휨강성을 고려한 다중주파수 하중이 작용하는 케이블의 동적응답...

공학석사학위논문

휨강성을 고려한

다중주파수 하중이 작용하는

케이블의 동적응답 안정화 기법

A Stabilization Scheme with the Flexural Rigidity

for Dynamic Responses of Cables

Subjected to Multi-frequency Loads

2010 년 2 월

서울대학교 대학원

건설환경공학부

김 현 수

i

초 록

이 논문에서는 집중하중이 작용하는 케이블 진동 실험시 생기는 가속도 응

답의 문제점을 케이블에 휨강성을 적용하여 응답의 정확성 확보와 안정화

기법을 제안한다.

최근 케이블 교량의 건설이 증가하고 있고 인천대교, 광양대교와 같이

경간의 길이도 증가되고 있는 추세이다. 이러한 추세에 따라 교량의 하중

을 지탱하는 케이블의 특성을 정확히 파악하는 것이 더욱 중요하게 여겨지

고 있다. 특히, 경간이 길어지면서 케이블의 지배진동수, 댐핑 특성 등 동

적인 응답 파악에 대한 연구와 실험이 활발하게 진행되고 있다.

기존의 케이블 자유 진동 실험을 통해 구한 계측치와 해석치를 비교한

결과 변위는 정확하게 해석이 되었지만, 속도와 가속도의 경우에는 계측치

와 큰 차이가 있다는 것을 확인 하였다. 이러한 응답을 이용하여 케이블의

거동을 알아보는 데 한계점이 존재한다.

기존에 느슨한 케이블의 변위 안정화를 위해 사용하였던 케이블의 휨강

성을 팽팽한 케이블에도 적용하여 케이블의 동적응답 해석시 안정한 가속

도를 계산한다. 해석에는 탄성현수선 요소를 이용한 케이블의 정적 해석

및 동적 해석 기법을 적용한다. 휨강성은 보요소와 아치요소 두가지 방법

으로 적용하여 휨강성의 영향을 검증한다. 또한 케이블의 휨강성을 주파수

영역에서 추정하여 해석에 적용함으로써 더욱 향상된 해석 결과를 도출한

ii

다.

제안된 방법의 타당성을 검증하기 위해 다중 주파수로 가진하는 케이블

실험에 적용하여 휨강성의 영향을 확인한다. 이를 통해 본 연구에서 제안

된 케이블의 동해석시 휨강성을 고려하는 방법이 필요성을 제시한다.

주요어

안정화, 휨강성, 케이블, 자유진동, 동적 운동 방정식, 다중주파수 하중

학번: 2008-21021

iii

목 차

초록 ·················································································································· i

목차 ·················································································································· iii

그림목차 ········································································································· v

표목차 ·············································································································· viii

1. 서론 ············································································································ 1

2. 기존 연구 분석 ······················································································· 4

2.1 해석 모델 ······························································································ 4

2.1.1 실험체 제원 ··················································································· 4

2.1.2 해석 모델링 ··················································································· 6

2.2 기존 연구 결과 ···················································································· 7

2.3 기존 연구의 한계점 ············································································ 11

2.4 개선 방안 ······························································································ 16

3. 케이블 운동 방정식 ·············································································· 18

3.1 축강성 요소 ·························································································· 18

iv

3.1.1 탄성 현수선 케이블의 정적 해석 ············································· 18

3.1.2 케이블의 동적 운동 방정식 ······················································· 26

3.1.3 주파수 영역 해석 ········································································· 30

3.1.4 시간 영역 해석 ············································································· 33

3.2 휨강성 요소 ·························································································· 37

3.2.1 보요소 ····························································································· 38

3.2.2 아치요소 ························································································· 43

4. 적용 예제 ·································································································· 50

4.1 휨강성 적용 ·························································································· 50

4.1.1 보요소 적용 결과 ········································································· 50

4.1.2 아치요소 적용 결과 ····································································· 54

4.1.3 케이블 가속도의 안정화 ····························································· 57

4.1.4 보요소와 아치요소 비교 ····························································· 63

4.2 휨강성 변화 ·························································································· 67

5. 결론 ············································································································ 79

참고문헌 ········································································································· 81

부록 ·················································································································· 82

v

그 림 목 차

그림 2.1 설치된 케이블의 전경 ·································································· 5

그림 2.2 실험을 위한 케이블의 모델링 ···················································· 5

그림 2.3 이상화된 sudden release 하중과 gradual release 하중 ················ 7

그림 2.4 요소 수에 따른 케이블 중앙 측정점에서의 변위 결과 ········· 8

그림 2.5 요소 수에 따른 케이블 중앙 측정점에서의 가속도 결과 ····· 9

그림 2.6 요소 수에 따른 가속도 응답 FFT 해석 결과 ··························· 10

그림 2.7 가속도 1 차 모드와 3 차 모드 응답 분석 결과 ······················ 13

그림 2.8 가속도 5 차 모드 응답 분석 결과 ············································· 14

그림 2.9 가속도 7 차 모드 응답 분석 결과 ············································· 15

그림 3.1 3 차원 탄성현수선 케이블에 대한 좌표계 ································ 19

그림 3.2 케이블 세그먼트의 자유 물체도 ················································ 20

그림 3.3 변위가 발생한 탄성 현수선의 두 절점의 상대적 위치 ········ 24

그림 3.4 케이블 세그먼트의 자유 물체도 ················································ 26

그림 3.5 보요소와 결합된 케이블 요소 ···················································· 38

vi

그림 3.6 보 요소 ···························································································· 39

그림 3.7 아치 요소가 결합된 케이블 ························································ 44

그림 3.8 아치 요소 좌표게 ··········································································· 45

그림 4.1 보요소 적용시 가속도 응답 비교 ·············································· 52

그림 4.2 보요소 적용시 변위 응답 비교 ·················································· 52

그림 4.3 보요소 적용시 가속도 응답 FFT 해석 비교 ··························· 53

그림 4.4 아치요소 적용시 가속도 응답 비교 ·········································· 55

그림 4.5 아치요소 적용시 변위 응답 비교 ·············································· 56

그림 4.6 아치요소 적용시 가속도 응답 FFT 해석 결과 비교 ·············· 57

그림 4.7 케이블 요소와 보요소 개수 증가에 따른 가속도 비교 ········ 58

그림 4.8 케이블 요소와 아치요소 형상 함수 증가에 따른

가속도 비교 ·····················································································

59

그림 4.9 휨강성 적용 유무에 따른 가속도 응답 FFT 해석 결과 비교 61

그림 4.10 휨강성 적용 유무에 따른 변위 응답 FFT 해석 결과 비교 61

그림 4.11 휨강성 적용 방법에 따른 가속도 응답 비교 ························ 65

그림 4.12 휨강성 적용 방법에 따른 변위 응답 비교 ···························· 66

vii

그림 4.13 케이블 단면 형상 ········································································ 68

그림 4.14 휨강성 변화에 따른 가속도 응답 비교 (0~20 초) ················· 71

그림 4.15 휨강성 변화에 따른 가속도 응답 확대 비교 (5~9 초) ········· 72

그림 4.16 최적 휨강성 적용시 변위 응답 ················································ 73

그림 4.17 휨강성의 변화에 따른 가속도 FFT 해석 ································· 73

그림 4.18 최적화 휨강성 적용시 가속도 1 차와 3 차 모드 응답

분석 결과 ······················································································

75

그림 4.19 최적화 휨강성 적용시 가속도 5 차 모드 응답 분석 결과 ·· 76

그림 4.20 최적화 휨강성 적용시 가속도 7 차 모드 응답 분석 결과 ·· 77

viii

표 목 차

표 2.1 케이블의 물성치 ················································································ 6

표 4.1 가속도 지배진동수 및 주파수 영역 해석 비교···························· 62

1

1. 서론

케이블은 단면에 비해 길이가 상당히 긴 구조체로써 무게가 가볍고, 강한

인장력에 저항할 수 있는 특성을 지니므로 토목 구조물뿐만 아니라 해양

구조물이나 전기분야에서도 많이 사용되고 있다. 19 세기부터 시작된 현대

적인 의미에서의 케이블 교량의 건설은 근래에 와서 국내에서도 활발히 진

행되고 있다. 20 세기 후반부터 케이블 교량의 건설이 증가하고 있고 인천

대교, 광양대교와 같이 경간의 길이도 증가되고 있는 추세이다. 이러한 추

세에 따라 교량의 하중을 지탱하는 케이블의 특성을 정확히 파악하는 것이

더욱 중요하게 여겨지고 있다. 특히, 경간이 길어지면서 케이블의 지배진동

수, 댐핑 특성 등 동적인 응답 파악에 대한 연구와 실험이 활발하게 진행

되고 있다. 케이블이 길어지면서 케이블 자체의 진동을 억제하기 위하여

케이블 앵커리지 부분에 댐퍼를 설치하거나 Stabilizing 케이블을 설치하고

있다. 이러한 부재들은 케이블에 집중 하중으로 작용되고 있다. 풍하중이나

지진하중이 작용하여 케이블에 진동을 일으킬 때 응답에 국부적인 특이 현

상은 없는지 아직 알려져 있지 않다.

케이블의 특성을 파악하기 위한 실험 및 연구는 최근 30 여 년간 꾸준

히 진행되어 왔다. Irvine 등은 수평 케이블을 정적 평형상태에서 포물선 형

상을 가진다고 가정하고 선형이론을 사용하여 케이블의 자유 진동 특성을

연구하였다(Irvine, 1974). 국내에서도 안성섭의 박사 논문에서 케이블을 탄

2

성 현수선 요소로 가정하여 단순 지지된 경사 케이블의 자유 진동 특성에

관한 연구를 수행하였다(안성섭, 1997). 이러한 지금까지의 연구는 케이블의

자유 진동 구간에서의 감쇠 특성을 파악하는데 중점을 두고 있었으며 집중

하중이 작용할 때의 가속도 응답 자체에 초점을 두지 않고 있다. 변위의

응답을 이용하여 케이블의 감쇠비를 추정한 연구(류근원, 2008)도 있지만,

일반적으로 측정하기 용이한 가속도 응답에 관한 연구 실정은 미비한 현실

이다. 또한 집중 하중을 제거하는 자유 진동 실험 연구에서 변위는 정확하

게 해석이 되지만, 속도와 가속도의 경우에는 계측치와 큰 차이가 있다는

것을 확인 하였다. 이러한 응답을 이용하여 케이블의 거동을 파악하는 데

한계점이 존재한다.

이 논문에서는 가속도 응답의 문제점을 분석하여 해결하고 동해석시 다

양한 하중에도 적용 가능한 정교한 케이블 모델링 기법을 제시하고자 한다.

집중하중을 제거하는 자유진동 실험의 경우, 가속도 응답에는 많은 고주파

성분이 존재하여 기존의 수학적 모델에 의해서는 정확히 가속도를 모사할

수 없었다. 이는 케이블의 휨강성을 무시하고 축 방향의 강성만을 고려하

는 수학적 모델의 한계로 파악되어 휨강성을 적용하여 케이블의 응답을 정

확히 찾아내고자 한다. 휨강성은 일반적으로 느슨한 케이블의 수치적 불안

정성을 해결하고자 사용되어 왔지만, 본 연구에서 팽팽한 케이블에 적용시

켜 다중 주파수 하중으로 인하여 생기는 정확성의 문제를 해결하고자 한다.

보요소(박연철, 2006)와 아치요소(윤상훈, 2008)로 휨강성을 적용하여 가속도

3

응답을 해석하여 기존 연구와 비교한다. 케이블 모델은 케이블을 탄성현수

선 요소로 가정하여 자중 및 외부 하중을 받는 케이블의 정적, 동적 운동

방정식을 유도하고 유도된 운동 방정식의 변분식을 제시한다. 유도된 운동

방정식의 변분식은 케이블 위치에 대한 비선형 방정식이 되지만 강성도 행

렬에 자중을 받는 케이블의 장력을 반영하여 선형화하고 Newton-Raphson

방법에 기초한 반복 계산 없이 선형화된 증분식을 유도하고, 보요소는 유

한요소법, 아치요소는 Rayleigh-Ritz 법을 사용하여 이산화한다. 시간영역 해

석은 일반적으로 널리 알려진 Newmark-β법을 이용하여 해를 구한다.

실제 케이블이 진동할 때 발현하는 휨강성을 주파수 영역에서 오차가

최소가 되도록 추정하여 가속도 응답의 정확도를 높이고자 한다. 케이블의

응답은 계측치와 비교하여 그 타당성을 검증한다.

4

2. 기존 연구 분석

기존의 케이블 진동 실험은 단일 케이블을 대상으로 집중 하중을 재하한

후 하중을 제거하여 케이블의 자유진동 응답을 구하는 실험이었다. 실험

결과와 해석 결과를 비교하였을 때 변위의 응답은 안정화 되어 있고 정확

한 편이었지만, 가속도 응답은 급격한 변화를 나타내며 부정확한 결과를

나타내었다. 기존 연구 결과를 분석하여 해결책을 제시하고자 한다.

2.1 해석 모델

2.1.1 실험체 제원

그림 2.1 은 실험을 수행한 케이블의 전경이며, 그림 2.2 는 해석을 위해 실

험을 모델링한 구조물을 나타내고 있다. 자세한 케이블의 제원은 표 2.1 에

주어져 있다. 실험에 사용된 케이블의 1 차 모드 진동수는 1.52Hz, 새그비

는 1/310 이었다. 가속도계는 각각 케이블의 1/2, 3/8, 1/4 의 지점에 설치하였

으며, 변위 측정을 위한 LVDT 는 케이블의 중앙 지점에 가속도계와 함께

설치하여 1/100 초마다 측정되었다. 자유진동 실험을 위한 하중 100kg 과

강제진동 실험을 위한 가진기는 케이블의 중앙지점에 설치하였다.

5

그림 2.1 설치된 케이블의 전경

가속도계#1

가속도계#2

변위계#1 가속도계#3

43.866 m

6.43 m

100

그림 2.2 실험을 위한 케이블의 모델링

6

2.1.2 해석 모델링

기존 연구에서 케이블의 시간 이력 해석을 위한 케이블의 유한요소모델은

3 절점 케이블 요소를 사용하였다. 강성도 행렬 계산에는 3 점 Gauss

quadrature 법이 사용되었고, 질량 행렬 계산에는 2 점 Gauss quadrature 가 사

용되었다. 해석 시간스텝은 1/1000 초이었다. 계측치와 비교지점은 모두 케

이블 중앙 지점의 응답이다.

댐핑계수는 케이블 댐핑을 추정한 연구(류근원, 2008)에서 구한 케이블

의 Rayleigh 댐핑계수 20 10383.2 −×=a , 5

1 10685.5 −×=a 를 사용하였다. 하

중의 경우에는 실제적으로 하중을 순간적으로 제거하는 것은 불가능하므로,

가속도의 불안정성을 해소하기 위해서 하중의 sudden release 모델링을 그림

2.3 과 같이 모델링 한다. 이상적인 하중의 형태는 step function 형태이지만,

그림 2.3 의 gradual release 하중을 모델링 한다. Gradual release 하중 모델은

식 (2.1)과 같다. 하중은 약 0.03 초가 되면 모두 제거가 되며 해석 시간 스

표 2.1 케이블의 물성치

탄성계수 (GPa)

단위길이당 질량

(kg/m)

유효 단면적 (mm2)

무응력길이

(L0) (m)

케이블 유효지름

(mm)

케이블 겉보기지름

(mm)

200 20.3 2348 44.304 54.7 59.5

7

텝을 0.001 초로 하였기 때문에 하중이 제거되는 동안 시간스텝이 약 30 번

포함되게 된다.

2 1500

0)( tePtP π−= (2.1)

2.2 기존 연구 결과

기존 연구의 해석 모델을 가지고 해석한 케이블 중앙지점에서의 변위 응답

은 그림 2.4 와 같다. 변위 응답은 약간의 주파수 오차가 존재하지만 꽤 정

확한 응답을 나타내고 있다. 또한 케이블 요소의 개체 수를 늘려도 일관성

이 있는 응답을 나타내고 있다. 하지만 그림 2.5 의 케이블 중앙지점에서의

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

Gradual releaseIdeal sudden release

Load

(N)

Time (sec)

그림 2.3 이상화된 sudden release 하중과 gradual release 하중

8

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0

Measured 20 elem.

Dis

plac

emen

t (m

)

Time (sec) (a) 20 개의 element 를 사용

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0

Measured 40 elem.

Dis

plac

emen

t (m

)

Time (sec) (b) 40 개의 element 를 사용

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0

Measured 80 elem.

Dis

plac

emen

t (m

)

Time (sec) (c) 80 개의 element 를 사용

그림 2.4 요소 수에 따른 케이블 중앙 측정점에서의 변위 결과

9

-20.0

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0Measured 20 elem.

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )


-20.0

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0Measured 40 elem.

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )


-20.0

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0Measured 80 elem.

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )


그림 2.5 요소 수에 따른 케이블 중앙 측정점에서의 가속도 결과

10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50

Measured20 elem.

Frequency (Hz) (a) 20 개의 element 를 사용

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50

Measured40 elem.

Frequency (Hz) (b) 40 개의 element 를 사용

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50

Measured80 elem.

Frequency (Hz) (c) 80 개의 element 를 사용

그림 2.6 요소 수에 따른 가속도 응답 FFT 해석 결과

11

가속도 응답의 경우에는 계측치와 응답 결과가 전혀 다를 뿐만 아니라 요

소 숫자가 증가할수록 일관적인 결과를 나타내지 못하였고 감쇠를 적용하

지 않으면 발산하는 결과를 나타내었다. 중앙지점에서의 20 초 동안의 가속

도 응답을 FFT(Fast Fourier Transform)해석을 하여 케이블의 지배진동수를

확인한 결과는 그림 2.6 과 같다. 그림 2.6 을 보면 10Hz 이상부터 해석치와

계측치의 지배진동수가 맞지 않을 뿐더러 요소 개수의 변화에 따라서 응답

해석 결과가 달라진다는 것을 알 수 있다.

2.3 기존 연구의 한계점

기존 연구 결과를 바탕으로 한계점을 분석해 보았을 때, 가장 먼저 가속도

의 진폭이 불안정하고 부정확하다는 것을 알 수 있다. 또한 그 응답 자체

가 마치 Dirac-delta function 과 같이 매우 급격하게 변화 하였다. 두번째로

변위 응답은 일치하지만, 가속도는 계측치와 해석치 사이에 상당히 큰 오

차가 발생하는 것을 알 수 있으며, 마지막으로 FFT 해석한 결과를 통하여

알 수 있듯이 10Hz 이상의 고주파 영역 부분에서 큰 오차를 나타내고 있다.

고주파 영역에서의 오차를 확실하게 파악하기 위해 케이블 요소 40 개

를 사용했을 때 각 모드별로 계측치와의 차이를 분석해 보았다. 1 차 모드

와 3 차 모드를 나타낸 그래프가 그림 2.7 이다. 1 차 모드와 3 차 모드의 응

12

답은 계측치와 해석치가 큰 차이가 나지 않는 것을 확인할 수 있다. 3 차

모드의 경우에는 댐핑의 영향으로 진폭은 맞지 않지만 주파수는 유사함을

알 수 있다. 이 두가지 모드를 합한 가속도를 나타낸 그래프가 그림 2.7 의

(c)이다. 이를 보면 1, 3 차 모드만을 합한 가속도 응답은 계측치의 1,3 차

모드를 합한 것과 거의 유사하다. 진폭의 차이는 감쇠비의 차이로 생각이

된다. 기존의 연구가 1 차 모드의 감쇠비를 추정하는 목적이었기 때문에 그

이상의 모드 감쇠비는 오차가 존재하기 때문이다. 이를 보아 저차모드는

비교적 정확한 가속도 응답을 나타낸다고 할 수 있다. 그림 2.8 은 계측치

와 해석치의 5 차 모드 응답을 나타낸 그래프이다. 5 차 모드의 경우에는 지

배진동수의 차이로 인하여 2 초 이후부터 위상차이가 뚜렷하게 나타남을

알 수 있다. 1 차에서 5 차 모드까지 결합한 그림 2.8 의 (b)그래프를 보면 3

차 모드까지 결합했을 때는 계측치와 해석치의 오차가 거의 없었지만, 5 차

모드 응답까지 합해지면서 2 초 이후부터 가속도 응답이 크게 달라짐을 알

수 있다. 7 차 모드까지 결합한 그림 2.9 를 보면 더욱 확연하게 이를 확인

할 수 있다. 주파수 분해 분석을 통하여 계측치와 해석치의 고차모드 지배

진동수의 차이가 전체 응답에 많은 영향을 끼친다는 것을 명백히 알 수 있

다.

이러한 문제점을 개선하기 위하여 원인을 분석해 보았다. 케이블 자유

진동 실험에서는 집중하중 재하시에 1 차 모드 외에 다양한 고차모드의 응

답이 존재하게 된다. 이러한 고차모드의 형상은 상당히 큰 곡률을 가지고

13

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Measured Analysis

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time(sec) (a) 1 차 모드 가속도 응답

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Measured Analysis

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time(sec) (b) 3 차 모드 가속도 응답

-6.0

-4.0

-2.0

0.0

2.0

4.0

6.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0Measured Analysis

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time(sec) (c) 1 차 모드와 3 차 모드 결합한 가속도 응답

그림 2.7 가속도 1 차 모드와 3 차 모드 응답 분석 결과

14

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

MeasuredAnalysis

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )


-8.0

-6.0

-4.0

-2.0

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

MeasuredAnalysis

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time(sec) (b) 5 차 모드까지 결합한 가속도 응답

그림 2.8 가속도 5 차 모드 응답 분석 결과

15

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

MeasureAnalysis

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )


-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

MeasuredAnalysis

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )


그림 2.9 가속도 7 차 모드 응답 분석 결과

16

있어 축강성 만으로 응답을 나타내는데 한계가 있기 때문으로 파악된다.

케이블 요소는 단면에 비해 길이가 상당히 긴 기하형상을 가진 구조물이지

만, 곡률이 커지게 되면서 일반적인 케이블의 기하형상과 달라지게 되면서

케이블과는 다른 거동을 나타나는 것으로 사료된다. 또한 집중하중 제거

시 생기는 고차모드의 응답 오차가 가속도 응답의 오차를 유발하는 부분으

로 분석된다. 1,3 차 모드의 경우에는 지배진동수의 차이가 거의 없지만, 5

차 모드 지배진동수(7.3Hz 부근)부터는 주파수의 차이가 점점 커지기 시작

한다. 집중하중의 경우에는 전체 응답에 대한 고차모드 응답의 영향을 무

시할 수 없기 때문에 주파수의 차이가 전체 응답에 많은 영향을 끼치는 것

으로 파악된다.

2.4 개선 방안

기존 연구를 통해 드러난 한계점을 개선하기 위하여 본 연구에서 휨강성을

도입한 해석법을 제시하고자 한다. 기존에 연구된 바로 케이블의 휨강성은

느슨한 케이블의 동해석시 압축력이 작용하여 해석이 되지 않는 문제를 해

결하고자 주로 사용되었으나 본 연구에서는 느슨한 케이블 뿐만 아니라 팽

팽한 케이블에도 도입시키고자 한다. 케이블의 휨강성을 적용함으로써 케

이블의 고차모드 응답 추출에 정확성을 더해줄 것으로 파악된다. 휨강성은

17

저차모드 보다 고차모드 주파수에 큰 영향을 끼치는 걸로 파악되기 때문에

고차모드 주파수 오차를 줄이는데 있어 적용 가능성이 높을 것으로 예상된

다.

케이블의 휨강성을 고려하는 기존 연구로는 보요소(박연철, 2006)와 아

치요소(윤상훈, 2007)가 있다. 보요소의 경우에는 유한요소 모델에 적용되며

케이블의 곡선 형상을 모델링 하는데 어려움이 있다. Sine 파 형상함수의

케이블 요소를 사용하였을 때 아치요소가 사용되며 아치요소의 고차 미분

항의 경우에는 계산에 sine 파 형상함수의 사용이 계산에 용이한 점이 있다.

18

3. 케이블 운동 방정식

이 장에서는 자중 및 외부 하중을 받는 케이블의 정적, 동적 운동방정식을

유도하고 유도된 운동 방정식의 변분식을 제시한다. 유도된 운동방정식의

변분식은 케이블 위치에 대한 비선형 방정식으로 도출되므로 Newton-

Raphson 방법에 기초한 반복 계산으로 풀기 위하여 선형화된 증분식을 유

도한다. 이를 이용하여 Newmark- β 법과 같은 수치해석법을 이용하여 시간

이력 해석을 수행한다.

휨강성 요소로 보요소와 아치요소를 적용하는 식을 각각 유도하여 케이

블의 운동방정식과 함께 해석하는 방법을 제시하고자 한다.

3.1 축강성 요소

3.1.1 탄성 현수선 케이블의 정적 해석

그림 3.1 은 무응력 길이가 eL0 인 케이블 요소 e 의 좌표계를 보이고 있다.

무응력 상태에서의 라그랑지 좌표 s 에 의하여 표시된 케이블의 한 질점은

케이블이 변형한 후에는 카테시안 좌표계에서 xe 에 위치하게 된다. )(sp

는 원점으로부터 라그랑지 좌표 s 까지의 변형 후 케이블의 길이를 의미하

19

며 다음과 같이 정의된다.

∫ ++=s

dsdsdz

dsdy

dsdxsp

0

21

222 ))()()(()( (3.1a)

식 (3.1a)를 s 에 대하여 미분하여 정리하면 다음 같이 표시된다.

1)()()( 222 =++dpdz

dpdy

dpdx

(3.1b)

그림 3.2 는 케이블의 자중만 작용하고 있을 경우 케이블의 1 번 절점에서

임의 점까지의 자유 물체도를 보이고 있다. 케이블에는 인장력만 작용하게

되므로 평형방정식은 케이블의 인장력에 대하여 다음과 같이 표시된다.

그림 3.1 3 차원 탄성현수선 케이블에 대한 좌표계

x

z

y

xe (x,y,z)

),,( 2222 zyxex

),,( 1111 zyxex

p(s)

s eL0

20

01 =+ xFdpdxT , 01 =+ yF

dpdyT , 01 =++ wsF

dpdzT z (3.2)

여기서 T 는 점 )(sp 에서의 장력이고 1xF , 1

yF , 1zF 는 각각 1 번 절점에서

각 좌표 방향으로 작용하는 재단력이며 w 는 변형전 케이블의 단위길이

당 중량이다.

케이블이 소변형 거동을 할 경우 케이블의 변형도는 다음과 같이 정의

된다.

12

ε2

22

−=−

≅−

=dsdp

dsdsdp

dsdsdp

(3.3)

Hooke 의 법칙으로부터 케이블의 인장력을 다음과 같이 표시할 수 있다.

그림 3.2 케이블 세그먼트의 자유 물체도

x

z w s

e1F

1yF

y

)(sT

1xF

1zF

21

εEAT = (3.4)

여기서 E 는 영계수 (Young’s Modulus) 이고 A 는 변형 전의 케이블 단면적

이다. 식 (3.3)을 식 (3.4)에 대입하여 p 와 s 의 관계를 구할 수 있다.

1+=EAT

dsdp

(3.5)

자중만을 받는 케이블의 거동은 식 (3.1), 식 (3.2) 및 식 (3.5)의 5 개의

지배방정식으로 정의되며 미지수는 x, y, z, p, T 이다. 케이블의 지배방정식

을 적분하여 p, T 를 소거하고 x, y, z 를 독립변수 s 로 표현하면 케이블의 형

상을 구할 수 있다. 케이블의 지배방정식으로부터 직각 좌표계 x, y, z 와

변형 전의 라그랑지 좌표 s 의 대응관계를 다음과 같이 나타낸다.

)0()(0

xdsdsdp

dpdxsx

s

+= ∫

)0()(0

ydsdsdp

dpdysy

s

+= ∫

)0()(0

zdsdsdp

dpdzsz

s

+= ∫

(3.6)

식 (3.6)에서 케이블 양단의 경계조건은 다음과 같다.

1xx = , 1yy = , 1zz = at 0=s

2xx = , 2yy = , 2zz = at eLs 0= (3.7)

22

식 (3.1b)와 식 (3.2)로 부터 케이블의 장력을 1 번 절점의 재단력과 케이블

의 자중에 대하여 표시할 수 있다.

212121 )()()()( wsFFFsT zyx +++= (3.8)

식 (3.8)을 식 (3.2)에 대입하여 정리하면 다음과 같은 식을 구할 수 있다.

212121

1

)()()( wsFFF

Fdpdx

zyx

x

+++−= (3.9a)

212121

1

)()()( wsFFF

Fdpdy

zyx

y

+++−= (3.9b)

212121

21

)()()(

)(

wsFFF

wsFdpdz

zyx

z

+++

+−= (3.9c)

1)()()(1 212121 ++++= wsFFFEAds

dpzyx (3.9d)

식 (3.5)와 식 (3.8) 및 식 (3.9)의 관계식을 식 (3.6)에 대입하여 적분하고, s

= 0 에서의 경계 조건을 이용하면 자중이 재하된 케이블의 처짐 곡선을 구

할 수 있다.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−= −−

HF

HwsF

wF

sEAF

xsx zzxx1

11

111

1 sinhsinh)(

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−= −−

HF

HwsF

wF

sEAF

ysy zzyy1

11

111

1 sinhsinh)(

{ }21221221

1 )()(12

)( zzz FHwsFH

wEAwss

EAF

zsz +−++−−−=

(3.10)

23

여기서 2121 )()( yx FFH += 이다. 식 (3.10)에 eLs 0= 에서 경계조건을 적

용하면 다음과 같은 탄성현수선 케이블의 적합 조건식을 얻는다.

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−=φ=− −−

HF

HwLF

wF

LEAF

xx ze

zxexx

110

11

1

0

1

12 sinhsinh

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−φ=− −−

HF

HwLF

wF

LEAF

yy ze

zyeyy

110

11

1

0

1

12 sinhsinh

{ }21220

12

20

0

1

12

)()(1

2)(

ze

z

eez

z

FHwLFHw

EALwL

EAFzz

+−++−

−−==− φ

(3.11)

식 (3.11)의 케이블의 적합조건식은 다음과 같이 매트릭스 형태로 표시할

수 있다.

),( 01

eee LFφBx = (3.12)

여기서 TTeee zyxzyx ),,,,,(),( 22211121 == xxx 이며 B 는 다음과 같이 정의된

다.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

100100010010001001

B (3.13)

그림 3.3 에 보인 어떤 케이블 요소 e 의 평형상태에서의 양단 절점 위치가

기지의 기준 위치 e0x 에서 절점 1 과 절점 2 에서 발생한 변위 e

1u , e2u 에

24

의하여 결정되었다면 식 (3.12)는 다음과 같이 표시된다.

),()( 010

eeee LFφuxB =+ (3.14)

케이블 요소 e 의 외적 평형 조건은 다음과 같다.

eee L012 wFF −−= (3.15)

여기서 w = (0, 0, w)T 이다. 변위법에 기초한 일반적인 유한요소 해석법을

적용하기 위하여 케이블 요소 양단의 절점력을 절점 변위에 대하여 표시하

여야 한다. 그러나 식 (3.11)은 비선형 방정식이므로 증분형 관계식을 사

용하여야 한다. 식 (3.14)와 식 (3.15)의 증분식은 다음과 같다.

e1F

y

z

Node 2 x

w

Node 1

Fx

F y

F z

eu2

e u 1

e F 2

ex 2

e x 1

그림 3.3 변위가 발생한 탄성 현수선의 두 절점의 상대적 위치

25

),( 01eee LFφuB Δ=Δ

ee12 FF Δ−=Δ

(3.16)

식 (3.11)을 Taylor 전개하여 1 차 항까지 만 포함시키면 다음과 같다.

ee

zz

ez

yy

ez

xx

ez

zz

ey

yy

ey

xx

ey

zz

ex

yy

ex

xx

ex

ez

ey

ex

ee

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

FF

L 11

01 ),( FFφFφ Δ

∂∂

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Δ∂φ∂

+Δ∂φ∂

+Δ∂φ∂

Δ∂

φ∂+Δ

∂

φ∂+Δ

∂

φ∂

Δ∂φ∂

+Δ∂φ∂

+Δ∂φ∂

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

φΔφΔφΔ

=Δ (3.17)

여기서, 식 (3.17) 연성도 행렬에 대한 자세한 식은 부록 A 에 기술되어 있

다. 식 (3.17)을 식 (3.16)에 대입하여 절점력의 증분에 대하여 표시하면 다

음과 같다.

)()()()( 21211

1

1

11

eec

eee

ee

e

ee uukuu

FφuB

FφF Δ+Δ−=Δ+Δ−

∂∂

=Δ∂∂

=Δ −−

)( 2112ee

cee uukFF Δ−Δ=Δ−=Δ

(3.18)

식 (3.18)을 한 개의 행렬식으로 표시하면 최종적인 증분형 케이블 요소 강

성도 행렬식을 구할 수 있다.

eece

e

cc

cce

eec uK

u

ukk

kkF

FF Δ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ

Δ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ

Δ=Δ

2

1

2

1 (3.19)

26

3.1.2 케이블의 동적 운동 방정식

케이블의 동적 운동방정식은 가상일의 원리 정식화를 통하여 도출한다.(정

길제 등, 2008). 휨 강성이 없는 케이블의 무응력 상태의 형상은 유일하게

결정할 수 없으며, 장력이 케이블에 도입되면 케이블의 형상을 유일하게

결정할 수 있다. 케이블의 변형 후 형상은 무응력 상태의 형상에 무관하게

결정할 수 있다. 케이블의 무응력 상태에서 기준 형상을 무응력 상태에서

의 원점에 대한 길이로 정의되는 라그랑지(Lagrangian) 좌표 s 에 의하여 직

선으로 정의한다. 무응력 상태에서 라그랑지 좌표 s 에 위치하고 있던 케이

블의 한 질점은 변형 후에는 카테시안(Cartesian) 좌표계에서 x 에 위치하게

된다. )(sp 는 원점으로부터 라그랑지 좌표 s 까지의 변형 후 케이블의 길

이를 의미하며 다음과 같이 정의된다.

x

y qs

1F

)(sT

1xF

1yF 1yF

그림 3.4 케이블 세그먼트의 자유 물체도

27

∫ +=s

dsdsdy

dsdxsp

0

5.022 ))()(()( (3.20)

식 (3.20)을 s 에 대하여 미분하여 정리하면 p 와 s 의 관계를 유도할 수

있다.

5.022 ))()((

dsdy

dsdx

dsdp

+= (3.21)

Green 변형도의 정의에 의하여 동적 상태에서의 총 변형도를 다음 과 같이

표시할 수 있다.

{ }1)'()'(21)1)((

21

2222

2

22

−+=−=−

= yxdsdp

dsdsdpε (3.22)

위 식에서 ε 은 총 변형도이고, dsd ()()'= 이다. 동적 변위에 의하여 발생한

동적 Green 변형도는 다음과 같다.

))'()'((21''''))()((

21 2222

dddsdss

sd yxyyxxdsdp

dsdp

+++=−=−= εεε (3.23)

동적 상태에서의 이차 P-K 장력은 식(3.22)와 식 (3.23)을 Hooke 의 법칙에

적용하여 표시할 수 있다.

28

( )

sd

ss

TTdsdp

dsdp

dsdpEAyxEAEAT

~~)1)()()((

21)'()'(

222222

+=

−+−=−+== ε (3.24)

동적 상태에서의 평형방정식은 정적 평형방정식에 관성력을 고려하여 구성

한다.

00

1 =−+ ∫p

x dpxFdpdxT ρ , 0

00

1 =−++ ∫∫pp

y dpywdpFdpdyT ρ (3.25)

동적 상태에서의 Cauchy 장력 TpT ~'= 이고, w 와 ρ 는 각각 동적상태에서

의 단위 길이당 무게와 질량이다. 식 (3.25)를 p 에 대하여 미분하여 표시

하면 다음과 같다.

0)( =− xdpdxT

dpd ρ , 0)( =−+ yw

dpdyT

dpd ρ (3.26)

정적문제와 달리 동적 문제에서는 해석적 해를 구할 수 없다. 동적 문제의

수치적 해를 구하기 위하여 동적 운동방정식에 가중잔차법을 적용한다. 식

(3.26)을 p 에 대하여 미분하고, 미소 가상 동적 변위를 곱하여 적분하면

가중 잔차식을 구할 수 있다.

29

0)()(

)(

0

=−−=

−

∫∫

∫∫

ld

l

dl

d

ld

ld

dpxxdpdpdxT

dpxd

dpdxTx

dpxxdpdpdxT

dpdx

ρδδδ

ρδδ

0)()(

)(

0

=−+−=

−+

∫∫∫

∫∫∫

ld

ld

l

dl

d

ld

ld

ld

dpyywdpydpdpdyT

dpyd

dpdyTy

dpyywdpydpdpdyT

dpdy

ρδδδδ

ρδδδ

(3.27)

위식에서 l 은 동적 평형상태에서 변형된 케이블의 길이이다. 양단이 고정

되 케이블의 양단에서의 동적 가상 변위는 0 이므로 식(3.27)의 경계 적분

값은 항상 0 이다. 식 (3.27)의 적분 변수를 라그랑지 좌표 s 에 대하여 표

시하면 다음과 같다.

0~

)(

00

0

0

=+=

+

∫∫

∫∫

Ld

L

d

ld

l

d

dsxxdsdsdxT

dsxd

dpdpdsxxdp

dpds

dsdxT

dpds

dsxd

ρδδ

ρδδ

0~

)(

0 00

00

00

=−+=

−+

∫ ∫∫

∫ ∫∫

L Ldd

L

d

l ldd

l

d

dswydsxxdsdsdyT

dsxd

dpdpdswydp

dpdsyydp

dpds

dsdyT

dpds

dsyd

δρδδ

δρδδ

(3.28)

x -방향 및 y 방향의 가상 동적 변위는 서로 독립적이므로 식(3.28)의 두

식을 더하여 하나의 가중 잔차식으로 구성하여 표시할 수 있다.

30

( ) 0~

~~

000

0 0000

00

000

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=

−+++

∫∫∫

∫ ∫∫∫∫

Ld

L

dd

Ldd

L Ldd

Ld

L

d

L

d

dswydsdsdy

dsyd

dsdx

dsxdTdsyyxx

dswydsyydsxxdsdsdyT

dsydds

dsdxT

dsxd

δδδδδρ

δρδρδδδ

(3.29)

식 (3.23)에서 정의된 동적 변형도의 변분은 동적 변위에 대한 변분을 취하

여 구할 수 있다.

''''''''''' dddddddsdsd yyxxyyxxyyxx δδδδδδδε +=+++= (3.30)

식 (3.30)을 식 (3.29)에 대입하면 케이블의 동적 평형방적식에 대한 최종적

인 가중잔차식을 구할 수 있다.

( ) 0~

000

00 =−++ ∫∫∫L

dL

dL

dddd dswydsTdsyyxx δδεδδρ (3.31)

3.1.3 주파수 영역 해석

식 (3.29)는 비선형 방정식이기 때문에 주파수영역 해석을 통한 고유진동수

를 계산하기 위하여 선형화 과정이 필요하다. 식(3.29)의 등호 오른쪽 식에

서 천 번째 항과 세 번째 항은 선형 합이므로 선형화 과정이 필요하지 않

고, 두 번째 항에 대한 선형화 과정이 필요하다. 식(3.29)를 정적평형상태

및 동적상태에 대한 변수로 분리하여 표현하면 다음과 같다.

31

0)(

)')'''(')''((~

)''''(~)''''(~

)(

)')'''(')'')((~~(

)(

)'''')(~~(

00

0

00

00

0

00

0

00

00

00

=−++

++++

+++=

−++

++++=

−++

++

∫∫

∫

∫∫

∫∫

∫

∫∫

∫

Ld

Ldd

Lddsddsd

Ldddds

Ldsdss

Ld

Ldd

Lddsddsds

Ld

Ldddd

Lddds

dswydsyyxx

dsyyyxxxT

dsyyxxTdsyyxxT

dswydsyyxx

dsyyyxxxTT

dswydsyyxx

dsyyxxTT

δδδρ

δδ

δδδδ

δδδρ

δδ

δδδρ

δδ

(3.32)

위식의 등호 오른쪽 식에서 정적 평형상태에 대한 항이 두 번째 항과 마지

막 항을 모아 정리하면 다음과 같다.

∫∫

∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

−−+

−=

−+=

−+=

−+=

−+

lsd

ls

s

ss

sd

l

s

ssd

ls

s

ss

sd

l

s

ssd

lsd

ls

s

d

s

s

s

d

s

ss

L sd

L

s

s

d

s

s

s

d

s

s

ss

L sd

L

dsds

ss

Ld

Ldsdss

wdpydpdpdyT

dpdy

dpdyTy

dpdpdxT

dpdx

dpdxTx

wdpydpdp

yddpdy

dpxd

dpdxT

dsdpdswyds

dsdp

dpyd

dpdy

dpxd

dpdx

dpdsT

dsdpdswyds

dsyd

dsdy

dsxd

dsdx

dpdsT

dswydsyyxxT

δδδ

δδ

δδδ

δδδ

δδδ

δδδ

)(

)(

)(

))((

)(

)''''(~

0

0

2

0

00

00

00

(3.33)

32

여기서 sL 와 sw 는 각각 정적 평형상태에서 케이블의 길이와 단위 길이

당 무게이다. 식(3.33)에서 적분항의 피적분함수는 정적 평형상태에서의 평

형방정식이기 때문에 항상 0 이며, 양단이 고정된 케이블의 양단의 가상 동

적 변위는 항상 0 이므로 경계 항 역시 항상 0 이 되어 식 (3.33)은 향상 0

이며 식(3.33)에서 소거된다. 정적 평형상태에서의 이차 P-K 장력은 기지의

함수이므로 식(3.32)의 등호 오른쪽 세 번째 항은 동적변위에 대한 선형 항

이다. 식(3.32)의 네 번째 항에서 동적 장력은 동적 변위에 대하여 비선형

이고, 또한 동적 가상 변형도 역시 동적 변위에 대한 일차 함수이므로 전

체적으로 비선형 함수가 되어 선형화가 필요한 항이다. 동적 장력을 동적

변위에 대하여 표시하고 동적 변위에 대한 2 차 이상의 고차항을 무시하여

선형화된 표현식을 구할 수 있다.

∫

∫

∫

∫

∫

++

+=

++≈

++++=

+++

0

0

0

0

0

')'''')'((

')'''')'((

)''''()''''(

)')'''(')''(()''''(

)')'''(')''((~

2

2

Lddssds

Lddssds

Ldsdsdsds

Lddsddsdsds

Lddsddsd

dsyxyxyyEA

dsxyxyxxEA

dsyyxxEAyyxx

dsyyyxxxEAyyxx

dsyyyxxxT

δ

δ

δδ

δδ

δδ

(3.34)

식 (3.33)와 식 (3.34)를 식 (3.32)에 대입하여 정리하면 선형화된 식을 구할

수 있다.

33

0'))'(~('''''

'''''))'(~('

000

000

20

20

=+++

+++

∫∫∫

∫∫∫

Ldssd

Ldssd

Ldd

Ldssd

Ldssd

Ldd

dsyyEATydsxyEAxydsyy

dsyxEAyxdsxxEATxdsxx

δδρδ

δδρδ

(3.35)

위 식을 이산화하기 위하여 행렬식 형태로 표시하면 다음과 같다.

( )

( ) 0''

)'(~'''')'(~

''0

0

2

2

0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∫

∫

L d

d

ssss

ssssdd

L d

ddd

dsyx

yEATyEAxyEAxxEAT

yx

dsyx

yx

δδ

ρδδ

(3.36)

식 (3.36)에서 정적 평형상태에 대한 장력 및 위치는 3.1 절에서 유도한 해

석적 해에 의하여 구할 수 있다. 따라서 동적 변위를 적절한 함수로 가정

하여 식 (3.36)에 대한 고유치 해석을 수행하면 정적평형 위치 부근에서의

케이블의 고유진동수를 근사적으로 구할 수 있다.

3.1.4 시간 영역 해석

케이블의 진폭이 상대적으로 커지게 되면 케이블의 비선형성이 커지기 때

문에 선형화된 운동 방적식을 적용할 수 없다. 이런 경우에는 케이블의 비

선형성을 정확히 고려할 수 있는 시간영역 해석을 수행하여 계산한 가속도

시간 이력에 FFT(Fast Fourier Transform)를 적용하여 지배적인 진동수를 구

34

하여야 한다. 케이블의 비선형성을 고려할 경우에는 고유치 문제를 정의할

수 없기 때문에 고유진동수가 정의되지 않는다. 따라서 시간영역 해석과

FFT 를 결합하여 구한 진동수는 고유진동수가 아니라 케이블의 응답이 증

폭되는 지배진동수이다.

시간영역에서의 해는 어떤 시간에서의 비선형 운동 방정식 (3.29)를 선

형화한 증분식을 반복적으로 풀어 구할 수 있다. 어떤 시간 tt Δ+ 에서 식

(3.29)는 다음과 같다.

0~

000

000 =−++ ∫∫∫∫ Δ+Δ+Δ+Δ+Δ+Δ+Δ+

L

ttd

L

ttd

tt

L

ttd

ttd

L

ttd

ttd dswydsTdsyydsxx

o

δδεδρδρ (3.37)

식 (3.37)을 풀기 위하여 이전 시간 단계 t 에서의 모든 변수는 기지의 값

으로 가정한다. 식 (3.37)의 선형화된 증분식을 유도하기 위하여 시간

tt Δ+ 에서의 케이블의 위치를 증분식으로 표시한다.

yyyyyxxxxx tt

itt

itt

itt

i Δ+=Δ+=Δ+=Δ+= Δ+−

Δ+Δ+−

Δ+11 , (3.38)

식 (3.38)에서 i 는 시간 tt Δ+ 에서의 동적 평형상태를 계산하기 위한 반복

계산 단계를 의미하고, ttiΔ+

−= 1()() 로 정의하며 전 단계에서 구한 변수 값을

지칭한다. 식 (3.38)을 식 (3.24)에 대입하고 일차 증분항만 포함시켜 이차

P-K 장력의 선형화된 증분식을 유도할 수 있다.

35

)''''(~

)''2''21)'()'((21

)1))(

())(((21

)1)()((21)1)((

21~

22

22

222

yyxxEAT

yyxxyxEA

dsyyd

dsxxdEA

dsdy

dsdxEA

dsdpEAT

tti

tti

ttitt

Δ+Δ+=

Δ+Δ+−+≅

−Δ+

+Δ+

=

−+=−=Δ+Δ+Δ+

Δ+

(3.39)

식 (3.38) 및 식 (3.39)를 식 (3.37)에 대입하고 이차 이상의 고차 증분항을

무시하면 선형화된 증분식을 유도할 수 있다.

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫∫∫

−+Δ+Δ+

Δ+Δ+++

Δ+Δ++≅

−Δ++Δ+Δ+Δ++

Δ++Δ+=

−++ Δ+Δ+Δ+Δ+Δ+Δ+Δ+

00

00

00

00

0

000

0

00

0

00

000

)'''')(''''(

)''''(~)''''(~

)()(

)')''(')''))((''''(~(

)()(

~

Ld

Ldd

Ldd

Ldd

Ldd

Ldddd

Ld

Ldd

Ldd

Ldd

L

ttd

L

ttd

tt

L

ttd

ttd

L

ttd

ttd

dswydsyyxxyyxxEA

dsyyxxTdsyyxxT

dsyyxxdsyyxx

dswydsyyyxxxyyxxEAT

dsyyydsxxx

dswydsTdsyydsxx

o

o

δδδ

δδδδ

δδρδδρ

δδδ

δρδρ

δδεδρδρ

(3.40)

식 (3.40)의 선형화된 증분식에서 기지의 항을 등호 오른쪽으로 이항하여

정리하면 최종적인 증분형 운동방정식을 구할 수 있다.

36

∫∫∫

∫

∫∫

+−+−=

Δ+Δ++

Δ+Δ++Δ+Δ

000

0

00

)''''(~)(

)''''))'(~(('

)''''))'(~((')(

00

2

20

Ldd

Ldddd

Ld

Ld

Ld

Ldd

dsyyxxTdsyyxxdswy

dsyxxEAyyEATy

dsxyyEAxxEATxdsyyxx

δδδδρδ

δ

δδδρ

(3.41)

식 (3.41)을 식 (3.36)과 유사한 행렬식 형식으로 표시하면 다음과 같다.

( )

( )

( ) ( )∫∫∫

∫

∫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

000

0

0

''~''

0

'''

)'(~'''')'(~

''

00

2

2

0

Ldd

L d

ddd

L d

Lddd

Ldd

dsyx

Tyxdsyx

yxdsy

w

dsxyx

yEATyxEAyxEAxEAT

yx

dsyx

yx

δδρδδδ

δδδ

ρδδ

(3.42)

식(3.42)를 이산화하기 위하여 유한요소법 혹은 Rayleigh-Ritz 방법을 사용할

수 있다. 유한요소법을 적용할 경우에는 케이블의 무응력 길이를 몇 개의

유한 요소로 분할하고 한 개의 유한 요소에서의 변위의 증분을 등매개 유

한요소를 사용하여 이상화 하면 된다. Rayleigh-Ritz 방법을 사용할 경우에는

현방향 및 현 수직 방향 변위 증분을 경계조건을 만족시키는 함수로 가정

하여 이산화 할 수 있다. 식 (3.42)를 행렬로 표현하면 다음과 같다.

37

∑∫∑ ∫∑ ∫

∑ ∫∑ ∫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

=

=+

e Le Le L

e Le L

dsyx

Tdsyx

dsw

yEATyEAxyEAxxEAT

dsds

000

00

''~0

)'(~'''')'(~

where

00

2

2

0

TTT

TT

BNNΔf

D

ΔfΔADBBAΔNN

ρ

ρ

(3.43)

3.2 휨강성 요소

실제 케이블은 이상화된 케이블 모델과는 달리 약간의 휨강성을 가지고 있

다. 일반적인 케이블 모델은 휨강성이 정의되어 있지 않기 때문에 압축력

이 발생할 경우에 휨에 의한 저항을 전혀 모사하지 못하므로 강성을 잃어

버리는 경우가 발생하게 된다. 이러한 문제점을 해결하기 위하여 지금까지

는 느슨한 케이블에 휨강성을 주로 도입하였다. 또한, 케이블은 단면에 비

하여 축방향으로 긴 구조물이지만, 케이블 진동시 나타나는 고차모드는 큰

곡률이 연속해서 나타나므로 케이블 요소의 이러한 기하학적인 특징을 나

타내지 못하므로 휨을 고려하지 않으면 구조물의 강성을 잃게 될 것이다.

휨강성을 고려하는 방법으로는 보요소(박연철, 2006), 아치요소(윤상훈,

2007)가 있다. 케이블의 휨강성을 적용하는 두 가지 방법을 소개한다.

38

3.2.1 보요소

케이블 모델에 휨에 의한 거동을 추가하기 위하여 그림 3.5 에서 점선으로

그려진 것과 같이 케이블의 각 절점 사이에 보요소를 결합한다(박연철,

2006). 케이블의 거동은 일반적인 뼈대 구조물과 비교하여 상대적으로 큰

회전 변위를 일으키므로 보요소에 대한 평형 방정식을 정의할 대 회전 관

성력을 무시하지 않는다. 안정화된 케이블의 동적 해석 결과를 얻기 위해

추가하는 보요소로는 베르누이 보를 사용한다. 그림 3.6 은 단위길이 당 질

량이 bρ 이고, 휨강성이 EI 인 베르누이 보이다. 회전 관성이 고려된 보요

소의 동적 평형방정식은 다음과 같다(Humar, 1990).

02

2

2

2

22

02

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−∂∂

22 ξξρ wEI

xtwI

tw

b (3.44)

Beam Element

Cable Element

그림 3.5 보요소와 결합된 케이블 요소

39

여기서 ξ 는 보요소의 부재 좌표계에서 재축방향 좌표이고, w 는 정적 평

형 상태를 기준으로 한 보의 재축 직각 방향 처짐이며, 보의 회전관성 모

멘트 0I 는 AII ρ=0 로 정의된다. I 는 보의 단면 2 차 모멘트, A 는 보의

단면적이다. 보의 단위 길이 당 질량은 케이블의 단위 길이 당 질량과 동

일하며, 보의 단면적 또한 케이블의 단면적과 같다. 보의 단면 2 차 모멘트

는 케이블의 전체 유효단면적이 거동하는 것으로 가정하여 계산한다.

보요소에 대한 가상일의 원리는 식(3.44)에 가상의 변위 wδ 를 곱하고

길이에 대하여 적분한 식을 두 번 부분 적분하여 구할 수 있다.

eb

e

lllb

LMLMLVLwVw

dwEIwdwIwwdw

fdδδθδθδδ

ξξξ

δξξξ

δξρδ

=+++=

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+ ∫∫∫)()()0()0()()()0()0(

)()()(

0000

2

2

2

2

0 (3.45)

위식에서 θ 는 보의 회전각이며, edδ 와 ebf 는 각각 가상 재단 변위와 재단

그림 3.6 보 요소

w

ξ

l

),( tw ξ

40

력이고, V , M 은 부재에서 발생하는 전단력과 모멘트이다. 들보의 처짐

w는 재단 변위와 Hermitian 형상 함수를 사용하여 표시할 수 있다.

ebw dN ⋅= (3.46)

식 (3.46)을 식 (3.45)에 대입하여 정리하면 다음과 같다.

∫∫∫ ∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+

=⋅

l

ebbe

l

bb

l

ebbb

e

eb

e

dEIdId )( 2

2

2

2

0 dNNdNNdNNd

fd

ξξξ

ξξξ

ξρδ

δ (3.47)

위 식에서 우변의 첫 번째 항과 세 번째 항은 각각 보요소의 일반적인 질

량행렬과 강성도 행렬이며, 두 번째 항은 단면의 회전 관성 행렬이다. 식

(3.47)은 모든 가상변위에 대하여 성립하여야 하므로 다음과 같이 표시된다.

eeb

eI

eeb

l

ebbe

l

bb

l

ebbb

eb

e

dEIdId

dkdmdm

dNNdNNdNNf

++=

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+= ∫∫∫ ξξξ

ξξξ

ξρ 2

2

2

2

0 (3.48)

식 (3.48)에서 정의된 보 요소의 일반적인 질량 행렬에는 보 요소의 강체

운동 성분도 들어 있다. 그러나 케이블 요소의 강체 운동 성분은 이미 케

이블 요소의 질량 행렬에 포함되어 있고 보요소는 케이블의 순수 휨 거동

에 의해 발생하는 추가의 관성력 및 강성을 고려하기 위하여 도입된 항이

기 때문에 보 요소의 질량 행렬을 만드는 형상함수에서 강체 운동의 형상

함수를 빼야 한다. 보 요소의 강체 운동 성분은 다음과 같이 표시된다.

41

edNreb

eb

lwl

wl

w =+−= )()0()1( ξξ (3.49)

여기서 ebl 는 보요소의 길이이고, rN 은 강체 운동에 대한 형상 함수 행렬

이다.

)0,,0),1(( eb

eb

r llξξ

−=N (3.50)

식 (3.46)에 정의된 보 요소의 형상함수에서 강체 운동의 형상함수를 빼면

다음과 같은 새로운 질량 행렬이 구성된다.

ξρ d

lrbbrb

eb ∫ −−= )()( NNNNm (3.51)

새롭게 구성된 보 요소의 질량 행렬을 추가한 평형 방정식은 다음과 같다.

ee

bee

Ieb

eb dkdmmf ++= )( (3.52)

식(3.52)는 보 요소의 부재 좌표계에서 표시된 식이므로 적절한 변환 행렬

을 이용하여 구조물 좌표계에 대한 식으로 변환할 수 있다. 구조물 좌표계

에서 표시된 보 요소의 운동방정식 식 (3.43)에서 정의된 케이블 모델에 대

한 운동 방정식에 더하면 휨 거동을 포함한 케이블의 이상화된 운동방정식

을 구할 수 있다.

42

fΔUKUMXKXM =++Δ+Δ Δ+Δ+ ttb

ttbcc (3.53)

여기서, ∑=e

ebb MM , ∑=

e

ebb KK 이며, e

bM 와 ebK 는 각각 전체 좌표계에

서 표시된 보 요소의 질량 행렬과 강성도 행렬이다. tt Δ+U 는 현 시간 단계

에서의 보 요소가 연결되어 있는 절점에서의 변위이다. 보요소로 구성된

구조물의 변위는 케이블의 정적 평형상태를 기준으로 정의되어 있기 때문

에 케이블의 각 절점의 위치와 보요소로 구성된 구조물의 변위 사이의 관

계는 다음과 같다.

)()( 1

011

00 UUXUUXUXX Δ++=Δ++=+= Δ+−−

Δ+−

Δ+Δ+ ttkk

ttk

ttk

ttk

UX Δ=Δ (3.54)

위 식을 식 (3.53)에 대입하면 복합 모델의 최종적인 증분형 운동 방정식을

구할 수 있다.

FΔUKKUMM =Δ++Δ+ )()( bcbc (3.55)

위 식에서 UKUMfFΔ bb −−Δ= 이다.

43

3.2.2 아치요소

이상화된 케이블 모델에 휨에 의한 거동을 추가하기 위하여 아치요소를 적

용하여 케이블의 강성을 보완할 수 있다(윤상훈, 2007). 그림 3.7 과 같이 케

이블과 형상이 같은 아치 요소를 결합한다. 안정화된 케이블의 동적 해석

결과를 얻기 위해 추가된 아치요소의 기하학적 성질은 다음과 같이 정의할

수 있다.

)11()))()((

11( 15.02121

1

TEAF

wsFFEAF

dsdx

xzx

x +−=++

+−=

)11)(()))()((

11)(( 15.02121

1

TEAwsF

wsFFEAwsF

dsdz

zzx

z ++−=++

++−= (3.56a)

1

1

//tan

x

z

FwsF

dsdxdsdz

dxdz +

===φ

TF

wsFFF x

zx

x1

5.02121

1

))()((cos −=

++=φ

sxs dpds

Fw

dpd

12sec =

φφ , s

x

sxs dpds

TwF

dpds

Fw

dpd

2

12

1 cos == θφ

(3.56b)

s

x

s dpds

TwF

dpd

R 2

11==

φ , 22

2

)1(RR

dpd

Rdpd

ss

′−==

φ (3.56c)

여기서, R 은 아치의 곡률반경이고, w 는 아치의 단위 길이당 질량 그리고

φ 는 아치의 곡률각이다. 아치의 단위 길이 당 질량은 케이블의 단위 질량

과 동일하다. 아치의 변위와 접선 변형도의 관계는 다음과 같이 표시할 수

있다.

44

)1(

))((

2

2

2

2

2

sss

ssssss

dpwdR

Ru

dpdu

Rz

Rw

dpdu

dpwd

Ru

dpdz

Rw

dpdu

Rw

dpdwzu

RzR

dpd

−′−++=

−++=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=ε

(3.57)

여기서 sε 는 정적 평형 상태에서의 접선 변형도 그림 3.8 에서 u 와 v 는

각각 극좌표계에서 s -방향이 접선 변위, z -방향의 곡률반경의 변위이다.

그리고 z 는 중립 축에서 임의의 점까지의 거리이다.

아치의 Total Potential Energy 는 다음과 같이 표시될 수 있다.

∫∫ ∫ +−=Πl

srsss dpwquqdpdAE )()(21

θεε (3.58)

x

y

R

dxdy1tan−=φ

φ

그림 3.7 아치 요소가 결합된 케이블

45

여기서 E 는 탄성계수(Young’s Modulus)이고 θq 와 rq 는 각각 극좌표계에서

s -방향의 외력, z -방향의 외력이다, 식 (3.57)을 식 (3.58)에 대입하여 정리


∫∫ +−−++=Πl

srssss

dpwquqdpdp

wdRu

dpdEI

Rw

dpduEA )()))(()((

21 2

2

22

θ (3.59)

여기서 A 는 아치의 단면적이고, I 는 아치의 단면 2 차 모멘트이다. 아치의

단면 2 차 모멘트는 케이블의 전체 단면이 유효하고 강체로 거동하는 것으

로 가정하여 계산한다. 식 (3.59)를 행렬식으로 표시하면 다음과 같다.

φ

s,u z,v

dx

dy

R

그림 3.8 아치 요소 좌표게

z

R

중립축

v

두께

46

( )∫

∫

∫∫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

+−−++=Π

ls

r

s

ss

s

sss

lsrs

sss

dpqq

vu

dp

dpwd

Ru

dpd

Rw

dpdu

EIEA

dpwd

Ru

dpd

Rw

dpdu

dpwquqdpdp

wdRu

dpdEI

Rw

dpduEA

θ

θ

2

22

2

22

22

)(00

)(21

)()))(()((21

(3.60)

극 좌표계에서 정의된 아치의 변형도와 변위의 관계를 직각 좌표계로 변환


pp

ssss

ss

ss

s

wu

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpwd

Ru

dpd

Rw

dpdu

uL=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−φ

+φ

φ

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+

2

2

2

2

2

2

)( (3.61a)

dCd

d

yx

wu

xΓ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡φφ−φφ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛cossinsincos

(3.61b)

여기서 CΓ 는 아치의 임의의 한 점에서 점선이 이루는 각의 회전 변환 행

렬이고 dx 는 ( )Tdd yx 이다. 식 (3.61b)를 식(3.61a)에 대입하여 정리하면

다음과 같이 표시된다.

dCd

d

ssss

sspp y

x

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

xLuL =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+=

φφφφ

φφ

φ

cossinsincos

2

2

2

2 (3.62)

47

여기서 CL 는 pL 에 회전 변환 행렬을 곱한 것이고, dx 는 ( )Tdd yx 이다.

극좌표계에서 정의된 External Potential Energy 를 직각좌표계로 변환하여 표

시할 수 있다.

( )

CCy

x

r

ls

rlsr

qq

qq

dpqq

vudpvquq

qΓ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡φφ−φφ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

θ

θθ ∫∫

cossinsincos

)(

(3.63)

여기서 Cq 는 ( )Tyx qq 이다.

아치의 이산화는 케이블의 경우와 같이 Rayleigh-Ritz 방법을 사용하여

현 방향과 현 수직 방향의 변위 성분을 기저함수로 가정하여 이산화할 수

있다.

tsgAy

tsgAx

n

iyiyid

n

ixixid

ω≈

ω≈

∑

∑

=

=

sin)(~

sin)(~

1

1 (3.64)

여기서 ω및 n 은 케이블의 각 진동수와 기저함수의 개수이고, dx~Δ , dy~Δ ,

xig 그리고 yig 는 각각 현 방향 및 현 수직방향에 대한 동적변위와 기저함

수이다. 케이블의 경우와 같이 기저함수는 양단 경계조건을 항상 만족시키

는 sine 함수를 사용한다.

48

sligg yixi

0

sin π== (3.65)

식 (3.64)에서 정의된 동적변위를 행렬식 형식으로 표시할 수 있다.

t

t

AA

AA

gggg

tsgAsgA

yx

yn

xn

y

x

yny

xnxn

i yiyi

xixi

d

d

ω⋅=

ω

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=ω⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∑=

sin~

sin00

00sin

)()(

~~ 1

1

1

1

1

AN

(3.66)

위 식에서 N~ 및 A는 각각 기저함수 행렬과 계수 벡터이다. 현 방향 및 현

수직방향의 동적변위는 2 차원 변환행렬을 이용하여 전체 좌표계에서의 x-

방향 및 y-방향 변위로 표시할 수 있다.

ttyx

yx

d

d

d

d ω=ω=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθθ−θ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sinsin~

~~

cossinsincos

NAANR (3.67)

여기서 R 은 변환행렬이며, N 은 전체 좌표계에서의 기저함수 행렬로서 다

음과 같이 정의 된다.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθ⋅⋅⋅θθθ−θ⋅⋅⋅θ−θ

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθθ−θ

=

cossincossinsincossincos

cossinsincos

11

11

ynxnyx

ynxnyx

gggggggg

N

R

(3.68)

49

식 (3.63)과 식 (3.67)을 식 (3.60)에 대입하여 최종 이산화된 Potential Energy

를 구할 수 있다.

fAKAAqNAADBBA TT

lsC

TTsC

TC

T dpdp −=−=Π ∫∫ 21

21

where ∫=++=++=

lsC

T

CCCCCCC

dpqNf

BBBNLLLB )()( 210210

(3.69)

위에서 사용된 기호는 다음과 같다. 좌표 변환에 관한 자세한 수식은 부록

B 에 전개 되어 있다. 직각 좌표계에서 표시된 아치 요소의 강성도 행렬을

식 (3.43)에서 정의된 케이블 모델에 대한 운동방정식에 더하면 휨 거동을

포함한 케이블의 이산화된 운동방정식을 구할 수 있다.

fAKKAM Δ=Δ++Δ Δ+Δ+ tt

actt

c )( (3.70)

여기서, aK 는 강성도 행렬이다. 식 (3.69)는 시간에 대한 미분항이 포함되

어있으므로 시간에 대한 이산화를 해야만 이산화된 시간에 대하여 Newton-

Raphson 방법에 기초한 반복계산으로 방정식을 풀 수 있다. 평균가속도법이

적용된 Newmark- β법으로 시간에 대한 이산화를 수행한다.

50

4. 적용 예제

4 장에서는 2 장에서 분석한 문제점을 3 장의 케이블 요소와 휨요소가 결합

된 모델을 사용하여 주파수 영역, 시간 영역에서의 응답 특성을 파악한다.

해석 모델은 그림 2.2 에 나왔던 기존의 실험체를 사용하며, 해석 주기는

1/1000 초로 해석 하였다. 하중 제거 모델은 기존 연구와 같이 0.03 초 후에

하중의 99%가 제거 되도록 하는 Gradual release model 을 적용하였다. 시스

템 감쇠비는 추정된 Rayleigh 댐핑 계수 20 10383.2 −×=a , 5

1 10685.5 −×=a

를 동일하게 사용하였다(류근원, 2008). 휨요소의 휨강성은 유효단면적

22348mm 를 이용하여 구한 지름 mm7.54 를 바탕으로 계산한 2 차 관성

모멘트는 4610438719.0 m−× 이다. 모든 결과는 케이블 중앙 지점에서 측정

한 결과와 비교하였다.

4.1 휨강성 적용

4.1.1 보요소 적용 결과

3.2.1 에서 소개한 보요소를 적용하여 해석한 결과를 분석한다. 보요소를 적

용하려면 유한요소법을 사용하여야 한다. 기존의 연구에서는 40 개의 3 절

51

-20.0

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

MeasuredCable

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time (sec) (a) 케이블 요소

-20.0

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

MeasuredCable + Beam

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time (sec) (b) 케이블 요소와 보요소

그림 4.1 보요소 적용시 가속도 응답 비교

52

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0

MeasuredCable

Disp

lace

men

t (m

)


-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0

MeasuredCable+Beam

Disp

lace

men

t (m

)

Time (sec) (b) 케이블 요소와 보요소

그림 4.2 보요소 적용시 변위 응답 비교

53

점 케이블 요소를 사용하였고, 본 연구에서는 40 개의 3 절점 케이블 요소

에 80 개의 보요소를 결합시켜 유한요소해석을 수행하였다. 그림 4.1 은 케

이블 요소만을 사용했을 때와 보요소를 결합하였을 때의 케이블 중앙 지점

에서의 가속도 응답 결과 그래프이고, 그림 4.2 는 변위 응답을 나타낸 그

래프이다. 그림 4.3 은 20 초 동안의 시간영역 응답을 FFT 해석한 그래프와

확대한 그래프이다. 케이블 요소만을 사용하였을 때 생기던 급격하게 응답

이 변하는 구간은 사라졌고, 계측치와 유사한 흐름으로 응답이 나타남을

알 수 있다. 변위의 경우에는 케이블만 사용하여 해석했을 때와 같이 계측

치와 유사한 응답을 나타내지만 위상 차이가 존재한다는 것을 알 수 있다.

그림 4.3 보요소 적용시 가속도 응답 FFT 해석 비교

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 5 10 15 20 25 30

MeasuredCableCable+Beam

Frequency (Hz)

54

그림 4.3 의 FFT 해석 비교 결과를 보았을 때에도 10Hz 이상의 오차가 이전

에 비해서 많이 줄어든 것을 확인할 수 있다.

4.1.2 아치요소 적용 결과

3.2.2 에서 소개한 아치요소를 적용하여 해석을 수행하였다. 아치요소를 사

용할 때는 sine 함수를 형상함수로 하는 Rayleigh-Ritz 방법으로 해석을 수행

한다. 본 연구에서는 30 개의 sine 파 형상함수와 아치의 휨강성을 결합하여

해석을 수행하였다. 그림 4.4 는 케이블 요소를 사용했을 때와 아치요소를

결합하여 사용하였을 때의 케이블 중앙 측정점에서의 가속도 응답을 비교

한 그래프이고, 그림 4.5 는 동일 지점에서의 변위 응답 비교 결과이다. 보

요소와 같이 급격하게 변하는 응답구간이 사라진 점이 가장 특징적인 것을

알 수 있다. 응답 자체도 계측치와 유사하다. 변위의 응답은 기존 연구처럼

큰 오차를 발생하지 않았다. 그림 4.6 은 20 초 동안의 가속도 응답을 FFT

해석한 결과이다. FFT 해석 결과 역시 보요소를 사용한 결과와 유사하다는

것을 알 수 있다.

55

-20.0

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

MeasuredCable

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )


-20.0

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

MeasuredCable + Arch

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time (sec) (b) 케이블 요소와 아치 요소

그림 4.4 아치요소 적용시 가속도 응답 비교

56

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0

MeasuredCable

Disp

lace

men

t (m

)


-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0

MeasuredCable+Arch

Disp

lace

men

t (m

)

Time (sec) (b) 케이블 요소와 아치 요소

그림 4.5 아치요소 적용시 변위 응답 비교

57

4.1.3 케이블 가속도의 안정화

휨강성을 케이블에 적용하는 방법으로 보요소와 아치요소를 이용하는 방법

이 있다. 앞 절에서 보요소와 아치요소 결합 방법 모두 이전의 연구보다

향상된 해석 결과를 나타내었다. 기존 연구의 문제점으로 가속도의 부정확

성과 요소의 수를 증가시켰을 때의 비수렴성이 있다. 유한요소 해석법으로

는 요소 수를 증가시켰을 때 정해로 수렴해야 하지만, 케이블 요소만 사용

하였을 때 가속도가 일정한 값에 수렴하지 않고 가속도 값의 변화가 큰 현

상이 발생하였다. 이는 불안정한 해석 결과로써, 해석 결과를 신뢰하기 어

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 5 10 15 20 25 30

MeasuredCableCable+Arch

Frequency (Hz)

그림 4.6 아치요소 적용시 가속도 응답 FFT 해석 결과 비교

58

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0Measured 20 elem.

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )


-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0Measured 40 elem.

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )


-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0Measured 80 elem.

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )


그림 4.7 케이블 요소와 보요소 개수 증가에 따른 가속도 비교

59

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0Measured 20 Shape Func.

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time (sec) (a) 20 개의 형상함수 사용

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0


Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time (sec) (b) 30 개의 형상함수 사용

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0


Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time (sec) (c) 40 개의 형상함수 사용

그림 4.8 케이블 요소와 아치요소 형상 함수 증가에 따른 가속도 비교

60

렵다. 또 다른 문제점으로 케이블 요소의 개수가 증가하였을 때 변위는 일

관적인 안정된 결과가 도출되지만, 가속도 응답은 불안정하다는 것이다.

휨강성을 적용하여 가속도 응답을 살펴본 결과 보요소와 아치요소를 케

이블 요소에 적용한 방법 모두 케이블 요소, 보요소의 개수나 케이블 형상

함수의 개수를 증가시켜도 발산하는 현상이 발생하지 않고 일정한 해석 결

과를 제공한다. 그림 4.7 은 케이블 요소와 보요소를 증가시켰을 때의 가

속도 응답이며, 그림 4.8 은 케이블과 아치요소의 형상함수를 증가시켰을

때의 가속도 응답이다. 두 그래프 모두 요소나 형상함수의 개수를 증가시

켜도 해석 결과의 변화가 많이 생기지 않는 것을 알 수 있다. 휨강성을 적

용하여 가속도 응답의 안정성을 확보하였다고 할 수 있다.

표 4.1 은 주파수 영역 해석 결과와 FFT 해석한 결과를 비교한 표이다.

그림 4.9 는 휨강성을 적용하여 케이블 중앙지점에서 20 초 동안의 가속도

응답을 FFT 분석한 결과이고 그림 4.10 은 변위 응답을 FFT 분석한 그래프

이다. 케이블만 사용한 경우와 휨강성을 도입한 경우의 주파수를 살펴보았

을 때, 가속도 응답의 영향이 적지 않은 5 차 모드에서의 주파수 오차가 많

이 줄어들었다는 것을 알 수 있다. 가진 실험과 달리 하중을 제거하는 케

이블 자유진동 실험의 경우에는 1 차 모드 외에 고차모드의 영향이 많이

섞여 있다. 계측치를 FFT 해석하였을 때 주파수 오차가 큰 5, 7 차 모드의

가속도 응답의 영향이 1 차 모드 응답의 약 60% 정도이기 때문에 5, 7 차

모드의 주파수 오차가 전체 응답에 큰 영향을 끼친다고 할 수 있다. 보요

61

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 5 10 15 20 25 30

MeasuredCable+BeamCable+Arch

Frequency (Hz)

그림 4.9 휨강성 적용 유무에 따른 가속도 응답 FFT 해석 결과 비교

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0 5 10 15 20 25 30


Frequency (Hz)

그림 4.10 휨강성 적용 유무에 따른 변위 응답 FFT 해석 결과 비교

62

표 4.1 가속도 지배진동수 및 주파수 영역 해석 비교 (단위 : Hz)

모드 1 차 3 차 5 차 7 차 9 차

계측치 1.519 4.398 7.437 10.596 13.954

Cable 1.519 4.398 7.337 10.275 13.213

Cable+Beam 1.499 4.398 7.377 10.496 13.764

FFT 해석

Cable+Arch 1.519 4.418 7.437 10.616 13.994

Cable 1.521 4.409 7.346 10.284 13.228

Cable+Beam 1.507 4.393 7.394 10.506 13.769 주파수 영역 해석

Cable+Arch 1.514 4.411 7.447 10.626 13.998

소든 아치요소든 휨강성을 적용하였을 때, 고차모드의 오차가 줄어들기 때

문에 전체 응답에도 긍정적인 영향을 끼치는 것을 확인할 수 있다. 기존

연구에서 변위의 오차가 크게 존재하지 않은 이유는 그림 4.10 을 보면 5

차 모드 이상의 변위 응답의 기여도는 1 차 모드의 10%도 채 되지 않는다.

각 모드의 응답을 단순하게 sine 파로 보았을 때 변위의 진폭은 가속도 진

폭에 고유진동수의 제곱을 나눈 것과 같다고 할 수 있다. 그렇기 때문에

고유진동수의 값이 큰 고차모드는 변위의 응답에 큰 영향을 끼치지 못함을

알 수 있다.

고차 모드 응답의 부정확성이 전체 가속도 응답의 부정확성과 불안정성

을 유발시킴을 확인 할 수 있다. 케이블 요소 만으로는 큰 곡률을 가지는

63

고차 모드의 응답을 나타내는데 한계가 있다는 것을 다시 한 번 확인할 수

있다. 케이블 요소는 단면에 비해 길이가 상당히 긴 기하형상을 가진 구조

물이지만, 곡률이 커지게 되면서 일반적인 케이블과는 다른 기하형상을 가

지게 되면서 케이블과는 다른 거동을 나타나는 것으로 사료된다. 결론적으

로 휨강성을 가지는 보요소 또는 아치요소를 적용하여 케이블의 거동을 더

욱 잘 반영해 냄으로써 케이블 응답의 안정성과 정확성을 동시에 확보해

낼 수 있었다.

4.1.4 보요소와 아치요소 비교

지금까지 휨강성을 적용시켜 가속도 응답의 정확성과 일관성을 도출해 내

었다. 이 절에서는 휨강성을 적용하는 두가지 방법 중에 어떠한 응답이 계

측치와 더욱 유사한지 살펴보겠다. 보요소를 사용하는 모델의 경우에는 40

개의 3 절점 케이블요소와 80 개의 케이블 요소를 결합시켜 유한요소법으로

해석하였고, 아치요소를 사용하는 모델은 30 개의 sine 파 형상함수를 이용

하여 Rayleigh-Ritz 법으로 해석하였다.

그림 4.7 (b)와 그림 4.8 (b)가 케이블 중앙지점에서의 두가지 가속도 결

과를 각각 나타낸 그래프이다. 그림 4.11 (b)와 4.11(c)는 그림 4.7 (b)와 그림

4.8 (b)의 초반과 후반부분을 확대하여 함께 표시한 그래프이다. 그림 4.7

64

(b)와 그림 4.8 (b)를 보았을 때 두 가지 방법의 응답은 큰 차이가 없음을

알 수 있다. 20 초 동안의 가속도 해석 결과의 RMS(Root Mean Square)오차는

보요소를 사용하였을 때 78.34%, 아치요소를 사용하였을 때 63.37%로 아치

요소를 사용하였을 때 오차가 조금 더 작게 나타난다. 가속도 응답은 주파

수 차이로 인한 결과 오차이기 때문에 RMS 오차가 크게 나타난다. 그러므

로 RMS 오차가 응답의 정확도를 나타내는 절대적인 지표로써의 의미는 없

으며, 상대적인 지표로 사용하였음을 밝힌다. 초반 부분을 확대한 그림 4.11

(b)를 보면 아치요소를 사용하였을 대 계측치 응답의 흐름에 더 잘 따라가

고 있는 것을 확인할 수 있다. 그림 4.11 (c)의 15 초 부근에서도 피크치의

오차는 다소 있지만 보요소를 사용하였을 때 보다.아치요소를 사용한게 더

욱 뛰어난 결과를 나타내었다. 사용한 댐핑계수가 유한요소법으로 추정하

였기 때문에 Rayleigh-Ritz 법으로 해석한 결과의 피크치의 차이가 있는 것

으로 생각이 된다.

표 4.1 과 그림 4.9 를 통하여 주파수 영역에서 비교해 볼 수 있다. 5 차

모드 이상의 주파수 오차가 줄어듬으로써 전체 응답의 정확성이 증가하였

음을 전 절에서 확인할 수 있었다. 특히 아치요소를 사용하였을 때가 보요

소를 사용하였을 때보다 고차모드의 계측치와 오차가 더욱 줄어듬을 알 수

있다. 또한, 1 차와 3 차 모드의 주파수 오차도 줄어드는 것을 알 수 있다.

65

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0


Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time (sec) (a) 0~20 초

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0


Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time (sec) (b) 초반 부분 확대 (2.5~5 초)

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 18.0


Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time (sec) (c) 후반 부분 확대(13~18 초)

그림 4.11 휨강성 적용 방법에 따른 가속도 응답 비교

66

마지막으로 케이블 중앙지점에서의 변위를 비교하였다. 그림 4.12 는 케

이블 중앙지점에서의 변위 응답을 비교한 그래프이다. 아치요소를 사용하

였을 때 변위 응답의 대부분을 차지하는 1 차 모드의 주파수 오차는 0.5%

정도로 상당히 작다. 그림 4.12 의 변위 응답 중에 아치요소를 사용하였을

때 위상차가 없이 측정치와 거의 동일한 결과를 나타냄을 알 수 있다. 20

초 동안의 RMS 오차는 케이블 요소만 사용하였을 때 27.62%, 보요소를 사

용하였을 때 26.64%, 아치요소를 사용하였을 때 5.87%로 아치요소가 가장

정확한 변위 응답을 나타내었다. 아치요소를 적용 시켰을 때 가속도 응답

뿐만 아니라 변위 응답도 가장 정확하였다.

휨강성을 사용하였을 때 가속도와 변위 응답 모두 기존 연구 결과 보다

정확도와 안정성이 향상된 결과를 도출해 냈다. 특히, 아치요소를 사용하였

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0Measured Cable+Beam Cable+Arch

Disp

lace

men

t (m

)

Time (sec)

그림 4.12 휨강성 적용 방법에 따른 변위 응답 비교

67

을 때 시간영역과 주파수 영역 모두 더 좋은 결과를 나타냄을 확인하였다.

이는 유한요소법으로 케이블의 곡선을 완벽히 나타내면서 요소를 나누는

것이 힘들기 때문으로 추정되며, sine 파 형상함수가 보요소를 결합시킨 방

법 보다 케이블의 기하형상을 모델링하고 거동을 나타나는데 좀 더 이점이

있는 것으로 판단이 된다. 해석 시간의 관점에서 바라보면 Rayleigh-Ritz 방

법에 아치요소를 적용했을 때의 자유도가 유한요소법을 사용했을 때 보다

더 작기 때문에 해석시간을 크게 단축시킬 수 있었다. 앞으로의 연구에서

는 아치요소를 사용하여 해석한 결과를 사용하도록 하겠다.

4.2 휨강성 변화

4.1 절에서 휨강성의 적용으로 케이블 거동을 더욱 정확하게 해석해 낼 수

있었다. 이를 통해 케이블 응답을 결정 짓는 요인으로 이전 연구부터 중시

되어 왔던 축강성과 장력, 즉 무응력 길이 뿐만 아니라 휨강성도 중요한

요인으로 작용할 수 있음을 알 수 있다. 축강성의 경우에는 탄성계수( E )나

유효단면적( A )는 케이블 제작 단계에서 정해져 나오기 때문에 변동성이

매우 작다. 무응력 길이의 경우에도 공장에서 제작되어 나오기 대문에 변

동성이 작다. 휨강성의 경우에는 케이블의 2 차 관성 모멘트를 산정하는 방

법이 유일하지 않기 때문에 변동성이 존재하는 요인으로 생각할 수 있다.

68

기존 연구 중에도 장력에 따라 발현하는 휨강성이 변하는 것으로 알려져

있다(김병화 등, 2005). 이를 미루어 볼 때, 가장 적합한 케이블의 휨강성을

추정하여 해석에 적용할 수 있을 것이다.

그림 4.13 은 본 연구에 사용된 케이블의 랩핑을 제외한 단면적 형상이

다. 케이블의 2 차 관성 모멘트를 구하는 첫번째 방법으로 유효단면적의 지

름을 이용하여 구하는 방법이다. 이는 4.1 절에서 사용한 값과 동일하다. 케

이블 중에 케이블 소선의 실제 단면적만을 나타낸 것이 유효 단면적이고

이를 평균적인 지름으로 계산하면 54.7mm 가 된다. 이 지름을 이용하여 구

한 2 차 관성 모멘트를 유효 2 차 관성모멘트라고 하겠으며, 그 값은

4610438719.0 mIe−×= 이고, 탄성계수를 곱한 값을 유효 휨강성이라고 하

겠다. 실제적으로는 케이블 전체 단면이 휨에 저항할 것으로 생각이 되기

6.3 cm

5.7 cm

그림 4.13 케이블 단면 형상

69

때문에 2 차 관성 모멘트를 계산하는 두 번째 방법으로 케이블의 겉보기

지름을 이용할 수 있다. 케이블의 구조상 겉보기 지름이 다르다. 이를 평균

적으로 계산하면 본 실험에 사용된 케이블의 겉보기 평균 지름은 59.5mm

가 된다. 이 지름을 이용하여 구한 2 차 관성 모멘트를 겉보기 2 차 관성모

멘트라고 하고 그 값은 4610615230.0 mI A−×= 이며, 이 값에 탄성계수를

곱한 값을 겉보기 휨강성이라고 하겠다.

케이블이 휨에 저항할 때는 케이블 소선만 저항하지도 않을 것이고, 케

이블의 겉보기 단면 전체로 저항하지는 않을 것이기 때문에 유효 2 차 관

성 모멘트와 겉보기 2 차 관성 모멘트 사이의 값이 적정한 2 차 관성 모멘

트로 휨강성을 발현할 것이라 생각된다. 따라서, 해석에 사용하기 위한 2

차 관성 모멘트는 2 차 관성 모멘트와 겉보기 2 차 관성 모멘트 사이의 값

중에 주파수 영역 해석 결과 20 차 모드까지의 오차를 최소화 하는 2 차 관

성 모멘트를 Golden Section Method 를 사용하여 구하였다. 이를 위한 목적

함수는 식 (4.1)과 같다.

∑=

−=Π20

1

2)(minn

cn

mnI

ωω subject to Ae III ≤≤ (4. 1)

mnω 은 n 차 모드의 측정 지배 진동수이고, c

nω 는 n 차 모드의 계산된 고유

진동수이다. 수렴조건은 6100.1 −× 로 하였다. 주파수 영역에서 주파수 오차

를 최소화 시키는 2 차 관성 모멘트를 최적 2 차 관성 모멘트라 하고 그 값

70

은 4610526974.0 mIopt−×= 로 계산되었으며, 이는 겉보기 2 차 관성 모멘트

의 약 86%에 해당하는 값이다. 이 값으로 지름을 구하면 약 57.24mm, 겉

보기 평균지름의 약 96%에 해당하는 값이다. 최적 2 차 관성 모멘트에 탄

성계수를 곱하여 구한 휨강성을 최적화 휨강성이라고 한다. 탄성계수는 일

정하다고 하였기 때문에 최적 휨강성 역시 겉보기 휨강성의 86%에 해당하

는 값이다. 그림 4.14 는 유효휨강성, 겉보기 휨강성, 최적 휨강성을 이용하

여 20 초 동안의 케이블 중앙 지점에서의 가속도 응답이다. 가속도 응답의

5.5 초에서 9 초 사이를 확대해서 보면 피크 뿐만 아니라 피크 사이에 생기

는 고주파 부분의 응답도 유효 휨강성, 겉보기 휨강성보다 훨씬 정확해 졌

다는 것을 알 수 있다. 세가지 휨강성의 20 초 동안의 가속도 RMS 오차는

최적 휨강성이 47.74%로 시간 영역에서도 가장 작은 오차를 나타냈다. 그

다음으로 겉보기 휨강성이 59.76%, 유효 휨강성이 63.37%의 순으로 나타났

다. 변위 응답역시 계측치와 거의 일치하는 것을 그림 4.16 을 통해 확인할

수 있다. 그림 4.17 은 20 초 동안의 가속도 응답을 FFT 해석하여 주파수

별로 확대한 그래프이다. 5 차모드 까지는 크게 차이가 없지만 7 차 모드, 9

차모드에서 유효 휨강성과 겉보기 휨강성에 비해 최적 휨강성을 사용했을

때 주파수는 최적화 과정을 거쳤기 때문에 계측치와의 오차가 가장 작게

나타났다. 변위에는 영향을 주지 않지만 가속도에는 영향을 주는 5 차 이상

의 모드에서 주파수가 더욱 정확해 짐에 따라 시간 영역에서도 더 정확한

결과를 이끌어 냈다고 할 수 있다.

71

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0

Measured EIe

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time (sec) (a) 유효 휨강성 적용

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0

Measured EIA

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time (sec) (b) 겉보기 휨강성 적용

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0

Measured EIopt

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time (sec) (c) 최적 휨강성 적용

그림 4.14 휨강성 변화에 따른 가속도 응답 비교 (0~20 초)

72

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0

Measured EIe

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time (sec) (a) 유효 휨강성 적용

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0

Measured EIA

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time (sec) (b) 겉보기 휨강성 적용

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0

Measured EIopt

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time (sec) (c) 최적 휨강성 적용

그림 4.15 휨강성 변화에 따른 가속도 응답 확대 비교 (5~9 초)

73

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0

Measured EIopt

Dis

plac

emen

t (m

)

Time (sec)

그림 4.16 최적 휨강성 적용시 변위 응답

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 5 10 15 20 25 30

MeasuredEIe

EIA

EIopt

Frequency (Hz)

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

MeasuredEIe

EIA

EIopt

Frequency (Hz) (a) 전체 모드(0 ~ 30 Hz) (b) 5 차 모드

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9

MeasuredEIe

EIA

EIopt

Frequency (Hz)

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

13.4 13.6 13.8 14 14.2 14.4

MeasuredEIe

EIA

EIopt

Frequency (Hz) (c) 7 차 모드 (d) 9 차 모드

그림 4.17 휨강성의 변화에 따른 가속도 FFT 해석

74

가장 좋은 결과를 나타낸 최적 휨강성을 적용한 가속도 응답을 주파수

별로 분해하여 계측치와 비교해 보겠다. 그림 4.18 은 1 차 모드와 3 차 모

드를 분해하여 결합한 그래프이고, 그림 4.19 는 5 차 모드, 그림 4.20 은 7

차 모드를 분해하여 결합한 그래프이다. 그림 4.18 은 기존의 연구 분석 결

과인 그림 2.7 과 큰 차이가 없음을 확인할 수 있다. 5 차 모드와 7 차 모드

까지 결합한 그림 4.19 와 그림 4.20 의 경우에도 3 차 모드 까지 결합한 것

과 같이 측정치와 상당히 일치하는 것을 파악할 수 있다. 기존의 연구 분

석 결과인 그림 2.8 (b)와 그림 2.9 (b)에서는 계측치와 해석치가 큰 차이가

났지만, 휨강성을 적용시키고 최적 휨강성을 적용시킨 후 해석 결과는 상

당히 정확함을 확인 할 수 있다. 5 차 모드와 7 차 모드 응답도 해석치와 거

의 같아졌음을 알 수 있다. 진폭은 감쇠비의 부정확성 때문에 차이가 약간

있지만 주파수는 거의 일치한다. 이로 인하여 전체 응답도 정확하게 해석

되었다.

케이블의 휨강성을 계산하는 방법은 여러가지이기 때문에 방법에 따라

휨강성의 값도 달라질 수 있다. 또한 실제 겉보기 휨강성과 강성을 발현하

는 것으로 볼 수 있는 최적 휨강성 역시 차이가 존재하는 것을 알 수 있었

다. 축강성의 경우에는 주파수 전체적으로 큰 영향을 끼쳤지만, 휨강성을

변화시켜 본 결과 주파수가 높을수록 휨강성의 영향에 더욱 민감하였다.

고차 모드 주파수의 오차로 시간 영역 해석 결과에서도 오차가 생긴 것으

로 원인 분석이 되었기에, 휨강성을 변화시키는 방법은 합리적이라고 할

75

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Measured Analysis

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )


-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Measured Analysis

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time(sec) (b) 3 차 모드 가속도 응답

-6.0

-4.0

-2.0

0.0

2.0

4.0

6.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0Measured Analysis

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time(sec) (c) 1 차 모드와 3 차 모드 결합한 가속도 응답

그림 4.18 최적화 휨강성 적용시 가속도 1 차와 3 차 모드 응답 분석 결과

76

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

MeasuredAnalysis

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )


-8.0

-6.0

-4.0

-2.0

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

MeasuredAnalysis

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )

Time(sec)

(b) 5 차 모드까지 결합한 가속도 응답

그림 4.19 최적화 휨강성 적용시 가속도 5 차 모드 응답 분석 결과

77

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

MeasuredAnalysis

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )


-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

MeasureAnalysis

Acc

eler

atio

n (m

/sec

2 )


그림 4.20 최적화 휨강성 적용시 가속도 7 차 모드 응답 분석 결과

78

수 있다. 주파수 영역에서 주파수 오차를 최적화 하는 과정을 통해 최적

휨강성은 겉보기 휨강성의 약 86%의 값이라는 것을 알 수 있었다. 최적

휨강성을 이용하여 시간 영역 해석을 하였을 때 20 초 동안의 RMS 오차가

47.74%로 가장 작은 오차를 나타내었다. 이를 통해 집중하중과 같은 다중

주파수 하중이 작용할 때 적정한 휨강성을 추정하여 적용해야 정확한 해석

결과를 도출해 낼 수 있다는 것을 입증하였다. 최적 휨강성은 케이블의 기

하형상이나 상태에 따라서 달라질 것이기 때문에 겉보기 휨강성의 어느 정

도가 최적 휨강성이라고 정의하기 어렵다. 다양한 케이블 실험을 통하여

가이드 라인을 제공하면 다른 연구에 도움이 될 것이라 생각된다.

79

5. 결론

이 논문에서는 다중 주파수 하중인 집중 하중이 가해지는 케이블의 동해석

시 동적 응답 안정화를 위해 휨강성을 적용하고 최적 휨강성을 추정하는

기법을 제안하였다.

기존의 연구에서는 해석 변위의 응답은 정확하지만 해석 가속도 응답의

오차가 크게 나타나는 문제점과 유한요소법으로 해석 시 요소 개수가 증가

함에 따라 가속도가 일정한 해로 수렴하지 않는 가속도의 불안정성 문제가

존재하였다. 문제점을 분석한 결과 집중 하중 제거 시 생기는 고차모드의

응답을 정확하게 해석하지 못하였기 때문에 가속도 응답이 정확하지 않는

것을 확인하였다. 고차 모드의 영향이 크기 때문에 전체 응답에 문제가 있

었다. 변위의 응답은 1 차 모드에 지배적이기 때문에 변위는 어느 정도의

정확성을 확보할 수 있었다.

다중 주파수 하중이 작용하는 경우의 동적 응답의 정확도와 안정화를

확보하기 위하여 느슨한 케이블의 동적 응답 안정화를 위해 사용하였던 케

이블의 휨강성을 케이블 동해석에 적용하여 해결하는 방법을 제안하였다.

휨강성은 보요소와 아치요소 2 가지를 적용하여 가속도 응답이 일정한 값

으로 수렴하며, 그 값이 계측치와 비교하였을 때 정확함을 케이블 자유진

동 실험 모델에 적용하여 그 타당성을 입증하였다. 이를 통해 고차 모드의

응답은 일반적인 케이블 거동만으로 표현이 어렵다는 것을 확인하였으며,

80

팽팽한 케이블 동해석의 경우에도 다양한 주파수를 가지는 하중이 작용할

때 휨강성을 고려하여 안정되고 정확한 동적 응답을 도출할 수 있음을 확

인하였다. 아치요소를 사용하였을 때 정확도 및 해석 시간에 있어서도 이

점이 있는 것을 확인하였다.

케이블의 휨강성을 산정하는 방법은 한가지 방법으로 정해져 있지 않기

때문에 주파수 영역에서 최적의 해를 도출하는 최적 휨강성을 추정하여 시

간 영역 응답의 정확성을 증가시켰다. 집중 하중이 가해지는 케이블 동해

석 시 최적 휨강성을 추정하여 해석에 적용해야 할 필요성을 제시하였다.

본 연구 결과를 통하여 안정화 케이블, 댐퍼가 있는 사장케이블, 케이블

자유진동 실험과 같이 다중 주파수 하중에 대한 동적 해석 적용 가능성을

입증하였다. 케이블 모드별 감쇠비 추정법과 최적 휨강성을 추정하는 연구,

케이블 자유진동 실험을 통해 최적 휨강성의 가이드 라인을 제시하는 연구

가 더욱 필요할 것으로 판단된다.

81

참고문헌

김병화. 박대효. (2005). 시스템 인식 기법을 이용한 케이블의 장력

추정 : II. 실험 및 적용, 토목학회지, Vol.25, No.4-A, pp. 669-675.

류근원. (2008). SI 기법을 이용한 사장 케이블의 댐핑 특성 추정, 공

학석사학위논문, 서울대학교

박연철. (2006). 느슨한 케이블의 동적 해석을 위한 안정화 기법, 공

학석사학위논문, 서울대학교

안상섭. (1997). 경사케이블의 자유진동 특성과 동적 강성 행렬을 이

용한 케이블 구조물의 해석, 공학박사학위논문, 서울대학교

윤상훈. (2007). 아치를 적용한 느슨한 케이블의 안정화된 동적 해석

기법, 공학석사학위논문, 서울대학교

정길제. 박연철. 김현겸. 이해성. (2007). 케이블의 동적해석을 위한

가상일 원리의 정식화, 교량설계핵심기술연구단

Chopra, A.K. Dynamics of Structures, 2nd ed., Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ.

Humar, J.L.(1990), Dynamics of Structures, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ.

Irvine, H.M. and Caughey, T.K. (1974). “The Linear Theory of Free Vibrations of s Suspended Cable”, Proceedings of the royal society, London, England, Sereies A, Vol.341, pp 299-315.

82

부록

A. 탄성현수선 케이블 요소의 연성도 행렬

식 (3.17)의 자세한 식은 다음과 같다.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++−−=

∂φ∂

)(1

)(1ln1

11202

2

1

200

TFTTwLFTwF

TFTwLF

wEAL

F ze

z

x

z

ez

e

x

ex

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

++−=

∂φ∂

)(1

)(1

11202 TFTTwLFTwFF

F ze

z

yx

y

ex

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−=∂φ∂

12

11TTw

FF

x

z

ex

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

++−=

∂φ∂

)(1

)(1

11202 TFTTwLFTwFF

F ze

z

yx

x

ey

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++−−=

∂φ∂

)(1

)(1ln1

11202

2

1

200

TFTTwLFTwF

TFTwLF

wEAL

F ze

z

y

z

ez

e

y

ey

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−=∂φ∂

12

11TTw

FF

y

z

ey

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−=∂φ∂

12

11TTw

FF

x

x

ez

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−=∂φ∂

12

11TTw

FF

y

y

ez

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+

−−=∂φ∂

12

00 1TF

TwLF

wEAL

Fz

ez

e

z

ez

여기서 22211 zyxe FFFT ++== F 이고 2

022

22 )( ezyx

e wLFFFT +++== F

이다.

83

B. 아치의 변형도와 변위의 관계 및 좌표 변환

극 좌표계에서 정의된 아치의 변형도와 변위위 관계를 직각 좌표계

로 변환하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡φφ−φφ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−φ

+φ

φ

=2221

1211

2

2

2

2 cossinsincos

LLLL

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

ssss

ssCL

여기서,

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

21

12

11

sincos3cos2sin2

)sincos2cos)(sin(

coscossin

)sin(cos

coscossin

sincoscossin

sincos2cossincos

cossin2sincossin

ssssss

sssss

sssss

sss

sssss

ssssss

sssss

sssss

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

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dpd

dpd

dpd

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dpd

dpd

dpd

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dpd

dpd

dpd

dpd

dpdL

dpd

dpd

dpd

dpd

dpdL

dpd

dpd

dpd

dpd

dpdL

φφφφφφφφ

φφφφφφφ

φφφφφφφ

φφφ

φφφφφφφ

φφφφφφφφ

φφφφφφφφ

φφφφφφφφ

+++−=

+++−+

++−=

++

++−=

+++−=

+=++=

+−=−+−=

84

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

22

cossin3sin2cos2

)cossinsin)(cos(

sinsincos

)cossin(

sinsincos

cossinsincos

ssssss

sssss

sssss

sss

sssss

ssssss

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

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dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpd

dpdL

φφφφφφφφ

φφφφφφφ

φφφφφφφ

φφφ

φφφφφφφ

φφφφφφφφ

−++=

+−−−−

++=

+−−

++=

−++=

x,y 축 동적 변위를 아래와 같이 정의하여 행렬 형태로 나타낸다.

∑=

≈n

ixixid sgtAx

1)()(~ , ∑

=

≈n

iyiyid sgtAy

1)()(~

AN ⋅=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∑=

~00

00)()(

~~

1

1

1

1

1

1

y

xn

y

x

yny

xnxn

i yiyi

xixi

d

d

AA

AA

gggg

sgAsgA

yx

NAAN ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθθ−θ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ~~~

cossinsincos

Ιd

d

d

d

yx

yx

Γ

where

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθθθθ−θθ−θ

=cossincossinsincossincos

11

11

ynxnyx

ynxnyx

gggggggg

N

85

변위 변형률 관계를 가정한 식으로 표현하면 다음과 같다.

ABBBNALLL

ABNALxL

)()(

cossinsincos

1

1

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2

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86

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87

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−+

=

+=

88

ABSTRACT

This paper presents the accuracy of the acceleration response and the stabilization

scheme with the flexural rigidity for the acceleration response subjected to multi-

frequency loads, especially concentrated loads in cable free vibration test.

Recently the constructions of the cable supported bridges are advanced actively

all over the world. Moreover, the length of the span is increasing, for example,

Incheon Bridge, Kwangyang Bridge. Thus, it is very important to analyze and predict

the behaviors and the characteristics of cables which support a whole bridge. Because

the span increases in length, there are many researches and experiments about

understand responses, dominant frequencies and damping ratios, etc.

In the former study about the cable free vibration test, the analyzed displacement

is nearly equal to the measured displacement. However, the analyzed acceleration is

very different from the measured acceleration. As for the early study result, it is

difficult to predict the responses of cables.

By using the flexural rigidity which helps to stabilize the displacement response of

the slack cables, solve the problems about inaccurate and unstable acceleration in

time domain. The elastic catenary cable elements are applied in the static analysis and

non-linear dynamic analysis is adopted. The beam element and arch element are used

when assembly stiffness matrix to apply the bending stiffness. A stabilization scheme

with the flexural rigidity, beam element and arch element, carries more accurate and

stable resulta. Also, this paper estimates the optimal flexural rigidity in the frequency

89

domain. The accuracy of the acceleration response has a good accuracy with the

optimal flexural rigidity.

The numerical example is the free vibration test applied to a concentrated load.

This is performed to demonstrate the validity and the stability of the proposed model

compared with cable model without bending stiffness.

Keywords

Stabilization, Flexural Rigidity, Cable, Free Vibration, Multi-frequency Load,

Dynamic Equilibrium Equation

Student Number : 2008-21021

90

감사의 글

논문을 준비하고 쓰는 기간 동안 가르침과 질책을 아낌없이 주셨던 이해성

교수님께 진심으로 감사 드립니다. 논문 연구기간을 통하여 공부와 연구란

어떤 것인지 알게 해 주셨습니다. 또한, 특히 선생님께서 보여주셨던 열정

을 잊지 않고 어디에서 무엇을 하든지 가슴에 되새기겠습니다. 바쁘신 와

중에도 많은 가르침을 주신 고현무 교수님, 김재관 교수님, 김호경 교수님,

조재열 교수님께 깊은 감사의 말씀 드립니다. 퇴직하셨지만 대학생활 동안

교량에 대한 관심과 열정을 일깨워 주신 장승필 교수님께도 감사 드립니다.

구조해석 연구실로 이끌어주고 논문 쓰는데 큰 관심과 지도를 해준 근

원이에게 고맙고, 승근형과 윤화형은 형들이 바쁘신 와중에도 시간 내서

저의 연구를 봐주시고 조언해주셔서 감사합니다. 케이블 연구에 관한 많은

도움을 주고 토론, 지도를 해준 길제도 너무 고맙다. 논문 쓰는 동안 밤늦

게 남았을 때 말동무 되어주시고, 이야기 들어주시고 하셨던 종서형 너무

감사합니다. 늘 연구실에서 에너지 역할을 해준 승한이, 규환형도 감사합니

다. 연구실 초창기에 만나서 많은 이야기를 하지 못해서 아쉽지만 연구실

적응에 도와주신 주성형, 호진형께도 감사 드립니다. 논문을 쓸 수 있도록

밑바탕을 닦아주신 모든 구조해석 연구실 선배님께도 감사 드립니다. 마지

막으로, 2 년 동안 같이 공부하고 논문 연구하는 동안 많은 힘이 되어주었

던 광연, 종혁이 덕분에 너무 재미있고 즐거운 연구실 생활 한 것 같아서

91

고맙다. 08 년 석사 동기들 종오형, 재상, 상봉, 병선, 도근, 성현형, 파키스

탄에서 와서 고생했던 Zia 와 Bashir 에게도 고맙다는 말 전하고 싶습니다.

Thank you, Zia and Bashir.

10 여 년의 대학생활 동안 뭉쳐다니던 그들스 지훈, 정설형, 호빈, 형원,

은성이와 재수파 근서형, 건희형, 정호형, 만수형 덕분에 나름 멋진 20 대를

보낸 것 같아서 너무 고맙다. 논문 쓸 때도 같이 스트레스 풀고 해서 정신

적인 많은 도움이 된 것 같다. 정신 건강뿐만 아니라 신체 건강을 위해 테

니스 같이 쳐준 장원, 재상, 태달, 정설형, 호빈이, 승준형, 허찬, 진배, 창신

이, Helen 누나 너무 감사합니다. 학교 떠나도 테니스는 끝까지 치겠습니다.

그리고 학교에서 스쳤던 많은 인연들에게도 감사의 말씀 드립니다.

마지막으로 아무 걱정하지 않고 공부하는데 많은 도움을 준 큰누나, 작

은누나, 막내누나, 큰자형, 작은자형도 너무 고맙습니다. 서른이 다 되어 가

는데 지금까지 뒷바라지 해주신 부모님께 진심으로 감사하다고 전하고 싶

습니다. 앞으로, 사회에 나가서 더 큰 꿈을 펼치고 성장하도록 하겠습니다.

저를 믿어주시고 반겨주시고 따뜻하게 챙겨주는 가족들에게 이 논문을 바

칩니다.

휨강성을 고려한 다중주파수 하중이 작용하는 케이블의 동적응답...

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