Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной...

78
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет “Фундаментальные науки” Кафедра “Высшая математика” Математический анализ Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 3.3 к.ф.-м.н. Семакин А.Н.

Transcript of Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной...

Page 1: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. БауманаФакультет “Фундаментальные науки”

Кафедра “Высшая математика”

Математический анализМодуль 3. Дифференциальное исчисление

функций одной переменной

Лекция 3.3

к.ф.-м.н. Семакин А.Н.

Page 2: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

ОпределениеМногочленом Тейлора степени nфункции f (x) в точке c называется многочленвида

Pn(x) = f (c) +1

1!f ′(c)(x − c)+

+1

2!f ′′(c)(x − c)2 + ... +

1

n!f (n)(c)(x − c)n.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 2 / 29

Page 3: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

ОпределениеМногочленом Тейлора степени nфункции f (x) в точке c называется многочленвида

Pn(x) = f (c) +1

1!f ′(c)(x − c)+

+1

2!f ′′(c)(x − c)2 + ... +

1

n!f (n)(c)(x − c)n.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 2 / 29

Page 4: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

Свойство многочлена Тейлора*

В точке c совпадают значения функции и еемногочлена Тейлора, а также значения ихпервых n производных, т.е. Pn(c) = f (c),P ′n(c) = f ′(c), ..., P (n)

n (c) = f (n)(c).

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 3 / 29

Page 5: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

Свойство многочлена Тейлора*В точке c совпадают значения функции и еемногочлена Тейлора, а также значения ихпервых n производных, т.е. Pn(c) = f (c),P ′n(c) = f ′(c), ..., P (n)

n (c) = f (n)(c).

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 3 / 29

Page 6: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

Доказательство

Pn(c) = f (c) +1

1!f ′(c)(c − c)+

+1

2!f ′′(c)(c − c)2 + ... +

1

n!f (n)(c)(c − c)n =

= f (c).

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 4 / 29

Page 7: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

Доказательство

Pn(c) =

f (c) +1

1!f ′(c)(c − c)+

+1

2!f ′′(c)(c − c)2 + ... +

1

n!f (n)(c)(c − c)n =

= f (c).

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 4 / 29

Page 8: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

Доказательство

Pn(c) = f (c) +1

1!f ′(c)(c − c)+

+1

2!f ′′(c)(c − c)2 + ... +

1

n!f (n)(c)(c − c)n

=

= f (c).

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 4 / 29

Page 9: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

Доказательство

Pn(c) = f (c) +1

1!f ′(c)(c − c)+

+1

2!f ′′(c)(c − c)2 + ... +

1

n!f (n)(c)(c − c)n =

= f (c).

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 4 / 29

Page 10: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

P ′n(x) =

1

1!f ′(c) +

1

2!2f ′′(c)(x − c) + ...+

+1

n!nf (n)(c)(x − c)n−1.

P ′n(c) = f ′(c).

Аналогично для остальных производных. �

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 5 / 29

Page 11: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

P ′n(x) =1

1!f ′(c) +

1

2!2f ′′(c)(x − c) + ...+

+1

n!nf (n)(c)(x − c)n−1.

P ′n(c) = f ′(c).

Аналогично для остальных производных. �

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 5 / 29

Page 12: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

P ′n(x) =1

1!f ′(c) +

1

2!2f ′′(c)(x − c) + ...+

+1

n!nf (n)(c)(x − c)n−1.

P ′n(c) =

f ′(c).

Аналогично для остальных производных. �

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 5 / 29

Page 13: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

P ′n(x) =1

1!f ′(c) +

1

2!2f ′′(c)(x − c) + ...+

+1

n!nf (n)(c)(x − c)n−1.

P ′n(c) = f ′(c).

Аналогично для остальных производных. �

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 5 / 29

Page 14: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

P ′n(x) =1

1!f ′(c) +

1

2!2f ′′(c)(x − c) + ...+

+1

n!nf (n)(c)(x − c)n−1.

P ′n(c) = f ′(c).

Аналогично для остальных производных. �

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 5 / 29

Page 15: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

Теорема (формула Тейлора)

Пусть функция f (x) определена на интервале(a, b) и имеет в точке c ∈ (a, b) производныедо порядка n включительно. Тогда ∀x ∈ (a, b)

справедлива формула Тейлора n-ого порядка

f (x) = f (c) +1

1!f ′(c)(x − c)+

+1

2!f ′′(c)(x − c)2 + ... +

1

n!f (n)(c)(x − c)n + rn,

где rn - остаточный член формулы Тейлора.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 6 / 29

Page 16: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

Теорема (формула Тейлора)Пусть функция f (x) определена на интервале(a, b) и имеет в точке c ∈ (a, b) производныедо порядка n включительно. Тогда ∀x ∈ (a, b)

справедлива формула Тейлора n-ого порядка

f (x) = f (c) +1

1!f ′(c)(x − c)+

+1

2!f ′′(c)(x − c)2 + ... +

1

n!f (n)(c)(x − c)n + rn,

где rn - остаточный член формулы Тейлора.МА, Модуль 3, Лекция 3.3 6 / 29

Page 17: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

Формы записи остаточного члена:

1) форма Пеаноrn = ◦((x − c)n), x → c

2) форма Лагранжа

rn =1

(n + 1)!f (n+1)(c + θ(x − c))(x − c)n+1,

0 < θ < 1

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 7 / 29

Page 18: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

Формы записи остаточного члена:1) форма Пеано

rn = ◦((x − c)n), x → c

2) форма Лагранжа

rn =1

(n + 1)!f (n+1)(c + θ(x − c))(x − c)n+1,

0 < θ < 1

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 7 / 29

Page 19: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

Формы записи остаточного члена:1) форма Пеаноrn = ◦((x − c)n), x → c

2) форма Лагранжа

rn =1

(n + 1)!f (n+1)(c + θ(x − c))(x − c)n+1,

0 < θ < 1

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 7 / 29

Page 20: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

Формы записи остаточного члена:1) форма Пеаноrn = ◦((x − c)n), x → c

2) форма Лагранжа

rn =1

(n + 1)!f (n+1)(c + θ(x − c))(x − c)n+1,

0 < θ < 1

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 7 / 29

Page 21: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

Формы записи остаточного члена:1) форма Пеаноrn = ◦((x − c)n), x → c

2) форма Лагранжа

rn =1

(n + 1)!f (n+1)(c + θ(x − c))(x − c)n+1,

0 < θ < 1

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 7 / 29

Page 22: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Тейлора

Формы записи остаточного члена:1) форма Пеаноrn = ◦((x − c)n), x → c

2) форма Лагранжа

rn =1

(n + 1)!f (n+1)(c + θ(x − c))(x − c)n+1,

0 < θ < 1

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 7 / 29

Page 23: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Маклорена

ОпределениеФормулой Маклорена называетсяформула Тейлора при c = 0, т.е. формулавида

f (x) = f (0) +1

1!f ′(0) · x + 1

2!f ′′(0) · x2 + ...+

+1

n!f (n)(0) · xn + ◦(xn), x → 0.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 8 / 29

Page 24: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Формула Маклорена

ОпределениеФормулой Маклорена называетсяформула Тейлора при c = 0, т.е. формулавида

f (x) = f (0) +1

1!f ′(0) · x + 1

2!f ′′(0) · x2 + ...+

+1

n!f (n)(0) · xn + ◦(xn), x → 0.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 8 / 29

Page 25: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора

Разложив функцию f (x) по формуле Тейлорав окрестности точки c , будем иметь

f (x) = Pn(x) + rn ∀x ∈ U(c),

где Pn(x) - многочлен Тейлора степени n,аrn = ◦((x − c)n), x → c - остаточный членформулы Тейлора.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 9 / 29

Page 26: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора

Разложив функцию f (x) по формуле Тейлорав окрестности точки c , будем иметь

f (x) = Pn(x) + rn ∀x ∈ U(c),

где Pn(x) - многочлен Тейлора степени n,аrn = ◦((x − c)n), x → c - остаточный членформулы Тейлора.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 9 / 29

Page 27: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора

Разложив функцию f (x) по формуле Тейлорав окрестности точки c , будем иметь

f (x) = Pn(x) + rn ∀x ∈ U(c),

где Pn(x) - многочлен Тейлора степени n,

аrn = ◦((x − c)n), x → c - остаточный членформулы Тейлора.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 9 / 29

Page 28: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора

Разложив функцию f (x) по формуле Тейлорав окрестности точки c , будем иметь

f (x) = Pn(x) + rn ∀x ∈ U(c),

где Pn(x) - многочлен Тейлора степени n,аrn = ◦((x − c)n), x → c - остаточный членформулы Тейлора.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 9 / 29

Page 29: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора

Отбросив rn, получим приближенную формулу

f (x) ≈ Pn(x).

Чем больше n и ближе x к c , тем точнееданная формула.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 10 / 29

Page 30: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора

Отбросив rn, получим приближенную формулу

f (x) ≈ Pn(x).

Чем больше n и ближе x к c , тем точнееданная формула.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 10 / 29

Page 31: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора

Пример:

sinπ

6= 0.5,

π

6≈ 0.5236.

sin x = x + ◦(x2) ≈ x , sinπ

6≈ 0.5236.

sin x = x− x3

3!+◦(x4) ≈ x− x3

3!, sin

π

6≈ 0.4997.

sin x = x − x3

3!+

x5

5!+ ◦(x6) ≈ x − x3

3!+

x5

5!,

sinπ

6≈ 0.500003.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29

Page 32: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора

Пример:sin

π

6= 0.5,

π

6≈ 0.5236.

sin x = x + ◦(x2) ≈ x , sinπ

6≈ 0.5236.

sin x = x− x3

3!+◦(x4) ≈ x− x3

3!, sin

π

6≈ 0.4997.

sin x = x − x3

3!+

x5

5!+ ◦(x6) ≈ x − x3

3!+

x5

5!,

sinπ

6≈ 0.500003.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29

Page 33: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора

Пример:sin

π

6= 0.5,

π

6≈ 0.5236.

sin x = x + ◦(x2) ≈ x , sinπ

6≈ 0.5236.

sin x = x− x3

3!+◦(x4) ≈ x− x3

3!, sin

π

6≈ 0.4997.

sin x = x − x3

3!+

x5

5!+ ◦(x6) ≈ x − x3

3!+

x5

5!,

sinπ

6≈ 0.500003.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29

Page 34: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора

Пример:sin

π

6= 0.5,

π

6≈ 0.5236.

sin x = x + ◦(x2) ≈

x , sinπ

6≈ 0.5236.

sin x = x− x3

3!+◦(x4) ≈ x− x3

3!, sin

π

6≈ 0.4997.

sin x = x − x3

3!+

x5

5!+ ◦(x6) ≈ x − x3

3!+

x5

5!,

sinπ

6≈ 0.500003.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29

Page 35: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора

Пример:sin

π

6= 0.5,

π

6≈ 0.5236.

sin x = x + ◦(x2) ≈ x ,

sinπ

6≈ 0.5236.

sin x = x− x3

3!+◦(x4) ≈ x− x3

3!, sin

π

6≈ 0.4997.

sin x = x − x3

3!+

x5

5!+ ◦(x6) ≈ x − x3

3!+

x5

5!,

sinπ

6≈ 0.500003.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29

Page 36: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора

Пример:sin

π

6= 0.5,

π

6≈ 0.5236.

sin x = x + ◦(x2) ≈ x , sinπ

6≈ 0.5236.

sin x = x− x3

3!+◦(x4) ≈ x− x3

3!, sin

π

6≈ 0.4997.

sin x = x − x3

3!+

x5

5!+ ◦(x6) ≈ x − x3

3!+

x5

5!,

sinπ

6≈ 0.500003.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29

Page 37: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора

Пример:sin

π

6= 0.5,

π

6≈ 0.5236.

sin x = x + ◦(x2) ≈ x , sinπ

6≈ 0.5236.

sin x = x− x3

3!+◦(x4) ≈

x− x3

3!, sin

π

6≈ 0.4997.

sin x = x − x3

3!+

x5

5!+ ◦(x6) ≈ x − x3

3!+

x5

5!,

sinπ

6≈ 0.500003.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29

Page 38: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора

Пример:sin

π

6= 0.5,

π

6≈ 0.5236.

sin x = x + ◦(x2) ≈ x , sinπ

6≈ 0.5236.

sin x = x− x3

3!+◦(x4) ≈ x− x3

3!,

sinπ

6≈ 0.4997.

sin x = x − x3

3!+

x5

5!+ ◦(x6) ≈ x − x3

3!+

x5

5!,

sinπ

6≈ 0.500003.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29

Page 39: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора

Пример:sin

π

6= 0.5,

π

6≈ 0.5236.

sin x = x + ◦(x2) ≈ x , sinπ

6≈ 0.5236.

sin x = x− x3

3!+◦(x4) ≈ x− x3

3!, sin

π

6≈ 0.4997.

sin x = x − x3

3!+

x5

5!+ ◦(x6) ≈ x − x3

3!+

x5

5!,

sinπ

6≈ 0.500003.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29

Page 40: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора

Пример:sin

π

6= 0.5,

π

6≈ 0.5236.

sin x = x + ◦(x2) ≈ x , sinπ

6≈ 0.5236.

sin x = x− x3

3!+◦(x4) ≈ x− x3

3!, sin

π

6≈ 0.4997.

sin x = x − x3

3!+

x5

5!+ ◦(x6) ≈

x − x3

3!+

x5

5!,

sinπ

6≈ 0.500003.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29

Page 41: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора

Пример:sin

π

6= 0.5,

π

6≈ 0.5236.

sin x = x + ◦(x2) ≈ x , sinπ

6≈ 0.5236.

sin x = x− x3

3!+◦(x4) ≈ x− x3

3!, sin

π

6≈ 0.4997.

sin x = x − x3

3!+

x5

5!+ ◦(x6) ≈ x − x3

3!+

x5

5!,

sinπ

6≈ 0.500003.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29

Page 42: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора

Пример:sin

π

6= 0.5,

π

6≈ 0.5236.

sin x = x + ◦(x2) ≈ x , sinπ

6≈ 0.5236.

sin x = x− x3

3!+◦(x4) ≈ x− x3

3!, sin

π

6≈ 0.4997.

sin x = x − x3

3!+

x5

5!+ ◦(x6) ≈ x − x3

3!+

x5

5!,

sinπ

6≈ 0.500003.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29

Page 43: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

ОпределениеФункция f (x) называется возрастающей(убывающей) на (a, b), если ∀x1, x2 ∈ (a, b),x1 < x2: f (x1) ≤ f (x2) (f (x1) ≥ f (x2)).

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 12 / 29

Page 44: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

ОпределениеФункция f (x) называется возрастающей(убывающей) на (a, b), если ∀x1, x2 ∈ (a, b),x1 < x2: f (x1) ≤ f (x2) (f (x1) ≥ f (x2)).

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 12 / 29

Page 45: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

ОпределениеФункция f (x) называется строго возраста-ющей (строго убывающей) на (a, b), если∀x1, x2 ∈ (a, b), x1 < x2: f (x1) < f (x2) (f (x1) >f (x2)).

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 13 / 29

Page 46: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

ОпределениеВозрастающие и убывающие функции такженазываются монотонными.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 14 / 29

Page 47: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

Рис.: Возрастающая функция

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 15 / 29

Page 48: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

Рис.: Убывающая функция

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 16 / 29

Page 49: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

Обозначения

f (x) ∈ C (c), f (x) ∈ C (a, b), f (x) ∈ C [a, b] -функция f (x) непрерывна в точке c , наинтервале (a, b), на отрезке [a, b].

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 17 / 29

Page 50: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

Обозначенияf (x) ∈ C (c), f (x) ∈ C (a, b), f (x) ∈ C [a, b]

-функция f (x) непрерывна в точке c , наинтервале (a, b), на отрезке [a, b].

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 17 / 29

Page 51: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

Обозначенияf (x) ∈ C (c), f (x) ∈ C (a, b), f (x) ∈ C [a, b] -функция f (x) непрерывна в точке c , наинтервале (a, b), на отрезке [a, b].

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 17 / 29

Page 52: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

Обозначенияf (x) ∈ D(c), f (x) ∈ D(a, b), f (x) ∈ D[a, b]

-функция f (x) дифференцируема в точке c , наинтервале (a, b), на отрезке [a, b], т.е. имеетпроизводную f ′(x).

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 18 / 29

Page 53: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

Обозначенияf (x) ∈ D(c), f (x) ∈ D(a, b), f (x) ∈ D[a, b] -функция f (x) дифференцируема в точке c , наинтервале (a, b), на отрезке [a, b], т.е. имеетпроизводную f ′(x).

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 18 / 29

Page 54: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

Обозначенияf (x) ∈ D2(c), f (x) ∈ D2(a, b), f (x) ∈ D2[a, b]

-функция f (x) дважды дифференцируема вточке c , на интервале (a, b), на отрезке [a, b],т.е. имеет производные f ′(x), f ′′(x).

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 19 / 29

Page 55: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

Обозначенияf (x) ∈ D2(c), f (x) ∈ D2(a, b), f (x) ∈ D2[a, b] -функция f (x) дважды дифференцируема вточке c , на интервале (a, b), на отрезке [a, b],т.е. имеет производные f ′(x), f ′′(x).

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 19 / 29

Page 56: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

Теорема (достаточное условие монотонности)*

Пусть f (x) ∈ C [a, b], f (x) ∈ D(a, b). Если ∀x ∈(a, b) f ′(x) ≥ 0 (f ′(x) ≤ 0), то на отрезке [a, b]

функция f (x) возрастает (убывает).

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 20 / 29

Page 57: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

Теорема (достаточное условие монотонности)*Пусть f (x) ∈ C [a, b], f (x) ∈ D(a, b). Если ∀x ∈(a, b) f ′(x) ≥ 0 (f ′(x) ≤ 0), то на отрезке [a, b]

функция f (x) возрастает (убывает).

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 20 / 29

Page 58: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

Доказательство

Пусть x1, x2 ∈ [a, b] и x1 < x2.По теореме Лагранжаf (x2)− f (x1)

x2 − x1= f ′(c), c ∈ (x1, x2).

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 21 / 29

Page 59: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

ДоказательствоПусть x1, x2 ∈ [a, b] и x1 < x2.

По теореме Лагранжаf (x2)− f (x1)

x2 − x1= f ′(c), c ∈ (x1, x2).

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 21 / 29

Page 60: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

ДоказательствоПусть x1, x2 ∈ [a, b] и x1 < x2.По теореме Лагранжаf (x2)− f (x1)

x2 − x1= f ′(c), c ∈ (x1, x2).

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 21 / 29

Page 61: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

⇒ f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).

x2 − x1 > 0.

Если f ′(c) ≥ 0, то f (x2)− f (x1) ≥ 0,f (x2) ≥ f (x1) - f (x) возрастает.Если f ′(c) ≤ 0, то f (x2)− f (x1) ≤ 0,f (x2) ≤ f (x1) - f (x) убывает.�

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 22 / 29

Page 62: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

⇒ f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).

x2 − x1 > 0.

Если f ′(c) ≥ 0, то f (x2)− f (x1) ≥ 0,f (x2) ≥ f (x1) - f (x) возрастает.Если f ′(c) ≤ 0, то f (x2)− f (x1) ≤ 0,f (x2) ≤ f (x1) - f (x) убывает.�

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 22 / 29

Page 63: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

⇒ f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).

x2 − x1 > 0.

Если f ′(c) ≥ 0, то

f (x2)− f (x1) ≥ 0,f (x2) ≥ f (x1) - f (x) возрастает.Если f ′(c) ≤ 0, то f (x2)− f (x1) ≤ 0,f (x2) ≤ f (x1) - f (x) убывает.�

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 22 / 29

Page 64: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

⇒ f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).

x2 − x1 > 0.

Если f ′(c) ≥ 0, то f (x2)− f (x1) ≥ 0,

f (x2) ≥ f (x1) - f (x) возрастает.Если f ′(c) ≤ 0, то f (x2)− f (x1) ≤ 0,f (x2) ≤ f (x1) - f (x) убывает.�

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 22 / 29

Page 65: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

⇒ f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).

x2 − x1 > 0.

Если f ′(c) ≥ 0, то f (x2)− f (x1) ≥ 0,f (x2) ≥ f (x1)

- f (x) возрастает.Если f ′(c) ≤ 0, то f (x2)− f (x1) ≤ 0,f (x2) ≤ f (x1) - f (x) убывает.�

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 22 / 29

Page 66: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

⇒ f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).

x2 − x1 > 0.

Если f ′(c) ≥ 0, то f (x2)− f (x1) ≥ 0,f (x2) ≥ f (x1) - f (x) возрастает.

Если f ′(c) ≤ 0, то f (x2)− f (x1) ≤ 0,f (x2) ≤ f (x1) - f (x) убывает.�

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 22 / 29

Page 67: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

⇒ f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).

x2 − x1 > 0.

Если f ′(c) ≥ 0, то f (x2)− f (x1) ≥ 0,f (x2) ≥ f (x1) - f (x) возрастает.Если f ′(c) ≤ 0, то

f (x2)− f (x1) ≤ 0,f (x2) ≤ f (x1) - f (x) убывает.�

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 22 / 29

Page 68: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

⇒ f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).

x2 − x1 > 0.

Если f ′(c) ≥ 0, то f (x2)− f (x1) ≥ 0,f (x2) ≥ f (x1) - f (x) возрастает.Если f ′(c) ≤ 0, то f (x2)− f (x1) ≤ 0,

f (x2) ≤ f (x1) - f (x) убывает.�

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 22 / 29

Page 69: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

⇒ f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).

x2 − x1 > 0.

Если f ′(c) ≥ 0, то f (x2)− f (x1) ≥ 0,f (x2) ≥ f (x1) - f (x) возрастает.Если f ′(c) ≤ 0, то f (x2)− f (x1) ≤ 0,f (x2) ≤ f (x1)

- f (x) убывает.�

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 22 / 29

Page 70: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Монотонность функции

⇒ f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).

x2 − x1 > 0.

Если f ′(c) ≥ 0, то f (x2)− f (x1) ≥ 0,f (x2) ≥ f (x1) - f (x) возрастает.Если f ′(c) ≤ 0, то f (x2)− f (x1) ≤ 0,f (x2) ≤ f (x1) - f (x) убывает.�

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 22 / 29

Page 71: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Экстремум функции

ОпределениеТочка c называется стационарной точкойфункции f (x), если f ′(c) = 0.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 23 / 29

Page 72: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Экстремум функции

ОпределениеТочка c называется стационарной точкойфункции f (x), если f ′(c) = 0.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 23 / 29

Page 73: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Экстремум функции

ОпределениеТочка c называется критической точкойфункции f (x), если f ′(c) равен нулю или несуществует.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 24 / 29

Page 74: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Экстремум функции

ОпределениеТочка c называется точкой локальногомаксимума (минимума) функции f (x),если существует некоторая окрестность этойточки U(c) такая, что ∀x ∈ U(c) f (x) ≤ f (c)

(f (x) ≥ f (c)).

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 25 / 29

Page 75: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Экстремум функции

ОпределениеТочки локального максимума и минимуматакже называются точками экстремума.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 26 / 29

Page 76: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Экстремум функции

ОпределениеЗначение функции f (x) в точке локальногомаксимума (минимума) называетсялокальным максимумом(минимумом) или экстремумомфункции.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 27 / 29

Page 77: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Экстремум функции

Рис.: Точки экстремумаМА, Модуль 3, Лекция 3.3 28 / 29

Page 78: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом

Экстремум функции

x1min, x2min - точки локального минимума,

x1max , x2max - точки локального максимума.

МА, Модуль 3, Лекция 3.3 29 / 29