Optique de FourierFormation de l’image par une lentille · és lentilles constituent l’optique...

DEA de Biologie Structurale et Fonctionnelle - DEA de Biologie Cellulaire et Moléculaire

Cours n° 2

Formation de l’image par une lentilleOptique de Fourier

Yves UssonInstitut Albert BonniotDomaine de la Merci

38706 Grenoble [email protected]

Formation de l’image par une lentille - Optique de Fourier

Université Joseph Fourier - 2001 Yves Usson

Les microscopes “à champs lointain” qu’ils soientphotoniques (ondes électromagnétiques), électroniques(faisceau d’électrons), acoustiques (onde mécanique) oubien à rayons X, utilisent des dispositifs de déflexion desrayonnements qui vont permettre de produire une imageagrandie des objets observés.

Ces systèmes appelés lentilles constituent l’optique dumicroscope. Les lentilles utilisent suivant le type demicroscope des modalités différentes d’interaction entre lerayonnement et la matière : réfraction, diffraction,réflexion....



Microscopie photonique : lentille réfractive constituée par des dioptres.

n1 n2 N

F

rayons lumineux

dioptre

F α2α1

Microscopie électronique : lentille magnétique créant une modificationlocale du champ magnétique

Fsolénoïde

e-e-

faisceau parallèle d’électrons faisceau convergent

Microscopie à rayons X : lentille diffractive à base de zone de Fresnel

rayons X parallèles

rayons X diffractés convergents

F



Nature d’une image

Surface d’intensité

noyau

hématie



La transformée de Fourier

f(x) = a0 + a1.sin(ωx+ϕ1) + a2.sin(2ωx+ϕ2) +a3.sin(3ωx+ϕ3) +...+a∞.sin(nωx+ϕ∞)

f(x) = a0 + ai sin(iωx+ϕi)Σi=1

∞

composante continue

harmonique de rang 1



0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000-2.00

-1.60

-1.20

-0.80

-0.40

-0.00

0.40

0.80

1.20

1.60

2.00

0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.9001.000

-0.80

-0.40

-0.00

0.40

0.80

0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.9001.000

-0.80

-0.40

-0.00

0.40

0.80

0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.9001.000

-0.80

-0.40

-0.00

0.40

0.80

0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.9001.000

-0.80

-0.40

-0.00

0.40

0.80

a1.sin(ωx+ϕ1)

a2.sin(2ωx+ϕ2)



-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

Signal en forme de créneau

Spectre de Fourier

Harmoniques

Décomposition d’un signal par transformée de Fourier

H1

H3

H5

Inte

nsité

temps ou position

temps ou position

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 10 20 30 40 50 60

Am

plitu

de

fréquence



-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

Somme de 1 à 3

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

Somme de 1 à 5

Somme de 1 à 7 Somme de 1 à 9

Synthèse de Fourier

H1

H3

H1+H3

H3

H1

H1+H3+H5

H5

H1+H3+H5+H7 H1+H3+H5+H7+H9

H7 H9



-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

Somme de 1 à 21

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

Somme de 1 à 11

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

Somme de 1 à 13

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

Somme de 1 à +∞

Synthèse de Fourier

H11 H13



Image : domaine spatial

Passage du domaine spatial au domaine de FourierAXONEMYELINE

CELLULE DESCHWANN

y

x

Transformée de FourierAnalyse

Transformée de Fourier inverseSynthèse

Spectre : domaine fréquentiel

v

u

hautes fréquences hautes fréquences

hautes fréquences hautes fréquences

haut

es fr

éque

nces hautes fréquences

basses fréquencesbasses fréquencesbasses fréquencesbas

ses

fréq

uenc

es



Image

Principe du filtrage dans le domaine de Fourier

Transforméede Fourier

Spectre de Fourier

Myéline

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

-200 -100 0 100 200

Coupure deshautes fréquences

spatiales

Spectre filtré

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

-200 -100 0 100 200

Transforméede Fourier inverse

Image filtrée



Filtrage passe-bas: suppression des fréquences spatiales hautes (> 128è harmonique)

Image brute Image filtrée



Filtrage passe-haut: suppression des basses spatiales hautes (< 4è harmonique)




plan objet(x,y)

f(x,y)

sourceponctuelle

plan de Fourier(u,v)

F(u,v)f f

(ondesphérique)

Transformée de Fourier par une lentille idéale

bassesfréquences

hautesfréquences

hautesfréquences

plan objet(x,y)

f(x,y)

sourcelarge


F(u,v)f f

(ondeplane)

bassesfréquences

hautesfréquences

hautesfréquences



La lentille réelle considérée comme un filtre passe-bas

plan objet(x,y)

f(x,y)

sourceponctuelle

Front d’onde


F(u,v).H(u,v)

f f

Transforméede Fourier de f(x,y)

plus convolution par h(i,j)

fréquences manquantes



Limitation de la résolution par l’ouverture de la lentille

Plan image

rayons diffractésrayons diffractés

Source ponctuelleSource ponctuelle

R

R =0.6 λn sin α

Distance de résolution

αααααα

irisirisirisiris

DDN.A = n sin α

Ouverture numérique



Dispositif de filtrage optique

plan objet plan de Fourier plan imagelentille 1 lentille 2(x,y)

(montage 4f : quatre foyers)

(u,v) (-x,-y)

f(x,y) F(u,v) f(-x,-y)

f f f f

écran


Transforméede Fourier de F(u,v)

ondesphérique

onde plane



FILTRE PASSE-BAS

.H(u,v)

⊗ h(i,j).H(u,v)

Dispositif de filtrage optique

plan objet plan de Fourier plan imagelentille 1 lentille 2(x,y)

(montage 4f : quatre foyers)

(u,v) (-x,-y)

f(x,y) F(u,v) f(-x,-y)

f f f f

écran



ondesphérique

onde plane



plan objet plan de Fourier plan imagelentille 1 lentille 2

f(x,y) F(u,v) f(-x,-y)Transforméede Fourier de f(x,y)


Dispositif de filtrage optique(montage 4f)



plan objet plan imagelentille 1 lentille 2

Filtrage passe-bas : ouverture numérique

f(x,y) F(u,v).H(u,v) f(-x,-y) ⊗ h(i,j)

filtre dans le plande Fourier


Transforméede Fourier deF(u,v).H(u,v)




Filtrage passe-haut : strioscopie








Filtrage passe-bande : contraste de phase

lame λ/4

plaque dephaseobjet de phase

(non coloré)







Condenseur Objectif Oculaire

Microscope photonique à fond clair

objet

diaphragmes

x 20N

A 0.5



Microscope photonique à contraste de phase

Condenseur Objectif

objet

Oculaire

plaque de phase(dans plan focal arrière de l’objectif)

verre

lame λ/4



plaque de phase(dans plan focal arrière de l’objectif)

Condenseur Objectif

objet

anneau de phase

Oculaire

Contraste de phase : adjonction d’un anneau de phase

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