeur mesure le potentiel moteur assurant le transfert entre le liquide et la vapeur. � Cet écart augmente lorsque le taux de reflux RD et le taux de revaporisation RB

augmente. � En effet :

- La pente de la droite opératoire ( )1( +DD RR ) de la droite (courbe) opératoire de

rectification tend vers 1 (bissectrice) lorsque ↑DR ⇒ potentiel moteur ↑

- La pente de la droite opératoire ( BB RR )1( + ) de la droite (courbe) opératoire de

rectification tend vers 1 (bissectrice) lorsque ↑BR ⇒ potentiel moteur ↑ � Dans les deux cas, l’augmentation du potentiel moteur entraîne une amélioration de

l’efficacité de la colonne de distillation. � Le potentiel moteur maximum est atteint lorsque le taux de reflux tend vers l’infini. La

colonne fonctionne alors à reflux total. � Le point d’intersection entre les deux droites (courbes) opératoires représente une

« point d’étranglement » du processus de transfert, c.-à-d., l’endroit où le potentiel moteur est minimum.

� Ce point correspond aussi au point d’intersection avec la droite d’alimentation. � Il correspond donc à l’intersection de trois droites.

� Les pentes de ces trois droites ( ωω 1et, −eerr VLVL ) ne peuvent donc être fixées

indépendamment les unes des autres. � En général, on procède de la manière suivante :

- La composition xD du distillat est imposée.

- On fixe le taux de reflux DR (réglage de débits en tête de colonne).

� ce qui fixe la pente de la droite opératoire de rectification : ( )1+DD RR .

- La fraction vaporisée ω est imposé par l’état enthalpique de l’alimentation. 146

� ce qui fixe la pente de la droite d’alimentation : ωω 1− .

- L’intersection des deux droites fixe le point d’étranglement.

� ce qui fixe la pente de la droite opératoire d’épuisement ( ) BB RR 1+ et, donc, le

taux de revaporisation RB.

146 Ce point sera abordé au point suivant : Bilan de chaleur



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166

Bilan de chaleur

CDBBF QDHQBHFH ++−=

DD

QHB

B

QHFH C

DB

BF

++

−=

DBFH DBF ππ +=

Bilan global

DBF +=

B.2 Bilan de chaleur

HF : Enthalpie de l’alimentation (kJ/kgmole)

HB : Enthalpie du liquide au bouilleur (kJ/kgmole)

HD : Enthalpie du liquide au condenseur (kJ/kgmole)

Dans le bilan de chaleur ci-dessus, les contenus enthalpiques ont été regroupés en tête (condenseur) et en pied (bouilleur) de colonne sous la forme d’équivalents chaleur sensible des liquides soutirés, à savoir :

- ( )DQH CD + : chaleur sensible équivalente du distillat, incluant la chaleur CQ soutirée

au condenseur.

- ( )BQH BB − : chaleur sensible équivalente du résidu, incluant la chaleur BQ apportée

au bouilleur. 147 L’équation de bilan de chaleur peut être comparée à l’équation de bilan de matière portant sur la zone 1 :

DBFH DBF ππ += ⇒ DxBxFx DBF +=

On constate que, sur un diagramme enthlapique, les coordonnées du point ( FF xH , ) sont

des combinaisons linéaires des coordonnées des points ( BB x,π ) et ( DD x,π ).

Ces points sont donc alignés sur le diagramme enthalpique ainsi qu’illustré à la page suivante.

Les points de coordonnées ( BB x,π ) et ( DD x,π ) sont respectivement appelés pôle d’épuisement et pôle de rectification.

147 C’est la raison pour laquelle le terme QB est comptabilisé avec un signe -

Zone 1

HF

→→→→

HB ←←←←

QC

→→→→

→→→→ HD

QB

←←←←



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167

Le bilan de chaleur sur la zone 1 traduit le lien existant entre les différentes sources de chaleur : - Le bouilleur Les sources de chaleur au niveau de

- Le condenseur ⇒ ces trois points ne peuvent être fixées - L’alimentation indépendamment l’une de l’autre.

L’équation de bilan peut être comparée à l’équation de bilan de matière portant sur la zone 2 :

DLHVH Dr

L

r

V π+= ⇒ DxLxVy DrArA +=

On constate que, sur le diagramme enthalpique, les coordonnées du point ( A

V yH , ) sont

des combinaisons linéaires des coordonnées des points ( A

L xH , ) et ( DD x,π ).

Ces points sont donc alignés sur le diagramme enthalpique présenté à la page suivante.

0 xB xF xD 1

H

Enthalpie du liquide en pied de colonne

Dπ

Bπ

FH

DH

BH

CQ

D

BQ

B−

Enthalpie du condensat

A Ax y

( )V

AH y

( )L

AH x

Zone 2

QC

→→→→

→→→→ HD

HV↑↑↑↑↓↓↓↓HL

Bilan de chaleur

V L

r r D CH V H L H D Q= + +

DD

QHLHVH C

Dr

L

r

V

++=

DLHVH Dr

L

r

V π+=

Bilan global

DLV rr +=



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168

La composition (xA , yA) correspond à 1 point de la ligne (droite) opératoire de la zone de rectification, définie lors de l’écriture des bilans de matière. Les fractions molaires xA et yA ne sont pas à l’équilibre, puisqu’elles appartiennent à la droite opératoire. La droite A-B est donc différente d’une droite isotherme (de lien) caractérisant l’équilibre thermodynamique entre le liquide et la vapeur (droite A-C).

En faisant pivoter cette droite A-B autour du pôle de rectification ( DD x,π ) 148, on obtient

l’ensemble des points de coordonnées (xA , yA) de la ligne opératoire de rectification. Ce diagramme (et le bilan de chaleur) apporte l’information manquante pour déterminer le

rapport rr VL , et son éventuelle évolution avec la composition, dans le bilan de matière.

En effet, si on reprend les deux équations du bilan de chaleur :

DLHVH Dr

L

r

V π+= et DLV rr +=

il vient, en remplaçant D par Vr – Lr :

( ) ( ) r

L

Dr

V

D LHVH −=− ππ ⇒ L

D

V

D

r

r

H

H

V

L

−

−=ππ

Cette fraction rr VL sera pratiquement constante lorsque :

- Les enthalpies HV et HL varient peu avec la composition, c.-à-d. lorsque le mélange est idéal.

- Lorsque que Dπ , égal à D CH Q D+ , est largement supérieur à HV et HL, c.-à-d. lorsque

la chaleur CQ enlevée au condenseur est très importante.

148 Un pôle est défini ici comme le point d’intersection des droites déterminant la composition xA , yA.

0 xB xF xA yA xD 1

Dπ

Bπ

LH

VH

H

A Ax y

( )V

AH y

( )L

AH x

1l

2l

A

B

C

A-C = Isotherme HL et HV correspondent à des points qui ne sont pas à l’équilibre. � A-B ≠ Isotherme



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169

Dans tous les autres cas, on ne pourra adopter l’hypothèse constante≅rr VL , il sera

nécessaire de tenir compte de l’évolution de la pente de la ligne opératoire lors de la résolution des équations de bilan de matière. L’impact de cette évolution peut être visualisé à l’aide des deux diagrammes suivants.

Le rapport des différences d’enthalpie L

D H−π et V

D H−π est égal au rapport des

longueurs de segment 21 ll + et 2l . 149

On observe clairement que ce rapport diminue lorsque xA diminue depuis la composition xD en tête de colonne vers des valeurs inférieures :

- Lorsque ↓Ax : ↑1l et ↓2l ⇒ ( )↓+ 212 lll

- La ligne opératoire de rectification s’incurve avec une concavité positive

L’écart entre la courbe d’équilibre liquide-vapeur et la ligne opératoire diminue :

- Le potentiel moteur du transfert diminue (zone hachurée sur le diagramme enthalpique).

La capacité du condenseur est représentée par la quantité de chaleur QC à soutirer (par unité de temps). Cette dernière est directement liée au débit de vapeur qui y est condensée :

( )D

V

rC xVQ Λ=

149 Règle des triangles rectangles

0 xB xA yA xD 1

Dπ

Bπ

H

A Ax y

( )V

AH y

( )L

AH x

1l

2l

1l ր

2l ց

1 0

Ay

Ax

penteց

0 xB xA xD 1

Ligne opératoire de pente constante

Ligne opératoire de pente �



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170

Bilan de chaleur

BQBHVHLH BBe

V

e

L −+=

BB

QHVHLH B

Be

V

e

L

−+=

BVHLH Be

V

e

L π+=

Bilan global

BVL ee +=

Tenant compte de la définition du taux de reflux DR ( ( ) DDVDL rr −== ), il vient :

( ) ( )D

V

DC xRDQ Λ+= 1

Tenant compte du bilan de matière sur l’entièreté de l’appareil (zone 1) :

BD

BF

xx

xx

F

D

−−

=

il vient :

( ) ( )BD

BFD

V

DCxx

xxxRFQ

−−

Λ+= 1

Cette équation nous montre que la capacité du condenseur, pour une séparation déterminée (xB , xD et xF fixés), est reliée linéairement au :

- débit d’alimentation F,

- taux de reflux RD.

Cette dernière information est importante car elle relie la capacité du condenseur à l’efficacité de séparation.

En effet :

- lorsque ↑DR , le potentiel moteur ↑ et, donc, l’efficacité de séparation augmente,

- lorsque ↑DR , la capacité ↑CQ et, donc, la consommation énergétique augmente.

� Nécessité de rechercher un compromis.

La démarche est strictement identique à celle adoptée sur la zone 2. L’équation de bilan peut à nouveau être comparée à l’équation de bilan de matière portant sur la zone 3 :

BVHLH Be

V

e

L π+= ⇒ BxVyLx BeAeA +=

HB

←←←←

HV↑↑↑↑↓↓↓↓HL

Zone 3

QB

←←←←



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171

On constate que, sur le diagramme enthalpique, les coordonnées du point ( A

V yH , ) sont

des combinaisons linéaires des coordonnées des points ( A

L xH , ) et ( BB x,π )

Ces points sont donc alignés sur le diagramme enthalpique présenté ci-dessous.

La composition (xA , yA) correspond à 1 point de la ligne (droite) opératoire de la zone de rectification, définie lors de l’écriture des bilans de matière. Les fractions molaires xA et yA ne sont pas à l’équilibre, puisqu’elles appartiennent à la droite opératoire150.

En faisant pivoter cette droite A-B autour du pôle de rectification ( DD x,π ), on obtient

l’ensemble des points de coordonnées (xA , yA) de la ligne opératoire de rectification. Ce diagramme (et le bilan de chaleur) apporte l’information manquante pour déterminer le

rapport ee VL , et son éventuelle évolution avec la composition, dans le bilan de matière.

En effet, si on reprend les deux équations du bilan de chaleur :

BVHLH Be

V

e

L π+= et BVL ee +=

il vient, en remplaçant B par Le – Ve :

eBeBe

V

e

L VLVHLH ππ −+=

( ) ( ) eB

L

eB

V LHVH ππ −=− ⇒ B

L

B

V

e

e

H

H

V

L

ππ

−

−=

150 Voir commentaires lors de l’interprétation du bilan de chaleur sur la zone 2

0 xB xA yA xD 1

Dπ

Bπ

LH

VH

H

A Ax y

( )V

AH y

( )L

AH x

1l

2l

A

B

HL et HV correspondent à des points qui ne sont pas à l’équilibre. � A-B ≠ Isotherme



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172

Cette fraction ee VL sera pratiquement constante lorsque :

- Les enthalpies HV et HL varient peu avec la composition, c.-à-d., lorsque le mélange est idéal.

- Lorsque que Bπ ( )BQHàégal BB − est largement négatif, et donc largement inférieur

à HV et HL, c.-à-d. lorsque la chaleur BQ apportée au bouilleur est très importante.

Dans tous les autres cas, on ne pourra adopter l’hypothèse constante≅ee VL , il sera

nécessaire de tenir compte de l’évolution de la pente de la ligne opératoire lors de la résolution des équations de bilan de matière.

L’impact de cette évolution peut être visualisé à l’aide des deux diagrammes suivants

Le rapport des différences d’enthalpie B

LH π− et B

VH π− est égal au rapport des

longueurs de segment 2l et 21 ll + .

On observe clairement que ce rapport diminue lorsque xA augmente depuis la composition xB en pied de colonne vers des valeurs supérieures :

- Lorsque ↑Ax : ↑1l et ↓2l ⇒ ( ) ↑+ 221 lll

- La ligne opératoire d’épuisement s’incurve avec une concavité positive L’écart entre la courbe d’équilibre liquide-vapeur et la ligne opératoire diminue :

- Le potentiel moteur du transfert diminue (zone hachurée sur le diagramme enthalpique).

0 xB xA xD 1 0 xB xA yA xD 1

Dπ

Bπ

H

A Ax y

( )V

AH y

( )L

AH x

1l

2l

1 0

Ay

Ax

penteր

Epuisement Rectification

Ligne opératoire de pente constante

Ligne opératoire de pente �



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173

Bilan de chaleur

e

L

r

V

r

L

e

V

F LHVHLHVHFH +=++

Bilan global

erre LVLVF +=++

La capacité du bouilleur est représentée par la quantité de chaleur QB à apporter (par unité de temps). Cette dernière est directement liée au débit de vapeur qui y est produite :

( )BV

eB xVQ Λ=

Tenant compte de la définition du taux de revaporisation BR ( BVe= ), il vient :

( )BV

BB xRBQ Λ=

Tenant compte du bilan de matière sur l’entièreté de l’appareil (zone 1) :

BD

FD

xx

xx

F

B

−−

=

il vient :

( )BD

FDB

V

BCxx

xxxRFQ

−−

Λ=

Cette équation nous montre que la capacité du bouilleur, pour une séparation déterminée (xB , xD et xF fixés), est reliée linéairement au :

- débit d’alimentation F,

- taux de revaporisation RB.

Cette dernière information est importante car elle relie la capacité du bouilleur à l’efficacité de séparation.

En effet :

- lorsque ↑BR , le potentiel moteur ↑ et, donc, l’efficacité de séparation augmente,

- lorsque ↑BR , la capacité ↑BQ et, donc, la consommation énergétique augmente.

� Nécessité de rechercher un compromis. Cette conclusion est évidemment strictement semblable à celle faite lors de la détermination de la capacité du condenseur faite sur la zone 2.

HV↑↑↑↑↓↓↓↓HL

HV↑↑↑↑↓↓↓↓HL

Zone 4

HF →→→→



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174

Les bilans portent sur le plan d’alimentation, infiniment mince : les enthalpies ( LV HH , ) des

flux venant et partant des zones 1 et 3 sont supposées identiques. Le bilan global traduit la répartition du débit l’alimentation F entre :

- l’accroissement du débit de vapeur er VV − entre la zone d’épuisement et la zone de

rectification et,

- l’accroissement du débit de liquide re LL − entre la zone de rectification et la zone

d’épuisement. Cette répartition est caractérisée par la fraction vaporisée ω :

F

VV er −=ω et F

LL re −=−ω1

Le bilan de chaleur peut être réécrit en fonction de ω :

V L V L

F e r r eH F H V H L H V H L+ + = + ⇒ ( ) ( )re

L

er

V

F LLHVVHFH −+−=

( )ωϖ −+= 1LV

F HHH ⇒ LV

L

F

HH

HH

−

−=ω

La fraction vaporisée ω et la pente ωω )1( − de la droite d’alimentation sont donc

déterminées par le bilan de chaleur. Pour rappel, la droite d’alimentation est représentée par l’équation suivante :

FAA xxyωω

ω 11+

−=

Différentes situations peuvent être rencontrées en fonction de l’état enthalpique de l’alimentation. Elles sont illustrées sur la figure suivante. 151

151 Cas d’un mélange benzène – toluène, d’après J.M. Coulson, J.F. Richardson, Chemical Engineering, Vol.

2, 4ème édition, Pergamon Press (1991).



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1. L

F HH < ⇒ 0<ω ⇒ ( ) 01 >− ωω

L’alimentation est un liquide sous refroidi, c.-à-d., à une température est inférieure à la température d’ébullition du mélange. Une partie de la vapeur venant de la zone d’épuisement est condensée pour apporter les calories nécessaires pour porter l’alimentation à son point d’ébullition.

� La fraction vaporisée ω est négative.

La pente de la droite d’alimentation est positive, dans le 1er quadrant.

2. L

F HH = ⇒ 0=ω ⇒ ( ) ∞−=− ωω 1

L’alimentation est un liquide à son point d’ébullition.

Le débit de vapeur venant de la zone d’épuisement est inchangé. L’alimentation s’ajoute intégralement au débit de liquide venant de la zone de rectification.

� La fraction vaporisée ω est nulle.

La pente de la droite d’alimentation est verticale.

3. L

F

V HHH >> ⇒ 01 >> ω ⇒ ( ) 01 <− ωω

L’alimentation se trouve sous une forme partiellement vaporisée, c.-à-d. à une température comprise entre la température d’ébullition et la température de rosée. L’alimentation se réparti entre le débit de vapeur venant de la zone d’épuisement et le débit de liquide venant de la zone de rectification

� La fraction vaporisée ω est comprise entre 0 et 1.

La pente de la droite d’alimentation est négative, dans le deuxième quadrant.

4. V

F HH = ⇒ 1=ω ⇒ ( ) 01 =− ωω

L’alimentation se trouve est une vapeur à son point de rosée. Le débit de vapeur venant de la zone d’épuisement est augmenté de la totalité du débit d’alimentation.

� La fraction vaporisée ω est égale à 1.

La pente de la droite d’alimentation est horizontale.



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176

5. V

F HH > ⇒ 1>ω ⇒ ( ) 01 >− ωω

L’alimentation se trouve se trouve sous la forme d’une vapeur surchauffée, c.-à-d. à une température supérieure à la température de rosée du mélange.

Une partie du liquide venant de la zone de rectification est vaporisée pour enlever les calories nécessaires pour amener l’alimentation à son point de rosée.

� La fraction vaporisée ω est supérieure à 1.

La pente de la droite d’alimentation est positive, dans le 3ème quadrant.

La pente de la droite d’alimentation traduit l’impact de l’état enthalpique de l’alimentation sur la répartition des charges thermiques entre le bouilleur et le condenseur. La figure précédente illustre cet impact dans le cas d’un fonctionnement à taux de reflux RD constant (droite opératoire

152 de pente constante). Si l’alimentation est refroidie, ω diminue et la droite d’alimentation pivote dans le sens des

aiguilles d’une montre :

- Le point d’étranglement (intersection des deux droites opératoires) se déplace vers la droite.

- La droite opératoire d’épuisement se rapproche de la bissectrice.

- Le taux de revaporisation RB augmente.

- La quantité de chaleur QB apportée au bouilleur augmente.

� Le déficit calorifique de l’alimentation est compensé par un surcroit de calories apportées au bouilleur.

- Ce surcroit de calories implique cependant un accroissement du débit de vapeur dans la zone de rectification avec une augmentation de la section de la colonne

Si l’alimentation est surchauffée, ω augmente et la droite d’alimentation pivote dans le

sens contraire aux aiguilles d’une montre :

- Le point d’étranglement (intersection des deux droites opératoires) se déplace vers la gauche.

- Il se rapproche de la courbe d’équilibre liquide-vapeur avec un risque de pincement lorsque le point d’étranglement se retrouve sur cette courbe : potentiel moteur nul.

- La distillation ne peut se poursuivre en deçà de ce point de pincement : la zone de rectification et le bouilleur ne servent plus à rien.

� L’excédent de calorie dans l’alimentation est tel qu’il n’y a plus besoin d’apporter de calories au bouilleur.

152 Le mélange benzène – toluène est un mélange idéal : les lignes opératoires peuvent donc être

représentées par des droites.



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177

B.3 Dimensionnement : le nombre d’étages théoriques Pour rappel, le concept d’étage théorique implique :

- L’uniformité des compositions et des températures dans chacune des phases,

- L’équilibre thermodynamique entre les compositions des flux sortant de l’étage.

Ce dernier point implique que les fractions molaires AiAi yx et dans les débits quittant

l’étage i sont reliées par l’équilibre liquide vapeur :

( ) AiAB

AiABAi

x

xy

11 −+=

αα

Les fractions molaires entre deux étages, c.-à-d. dans une

section droite de la colonne (par exemple : AiAi yx et1+ , au-

dessus de l’étage i) sont régies par les équations des lignes (droites) opératoires : - La droite opératoire de la zone de rectification, au-dessus

du plan d’alimentation,

- La droite opératoire de la zone d’épuisement, en-dessous du plan d’alimentation.

Pour rappel 153 :

D

ir

rAi

ir

rAi x

V

Lx

V

Ly

−+

= + 11

B

ie

eiA

ie

eAi x

V

Lx

V

Ly

−+

= + 1

1

On passe de l’équation de rectification à l’équation d’épuisement, lorsque la solution

1, −AiAi yx 154 franchit le seuil de composition AA yx , appartenant à la droite d’alimentation :

FAA xxyωω

ω 11+

−=

Le problème est plus simple à résoudre lorsque la fraction vaporisée ω est nulle (liquide à

son point d’ébullition) : dans ce cas, FA xx = (droite d’alimentation verticale).

153 Voir point précédent : B.1 Bilan de matière

154 Composition dans la section de la colonne en-dessous de l’étage i.

i

1, +iAx iAy ,

iAx , 1, −iAy

Composition AiAi yx ,1+ régnant dans le plan au-

dessus de l’étage i dans la zone de rectification

Composition AiAi yx ,1+ régnant dans le plan au-

dessus de l’étage i dans la zone d’épuisement



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178

Si les pentes ( ) ( ), et ( 1)r r e eL V L V ω ω− sont connues et supposées indépendantes du

bilan de chaleur, cet ensemble de 2N équations à 2N inconnues (supposant xB, xD et xF connus), peut être résolu numériquement : il s’agit de la méthode de Lewis-Sorel. 155

Cette méthode peut être étendue au cas où ( ) ( ), et ( 1)r r e eL V L V ω ω− sont variables et

déterminé par le bilan de chaleur, en ajoutant les expressions des bilans de chaleur sur chaque étage. Pour rappel :

( )( )1+−

−=

Ai

L

D

Ai

V

D

ir

r

xH

yH

V

L

ππ

( )( ) BAi

L

BAi

V

ie

e

xH

yH

V

L

ππ−−

=

+1

Comme pour les équations de bilan de matière, on passe de la zone de rectification à la zone d’épuisement en fonction de la position de la droite d’alimentation. L’utilisation de ces équations supposent que l’on dispose des expressions reliant, à

l’équilibre, les enthalpies VH et LH à la composition des phases vapeur et liquide. La résolution des équations de bilan de matière et de chaleur présentées ci-dessus peut

être représentée graphiquement sur le diagramme AA xy .(fonct= ) reprenant les lignes

opératoires et la courbe d’équilibre liquide-vapeur. La méthode associée à cette représentation graphique est appelée la méthode de McCabe-Thiele. 156 Pour rappel :

Un étage théorique réalise une variation de composition égale au potentiel moteur disponible. � Un étage théorique est représenté par un « gradin » 157 sur le diagramme

( )fonct.A Ay x= .

Cette méthode graphique peut être utilisée que les lignes opératoires soient des droites (mélanges idéaux) ou des courbes. Dans ce dernier cas, les courbes doivent être calculées de proche en proche en utilisant les équations de bilan de chaleur.

155 E. Sorel, La Distillation, Gauthier Villars, Paris (1895).

W.K. Lewis, The theory of fractional distillation, Ind. Eng. Chem., 1, 522 (1909). 156 W.L. McCabe, E.W. Thiele, Graphical design of fractionating columns, Ind. Eng. Chem., 17, 605 (1925).

157 Voir la description de la méthode de résolution graphique au chapitre 2 : Absorption gaz-liquide.

Enthalpies VH et LH régnant dans le plan au-dessus de l’étage i, dans la zone de rectification

Enthalpies VH et LH régnant dans le plan au-dessus de l’étage i, dans la zone d’épuisement



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La méthode graphique de McCabe-Thiele n’est cependant plus utilisée comme méthode de dimensionnement mais plutôt comme moyen d’illustrer le rôle joué par chaque étage théorique. Le graphique ci-dessous en fourni un exemple dans le cas de droites opératoires.

- On part de la composition en tête de colonne : DAA xxy == (sur la bissectrice) : au-

dessus de l’étage de tête : plateau n° ��.

- On construit de proche en proche les « gradins » représentant les étages théoriques dans la zone de rectification : plateaux n° �� et .

- A l’intersection avec la droite d’alimentation, on passe à la zone d’épuisement : étage n° .

- On construit ensuite de proche en proche les « gradins » représentant les étages théoriques dans la zone d’épuisement : plateaux n° �� et ��, jusqu’à atteindre une

fraction molaire dans la liquide Bx≤ .

Sur l’exemple illustré ci-dessus, la colonne comprend 7 étages théoriques, incluant la contribution du bouilleur : l’étage n° ��. Le rôle du bouilleur 158 - Le premier étage en pied de colonne correspond au bouilleur.

- Le bouilleur est en fait un échangeur de chaleur 159 qui permet d’apporter les calories nécessaires pour porter le liquide en pied de colonne à son point d’ébullition.

- Le bouilleur peut être assimilé à un étage théorique (comme il l’a été en distillation mono-étagée).

158 On parle aussi de rebouilleur (« reboiler » en anglais).

159 Le fonctionnement des échangeurs de chaleur et leur dimensionnement sont décrits au chapitre 4.

xB xF xD xA

yA

xB

��

��

��

xD

xF



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180

- Il y a cependant de nombreux designs de bouilleur qui se différencient par la circulation du liquide et de la vapeur.

- On distingue deux types principaux de bouilleurs :

Le bouilleur de type à chaudron (« kettle-type boiler »)

- Le liquide venant du deuxième étage � (le 1er de la colonne) alimente directement le bouilleur.

- La vapeur issue du bouilleur est renvoyée pour alimenter le deuxième étage �.

- La fraction non vaporisée est soutirée de la fraction liquide du bouilleur (« bottoms »).

Le bouilleur de type thermosiphon

- Une partie seulement du liquide venant du deuxième étage � alimente le

bouilleur.

- Le liquide collecté en pied de colonne est un mélange de liquides venant du deuxième � et du premier � étage (bouilleur).

- La composition de ce mélange (« bottoms ») est donc intermédiaire entre celles

des deux premiers étages : ( ) ,2 ,11D A Ax r x r x= − +

�

�

�

�

�

1-r r � �



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181

Le rôle du condenseur Il y a deux types de condenseur, se différenciant par le taux de condensation qui y est atteint.

- Le condenseur à condensation totale

La vapeur quittant la colonne est totalement condensée.

La composition de cette vapeur est donc aussi celle du condensat partiellement collecté (distillat) et recyclé (reflux) : xD

Le condenseur ne contribue donc pas à modifier la composition des phases vapeur et liquide : il ne correspond pas à un étage théorique.

- Le condenseur à condensation partielle

La vapeur quittant la colonne est partiellement condensée. 160

Le liquide recyclé (reflux) xD et la vapeur collectée (distillat) yD sont en équilibre.

Le condenseur doit donc être assimilé à un étage théorique améliorant la séparation.

La vapeur collectée doit cependant subir une condensation ultérieure. 161

160 Cette situation peut être rencontrée lorsque le point d’ébullition en tête de colonne est très bas.

161 Sauf si elle peut être utilisée telle quelle dans le procédé.

D, xD Lr, xD

Lr, xD

D, yD

OPU_chap4_part3

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