國立臺灣大學大氣科學研究所碩士論文Ooyama 濕對流模式積分方法 ...

國立臺灣大學大氣科學研究所

碩士論文

Graduate Institute of Atmospheric Sciences

College of Science

National Taiwan University

Master Thesis

Ooyama 濕對流模式積分方法探討

A Study of Time Integration Techniques in

Ooyama’s Moist Convection Model

許家瑋

Chia-Wei Hsu

指導教授：郭鴻基博士

Advisor: Hung-Chi Kuo, Ph.D.

中華民國 99 年 7 月

July, 2010

致謝

在一年半的歲月中，我學到了很多，對於目前可以完成一篇碩士論文，內心

依然訝異，不過也充滿了興奮之情。在碩士生涯之中，最要感謝就是我的指導老

師，郭鴻基老師，從一開始與老師討論題目的方向，碩士論文的意義，參考文

獻，以及最重要的模式改良以及實驗設計，老師給的建議以及許多指導真的讓我

受益匪淺，與老師常常一聊就是三個小時起跳，在這之中，老師細心的解說讓我

得到也釐清許多重要觀念，實驗結果上的討論，更是讓我理解到，何謂做學問，

也就是當我們關注一個問題時，解決問題的順序，必須從簡單的觀念確立到繁

雜的結果證明。這樣的學習在大學生涯中也許聽過，不過卻碰不到，唯有到了碩

士，當老師帶領著我開始設計問題時，才了解其中的重要性，這是郭老師帶給我

在做學問的方法中最大的資產。另外，也非常感謝百忙之中抽空在論文口試中給

予我許多寶貴建議的口試委員，李清勝老師，楊明仁老師，簡芳菁老師，和曾于

恆老師，你們的建議讓本篇論文能更為完整。

實驗室的學長姊在我的學習中也佔有非常重要的角色，許多問題的釐清，都

是靠著學長姊的解說才讓我對問題有進一步的認識，從碩一時，常常到晚上還在

的理寰學長，從工作站到大氣動力上的問題，都靠著學長讓我能夠快速的進入狀

況。憶婷學姊的笑容，以及開朗聊天總是能讓我減輕不少緊張的情緒，對於我的

問題也都非常熱心的幫我解決，還不時關心我的問題是否得到解答，學姊的關心

我都謹記在心，希望學姊接下來一年的國外進修一切順利。珮雯學姊在論文寫作

的許多建議，佔了非常重要的角色，學姊常常帶來的美味點心也讓我感受到學姊

透過食物所分享的溫暖。在我學習過程中解決我最多問題，也最常被我打擾的小

小明學長，從第一次的坳坥坭坩坮坡坲到最後一次的碩士論文口試，學長的幫助，我永

遠不會忘記，坌坡坔坥坸的使用說明及工作站所遇到的問題，學長都能一一耐心的聽

完問題並詳細的解說，即使自己也忙著博士論文。學長姊幫助人的態度，是我要

努力學習的方向，沒有學長姊們的幫助，我的碩士論文就無法順利完成，與我共

同討論問題的光宇也是重要的實驗室夥伴，對於問題的了解能力真的值得我好好

學習，許多程式上的問題要是沒有互相的討論，自己摸索的時間將會多出許多。

圱

一路在精神上支持我的父母，總是給我許多的鼓勵，告訴我要有信心，這在

我最難熬的時刻確實地支持著我，還有閤萱，不管是與我討論實驗上的問題、不

厭其煩的聽我報告、以及告訴我報告上解說不足的地方，讓我的報告能更具有

邏輯且容易理解，這一切的付出，我都打從心裡感謝你的陪伴，在我最難熬的時

刻，你的陪伴是我最溫暖的依靠，謝謝你這一路的支持與鼓勵。最後是在碩士論

文撰寫時與我一起打拼的呂易學長，雖然我們在研究上的問題不同，不過能夠一

起在夜晚打拼，能夠與我討論論文中的問題，並教會我看開的態度，我會牢牢記

住並時常提醒自己，想看但只能偷偷看的世足，配著自我感覺良好的燕麥，到怎

麼刷都刷不到一萬點的便利商店點數，這段與學長說有趣卻又有點瘋狂的日子，

是我這一輩子都不會忘記的回憶，學長接下來的軍旅一定也能一切順利的。

最後在碩士論文口試前替我打氣的乃馨、力瑋，以及在口試當天幫助我的大

家，實驗室的學長姊、冠堯、元銘、小坰坨坹、坅坲坩坣及突然拿著相機出現的呂易，

雖然我非常緊張，不過你們的陪伴以及不經意的搞笑真的幫助我放鬆不少，口試

全程的陪伴更是我內心的安定劑，謝謝你們。

許家瑋坃坨坩坡圭块坥坩坈坳坵

圲地圱地圮圷圮圳地于動力與模擬實驗室

圲

摘要

本研究利用建立在波譜法上，且最少假設的濕大氣模式作進一步的模擬探

討。使用的模式為坏坯坹坡坭坡（圱圹圹地）所提出的溼大氣模式，此模式利用亂度來做

熱力上的模擬，因此在熱力上所需的假設可降至最低，而模式中更整合了靜力平

衡以及非靜力平衡的模擬，使兩者都可利用高度坐標來表示，減少原本在兩種模

式整合時，因轉換座標所導致的額外誤差，因此適合近年在大尺度與對流尺度交

互作用之研究。

本研究以此模式為基礎，利用坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶以及坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶兩種

波譜法做測試，進一步比較兩者在積分穩定性及速度上的異同。在實驗中，利

用兩種不同的例子：聲波調節、乾熱氣塊上升，來比較在兩者模擬上的差異。此

外，在新引入的坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法上，比較不同濾波器對實驗結果所造成

的差異，並對使用此方法所遭遇的問題以及改善法做探討。

在坋坵坯坡坮坤坃坨坥坮坧（圱圹圹地）的濕大氣模式中，使用坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶的方法，

其好處在於隨著解析度增加，誤差值具有指數收斂的性質，不過空間解析度也

因此跟網格數平方的倒數成正比（圁x ∝ 圱/N2），因此在波譜累積現象時，除了

加入濾波器的方法外，也嘗試在坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法上加入渦流摩擦項來

解決此問題，並使用坃坲坡坮坫圭坎坩坣坫坯坬坳坯坮在配合三階的坁坤坡坭坳圭坂坡坳坨坦坯坲坴坨離散法，其

中，坃坲坡坮坫圭坎坩坣坫坯坬坳坯坮為一種隱式的積分法來增加模式的穩定性，使的模式中的時

步不會受限。

分別在加入摩擦項的模式中進行了四個不同的實驗，分別為聲波調節，乾熱

氣塊上升，濕熱氣塊上升以及有逆溫層的乾熱氣塊上升模擬，將此模擬結果與使

用濾波器之模擬結果進行比較，可以發現些微的不同，不過其對流大致的形態都

相似。在摩擦項的加入實驗中可以發現，摩擦項對於氣胞的影響較具物理上的意

義，而由一固定形式的濾波器來解決在所有對流中能量累積的情形則較為主觀，

因為隨著濾波器的改變，其結果也會有很大的影響。

最後，由於風場可分成旋轉及輻散兩部分，將旋轉部分留下，使得風場部分

沒有輻散的分量，所以聲波在風場中被移除，可以進行時步較長的積分，在時步

圳

的增加上，甚至可以為原本（可壓縮風場）時步的十倍，氣胞上升的形態也大致

吻合，這樣的結果就可以大幅的增進在時間積分上的效率，不過由於能量在非輻

散場中的累積，必須使用較大的摩擦係數，因此對於細節的描述也會有一定的影

響。

關鍵詞：波譜法、溼大氣模式、Fourier-Chebyshev、Double Chebyshev、摩擦項

圴

ABSTRACT

坂坡坳坥坤坯坮坡坭坯坩坳坴坡坴坭坯坳坰坨坥坲坩坣坭坯坤坥坬坵坳坩坮坧坴坨坥坬坥坡坳坴坡坳坳坵坭坰坴坩坯坮圬坴坨坩坳坳坴坵坤坹

坤坩坳坣坵坳坳坥坳坴坨坥坰坥坲坦坯坲坭坡坮坣坥坳坯坦坴坷坯坳坰坥坣坴坲坡坬坭坥坴坨坯坤坳圮坔坨坥坬坥坡坳坴坡坳坳坵坭坰坴坩坯坮坭坯坩坳坴

坡坴坭坯坳坰坨坥坲坩坣坭坯坤坥坬圌坲坳坴坣坯坮坳坴坲坵坣坴坥坤坢坹坏坯坹坡坭坡在圱圹圹地圩坨坡坳坴坨坥坡坤坶坡坮坴坡坧坥坯坦坰坲坥圭

坤坩坣坴坩坮坧坴坨坥坴坨坥坲坭坯坤坹坮坡坭坩坣坶坡坲坩坡坢坬坥坳圮坕坮坬坩坫坥坯坴坨坥坲坭坯坤坥坬坳坵坳坩坮坧坰坯坴坥坮坴坩坡坬坴坥坭坰坥坲圭

坡坴坵坲坥坯坲坯坴坨坥坲坴坨坥坲坭坯坤坹坮坡坭坩坣坶坡坲坩坡坢坬坥坳坤坥圌坮坥坤坦坯坲坭坥坴坥坯坲坯坬坯坧坹坵坳坥坤圬坴坨坩坳坭坯坤坥坬

坰坲坯坰坯坳坥坳坡坮坵坮坩坱坵坥坷坡坹坢坹坰坲坥坤坩坣坴坩坮坧坴坨坥坥坮坴坲坯坰坹坴坯坰坲坥坳坥坮坴坴坨坥坴坨坥坲坭坯坤坹坮坡坭坩坣

坳坴坡坴坥坯坦坭坯坤坥坬坥坤坡坴坭坯坳坰坨坥坲坥圮坂坹坵坳坩坮坧坥坮坴坲坯坰坹坡坳坡坦坯坲坥坣坡坳坴坴坨坥坲坭坯坤坹坮坡坭坩坣坶坡坲坩圭

坡坢坬坥圬坩坴坷坯坵坬坤坢坥坭坯坲坥坡坣坣坵坲坡坴坥坯坮坴坨坥坲坭坯坤坹坮坡坭坩坣坰坲坥坤坩坣坴坩坯坮坴坨坡坮坯坴坨坥坲坳圮坁坮坯坴坨坥坲

坮坯坴坥坷坯坲坴坨坹坡坤坶坡坮坴坡坧坥坯坦坴坨坥坭坯坤坥坬坩坳坴坨坡坴坩坴坣坯坭坢坩坮坥坳坭坯坤坥坬坩坮坧坨坹坤坲坯坳坴坡坴坩坣坡坮坤

坮坯坮坨坹坤坲坯坳坴坡坴坩坣坳坩坴坵坡坴坩坯坮坳圮坔坨坥坯坮坬坹坤坩國坥坲坥坮坣坥坢坥坴坷坥坥坮坴坨坥坴坷坯坩坳坴坨坥坯坲坤坥坲坯坦坰坲坥圭

坤坩坣坴坩坮坧坴坨坥坶坥坲坴坩坣坡坬坭坯坭坥坮坴坵坭圮坁坳坡坲坥坳坵坬坴圬坩坴坣坡坮坲坥坤坵坣坥坴坨坥坥坲坲坯坲坩坮坤坵坣坥坤坢坹

坴坲坡坮坳坦坯坲坭坩坮坧坣坯坯坲坤坩坮坡坴坥坳坢坥坴坷坥坥坮坴坷坯坤坩國坥坲坥坮坴坳坩坴坵坡坴坩坯坮坳圮

坔坨坩坳坳坴坵坤坹坵坳坥坳坴坷坯坤坩國坥坲坥坮坴坫坩坮坤坳坯坦坳坰坥坣坴坲坡坬坭坥坴坨坯坤坳圭坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶坡坮坤

坤坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶坭坥坴坨坯坤圮坔坯坣坯坭坰坡坲坥坴坨坥坤坩國坥坲坥坮坴坲坥坳坵坬坴坳坯坦坴坨坥坳坥坴坷坯坤坩國坥坲坥坮坴

坭坥坴坨坯坤坳坯坮坳坴坡坢坩坬坩坴坹坡坮坤坥圎坣坩坥坮坣坹圬坴坨坥坥坸坰坥坲坩坭坥坮坴坳坷坥坲坥坣坯坮坤坵坣坴坥坤坩坮坴坷坯坫坩坮坤坳坯坦

坳坩坴坵坡坴坩坯坮坳场坡坣坯坵坳坴坩坣坴坲坡坮坳坰坯坲坴坡坮坤坲坩坳坩坮坧坤坲坹坡坩坲坢坵坢坢坬坥坢坹坵坳坩坮坧坴坨坥坳坡坭坥圌坬坴坥坲坴坯

坤坥坡坬坷坩坴坨坴坨坥坥坮坥坲坧坹坡坣坣坵坭坵坬坡坴坩坯坮坩坮坳坭坡坬坬坳坣坡坬坥坳圮坁坳坦坯坲坴坨坥坣坯坭坰坡坲坩坳坯坮坯坦坤坯坵坢坬坥

坃坨坥坢坹坳坨坥坶坳坰坥坣坴坲坡坬坭坥坴坨坯坤坩坴坳坥坬坦圬坤坩坳坣坵坳坳坩坯坮坩坮坣坬坵坤坥坳坤坩國坥坲坥坮坣坥坳坭坡坤坥坢坹坡坤坤坩坮坧

坤坩國坥坲坥坮坴圌坬坴坥坲坳圮

坆坩坬坴坥坲坩坳坮坯坴坴坨坥坯坮坬坹坳坯坬坵坴坩坯坮坦坯坲坳坴坡坢坩坬坩坴坹圬坡坤坤坩坮坧坡坮坥坤坤坹坤坩國坵坳坩坯坮坴坥坲坭坣坡坮

坡坬坳坯坳坴坡坢坩坬坩坺坥坴坨坥坳坩坭坵坬坡坴坩坯坮坳圮坁坳坡坲坥坳坵坬坴圬坣坯坭坰坡坲坩坳坯坮坨坡坳坡坬坳坯坢坥坥坮坭坡坤坥坢坥坴坷坥坥坮

坡坤坤坩坮坧坤坩國坵坳坩坯坮坴坥坲坭坳坡坮坤坵坳坩坮坧坡坳坰坥坣坴坲坡坬圌坬坴坥坲坩坮坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶坭坥坴坨坯坤坳圮

坂坹坰坲坯坰坯坳坩坮坧坡坣坯坭坢坩坮坡坴坩坯坮坯坦坃坲坡坮坫圭坎坩坣坫坯坬坳坯坮坡坮坤坁坤坡坭坳圭坂坡坳坨坦坯坲坴坨坭坥坴坨坯坤坳圬

坴坨坥坯坲坩坧坩坮坡坬坳坹坳坴坥坭坣坡坮坡坤坤坴坨坥坥坤坤坹坤坩國坵坳坩坯坮坴坥坲坭圮坆坯坵坲坫坩坮坤坳坯坦坥坸坰坥坲坩坭坥坮坴坳

坨坡坶坥坢坥坥坮坤坯坮坥坢坹坡坤坤坩坮坧坴坨坥坥坤坤坹坤坩國坵坳坩坶坩坴坹坴坯坴坨坥坭坯坤坥坬圮坉坮坴坨坩坳坳坴坵坤坹圬坷坥坡坬坳坯

坰坲坯坰坯坳坥坡坮坩坤坥坡坯坦坵坳坩坮坧坮坯坮坤坩坶坥坲坧坥坮坴坷坩坮坤坴坯坩坮坣坲坥坡坳坥坴坨坥坥圎坣坩坥坮坣坹坯坦坯坵坲坭坯坤坥坬圮

圵

Key word：spectral methods、moist atmospheric model、Fourier-Chebyshev、Double

Chebyshev、eddy diffusion

圶

目目目錄錄錄

1 前前前言言言 17

2 大大大氣氣氣模模模式式式回回回顧顧顧 19

圲圮圱尤拉流體運動方程圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圲圱

圲圮圲大尺度系統簡化圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圲圳

圲圮圲圮圱原始方程圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圲圳

圲圮圲圮圲傳統近似圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圲圶

圲圮圲圮圳準靜力平衡近似圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圲圶

圲圮圲圮圴其他大尺度簡化圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圲圹

圲圮圳對流尺度系統簡化圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圳地

圲圮圳圮圱非彈性近似圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圳地

圲圮圳圮圲非彈性近似修正圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圳圱

圲圮圳圮圳非彈力近似之適用性討論圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圳圳

圲圮圴近期模式進展圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圳圵

圲圮圴圮圱溼大氣模式圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圳圵

圲圮圴圮圲非彈性準靜力整合模式圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圳圶

圷

3 模模模式式式介介介紹紹紹 38

圳圮圱最少假設之濕大氣模式圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圳圸

圳圮圱圮圱大小尺度結合圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圴地

圳圮圱圮圲雲邊界之壓力梯度不連續圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圴圱

圳圮圲波譜方法圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圴圲

圳圮圲圮圱坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圴圳

圳圮圲圮圲坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圴圶

圳圮圲圮圳渦流摩擦項圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圴圸

4 實實實驗驗驗設設設計計計及及及討討討論論論 50

圴圮圱坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶與坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圵地

圴圮圱圮圱坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圵圱

圴圮圱圮圲坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圵圳

圴圮圲渦流摩擦項圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圵圸

圴圮圲圮圱坈坥坬坭坨坯坬坴坺方程數值解法圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圵圹

圴圮圲圮圲實際模式模擬圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圶圲

圴圮圲圮圳非輻散風場模擬圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圶圴

5 結結結論論論與與與討討討論論論 67

A Helmholtz方方方程程程解解解法法法 124

B AX+XB=C 原原原理理理 127

圸

表表表錄錄錄

圱變數表圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圷圳

圹

圖圖圖錄錄錄

圱為任意物理場（紅虛線）及疊加聲波後（藍線）隨時間（橫軸）的

變化情形，如果無聲波，可以用長時步積分（長綠）得到場量隨時

間變化的結果，但是疊加聲波後只能用短時步積分（短綠）以防模

式不穩定積分。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圷圵

圲將頻率視為波長函數作圖，在坦平面上的正模分析在坡圩可壓縮模

式，在坢圩非彈性模式，在坣圩假不可壓縮模式，在坤圩整合系統，在坥圩準靜力

平衡模式。（摘自坁坲坡坫坡坷坡坡坮坤坋坯坮坯坲圬圲地地圸）圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圷圶

圳在準地轉假設下，將頻率視為水平波長的函數以進行作圖，在中

緯度 β 平面上的正模分析在坡圩可壓縮模式，整合系統，準靜力平衡

模式，在坢圩假不可壓縮模式，在坣圩非彈性模式。（摘自坁坲坡坫坡坷坡坡坮坤

坋坯坮坯坲圬圲地地圸）圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圷圶

圴橫軸為空間解析度，縱軸為 L2 誤差值，因此可以看出波譜方法

（坃坏坌）與有限差分法（坆坄）在解析度增加時在收斂速度差異。

（摘自坆坵坬坴坯坮坡坮坤坓坣坨坵坢坥坲坴圬圱圹圸圷）圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圷圷

圵利用區域切割的概念進行模擬，用淺水模式，做區域不切割、中間

對切以及水平垂直方各分兩塊區域的四塊均分形式的模擬比較，進

行圱圴圴小時的模擬，可以發現結果幾乎完全相似。（摘自坋坵坯坡坮坤

坃坨坡坮坧圬圲地地圹）圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圷圸

圱地

圶以坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜方法呈餘弦函數的格點分配形式，可以進行快速

轉換，而在一維中的邊界交換則是重疊左右兩個區域的格點如圖所

示，使得在邊界處在不同區域運算情況下，仍然保有連續性。圮圮圮圷圹

圷將二維的計算區域切割成四塊，在邊界的資訊傳遞如圖所示，並在

每一時步積分後需進行一次這樣的邊界資訊交換。（摘自坋坵坯坡坮坤

坃坨坡坮坧圬圲地地圹）圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圸地

圸此為利用顯示積分法配合坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法加上濾波器做

乾熱氣胞上升的模擬，為亂度擾動場（坊圯坋）疊合密度通量場

（kg/m2s）隨時間積分的變化，總共積分圶地地秒，時步為地圮地圷圵秒。圸圱

圹此為利用顯示積分法配合坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法加上濾波器做

乾熱氣胞上升的模擬，為壓力擾動場隨時間積分的變化，單位

為坨坐坡，總共積分圶地地秒，時步為地圮地圷圵秒，由於一開始無壓力擾動

場，所以沒有放初始壓力擾動場。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圸圲

圱地此為利用顯示積分法配合坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法加上濾波器做乾

熱氣胞上升的模擬，為乾密度擾動場（不包括水氣）隨時間積分的

變化，單位為kg/m3，總共積分圶地地秒，時步為地圮地圷圵秒。圮圮圮圮圮圮圸圳

圱圱此為利用顯示積分法配合坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法加上濾波器做乾

熱氣胞上升的模擬，為溫度擾動場隨時間積分的變化，單位為坋，

總共積分圶地地秒，時步為地圮地圷圵秒。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圸圴

圱圲此為利用顯示積分法配合坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法加上濾波器做

濕熱氣胞上升的模擬，為亂度擾動場（坊圯坋）疊合密度通量場

（kg/m2s）隨時間積分的變化，總共積分圳地地秒，時步為地圮地圷圵秒。圸圵

圱圳此為利用顯示積分法配合坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法加上濾波器做濕

熱氣胞上升的模擬，為總水密度擾動場隨時間積分的變化，單位

為kg/m3，總共積分圳地地秒，時步為地圮地圷圵秒。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圸圶

圱圱

圱圴此為利用顯示積分法配合坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法加上濾波器做

濕熱氣胞上升的模擬，為壓力擾動場隨時間積分的變化，單位

為坨坐坡，總共積分圳地地秒，時步為地圮地圷圵秒，由於一開始無壓力擾動

場，所以沒有放初始壓力擾動場。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圸圷

圱圵此為利用顯示積分法配合坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法加上濾波器做濕

熱氣胞上升的模擬，為乾密度擾動場（不包括水氣）隨時間積分的

變化，單位為kg/m3，總共積分圳地地秒，時步為地圮地圷圵秒。圮圮圮圮圮圮圸圸

圱圶此為利用顯示積分法配合坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法加上濾波器做濕

熱氣胞上升的模擬，為溫度擾動場隨時間積分的變化，單位為坋，

總共積分圳地地秒，時步為地圮地圷圵秒。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圸圹

圱圷此為利用顯示積分法配合坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法加上濾波器做濕

熱氣胞上升的模擬，為液態水隨時間積分的變化，單位為kg/m3，

總共積分圳地地秒，時步為地圮地圷圵秒。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圹地

圱圸圖為兩不同濾波器坌坡坮坣坺坯坳以及坒坡坩坳坥坤坣坯坳坩坮坥隨波數變化的情形，其

數值範圍在圱到地之間。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圹圱

圱圹此為利用坒坡坩坳坥坤坣坯坳坩坮坥濾波器配合坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做聲

波調節的壓力擾動場（坨坐坡）變化圖，總共積分圳地秒。圮圮圮圮圮圮圮圹圲

圲地此為利用坌坡坮坣坺坯坳濾波器配合坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做聲波調

節的壓力擾動場（坨坐坡）變化圖，總共積分圳地秒。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圹圳

圲圱此為利用兩種濾波器，分別為坌坡坮坣坺坯坳以及坒坡坩坳坥坤坣坯坳坩坮坥做聲波調節

開始的圱圵秒中，對於中心點（圱圲圵地圬圱圲圵地）做時間序列的變化圖，

在各個場量的調節情形。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圹圴

圲圲此為利用坌坡坮坣坺坯坳濾波器配合坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做乾熱胞

上升的亂度擾動場（坊圯坋）疊合密度通量場在kg/m2s圩變化圖，總共

積分圱圲地秒。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圹圵

圱圲

圲圳此為利用坌坡坮坣坺坯坳濾波器配合坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做乾熱胞

上升的壓力擾動場（坨坐坡）變化圖，總共積分圱圲地秒。圮圮圮圮圮圮圮圮圹圶

圲圴此為利用坌坡坮坣坺坯坳濾波器配合坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做乾熱胞

上升的密度擾動場（kg/m3）變化圖，總共積分圱圲地秒。圮圮圮圮圮圮圹圷

圲圵橫軸為空間解析度，縱軸為 L2 誤差值，地圮圲與地圮圳為坥圭坦坯坬坤坩坮坧距離

（坌）的不同。因此，除了可以看出解坐坯坩坳坳坯坮方程時，用坆坯坵坲坩坥坲波

譜方法（坆坓）與有限差分法（坆坄）在解析度增加時，誤差收斂速

度上的差異，也可以發現在同樣都是坆坯坵坲坩坥坲波譜方法時，坥圭坦坯坬坤坩坮坧

距離（坌）的不同也會影響誤差收斂的飽和值。（摘自坋坵坯坡坮坤

块坩坬坬坩坡坭坳圬圱圹圹圷）圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圹圸

圲圶橫軸（坌）代表高斯函數的坥圭坦坯坬坤坩坮坧距離。同樣波數進行一坐坯坩坳坳坯坮方

程的求解時，隨著解析解的坌越來越大，精確度上坌值有一門檻值

（約為地圮圲），如果高於此門檻誤差反而越來越大。（摘自坋坵坯

坡坮坤块坩坬坬坩坡坭坳圬圱圹圹圷）圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圹圹

圲圷此為兩個不同的高斯函數分布情形，橫軸為解析度（波數），縱

軸為L2誤差值，坈坥坬坭坨坯坬坴坺方程中的α值為圲地，高斯函數最大值則

為圲圮圵，紅線為解析解高斯函數極值位於正中央，藍線則是極值較

靠近邊界的情形，在兩種分布情形下，誤差值上的指數收斂形式並

未為改變。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱地地

圲圸此為高斯函數極值位於中央的解析解及數值解結果，此模擬解析度

為圳圲× 圳圲。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱地圱

圲圹此為高斯函數極值靠近邊界的解析解及數值解結果，此模擬解析度

為圳圲× 圳圲。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱地圲

圱圳

圳地此圖所代表的意義為在坮坯坲坭坡坬坩坺坥坤坴坩坭坥坳坴坥坰圩標準化時步（坬坯坧2在圁t/N圩）

與精確度的作圖，橫軸為坬坯坧2在圁t/N圩，由於有的時間積分方法在一

個時步中其實作了坮次預報的運算，因此除了考慮時步的大小外，

考慮實際效率時應將運算次數併入考慮變成一標準化時步圻在垂直

上則為L2 坥坲坲坯坲，摩擦係數為圱圵m/s2。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱地圳

圳圱此模擬為展現較清楚之摩擦情形，摩擦係數為圱地地m/s2，時步

為地圮圵秒，總共積分圶地秒。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱地圴

圳圲此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做聲波調節的

亂度擾動場（坊圯坋）疊合密度通量場在kg/m2s圩模擬，總共積分圳地秒。圱地圵

圳圳此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做聲波調節的

壓力擾動場（坨坐坡）模擬，總共積分圳地秒。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱地圶

圳圴此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做聲波調節的

乾密度擾動場（kg/m3）模擬，總共積分圳地秒。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱地圷

圳圵此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做聲波調節的

時間序列與使用濾波器做聲波調節的時間序列比較，其值為開始積

分後圷圮圵秒內的各場量在中心（圱圲圵地圬圱圲圵地）隨時間變化的情形。圮圮圱地圸

圳圶此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做乾熱氣塊

上升的亂度擾動場（坊圯坋）疊合密度通量場在kg/m2s圩模擬，總共積

分圶地地秒。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱地圹

圳圷此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做乾熱氣塊上

升的壓力擾動場（坨坐坡）模擬，總共積分圶地地秒。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱圱地

圳圸此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做乾熱氣塊上

升的密度擾動場（kg/m3）模擬，總共積分圶地地秒圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱圱圱

圱圴

圳圹此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做乾熱氣塊上

升的時間序列與使用濾波器做乾熱氣塊上升的時間序列比較，其值

為開始積分後圷圮圵秒內的各場量在氣塊初始位置（圶圲圵圬圱圲圵地）隨時間

變化的情形。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱圱圲

圴地此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做濕熱氣塊

上升的亂度擾動場（坊圯坋）疊合密度通量場在kg/m2s圩模擬，總共積

分圳地地秒。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱圱圳

圴圱此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做濕熱氣塊上

升的壓力擾動場（坨坐坡）模擬，總共積分圳地地秒。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱圱圴

圴圲此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做濕熱氣塊上

升的乾密度擾動場（kg/m3）模擬，總共積分圳地地秒。圮圮圮圮圮圮圮圮圱圱圵

圴圳此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做濕熱氣塊上

升的整體水密度擾動場（kg/m3）模擬，總共積分圳地地秒。圮圮圮圮圮圱圱圶

圴圴此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做濕熱氣塊上

升的液態水（kg/m3）模擬，總共積分圳地地秒。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱圱圷

圴圵此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做乾熱氣塊

上升與逆溫層交互作用的亂度擾動場（坊圯坋）疊合密度通量場

（kg/m2s）模擬，總共積分圷圵地秒。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱圱圸

圴圶此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做乾熱氣塊上

升與逆溫層交互作用的溫度場（坋）模擬，總共積分圷圵地秒。圮圮圮圮圱圱圹

圴圷此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做乾熱氣塊

上升與逆溫層交互作用的密度擾動場（kg/m3）模擬，總共積

分圷圵地秒。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱圲地

圱圵

圴圸此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，運用非輻散風

場的概念，做乾熱氣塊上升的現象與原始不使用非輻散風場的結果

做壓力擾動場（坨坐坡）的模擬比較，左邊的圖為原始風場模擬，右

邊的則為使用非輻散風場的模擬，總共積分圳地地秒。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱圲圱

圴圹此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，運用非輻散風

場的概念，做乾熱氣塊上升的現象與原始不使用非輻散風場的結果

做亂度擾動場（坊圯坋）疊合密度通量場（kg/m2s）的模擬比較，左

邊的圖為原始風場模擬，右邊的則為使用非輻散風場的模擬總共積

分圳地地秒。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱圲圲

圵地隨著非輻散風場的使用，當時步要放大時，需要更大的渦流摸擦係

數以維持模式的穩定，在這裡解析度些為圳圲× 圳圲，因此最小波約長

為圸地坭，各摩擦係數所代表的意義，經換算後（即為各摩擦係數下

方的時間）可視為在多長的時間會將模式中最短的波長（圸地坭）平

衡。圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱圲圳

圱圶

Chapter 1

前前前言言言

在過去圸地年間，人們試著利用大氣模式來模擬大氣運動狀態，其中精確度一直是

模式中最被關注的議題。一開始，利用最原始的運動方程來描述大氣是最為適當

的方法，因為可避免在模擬過程忽略一些重要物理現象，進而能忠實反應大氣實

際狀況，但是存在原始運動方程中的聲波，使計算效率大為降低。為避免此現

象，許多學者在過去研究中分別在大尺度以及對流尺度使用不同的簡化法，但是

簡化後也使模式被限制在一些附加條件下。

隨著電腦技術以及數值方法不斷進步，目前，聲波問題已經可以利用數值方

法來解決，因此，在近年的對流尺度模擬上，已可以使用較少假設的可壓縮系統

（坆坵坬坬坹坣坯坭坰坲坥坳坳坩坢坬坥）來作雲尺度的模擬，至於在大尺度方面，因為水平尺度大

於垂直尺度很多可使用靜力平衡近似，如此一來就可濾除垂直聲波，而不會有過

於簡化的問題，不過這樣的近似只能使用在大尺度模擬上。

近幾年，由於大尺度以及對流尺度的交互作用現象被廣泛討論，許多學者開

始兼具大尺度及對流尺度的模擬，因此，能夠同時模擬兩個尺度的模式在近年

也變成一個不可忽視的研究領域。關於這樣的模式，坏坯坹坡坭坡（圱圹圹地）的溼大氣

模式以及坁坲坡坫坡坷坡坡坮坤坋坯坮坯坲（圲地地圸）的非彈性近似（坁坮坥坬坡坳坴坩坣）和準靜力平衡

（坑坵坡坳坩圭坳坴坡坴坩坣）整合系統，都是建立在可模擬大小尺度現象的前提上。

圱圷

此篇研究的目的，是對於上面所提到的整合系統做進一步的模擬討論，所挑

選的系統是由坏坯坹坡坭坡（圱圹圹地）所提出的溼大氣模式。這個模式所具有的優勢在

於熱力預報上的精確度，不同於以往系統會對經過轉換或假設的熱力參數做預

報，此模式直接對亂度（坥坮坴坲坯坰坹）這個較原始的熱力參數做預報，減少因轉換過

程的假設造成與實際大氣的誤差，增加在溼大氣情況時熱力預報上的精確度。另

外，在預報方程上，主要是對乾空氣密通量、水及水氣密度通量、動量通量和亂

度通量做預報，而壓力在此系統中則是一個診斷的參數，也因此使得這個系統在

垂直坐標上可以利用高度坐標整合非靜力及靜力平衡兩種模擬，使兩種不同模擬

中唯一的差別，為變換垂直動量密度預報的運算順序。而這樣的做法其實就是在

模式中分成動力以及熱力兩個部份模擬。

此篇研究中，利用不同的波譜方法做測試，並比較不同的波譜法造成的

差異，而由於挑選的模式是一做最少假設的濕大氣系統，因此前面所提到因

聲波所造成的問題需格外注意，坏坯坹坡坭坡（圲地地圱）已利用半隱法（坓坥坭坩圭坩坭坰坬坩坣坩坴

坭坥坴坨坯坤）來解決聲波的問題。此篇研究則是進一步利用坃坲坡坮坫圭坎坩坣坫坯坬坳坯坮配合三

階的坁坤坡坭坳圭坂坡坳坨坦坯坲坴坨的離散法，使摩擦項的模擬可加入原始方程中，與原本使

用濾波器扮演消散次網格能量的角色做比較，觀察在改成利用摩擦項表現同樣的

物理機制有何差異。

圱圸

Chapter 2

大大大氣氣氣模模模式式式回回回顧顧顧

大氣的變化即為空氣流體所表現的運動型態，因此流體力學的進步在大氣模式的

基礎中佔有舉足輕重的地位。首先，尤拉第一次運用偏微分方程提出可以完整描

述流體運動的系統，利用這樣的基礎，隨著電腦以及數值模擬的出現，人們不再

需要用人工來解一個可能無解析解的偏微分方程，而是利用數值方法及電腦的機

械式邏輯思考來解決一個流體運動問題，也因此大氣模式在數值方法及電腦的長

足進步下也有了顯著的進展，自此大氣科學成為一個可以做實驗的科學，而非毫

無實驗根據的學問。

在模式的崛起後，學者們發現，在流體中的聲波（坁坣坯坵坳坴坩坣坷坡坶坥）成為了在

使用數值方法時的障礙。由於其頻率大於在氣象中所關注的運動情形，因此原本

所關注的變化情形，在疊加了因聲波所造成的高頻震盪後，會發生在利用數值方

法作時間積分時，積分時步（坔坩坭坥坳坴坥坰）大小被限制的情形，這樣的限制使得我

們在利用電腦做數值積分時變得非常沒有效率，所以以往的許多研究中大致可以

分為兩種解決方法，而運用哪種方法來對聲波做忽略或是簡化的處理，是取決於

在大氣研究中所關注問題佔的空間尺度為何。

第一種方法是對於大尺度而言，利用關注的問題在水平尺度上大於垂直尺度

非常多的特性，我們可以套用靜力平衡近似，如此在垂直方向上的聲波就可以

圱圹

被濾除，但是這樣的解決方法並無法濾除在水平上的聲波傳遞（坌坡坭坢坷坡坶坥）情

形。

第二種方法是對於較小尺度而言，利用在連續方程（坍坡坳坳坣坯坮坳坥坲坶坡坴坩坶坥

坥坱坵坡坴坩坯坮）上的簡化，使得大氣流體變成一非彈性的流體，這樣的方法我們稱之

為非彈性近似（坁坮坥坬坡坳坴坩坣坡坰坰坲坯坸坩坭坡坴坩坯坮），由於聲波無法在經過這樣簡化的系

統之中傳遞，因而解決聲波會造成積分沒有效率的情形，不過這樣的簡化卻對於

可以模擬的情形多了一些額外限制，為了要使這樣的系統依然能維持能量的保守

性，坏坧坵坲坡坡坮坤坐坨坩坬坬坩坰坳（圱圹圶圲）第一次提出這樣的簡化法時強調必須要在垂直上

為等熵分佈的大氣才能維持模式的能量保守，因此造成可以模擬的實際情形被限

制。

以上提到的兩種方法到目前都仍有許多模式使用，也有許多學者在之後的

研究中對前文提及的問題提出改善方法，所以在圲圮圱節會先介紹在流體力學上

的演進與模式的關係，並提到聲波在模式中造成的問題，接著在圲圮圲節和圲圮圳節

分別介紹兩種解決方法，並進一步介紹以往學者面對兩種方法的不便處時，

提出的相關解決方法。在圲圮圴節則是介紹近年來，大氣模式中提出的兩個對於

追求不同改進方向的模式設計，第一個模式是由坏坯坹坡坭坡（圱圹圹地圬圲地地圱）提出的

溼大氣模式，其模式強調的是他在熱力學上的精確。而另一個由坁坲坡坫坡坷坡坡坮坤

坋坯坮坯坲（圲地地圸）提出的模式則是結合準靜力平衡（坑坵坡坳坩圭坳坴坡坴坩坣）以及非彈性近似

（坁坮坥坬坡坳坴坩坣坡坰坰坲坯坸坩坭坡坴坩坯坮）的整合系統，因此其濾除聲波的特性，使得其模式

在積分上較有效率。最後在圲圮圵節則是提出本研究所選擇的模式，並對於它的優

點以及缺點做進一步介紹。

圲地

2.1 尤尤尤拉拉拉流流流體體體運運運動動動方方方程程程

圱圷圵圷年，坅坵坬坥坲第一次提出可以完整描述流體動力情形的方程式，

∂u

∂t圫 u

∂u

∂x圫 v

∂u

∂y圫 w

∂u

∂z圽 −圱

ρ

∂p

∂x

∂v

∂t圫 u

∂v

∂x圫 v

∂v

∂y圫 w

∂v

∂z圽 −圱

ρ

∂p

∂y

∂w

∂t圫 u

∂w

∂x圫 v

∂w

∂y圫 w

∂w

∂z圽 −圱

ρ

∂p

∂z− g

∂ρ

∂t圫∂ρu

∂x圫∂ρv

∂y圫∂ρw

∂z圽地

在圲圮圱圩

因此利用這樣的一個偏微分方程系統（圲圮圱）式，我們得以計算隨著時間變化，

流體如何運動。這個系統，利用質量以及動量在流體中守恆的性質，來描述

流體在空間中的運動情形，不過因為缺乏目前所熟知的熱力方程，而且當時也

只是略為了解氣體的狀態方程（當時只有波以耳在圱圶圶圲年提出的波以耳定律

PV 圽 constant ），在將波以耳提出的方程式線性化後，得到

p′

p0

圽ρ′

ρ0

在圲圮圲圩

與現在的線性化狀態方程p′

p0

圽ρ′

ρ0

圫T ′

T0

在圲圮圳圩

比較，可以發現在當時，描述聲波的運動是假設其為一等溫過程，且在描述聲波

波速時，

Cs 圽√RT 在圲圮圴圩

會有與現在真實聲速差一個倍數 γ 的情形發生。

一直到了圱圸圱圶年，坌坡坰坬坡坣坥提出絕熱條件（坡坤坩坡坢坡坴坩坣坣坯坮坤坩坴坩坯坮），進一步增加

了流體的熱力方程

CvDT

Dt圫 p

Dα

Dt圽坟Q 在圲圮圵圩

圲圱

讓我們了解到聲波的運動是一等熵過程（絕熱過程），而不是之前所認知的等溫

過程，因此在絕熱過程中的理想氣體方程

p′

γp0

圽ρ′

ρ0

圫θ′

θ0

在圲圮圶圩

可以簡化成p′

γp0

圽ρ′

ρ0

在圲圮圷圩

（圲圮圷）式的形式，而聲速在熱力方程的修正過後，其波速才成為我們現在所看

到的正確形式

Cs 圽√γRT 在圲圮圸圩

由上面的分析可以發現，聲波存在於模擬的系統之中，但是我們所關注的參

數變化時間尺度相較於聲波的時間尺度較大，因此在我們所關注的時間尺度下，

可以視聲波都已經傳遞出去，或是達到平衡態，所以聲波震盪以外的參數變化才

是事實上我們有興趣的變化情形。當這個一開始因為聲波調節作用所產生快速

移動且高頻的波動，疊加在我們所關注的變化上時，就會造成原本較平滑變化

（坆坩坧圮圱紅虛線）的資料，在短時間尺度內受高頻震盪的影響而變的崎嶇（坆坩坧圮圱藍

實線）。

在模式之中，如果觀察聲波調節完的變化（坆坩坧圮圱紅虛線），積分時步只需要

利用點坁到點坂的時步，就可以從時間點坁得知下一個時間點坂大氣參數變化情

形，不過因為時間積分法與一開始點坁的斜率有關，以尤拉法來舉例场

原偏微分方程為∂P

∂t圽 f在x, tn圩在圲圮圹圩

用尤拉法離散化得到

P 在tn+1圩− P 在tn圩圁t

圽 f在x, tn圩

P 在tn+1圩圽 f在x, tn圩圁t圫 P 在tn圩

在圲圮圱地圩

可發現在離散化後，下一個時間點的參數，須由上一個時間點的斜率值

（f在x, tn圩）以及上一個時間點的參數值（Pn）求得，所以，受聲波震盪的影

圲圲

響，聲波調節發生的點坁斜率（點坁藍色實線斜率）變得比聲波調節後的點坁斜率

（點坁紅色虛線斜率）大，因此在利用同樣大小的時步積分之下，聲波調節正在

發生的情形會非常不穩定，也就是在數值解上呈現無限大而無法積分的情況，

這樣的現象其實就是在使用數值方法時需要注意的穩定條件（坃坆坌坣坯坮坤坩坴坩坯坮）场

Cfastest圁t

圁x≤ 圱在圲圮圱圱圩

（圲圮圱圱）式中的Cfastest在包含聲波的模式中，即為Cacoustic，也就是聲波的波速，

所以在（圲圮圱圱）不等式中，代表的物理含意即為，解析度（網格大小）必須比

在模式中最快波速在一個時步後所移動的距離還要大，也就是在一個時步下，

網格夠大以解析最快的波速，換句話說，就是在等解析度時，時距夠小使網格

點資訊得以解析最快波速的波動在一個網格間距下的運行。因此如果我們所

關心的天氣現象是重力波造成的變化（波速約圱地−圱地2坭圯坳），相較於聲波（波速

約圱地2− 圱地3坭圯坳），在坃坆坌坣坯坮坤坩坴坩坯坮的限制之下，在同樣的空間解析度時，坃坆坌

坣坯坮坤坩坴坩坯坮由重力波控制的情形下所得到的時步大小，會比有聲波存在時要大約一

到兩個量級，所造成的時步差距十分可觀，因此在實際情形下，由於聲波的存在

造成的時步縮小，將嚴重影響我們在模式積分上的效率，也因此在以往的許多研

究中，學者們不斷的對這樣的問題提出不同的解決方法。在接下來的兩小節中將

會提出兩種目前不同的解決方向。

2.2 大大大尺尺尺度度度系系系統統統簡簡簡化化化

2.2.1 原原原始始始方方方程程程

從最原始的方程出發，由於我們所專注的系統是位於地球上的座標系，所以隨

著地球的自轉，我們會受到因為位於旋轉座標中而存在的假想力作用，而平

常所熟知的科氏力即為假想力中的一種，但科氏力並非在地球系統中唯一會

受到的假想力。利用角動量守恆，以及因旋轉而產生的離心力，這兩個基礎

的物理觀念，就可以推導出在地球系統中的假想力。，雖地球為橢圓形，不

圲圳

過因橢圓所造成的影響並不大，所以在地球上的系統可以用一個球面座標來近

似在坐坨坩坬坬坩坰坳圬圱圹圶圶圬圱圹圷圳圬圱圹圹地坡圩。

首先，討論相對於地球在東西方向（坸坤坩坲坥坣坴坩坯坮）速度發生變化時所造成的假

想力。由角動量守恆，可得

在圊R2 圫 uR圩圽坛圊在R 圫 δR圩2 圫在u圫 δu圩在R 圫 δR圩坝在圲圮圱圲圩

其中，R為所在位置離地球旋轉軸心之距離，δ則到表其改變量，如有兩個δ相

乘，相對於其他項可視為極小值，因此我們可以簡化（圲圮圱圲）式，並同除以δt得

到δu

δt圽 −在圲圊圫

u

R圩δR

δt在圲圮圱圳圩

再將在圲圮圱圳圩式的δ → 地，並將旋轉半徑對時間的變化（δR/δt）換成由地球上南

北（坹坤坩坲坥坣坴坩坯坮）及垂直方向（坺坤坩坲坥坣坴坩坯坮）速度來表示，可得

Du

Dt圽 −在圲圊圫

u

r 坣坯坳φ圩在w 坣坯坳φ− v 坳坩坮φ圩在圲圮圱圴圩

其中，r為地球半徑，φ為所在地點的緯度值，此即為相對於地球有東西方向速

度，而造成東西（坸坤坩坲坥坣坴坩坯坮）方向上的假想力。

東西方向速度除了造成東西方向的假想力產生以外，由離心力改變的觀點來

了解，可以發現另外兩個方向的假想力作用。原本在無相對速度的情況下，離心

力為

圊2R 在圲圮圱圵圩

因此考慮東西方向速度後的離心力為

在圊圫u

R圩2R 在圲圮圱圶圩

將（圲圮圱圶）式減（圲圮圱圵）式即為多出的加速項如下

在圊圫u

R圩2R− 圊2R 圽在圲圊圫

u

R圩u 在圲圮圱圷圩

圲圴

同樣的將坒的方向向量用南北（坹坤坩坲坥坣坴坩坯坮）及高低方向（坺坤坩坲坥坣坴坩坯坮）表示

Dv

Dt圽 −在圲圊圫

u

r 坣坯坳φ圩u 坳坩坮φ

Dw

Dt圽在圲圊圫

u

r 坣坯坳φ圩u 坣坯坳φ

在圲圮圱圸圩

（圲圮圱圸）式分別為南北及垂直方向上受到東西方向速度的離心力影響，進而產生

的假想力分量。

接著討論相對於地球有南北方向運動的影響，同樣先由角動量守恆的觀點，

可得

vr 圽在v 圫 δv圩在r 圫 δr圩

其中 δv 圽 −δrrv 圫

δrδv

r

在圲圮圱圹圩

將（圲圮圱圹）式的δ → 地，如有兩個δ相乘的項，相對於其他項視為極小值，得到

Dv

Dt圽 −v

r

Dr

Dt

圽 −vwr

在圲圮圲地圩

至於從離心力的觀點，可以得到在垂直方向上，因相對於地球作南北的圓周運動

而產生垂直方向（朝地球外）的假想力

Dw

Dt圽v2

r在圲圮圲圱圩

因此在這裡把每個方向上因為有相對於旋轉座標（地球）的速度所導致的假

想力作個整理放進我們原本的運動方程之中，可以得到描述大氣流體運動最原始

的方程如下

du

dt圽 − α

r 坣坯坳φ

∂p

∂λ圫 Fλ 圫

(圲圊圫

u

r 坣坯坳φ

)在v 坳坩坮φ− w 坣坯坳φ圩

dv

dt圽 −α

r

∂p

∂φ圫 Fφ 圫

(圲圊圫

u

r 坣坯坳φ

)u 坳坩坮φ− vw

r

dw

dt圽 −α∂p

∂r− g 圫 Fr 圫

(圲圊圫

u

r 坣坯坳φ

)u 坣坯坳φ圫

v2

r

在圲圮圲圲圩

即為考慮地球旋轉所造成假想力時大氣的運動方程，在最初，學者們稱之為原始

方程（坐坲坩坭坩坴坩坶坥坥坱坵坡坴坩坯坮坳）。

圲圵

2.2.2 傳傳傳統統統近近近似似似

學者們發現，在這樣的系統之下，大氣中大部份的空氣質量都分佈在離地表約

十公里上下，所以原本在方程式中的變數坲項（r 圽 a 圫 z，坡代表地表到地心的

距離，坺則代表地表到運動氣塊所位於的高度），因為（坡圽圶圳圷圱坫坭）z � a，

所以 r → a，然後把 ∂/∂r代換成 ∂/∂z ，並忽略與坣坯坳φ成比例關係的科氏

力項及其他假想力項，這樣的近似稱為傳統近似（坔坲坡坤坩坴坩坯坮坡坬坡坰坰坲坯坸坩坭坡坴坩坯坮）

（坐坨坩坬坬坩坰坳圬圱圹圶圶），其運動方程形式為

du

dt圽 − α

a 坣坯坳φ

∂p

∂λ圫 Fλ 圫

(圲圊圫

u

a 坣坯坳φ

)v 坳坩坮φ

dv

dt圽 −α

a

∂p

∂φ圫 Fφ 圫

(圲圊圫

u

a 坣坯坳φ

)u 坳坩坮φ

dw

dt圽 −α∂p

∂z− g 圫 Fz

在圲圮圲圳圩

目前，這樣的近似法已經成為在建構數值天氣預報模式（坎块坐）時一個很基本

的假設，不過這樣的假設並沒有解決我們之前所提到聲波所造成的問題。

2.2.3 準準準靜靜靜力力力平平平衡衡衡近近近似似似

因此架構在這個基本的假設下，許多學者進一步的利用尺度分析來作簡化，以

解決聲波造成的低效率數值積分。由於在關心大尺度的大氣變化時，水平尺度

（L ∼ 圱地6m）約比垂直尺度（H ∼ 圱地4m）大兩個量級，因此可視為 L � H ，

其餘變數在尺度上的分佈如下：

U ∼ 圱地 m/s 水平速度尺度

W ∼ 圱 cm/s 垂直速度尺度

P0α ∼ 圱地5 m2/s2 垂直氣壓變化尺度

L/U ∼ 圱地5 s 時間尺度

f0 圽圲圊坳坩坮φ0 ∼ 圱地−4 圱/s 地轉渦度約在中緯度（圴圵0）時

圲圶

將上面的尺度，帶入（圲圮圲圳）式中的垂直動量方程，可以發現式子中只剩下兩個

量級比較大的垂直加速度項平衡

−α∂p∂z− g 圽地在圲圮圲圴圩

但是（圲圮圲圴）式這樣的尺度分析，其實只證明了在壓力梯度力最大量級與重力最

大量級的平衡，其實也就是平均場的平衡

−∂p0在z圩

∂z− g

α0在z圩圽地在圲圮圲圵圩

不過在真實的大氣狀況下，常常在水平上的壓力場分佈呈現波動的形式，所以需

進一步驗證壓力場在水平上平均場以外的波動場也是呈現靜力平衡的型式。將壓

力場及密度場（α 圽 ρ−1）分成平均場（第一量級）及擾動場（第二量級）

p在x, y, z, t圩圽 p0在z圩圫 p′在x, y, z, t圩

ρ在x, y, z, t圩圽 ρ0在z圩圫 ρ′在x, y, z, t圩

在圲圮圲圶圩

接著由（圲圮圲圶）式帶入（圲圮圲圴）式可得

− 圱

在ρ0 圫 ρ′圩

∂

∂z在p0 圫 p

′圩− g ≈ −圱

ρ

[ρ′g 圫

∂p′

∂z

]在圲圮圲圷圩

同樣由前面尺度分析的方法帶入（圲圮圲圷）式，可得知右式兩項量級相同，且也大

於原本其他項的量級許多，這代表著在大尺度下擾動場也符合靜力平衡的假設。

因此，在擾動場也呈現靜力平衡的尺度下，我們的垂直動量場也可簡化成靜

力平衡的形式。這樣建立在傳統近似上的靜力平衡近似，就稱為準靜力平衡進似

（坑坵坡坳坩圭坳坴坡坴坩坣坡坰坰坲坯坸坩坭坡坴坩坯坮），而因為其在簡化上只利用近似，因此後來也稱

其為原始方程（坐坲坩坭坩坴坩坶坥坥坱坵坡坴坩坯坮坳），為了與最原始的方程作區別，原本的原

始方程就稱做最初的原始方程（坏坲坩坧坩坮坡坬坰坲坩坭坩坴坩坶坥坥坱坵坡坴坩坯坮坳）。而在這樣的原始

方程假設下，從前面的尺度分析可以了解到，在垂直方向並無加速度的作用，因

此即使水平上有氣壓的擾動，各氣壓擾動的當地（坬坯坣坡坬）垂直方向依然是呈現靜

力平衡，所以就不會有因為垂直壓力變化而導致的疏密波傳遞，聲波因而透過靜

圲圷

力平衡的假設，被濾除在準靜力平衡近似的系統之外。不過這樣的近似雖然解決

了垂直上的聲波傳遞，但是在水平上的聲波（坌坡坭坢坷坡坶坥）卻無法消除。

另外需要注意的是，準靜力平衡近似只有在垂直動量方程上做出了簡化，對

於描述物質守恆的連續方程並沒有作任何的近似，所以流體的可壓縮性是完整被

保守的。但是由於其靜力平衡的假設必須要成立在大尺度下，因此，當我們所關

心的現象小於一個水平尺度（約圱地 ∼ 圱圵km）時，我們所要模擬的情形就會受到

影響，因為在這時的垂直尺度近似於水平尺度，無法套用大尺度時尺度分析的結

果，也就是非靜力平衡（坎坯坮坨坹坤坲坯坳坴坡坴坩坣）在這樣的尺度下是有可能發生的。

對於這樣的問題，有學者利用非靜力平衡近似，但不會造成聲波產生的方

法來解決。最早提出從這個方法出發的坍坩坬坬坥坲（圱圹圷圴）（包括坍坩坬坬坥坲坡坮坤坐坥坡坲坣坥

圱圹圷圴圻坍坩坬坬坥坲坡坮坤块坨坩坴坥圱圹圸圴圻块坨坩坴坥圱圹圸圹），利用壓力來當作垂直的座標分層，

因此在連續方程上可以將表現成為較簡單的型式，使得在連續方程上不需

要做任何物理觀念上的忽略即可以達到簡化的結果，並將垂直加速項近似

成Dw/Dt ≈ D在ω/ρsg圩/Dt。，Ｍ坩坬坬坥坲（圱圹圷圴）證明這樣將座標轉換的做法，在垂

直上為高度座標時，其實就代表靜力平衡近似，但是此系統並不一定要成立在靜

力平衡的條件之下，因此這樣的近似仍有問題存在。

更進一步，坌坡坰坲坩坣坥（圱圹圹圲）利用將垂直座標改為靜力平衡的壓力值，而因為

這樣的轉換並沒有任何在動量方程以及連續方程上的假設，所以這樣的系統同時

保有非靜力平衡的狀態，以及流體的可壓縮性。此系統在垂直動量方程上並非如

以往，為垂直速度的預報方程，而是從已知的 Dw/Dt來診斷氣壓在垂直上的分

布。

坊坡坮坪坩坣坥坴圮坡坬（圲地地圱）和坊坡坮坪坩坣（圲地地圳）則改變了坌坡坰坲坩坣坥所提出的方法，以 σ 座

標表示靜力平衡壓力的型式，而且針對坌坡坰坲坩坣坥所提出的方法進一步的強調具有

可分離性的好處，也就是非靜力平衡的動力系統可以視為一個附加的組件，而不

會影響到靜力平衡動力的部份。

對於準靜力平衡近似，目前由於在大小尺度的整合性模式需求，也有學者提

出可以結合小尺度近似與準靜力平衡近似，各截取其在處理聲波上優勢的部份以

圲圸

達到整合的效果，同時又不至於影響最後積分結果，在後面介紹近年的模式發展

時會對其做更詳細的介紹。

2.2.4 其其其他他他大大大尺尺尺度度度簡簡簡化化化

除了前面所提到最基礎的傳統近似，到更進一步在大尺度用的準靜力平衡近似以

外，有更多在系統上的簡化，達到在面對不同狀況的真實問題時，可以利用最

為簡單的系統，來瞭解可能主導其運動或變化的因素。

在科學上，這樣對於問題的探求方法常常被善加的利用，因為可以讓我們更

加瞭解問題的本質，也就是假如有一個簡單的系統可以解釋所遇到的狀況，為什

麼會要用一個複雜的系統解釋？甚至在解釋上可能還要再經過好幾層的關聯，才

會造成同樣的結果。因此在面對問題時，對問題本身性質也需要充分了解，才能

知道如何簡化，或是如何假設，在對於所關心的問題進行研究時，才不會因為省

略而對所關心的問題有所影響。

一系列在大尺度中的系統，由最接近原始方程的系統到最簡化的系統，依序

為非線性平衡模式，半地轉模式，線性平衡模式，準地轉模式和非輻散正壓模

式，其各別對不同的系統有不同的適用性。在非線性平衡模式中，鋒面，噴流以

及強渦旋系統（例如：颱風）可以適用，不過這樣的系統缺點在於方程式過於難

解。半地轉理論則是可以描述鋒面或是噴流，但必須是旋轉情形較少的系統。

至於線性平衡模式是在使用上假設相對渦度小於地轉渦度非常多，來探討大部分

斜壓波動的一些特徵。準地轉理論則幾乎與線性平衡模式可模擬的情況相同，不

同的是在於地轉渦度梯度上，線性平衡模式是利用全球的梯度分布，而準地轉模

式是利用局部的地轉渦度梯度（β圭坰坬坡坩坮），而這也是最簡化又可以表現出斜壓不

穩定的模式。最後在這一系列模式中最簡單的非輻散正壓模式，因為無輻散作

用，所以沒有拉伸造成的渦度增加，局部渦度增加完全靠平流項的效應所造成，

這樣一個簡單的系統雖然無法模擬中緯度時重要的斜壓系統，但是在近幾年的颱

風動力研究上卻佔有很重要的地位，由於其簡單的性質使得在動力研究上可以更

精確的討論導致不穩定的可能因素。

圲圹

2.3 對對對流流流尺尺尺度度度系系系統統統簡簡簡化化化

2.3.1 非非非彈彈彈性性性近近近似似似

不同於大尺度對於聲波的簡化，對流尺度不能使用靜力平衡的假設，所以為了

能同樣達到濾除聲波的效果，坏坧坵坲坡坡坮坤坐坨坩坬坬坩坰坳（圱圹圶圲）提出了非彈性假設

（坡坮坥坬坡坳坴坩坣坡坰坰坲坯坸坩坮坡坴坩坯坮），假設大氣是一個非彈性的流體，也就是在連續方程

（質量守恆方程）上做非彈性的假設，使原本利用尤拉座標來表示的原始連續方

程

∂ρ

∂t圫∇在ρv圩圽地在圲圮圲圸圩

可以減化成如下的形式

∇在ρv圩圽地在圲圮圲圹圩

即稱為非彈性假設，他們從尺度分析上的觀點做了嚴謹的分析，在過程中發現如

果水平尺度上的熱力參數（如：熵，密度）平均值大於擾動場的值很多，可以將

（圲圮圲圸）式轉換成（圲圮圲圹）式，這樣整個系統在熱力參數上從原本的三個參數中

（ρ, θ, p）預報兩個（ρ, θ），而剩下一個交給狀態方程來作診斷。

非彈性的系統之下，以將原本為預報密度場的連續方程（圲圮圲圸）式改成通量

不變的形態，所以預報參數部份只剩一個（θ），壓力部份則利用通量不變來診

斷，密度則是利用狀態方程來判定，但是在求解壓力場時，需求解二次微分方

程，這在三維的座標之中必須要考慮三維的邊界問題，使得在邊界條件上變得很

嚴苛，也就是說假如現在有地形的存在，這樣的微分方程可能變成無解。而在

非彈性系統之下也必須注意到，推導這樣的假設，成立在水平尺度的熱力參數平

均值大於擾動值很多的情況下，因此需要注意到在每個時步積分結束後，條件仍

然滿足，例如在初始場中，也許並無平均值小於或等於擾動場的情況，但是在經

過時間積分後，無法保證下個時步所得的值，都有辦法如初始場般符合假設條

件。最後就是能量的保守性，坏坧坵坲坡坡坮坤坐坨坩坬坬坩坰坳（圱圹圶圲）在當時提出非彈性近似

時，還做了一個很重要的假設以維持整個系統的能量保守，大氣在垂直分布上必

需成等熵的型式。非彈性系統雖然解決了聲波造成的問題，但是在實際可運用的

圳地

情形卻也被大大的限制住，因此對於這個方法的改進，有一系列針對改善限制的

研究，在接下來的一小節將會針對改善的非彈性系統做更深一步的討論。

2.3.2 非非非彈彈彈性性性近近近似似似修修修正正正

坏坧坵坲坡坡坮坤坐坨坩坬坬坩坰坳（圱圹圶圲）提出非彈性近似後，為使系統中能量保守，因此在等

熵條件的限制下（θ 圽 θ0），壓力梯度力在坐均坆圩呈現

坐均坆圽 cpθ0∇π 在圲圮圳地圩

其中，cp是空氣的熱含量，π 圽在p/p0圩Rd/cp（坅坸坮坥坲坦坵坮坣坴坩坯坮）為無因次壓力的型

式， θ0為常數，代表整層大氣呈等位溫分布。但是在真實大氣之中，垂直位溫

的分布上大部份的情況都不會呈現等位溫的情形，尤其考慮水汽的作用後，更是

如此，因此块坩坬坨坥坬坭坳坯坮坡坮坤坏坧坵坲坡（圱圹圷圲）提出了與原本非彈性近似相似的近似

法，只是新系統中，考慮水氣造成θ隨高度變化的情形（θ 圽圖θ在z圩），使θ無法滿

足模式能量保守，而此方法的氣壓梯度力表示為

坐均坆圽 cp圖θ在z圩∇π 在圲圮圳圱圩

因考慮較真實的位溫分布，所以力的表現上也較真實。對於能量保守與真實位溫

分布無法同時滿足的尷尬情況，坌坩坰坰坳坡坮坤坈坥坭坬坥坲（圱圹圸圲）提出另一解決方法圭對

於動量方程做修正。其方法在於忽略動量方程中 d圖θ在z圩/dz 項，得到一近似的動

量方程，而這樣的近似結果使我們可同時滿足 θ 圽圖θ在z圩的條件，以及能量保守

的性質，不過在動量方程的省略造成了這個系統的不一致性。在氣壓梯度力上

則是因為省略了d圖θ在z圩/dz，表示為

坐均坆圽 cp∇圖θ在z圩π 在圲圮圳圲圩

也就是可將（圲圮圳圱）式中位溫移入運算子內。仿照如坌坩坰坰坳坡坮坤坈坥坭坬坥坲的想

法，坂坡坮坮坯坮（圱圹圹圶）則是引入一新觀念稱為動力熵（坤坹坮坡坭坩坣坥坮坴坲坯坰坹），來達

到對於熱力方程中作簡化的效果，以保持能量上的守恆。

圳圱

對於非彈性近似（圲圮圲圹）式的簡化方法，坄坵坲坲坡坮（圱圹圸圹）覺得其簡化已超過解

決聲波問題所需要，因為在非彈性近似中，局部密度隨時間的變化

∂ρ

∂t圽

ρ

γp

(∂p

∂t

)θ

− ρ

θ

(∂θ

∂t

)p

在圲圮圳圳圩

是被完全忽略的，其中ρ為密度，p為壓力值，γ ≡ cp/cv， cp和cv則分別為等壓

及等體積下單位質量的熱容量，因此可發現在（圲圮圳圳）式中，完全忽略左邊

項，代表隨著時間等熵面上不具有可壓縮性，以及等壓力面的熵是呈常數，

但坄坵坲坲坡坮表示，如果我們忽略右手邊的第一項，只考慮第二項所帶來的效果，可

以得到

∇ · 在圖ρ圖θ~V 圩圽圖ρQ

cp圖π在圲圮圳圴圩

其中圖ρ, 圖θ所代表的是在水平上密度場即位溫場的平均值，R為空氣的理想氣體常

數，Q則是單位質量的加熱效率，所以在這樣的系統下，因為密度不會受到壓力

改變的影響（等熵面上氣體不具有可壓縮性），而完全只受到位溫改變而有的

變化，這樣的假設下因為沒有可壓縮性，所以也濾除了聲波在系統中的產生，

坄坵坲坲坡坮（圱圹圸圹）稱其為假不可壓縮方程（坰坳坥坵坤坯圭坩坮坣坯坭坰坲坥坳坳坩坢坬坥坥坱坵坡坴坩坯坮），並

定義了一個新的密度變數，稱其為假不可壓縮密度ρ∗（坰坳坥坵坤坯圭坩坮坣坯坭坰坲坥坳坳坩坢坬坥

坤坥坮坳坩坴坹），其關係式可表示為

圖π 圽

(R

p0

ρ∗θ

)R/cv在圲圮圳圵圩

代表這樣的密度符合理想氣體方程，且在方程中，壓力只包含平均場的壓力值，

表示新定義的密度場受到擾動場壓力的影響可以忽略，而只會受到平均場的壓力

變化而有所改變。將新定義密度代入原始方程中，可得

Du

Dt− fv 圫 cpθ

∂π′

∂x圽地

Dv

Dt圫 fu圫 cpθ

∂π′

∂y圽地

Dw

Dt圫 cpθ

∂π′

∂z圽 g

θ′

圖θ

Dθ

Dt圽

H

cpρ∗圖π

Dρ∗

Dt圫 ρ∗∇ · ~V 圽地

在圲圮圳圶圩

圳圲

（圲圮圳圶）式與原始方程的差異在連續方程上，改成用新定義的ρ∗表示，因此在熱

力方程上忽略了因擾動壓力場造成的效應，其餘的方程除了消去平均場而只用擾

動場來表示以外都一模一樣，在這樣的系統之下，能量保守，而且不會在動量方

程上省略而造成不一致性。

對於坄坵坲坲坡坮所提出的系統，坎坡坮坣坥坡坮坤坄坵坲坲坡坮（圱圹圹圴）證明在越接近非靜力

平衡的時候，這樣的假設精確度越高，更進一步，坄坵坲坲坡坮（圲地地圸）證實在馬克

數（坍坡坣坨坮坵坭坢坥坲）比羅士比數（坒坯坳坳坢坹坮坵坭坢坥坲）小或是接近於一的時候，其

精確度是可信的。坄坵坲坲坡坮坡坮坤坁坲坡坫坡坷坡（圲地地圷）則證明了在使用準不可壓縮系統

時，動量方程和熱力方程上除線性化外，不需進一步的簡化就可以達到系統能量

保守的條件。

2.3.3 非非非彈彈彈力力力近近近似似似之之之適適適用用用性性性討討討論論論

除了前面一連串對於系統能量保守的研究，在非彈性大氣近似的討論中，有提及

因物理上的假設，使得在使用上有問題存在，例如邊界條件或是適用條件等等的

限制。這裡所要談的是除了這些因為假設所造成的問題，還有實際物理現象的模

擬錯誤，或受其他因素影響造成系統穩定性問題的存在。不管在非彈力近似，或

是更進一步修正後的假不可壓縮系統，在小尺度的模擬上都很不錯，而前面也提

到在假不可壓縮系統中，模擬情況越接近非靜力平衡，在精確度上也越好，不過

在近幾年大小尺度交互作用的探討越來越多，因此大尺度模擬套用在小尺度的問

題，或是小尺度套用到大尺度上的適用性問題，越趨重要，而這裡要討論的，就

是關於非彈性系統在擴展到大尺度時所遇到的問題。

坎坡坮坣坥坡坮坤坄坵坲坲坡坮（圱圹圹圴）指出假不可壓縮或非彈性系統計算大尺度運動

時，因假設所導至的誤差比數值方法所造成的誤差要小很多，坓坭坯坬坡坲坫坩坥坷坩坣坺坥坴

坡坬圮（圲地地圱）更強調在目前的全球模式下，因為截斷誤差 1 （坴坲坵坮坣坡坴坩坯坮坥坲坲坯坲）造

成精確度上的差異，已蓋過可能因為系統方程式改變所會造成的誤差。為證實此

1因為在數值計算中，在計算微分值或是其他相關項時，在利用泰勒展開的方法下，可表現成

一無限級數的型式，但在電腦計算可表現的範圍內，泰勒級數中影響較小的高次項常常會予以省

略，而省略的部份即電腦計算造成的誤差，此即稱為截斷誤差。

圳圳

項觀點，坓坭坯坬坡坲坫坩坥坷坩坣坺坡坮坤坄坿坯坲坮坢坲坡坣坫圮（圲地地圸）利用非彈力系統以及假不可壓縮

系統對於中緯度的斜壓系統進行積分。

不過也有人提出不一樣的觀點，坄坡坶坩坥坳坥坴坡坬圮（圲地地圳）對於原始方程（坆坵坬坬坹

坣坯坭坰坲坥坳坳坩坢坬坥），假不可壓縮系統，非彈性系統和準靜力平衡系統在無地轉梯度

的背景場（坦坰坬坡坮坥）下做正模分析（坮坯坲坭坡坬坭坯坤坥坡坮坡坬坹坳坩坳），結果指出小尺度

的模式並不適合進行大尺度現象模擬。

另一個利用非彈性系統模擬大尺度會產生的嚴重問題，則發生在背景場有地

轉渦度梯度（β 坰坬坡坮坥）存在時。因為在連續方程（圲圮圲圹）式的表示下，考慮正壓

模（坂坡坲坯坴坲坯坰坩坣坭坯坤坥）水平流場且上邊界（大氣層頂）固定的情況下，正壓模

被限制成非輻散的流體，所以，就會發生早年在數值天氣預報發展時所會遇到的

問題。块坯坬國（圱圹圵圸）在當時利用非輻散正壓模式發現，預報誤差被一快速向西

移動的超長波主導，而這樣的現象主要是因無法產生水平輻散作用的模式下，羅

士比波（坒坯坳坳坢坹坷坡坶坥）的波速表現上呈現

CRossby 圽β

k2在圲圮圳圷圩

的型式，因此隨著坫值的減小，波速會無限制的增快，造成真實中不存在的波

動。而此波動模擬不正確是因非彈性假設，造成正壓模下水平無輻散導致。此

種向西快速移動的長波，不會發生在適用於大尺度模擬的準靜力平衡假設之中，

所以也可以由此推測造成此情形的其中一個原因，可能是準靜力平衡的假設中仍

保有流體的可壓縮性，而非彈性假設則是為了避免聲波而忽略了可壓縮性，所以

才會在兩個同樣要解決聲波問題的系統中出現差異。

由大尺度以及小尺度這兩種觀點來分析可以發現，雖然都是對於聲波做濾除

的工作，但是在不同的尺度下要使用的方法也大不相同，所造成的問題也都需要

不同的解決方法，而在這兩個對大小尺度不同的處理方法，也造成近年整合大小

尺度的模擬工作更加困難。不過面對這樣的問題有學者提出不同的解決方法，來

面對大小尺度模擬結合的需求，在下面的一節將會詳細介紹兩種不同的整合模

式。

圳圴

2.4 近近近期期期模模模式式式進進進展展展

由前一節的分析可以瞭解，大小尺度上的差異，使得在挑選使用的模式時，需要

了解不同尺度在模式中的表現，才不會因為不正確的模式挑選，導致不穩定產

生，進而造成模擬結果誤差。但是在近年，許多研究指出在大小尺度間的交互作

用扮演著重要角色，也意味著不同的尺度不再是可以分開模擬，而是需要一起模

擬以考慮不同尺度交互作用而產生的現象。面對這樣的問題，由於數值方法在近

年的發展，有學者提出可以利用數值方法配合原始方程來進行模擬，因此在使

用原始方程的前提下，就不會有因為不同尺度而需挑選不同近似法的問題，至於

原本要解決的聲波問題，就利用時間分離法 2 （坔坩坭坥坳坰坬坩坴坩坮坧），或是半隱法 3

（坓坥坭坩圭坩坭坰坬坩坣坩坴坭坥坴坨坯坤）來縮短計算時間以解決積分無效率的狀況。近年，也有

一些新提出的系統可以進行這樣大小尺度模擬的整合，聲波問題的部份則是看

各系統的性質來選擇解決方法。接著將會簡單介紹近年所提出的兩種系統，一

個是由坏坯坹坡坭坡（圱圹圹地圬圲地地圱）所提出的溼大氣模式，另一個則是由坁坲坡坫坡坷坡坡坮坤

坋坯坮坯坲（圲地地圸）所架構的非彈性和準靜力近似整合系統。

2.4.1 溼溼溼大大大氣氣氣模模模式式式

由坏坯坹坡坭坡（圱圹圹地）第一次提出，其系統近似原始方程的型式。以往，靜力平衡

的模式（大尺度）在垂直上都會使用壓力座標（坅坬坩坡坳坳坥坮圱圹圴圹）或是坳坩坧坭坡座標

（坐坨坩坬坬坩坰圱圹圵圷），主要的原因是在使用高度座標時，在垂直動量方程的表示上

會變得相當複雜（坒坩坣坨坡坲坤坳坯坮圱圹圲圲），而壓力座標雖能夠表現的較為簡化，不

過在座標轉換從高度到壓力時，有一些理想化的假設會造成誤差。至於非靜力平

衡模式（對流尺度）的部份，垂直上則是高度座標的型式。

2時間分離法利用的原理是把系統中須要較短時步以求穩定的計算與可用較長時步計算的項分

開，並各別利用較短與較長時步做積分，這樣在原本統一時步時，因較短時步而受限制的項就可

以在積分上較有效率。

3半隱法是利用數值方法在隱式法（implicit method）上具有絕對穩定的性質，來對系統中需

要較小時步的項做運算，利用其絕對穩定性質增加原本因為穩定性而被限制的時步大小，進而增

加積分效率，但因為在其餘的部份仍然使用顯式法（explicit method），因而稱為半隱法。

圳圵

坏坯坹坡坭坡所提出的方法就是將大尺度及對流尺度的垂直座標做整合，因為這樣

大尺度現象與小尺度現象之間就不需要進一步的座標轉換才能討論交互作用的情

形，只需用一個模式以高度座標表示就可以模擬所有尺度的現象。

更進一步，對於溼大氣的模擬，不同於以往的，在預報方程部份，是對於動

量密度通量、水密度通量（其中包括了水蒸氣以及凝結出的水滴密度）、乾空

氣密度通量以及亂度（坥坮坴坲坯坰坹）密度通量做預報，值得注意的是在於亂度密度通

量預報。以往在熱力預報方程上，大都使用位溫，或是在溼大氣的情況用溼位溫

來作熱力參數上的預報，不過在此模式中是採用最原始的熱力參數來做預報，因

此在這樣的架構下，因熱力參數變換的假設所造成的誤差也可以被排除，而呈現

更原始的能量變化型式。

不過，此系統最大的問題在於聲波並未消除，所以在積分上比較沒有效率，

所以只能利用如前面所提到數值上的方法來解決數值積分的效率性。

2.4.2 非非非彈彈彈性性性準準準靜靜靜力力力整整整合合合模模模式式式

由坁坲坡坫坡坷坡坡坮坤坋坯坮坯坲（圲地地圸）提出，所強調的觀點在於，既然聲波不是在大氣

研究中所關心的現象，就不應該把積分的時間浪費在聲波積分上，因此利用大尺

度以及對流尺度兩個運用頻繁的濾除聲波的模式，來架構一個可包含所有尺度的

新系統。

所利用的觀念是∂ρqs∂t

圫∇在ρqs~V 圩圽地在圲圮圳圸圩

ρqs代表準靜力平衡的密度場，也就是把原本的連續方程表示成在準靜力平衡的部

份呈現連續的情形，與以往利用每層高度平均場呈現連續的情形

∂圖ρ

∂t圫∇在圖ρ~V 圩圽地在圲圮圳圹圩

所代表的意義是完全不同的。利用（圲圮圳圸）式這樣的關係，代表場量可以分成

A 圽 Aqs 圫 δA

圳圶

兩個部分，分別為準靜力平衡部份Aqs和非靜力平衡部份δA，再個別做預報，在

這個系統中，解非靜力平衡的部份時，就像非彈性近似的系統，都必須解一個橢

圓方程，因此就如前面非彈性近似的介紹，在邊界條件上必須非常小心，以免有

無解的情形發生。

對於這樣的系統他們也進一步做了各個系統，在坦平面的正模在坆坩坧圮圲圩以及 β

平面的正模在坆坩坧圮圳圩的分析，利用比較所提出的整合系統在不同波長和頻率上的

表現是否與原始方程一致，由這樣的正模分析可發現整合系統除了水平的聲波

（坌坡坭坢坷坡坶坥）部份外，聲波部份都可以被完全的濾除，而除聲波外的波動在波

長和頻率上的表現，與利用原始方程所表現出波的形態相似，代表此整合系統中

所作假設並不會影響到波的表現形態，相較於只使用準靜力平衡系統或是只使用

非彈性系統的分析也更趨近於原始方程的結果。另外在進行背景場有地轉渦度梯

度的測試上，依推測因為系統中保留可壓縮性，使不會有之前在非彈性近似中提

到長波快速向西移動的問題，因此根據這些測試的結果，此系統除了大小尺度的

系統整合，沒有濾除聲波是其在計算上一個很大的優點。

圳圷

Chapter 3

模模模式式式介介介紹紹紹

3.1 最最最少少少假假假設設設之之之濕濕濕大大大氣氣氣模模模式式式

在此研究中所使用的模式，是由坏坯坹坡坭坡（圱圹圹地圬圲地地圱）提出的溼大氣模式，首先

就這個模式做介紹，本實驗使用二維（坸圭坺）平面討論模擬的情形在控制方程部

份，預報方程

∂U

∂t圫∂Uu

∂x圫∂Uw

∂z圫∂p

∂x圽地在圳圮圱坡圩

∂W

∂t圫∂Wu

∂x圫∂Ww

∂z圫 gρ圫

∂p

∂z圽地在圳圮圱坢圩

∂σ

∂t圫∂σu

∂x圫∂σw

∂z圽 Qσ 在圳圮圱坣圩

∂ξ

∂t圫∂ξu

∂x圫∂ξw

∂z圽地在圳圮圱坤圩

∂η

∂t圫∂ηu

∂x圫∂ηw

∂z圽 Qξ 在圳圮圱坥圩

其中

ρ 圽 ξ 圫 η, u 圽U

ρ, w 圽

W

ρ

其中Ｕ、Ｗ為水平及垂直的動量通量， σ、ξ、η 則分別為亂度通量、乾空氣密度

通量、以及水加水蒸氣的密度通量，Qσ，Qξ代表非絕熱作用及造成亂度的外力

圳圸

作用以及降雨可能造成的水密度損失。由控制方程可以發現，此系統在熱力參數

預報上，是直接對亂度做預報，而不如以往的對位溫或是相當位溫做預報，因此

減少了在變數轉換上可能造成預報過程中產生的誤差。在此系統之中有八個方程

式，包括五個預報參數（ξ, η, σ, U, W），四個診斷參數（ρ, u, w, p），在輸

入部份，初始場給與ξ, η, σ, U, W，接著每一個時步所算出的預報值，可診斷

每個時間的診斷參數（ T, p, ηv, ηc ）。在熱力診斷部份，加入熱力診斷方程使

得整個系統在熱力診斷上呈現閉合系統，主要作用為辨別在η的部份，水氣密度

（ηv）和凝結出的水密度（ηc）各佔的密度為何。用亂度與溫度及密度之間的關

係式 σ在ξ, η, T 圩加上疊代法，可推得兩種溫度T1 > T2 在坩坦坵坮坳坡坴坵坲坡坴坥坤圩坴坨坥坮, ηv 圽 η, ηc 圽地

T1 < T2 在坩坦坳坡坴坵坲坡坴坥坤圩坴坨坥坮, ηv 圽 η∗在T 圩, ηc 圽 η − ηv

在圳圮圲圩

T 圽 max在T1, T2圩

分別為假設為未飽和狀態時的溫度 T1 及假設為飽和狀態的溫度 T2，判斷何狀

況為真，由下面分析可知，當真實情況未飽和時，假設為未飽和狀況下算出

的T1是正確的，而這時假設為飽和所求出之溫度T2在物理上的意義則為溼球溫

度，因為真實情況並未飽和，但是假設為飽和狀態的結果，就如同供給水直至

飽和，這時的溫度，其實與溼球溫度的意義相同，同樣是為了使其飽和，不斷

蒸發吸收原本應有的熱能，也就強迫原本應有的溫度T1下降，所以真實情形為

未飽和時 T1 > T2。另一個狀況則為真實情況為飽和時，在假設飽和狀態下算

出的T2是正確的，但假設未飽和狀態所求出的溫度T1在物理上的意義為過飽和

（坳坵坰坥坲坳坡坴坵坲坡坴坥坤）也就是超過飽和溫度但是未有水汽凝結的溫度，而因真實為

飽和狀態，卻需呈現未飽和的情形，使原本應該凝結而釋放能量的水需維持水汽

的狀態，所以真實情形為未飽和狀態時 T2 > T1。由上面分析可發現，溫度較大

值即為真實溫度，同時透過這樣的診斷，可以瞭解當時情況為飽和或未飽和，進

一步求得密度及壓力。

在水氣凝結的部份，模式中並未加入降雨的部分，而且是一個暖雲過程，也

就是沒有冰相的的存在，因此並不會有水氣凝結而導至的降雨現象或是冷雲過

圳圹

程，降雨的現象在坏坯坹坡坭坡（圲地地圱）中有討論到，由於在雲微物理的許多不可逆

過程如降雨，與在原本模式中討論的許多可逆過程具有同樣的重要性，不過由

於目前的許多不可逆過程，需要靠參數化或經驗方程（坥坭坰坩坲坩坣坡坬坦坯坲坭坵坬坡坴坩坯坮）來

作物理上的描述，因此在這裡不加入降雨過程只是對於不可逆過程的一種處理方

法，也是有其他對於降雨現象更詳細的討論，這個部分就需要靠更進一步的研究

來達成。

3.1.1 大大大小小小尺尺尺度度度結結結合合合

在這樣的系統之中，值得注意的是他在靜力平衡假設以及非靜力平衡上的結合，

也就是在這兩種不同的情況時，並不需要做座標轉換，而是將原本的坷預報方程

改成坷診斷方程即可。假如原本的垂直方向加速度項可寫成

ε ≡ ∂zp圫 gρ 在圳圮圳圩

也就是在靜力平衡的時候呈現

ε 圽地, 坩坮坳坰坡坣坥在圳圮圴圩

所以只要隨著時間積分，讓靜力平衡成為預報的其中一個條件，就可以保證這樣

的平衡可以不斷的被保持，也就是

∂tε 圽地在圳圮圵圩

因此在初始條件（圳圮圴）式的成立之下，將（圳圮圵）式取代（圳圮圱坢）式的垂直動量

預報方程，就可以使時間積分下加速度項平衡的關係不改變，靜力平衡因此

成立於此系統之中。不過坷預報方程被取代勢必要有另一方程式能決定垂直速

度，坒坩坣坨坡坲坤坳坯坮（圱圹圲圲）發現這樣的方程式可以由下面的（圳圮圶）式來表示

∂tε 圽 ∂z在∂tp圩圫 g∂t在ξ 圫 η圩圽地在圳圮圶圩

但是因為在坏坯坹坡坭坡所提出的系統之中，壓力可以由亂度、乾空氣密度和水密度

來診斷出，也就是壓力可以表示為 p 圽 P 在σ, ξ, η圩，因此在（圳圮圶）式中壓力隨著時

間的變化就可以表示成

∂tp 圽 Pξ∂tξ 圫 Pη∂tη 圫 Pσ∂tσ 在圳圮圷圩

圴地

其中

Pξ ≡(∂P

∂ξ

)η,σ

, Pη ≡(∂P

∂η

)ξ,σ

, Pσ ≡(∂P

∂σ

)η,ξ

.

因此可以發現在（圳圮圵）式中所有含有時間微分的項可以利用（圳圮圱）式和（圳圮圷）

式來代入，得到下面的診斷方程

∂

∂z在ρC2∂w

∂z圩圽 − ∂

∂z在vi

∂p

∂xi圫ρC2 ∂vi

∂xi圩− ∂ρvi

∂xig圫

∂

∂z在∂p

∂σQσ圫

∂p

∂ρQη圩圫gQη, i 圽圱, 圲

在圳圮圸圩

其中

C2 圽∂p

∂ρ圫σ

ρ

∂p

∂σ

代表絕熱條件下的聲速。這樣的二次微分方程與坒坩坣坨坡坲坤坳坯坮（圱圹圲圲）所提出較精

簡的坷診斷方程式相同的，不過在當時其系統因為在積分時無法決定常數而必須

捨棄這樣較精簡的形式，當時的解決方法為直接對於方程式中的壓力趨勢項積

分，所以原本無法得知的常數部分可以被壓力在垂直上的一邊界所決定，不過這

樣的解決方法卻使原本精簡的形式被破壞，而形成一太過於複雜的方程式。而這

樣的一個問題由坅坬坩坡坳坳坥坮（圱圹圴圹）提出利用壓力作為垂直座標來將原方程改寫成

較為簡單的ω方程，雖然坐坨坩坬坬坩坰坳（圱圹圵圷）利用σ座標來表示，不過又再度使簡化

形式變複雜。

因此由上面的分析可以發現，坒坩坣坨坡坲坤坳坯坮的坷診斷方程會複雜難解並不是因為

使用高度作為垂直座標，而是因為利用靜力平衡方程式做垂直積分來決定壓力，

來將原本的預報方程改成一個診斷方程。會使用這樣的作法是因為在坒坩坣坨坡坲坤坳坯坮

的系統之中壓力是一個預報的參數，因此相對的在坏坯坹坡坭坡的系統之中因為壓力

變成一利用熱力條件診斷的參數，因此可以保留坷診斷方程較精簡的形式，而且

優於利用壓力作為垂直座標的簡單形式，是不需任何對於濕熱力上的簡化或是假

設來做座標轉換。

3.1.2 雲雲雲邊邊邊界界界之之之壓壓壓力力力梯梯梯度度度不不不連連連續續續

在此系統之中，因為壓力是一診斷參數，因此利用理想氣體方程，就可以由已知

的溫度以及密度來求出，而在雲邊界可能產生密度以及溫度一階微分不連續的地

圴圱

方也同樣會造成壓力的一階微分不連續，所以不連續的情形就會發生在壓力梯

度上，為了避免因此而產生均坩坢坢圧坳坰坨坥坮坯坭坥坮坡，坏坯坹坡坭坡利用漸近飽和（坧坲坡坤坵坡坬

坳坡坴坵坲坡坴坩坯坮）的方式來解決此問題的產生。如前面所提到的，因為壓力可以為亂

度、乾空氣密度和水密度的函數，因此壓力梯度力可以表示成

∇p 圽 Pξ∇ξ 圫 Pη∇η 圫 Pσ∇σ 在圳圮圹圩

而在雲邊界處有壓力梯度不連續的情形則是對於三個壓力係數（Pξ, Pη, Pσ）取飽

和以及未飽和狀況的權重平均，由於在每一網格點都可以求出一飽和狀態及未飽

和狀態的溫度值，而真實溫度值則是取較大值決定，不過利用在雲邊界處，飽和

及未飽和狀態求出之兩溫度差值並不大，因此依照這樣的特性求兩溫度下的各別

的壓力係數 P(1)ξ 和 P

(2)ξ 並利用如下的函數

圊1 圽圱

圲

[圱圫坴坡坮坨

(T1 − T2

圁T12

)], 在圳圮圱地坡圩

圊2 圽圱− 圊1. 在圳圮圱地坢圩

其中，圁T12表示可調整之尺度常數，權重函數變化則會隨著圁T12 以及 T1, T2 的

不同做調整，而對於兩個壓力係數做權重平均

Pξ 圽圊1P(1)ξ 圫圊2P

(2)ξ 在圳圮圱圱坡圩

Pη 圽圊1P(1)η 圫圊2P

(2)η 在圳圮圱圱坢圩

Pσ 圽圊1P(1)σ 圫圊2P

(2)σ 在圳圮圱圱坣圩

以上壓力係數的推導皆可以由坏坯坹坡坭坡（圱圹圹地）中得知。

3.2 波波波譜譜譜方方方法法法

坋坵坯坡坮坤坃坨坥坮坧（圱圹圹圹）利用坏坯坹坡坭坡（圱圹圹地）所提出的濕大氣模式建立了一個使

用波譜方法做運算的二維（坸圭坺平面）模式，在模式中水平方向範圍地 ≤ x ≤ L，

垂直方向範圍則是地 ≤ z ≤ H，在水平方向使用坆坯坵坲坩坥坲離散法，因此週期

邊界條件的性質就存在於坆坯坵坲坩坥坲展開的各個基底之中，至於垂直方向則使

圴圲

用坃坨坥坢坹坳坨坥坶離散法，由於在坳坴坵坲坭圭坌坩坯坵坶坩坬坬坥的問題之中，坃坨坥坢坹坳坨坥坶屬於多項

式基底符合奇異（坳坩坮坧坵坬坡坲）的坳坴坵坲坭圭坌坩坯坵坶坩坬坬坥問題，因此可以為任意的邊界條

件，而不會影響在誤差上隨著解析度增加的指數收斂性質在坆坩坧圮圴圩，詳細的證明

在坆坵坬坴坯坮坡坮坤坓坣坨坵坢坥坲坴（圱圹圸圷）和坋坵坯坡坮坤坓坣坨坵坢坥坲坴（圱圹圸圸）有對於坃坨坥坢坹坳坨坥坶性

質的介紹，至於在坋坵坯坡坮坤坃坨坥坮坧（圱圹圹圹）模式中則是設定上下邊界的垂直速度

為零。

本研究進一步提出利用坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶來做濕大氣模擬，主要原因是

由於前面所提到的任意邊界條件不會影響精確度的收斂性質，由坋坵坯坡坮坤

坃坨坡坮坧（圲地地圹）所提出，可以將模式進行在空間上的切割（坄坯坭坡坩坮坤坥坣坯坭坰坯坳坩圭

坴坩坯坮），來進一步做平行化的計算，以增加模式在積分運算上的速率，因此在實

驗上將會對於兩種不同的波譜模式結果進行比較。以下將會針對兩種波譜法做介

紹。

以坋坵坯坡坮坤坃坨坥坮坧（圱圹圹圹）所建立的波譜模式為基礎，原本在模式中使用

坌坡坮坣坺坯坳圌坬坴坥坲來替代物理空間中的摩擦項，不過在本研究中，利用加入一渦流摩

擦項來更精確描述物理空間的能量耗散情形，而在加入摩擦項的過程中，為了

不使摩擦項導致時步被限制，因此使用隱式法（坩坭坰坬坩坣坩坴坭坥坴坨坯坤）來解決模式積

分穩定度的問題，而除了摩擦項以外的加速項則是用顯式法（坥坸坰坬坩坣坩坴坭坥坴坨坯坤）

進行模擬，因此可以推得一坈坥坬坭坨坯坬坴坺方程，在接下來的幾個小節將詳細介紹推

導，以及模式的積分方法。

3.2.1 Fourier-Chebyshev

首先針對波譜物理空間之轉換做介紹，假如先針對某系統中變數 ξ（乾空氣密

度）來說，將其展開成用坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶的波譜係數來表示函數變化

ξ在x, z, t圩圽M∑

m=−M

N∑n=0

坞ξmn在t圩Tn在z′圩e(2πimx/L) 在圳圮圱圲圩

其中Tn在z′圩是坃坨坥坢坹坳坨坥坶多項式基底，定義範圍在−圱 ≤ z′ ≤ 圱，形式為

Tn在z′圩圽坣坯坳在nφ圩, z′ 圽圲z/H − 圱圽坣坯坳φ

圴圳

並定義坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶內積形式

< f, g >圽圱

L

∫ 1

−1

∫ L

0

f在x, z′圩g∗在x, z′圩

在圱− z′2圩1/2dxdz′ 在圳圮圱圳圩

上式星號所代表的意思是取其共軛複數，因此透過上面對於內積的定義，可以知

道在波譜空間中，波譜係數可以表示為

坞ξmn在t圩圽圲

πcn

⟨ξ在x, z, t圩, Tn在z

′圩e(2πimx/L)

⟩在圳圮圱圴圩

其中

cn 圽

圲 n 圽地

圱 n > 地

因此由物理空間轉換至波譜空間的離散法是利用（圳圮圱圴）式，至於由波譜空間轉

換回物理空間則是利用（圳圮圱圲）式。至於在轉換過程之中，水平方向的坆坯坵坲坩坥坲轉

換可以利用傅立葉快速轉換來增加轉換的效率（由原本N2次轉換變成N 坬坯坧N次

轉換），至於垂直上使用的坃坨坥坢坹坳坨坥坶轉換，由於其基底性質可以透過將網格點

呈特定配置（坣坯坬坬坯坣坡坴坩坯坮坰坯坩坮坴）的形式，以達成與坆坯坵坲坩坥坲相同可以使用快速轉換

的性質，這樣就可以在兩個方向上都增加其波譜物理空間轉換的速度，至於垂直

上的網格點配置就會因此呈現如下的形式

Zj 圽

[坣坯坳

(jπ

Nz

)圫圱

], j 圽地, 圱, 圲, ...Nz 在圳圮圱圵圩

因此將（圳圮圱）式轉換到波譜空間

d 坞Umndt

圫坞A(1,0)mn 圫坞B(0,1)

mn 圫坞p(1,0)mn 圽地在圳圮圱圶坡圩

d 坞Wmn

dt圫坞C(1,0)

mn 圫坞D(0,1)mn 圫在坞ξmn 圫坞ηmn圩g 圫坞p(0,1)

mn 圽地在圳圮圱圶坢圩

d坞σmndt

圫坞E(1,0)mn 圫坞F (0,1)

mn 圽地在圳圮圱圶坣圩

d坞ξmndt

圫坞G(1,0)mn 圫坞H(0,1)

mn 圽地在圳圮圱圶坤圩

d坞ηmndt

圫坞I(1,0)mn 圫坞J (0,1)

mn 圽地在圳圮圱圶坥圩

圴圴

其中

A 圽 Uu圻 B 圽 Uw,

C 圽 Wu圻 D 圽 Ww,

E 圽 σu圻 F 圽 σw,

G 圽 ξu圻 H 圽 ξw,

I 圽 ηu圻 J 圽 ηw

上面坁圭坊所代表的意義為非線性項，因此為了除去非線性項在高波數部分會造成

把高於可解析波數部分的能量誤認為可解析較低波數的情形，使不正常能量散

佈在可解析尺度之中（坁坬坩坡坳坩坮坧坥坲坲坯坲），因此在計算時只取總波數從低波數算

起圲圯圳個波數來剃除此誤差，另外，非線性項波譜係數（坞Amn圭坞Jmn）並非直接兩個

變數波譜係數在波譜空間相乘，因此對於非線性項的處理必須先將相乘的兩項個

別轉換至物理空間後再相乘，之後再將相乘結果轉換回波譜空間，以得到非線性

項的的波譜係數。另外在水平及垂直方向的微分則分別由上標在圱圬地圩及在地圬圱圩來表

示，由於水平及垂直方向上使用不同的波譜法，因此在波譜空間中微分的方法也

有所差異，在水平方向上是坆坯坵坲坩坥坲展開

坞A(1,0)mn 圽 i

(圲πm

L

)坞Amn 在圳圮圱圷圩

微分項與波數呈一倍數關係，垂直方向則是坃坨坥坢坹坳坨坥坶展開，利用其在微分項具

有遞迴的關係式

cn−1坞B

(0,1)m,n−1 − 坞B

(0,1)m,n+1 圽

圴

Hn 坞Bm,n 在n 圽圱, 圲, ..., N − 圱圩在圳圮圱圸圩

只需初始設定坞B(0,1)m,N+1 圽坞B

(0,1)m,N 圽地其餘的為分向就可以靠（圳圮圱圸）式依序求得。

因此在垂直上的非線性項微分值在坎個垂直波數下只需要坎次的計算量即可求

得，另外利用上式也可以求得下面的關係式

坞B(0,1)mn 圽

圴

Hcn

N∑p=n+1p+n odd

p 坞Bmp 在圳圮圱圹圩

利用上面對於非線性項微分的處理加上波數的截斷，使用四階的坒坵坮坧坥圭坋坵坴坴坡對

於水平空間波數（−M ≤ m ≤ M）及垂直空間波數（地 ≤ n ≤ N）所組合成的波

譜空間做時間上的積分。

圴圵

至於邊界條件的部份如前面所提到的，水平方向上是週期性函數，垂直方向

則是指設計在模式的下邊界及上邊界處垂直速度為零，由於是在波譜空間中給予

邊界條件，因此利用坃坨坥坢坹坳坨坥坶基底在邊界上的特性，可由下面兩個關係式決定

垂直方向最後兩個波數坞Wm,N−1 和坞Wm,N使邊界條件成立

N∑n=0

在−圱圩n 坞Wmn 圽地在圳圮圲地圩

N∑n=0

坞Wmn 圽地在圳圮圲圱圩

3.2.2 Double Chebyshev

至於坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶也就是把原本水平的部份換成坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，根

據坆坵坬坴坯坮坡坮坤坓坣坨坵坢坥坲坴（圱圹圸圷）對於坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法使用在一有限空間模式

的討論有提到，可分成兩種方法，一種稱為坃坨坥坢坹坳坨坥坶－坴坡坵方法，另一種則稱

為坃坨坥坢坹坳坨坥坶圭坣坯坬坬坯坣坡坴坩坯坮方法。因此對於這兩種方法的模式建立與原本坆坯坵坲坩坥坲圭

坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜模式的差異將在下面做介紹。

a. Chebyshev－－－tau

坴坡坵方法的的運作大致上都跟上面的坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜模式相同，在展開形

式上，變成兩個方向的形式都是以坃坨坥坢坹坳坨坥坶多項式為基底展開

ξ在x, z, t圩圽M∑m=0

N∑n=0

坞ξmn在t圩Tm在x′圩Tn在z

′圩在圳圮圲圲圩

其中Tm在x′圩是坃坨坥坢坹坳坨坥坶多項式基底，定義範圍在−圱 ≤ x′ ≤ 圱，形式為

Tm在x′圩圽坣坯坳在mφ圩, x′ 圽圲x/H − 圱圽坣坯坳φ

z′ 則如同前面（圳圮圱圳）式所定義的一樣，並定義坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶內積形式

< f, g >圽

∫ 1

−1

∫ 1

−1

f在x′, z′圩g∗在x′, z′圩

在圱− x′2圩1/2在圱− z′2圩1/2dxdz′ 在圳圮圲圳圩

圴圶

透過上面對於內積的定義，可以知道在波譜空間中，波譜係數可以表示為

坞ξmn在t圩圽圲

πcm

圲

πcn

⟨ξ在x, z, t圩, Tm在x

′圩Tn在z′圩

⟩在圳圮圲圴圩

其中

ci 圽

圲 i 圽地

圱 i > 地

而坴坡坵方法的特性就在於其投影至多項式基底的殘餘項（rMN）如下所表示

rMN 圽 rhs− d坞ξMN

dt− 坞G

(1,0)MN − 坞H

(0,1)MN

圽 τ在t圩TM在x′圩TN在z′圩圫

∞∑m=M+1

∞∑n=N+1

坞rhsmnTm在x′圩Tn在z

′圩

在圳圮圲圵圩

其中

坞ξMN在x′, z′, t圩圽

M∑m=0

N∑n=0

坞ξmnTm在x′圩Tn在z

′圩

坞G(1,0)MN 在x′, z′, t圩圽

M∑m=0

N∑n=0

坞G(1,0)mn Tm在x

′圩Tn在z′圩

坞H(0,1)MN 在x′, z′, t圩圽

M∑m=0

N∑n=0

坞H(0,1)mn Tm在x

′圩Tn在z′圩

在圳圮圲圶圩

因此當右手邊外力項在N 圫圱之後的基底投影上佔的比例很小，也就是說利

用坎個波數已經足夠精確的表現外力項，則（rMN）會由邊界條件所主導，因

為在垂直上的邊界條件在坴坡坵方法之中由最後兩個最大波數基底的波譜係數所

決定。因此在坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶模式中使用坴坡坵的數值方法除了在水平上必須換

成坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法外，其餘的計算過程與坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶幾乎相同。

b. Chebyshev－－－collocation

與坴坡坵方法不同的地方在於整個時間積分的過程是位於物理空間做下一時步的預

報。其利用在特定點（坣坯坬坬坯坣坡坴坩坯坮坰坯坩坮坴坳）上的殘餘項等於零，來對每個點在物

理空間中的值做時間積分，在這裡所用的點與前面（圳圮圱圵）式為了使用快速轉換

的點是同樣的，因此在轉換上也可以節省許多時間。每個物理空間的點，則可以

圴圷

對應一變數值圖ξij 在i 圽地, 圱, ...,M 圻 j 圽地, 圱, ..., N圩，因此原本的（圳圮圱）式就可以表

示成

d 圖Umndt

圫圖A(1,0)mn 圫圖B(0,1)

mn 圫圖p(1,0)mn 圽地在圳圮圲圷坡圩

d 圖Wmn

dt圫圖C(1,0)

mn 圫圖D(0,1)mn 圫在圖ξmn 圫圖ηmn圩g 圫圖p(0,1)

mn 圽地在圳圮圲圷坢圩

d圖σmndt

圫圖E(1,0)mn 圫圖F (0,1)

mn 圽地在圳圮圲圷坣圩

d圖ξmndt

圫圖G(1,0)mn 圫圖H(0,1)

mn 圽地在圳圮圲圷坤圩

d圖ηmndt

圫圖I(1,0)mn 圫圖J (0,1)

mn 圽地在圳圮圲圷坥圩

至於邊界條件的部份由於是在物理空間，因此直接在邊界的點上給予邊界值

即可，相較於坴坡坵方法要直觀許多。需要特別注意的地方在於，與前面坴坡坵方法

和坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶方法不同的地方是在非線性項的處理，前面的方法因為是在

波譜空間做運算，因此無法直接兩個波譜係數相乘，但是在處理空間微分上卻非

常方便，而在使用坣坯坬坬坯坣坡坴坩坯坮方法時剛好與之相反，由於在物理空間，因此非線

性項的處理可以直接相乘，但是如果遇到空間上的微分，就必須先轉換至波譜空

間

坞ξmn 圽圲

M圖cm

圲

N圖cn

M∑i=0

N∑j=0

圱

圖ci圖cj圖ξijTm在圖xi圩Tn在圖xj圩在圳圮圲圸圩

其中

圖ci 圽

圲 i 圽地,M

圱坯坴坨坥坲坷坩坳坥圖cj 圽

圲 j 圽地, N

圱坯坴坨坥坲坷坩坳坥

然後利用遞迴關係（圳圮圱圸）式求得微分值坞ξ(1,0)mn 後

圖ξ(1,0)ij 圽

M∑m=0

N∑n=0

坞ξ(1,0)mn Tm在圖xi圩Tn在圖xj圩在圳圮圲圹圩

，再轉換回物理空間求得圖ξ(1,0)ij 。

3.2.3 渦渦渦流流流摩摩摩擦擦擦項項項

坋坵坯坡坮坤坃坨坥坮坧（圱圹圹圹）所建立的波譜模式為了增進時間積分上的效率，在次網

格的擴散效應由一濾波器在波譜空間中做濾除工作，以防止非現實的能量累積造

圴圸

成模式積分出現不正常預報。不過由於使用濾波器的作法屬於較為主觀的解決能

量累積現象，因此我們提出在系統中直接加入渦流摩擦項來解決能量的問題，而

不是使用濾波器的方法。渦流摩擦項設定為

friction 圽 ν∇2ξ 在圳圮圳地圩

正比於所關注物理變數的坌坡坰坬坡坣坥，因此在加入摩擦項後的系統，為了不使積

分時步受其限制，而使的積分效率降低，所以在摩擦項上使用隱式的時間積分

（坉坭坰坬坩坣坩坴坭坥坴坨坯坤坳）以保證其積分的穩定性，其餘的則使用顯式積分（坥坸坰坬坩坣坩坴

坭坥坴坨坯坤坳），分別挑選的方法在隱式部分使用坃坲坡坮坫圭坎坩坣坫坯坬坳坯坮而在顯示的部份則

使用三階坁坤坡坭坳圭坂坡坳坨坦坯坲坴坨的積分方式，以系統中一變數來表示，原式加入摩擦

項為∂ 坞ξmn∂t

圽坞fmn 圫 ν∇2坞ξmn 在圳圮圳圱圩

其中

坞fmn 圽 − 坞G(1,0)mn − 坞H(0,1)

mn

利用前面所提到的一顯式一隱式的離散法，可離散成下面形式

坞ξ(t+∆t)mn − 坞ξ

(t)mn

圁t圽 F 圫

ν

圲∇2在坞ξ(t+∆t)

mn 圫坞ξ(t)mn圩在圳圮圳圲圩

其中坆項為（圳圮圳圱）式中坦項用三階坁坤坡坭坳圭坂坡坳坨坦坯坲坴坨的離散化

F 圽圲圳

圱圲坞f (t)mn −

圱圶

圱圲坞f (t−∆t)mn 圫

圵

圱圲坞f (t−2∆t)mn

因此將（圳圮圳圲）式左右移項後可以得到

在∇2 − α圩坞ξ(t+∆t)mn 圽 −在∇2 圫 α圩坞ξ(t)

mn − α圁tF 在圳圮圳圳圩

也就是坈坥坬坭坨坯坬坴坺方程，其中 α 圽圲/在ν圁t圩，因此在時間積分上為了要解下一個時

間的坞ξ(t+∆t)mn ，利用（圳圮圳圳）式中已知右手邊所有項，來解一坈坥坬坭坨坯坬坴坺方程，以得

到下個時間的波譜係數。

圴圹

Chapter 4

實實實驗驗驗設設設計計計及及及討討討論論論

4.1 Fourier-Chebyshev 與與與 Double Chebyshev

實驗中利用兩種波譜方法進行模擬比較，一種是坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶（水平

利用坆坯坵坲坩坥坲級數展開、垂直利用坃坨坥坢坹坳坨坥坶多項式展開）波譜法，由坋坵坯坡坮坤

坃坨坥坮坧（圱圹圹圹）所使用。另一種則是使用坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶（水平與垂直皆使

用坃坨坥坢坹坳坨坥坶多項式進行展開）波譜法，是由坋坵坯坡坮坤坃坨坡坮坧（圲地地圹）提出，利

用其具有在邊界不需要如坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，在坆坯坵坲坩坥坲解析的方向必須

為週期性的邊界條件，因此，可以用區域切割（坤坯坭坡坩坮坤坥坣坯坭坰坯坳坥）的概念，

將需計算的區域平均分割給不同的處理器進行運算，也就是現在所熟知的平行

化概念，坆坩坧圮圵即為利用區域切割的概念，利用淺水模式，做區域不切割、中

間對切以及水平垂直方各分兩塊區域的四塊均分形式的模擬比較，進行圱圴圴小時

的模擬，可以發現結果幾乎完全相似。以往平行化的方法中大都以有限差分法

（圌坮坩坴坥坤坩國坥坲坥坮坣坥）為主，在每個時步積分結束後，需在邊界的地方進行資訊的

交換，以達到切割邊界連續的重要條件，所以當把有限差分法換成波譜法時，利

用坃坨坥坢坹坳坨坥坶不需要邊界呈週期的性質，配合坃坨坥坢坹坳坨坥坶坃坯坬坬坯坣坡坴坩坯坮在物理空

間進行運算的性質，即可將網格點在邊界重疊一個網格寬度，如坆坩坧圮圶所示，坆坩坧圮圶

為一維的區域切割形式，坆坩坧圮圷則為二維，並將積分區域切割成四塊的形式，以進

圵地

行資料交換，其優勢在於波譜法的指數收斂性，也就是隨著解析度增加，精確度

上可以呈現指數性的增加。所以本實驗將原本坋坵坯坡坮坤坃坨坥坮坧（圱圹圹圹）的區域對

流波譜模式轉換成使用坄坯坵坢坬坥圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶的方法進行測試。

4.1.1 Fourier-Chebyshev

首先，第一個實際例子的模擬，利用坏坯坹坡坭坡提出的模式在坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波

譜法進行乾的熱氣包上升模擬。在實驗設計上，平均場部份

圖T 在z圩圽圲圹圳.圱圵− g

Cpdz 在k圩

圖ξ在z圩圽圱.圲圷圵

( 圖T 在z圩

圲圹圳.圱圵

)CvdRd

圖η在z圩圽地在kgm−3圩

在圴圮圱圩

其中，圖T 在z圩、圖ξ在z圩、圖η在z圩分別代表平均場的溫度、乾空氣密度以及整體水密度

（包括水蒸氣及水滴）， Cpd、Cvd 為乾空氣定壓及定容下的熱容量，Rd、Rv則

為乾空氣及水蒸氣的理想氣體常數，單位為在JK−1kg−1圩。平均溫度場隨著高度

呈乾絕熱降溫，平均乾密度場則是利用理想氣體方程求出，至於整體水密度場因

為是進行乾的氣胞模擬，所以設為零。在擾動場部份

T ′在x, z圩圽圁T 坥坸坰

[−(x− 圱圲圵地

圲地地

)2]× 坥坸坰

[−(z − 圶圲圵

圲地地

)2]在k圩

ξ′在x, z圩圽圖ξ在z圩

( 圖T 在z圩

T 在x, z圩− 圱

)在kgm−3圩

在圴圮圲圩

其中，T ′在x, z圩、ξ′在x, z圩依序為溫度擾動場以及乾空氣密度擾動場，圁T 則是溫

度擾動呈現高斯函數（均坡坵坳坳坦坵坮坣坴坩坯坮）分布中的溫度最大擾動值。此實驗是測

試乾熱氣胞在大氣中上升的情形，在一開始假設其已經達成聲波上的平衡，反應

在初始擾動場的假設就是溫度改變反應在密度上，而不是在壓力上，因此並不會

因為有壓力擾動而產生聲波調節的現象，造成必須等聲波平衡才能看到氣塊上

升的情形。解析度為圳圲 × 圳圲個波，時步為地圮地圷圵秒，積分計算區域垂直及水平各

為圲圵地地公尺。

圵圱

由坆坩坧圮圸可以觀察，模擬過程中乾氣胞上升的情形，壓力場部分則因為一開始

設定為無擾動，因此初始場並沒有擾動值，而是在垂直上呈現靜力平衡的分層結

構。隨著時間積分由坆坩坧圮圹則可以看到在氣胞上升過程中，壓力擾動場有氣胞上方

出現擾動高壓，下方出現擾動低壓的情形，主要是由於隨著熱氣胞上升，在氣胞

的正中央為上升速度最大值，氣胞上方上升速度較慢導致輻合風場結構，進而造

成高壓，下方則是由較小的上升速度逐漸增加到氣胞中央的最大速度值，因此有

輻散的風場，進而造成低壓。這樣的熱氣胞上升過程，相較於聲波的時間尺度要

大許多，不過在壓力擾動場部分也是可以看到隨著氣胞上升，因為壓力擾動的產

生，同時會有較小時間尺度的聲波不斷向外傳遞的現象，這也就是這個模式所具

有的問題，雖然在計算上比其他模式在熱力上精確許多，不過卻因聲波而需要減

小時步以保持模式在積分上的穩定性。

至於坆坩坧圮圸的亂度場上，因為沒有非絕熱的作用在此模擬之中，因此整體的亂

度量值應呈現保守，不過因為在模式中，為了積分穩定度而加入的濾波器作用，

因此會有能量被慢慢削弱的情形發生，另一方面，可以看到氣胞上升時，亂度因

為氣流造成的平流效應而重新分布的現象，至於在坆坩坧圮圱地中，乾空氣密度的表現

上，由於一開始氣胞具有較高的溫度擾動場，造成氣胞去有比周圍環境小的密度

擾動場，因此氣胞受浮力作用而上升，在上升的過程，周圍環境呈乾絕熱遞減，

而氣胞在達露點溫度之前，溫度也呈乾絕熱遞減，不過由於開始時空氣所具有的

亂度擾動（或位溫）比環境高，因此在絕熱上升以及能量未喪失的前提下使的得

氣胞維持比周圍空氣還熱，從坆坩坧圮圱圱的溫度場中就可以清楚觀察到此現象，因此

可以持續上升運動。

第二個實驗則是濕氣胞上升的模擬，在實驗設計上，平均場部份


Cpdz 在k圩

圖rt在z圩圽地.地圱圳圵坥坸坰

(− z

圱圵地地

)圖ξ在z圩圽圱.圲圷圵

( 圖T 在z圩

圲圹圳.圱圵

)CvdRd

坥坸坰

[Rv

Rd

在地.地圱圳圵− 圖rt在z圩圩

]在kgm−3圩

圖η在z圩圽圖rt在z圩圖ξ在z圩在kgm−3圩

在圴圮圳圩

圵圲

其中，圖T 在z圩、圖rt在z圩、圖ξ在z圩、圖η在z圩分別代表平均場的溫度、混和比、乾空氣密度以

及整體水密度（包括水蒸氣及水滴）， Cpd、Cvd 為乾空氣定壓及定容下的熱容

量，Rd、Rv則為乾空氣及水蒸氣的理想氣體常數，單位為在JK−1kg−1圩。平均溫

度場隨著高度呈乾絕熱降溫，平均混和比是整體水密度以及乾空氣密度的比值，

隨著高度呈指數遞減，平均密度場則是利用理想氣體方程求出，至於整體水的密

度場就是利用混和比及乾空氣密度就可以求得。在擾動場部份

T ′在x, z圩圽圁T 坥坸坰


圲地地

)2]× 坥坸坰

[−(z − 圶圲圵

圲地地

)2]在k圩

ξ′在x, z圩圽圖ξ在z圩

( 圖T 在z圩

T 在x, z圩− 圱

)在kgm−3圩

η′在x, z圩圽在圖ξ在z圩圫 ξ′在x, z圩圩圖rt在z圩− 圖ξ在z圩在kgm−3圩

在圴圮圴圩

其中，T ′在x, z圩、ξ′在x, z圩、η′在x, z圩依序為溫度擾動場、乾空氣密度擾動場以及整

體水密度擾動場，圁T 則是溫度擾動呈現高斯函數（均坡坵坳坳坦坵坮坣坴坩坯坮）分布的氣

胞溫度最大擾動值。解析度為圳圲× 圳圲個波，時步為地圮地圷圵秒，積分計算區域垂直及

水平各為圲圵地地公尺。

此實驗是測試熱氣胞在濕大氣中上升的情形，所以同樣的，在一開始假設其

已經達成聲波上的平衡，反應在初始擾動場的假設就是溫度改變反應在密度上，

而不是在壓力上，因此並不會因為有壓力擾動而產生聲波調節的現象，造成必須

等聲波平衡才能看到氣塊上升的情形。由坆坩坧圮圱圲圭圱圶可以觀察到濕熱氣塊上升各場

量的變化情形，值得注意的是坆坩坧圮圱圷在於凝結出液態水的模擬中，因為開始的氣

胞並未達露點溫度，因此隨著氣胞上升，一直要到高層，飽和蒸氣壓受到溫度不

斷降低而降低，才漸漸與蒸氣壓值重合，導致液態水的出現。

從上面兩個設計的實驗顯示，由坏坯坹坡坭坡所提出之濕大氣模式，在坆坯坵坲坩坥坲圭

坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜方法的使用之下，可以完整的呈現濕對流過程，因此將坄坯坵坢坬坥

坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法引入此濕大氣模式之中進一步進行比較。

4.1.2 Double Chebyshev

在坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法中，需先注意到兩個問題。

圵圳

第一點，在使用坃坨坥坢坹坳坨坥坶多項式展開變數時，由於必須進行波譜及物理空

間的轉換，因此利用將網格點配置變換成x 圽坣坯坳 θ的形式，就可以使許多關

於坆坯坵坲坩坥坲級數的理論結果與數學關係都能用在坃坨坥坢坹坳坨坥坶多項式之中，最重要的

就是傅立葉快速變換（坆坡坳坴坆坯坵坲坩坥坲坔坲坡坮坳坦坯坲坭）的性質，這可以使原本需要N2次

計算來作物理及波譜空間轉換，變成只需要N 坬坯坧N次的計算，這在波譜方法的

計算中相當重要，因為減短計算所需要的時間是在進行數值計算解決實際問題時

常被關注的問題之一。不過，也因為這樣的網格配置，使得在邊界地方的網格較

密集的分佈，而在包含聲波的模式之中，這是一個不小的問題，因為模式的穩定

性（坃坆坌坃坯坮坤坩坴坩坯坮）C圁t

圁x≤ 圱在圴圮圵圩

在使用坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶的方法時，圁x 會被最小的網格大小所控制，而在使

用坏坯坹坡坭坡的濕大氣模式之中， C 則會被系統中最快速的波速所控制，也就是聲

速，因此在這兩項效果的疊加下，為滿足積分上的穩定性，模式的時步就會被限

制的更小。

第二點，在使用坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法下，有兩種可以進行波譜模式建

構的方法，一種稱為坃坨坥坢坹坳坨坥坶坴坡坵坭坥坴坨坯坤另一個則稱為坃坨坥坢坹坳坨坥坶坣坯坬坬坯坣坡坴坩坯坮

坭坥坴坨坯坤，如前面模式介紹所提到的，兩種計算方法最大的不同在於，一個位於波

譜空間進行時間積分，一個則是位於物理空間做時間的積分。因此在接下來比較

的實驗之中，會有兩種方法的進一步討論。

在坡圩坃坨坥坢坹坳坨坥坶坣坯坬坬坯坣坡坴坩坯坮坭坥坴坨坯坤

坆坵坬坴坯坮坡坮坤坓坣坨坵坢坥坲坴（圱圹圸圷）提出利用坣坯坬坬坯坣坡坴坩坯坮方法來做波譜方法的運算，

可以有效的增快積分所需要的時間，主要原因在於非線性項的處理與坴坡坵方法不

同。在使用坣坯坬坬坯坣坡坴坩坯坮的方法之中，因為所有的計算是在物理空間進行，除了空

間中的微分項，需要從物理空間轉換至波譜空間

坞un 圽圲

πcn

⟨u, Tn

⟩在圴圮圶圩

在波譜空間求得微分值坞u(1)n 後再利用上式的逆轉換，轉換回物理空間，因此可以

發現這樣的轉換在二維問題之中，只需要做一維的轉換以進行微分。至於坴坡坵方

圵圴

法，由於位於波譜空間進行計算，因此在非線性項的處理比坣坯坬坬坯坣坡坴坩坯坮複雜，面

對非線性項（平流項）在波譜空間的係數，必須先看成兩項變數，

坞un 圽圲

πcn

⟨u, Tn

⟩在圴圮圷圩

坞u(1)n 圽

圲

πcn

⟨∂u

∂x, Tn

⟩在圴圮圸圩

一項為未微分項坞un另一個則為微分項坞u(1)n ，利用波譜轉換轉至物理空間分別得

到u及∂u/∂x，做相乘後再轉回波譜空間，在這個轉換過程中因為必須完整的轉換

至物理空間相乘，因此各項都必須做兩次二維的波譜空間轉換，在轉換次數上，

就比坣坯坬坬坯坣坡坴坩坯坮方法要多，這在積分效率上造成很大的不利。

另外也相當重要的差異在於波數截斷的問題，由於所關心的問題轉換至波譜

空間時無法利用無窮多個波數來展開，因此都需要決定一截斷的波數來做有限

級數的展開，這表示利用波譜法時，後面被截斷的大波數部分就是所謂的誤差。

不過在非線性項部分又需特別注意，由於非線性項需相乘，在相乘的過程中，原

本已經被截斷的高波數部分又會因為相乘而出現，在這樣的狀況下，如果使用

的方法為坃坨坥坢坹坳坨坥坶坴坡坵，在每次將非線性項從物理空間轉回波譜空間時，都可

以再次進行波數的截斷，因而高波數（大於截斷波數）部分的震盪就不會被較

低波數（小於截斷波數）的基底展開，造成錯誤的資訊（坡坬坩坡坳坩坮坧）。坃坨坥坢坹坳坨坥坶

坣坯坬坬坯坣坡坴坩坯坮的方法則是因為在物理空間計算，無法進行波數的截斷，所以在熱胞

上升的實驗時，就可以看到坡坬坩坡坳坩坮坧所造成的誤差。因此在模式中，將挑選沒

有坡坬坩坡坳坩坮坧的坃坨坥坢坹坳坨坥坶坴坡坵方法做進一步的模擬分析。

在坢圩濾波器比較

在使用坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法的模擬之中，由於考慮到能量往小尺度傳送

的現象，因此為了防止在次網格能量無法解析，造成模式不正常的能量累積，在

模式中使用坌坡坮坣坺坯坳濾波器來使模式中往小尺度傳送的能量透過濾波器濾除，以

增進模式在時間積分時的穩定性。因此當模式中使用坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法

時，也同樣需要考慮能量的濾除以保持模式穩定性。

圵圵

在之前坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶的實驗中以使用坌坡坮坣坺坯坳濾波器

f在k圩圽sin在 kπ

km圩

kπkm

在k 圽圱, 圲, ..., km圩在圴圮圹圩

進行濾除能量。但是由於在使用不同濾波器時具有不同的效果，且面對不同的

問題會需要不同的濾波器來解決能量累積的現象，因此在這個實驗中加入使

用坒坡坩坳坥坤坣坯坳坩坮坥濾波器

g在k圩圽圱

圲在圱圫坣坯坳在

kπ

km圩圩在圴圮圱地圩

以進行在坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶方法中不同濾波器的比較。濾波器的原理在於，將

從物理空間轉換至波譜空間所得到的波譜係數乘以一波數的函數，由坆坩坧圮圱圸可知

濾波器函數的值介於地與圱之間，在較大波數的部分越接近地，較小的波數則越接

近圱，因此在波譜空間中各個波數所對應的波譜係數乘上濾波器後，可以發現越

長波的波譜係數越不會受到改變，越短波的部份則是因為乘以接近地的數所以降

低非常多，這樣的作用就使得較長波的擾動可以被較完整的保留下來，至於較高

頻的擾動部分則是被移除，而達到保有所關注的現象，濾除小尺度擾動的效用。

因此隨著濾波器的不同，其函數值對應的波數也不相同，會有不同的濾除效果。

不同濾波器的測試實驗中，第一個模擬設定，在平均場部份


Rd

z 在k圩

圖ξ在z圩圽圱.圱圴圷圸在kgm−圳圩

圖η 圽地在kgm−圳圩

在圴圮圱圱圩

圖T 在z圩為背景的溫度平均場，圖ξ在z圩及圖η在z圩則分別為乾空氣密度和水氣加水密度的

背景平均場，由於是背景場，因此各變數的變化只跟高度有關，背景溫度部分隨

著高度成乾絕熱遞減，乾空氣密度呈常數，水氣加水密度（總水密度）的部份則

是等於零，利用已知溫度、總密度（乾空氣密度加總水密度），以及理想氣體方

程可以得知壓力隨高度的變化，另外利用σ在T, ξ, η圩的關係來求得初始亂度，在預

報變數的初始場部分就有了完整的設定。由於要有一明顯的聲波現象，因此初始

擾動場部分，只設定

T ′在x, z圩圽圁Texp


圲地地

)2]exp

[−(z − 圱圲圵地

圲地地

)2]在圴圮圱圲圩

圵圶

其中，溫度擾動場T ′在x, z圩為水平及垂直方向的函數，在空間中的變化是呈二維

的高斯函數分布，在模擬區域的正中央為最大值並向外遞減。由於在擾動場中只

設定溫度擾動，模式為了達到壓力密度及溫度上的平衡，在較小的時間尺度中，

溫度的擾動會馬上由壓力擾動場來進行調節，也就是聲波調節的現象。解析度部

分與之前的模擬相同，為圳圲× 圳圲個波，時步為地圮地地圲秒，主要受到坃坨坥坢坹坳坨坥坶在網

格點上的改變造成時步的縮小，積分區域垂直及水平各為圲圵地地公尺。

在坂坡坮坮坯坮在圱圹圹圵圩所提到的靜力平衡調節中有提到，設計這樣的聲波調節模

擬，最主要的原因在於觀察在密度、溫度以及壓力場，這三個場量在受到一熱源

加熱（實驗中設計成一溫度擾動發生）時，其相互之間的調節及變化。由於在大

尺度之下，三個場量調節至靜力平衡狀態的為大氣的一個基礎調節過程。而且在

對流系統之中又存在著強烈的非靜力平衡特徵，因此在調節上理解達到平衡或不

會達到平衡的機制，是非常重要的。

首先在坃坨坥坢坹坳坨坥坶坔坡坵的波譜方法中可以發現，都沒有濾波的狀況下，積分不

久後，馬上受到能量累積的影響而造成模式的不正常現象，因此確實在濾波器上

的使用是必要的，因此分別對於兩個不同的濾波器進行聲波調節的模擬。

由於不同濾波器對濾除能量的程度不同，因此在初始場溫度與壓力擾動場不

平衡的狀態之下，開始調節到達平衡前影響各場量型態也不完全相同，由兩濾波

器在壓力場調節的變化坆坩坧圮圱圹圭圲地，以及坆坩坧圮圲圱的時間序列描述中，就可以明顯的

觀察到兩濾波器在調節上的不同，在壓力場上的變異尤其明顯，但同樣都是為了

達到平衡的調節現象，而有聲波開始向外傳遞。雖然在場量變化上的不同，不過

可以發現加入這兩種不同的濾波器確實都解決了原本會有能量累積而不穩定的情

形，因此當我們所關注的現象時間尺度大於聲波的時間尺度的話，中間聲波的調

節過程對於所關心的問題就變得不重要，因此在聲波調節過程，不同濾波器造成

的不同變化形式也就不需要在意。

因此在接著的實驗中將焦點轉移到較大尺時間尺度的熱胞上升現象，在熱

胞上升的模擬中，平均場以及擾動場的設定都與前面坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶的乾氣

胞上升實驗設定相同。在坆坩坧圮圲圲圭圲圴中，使用坌坡坮坣坺坯坳濾波器的模擬結果，在熱胞

上升的模擬中，一開始不管在氣壓場、亂度場或是密度場的模擬都與坆坯坵坲坩坥坲圭

圵圷

坃坨坥坢坹坳坨坥坶的模擬相同，壓力場也可以看到熱胞上升，高壓低壓分布在熱胞上下

的典型型態，隨著時間由於聲波存在的影響，也可以發現高低壓有震盪的情形出

現，不過積分到約一百秒左右後，較小尺度的能量累積現象就開始嚴重的影響積

分結果，至於使用坒坡坩坳坥坤坃坯坳坩坮坥濾波則更快的發生這樣的現象，因此，在使用不

同的波譜方法後，由於同波數所對應的基底並不一定相同，因此在使用同樣濾波

器的情況下，之前可以有效濾除的現象，不一定可以用同樣的方法來進行移除，

因此能量累積的現象又再次的影響到模式積分結果。

由以上實驗可以了解到，考慮到模式中並無法模擬能量流向小尺度而被

摩擦消耗的現象，因此能量會在波譜空間的高波數部份產生累積，造成模擬

不正確，坆坵坬坴坯坮坡坮坤坓坣坨坵坢坥坲坴（圱圹圸圷）對於這樣的現象，提出為避免波譜能量

在坎坹坱坵坩坳坴波長（約圲圁x圬圁x為空間解析度）的累積現象，一方面也為了表現能量

傳遞到模式中不可解析尺度後，應該會被摩擦消耗的物理現象，有兩種方法可以

使用，（圱）加入一濾波器移除在高波數的能量累積現象，（圲）加入正比於物理

場量坌坡坰坬坡坣坩坡坮的渦流耗散項。在以上針對加入濾波器的測試中可以了解到，加

入的濾波器由於形式固定，因此在使用上往往會造成問題，因此在接下來的實驗

中，將會針對第二個方法，加入渦流摩擦項來處理能量累積的問題。

4.2 渦渦渦流流流摩摩摩擦擦擦項項項

在本實驗中，與坋坵坯坡坮坤坃坨坥坮坧（圱圹圹圹）所做的一系列實驗不同的地方在對於小

尺度耗散項的處理，在坋坵坯坡坮坤坃坨坥坮坧（圱圹圹圹）實驗中，他們利用加入一濾波器

濾除能量往小尺度（不可解析尺度）的現象，以避免模式在小尺度不正常能量累

積。本實驗則是改用渦流摩擦項來代替原本濾波器所佔有的角色，這樣的實驗方

法可以使能量耗散的描述更具有物理意義，而不是利用人工選定的濾波器來濾除

能量，因此本實驗將會對這兩者的不同做進一步的比較。

由於我們將進行一個新的方法測試，因此為了可以進行比較，我們將回到使

用坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法的模式之中，做加入渦流摩擦項的模擬。

圵圸

4.2.1 Helmholtz方方方程程程數數數值值值解解解法法法

在模式中加入摩擦項的方法在第三章的模式及方法介紹有提及，為了能模擬渦流

摩擦的現象，因此我們必須解坈坥坬坭坨坯坬坴坺方程

在∇2 − α圩φ 圽 f 在圴圮圱圳圩

來得到下一個時刻的變數值。在解坈坥坬坭坨坯坬坴坺方程的部份，可由坂坡坲坴坥坬坳坡坮坤

坓坴坥坷坡坲坴（圱圹圷地）提出的AX 圫 XB 圽 C矩陣系統求解（附錄坂），利用將坸圬坺方

向在波譜空間的二次微分算子合併在坈坥坬坭坨坯坬坴坺方程中的 α 項表示成坁（M ×

M），坂（N × N）矩陣（附錄坁），系統的右手邊已知項則寫成坃（M × N）

矩陣，就可以進行求解，不過觀察微分算子在坁，坂矩陣中的形式，可以發現矩

陣坁只在對角線有值，因此在欲求解的矩陣坘（M ×N）中，原本是M ×N個方

程式，解M × N個未知數的矩陣系統，可以做分解（坄坥坣坯坭坰坯坳坥），變成坎個方

程式解坎個未知數的形式，然後進行坍次求解，而每次的求解都是解坄坘圧圽坆形式

的矩陣方程，其中原矩陣坘為

X 圽

x11 x12 . . . x1N

x21 x22 . . . x2N

圮圮圮圮圮圮

圮圮圮

xM1 xM2 . . . xMN

在圴圮圱圴圩

矩陣坘圧則為N × 圱的矩陣

X ′ 圽

x11

x12

圮圮圮

x1N

在圴圮圱圵圩

因此只需對坄矩陣做高斯消去法求得反矩陣D−1，就可以求解矩陣坘圧。

在坡圩圮精確度測試

圵圹

首先對於解坈坥坬坭坨坯坬坴坺方程的方法進行初步的精確度測試，在坋坵坯坡坮坤

块坩坬坬坩坡坭坳（圱圹圹圷）中有對於使用坄坯坵坢坬坥坆坯坵坲坩坥坲波譜法解坐坯坩坳坳坯坮方程

∇2φ 圽 f 在圴圮圱圶圩

的精確度測試坆坩坧圮圲圵圭圲圶中，測試方法是利用一高斯函數為

u在x, y圩ana 圽坥坸坰

(− x2 圫 y2

L2

)−圱 ≤ x ≤ 圱 − 圱 ≤ y ≤ 圱

在圴圮圱圷圩

當做解析解，其中坌代表此高斯函數在坸圭坹平面上在多少距離中遞減至最大變化

值（也就是二維平面中心點的值）的e−1倍，也就是大約最大變化值的百分之七

十，這樣的距離稱之為坥圭坦坯坬坤坩坮坧坤坩坳坴坡坮坴。利用已知的解析解（圴圮圱圷）式計算求得

f 圽坥坸坰

[−(x

L

)2

−(y

L

)2]圴

L4在x2 圫 y2 − L2圩在圴圮圱圸圩

來當做欲求解之坐坯坩坳坳坯坮問題（圴圮圱圶）式的右手邊項 f，因此利用波譜離散法求得

f 項的波譜係數坞fmn 後，就可以利用在波譜空間中進行數值解的計算，所得到

的解再轉換回物理空間以跟原本的解析解進行比較，計算兩者之間的誤差值，來

觀察隨著空間解析度提高，在誤差值上的收斂情形，可以由坆坩坧圮圲圵看到波譜方法

的指數收斂性質。另外在坋坵坯坡坮坤块坩坬坬坩坡坭坳（圱圹圹圷）的研究中也有提到，由於使

用坄坯坵坢坬坥坆坯坵坲坩坥坲波譜方法的關係，在坥圭坦坯坬坤坩坮坧坤坩坳坴坡坮坴在坌圩增加的情況之下，由

於其隨著距離到邊界地區的遞減變慢，因此會造成在邊界地方有一次微分不連續

的情形，而在使用坄坯坵坢坬坥坆坯坵坲坩坥坲波譜方法時，邊界條件必須是週期函數變化，

所以一次微分不連續的函數性質會造成在邊界地方的誤差值增加，坆坩坧圮圲圶的測試

即為對於此現象完整的描述。

利用同樣的設定來測試，只是本模式的問題是求解坈坥坬坭坨坯坬坴坺方程

在∇2 − α圩φ 圽 g 在圴圮圱圹圩

，因此在解析解的設定不變

u在x, y圩ana 圽圲.圵坥坸坰

(− 在x− 圱圲圵地圩2 圫在y − 圱圲圵地圩2

L2

)地 ≤ x ≤圲圵地地地 ≤ y ≤ 圲圵地地

在圴圮圲地圩

圶地

除了將計算區域換成圲圵地地m × 圲圵地地m，因此高斯函數的中心座標也必須平移

至在圱圲圵地, 圱圲圵地圩，而高斯函數最大值部分則設為圲圮圵，而參考坋坵坯坡坮坤块坩坬坬坩坡坭坳

（圱圹圹圷）在坥圭坦坯坬坤坩坮坧坤坩坳坴坡坮坴在坌圩的改變測試上，截斷波數坎圽圳圲時，坥圭坦坯坬坤坩坮坧

坤坩坳坴坡坮坴在坌圩佔積分區域約地圮圱倍會有最大的精確度，因此在此精確度的測試上使

用坌圽圲圵地。不過因為方程式不同，利用計算求出的右手邊項 g 為

g 圽圲.圵坥坸坰


L

)2

−(y − 圱圲圵地

L

)2]圴

L4在在x−圱圲圵地圩2圫在y−圱圲圵地圩2−L2圩−αuana

在圴圮圲圱圩

至於邊界條件為（圴圮圲地）式在邊界的斜率，並在物理空間中給定邊界條件。

在坆坩坧圮圲圷的收斂速度上，隨著解析度的增加可以看到呈指數收斂的形式，即使在

將解移到靠近邊界的地方時，收斂速率也依然差不多，這是使用波譜方法一個典

型的特徵。至於實際解出的數值解形式由坆坩坧圮圲圸圭圲圹可以看到即使靠近邊界，與解

析解的形式也幾乎完全相同。

在坢圩圮隱式法對於渦流摩擦項之測試

在將解坈坥坬坭坨坯坬坴坺的方法套入濕對流模式運用之前，先對於一簡單的系統進行

測試，也就是在系統中只有摩擦項的系統

∂φ

∂t圽 ν∇2φ 在圴圮圲圲圩

在模式中加入渦流摩擦項後，會影響積分效率的因素有兩個，一個是摩擦項

的影響，一個則是聲波的存在造成時步被限制。聲波的問題本身存在於坏坯坹坡坭坡

所提出的架構之中，而在本研究中的一個重點是加入摩擦項，以模擬實際物理

空間的能量往小尺度傳遞現象，因此為了不被我們所加入的摩擦項所影響，導

致額外的限制條件，所以在摩擦項上使用隱式時間積分法（坃坲坡坮坫圭坎坩坣坨坯坬坳坯坮方

法），其離散形式為

φn+1 − φn

δt圽ν

圲∇2在φn+1 圫 φn圩

在∇2 − 圲

ν圁t圩φn+1 圽 −在圲

ν圁t圫∇2圩φ

在圴圮圲圳圩

而隱式時間積分法主要具有的重要性質是在於積分上的穩定性，因此不會因

為時步的增大導致模式的不穩定。首先在測試中，對於只有摩擦項作用的

圶圱

模式進行模擬，以比較在使用顯式積分法坒坵坮坧坥坋坵坴坴坡以及利用隱式積分法

坃坲坡坮坫圭坎坩坣坨坯坬坳坯坮中，隨著時步增加造成穩定度上的差異。實驗設計上，由於必

須比較誤差，因此先利用一高解析且夠小的時步進行穩定且精確的渦流摩擦效應

運算，時間積分法使用四階坒坵坮坧坥坋坵坴坴坡，以此結果視為一趨近於解析解的數值

解，並以此作為基準，進行誤差的比較。邊界條件為原解析解在邊界的斜率，並

在物理空間中給定邊界條件

在作為比較基準的近似解析解部份，用圹圶 × 圹圶的解析度進行模擬，時步

為地圮地圱秒，總共積分圶地秒，摩擦係數使用圱圵 m2/s，至於要進行比較的兩部份，

顯式積分法為四階的坒坵坮坧坥坋坵坴坴坡，隱式積分法為坃坲坡坮坫圭坎坩坣坨坯坬坳坯坮，解析度設

為圳圲× 圳圲，總共也是積分圶地秒，利用第圶地秒的解與圹圶× 圹圶的解析度進行比較，

並改變時步大小來觀察隨著時步的增加，誤差的改變情形。不過由於四階的

坒坵坮坧坥坋坵坴坴坡方法必須在每個時步經過四次的運算，因此考慮到實際運算效率

必須包括每個時步中預報的次數，標準化時步（坮坯坲坭坡坬坩坺坥坤坴坩坭坥坳坴坥坰）變數設為

坬坯坧2在圁t/N圩，坎為使用的時間積分法在每一個時步所必須做的計算次數，圁t 則為

時步大小

由坆坩坧圮圳地可以發現在解坈坥坬坭坨坯坬坴坺方程的標準化時步以及精確度上，使用隱式

積分法進行時間積分，比使用顯示積分的結果要好許多，而且即使時步繼續增加

也不會有模式不穩定的情形發生，而是相較於時步較小時，在解的形式上較為不

正確，至於使用顯示積分法就可以很清楚的發現當時步太大時，模式的不穩定性

會馬上顯現出來。而實際的純摩擦系統模擬情形如坆坩坧圮圳圱所示。

4.2.2 實實實際際際模模模式式式模模模擬擬擬

在實驗設計部分，可以分為幾項不同的模擬，以分別觀察在不同狀況下，加入渦

流摩擦項後的模擬情形。主要可以分為四種不同的狀況，分別為聲波調節，乾熱

胞上升，濕熱胞上升，逆溫層存在時的熱胞上升。模擬區域大小在水平及垂直上

各為圲圵地地公尺，解析度為圴圸個波數，不過在考慮到非線性項會造成坡坬坩坡坳坩坮坧的

錯誤資訊，因此在計算非線性項時，會在物理轉換至波譜空間後再進行截斷高波

數部分三分之一的波譜係數，因此最後波數會只剩圳圲個有用的波數，摩擦係數

圶圲

則是除了濕對流過程較大，使用圴圵m/s2外，其餘則是使用圱圵m/s2，在邊界條件

的部份，坺方向上設定為與初始場相同的梯度，除了在上升速度場中，上下邊界

皆設為零，而邊界條件則如同前面測試一般，在每次計算完後，由物理空間中給

定。

在摩擦項係數設定的部份，參考坋坵坯坡坮坤坓坣坨坵坢坥坲坴（圱圹圸圸）的渦流摩擦設定，

進行實驗，在實驗中，以每次改變圵m/s2來進行測試，並取其較接近坋坵坯坡坮坤

坃坨坥坮坧（圱圹圹圹）的結果來近一步進行比較。

首先第一個狀況為模擬聲波調節過程，在初始平均場設定上與（圴圮圱圱）式相

同，而擾動場設定則與（圴圮圱圲）式相同，由坆坩坧圮圳圲圭圳圴可以看使用渦流摩擦項在各

場量的模擬，在擾動壓力場變化部分，與使用濾波器最大不同的地方在於壓力場

的震盪形式，使用渦流摩擦項的模擬之中，震盪很快就結束，注意風場的地方還

可以發現中央熱氣胞已經出現上升的氣流，而不是如同使用濾波器一般，在風場

的部份還是呈現聲波震盪的形式，而較晚達到平衡。以積分區域中心點的場量值

做時間序列變化情形，在前圷圮圵秒中，不難看出在濾波器的使用有很強的震盪，

不過在接近六秒的過程中，振幅越來越小，最後幾乎達到一個平衡，至於在使用

渦流摩擦項的部份，同樣以中心點做時間序列來比較，坆坩坧圮圳圵中，震盪部分，非

常快的達到平衡，趨近的值也與使用濾波器的結果幾乎重合。

第二個實驗為乾熱胞上升的模擬，在初始平均場設定上與（圴圮圱）式相同，而

擾動場設定則與（圴圮圲）式相同，在乾熱胞上升的模擬中可由坆坩坧圮圳圶圭圳圸看使用渦流

摩擦項在各場量的模擬，可以看到隨著氣胞的上升，在亂度場中氣胞上方的梯度

不斷增加，也可以由此了解，濾波器或是渦流摩擦項的存在是必要的，因為梯度

不會無止盡的增長，在真實物理空間之中會有摩擦的作用，使能量不會無止盡的

累積，而摩擦項正是呈現了此物理過程，以真實的呈現氣胞上升的過程，至於在

壓力場部分也可以清楚看到之前描述過的氣胞上方高壓，下方低壓的情形，配合

著聲波不時向外傳遞。至於在氣胞初始上升的時間序列分析坆坩坧圮圳圹，以一開始氣

胞的出發點做開始積分圷圮圵秒的時間序列分析，可以看到使用濾波及摩擦項的變

化，都相當接近。

第三個實驗為濕氣胞上升模擬，在初始平均場設定上與（圴圮圳）式相同，而擾

圶圳

動場設定則與（圴圮圴）式相同，在坆坩坧圮圴地圭圴圴的各場量模擬中，可以看到空氣塊上升

的過程中，溫度原本是一直下降的，不過在有水氣凝結出來之後，溫度的遞減變

得趨緩，至於在上升氣胞的外側因為下沉運動，使得有較乾且熱的現象，這是受

到上方下沉的空氣較低層乾，以及下沉絕熱增溫的作用使溫度有些微上升的現

象。

第四個實驗則是有逆溫層的乾氣胞上升模擬，在初始設定上只有平均場部分

與實驗二的乾氣胞上升不同，平均場的設定為，利用給定位溫場

θ在z圩圽 θ0 圫圁θ在tanh在z − z0

H圩圩在圴圮圲圴圩

其中，θ0為逆溫層中心之位溫，Z0為逆溫層中心之高度，H決定了逆溫層的厚

度，圁θ則是決定了逆溫層的強度，然後配合著理想氣體方程、絕熱關係式以及

背景場的靜力平衡形式，就可以得到其他溫度、密度及壓力的形態，因此在同

樣的擾動場設定下，可以由坆坩坧圮圴圵圭圴圷觀察氣胞在遇到逆溫層時的反應。而實際值

設定上，逆溫層厚一百公尺，在逆溫層區上下溫差四度，而逆溫層的中心位置

在圱圵地地公尺的地方。隨著氣胞的上升，由於浮力造成的流場，使的在接近逆溫

層的地方也有外圍下沉中間上升的風場，使的中央有將下面較大密度的空氣往上

帶，旁邊較小密度的空氣往下帶的情形，隨著氣胞越來越接近，因為逆溫層的作

用，使的氣胞沒辦法繼續向上移動，因而在溫度場可以看到一波動由原本中間的

氣胞，變成往外傳遞的波動現象。

4.2.3 非非非輻輻輻散散散風風風場場場模模模擬擬擬

在坏坯坹坡坭坡所提出的濕大氣模式之中，因為有聲波的存在，因此在時間積分上，

時步被限制的非常小，所以在本實驗中，利用計算出風場中非輻散分量，並以此

風場來當做平流項的風場結構，進行時間的積分，一方面可以觀察非輻散分量造

成的氣胞上升形式，另一方面也可以利用非輻散風場，使得聲波可以濾除，以增

進在時間積分上的效率。

圶圴

由於風場可以透過定義渦度及輻散度

ζ 圽∂w

∂x− ∂u

∂z

D 圽∂u

∂x圫∂w

∂z

在圴圮圲圵圩

來分成兩個部分的風場，分別為非旋轉風場（ζ 圽地）

uχ 圽∂χ

∂x, wχ 圽

∂χ

∂z在圴圮圲圶圩

以及非輻散風場（坄圽地）

uψ 圽 −∂ψ∂z, wψ 圽

∂ψ

∂x在圴圮圲圷圩

而非輻散風場的計算如下，首先由預報所得到的風場求渦度值

ζ 圽∂w

∂x− ∂u

∂z在圴圮圲圸圩

並利用非輻散風場的定義，可以得到

∇2ψ 圽∂2ψ

∂x2圫∂2ψ

∂z2圽 ζ 在圴圮圲圹圩

因此在已知渦度場 ζ 的情況之下可以求解坐坯坩坳坳坯坮方程，邊界條件部分設為地，因

此在得知流函數值 ψ 後，就可以得到非輻散風場為

uψ 圽 −∂ψ∂z, wψ 圽

∂ψ

∂x在圴圮圳地圩

並在之後的時間積分中，將平流項風場換成非輻散風場，以非輻散的風場進行下

一個時間的預報，且在下個時間預報出風場後，重複同樣的步驟求得再下一個時

間的非輻散風，以持續保持非輻散的形式。

利用非輻散風場的方法，套入使用渦流項摩擦項的模擬之中，進行如同前

面實驗二的乾氣胞上升實驗，初始的平均場以及擾動場設定都完全如（圴圮圱）及

（圴圮圲）式一般。

在坆坩坧圮圴圸圭圴圹為非輻散風場與原始風場的比較，可以看到在非輻散的例子中，

熱胞上升的過程中壓力場有一明顯上高下低的情形，而且少了聲波向外傳遞的現

圶圵

象，可以發現不會如同之前有輻散風的模擬，壓力場不斷震盪的情形，在亂度場

的模擬也可以發現大致與原本有輻散的情形型態類似，不過在細節的部份就和原

本有輻散風場的模擬情形不同，但是犧牲了這些細節後，卻可以大大的增進在

時間積分上的效率。在實驗中也發現，使用非輻散風場時，由於沒有輻散的部

份，可能在部分區域有較多的累積現象，因此若要穩定的積分，渦流摩擦項的摩

擦係數需要增加，對於這樣的現象，進行一系列的實驗以進行統計，最後可以

由坆坩坧圮圵地的統計可看出，隨著時步要增加越多，進行同樣穩定的積分需要越大的

摩擦係數來維持平衡。

相對於块坒坆中所使用的坴坩坭坥坳坰坬坩坴坴坩坮坧方法來增進時間積分效率的方法，使用

物理上的觀念來增進積分效率要來的更為直觀，由於非幅散部分並不會造成聲波

傳遞，因此在將幅散部分去除後，我們所關心的部份就剩下旋轉的分量，利用

在旋轉分量下不會有聲波，而限制時間積分的有利條件，而不會如坴坩坭坥坳坰坬坩坴坴坩坮坧

必須將控制方程中的聲波項與非聲波項進行分離，做分別積分，而是直接在物理

現象上做分離的動作。不過就如實驗結果所提到，由於這樣的方法去除了幅散的

部份，而有一部份未被聲波所帶離，因此需由較大的摩擦來解決此一問題，這則

是這個方法仍須做進一步改進的部份。

圶圶

Chapter 5

結結結論論論與與與討討討論論論

由於近年模式不斷進步，能夠精確模擬的模式也越來越多，不過在這些精確的模

式中往往有我們所不需要關注的較小尺度現象圭聲波，限制了我們的積分效率，因

此一系列研究利用忽略，或是簡化模式中不需關注的聲波現象也被許多學者廣泛

的討論，面對這樣的問題在大尺度以及對流尺度有不同的近似法，不過由於近年

的許多研究發現多重尺度交互作用的現象非常重要，因此坏坯坹坡坭坡（圱圹圹地）所提

出可以同時模擬大小尺度的模式就相當重要，此外，精確的熱力預報，更是他的

優點之一，配合波譜法在誤差上呈指數收斂的特性，將可以進行一相當精確的模

擬。因此對於此模式，利用不同波譜法以及不同的數值方法探討物理空間摩擦的

問題，是本篇研究的重點。

由於坋坵坯坡坮坤坃坨坡坮坧（圲地地圹）所提出，利用坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶的波譜方法

時，因具有在邊界不需要如同坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶，在坆坯坵坲坩坥坲解析的方向必須為

週期性的邊界條件，故可以以區域切割（坤坯坭坡坩坮坤坥坣坯坭坰坯坳坥）的概念，將需計

算的區域平均分割給不同的處理器進行運算來增進計算速率，也就是現在所熟

知的平行化概念，因此在第一個測試部分，先由坋坵坯坡坮坤坃坨坥坮坧（圱圹圹圹）所建立

的波譜法對流模式，做乾熱氣塊及濕熱氣塊上升的模擬，其結果可以清楚的看

到許多對流中的細節，再更進一步將坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶的波譜方法套用到此對

流模式之中。坃坨坥坢坹坳坨坥坶多項式展開的方法有兩種，在本實驗的模擬之中，使

圶圷

用坣坯坬坬坯坣坡坴坩坯坮法會出現坡坬坩坡坳坩坮坧的現象，因此挑選使用坴坡坵方法。在第一個聲波測試

可以發現濾波器將能量累積現象去除的重要性，因此利用不同的濾波器進一步測

試，發現雖然在短時間的模擬可行，但如果做一氣胞上升的模擬實驗，就明顯的

看到同樣的濾波器無法完全的解決能量在邊界累積的問題，而且隨著濾波器的不

同，模式的穩定性也會受其影響。

因此，在接著的實驗中，利用另一種方法來解決能量累積的問題，由於使

用新的方法測試，為了可以進行比較，因此先回到在坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶的波譜

模式之中，做加入渦流摩擦項來解決能量累積的模擬，在本實驗中，摩擦項部

分使用隱式法（坃坲坡坮坫圭坎坩坣坨坯坬坳坯坮）其餘的部份則使用顯式法（坁坤坡坭坳圭坂坡坳坨坦坯坲坴坨

坴坨坩坲坤坯坲坤坥坲）來做時間上的積分，經整理後的結果可變成利用解坈坥坬坭坨坯坬坴坺方程的

形式，來進行下一個時間的預報，因此對於解坈坥坬坭坨坯坬坴坺方程，提出使用坁坘圽坂的

矩陣方程進行坈坥坬坭坨坯坬坴坺方程在波譜空間的求解，對於這個求解方法做了兩個測

試，一個是求解高斯函數的問題，並跟解析解進行比較，發現在誤差收斂性質上

呈指數收斂，因此更進一步的對於只有摩擦效應的問題進行測試，其中，摩擦項

使用隱式法，並跟使用顯示法（坒坵坮坧坥圭坋坵坴坴坡坦坯坵坲坴坨坯坲坤坥坲）的模擬進行比較，發

現在精確度以及標準化時步上都較好，最重要的一點在於使用隱式法的穩定性，

使我們在處理此濕大氣模式的問題時不需要考慮到摩擦項造成時步的限制。

因此將此求解法導入模式之中，做四個不同實驗的模擬。在使用濾波器的聲

波模擬中有很強的震盪，不過在接近六秒的過程中，振幅越來越小，最後幾乎

達到一個平衡，至於在使用渦流摩擦項的部份，則是在震盪部分非常快的達到平

衡，趨近的值也與使用濾波器的結果幾乎重合。乾熱氣塊以及濕熱氣塊的上升模

擬則都可以看到許多對流時會發生的物理現象，以一開始氣胞的出發點做開始積

分圷圮圵秒的時間序列分析，可以看到使用濾波及摩擦項的變化，都相當接近。至於

在最後一個加入逆溫層的實驗中，可以看到氣塊模擬隨時間碰到逆溫層後被阻擋

而無法上升，而形成波動往兩邊界傳遞的現象。

最後則是引入非輻散風場的概念，這使的在積分效率上增進許多，而氣胞上

升過程與未使用非輻散風做比較，可以發現使用非輻散風場做模擬，大致上也有

掌握到氣胞對流的型態，不過隨著時步的增加，在摩擦係數上也必須增加來做調

圶圸

整，可能因為在使用非輻散風場時，能量的累積較嚴重，因此為了模式的穩定

性，必須做相對的調整。

在摩擦項的加入實驗中可以發現摩擦項對於氣胞的影響較具物理上的意義，

由一固定形式的濾波器來解決在所有對流中能量累積的情形似乎較為主觀，因為

隨著濾波器的改變，其結果也會有很大的影響。而在非輻散風場的使用上，雖

然在細節上會喪失一點資訊，不過由於坏坯坹坡坭坡所提出的系統在熱力學上的精確

度，讓即使是這樣的模擬也保有不錯的熱力精確性，又能增近積分上的效率，對

於這樣的在效率及精確上的結合值得我們再做進一步的研究。

圶圹

BIBLIOGRAPHY

坁坲坡坫坡坷坡圬坁圮圬坡坮坤坃圮坓圮坋坯坮坯坲圬在圲地地圸圩场坕坮坩圌坣坡坴坩坯坮坯坦坴坨坥坡坮坥坬坡坳坴坩坣坡坮坤坱坵坡坳坩圭

坈坹坤坲坯坳坴坡坴坩坣坳坹坳坴坥坭坯坦坥坱坵坡坴坩坯坮坳圮 Mon. Wea. Rev., 137, 圷圱地坻圷圲圶圮

坂坡坮坮坯坮圬坐圮坒圮圬在圱圹圹圵圩场坨坹坤坲坯坳坴坡坴坩坣坡坤坪坵坳坴坭坥坮坴场坌坡坭坢圧坳坰坲坯坢坬坥坭圮 J. Atmos. Sci.,

52, 圱圷圴圳坻圱圷圵圲圮

坂坡坮坮坯坮圬坐圮坒圮圬在圱圹圹圵圩场坐坯坴坥坮坴坩坡坬坶坯坲坴坩坣坩坴坹圬坣坯坮坳坥坲坶坡坴坩坯坮圬坨坹坤坲坯坳坴坡坴坩坣坡坤坪坵坳坴坭坥坮坴圬

坡坮坤坴坨坥坡坮坥坬坡坳坴坩坣坡坰坰坲坯坸坩坭坡坴坩坯坮圮 J. Atmos. Sci., 52, 圲圳地圲坻圲圳圱圲圮

坂坡坮坮坯坮圬坐圮坒圮圬在圱圹圹圶圩场坏坮坴坨坥坡坮坥坬坡坳坴坩坣坡坰坰坲坯坸坩坭坡坴坩坯坮坦坯坲坡坣坯坭坰坲坥坳坳坩坢坬坥坡坴坭坯圭

坳坰坨坥坲坥圮 J. Atmos. Sci., 53, 圳圶圱圸坻圳圶圲圸圮

坄坡坶坩坥坳圬坔圮圬坁圮坓坴坡坮坩坦坯坲坴坨圬坎圮块坯坯坤圬坡坮坤坊圮坔坨坵坢坵坲坮圬在圲地地圳圩场坖坡坬坩坤坩坴坹坯坦坡坮坥坬坡坳坴坩坣

坡坮坤坯坴坨坥坲坥坱坵坡坴坩坯坮坳坥坴坳坡坳坩坮坦坥坲坲坥坤坦坲坯坭坮坯坲坭坡坬圭坭坯坤坥坡坮坡坬坹坳坩坳圮 Quart. J. Roy.

Meteor. Soc., 129, 圲圷圶圱坻圲圷圷圵圮

坄坵坲坲坡坮圬坄圮坒圮圬在圱圹圸圹圩场坉坭坰坲坯坶坩坮坧坴坨坥坡坮坥坬坡坳坴坩坣坡坰坰坲坯坸坩坭坡坴坩坯坮圮 J. Atmos. Sci., 46,

圱圴圵圴坻圱圴圶圱圮

坄坵坲坲坡坮圬坄圮坒圮圬在圱圹圹圱圩场坔坨坥坴坨坩坲坤圭坯坲坤坥坲坁坤坡坭圭坂坡坳坨坦坯坲坴坨坭坥坴坨坯坤场坡坮坡坴坴坲坡坣坴坩坶坥

坡坬坴坥坲坮坡坴坩坶坥坴坯坬坥坡坰坦坲坯坧坴坩坭坥坤坩國坥坲坥坮坣坩坮坧圮 Mon. Wea. Rev., 119, 圷地圲坻圷圲地圮

坄坵坲坲坡坮圬坄圮坒圮圬坡坮坤坁圮坁坲坡坫坡坷坡圬在圲地地圷圩场均坥坮坥坲坡坬坩坺坩坮坧坴坨坥坂坯坵坳坳坩坮坥坳坱坡坰坰坲坯坸坩坭坡坴坩坯坮

坴坯坳坴坲坡坴坩圌坥坤坣坯坭坰坲坥坳坳坩坢坬坥圍坯坷圮 C. R. Mec., 335, 圶圵圵坻圶圶圴圮

坄坵坣坨坯坮圬坃圮坅圮圬在圱圹圷圹圩场坌坡坮坣坺坯坳圌坬坴坥坲坩坮坧坩坮坯坮坥坡坮坤坴坷坯坤坩坭坥坮坳坩坯坮坳圮 J. App. Met.,

18, 圱地圱圶坻圱地圲圲圮

坆坵坬坴坯坮圬坓圮坒圮圬坡坮坤块圮坈圮坓坣坨坵坢坥坲坴圬在圱圹圸圷圩场坃坨坥坢坹坳坨坥坶坳坰坥坣坴坲坡坬坭坥坴坨坯坤坳坦坯坲坬坩坭坩坴坥坤圭

坡坲坥坡坭坯坤坥坬坳圮坐坡坲坴坉场坭坯坤坥坬坰坲坯坢坥坭坡坮坡坬坹坳坩坳圮 Mon. Wea. Rev., 115, 圱圹圴地坻

圱圹圵圳圮

圷地

坆坵坬坴坯坮圬坓圮坒圮圬坡坮坤块圮坈圮坓坣坨坵坢坥坲坴圬在圱圹圸圷圩场坃坨坥坢坹坳坨坥坶坳坰坥坣坴坲坡坬坭坥坴坨坯坤坳坦坯坲坬坩坭坩坴坥坤圭

坡坲坥坡坭坯坤坥坬坳圮坐坡坲坴坉坉场坳坨坡坬坬坯坷坷坡坴坥坲坭坯坤坥坬圮 Mon. Wea. Rev., 115, 圱圹圵圴坻圱圹圶圵圮

坈坡坵坳坭坡坮圬坓圮坁圮圬坋圮坖圮坏坯坹坡坭坡圬坡坮坤块圮坈圮坓坣坨坵坢坥坲坴圬在圲地地圵圩场坐坯坴坥坮坴坩坡坬坶坯坲坴坩坣坩坴坹

坳坴坲坵坣坴坵坲坥坯坦坳坩坭坵坬坡坴坥坤坨坵坲坲坩坣坡坮坥坳圮 J. Atmos. Sci., 63, 圸圷坻圱地圸圮

坊坡坮坪坩坣圬坚圮坉圮圬坊圮坐圮均坥坲坲坩坴坹圬坡坮坤坓圮坎坩坣坫坯坶坩坣圬在圲地地圱圩场坁坮坡坬坴坥坲坮坡坴坥坡坰坰坲坯坡坣坨坴坯

坮坯坮坨坹坤坲坯坳坴坡坴坩坣坭坯坤坥坬坩坮坧圮 Mon. Wea. Rev., 82, 圱圱圶圴坻圱圱圷圸圮

坊坡坮坪坩坣圬坚圮坉圮圬在圲地地圳圩场坁坮坯坮坨坹坤坲坯坳坴坡坴坩坣坭坯坤坥坬坢坡坳坥坤坯坮坡坮坥坷坡坰坰坲坯坡坣坨圮 Meteor.

Atmos. Phys., 82, 圲圷圱坻圲圸圵圮

坋坡坬坮坡坹圬坅圮圬在圲地地圲圩场 Atmospheric modeling, data assimilation and predictability.

坃坡坭坢坲坩坧坥坕坮坩坶坥坲坳坩坴坹坐坲坥坳坳圬圳圷坻圸圳坰坰圮

坋坬坥坭坰圬坊圮圬坡坮坤坒圮块坩坬坨坥坭坳坯坮圬在圱圹圷圸圩场坔坨坥坳坩坭坵坬坡坴坩坯坮坯坦坴坨坲坥坥圭坤坩坭坥坮坳坩坯坮坡坬坣坯坮坶坥坣圭

坴坩坶坥坳坴坯坲坭坤坹坮坡坭坩坣坳圮 J. Atmos. Sci., 35, 圱地圷地坻圱地圹圶圮

坋坵坯圬坈圮坃圮圬坡坮坤块圮坈圮坓坣坨坵坢坥坲坴圬在圱圹圸圸圩场坓坴坡坢坩坬坩坴坹坯坦坣坬坯坵坤圭坴坯坰坰坥坤坢坯坵坮坤坡坲坹坬坡坹坥坲坳圮

Quart. J. Roy. Meteor. Soc., 114, 圸圸圷坻圹圱圶圮

坋坵坯圬坈圮坃圮圬坡坮坤坒圮坔圮块坩坬坬坩坡坭坳圬在圱圹圹圷圩场坓坣坡坬坥圭坤坥坰坥坮坤坥坮坴坡坣坣坵坲坡坣坹坩坮坲坥坧坩坯坮坡坬

坳坰坥坣坴坲坡坬坭坥坴坨坯坤坳圮 Mon. Wea. Rev., 126, 圲圶圴地坻圲圶圴圷圮

坋坵坯圬坈圮坃圮圬坡坮坤坃圮坔圮坃坨坥坮坧圬在圱圹圹圹圩场坅坸坰坥坲坩坭坥坮坴坳坷坩坴坨坡坳坰坥坣坴坲坡坬坣坯坮坶坥坣坴坩坯坮

坭坯坤坥坬圮 TAO, 10, 圶圵圱坻圶圹圱圮

坋坵坯圬坈圮坃圮圬坡坮坤坙圮坃圮坃坨坡坮坧圬在圲地地圹圩场坁坮坥坷坰坡坲坡坬坬坥坬坤坯坭坡坩坮圭坤坥坣坯坭坰坯坳坥坤坃坨坥坢坹圭

坳坨坥坶坣坯坬坬坯坣坡坴坩坯坮坭坥坴坨坯坤坦坯坲坡坴坭坯坳坰坨坥坲坩坣坭坯坤坥坬坩坮坧圮 J. Adv. Model. Earth

Syst., In preparation

坌坡坰坲坩坳坥圬坒圮圬在圱圹圹圲圩场坔坨坥坅坵坬坥坲坥坱坵坡坴坩坯坮坳坯坦坭坯坴坩坯坮坷坩坴坨坨坹坤坲坯坳坴坡坴坩坣坰坲坥坳坳坵坲坥坡坳坡坮

坩坮坤坥坰坥坮坤坥坮坴坶坡坲坩坡坢坬坥圮 Mon. Wea. Rev., 120, 圱圹圷坻圲地圷圮

坌坩坰坰坳圬坆圮坂圮圬坡坮坤坒圮坓圮坈坥坬坭坥坲圬圱圹圸圲场坁坳坣坡坬坥坡坮坡坬坹坳坩坳坯坦坤坥坥坰坭坯坩坳坴坣坯坮坶坥坣坴坩坯坮坡坮坤

坳坯坭坥坲坥坬坡坴坥坤坮坵坭坥坲坩坣坡坬坣坡坬坣坵坬坡坴坩坯坮坳圮 J. Atmos. Sci., 39, 圲圱圹圲坻圲圲圱地圮

圷圱

坍坩坬坬坥坲圬坍圮坊圮圬在圱圹圷圴圩场坏坮坴坨坥坵坳坥坯坦坰坲坥坳坳坵坲坥坡坳坶坥坲坴坩坣坡坬坣坯圭坯坲坤坩坮坡坴坥坩坮坭坯坤坥坬坩坮坧

坣坯坮坶坥坣坴坩坯坮圮 Quart. J. Roy. Meteor. Soc., 100, 圱圵圵坻圱圶圲圮

坎坡坮坣坥圬坌圮坂圮圬坡坮坤坄圮坒圮坄坵坲坲坡坮圬在圱圹圹圴圩场坁坣坯坭坰坡坲坩坳坯坮坯坦坴坨坥坡坣坣坵坲坡坣坹坯坦坴坨坲坥坥

坡坮坥坬坡坳坴坩坣坳坹坳坴坥坭坳坡坮坤坴坨坥坰坳坥坵坤坯圭坩坮坣坯坭坰坲坥坳坳坩坢坬坥坳坹坳坴坥坭圮 J. Atmos. Sci., 51,

圲圵圴圹坻圳圵圶圵圮

坏坧坵坲坡圬坙圮圬坡坮坤坎圮坁圮坐坨坩坬坬坩坰坳圬在圱圹圶圱圩场坓坣坡坬坥坡坮坡坬坹坳坩坳坯坦坤坥坥坰坡坮坤坳坨坡坬坬坯坷坣坯坮坶坥坣坴坩坯坮

坩坮坴坨坥坡坴坭坯坳坰坨坥坲坥圮 J. Atmos. Sci., 圱圷圳坻圱圷圹圮

坏坯坹坡坭坡圬坋圮坖圮圬在圱圹圹地圩场坁坴坨坥坲坭坯坤坹坮坡坭坩坣坦坯坵坮坤坡坴坩坯坮坦坯坲坭坯坤坥坬坩坮坧坴坨坥坭坯坩坳坴坡坴圭

坭坯坳坰坨坥坲坥圮 J. Atmos. Sci., 47, 圲圵圸地坻圲圵圹圲圮

坏坯坹坡坭坡圬坋圮坖圮圬在圲地地圱圩场坁坤坹坮坡坭坩坣坡坮坤坴坨坥坲坭坯坤坹坮坡坭坩坣坦坯坵坮坤坡坴坩坯坮坦坯坲坭坯坤坥坬坩坮坧

坴坨坥坭坯坩坳坴坡坴坭坯坳坰坨坥坲坥坷坩坴坨坰坡坲坡坭坥坴坥坲坩坺坥坤坭坩坣坲坯坰坨坹坳坩坣坳圮 J. Atmos. Sci., 58,

圲地圷圳坻圲圱地圱圮

坒坩坣坨坡坲坤坳坯坮圬坌圮坆圮圬在圱圹圹圲圩场 Weather Prediction by Numerical Process. 坃坡坭坢坲坩坧坥

坕坮坩坶坥坲坳坩坴坹坐坲坥坳坳圬圲圳圶坰坰圮

坓坭坯坬坡坲坫坩坥坷坩坣坺圬坐圮坋圮圬坡坮坤坁圮坄坯坲坮坢坲坡坣坫圬在圲地地圸圩场坃坯坮坳坥坲坶坡坴坩坶坥坩坮坴坥坧坲坡坬坳坯坦坡坤坩坡坢坡坴坩坣

坄坵坲坲坡坮圧坳坥坱坵坡坴坩坯坮坳圮 Int. J. Numer. Math. Fluids, 56, 圱圵圱圳坻圱圵圱圹

块坨坩坴坥圬坁圮坁圮圬在圱圹圸圹圩场坁坮坥坸坴坥坮坤坥坤坶坥坲坳坩坯坮坯坦坡坮坯坮坨坹坤坲坯坳坴坡坴坩坣圬坰坲坥坳坳坵坲坥坣坯坯坲坤坩坮坡坴坥

坭坯坤坥坬圮 Quart. J. Roy. Meteor. Soc., 115, 圱圲圴圳坻圱圲圵圱圮

块坩坬坨坥坭坳坯坮圬坒圮圬坡坮坤坙圮坏坧坵坲坡圬在圱圹圷圲圩场坔坨坥坰坲坥坳坳坵坲坥坰坥坲坴坵坲坢坡坴坩坯坮坡坮坤坴坨坥坮坵坭坥坲坩坣坡坬

坭坯坤坥坬坩坮坧坯坦坡坣坬坯坵坤圮 J. Atmos. Sci., 29, 圱圲圹圵坻圱圳地圷圮

块坯坬國圬坐圮坍圮圬在圱圹圵圸圩场坔坨坥坥坲坲坯坲坩坮坮坵坭坥坲坩坣坡坬坦坯坲坥坣坡坳坴坳坤坵坥坴坯坲坥坴坲坯坧坲坥坳坳坩坯坮坯坦坵坬坴坲坡圭

坬坯坮坧坷坡坶坥坳圮 Mon. Wea. Rev., 86, 圲圴圵坻圲圵地

圷圲

坔坡坢坬坥圱场變數表

變數名稱物理意義

U 水平動量密度通量

W 垂直密度通量

σ 亂度密度通量

ξ 乾空氣密度通量

ξ′ 乾空氣密度通量擾動場

圖ξ 乾空氣密度通量平均場

η 總水密度通量

ηc 凝結水密度通量

ηv 氣體水密度通量

η∗ 飽和水氣密度通量（為溫度的函數）

η′ 總水密度通量擾動場

圖η 總水密度通量平均場

ρ 總密度通量場（ξ 圫 η）

p 壓力場

g 重力加速度常數圽圹圮圸

T1 假設為未飽和狀態之溫度

T2 假設為飽和狀態之溫度

T 真實溫度值

T ′ 真實溫度擾動場

圖T 真實溫度平均場

ν 渦流摩擦係數

Rv 水氣之理想氣體常數

Rd 乾空氣之理想氣體常數

cvd 乾空氣之定容熱容量

圖rt 總平均混合比（為高度之函數）

ζ 渦度

D 散度

圷圳

χ 輻散場

ψ 非輻散場（流函數場）

uχ 水平方向輻散風場

wχ 垂直方向輻散風場

uψ 水平方向非輻散風場

wψ 垂直方向非輻散風場

圷圴

坆坩坧坵坲坥圱场為任意物理場（紅虛線）及疊加聲波後（藍線）隨時間（橫軸）的變化

情形，如果無聲波，可以用長時步積分（長綠）得到場量隨時間變化的結果，但

是疊加聲波後只能用短時步積分（短綠）以防模式不穩定積分。

圷圵

坆坩坧坵坲坥圲场將頻率視為波長函數作圖，在坦平面上的正模分析在坡圩可壓縮模

式，在坢圩非彈性模式，在坣圩假不可壓縮模式，在坤圩整合系統，在坥圩準靜力平衡模式。

（摘自坁坲坡坫坡坷坡坡坮坤坋坯坮坯坲圬圲地地圸）

坆坩坧坵坲坥圳场在準地轉假設下，將頻率視為水平波長的函數以進行作圖，在中緯度 β

平面上的正模分析在坡圩可壓縮模式，整合系統，準靜力平衡模式，在坢圩假不可壓縮

模式，在坣圩非彈性模式。（摘自坁坲坡坫坡坷坡坡坮坤坋坯坮坯坲圬圲地地圸）

圷圶

坆坩坧坵坲坥圴场橫軸為空間解析度，縱軸為 L2 誤差值，因此可以看出波譜方法

（坃坏坌）與有限差分法（坆坄）在解析度增加時在收斂速度差異。（摘自坆坵坬坴坯坮

坡坮坤坓坣坨坵坢坥坲坴圬圱圹圸圷）

圷圷

坆坩坧坵坲坥圵场利用區域切割的概念進行模擬，用淺水模式，做區域不切割、中間對

切以及水平垂直方各分兩塊區域的四塊均分形式的模擬比較，進行圱圴圴小時的模

擬，可以發現結果幾乎完全相似。（摘自坋坵坯坡坮坤坃坨坡坮坧圬圲地地圹）

圷圸

坆坩坧坵坲坥圶场以坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜方法呈餘弦函數的格點分配形式，可以進行快速轉

換，而在一維中的邊界交換則是重疊左右兩個區域的格點如圖所示，使得在邊界

處在不同區域運算情況下，仍然保有連續性。

圷圹

坆坩坧坵坲坥圷场將二維的計算區域切割成四塊，在邊界的資訊傳遞如圖所示，並在每一

時步積分後需進行一次這樣的邊界資訊交換。（摘自坋坵坯坡坮坤坃坨坡坮坧圬圲地地圹）

圸地

坆坩坧坵坲坥圸场此為利用顯示積分法配合坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法加上濾波器做乾熱氣

胞上升的模擬，為亂度擾動場（坊圯坋）疊合密度通量場（kg/m2s）隨時間積分的

變化，總共積分圶地地秒，時步為地圮地圷圵秒。

圸圱

坆坩坧坵坲坥圹场此為利用顯示積分法配合坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法加上濾波器做乾熱氣

胞上升的模擬，為壓力擾動場隨時間積分的變化，單位為坨坐坡，總共積分圶地地秒，

時步為地圮地圷圵秒，由於一開始無壓力擾動場，所以沒有放初始壓力擾動場。

圸圲

坆坩坧坵坲坥圱地场此為利用顯示積分法配合坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法加上濾波器做乾

熱氣胞上升的模擬，為乾密度擾動場（不包括水氣）隨時間積分的變化，單位

為kg/m3，總共積分圶地地秒，時步為地圮地圷圵秒。

圸圳

坆坩坧坵坲坥圱圱场此為利用顯示積分法配合坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法加上濾波器做乾熱

氣胞上升的模擬，為溫度擾動場隨時間積分的變化，單位為坋，總共積分圶地地秒，

時步為地圮地圷圵秒。

圸圴

坆坩坧坵坲坥圱圲场此為利用顯示積分法配合坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法加上濾波器做濕熱

氣胞上升的模擬，為亂度擾動場（坊圯坋）疊合密度通量場（kg/m2s）隨時間積分

的變化，總共積分圳地地秒，時步為地圮地圷圵秒。

圸圵

坆坩坧坵坲坥圱圳场此為利用顯示積分法配合坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法加上濾波器做濕熱

氣胞上升的模擬，為總水密度擾動場隨時間積分的變化，單位為kg/m3，總共積

分圳地地秒，時步為地圮地圷圵秒。

圸圶

坆坩坧坵坲坥圱圴场此為利用顯示積分法配合坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法加上濾波器做濕

熱氣胞上升的模擬，為壓力擾動場隨時間積分的變化，單位為坨坐坡，總共積

分圳地地秒，時步為地圮地圷圵秒，由於一開始無壓力擾動場，所以沒有放初始壓力擾動

場。

圸圷

坆坩坧坵坲坥圱圵场此為利用顯示積分法配合坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法加上濾波器做濕

熱氣胞上升的模擬，為乾密度擾動場（不包括水氣）隨時間積分的變化，單位

為kg/m3，總共積分圳地地秒，時步為地圮地圷圵秒。

圸圸

坆坩坧坵坲坥圱圶场此為利用顯示積分法配合坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法加上濾波器做濕熱

氣胞上升的模擬，為溫度擾動場隨時間積分的變化，單位為坋，總共積分圳地地秒，


圸圹

坆坩坧坵坲坥圱圷场此為利用顯示積分法配合坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法加上濾波器做濕熱

氣胞上升的模擬，為液態水隨時間積分的變化，單位為kg/m3，總共積分圳地地秒，


圹地

坆坩坧坵坲坥圱圸场圖為兩不同濾波器坌坡坮坣坺坯坳以及坒坡坩坳坥坤坣坯坳坩坮坥隨波數變化的情形，其數

值範圍在圱到地之間。

圹圱

坆坩坧坵坲坥圱圹场此為利用坒坡坩坳坥坤坣坯坳坩坮坥濾波器配合坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做聲波

調節的壓力擾動場（坨坐坡）變化圖，總共積分圳地秒。

圹圲

坆坩坧坵坲坥圲地场此為利用坌坡坮坣坺坯坳濾波器配合坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做聲波調節的

壓力擾動場（坨坐坡）變化圖，總共積分圳地秒。

圹圳

坆坩坧坵坲坥圲圱场此為利用兩種濾波器，分別為坌坡坮坣坺坯坳以及坒坡坩坳坥坤坣坯坳坩坮坥做聲波調節開

始的圱圵秒中，對於中心點（圱圲圵地圬圱圲圵地）做時間序列的變化圖，在各個場量的調節

情形。

圹圴

坆坩坧坵坲坥圲圲场此為利用坌坡坮坣坺坯坳濾波器配合坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做乾熱胞上升

的亂度擾動場（坊圯坋）疊合密度通量場在kg/m2s圩變化圖，總共積分圱圲地秒。

圹圵

坆坩坧坵坲坥圲圳场此為利用坌坡坮坣坺坯坳濾波器配合坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做乾熱胞上升

的壓力擾動場（坨坐坡）變化圖，總共積分圱圲地秒。

圹圶

坆坩坧坵坲坥圲圴场此為利用坌坡坮坣坺坯坳濾波器配合坄坯坵坢坬坥坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做乾熱胞上升

的密度擾動場（kg/m3）變化圖，總共積分圱圲地秒。

圹圷

坆坩坧坵坲坥圲圵场橫軸為空間解析度，縱軸為 L2 誤差值，地圮圲與地圮圳為坥圭坦坯坬坤坩坮坧距離（坌）

的不同。因此，除了可以看出解坐坯坩坳坳坯坮方程時，用坆坯坵坲坩坥坲波譜方法（坆坓）與有

限差分法（坆坄）在解析度增加時，誤差收斂速度上的差異，也可以發現在同

樣都是坆坯坵坲坩坥坲波譜方法時，坥圭坦坯坬坤坩坮坧距離（坌）的不同也會影響誤差收斂的飽和

值。（摘自坋坵坯坡坮坤块坩坬坬坩坡坭坳圬圱圹圹圷）

圹圸

坆坩坧坵坲坥圲圶场橫軸（坌）代表高斯函數的坥圭坦坯坬坤坩坮坧距離。同樣波數進行一坐坯坩坳坳坯坮方程

的求解時，隨著解析解的坌越來越大，精確度上坌值有一門檻值（約為地圮圲），如

果高於此門檻誤差反而越來越大。（摘自坋坵坯坡坮坤块坩坬坬坩坡坭坳圬圱圹圹圷）

圹圹

坆坩坧坵坲坥圲圷场此為兩個不同的高斯函數分布情形，橫軸為解析度（波數），縱軸

為L2誤差值，坈坥坬坭坨坯坬坴坺方程中的α值為圲地，高斯函數最大值則為圲圮圵，紅線為解析

解高斯函數極值位於正中央，藍線則是極值較靠近邊界的情形，在兩種分布情形

下，誤差值上的指數收斂形式並未為改變。

圱地地

坆坩坧坵坲坥圲圸场此為高斯函數極值位於中央的解析解及數值解結果，此模擬解析度

為圳圲× 圳圲。

圱地圱

坆坩坧坵坲坥圲圹场此為高斯函數極值靠近邊界的解析解及數值解結果，此模擬解析度

為圳圲× 圳圲。

圱地圲

坆坩坧坵坲坥圳地场此圖所代表的意義為在坮坯坲坭坡坬坩坺坥坤坴坩坭坥坳坴坥坰圩標準化時步（坬坯坧2在圁t/N圩）

與精確度的作圖，橫軸為坬坯坧2在圁t/N圩，由於有的時間積分方法在一個時步中其實

作了坮次預報的運算，因此除了考慮時步的大小外，考慮實際效率時應將運算次

數併入考慮變成一標準化時步圻在垂直上則為L2 坥坲坲坯坲，摩擦係數為圱圵m/s2。

圱地圳

坆坩坧坵坲坥圳圱场此模擬為展現較清楚之摩擦情形，摩擦係數為圱地地m/s2，時步

為地圮圵秒，總共積分圶地秒。

圱地圴

坆坩坧坵坲坥圳圲场此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做聲波調節的亂

度擾動場（坊圯坋）疊合密度通量場在kg/m2s圩模擬，總共積分圳地秒。

圱地圵

坆坩坧坵坲坥圳圳场此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做聲波調節的壓

力擾動場（坨坐坡）模擬，總共積分圳地秒。

圱地圶

坆坩坧坵坲坥圳圴场此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做聲波調節的乾

密度擾動場（kg/m3）模擬，總共積分圳地秒。

圱地圷

坆坩坧坵坲坥圳圵场此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做聲波調節的時

間序列與使用濾波器做聲波調節的時間序列比較，其值為開始積分後圷圮圵秒內的各

場量在中心（圱圲圵地圬圱圲圵地）隨時間變化的情形。

圱地圸

坆坩坧坵坲坥圳圶场此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做乾熱氣塊上升

的亂度擾動場（坊圯坋）疊合密度通量場在kg/m2s圩模擬，總共積分圶地地秒。

圱地圹

坆坩坧坵坲坥圳圷场此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做乾熱氣塊上升

的壓力擾動場（坨坐坡）模擬，總共積分圶地地秒。

圱圱地

坆坩坧坵坲坥圳圸场此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做乾熱氣塊上升

的密度擾動場（kg/m3）模擬，總共積分圶地地秒

圱圱圱

坆坩坧坵坲坥圳圹场此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做乾熱氣塊上

升的時間序列與使用濾波器做乾熱氣塊上升的時間序列比較，其值為開始積分

後圷圮圵秒內的各場量在氣塊初始位置（圶圲圵圬圱圲圵地）隨時間變化的情形。

圱圱圲

坆坩坧坵坲坥圴地场此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做濕熱氣塊上升

的亂度擾動場（坊圯坋）疊合密度通量場在kg/m2s圩模擬，總共積分圳地地秒。

圱圱圳

坆坩坧坵坲坥圴圱场此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做濕熱氣塊上升

的壓力擾動場（坨坐坡）模擬，總共積分圳地地秒。

圱圱圴

坆坩坧坵坲坥圴圲场此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做濕熱氣塊上升

的乾密度擾動場（kg/m3）模擬，總共積分圳地地秒。

圱圱圵

坆坩坧坵坲坥圴圳场此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做濕熱氣塊上升

的整體水密度擾動場（kg/m3）模擬，總共積分圳地地秒。

圱圱圶

坆坩坧坵坲坥圴圴场此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做濕熱氣塊上升

的液態水（kg/m3）模擬，總共積分圳地地秒。

圱圱圷

坆坩坧坵坲坥圴圵场此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做乾熱氣塊上升

與逆溫層交互作用的亂度擾動場（坊圯坋）疊合密度通量場（kg/m2s）模擬，總共

積分圷圵地秒。

圱圱圸

坆坩坧坵坲坥圴圶场此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做乾熱氣塊上升

與逆溫層交互作用的溫度場（坋）模擬，總共積分圷圵地秒。

圱圱圹

坆坩坧坵坲坥圴圷场此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，做乾熱氣塊上升

與逆溫層交互作用的密度擾動場（kg/m3）模擬，總共積分圷圵地秒。

圱圲地

坆坩坧坵坲坥圴圸场此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，運用非輻散風場

的概念，做乾熱氣塊上升的現象與原始不使用非輻散風場的結果做壓力擾動場

（坨坐坡）的模擬比較，左邊的圖為原始風場模擬，右邊的則為使用非輻散風場的

模擬，總共積分圳地地秒。

圱圲圱

坆坩坧坵坲坥圴圹场此為利用渦流摩擦項配合坆坯坵坲坩坥坲坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜法，運用非輻散風場

的概念，做乾熱氣塊上升的現象與原始不使用非輻散風場的結果做亂度擾動場

（坊圯坋）疊合密度通量場（kg/m2s）的模擬比較，左邊的圖為原始風場模擬，右

邊的則為使用非輻散風場的模擬總共積分圳地地秒。

圱圲圲

坆坩坧坵坲坥圵地场隨著非輻散風場的使用，當時步要放大時，需要更大的渦流摸擦係數

以維持模式的穩定，在這裡解析度些為圳圲× 圳圲，因此最小波約長為圸地坭，各摩擦

係數所代表的意義，經換算後（即為各摩擦係數下方的時間）可視為在多長的時

間會將模式中最短的波長（圸地坭）平衡。

圱圲圳

附附附錄錄錄 A

Helmholtz方方方程程程解解解法法法

利用坂坡坲坴坥坬坳坡坮坤坓坴坥坷坡坲坴（圱圹圷地）所提出解一矩陣系統的方法，套用到解坈坥坬坭坨坯坬坴坺方

程上。其所提出求解的矩陣系統為

AX 圫XB 圽 C 在坁圮圱圩

因此，假如我們要解的方程式可用此形式表示，就可以利用帶入A圬B以及C來

求解X的值。A及B矩陣分別為方陣（M ×M）和（N × N），右求解的X矩陣

及手邊的C矩陣則為（M × N）的矩陣。需注意的是在解這樣的一個矩陣方程

時，A矩陣的特徵值α1, α2, ..., αM和B矩陣的特徵值β1, β2, ..., βN必須滿足

αi 圫 βj 6圽地在i 圽圱, 圲, ...,M 圻 j 圽圱, 圲, ..., N圩

才會有唯一的解。

如果我們的問題可以寫成坐坯坩坳坳坯坮方程的形式，利用坆坯坵坲坩坥坲－坃坨坥坢坹坳坨坥坶的波

譜空間離散法，可以得到

∇2 坞圈(t+∆t) 圽坞H(t) 在坁圮圲圩

其中，坞圈(t+∆t)表示為預報之下一時間波譜係數二維矩陣，坞H(t)則代表這個時間的

波譜係數二維矩陣，若將微分算子表示成下列的形式

Dxx坞圈(t+∆t) 圫坞圈(t+∆t)Dzz 圽坞H(t) 在坁圮圳圩

圱圲圴

可和（坁圮圱）式比較，得到（坁圮圳）式中，矩陣坞H(t)為C，代表水平及垂直方向的

二次微分算子的Dxx和Dzz分別為A及B，如此就可利用矩陣系統求解，得到所需

要的答案。所以當問題變成坈坥坬坭坨坯坬坴坺方程

∇2 坞圈(t+∆t) − α圈(t+∆t) 圽坞H(t) 在坁圮圴圩

（坁圮圳）式可改成

在Dxx − αI圩坞圈(t+∆t) 圫坞圈(t+∆t)Dzz 圽坞H(t) 在坁圮圵圩

也就是將A矩陣變換成Dxx − αI，即可利用同樣的矩陣方程來求解。

在我們的問題之中，Dxx代表的是坆坯坵坲坩坥坲波譜空間水平方向二次微分矩陣，因

此只需在原波譜係數前乘一正比於負的波數平方，即得到二次微分值如下

∂2 坞φmn∂x2

圽 −(圲π In在m/圲圩

Lx

)2

坞φmn 在坁圮圶圩

其中，In在m/圲圩代表的是取整數值，所以表示成矩陣的形式後，可得

Dxx 圽

−在2π0Lx

圩2

−在2π0Lx

圩2

−在2π1Lx

圩2

−在2π1Lx

圩2

圮圮圮

−在2πM/2Lx

圩2

在坁圮圷圩

因此，A矩陣可以表現成

A 圽

−在2π0Lx

圩2

−在2π0Lx

圩2

−在2π1Lx

圩2

−在2π1Lx

圩2

圮圮圮

−在2πM/2Lx

圩2

− αI 在坁圮圸圩

圱圲圵

由於垂直方向是利用坃坨坥坢坹坳坨坥坶的波譜離散形式，因此利用（圳圮圱圹）的坃坨坥坢坹坳坨坥坶關

係式就可以導出坃坨坥坢坹坳坨坥坶的一次微分矩陣

Dz 圽

地

−2π1Lz

地

地 −圲2π2Lz

地

−2π3Lz

地 −圲2π3Lz

地

地 −圲2π4Lz

地 −圲2π4Lz

地圮圮圮

圮圮圮圮圮圮

圮圮圮圮圮圮

圮圮圮

−2πNLz

地 −圲2πNLz

地 −圲2πNLz

. . . 地

在坁圮圹圩

所以在波譜空間二次微分的B矩陣就可以求得為

B 圽 Dzz 圽 DzDz 在坁圮圱地圩

對於使用這樣的方法來解坈坥坬坭坨坯坬坴坺方程，必須先做初步的測試。假設一高斯函

數在物理空間的形式為X

xij 圽圁Te[−(xi−x0Hx

)2]e[−(zj−z0Hz

)2] 在坁圮圱圱圩

其中，xij為X矩陣的元素，圁T為高斯函數的最大值，xi, zj為計算區域各座標

值，x0, z0則為計算區域正中央的座標，也就是極值出現的地方，隨著二維空間從

中心極值向外，其函數值呈指數遞減，Hx及Hz分別為此高斯函數在x方向和z方

向遞減的速率，也稱為指數遞減距離（坥圭坦坯坬坤坩坮坧坤坩坳坴坡坮坴）。利用這樣的高斯函

數，求出其坈坥坬坭坨坯坬坴坺方程在物理空間中的等號右手邊矩陣C

cij 圽

[(−圲H2x

)圫

(− 圲在

xi − x0

H2x

圩

)2(−圲H2z

)圫

(− 圲在

zj − z0

H2z

圩

)2

− α]xij 在坁圮圱圲圩

其中，cij為C矩陣的元素。由於前面提到A和B矩陣代表的是波譜空間中的微分

矩陣，因此，先把C矩陣做坆坯坵坲坩坥坲圭坃坨坥坢坹坳坨坥坶波譜空間離散得到波譜空間的坞C矩

陣，代入之前所建立的系統

A 坞X 圫坞XB 圽坞C 在坁圮圱圳圩

求得在波譜空間的解坞X，再將此波譜解轉換回物理空間可得到解圖X。利用C矩陣

求出之數值解圖X與原始假設的解析解X做誤差比較，來看這個系統的求解情形。

圱圲圶

附附附錄錄錄 B

AX+XB=C 原原原理理理

許多物理過程中，往往會牽涉到

AX 圫XB 圽 C 在坂圮圱圩

這樣的一個矩陣系統運算，而這個解法是由坂坡坲坴坥坬坳坡坮坤坓坴坥坷坡坲坴（圱圹圷地）所提

出。要注意的是，如附錄坁所提到，這樣的一個系統必須成立於A矩陣的特徵

值α1, α2, ..., αM和B矩陣的特徵值β1, β2, ..., βN滿足

αi 圫 βj 6圽地在i 圽圱, 圲, ...,M 圻 j 圽圱, 圲, ..., N圩

才會有唯一的解。

坂坡坲坴坥坬坳坡坮坤坓坴坥坷坡坲坴（圱圹圷地）所提出的系統解法，建立在實數矩陣A及B分別

經由垂直相似轉換（坯坲坴坨坯坧坯坮坡坬坳坩坭坩坬坡坲坩坴坹坴坲坡坮坳坦坯坲坭坡坴坩坯坮）U及V，而簡化成下三

角以及上三角的坓坣坨坵坲形式（坬坯坷坥坲坡坮坤坵坰坰坥坲坓坣坨坵坲坦坯坲坭），使系統可利用疊代的

過程來求解。首先對於坓坣坨坵坲形式稍作解釋，若一正方形實數矩陣P滿足

P 圽 QP ′Q−1 在坂圮圲圩

其中，P ′呈上三角矩陣，且Q矩陣滿足Q−1 圽 QT的條件（坯坲坴坨坯坧坯坮坡坬坭坡坴坲坩坸），

即稱P ′為P的坓坣坨坵坲形式，也因為Q−1 圽 QT的條件，所以可稱Q矩陣為垂直相似

圱圲圷

轉換。因此在我們的問題之中，可將（坂圮圲）式中的P由A取代，Q則由U取代，

將A矩陣簡化成下三角坓坣坨坵坲形式

A′ 圽 UTAU 圽

a′11

a′21 a′22

圮圮圮圮圮圮

圮圮圮

a′M1 a′M2 . . . a′MM

在坂圮圳圩

以及將B矩陣簡化成上三角的坓坣坨坵坲形式

B′ 圽 V TBV 圽

b′11 b′12 . . . b′1N

b′22 . . . b′2N圮圮圮

圮圮圮

b′NN

在坂圮圴圩

因此若可將C矩陣以及X矩陣表示為

C ′ 圽 UTCV 圽

c′11 . . . c′1N圮圮圮

圮圮圮

c′M1 . . . c′MN

X ′ 圽 UTXV 圽

x′11 . . . x′1N圮圮圮

圮圮圮

x′M1 . . . x′MN

在坂圮圵圩

就可以將（坂圮圱）式簡化成

A′X ′ 圫X ′B′ 圽 C ′ 在坂圮圶圩

的系統，其中，A′和B′矩陣為下三角及上三角，這樣的好處在於可利用疊代的方

式一一將坘圧矩陣中的元素求出，也就是利用

a′mmx′mn 圫 x′mnb

′nn 圽 c′mn −

m−1∑i=1

a′mix′in −

n−1∑j=1

x′mjb′jn

在m 圽圱, 圲, ...,M 圻 n 圽圱, 圲, ..., N圩

在坂圮圷圩

可以將坘圧中元素依序由X ′圱圱, X ′圲圱, ..., X ′N圱, X ′圱圲, X ′圲圲, ...求出，最後只要再做一

次X 圽 UX ′V T的轉換，即可得到原始系統的解。

因此問題就在於要如何在一開始的時候，將A及B矩陣由正交相似轉換

成坓坣坨坵坲形式，使原本的問題得以簡化。這樣的轉換有一套標準的流程，首先在

圱圲圸

矩陣B轉換成上三角的部份，需先將B矩陣利用坈坯坵坳坥坨坯坬坤坥坲坴坲坡坮坳坦坯坲坭坡坴坩坯坮轉換

成海森堡形式（坈坥坳坳坥坮坢坥坲坧坦坯坲坭），其形式如下所示

BH 圽在Q−1N−2...Q

−12 Q−1

1 圩B在Q1Q2...QN−2圩

圽

bH(1,1) bH(2,1) . . . bH(N−1,1) bH(N,1)

bH(1,2) bH(2,2) . . . bH(N−1,2) bH(N,2)

bH(2,3) . . . bH(N−1,3) bH(N,3)

圮圮圮圮圮圮

圮圮圮

bH(N−1,N) bH(N,N)

在坂圮圸圩

至於如何找出Q矩陣就是坈坯坵坳坥坨坯坬坤坥坲坴坲坡坮坳坦坯坲坭坡坴坩坯坮的重要關鍵，首先令

H 圽 I − 圲vvT

‖v‖2

其中 v 圽 x圫 σz, 在x為任意向量, σ 圽 ‖x‖, z 圽在圱, 地, ..., 地圩圩

在坂圮圹圩

因此H矩陣可透過v向量得到，再利用（坂圮圹）式，可得到關係式如下

Hx 圽 −σz 在坂圮圱地圩

因此將變數設定成

x 圽

b21

b31

圮圮圮

bN1

, z 圽

圱

地圮圮圮

地

, Hx 圽

−σ

地圮圮圮

地

. 在坂圮圱圱圩

可得一矩陣Q1滿足

Q1 圽

圱地地地 . . . 地

地

地

地 H圮圮圮

地

圽 Q−1

1 , Q−11 BQ1 圽

b11 ∗ ∗ ∗ . . . ∗

−σ ∗ ∗ ∗ . . . ∗

地 ∗ ∗ ∗ . . . ∗

地 ∗ ∗ ∗ . . . ∗圮圮圮

圮圮圮圮圮圮

圮圮圮圮圮圮

地 ∗ ∗ ∗ . . . ∗

在坂圮圱圲圩

圱圲圹

依照同樣的概念就可以再繼續得到一矩陣Q2滿足

Q2 圽

圱地地地 . . . 地

地圱地地 . . . 地

地地

地地 H2

圮圮圮圮圮圮

地地

圽 Q−1

2 , Q−12 在Q−1

1 BQ1圩Q2 圽

∗ ∗ ∗ ∗ . . . ∗

∗ ∗ ∗ ∗ . . . ∗

地 ∗ ∗ ∗ . . . ∗

地地 ∗ ∗ . . . ∗圮圮圮

圮圮圮圮圮圮

圮圮圮圮圮圮

地地 ∗ ∗ . . . ∗

在坂圮圱圳圩

因此在經過N − 圲個同樣概念的步驟後，就可以得到如（坂圮圸）式的海森堡形式矩

陣，再經過坑坒運算法（坑坒坡坬坧坯坲坩坴坨坭）就可以得到最終的上三角坓坣坨坵坲形式，這

樣的方法比直接使用坑坒運算法來求得上三角形矩陣還要來的快速許多。至於矩

陣V則可由坈坯坵坳坥坨坯坬坤坥坲坴坲坡坮坳坦坯坲坭坡坴坩坯坮和坑坒運算法中每個步驟的轉換矩陣相乘得

到，而要轉換成下三角形式的A矩陣，就先將A矩陣做轉置（坴坲坡坮坳坰坯坳坥）為AT，

然後依前述轉換B矩陣的步驟，將AT矩陣轉換成上三角，再做一次轉置，就可以

得到最終的下三角矩陣A′。

圱圳地

國立臺灣大學大氣科學研究所碩士論文Ooyama 濕對流模式積分方法 ...

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