Operações com Conjuntos Nebulosos Nossa vida é desperdiçada em detalhes. Simplifique,...
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Operações com Conjuntos Nebulosos
Nossa vida é desperdiçada em detalhes.Simplifique, simplifique.
Henry Thoureau
Adriano Cruz ©2002NCE e IM/UFRJ
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Operações com Conjuntos Nebulosos 2
Sumário
Operações de Zadeh Normas T Normas S Propriedades de Conjuntos Nebulosos Entropia Nebulosa
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Operacões de Zadeh
Lofty Zadeh definiu funções para as operações básicas entre conjuntos nebulosos
Estas operações reduzem-se as operações booleanas quando utilizamos conjuntos nitidamente definidos.
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Operação de União
União: a função de inclusão U(x) da união dos conjuntos A e B (AB) é definida como
Xxxxx BA )),(),(max()(
))(),(max( xx BA
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Operação de Interseção
Interseção: a função de inclusão (x) da interseção dos conjuntos A e B (AB) é definida como
Xxxxx BA )),(),(min()(
))(),(min( xx BA
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Operação de Complemento
Complemento: a função de inclusão C(x) do complemento de um conjunto A é definida como
Xxxx AA ),(1)(
)(1 xA)(xA
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Por que estes operadores?
Para conjuntos nitidamente definidos as operações básicas estão bem definidas, mas para conjuntos nebulosos esta definição é
nebulosa As operações com conjuntos nebulosos devem
obedecer a um conjunto de regras que as generalizam e são chamadas de normas T e normas S
Normas T generalizam a operação de Interseção e Normas S as de união
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Operação de Interseção
Qualquer função que seja empregada para representar interseção deve respeitar as Normas T
Normas T mapeiam [0,1]x[0,1] [0,1] e devem satisfazer os cinco axiomas mostrados a seguir
Sejam A(x), B(x), C(x) e D(x) quatro funções. Para facilitar vamos representá-las por a, b, c e d.
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Normas T
bdeacse
monotônicabaTdcTT
aassociativcbTaTcbaTTT
neutroelementoaaTT
comutativaabTbaTT
TT
),(),(5.
)],(,[]),,([4.
)1,(3.
),(),(2.
0)0,0(1.
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Normas T - comentários
Pode ser provado que a operação de mínimo é uma norma T
A operação de produto também é uma norma T
Existem outras operações que satisfazem a estes axiomas
Pode ser provado que para qualquer norma T temos
)](),(min()](),([ xxxxT BABA
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Mínimo, norma T?
bdeacse
badcT
cba
cbacbaT
aaT
abbaT
T
),min(),min(5.
),,min(
)],min(,min[]),,min[min(4.
)1,min(3.
),min(),min(2.
0)0,0min(1.
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Operação de União
Qualquer função que seja empregada para representar união deve respeitar as Normas S
Normas S mapeiam [0,1]x[0,1] [0,1] e devem satisfazer os cinco axiomas mostrados a seguir
Sejam A(x), B(x), C(x) e D(x) quatro conjuntos nebulosos. Para facilitar vamos chamá-los de a,b,c e d.
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Normas S
bdeacse
monotônicabaSdcSS
aassociativcbSaScbaSSS
neutroelementoaaSS
comutativaabTbaSS
SS
),(),(5.
)],(,[]),,([4.
)0,(3.
),(),(2.
1)1,1(1.
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Normas S - comentários
Pode ser provado que a operação de máximo é uma norma S
Existem outras operações que satisfazem a estes axiomas
A operação de soma não satisfaz a norma S.1 e não pode ser usada
Pode ser provado que para qualquer norma S temos
)](),(max()](),([ xxxxS BABA
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Máximo, norma S?
bdeacse
badcS
cba
cbacbaS
aaS
abbaS
S
),max(),max(5.
),,max(
)],max(,max[]),,max[max(4.
)0,max(3.
),max(),max(2.
1)1,1max(1.
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Operação de soma limitada, norma S?
aaaS
comutativaababbabaS
S
bababaBA
003.
2.
111111.
),(
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Operação de soma limitada, norma S?
cddcabba
dcbabdacSeS
abcbcacabcba
abcbcacabcba
bccbabccba
cabbacabbaS
1,,,,,5.
)()(
)()(4.
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Outros testes
),min(),(5.
)1,(),(5.
),(),(2.
)1,(),(5.
babaTT
bbTabTT
abTbaTT
aaTbaTT
Provar que T(a,b)<= min(a,b)
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Pairs of T-norms and S-norms
T-norm - Drastic Product:
S-norm - Drastic Sum:
1,0
1),max(),min(),(
yx
yxifyxyxDP
0,1
0),min(),max(),(
yx
yxifyxyxDS
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Pairs of T-norms and S-norms
T-norm - Bounded Difference:
S-norm - Drastic Sum:
)1,0max(),( yxyxBD
),1min(),( yxyxBS
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Pairs of T-norms and S-norms
T-norm – Einstein Product:
S-norm - Einstein Sum:
)]([2),(
xyyxxy
yxEP
yxyx
yxES.1
),(
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Pairs of T-norms and S-norms
T-norm – Algebraic Product:
S-norm - Algebraic Sum:
xyyxAP ),(
xyyxyxAS ),(
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Pairs of T-norms and S-norms
T-norm – Hamacher Product:
S-norm - Hamacher Sum:
xyyxxy
yxHP
),(
xyxyyx
yxHS
12
),(
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Pairs of T-norms and S-norms
T-norm – Dubois-Prade:
S-norm – Dubois-Prade:
),,max(),(
yxpxy
yxDPrT
)1,1,max(),,1min(
),(yxp
yxpxyyxyxDPrS
Obs. p is a parameter that ranges from 0 to 1.
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Dubois-Prade Operators
When p=1 – Dubois-Prade T-norm becomes the Algebraic
Product (xy)– Dubois-Prade S-norm becomes the Algebraic
Sum (x+y-xy) When p=0
– Dubois-Prade T-norm becomes the min(xy)– Dubois-Prade S-norm becomes the max(xy)
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Pairs of T-norms and S-norms
T-norm – Yager:
S-norm – Yager:
)])1()1[(,1min(1),( 1 pppT yxyxY
)][,1min(),( 1 pppT yxyxY
Obs. p is a parameter that ranges from 0 to .
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Yager Operators
When p=1.0 – Yager T-norm becomes the bounded
difference (max(0,x+y-1))– Yager S-norm becomes the bounded sum
(min(1,x+y))
When p->– Yager T-norm converges to min(x,y)– Yager S-norm converges to max(x,y)
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Propriedades de Conjuntos Nebulosos
)()()(
)()()(
)()(
)()(
CABACBA
CABACBAvidadeDistributi
CBACBA
CBACBAidadeAssociativ
ABBA
ABBAdadeComutativi
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Propriedades de Conjuntos Nebulosos
AXA
XXA
A
AAIdentidade
AAA
AAAiaIdempotênc
BABA
BABAMorganDe
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Verificando propriedades
2),min(
),min(
bababa
abseb
baseaba
Lembrar que
e
2),max(
),max(
bababa
absea
basebba
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Verificando propriedades
Vamos verificar a propriedade de Absorção
)()](),(min(),(max[
)(
xxxx
ABAA
ABAA
2
22)(
2baba
ababa
a
BAA
babaBA
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Verificando propriedades
4
32
22
3
)(
babababa
babababa
BAA
aBAA
bababababaSe
)(4
)()()(3
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Verificando propriedades
aBAA
bababababase
babababaBAA
)(4
)()()(3
4
3)(
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Leis de Aristóteles
Lei da não contradição: Estabelece que um elemento ou pertence a um conjunto ou ao seu complemento.
Como a interseção entre um conjunto e seu complemento pode não ser vazia temos o seguinte resultado
AA
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Leis de Aristóteles
Lei da exclusão do meio: Estabelece que a união de um conjunto ao seu complemento fornece o conjunto Universo
O resultado pode não ser o universo domínio
XAA
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Interseção entre conjuntos
adultosNão adultos
adultonãoadulto
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Entropia Nebulosa
A entropia de um conjunto é definida pela fórmula
c refere-se a uma contagem (adição ou integração) sobre o suporte do conjunto.
Observar que para um conjunto nítido o numerador é sempre 0 e a entropia de um conjunto nítido é sempre igual a 0.
)(
)()(
AAc
AAcAE
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Entropia Nebulosa
adultosNão adultos
adultonãoadulto
A entropia dos conjunto dos adultos é igual a
1
10 20 30
14.035
5)(
3552020)(
5)(
AE
AAc
AAc