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서로 다른 Sampling Rate로 측정된 가속도 및 변위를활용한 유한요소...
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공학석사 학위논문 서로 다른 Sampling Rate로 측정된 가속도 및 변위를 활용한 유한요소 기반 유한 임펄스 응답 필터의 변위재구성 방법 Design of the FEM-FIR filter for the Displacement Reconstruction using Accelerations and Displacements Measured at Different Sampling Rates 2013년 2월 서울대학교 대학원 건설환경공학부 이 세 건
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공학석사 학위논문
서로 다른 Sampling Rate로 측정된 가속도
및 변위를 활용한 유한요소 기반 유한 임펄스
응답 필터의 변위재구성 방법
Design of the FEM-FIR filter for the Displacement
Reconstruction using Accelerations and Displacements
Measured at Different Sampling Rates
2013년 2월
서울대학교 대학원
건설환경공학부
이 세 건
i
초 록
본 연구는 low sampling rate로 측정된 변위와 high sampling rate로
측정된 가속도를 활용한 변위 재구성 방법을 소개하고 있다. 변위
재구성의 지배 방정식과 경계 조건은 측정 변위와 재구성 변위
사이의 오차 최소화 변분 원리를 사용한 역해석 방법을 통해
도출되었다.
본 연구에서 제시하는 변위 재구성 방법은 지배 방정식의 전달
함수가 전 주파수 영역에 걸쳐 1이 산출되기 때문에 재구성된
변위에는 오차가 발생하지 않는 특성을 가진다. 변위 재구성
지배방정식에 유한 요소법을 적용하면 유한 임펄스 응답 필터(Finite
Impulse Response Filter)가 도출된다. 유한요소로 이산화된 변위의
보간을 위해서 Hermitian 형상 함수를 채택하였으며, 지배방정식에서
산출된 FIR 필터의 전달함수의 특성을 본 연구에서 구체적으로
검토하였다.
이 필터의 전달함수의 특성을 분석한 결과, 변위 측정 sampling
rate는 목표주파수(Target Frequency) – 측정 가속도에서 물리적 의미를
가지는 최저 주파수 - 의 Nyquist rate보다 크게 설정하는 것이
필터링 효과가 크며, 변위 sampling rate가 상기 주파수보다 낮을
경우에는, 더 높은 목표 정확도 – 목표정확도의 정확도를 정의한
함수 - 를 사용할 필요가 있다.
상기 방법으로 속도 재구성 결과를 산출하는 과정도 본
논문에서 간단히 언급을 하고 있고, 마지막으로, 수치 시뮬레이션과
철도 교량의 실험 결과를 비교하여 필터의 성능을 평가하였다.
ii
주요어
변위재구성, 역해석, 오차최소화, Finite impulse response
filter(FIR), 목표 주파수, 목표 정확도
학번 : 2004-21287
iii
목 차 초록 .......................................................................................... ⅰ
목차 .......................................................................................... ⅲ
그림목차 .................................................................................... ⅳ
표목차 ....................................................................................... ⅵ
1. 서론 ....................................................................................... 1
2. 역해석기반 변위재구성 방법 ................................................. 6
3. 이산화 필터 구성 ................................................................ 13
4. 수치 해석 시뮬레이션과 실제 계측값의 적용 및 평가 ....... 30
4.1 수치 해석 시뮬레이션 예제 ................................................. 31
4.2 철도 교량 현장실험 예제 적용 및 평가 .............................. 46
5. 요약 및 결론 ........................................................................ 55
참고문헌 .................................................................................... 57
Abstract .................................................................................... 60
iv
그 림 목 차
그림 2.1 목표 정확도에 대한 전달함수 .................................... 11
그림 3.1 시간창의 이동과 (a) 계측 가속도 (b) 계측 변위의 sampling point .. 14
그림 3.2 가속도 sampling point에서 ud의 보간 ....................... 19
그림 3.3 DS rate에 대한 LF 필터의 계수 ............................... 20
그림 3.4 5w =N and 97.0=Tα , DS rate에 대한 FFIR의 전달함수 :
(a) ATF, DTF (b) TTF ....................................... 23
그림 3.5 5w =N and 99.0=Tα , DS rate에 대한 FFIR의 전달함수 :
(a) ATF, DTF (b) TTF ....................................... 24
그림 3.6 DS rate에 대한 속도 재구성 LF 필터의 계수 .......... 27
그림 3.7 5w =N and 97.0=Tα , DS rate에 대한 속도재구성 전달함수 :
(a) ATF, DTF (b) TTF ....................................... 29
그림 4.1 수치 해석 예제 계측가속도 FFT : (a) 하중조건 I (b) 하중조건 II .. 33
그림 4.2 수치 해석 예제 계측변위 FFT : (a) 하중조건 I (b) 하중조건 II ... 34
그림 4.3 수치 해석 예제 DS rate에 따른 FFIR의 전달함수 :
(a) ATF, DTF (b) TTF ......................................... 37
그림 4.4 하중조건 I의 DS rate에 따른 noise-free 변위 재구성 :
(a) LF 필터 (b) HF 필터 ....................................... 38
v
그림 4.5 하중조건 I의 DS rate에 따른 noise-free 변위 재구성 :
(a) 전체 결과 (b) (a)의 동그라미 부분 ............... 39
그림 4.6 하중조건 I의 목표 정확도에 따른 noise-free 변위 재구성 . 40
그림 4.7 하중조건 Ⅱ의 DS rate에 따른 noise-free 변위 재구성 :
(a) 전체 결과 (b) (a)의 동그라미 부분 ............... 42
그림 4.8 하중조건 II에서 Td ff 4= 일 때, 오차가 포함된 변위재구성 .. 43
그림 4.9 하중조건 I 의 noise-free 속도 재구성 ................... 44
그림 4.10 철도 교량 계측값에 대한 FFT : (a) 가속도 (b) 변위 . 47
그림 4.11 FFIR 필터의 DS rate에 따른 TTF 결과 ................ 48
그림 4.12 철도 교량 예제 DS rate에 따른 변위 재구성 결과 :
(a) LF 필터 (b) HF 필터 ..................................... 50
그림 4.13 철도 교량 예제 )(3.40 Hz 10 Td ff = 일 때의 변위 재구성 .. 51
그림 4.14 그림 4.13의 동그라미 세부 그림 :
(a) 7.4sec≤t≤8.2sec (b) 11.6sec≤t≤12.2sec ........ 53
그림 4.15 철도 교량 예제 )(2.73 Hz 8 Td ff = 일 때 10%
random-noise 변위 재구성 결과 ............................ 54
vi
표 목차 표 4,1 97.0=αT 일 때의 변위 재구성 RMS 오차 .................... 43
표 4.2 97.0=αT 일 때의 속도 재구성 RMS 오차 .................... 45
1
1. 서론
대규모 구조물의 변위를 직접 측정하기 위해서는 일반적으로 고정된
기준점으로부터 변위를 측정할 수 있는 접촉식 변위계가 설치되어야
하지만, 현실적으로 이와 같은 변위계를 설치하는 경우는 매우 드물다 [1,
2]. 반면, 일반적으로 쉽게 구할 수 있는 가속도계는 기준점이 필요
없으며, 변위를 간단하게 측정할 수 있기 때문에, 측정 가속도로부터
정확한 변위 재구성을 하기 위한 수많은 시도와 실험이 있었다. 변위는
시간에 대한 가속도의 2차 미분이며, 이론적으로 가속도를 두 번
적분하면 구할 수 있다. 그러나, 이러한 직관적인 방법은 시간 적분의
초기 경계 조건이 제공되지 않고, 측정된 가속도를 적분할 때 신호의
오차(Noise)가 증폭되기 때문에 정확한 변위재구성이 어려워진다 [1, 3].
위와 같은 문제점으로 인해 측정 가속도를 직접 적분하는 방법의
대안으로 주파수 영역 적분 또는 유한 임펄스 반응 필터(Finite Impluse
Response Filter)와 같은 이산 필터를 사용하는 방법이 주로 사용되고 있다
[4, 5, 6]. 최근에는 여타 FIR 필터 혹은 주파수 영역 적분 방법과는
다르게 이해성 등(2010) 및 홍윤화 등(2010)이 순수 시간 영역에서
도출되는 역해석 기반의 안정하고 정확한 FIR 필터를 사용 방법을
제안한 바 있다 [7, 8]. 그러나, 가속도 정보만 사용해서는 Pseudo-Static
변위를 재구성할 수가 없는데, 여기서 Pseudo-Static 변위는 보통
2
초저주파수 혹은 주파수가 거의 0에 근접하여 발생하는 변위로써
가속도계로는 측정할 수 없기 때문이다. 그렇기 때문에 Pseudo-Static
변위 정보는 가속도 측정 자료에는 존재하지 않고, 반드시 변위 측정을
통해서만 재구성할 수가 있다.
최근에는 최신 GPS 측정 기술을 통해 대형 구조물의 변위 측정을 시도한
한 여러 사례가 발표되고 있다 [2, 9~12]. 그러나, 100Hz 까지 sampling
rate를 갖는 GPS 장비가 개발되었으나[12, 13]. 일반적으로 구조물
모니터링에 사용되는 GPS는 10~20Hz의 sampling rate를 가지며, 이는 기존
Linear Variable Differential Transducer(LVDT) 혹은 레이져 변위 측정계에
비하여 sampling rate가 떨어지며, 동적 변위 계측이 어렵다 [9, 11].
이러한 한계를 극복하기 위하여 본 연구에서는 GPS를 사용한 변위 측정
자료와 가속도계를 사용한 가속도 측정 자료를 최적화하여 변위를
재구성하는 새로운 방법을 제시하고자 한다.
Chan 등(2006)은 GPS와 가속도계로부터 얻어진 자료를 Empirical Mode
Decomposition(EMD)를 사용하여 재구성하는 방법을 제안하였다 [9]. 이
기법은 상당히 정확하게 최종 변위를 산출하지만, 데이터를 real-time 혹은
near real-time 처리가 불가능하기 때문에 구조물의 Health Monitoring에
적용하기에는 한계가 있다. 이는 계측이 종료되고 자료 전체가 출력되고
난 이후에야 분석이 가능한 EMD 기법의 특성 때문이다. He 등(2012)은
구조물의 유한요소 모델을 사용하여 전 구조물의 변위장을 계산하였다.
Smyth 등(2007)은 Dual Rate Kalman Filter를 사용하여 서로 다른 sampling
3
rate로 계측된 변위 및 가속도 데이터를 결합하여 수치 해석 예제에
적용하였고 [3], Bock 등(2011)은 이 개념을 지반 가진 구조물의 변위
재구성에 적용한 실험 결과를 발표하였다 [11]. 그러나 이 방법은 인접한
2개의 sampling 변위를 재구성하기 위해 dual-rate Kalman 필터를 사용하여
가속도 정보를 시간으로 적분하였기 때문에, 계측된 가속도 자료에서
발생하는 low-frequency noise를 완전히 걸러내지는 못한다.
EMD 혹은 dual-rate Kalman Filter을 사용할 경우, 정확도의 신뢰성 해석
방법이 없기 때문에, 가속도 sampling rate와 동일하게 측정된 변위 자료가
없을 경우, 변위재구성의 오차 혹은 정확도를 추정할 수 없게 된다.
게다가, 상기 방법에 대해서는 low-frequency의 Pseudo-Static 변위를
재구성하기 위한 최적의 변위 sampling-rate에 대한 해결방법이 제시된
바가 없다.
본 논문에서는 동적 변위뿐만 아니라 Pseudo-Static 변위까지 재구성할 수
있는 새로운 FIR을 제시하고 있으며, 이 필터는 high-sampling rate 가속도
계측 자료와 GPS와 같은 계측기로부터 측정된 low-sampling rate의 변위
계측 자료를 효과적으로 재구성할 수 있다. 즉, Pseudo-Static 변위를
계측하기 위해서, 가속도 측정 자료와는 다른 low-frequency 특성을 가진
Pseudo-Static 변위를 low-sampling rate 변위 계측 자료만으로 변위를
재구성할 수 있게 된다.
변위 재구성의 지배방정식은 측정 변위와 가속도로부터 변위를 추정하는
역해석 방법인 변분 원리를 적용한 최소화 함수에서 도출된다 [15].
4
최소화 함수는 변위와 가속도의 측정치와 추정치의 L2-norm 오차로
정의된다. 본 논문에서 제시하는 변위재구성 방법은 홍윤화 등(2010)이
제시한 기존 역해석 방법에 변위 측정 자료를 경계조건으로 추가할 수
있도록 알맞게 수정하였다 [8]. 변위 재구성을 적용한 결과, 측정
가속도와 변위가 각각 동적 변위 및 Pseudo-Static 변위로 재구성되는
결과가 산출되었다. 위에서 도출된 지배방정식의 Fourier 변환을 통해
산출된 전달 함수는 전 주파수영역에 걸쳐 1이 된다. 즉, 상기 변위재구성
방법은 변위의 참 값이 항상 포함되어 있다.
이 변위재구성 필터는 변분 원리가 적용된 지배방정식을 유한요소로
이산화하는 방법으로 구할 수 있으며, 본 논문에서는 이를 FEM-FIR(Finite
Element Method Finite Impulse Response Filter) 또는 FFIR 필터로 언급하겠다.
FFIR 필터는 이해성 등 [7]이 제시한 시간창 기법이 도입된 비인과성
필터이며, 이 기법은 재구성된 변위에 phase 오차를 유발하지 않는다. 본
논문에서는 FFIR 필터의 전달 함수를 면밀하게 분석하여 제시된 필터의
정확도를 심도 있게 논하고자 한다. 분석 결과 전달 함수는 목표
주파수의 10% 서부터 목표 주파수까지 범위에서 정확도가 떨어지는
현상이 발생하였다. 여기서 목표 주파수는 동적 변위 중 가장 low-
frequency의 성분을 의미한다 [7, 8]. 이 주파수 범위에서 발생하는 변위
재구성 오차를 줄이기 위해서는, 목표 주파수의 Nyquist rate [16]보다 변위
측정 sampling rate가 더 높아야 한다. 만약 장비의 특성으로 인해 상기
주파수보다 변위 sampling rate가 낮다면 불가능하다면, 목표 주파수를
5
높이는 것이 대안이 될 수 있다. 홍윤화 등 [8]이 연구한 결과와
마찬가지로 FFIR는 속도 재구성도 가능하며, 이 논문에서 간단하게
기술하고 있다.
FFIR 필터의 성능은 수치 해석 시뮬레이션 자료와 실제 운영 중인 철도
교량 계측자료 두 가지 예제를 통하여 평가하였다. 위 두 예제에서는
수치 해석 시뮬레이션 예제에서 유한 요소법으로 산출된 변위와 현장에서
계측된 실제 자료를 각각 변위 재구성 결과와 비교하였다. 비교 결과,
FFIR 필터는 상기 비교 평가에서 모두 안정적이고 정확한 결과가
나왔으며, 상대적으로 큰 오차를 포함한 자료에서도 뛰어난 필터 성능을
보이고 있다.
6
2. 역해석 기반 변위 재구성 방법
이해성 등(2010)은 측정된 가속도를 사용하는 역해석 기반 변위 재구성
방법을 제시한 바 있다 [7]. 상기 방법은 다음 식과 같이, 시간
21 TtT ≤≤ 의 적분구간에서 최소화 함수를 적분하는 과정으로 시작한다.
∫∫β
+−=Π2
1
2
1
22
22
2
2)(
21)(Min
T
T
T
Tu
dtudtadt
udu (1)
여기서 u 와 a 는 각각 재구성 변위와 측정된 가속도를 의미한다. 식
(1)의 두 번째 항은 역해석의 ill-posedness와 rank-deficiency를 해결하기
위해 도입한 Normalized 함수이며, 는 변위 재구성 과정에서의
Normalized 정도를 조정하는 계수이다. 홍윤화 등(2010)은 Normalized
계수를 아래와 같이 제안하였다 [8].
222 )2)(()2(1TTT
T
T ff παλ=πα
α−=β 10 ≤α≤ T (2)
T
TT α
α−=αλ
1)(2 (3)
여기서 Tf 와 Tα 는 각각 목표 주파수와 목표 정확도를 의미한다.
목표 주파수는 측정 가속도 내 물리적인 의미를 지닌 최저 주파수를
7
의미하며, 목표 정확도는 목표 주파수에서 재구성된 변위의 정확도를
정의하는 정확도 함수이다. 여기서 목표 주파수는 측정 가속도의 Fourier
변환을 통해 쉽게 확인할 수 있다.
측정 변위가 측정 가속도와 같이 제공되는 경우면, 최소화 함수는 아래
식 (1)과 같이 정의할 수 있다.
∫∫ −β
+−=Π2
1
2
1
22
22
2
)(2
)(21)(Min
T
T
T
Tu
dtuudtadt
udu (4)
여기서 u 는 측정된 변위이다. 식 (4)의 첫 번째 항은 재구성된 변위의
2차 미분 값과 측정된 가속도 값과의 오차를, 두 번째 항은 재구성된
변위 값과 측정된 변위 값의 오차를 의미한다. 식 (4)에서 u에 대하여
변분 원리를 적용하면 최소화 함수는 다음과 같이 된다.
0)()()(2
1
2
1
22
2
2
2
=−δβ+−δ
=Πδ ∫∫T
T
T
T
dtuuudtadt
uddt
udu (5)
식 (5)의 첫 번째 항을 두 번 적분하면 다음과 같다.
0)()()( 2
1
2
1
2
1
3
3
2
2
2
22
4
4
=−δ−−δ
+−−β+δ∫T
T
T
T
T
T dtad
dtudua
dtud
dtuddtu
dtadu
dtudu (6)
식 (6)이 모든 uδ 에 대해 만족해야 하므로, 최소화 함수의 지배방정식과
8
경계조건은 다음과 같이 유도된다.
212
2
22
4
4
TtTudt
adudt
ud<<β+=β+ and
213
3
2
2
,at , TTtdtad
dtuda
dtud
=== (7)
상기 문제는 변위와 속도와 같은 경계 조건이 없기 때문에 Neumann 경계
조건을 선택하였다 [17]. 식 (7)은 변위 재구성이 측정 가속도에 의한
항과 측정 변위에 의한 항 2가지로 구성된다는 것을 확실하게 보여준다.
da uuu += (8)
여기서 au 와 du 는 각각 측정 가속도와 변위로부터 구해지는 재구성된
변위이며, 아래와 같은 방정식으로부터 산출된다.
2
22
4
4
dtadu
dtud
aa =β+ , uu
dtud
dd 22
4
4
β=β+ (9)
식 (7)에 Fourier 변환을 적용하면 재구성된 변위를 주파수 영역으로
표현할 수 있다.
9
)()(
)()(
)()(
)()(
))(()(
)(
24
2
24
4
24
2
224
4
uFHuFH
uFuF
uFaFuF
daa
a
+=β+ω
β+
β+ωω
=
β+ωβ
+ω
−β+ω
ω=
(10)
여기서 F 는 Fourier 변환을 의미하며, 2/)()( ω−= aFuF a 이다. aH 와
dH 는 각각 가속도 전달함수(Acceleration Transform Function, ATF) 및 변위
전달함수(Displacement Transform Function, DTF)이며, 다음과 같이 표현할
수 있다.
24
4
)(β+ω
ω=ωaH , 24
2
)(β+ω
β=ωdH (11)
상기 식에서 각 전달함수는 아래와 같이 Normalized 주파수 및 식 (3)에서
사용된 λ로 표현할 수 있다.
44
4
~~
)~(λ+
=f
ffHa , 44
4
~)~(λ+
λ=
ffHd (12)
여기서 Tfff /~= 는 목표 주파수로 Normalized된 무차원의 주파수이다.
aH 를 보면 홍윤화 등(2010)에서 사용된 전달함수와 동일하다는 것을
확인할 수 있다 [8].
계측 값은 항상 오차를 포함하고 있으므로 아래 식과 같이 참 값과 오차
10
값으로 분해하여 표현할 수 있다.
aEaa ζ+= , d
Euu ζ+= (13)
여기서 Ea , Eu , aζ 그리고 dζ 는 각각 가속도와 변위의 참 값, 가속도와
변위의 오차이다. 가속도와 변위의 참 값은 아래 식을 정확하게
만족해야 한다.
2
2
dtuda
EE = (14)
식 (13)과 식 (14)를 식 (10)에 대입하면 아래와 같은 식이 산출된다.
)()2(
1)~)(()()( 22 dd
T
aa
ET FH
ffFHuFHuF ζ+
πζ
−+= (15)
여기서 1=+= daT HHH 는 식 (7)에서 유도되는 참 값에 대한 전체
전달함수(Total Transfer Function, TTF)이다. TTF가 목표 주파수나 목표
정확도와는 관계없이 전 주파수 영역에 대해 1이므로, 재구성된 변위는
항상 변위 성분의 참 값을 포함하고 있다. ATF는 측정 가속도에 포함된
저주파수 오차를, 그리고 DFT는 측정 변위에 포함된 고주파수 오차를
필터링하게 된다.
그림 2.1은 여러 목표 정확도에 대한 ATF, DTF, TTF를 보여주고 있는데,
11
그림 2.1 목표 정확도에 대한 전달함수
앞에서 언급하였듯이 TTF는 항상 1이 되는 것을 확인할 수 있다. 즉,
ATF는 1~≤f 에서 급격히 감소하며, 1.0~
≤f 일 때 0으로 수렴하는 반면,
DFT는 1.0~≥f 에서 급격히 감소하며, 1ˆ ≥f 일 때 0으로 수렴하고 있다.
그러므로 1ˆ ≥f 와 1.0~≤f 일 때, 각각 측정 변위와 측정 가속도 정보가
필터링이 되며, 즉, 1.0~≤f 일 때는 측정 변위 정보가, 1ˆ ≥f 일 때는 측정
가속도 정보가 변위 재구성에 사용되는 것을 의미한다. 1~1.0 ≤≤ f
범위의 전이 구간에서는 두 정보 모두 재구성에 사용된다. 측정 변위
정보는 변위의 참 값의 저주파수 성분을 재구성하기 때문에, 가속도 정보
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
10-2 10-1 100 101 102
ATF for αT = 0.95
ATF for αT = 0.97
ATF for αT = 0.99
TTF for for all αT
DTF for αT = 0.95
DTF for αT = 0.97
DTF for αT = 0.99
Normalized frequency, f~
Tran
sfer
func
tions
Transient ATF dominant DTF dominant
12
보다 low-sampling된 변위 정보가 필요하게 된다. 한편, 목표 정확도를
작게 설정하면, 측정 가속도의 저주파수 성분이 강하게 필터링되어, 전이
영역에서의 변위 재구성은 변위 측정 값의 정보를 더 사용하게 된다.
13
3. 이산화 필터 구성
여기서는 각기 다른 sampling rate로 측정된 가속도 및 변위 자료로부터
변위 재구성을 하기 위한 이산화 필터를 제시하고 있다. 이 때 측정된
가속도 및 변위는 그림 3.1와 같이 항상 변위 sampling point와 동일한
point에서 만나도록 동기화된다고 가정한다. 가속도와 변위의 sampling
rate는 다음과 같이 편의상 목표 주파수로 표현할 수 있다.
Taa fSf = , Tdd fSf = (16)
여기서 fa , fd 는 각각 측정 가속도 sampling rate(Acceleration Sampling rate,
AS) 및 측정 변위의 sampling rate(Displacement Sampling rate, DS)이며,
단위는 Hz이다. Sa , Sd 는 각각 측정 가속도 및 변위 sampling rate를 목표
주파수로 Normalized한 계수이다. 계산의 편의성을 위하여 DS에 대한
AS의 비를 다음과 같이 따로 정의할 수 있다.
d
a
d
as S
Sffm == (17)
여기서 ms는 두 자료의 sampling ratio를 나타내며, 위에서 가정하였듯이
변위 sampling point에서 가속도 및 변위 계측 자료가 동기화되어야 하므로
ms는 항상 정수이며, 일반적으로 1>>sm 이다. 측정 가속도와 변위의
샘플링 간격은 아래와 같이 각 sampling rate의 역수로 간단하게 구할 수
있다.
14
그림 3.1 시간창의 이동과 (a) 계측 가속도 (b) 계측 변위의 Sampling point
Time
Dis
plac
emen
t
: 계측 가속도 : 계측 변위
dt∆
wd
(b) 계측 변위에 대한 시간창의 이동
Time
Acc
eler
atio
nat∆
(a) 계측 가속도에 대한 시간창의 이동
wd
15
aa f
t 1=∆ ,
dd f
t 1=∆ (18)
식 (5)에서 도출된 변분 방정식을 홍윤화 등(2010)이 제시한 유한요소
방법(FEM)으로 유도하면 이산화된 FFIR를 도출할 수 있다 [8]. 식 (5)를
이산화 할 경우, 각 샘플링 간격은 유한 요소로 표현할 수 있으며, 변분
원리로 인해 아래와 같이 ua 와 ud 에 대해 각각 이산화할 수 있다.
0)()(2
12
22
1
22
2
2
2
=δ
−δβ+δ
=Πδ ∑ ∫∑ ∫= ∆= ∆
a
a
a
a
k
e t
eea
k
e t
ea
ea
ea
ea
a dtadt
uddtuudt
uddt
udu (19a)
0)()(2
1
22
1
22
2
2
2
=δβ−δβ+δ
=Πδ ∑ ∫∑ ∫= ∆= ∆
d
d
d
d
k
e t
eed
k
e t
ed
ed
ed
ed
d dtuudtuudt
uddt
udu (19b)
여기서 2ka 와 2kd 는 각각 시간창 기법에 사용된 가속도 및 변위의 샘플링
구간의 개수, 또는 이산화된 유한 요소의 개수이다. 여기서 시간창이란,
식 (4)의 최소화 함수에서 정의된 시간 간격을, 윗첨자 e 는 요소 e 를
의미한다. 식 (19a)와 식 (19b)에서 사용된 유한 요소의 크기는 서로
다르지만, 아래와 같이 두 식 모두 동일한 시간창 크기 dw 를 사용하였다.
T
wddaaw f
Ntktkd =∆=∆= 22 (20)
여기서 Nw 는 목표 주기에 대해 Normalized한 시간창의 크기이다.
16
재구성된 변위는 아래와 같이 NH 매트릭스, 즉, Hermitian 형상 함수로
보간하였으며 [18], 측정된 가속도 및 변위 자료는 선형 형상 함수로
보간하였다. 식 (19)는 탄성 기초 위 보의 유한요소 공식을 사용하면
[15], 아래와 같은 매트릭스 형태로 식이 유도된다.
aQuMK aaaaaa tt 242 )())(( ∆=∆β+ (21a)
uQuMK dddddd tt 4242 )())(( ∆β=∆β+ (21b)
여기서 ui, ( dai ,= ), a 및 u 는 각각 절점의 변위 벡터(미지수)를,
시간창 내 sampling point에 대한 측정 가속도 벡터 및 변위 벡터를
나타낸다. 식 (21)의 매트릭스 방정식은 아래와 같이 유도된다.
daiddd
dd
d
ii eH
THi
e
HTH
i ,for , 1
0
1
02
2
2
2
=ξ=ξξξ
= ∑∫∑∫ NNMNNK
∑∫∑∫ ξ=ξξ
=da e
LTHd
eL
TH
a ddd
d 1
0
1
02
2
, NNQNNQ
(22)
여기서 ∑ie
는 dai ,= 일 때의 유한 요소를 합하는 연산자이며, ξ는
시간 0에서 1까지 변하는 natural coordinate이다. 식 (21)을 정리하면 절점
벡터들이 아래와 같이 산출된다.
17
aCaQMKu aaaaaaaa ttt 21422 )())(()( ∆=∆β+∆= − (23a)
uCaQMKu dddddddd ttt 4214242 )())(()( ∆β=∆β+∆β= − (23b)
여기서 행렬 Ca 와 Cd 는 각각 )12()12(2 +×+ aa kk 와
)12()12(2 +×+ dd kk 크기의 계수 행렬이다.
식 (23)에서 시간창의 중첩 기법을 사용하면[7, 19], 변위 재구성이
이루어진다. 여기서 시간창의 중간 점에서의 변위와 속도만 사용되며,
나머지 점들은 사용되지 않는다. 시간창은 그림 3.1에서처럼 샘플링
간격에 따라 순차적으로 전진하면서 변위를 재구성한다. 가속도와
변위의 샘플링 간격이 다르기 때문에, 시간창 기법에 의한 재구성 과정도
식 (23a) 및 식 (23b)과 같이 각각 유도된다. 측정된 가속도 및 변위에
적용된 시간창의 중간 점에서의 시간을 t 라고 하였을 경우, 변위
재구성은 다음과 같이 표현할 수 있다.
∑−=
+++ ∆+∆=∆==a
a
aa
k
kpaakpaaka tptacttutu )()()()()( 1
221 ac (24a)
∑−=
+++ ∆+∆β=∆β==d
d
dd
k
kpddkpdddkd tptucttutu )()()()()( 1
42421 uc (24b)
여기서 ac 와 dc 는 각각 식 (23a)의 Ca 매트릭스의 )12( +ak 번 째 행
및 식 (23b)의 Cd 매트릭스의 )12( +dk 번 째 행을 의미한다. 식
18
(24a)에서는 high-sampling rate로 측정된 가속도 자료로부터 고주파수의
변위의 참 값 성분을 재구성하고, 반면 식 (24b)에서는 low-sampling rate로
측정된 변위 자료로부터 저주파수의 변위의 참 값 성분을 재구성하게
된다. 식 (24a)와 식 (24b)에 정의한 FFIR 필터는 각각 고주파수(HF)
필터 및 저주파수(LF) 필터로 정의 한다. HF 필터의 세부 사항에
대해서는 홍윤화 등(2010)의 연구 결과에 자세히 기술하였기 때문에, 본
논문에서는 생략하기로 한다. FIR 필터가 결정되고 나면, 식 (24a)와 식
(24b)와 같이 단순한 1차원 discrete convolution에 의한 과정으로 변위가
재구성된다. 현대 컴퓨터의 성능은 tera Flops(Floating-point per second)
정도이기 때문에 식 (24)의 방정식은 double-precision 일 경우 구조물의
변위가 t 만에 계산되므로, 시간창의 반만큼 지연 되는 실시간 변위
재구성이 가능하게 된다.
LF 필터는 매 td 간격으로 적용되기 때문에, 인접한 2개의 변위 샘플링
절점 사이에서 LF 필터에 의하여 변위로 재구성되는 가속도 샘플링
절점은 그림 3.2와 같이 Hermitian 형상함수를 사용하여 보간한다. 측정
변위 요소 e 에서 시간 ta 일 때의 가속도 샘플링 절점으로부터 재구성된
최종 변위는 다음 식과 같다.
edaHaaadaaa tutututu uN )()()()()( ξ+=+= (25)
여기서 ξa 는 요소 e 에서 시간 ta 일 때의 natural coordinate이며, edu 는
19
요소 e 의 절점 변위이다.
그림 3.2 가속도 sampling point에서 ud의 보간
그림 3.3는 LF 필터에서 시간창의 크기가 5=wN 일 때 여러 sampling
rates에 따른 dkp dc )( 1++ 계수를 나타낸다. HF 필터 계수의 그림은
참조문헌 [15] 에 나타나있다. HF 필터와 LF 필터의 계수는 0=p 에
대해 대칭이 되며 p 가 kd 에 접근할수록 0에 수렴하게 된다. FFIR
: Interpolated ud
: Reconstructed displacement from measured displacement
Time
Dis
plac
emen
t/Acc
eler
atio
n
at∆
dt
d
daaa t
ttt∆−
=ξ ,
dt∆
dd tt ∆+
)( aa tu
)( dd tu
)( ddd ttu ∆+
)( adu ξ
Interpolation function
: Reconstructed displacement from measured acceleration
20
필터의 전달 함수, 즉, ATF는 식 (24a)에 Fourier 변환을 적용하면
산출된다.
그림 3.3 DS rate에 대한 LF 필터의 계수
)(
)())~~2cos()(2))((~~2(
))(()()(
))(()()()(
111
21
2
12
aa
a
k
pTapkakT
aa
k
kpakpa
k
kpaakpaa
uFH
uFffpccff
tptuFct
tptaFctuF
a
aa
a
a
a
a
a
a
=
π+π−=
∆+ω∆−=
∆+∆=
∑
∑
∑
=+++
−=++
−=++
(26a)
여기서 aTT fff /~= 는 AS율에 대한 목표 주파수의 비율이며, aH 는 HF의
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
fd = fT
fd = 2fT
fd = 4fT
β2 (∆t d)4 (c
p+kd
+1)
d
p/kd
21
전달함수이다. HF 필터 계수의 대칭성은 식(26a)에서 사용된다.
마찬가지 방법으로 FFIR 필터의 DTF(LF 필터의 전달함수), 즉 dH 는
다음과 같이 유도된다.
))~~2cos()(2)(()~2(1
1144 ∑
=+++ π+πλ=
d
dd
k
pTsdpkdkTsd ffpmccfmH (26b)
전달함수의 허수 항은 계수의 대칭성에 의해 사라지게 되고 [5], 그러므로
FFIR 함수로 재구성된 변위에는 phase error가 발생하지 않게 된다. FFIR
필터의 TTF, 즉 TH 는 다음과 같이 정의된다.
daT HHH += (27
FFIR 필터의 TTF는 이산화하는 과정에서 발생하는 오차 때문에 전
주파수 영역에서 정확히 1이 되지는 않는다. 그러므로 FFIR 필터의
정확도는 TTF의 이론적 값 1에 대한 편차를 관찰하면 알 수 있다.
일반적으로 DS rate가 동적 변위 성분의 주파수 보다 충분히 낮기 때문에,
LF 필터로 변위를 재구성할 경우 발생하는 aliasing 현상 [5, 16]을 anti-
aliasing filter로 적절히 제거해주어야 한다. 기존 analog 측정 신호에 DS
rate의 반보다 높은 주파수의 변위 성분이 존재할 경우, 이 성분들은
저주파수 변위 성분으로 aliasing되며, 이 현상은 변위재구성 심한 오차를
발생시키게 된다. 그러므로 계측자료의 DS rate의 반보다 높은 주파수
22
성분을 필터링하기 위해 원 계측 자료가 analog-digital 처리과정을 거치기
이전에 anti-aliasing filter를 적용해 주어야 한다. Anti-aliasing 필터는 현재
거의 모든 계측장치에 탑재되어 있는 기본 제공 기능이므로, 본
연구에서는 계측자료에 anti-aliasing 필터를 기 적용한다고 가정하고,
변위성분의 DS rate의 반 이상의 주파수 성분은 이미 필터링된 것으로
간주한다. 이후부터 언급되는 DTF의 그래프는 DS율의 절반 이상에서는
0으로 처리된 그래프이다.
그림 3.4와 그림 3.5은 97.0=αT 와 99.0=αT 두 가지 목표
정확도에서의 ATF, DTF, TTF를 나타내고 있으며, 목표 주파수는 1Hz로
설정되었다. 그림에는 Sa =1000 일 때, ATF 와 250 ,500 ,1000=sm 에
상응하는 Sd = 1, 2, 4 일 때의 DTF를 각 각 나타내었다. Normalized 된
시간창의 크기는 5, 즉, Nw=5로 설정되었다. Sd =2 일 때의 DS rate는 목표
주파수의 Nyquist-rate에 대응된다. 홍윤화 등 [8]은 ATF가 0.1 fa 까지
목표 정확도를 만족시키는 것을 밝혀냈으며, normalized한 시간창이 5 보다
클 때, truncated Fourier series의 특징인 rippling 현상, 즉, Gibbs phenomenon[5,
16]이 크게 발생하지 않게 된다는 것을 확인하였다.
23
(a)
(b)
그림 3.4 5w =N and 97.0=Tα , DS rate에 대한 FFIR의 전달함수: (a) ATF, DTF (b) TTF
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
10-2 10-1 100 101 102
TTF for fd= 4fT
TTF for fd= 2fT
TTF for fd= fT
Normalized frequency, f~
Tran
sfer
func
tion
Exact TTF
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
10-2 10-1 100 101 102
DTF for fd = 4fT
DTF for fd = 2fT
DTF for fd = fT
ATF for fa = 1000fT
Normalized frequency, f~
Tran
sfer
func
tion
αT
24
(a)
(b)
그림 3.5 5w =N and 990= .Tα , DS rate에 대한 FFIR의 전달함수: (a) ATF, DTF (b) TTF
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
10-2 10-1 100 101 102
DTF for fd = 4fT
DTF for fd = 2fT
DTF for fd = fT
ATF for fa = 1000fT
Normalized frequency, f~
Tran
sfer
func
tion
αT
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
10-2 10-1 100 101 102
fa = 4fT
fa = 2fT
fa = fT
Normalized frequency, f~
Tran
sfer
func
tion
Exact TTF
25
그림 3.4(a)와 3.5(a)에서 변위의 고주파수( 1~≥f ) 성분과
저주파수( 1.0~≤f ) 성분이 DS rate에 관계없이 각각 HF 와 LF 필터에
의해서 정확히 재구성되는 것을 확인할 수 있다. 그림 3.4(b)와
3.5(b)에서 나타나듯이 1~1.0 ≤≤ f 인 전이영역에서는 변위 재구성의
정확도가 DS rate와 목표 주파수에 따라 정확도의 의존도가 크며, HF, LF
필터 모두 변위 재구성에 사용되는 것을 확인할 수 있다. 당연히 DS
rate가 높을수록 더 정확한 재구성을 할 수 있다. fT 절반의 주파수가
Nyquist rate에 해당되는 경우, 즉, 목표 주파수와 DS rate가 같을 경우에는,
전이 영역에서 변위 성분에 의한 오차가 크게 발생하게 된다. 즉, 변위
재구성의 정확도를 높이기 위해서는 목표 주파수의 Nyquist rate 이상의
DS rate 사용을 추천한다. 그러나, 전이영역에서 주목할 만한 변위
성분이 없을 경우, DS rate를 목표 주파수로 낮출 수도 있다.
전이영역에서는 심지어 낮은 DS rate에서도 목표 정확도가 높을수록 변위
재구성이 정확해지지만, 목표 주파수 부근의 TTF에서 Gibbs 현상이 더
심해지는 현상이 발생된다. 그러나 rippling하는 TTF의 진폭이 허용범위
내 발생하기 때문에, 계측장비의 한계로 인하여 보다 높은 DS rate의
계측이 어려울 경우, 높은 목표 정확도 값을 높게 하여 필터를 사용할 수
있다.
홍윤화 등[8]에서 언급되었듯이 여타 discrete filter와는 다르게, FFIR의
장점 중 하나는 추가적인 작업 없이 변위 재구성과 동시에 속도 재구성이
26
가능하다는 점이다. 속도는 Hermitian 함수를 사용한 FEM의 이산화된 각
요소별 벡터에 포함되어 있기 때문에, 속도 성분은 시간창의 중간에서
각각 식(23a)와 식(23b)의 계수 행렬의 (2ka+2) 번째 (2kd+2) 번째 행을
사용하여 간단히 산출할 수 있다.
∑−=
+++ ∆+∆==a
a
aa
k
kpaakpaka tptactvtv )()ˆ()( 11 (28a)
d
dk
kpdkpdkd t
tptuctvtvd
d
dd ∆∆+
∆β== ∑−=
+++)()ˆ()()( 1
421 (28b)
여기서 akpkaakp aaaCtc )()ˆ( 1,221 +++++ ∆= 그리고 dkpkddkp ddd
Ctc )()ˆ( 1,221 +++++ ∆=
이다. 식(28a) 와 식(28b)는 각 각 HF, LF 필터에 의해 재구성된 속도
성분을 나타낸다. 가속도 sampling point에서 LF 필터에 의해 재구성된
속도는 변위 보간과 마찬가지로 Hermitian 형상함수로 보간된다. 시간 ta
에 대응하는 가속도 sampling point에서 속도는 다음과 같다.
eda
H
daaadaaa d
dt
tvtvtvtv uN )(1)()()()( ξξ∆
+=+= (29)
식 28(a)의 p 에 대한 계수의 변화는 홍윤화 등[8]에서 제시하고 있으며,
그림 3.6은 Nw = 5 일 때의 식(28b)의 계수를 나타내고 있다. 식 28(a)와
식 28(b)의 계수는 항상 anti-symmetric한 특성이 나타나게 된다. 속도
재구성 FFIR 필터의 전달함수는 식 28에 Fourier 변환을 적용하면 구할
27
수 있다. 계수의 anti-symmetric 특성으로 인하여 cosine 항은 전부 제거할
수 있다.
그림 3.6 DS rate에 대한 속도 재구성 LF 필터 계수
)()()~2sin()ˆ(~~4)(1
1 aaa
k
pTakpTa vFVvFffpcffvF
a
a=ππ−= ∑
=++ (30a)
)()()~2sin()ˆ(~~)~2()( 1
44
dddTs
k
kpdkp
Ts
Tsd vFVvFffpmc
ffmfmvF
d
d
d=π
ππλ
= ∑−=
++ (30b)
여기서 ω= iaFvF a /)()( 이며 ωiuFvF d )()( = 이고 i 는 허수함수이다.
aV 와 dV 는 각각 속도 재구성의 ATF와 DTF이며, TTF는 이 둘의 합이다.
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
fd = 4fT
fd = 2fT
fd = fT
β2 (∆t d)4 (c
p+kd
+1)
d
p/kd
^
28
daT VVV += (31)
그림 3.7은 속도 재구성의 ATF, DTF, TTF를 보여주고 있으며, 이는 변위
재구성의 경우와 유사한 특성을 보이고 있는 것을 알 수 있다. 속도
재구성의 sampling rate와 정확도에 대한 논의는 변위 재구성과 동일하기
때문에 여기서는 자세한 설명은 생략한다.
29
(a)
(b)
그림 3.7 5w =N and 97.0=αT , DS rate에 대한 속도재구성 전달함수: (a) ATF, DTF (b) TTF
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
10-2 10-1 100 101 102
TTF for fd= 4fT
TTF for fd= 2fT
TTF for fd= fT
Normalized frequency, f~
Tran
sfer
func
tion
Exact TTF
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
10-2 10-1 100 101 102
DTF for fd = 4fT
DTF for fd = 2fT
DTF for fd = fT
ATF for fa = 1000fT
Normalized frequency, f~
Tran
sfer
func
tion
αT
30
4. 수치 해석 시뮬레이션과 실제 계측값의 적용 및 평가
위에서 언급한 필터의 유효성은 수치 해석 시뮬레이션과 실제 철도교량의
현장 계측 값에 대하여 평가하였다. 이해성 등[7] 및 홍윤화 등[8]은
단지 가속도 계측값 만으로 위 두 방법에 대해 평가하였다. 이에 대한
세부 그림과 사진들은 참조문헌 [7]에서 찾을 수 있다. 이번 연구에서는
가속도와 변위 계측값 모두를 사용하였다. 측정값과 계측값을 비교할
때에는 동일한 sampling rate의 가속도와 변위 자료를 사용하였으나, 변위
재구성에서는 일반적인 변위 계측기의 성능을 반영하기 위해 계측 변위를
낮게 샘플링하였다. 그리고 aliasing 현상을 피하기 위해 우선 목표로
낮출 sampling rate의 반에 해당하는 high-cut 필터를 주파수 영역에서 실제
계측값에 적용하였고, 그 이후에 변위의 sampling rate를 낮추었다. 이
과정은 실제 계측값에 anti-aliasing 필터를 적용하는 효과와 동일한
방법이다. 이후부터는 별도 언급이 없을 경우, 모든 예제의 목표 정확도
0.97, Nw =5를 기본으로 설정하겠다.
31
4.1 수치 해석 시뮬레이션 예제
수치 해석 시뮬레이션은 길이 40m의 단순 지지 보에 forced excitation을
가하여 가속도, 속도 그리고 변위를 동해석하였다. 여기서는 Rayleigh
damping model [20]을 적용하였으며 감쇠율 1%의 1st mode, 2nd mode 를
가지는 감쇠 계수를 선정하였다. 단위 길이당 질량 및 강성은 각각
1.5×103 kg/m와 6.03×1010 N⋅m2이며, 보는 10개의 요소로 이산화 하였다.
운동방정식의 적분에는 일정 가속도 조건 [17]을 기반으로 Newmark-
β method를 적용하였다. 변위는 각 요소마다 Hermitian 형상 함수로 보간
하였으며, 동해석의 시간 간격은 0.001초이다. 보의 고유 진동수는
6.22Hz로 계산되었으며, 보의 중앙에서 계산된 변위를 결과값으로
해석하였다. AS rate는 1000Hz로 고정하였고 DS rate는 2, 4, 8Hz를
사용하었다.
보의 왼쪽 support에서 12m 오른쪽 지점에 excitation force를 12초 동안
적용하였다. 이 예제에서는 두 가지 하중을 고려하였다. 각각의 하중
조건은 저주파수와 고주파수의 하중으로 구성되었다. 다음 식과 같이
고주파수의 force는 두 하중조건에 동일하게 적용된다.
210)0.11sin1.59 6.7sin7.900.4sin8.87()( ×π+π+π=Φ ttttH MN (32)
여기서 HΦ 는 주파수 2.0, 3.8, 5.5Hz의 고주파수 하중으로 정의한다. 각
하중조건은 다음과 같이 저주파수 하중을 다르게 적용하였다.
32
2I 10)6.1sin(29.13)( ×π=Φ ttL , 2II 10)16.0sin(75.9)( ×π=Φ ttL MN (33)
여기서 kLΦ 는 k 하중조건의 저주파수 하중이다. 하중 조건 I과 II의
저주파수 하중의 주파수는 각각 0.8, 0.08Hz이다. k = I, II일 경우에 총
하중은 HkL
k Φ+Φ=Φ 이다. 그림 4.1과 그림 4.2는 하중 조건에 대해
각각 1000Hz로 샘플링된 계측 가속도, 계측 변위를 보여준다. 계측
가속도의 그래프에서는 2.00Hz, 3,83Hz, 5.50Hz, 6.25Hz, 4개 주요 주파수가
나타난다. 세 번째 주파수까지는 고주파수 하중에 따른 결과이며,
마지막은 보의 고유 진동수이다. Low excitation의 peak가 그래프에 잘
표현되지 않기 때문에, 목표 주파수는 2개의 하중조건 모두 2.0Hz을
설정하였다. 그러나 그림 10에서는 2개의 하중조건 모두 low frequency
excitation의 peak가 잘 나타나는데, 이는 보의 total 변위에 low frequency
excitation이 상당히 기여하는 것을 나타낸다.
33
(a)
(b)
그림 4.1 수치 해석 예제 계측가속도 FFT : (a) 하중조건 I (b) 하중조건 II
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0 2 4 6 8
Nor
mal
ized
am
plitu
de
Frequency(Hz)
2.00 Hz
5.50 Hz
3.83 Hz 6.25 Hz
0.08 Hz
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0 2 4 6 8
Nor
mal
ized
am
plitu
de
Frequency(Hz)
2.00 Hz
5.50 Hz
3.83 Hz 6.25 Hz
0.83 Hz
34
(a)
(b)
그림 4.2 수치 해석 예제 계측변위 FFT : (a) 하중조건 I (b) 하중조건 II
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0 2 4 6 8
Nor
mal
ized
am
plitu
de
Frequency(Hz)
2.00 Hz
5.50 Hz
3.83 Hz
6.25 Hz
0.83 Hz
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0 2 4 6 8
Nor
mal
ized
am
plitu
de
Frequency(Hz)
2.00 Hz
5.50 Hz
3.83 Hz
6.25 Hz
0.08 Hz
35
그림 4.3은 df = Tf4 (8 Hz), Tf2 (4 Hz), Tf (2 Hz)에서 FFIR 필터의 ATF,
DTF, TTF를 보여주고 있다. 그림에서 보이는 전달함수는 그림 3.4에서
50~≤f 일 때와 거의 동일한 양상을 보이고 있다. 하중조건 I의 low
excitation 주파수에서 DTF는 df = Tf4 , Tf2 , Tf 일 경우 각각 0.548, 0.493,
0.379이다. 이 주파수에서 ATF는 0.437(그림 4.3(a))이며, low excitation
주파수에서의 TTF는 상기 3가지 DS rate에 대해 각각 0.985, 0.930,
0.815이다. 그러므로 Tf4 , Tf2 , Tf 의 DS rate에 대한 변위 재구성의
오차는 각각 약 1.5%, 7.0%, 18.5%이다. 0.1~≥f 에서 TTF가 목표
정확도(0.97) 안에 들어오므로, 목표 주파수 이상의 주파수를 가진 각
변위 성분에 대한 변위 재구성 오차는 3% 이하로 예상할 수 있다. 그림
4.4에서 LF, HF 필터에 의해 재구성된 변위를 확인할 수 있다. 여기서는
LF 필터에 의해 재구성된 변위의 진폭이 low excitation 주파수에서 각 DS
rate의 DTF 값에 정확히 비례하는 것을 확인할 수 있다.
그림 4.5는 1000Hz로 계측된 변위를 세 개의 DS rate로 샘플링한 값에
대한 변위 재구성을 large scale, small scale 그래프로 표시하였다. 세 개의
DS rate로 샘플링한 변위 재구성 결과가 small scale에서 거의 분별하기
힘들기 때문에, 그림 4.5(a)에서는 df = Tf4 만 그래프로 나타냈으며, 각
개별 sampling rate에 대한 결과는 그림 4.5(b)로 나타났다. 그림 4.5(b)에서
볼 수 있듯이 df = Tf4 에서 계측 변위와 재구성된 변위와의 차이는 small
scale 뿐만 아니라 large scale의 그래프에서도 그 차이가 눈으로 쉽게
36
구분할 수 없는 것을 확인할 수 있다. Peak(t =6.087s)에서의 오차는 그림
4.5(b)에 나타나 있듯이 df = Tf2 와 Tf 일 때 각각 4.1%, 13% 이다.
그림 4.6에서는 df = Tf 일 때 목표 정확도가 변위재구성에 미치는
영향을 확인할 수 있다. 그림 3.6(b)에 나타나 있듯이 전이 영역에서
목표 정확도가 높아질수록 TTF의 정확도가 높아지기 때문에
97.0=αT 보다 99.0=αT 일 때 변위 재구성은 더 정확해 진다. 그러나
높은 목표 정확도는 전이 영역에서 HF 필터의 noise 억제력이 약해지므로,
HF 필터가 계측 가속도의 noise를 충분히 억제할 수 있도록 목표
정확도를 선택해야 한다.
37
(a)
(b)
그림 4.3 수치 해석 예제 DS rate에 따른 FFIR의 전달함수 :
(a) ATF, DTF (b) TTF
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
10-2 10-1 100 101 102
DSR = 4fT
DSR = 2fT
DSR = fT
Normalized frequency, f~
Tran
sfer
func
tion
the lowest frequency of case II
the lowest frequency of case I
αT
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
10-1 100
DTF for fd = 4fT
DTF for fd = 2fT
DTF for fd = fT
ATF for fa = 500fT
Normalized frequency, f~
Tran
sfer
func
tion
the lowest frequency of case I αT
0.5480.493
0.4370.378
38
(a)
(b)
3
그림 4.4 하중조건 I의 DS rate에 따른 noise-free 변위 재구성:
(a) LF 필터 (b) HF 필터
-60
-40
-20
0
20
40
60
4 5 6 7 8
fa = 500 fT
Dis
plac
emen
t (m
m)
Time (sec)
-15
0
15
4 5 6 7 8
fd = 4fT fd = 2fT fd = fT
Dis
plac
emen
t (m
m)
Time (sec)
39
(a)
(b)
그림 4.5 하중조건 I의 DS rate에 따른 noise-free 변위 재구성:
(a) 전체 결과 (b) (a)의 동그라미 부분
-25
0
25
6.0 6.1 6.2
fd = 4fT
fd = 2fT
fd = fT
Measured at 1000 Hz
Dis
plac
emen
t (m
m)
Time (sec)
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
4 5 6 7 8
Reconstructed at fd = 4fT
Measured at 1000 Hz
Dis
plac
emen
t (m
m)
Time (sec)
40
그림 4.6 하중조건 I의 목표 정확도에 따른 noise-free 변위 재구성
하중조건 II에서 세 개의 DS rate에 대한 변위 재구성 결과는 그림 4.7에
나타나 있다. 하중조건 I과 같이 결과를 small scale, large scale의 그래프로
나타내었다. 하중조건 II의 모든 DS rate에 대한 low excitation 주파수가
TTF가 거의 1인 저주파수 영역 내 있기 때문에, 그림 4.7(b)와 같이 large
scale 그래프에서도 세 개의 DS rate에 대한 변위 재구성 결과의 차이는
눈으로 구별하기가 쉽지 않다.
이제 계측 오차의 영향이 변위 재구성에 미치는 영향에 대해 살펴보겠다.
균일한 확률밀도함수에 의해 생성된 20%, 5%의 proportional random noise를
하중조건 II에 대해 계산된 noise-free 변위와 가속도에 각각 포함시켜
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
5.0 5.5 6.0
αT = 0.97
αT = 0.99Measured at 1000 Hz
Dis
plac
emen
t (m
m)
Time (sec)
41
시뮬레이션을 진행해 보았다. 그림 4.8은 df = Tf4 에서 오차가 포함된
변위의 재구성 결과를 1000Hz에서 계측된 noise-free 변위와 noise-free
계측값으로부터 재구성된 결과와 비교하고 있다. 오차의 정도가 매우
크지만 FFIR 적용결과 오차의 증폭이 없이 안정하고 정확한 결과가
산출된 것을 확인할 수 있다. 여기서 t =9.12s에서의 오차는 약 15%가
산출되었다.
FFIR 필터의 전반적인 성능은 표 1에서 계측 변위에 대한 재구성 결과의
RMS 오차를 사용하여 나타내었다. DS rate가 높을수록 재구성 결과의
오차가 작아지는 결과가 도출되었다. 하중조건 I에서 오차 유무 결과의
RMS 오차를 비교해보면, DS rate가 낮을 때, 변위 자체의 오차보다는
전이영역에서의 TTF에서 발생되는 오차가 변위 재구성 전체 오차에
영향이 큰 현상을 확인할 수 있다. 반면, 하중조건 II에 대해서는 3개의
DS rate 모두 거의 비슷한 오차 수준을 보이고 있는데, 이것은 LF 필터의
오차 억제력이 본 예제에서 사용한 DS rate에 대해 1.0~≤f 인 저주파수
영역에서 독립적으로 작용하는 것으로 보인다.
42
(a)
(b)
그림 4.7 하중조건 II의 DS rate에 따른 noise-free 변위 재구성:
(a) 전체 결과 (b) (a)의 동그라미 세부 결과
-80
-60
-40
-20
0
20
40
6 7 8 9 10
Reconstructed at fd = 4fT
Measured at 1000 Hz
Dis
plac
emen
t (m
m)
Time (sec)
-30
-20
-10
0
10
8.9 9.0 9.1 9.2
Reconstructed at fd = 4fT
Reconstructed at fd = 2fT
Reconstructed at fd = fT
Measured at 1000 Hz
Dis
plac
emen
t (m
m)
Time (sec)
43
그림 4.8 하중조건 II에서 Td ff 4= 일 때, 오차가 포함된 변위재구성
표 4.1 97.0=αT 일 때의 변위 재구성 RMS 오차
Load case
Noise free
Uniformly distributed proportional random noise
(5% in acc., 20% in disp.)
Td ff 4= Td ff 2= Td ff = Td ff 4= Td ff 2= Td ff =
I 1.13 % 4.53 % 16.10 % 4.02 % 6.12 % 16.07 %
II 0.27 % 1.29 % 1.33 % 4.25 % 3.8 % 3.96 %
그림 4.9는 하중조건 I에서 재구성된 속도와 Tf4 의 DS rate로 LF
필터링된 속도, 그리고 1000Hz에서 계측된 속도를 나타내고 있다.
-30
-20
-10
0
10
8.9 9.0 9.1 9.2
With noise-free data
With random noise
Measured at1000 Hz
Dis
plac
emen
t (m
m)
Time (sec)
44
저주파수 하중에 의해 발생하는 동적 변위는 고주파수 하중에 의한
변위보다 상대적으로 작기 때문에, 속도재구성 결과의 정확도는 HF
필터의 정확도에 주로 의존하게 된다. 표 2는 속도 재구성에 대한 FFIR
필터의 전반적인 성능을 나타내고 있다. 일반적으로 변위 재구성에 비해
속도 재구성 결과의 RMS 오차가 작게 나타나는데 이것은 DTF의 오차가
속도 재구성에 미치는 영향이 미미하기 때문에 발생하는 현상이다.
그림 4.9 하중조건 I 의 noise-free 속도 재구성
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
4 5 6 7 8
Reconstructed velocity from LF filter at fd = 4fT
Total reconstructed velocity at fd = 4fT
Measured velocity at 1000 Hz
Vel
ocity
(m/s
ec)
Time (sec)
45
Table 2. 97.0=αT 일 때 수치 해석 예제에 대한 속도 재구성 오차
Load case Noise free
Uniformly distributed
proportional random noise
(5% in acc., 20% in disp.)
Td ff 4= Td ff 2= Td ff = Td ff 4= Td ff 2= Td ff =
I 0.35 % 1.34 % 3.96 % 0.90 % 1.44 % 4.08 %
II 0.19 % 0.79 % 0.79 % 0.76 % 1.10 % 1.05 %
46
4.2 철도 교량 현장실험 예제 적용 및 평가
이번에는 KTX 철도 경부선의 40m 경간 단순 지지 교량에 대한 현장실험
자료에 대한 적용 및 평가에 대한 결과이다. KTX 철도 운행 중의 교량
정중앙에서 1000Hz로 가속도와 변위를 계측하였으며, 변위를 계측하기
위해 LVDT(Linear Variable Differential Transducer)가 사용되었다. 이 실험은
포항산업과학연구연구원의 강구조 연구소에서 실제로 수행하였다. 철도
운행 중 교량의 변위 계측값은 고속으로 달리는 기차로 인하여 발생하는
동적 변위와 Pseudo-static 변위 2가지로 나누어 진다. 전자와 후자는
각각 HF 필터와 LF 필터에 의해 재구성되었다.
그림 4.10은 1000Hz로 샘플링된 가속도와 변위의 FFT 그래프를 나타내고
있다. 그림 4.10(a)와 같이 2.94, 3.97, 5.91Hz의 주요 주파수 성분을
확인할 수 있으며, 이에 따라 목표 주파수는 2.94Hz로 설정하였다. 1Hz
부근에 몇몇 소규모 진폭의 peak가 보이지만 이는 HF 필터에서 필터링
되는 비 동적 성분 혹은 오차 성분으로 간주하였다. 그림 4.10(b)에서
나타나는 계측 변위의 FFT 그래프는 LF 필터로 재구성되는 주파수
0~1Hz 부근의 저주파수 성분이 존재하는 것을 확인시켜준다.
47
(a)
(b)
그림 4.10 철도 교량 계측값에 대한 FFT : (a) 가속도 (b) 변위
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0 2 4 6
Nor
mal
ized
am
plitu
de
Frequency(Hz)
3.969 Hz
2.938 Hz
5.906 Hz
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0 2 4 6
Nor
mal
ized
am
plitu
de
Frequency(Hz)
3.969 Hz2.938 Hz
5.906 Hz
48
그림 4.11 FFIR 필터의 DS rate에 따른 TTF 결과
AS rate는 1000Hz(340.14 fT)로 설정하였고, DS rate는 10, 8, 4Hz를
적용하였다. 상기 DS rate는 각각 Tf40.3 , Tf73.2 , Tf36.1 에 해당된다.
그림 4.11은 세 개의 DS rate에 대한 TTF를 나타낸다. 그림 4.12(a)는 세
개의 DS rate에 대해 LF 필터로 재구성된 Pseudo-static 변위를 나타내고
있으며, 그림 4.12(b)는 HF에 의해 재구성된 동적 변위를 보여주고 있다.
그림 4.12(a)에 두 peak는 기차가 교량을 누르고 당기는 시점의 Pseudo-
static 변위를 나타내고 있다. 그래프에서 Pseudo-static 변위가 일정한
구간은 기차가 교량 위를 통과중일 때만 발생한다. Pseudo-static 변위가
일정한 부분은 Tf1.0 이하의 거의 0에 가까운 주파수를 가지고 있기
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
10-2 10-1 100 101 102
fd = 10 Hzfd = 8 Hzfd = 4 Hz
Normalized frequency, f~
Tran
sfer
func
tion
Frequency of the pseudo-static displacement around two peaks
αT
49
때문에 LF 필터가 이를 정확하게 재구성하게 된다. 그러나 가장 낮은
DS rate, 즉, Tf36.1 일 때는 두 peak 값 부근에서 재구성 오차가 조금
발생한다. 두 peak 주변의 Pseudo-static 변위를 Sine함수의 신호로 가정할
때 두 peak의 주기와 주파수는 각각 약 2.62s, 0.38Hz이다. Peak 값의
주파수는 TTF의 전이영역 중 lower bound, 즉, 294.01.0 =Tf Hz보다 크기
때문에, df = Tf36.1 에서 LF 필터에 의해 재구성된 변위의 진폭은
TTF의 전이 영역에 의한 오차로 인하여 실제보다 약간 작아지게 되며,
다른 DS rate의 경우에는 거의 차이가 없는 것으로 결과가 산출되었다.
50
(a)
(b)
그림 4.12 철도 교량 예제 DS rate에 따른 변위 재구성 결과 :
(a) LF 필터 (b) HF 필터
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
4 6 8 10 12 14 16
fa = 1000 Hz (340.14 fT)
Dis
plac
emen
t (cm
)
Time (sec)
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
4 6 8 10 12 14 16
fd = 10Hz (3.40fT)fd = 8Hz (2.73fT)fd = 4Hz (1.36fT)
Dis
plac
emen
t (cm
)
Time (sec)
Leading locomotive Passenger cars Pushing locomotive
Half cycle (1.31 s.)
51
그림 4.13 철도 교량 예제 )(3.40 Hz 10 Td ff = 일 때의 변위 재구성
그림 4.13은 DS rate가 Tf40.3 일 때 재구성된 변위를 1000Hz로 실제
계측된 변위와 비교하고 있다. 그림 4.14(a)와 그림 4.14(b)는 새 개의 DS
rate에 대해 그림 4.14에서 동그라미 친 부분을 자세히 보여준다. 첫
번째와 두 번째 동그라미 부분은 각각 flat Pseudo-static 변위 구간과 두
번째 peak 부분을 나타낸다. 그림 4.14(a)에서 보여주듯이 모든 DS rate에
해 flat pseudo-static 부분의 재구성 결과는 실제 계측값을 충분히 정확하게
반영하는 것을 볼 수 있다. 마찬가지로, Td ff 40.3= 와 Tf73.2 에 대해
두 번째 peak 영역에서 재구성된 변위는 실제 계측 변위와 매우 정확하게
일치하는 것을 확인할 수 있다. 그러나 Td ff 36.1= 일 때, 전이영역에서
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
4 6 8 10 12 14 16
Reconstructed at fd = 10Hz (3.40fT)Measured at 1000 Hz (340.14 fT)
Dis
plac
emen
t (cm
)
Time (sec)
52
TTF 오차로 인해 재구성된 변위에 오차가 약간 발생하는 것을 볼 수
있다.
이 실험에서 사용된 변위는 LVDT에 의해 계측된 값이며, 이 장비는
정도가 매우 높은 계측 장비이다. 현장의 열악한 계측 여건을 반영하기
위해서 LVDT 계측변위에 10% proportional random noise를 추가하여 필터의
성능을 평가한 결과, 그림 4.15과 같이 Td ff 73.2= 일 때의 결과를
산출하였다. 결과적으로, FFIR 필터에 의해 재구성된 변위는 꽤 높은
오차 수준에도 불구하고 충분히 정확하게 변위 재구성을 할 수 있었다.
53
(a)
(b)
그림 4.14 그림 4.13의 동그라미 세부 그림 :
(a) sec2.8sec4.7 ≤≤ t (b) sec2.12sec6.11 ≤≤ t
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
11.6 11.8 12.0 12.2
fd = 10Hz (3.40fT)
fd = 8Hz (2.73fT)
fd = 4Hz (1.36fT)
Measured at 1000 Hz (340.14 fT)
Dis
plac
emen
t (cm
)
Time (sec)
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
7.4 7.6 7.8 8.0 8.2
fd = 10Hz (3.40fT)
fd = 8Hz (2.73fT)
fd = 4Hz (1.36fT)
Measured at 1000 Hz (340.14 fT)
Dis
plac
emen
t (cm
)
Time (sec)
54
그림 4.15 철도 교량 예제 )73.2( Hz8 Td ff = 일 때 10% random-noise
변위 재구성 결과
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
11.6 11.8 12.0 12.2
Reconstructed at fd = 2.73fT with added random noise
Measured at fd = 340.14fT
Dis
plac
emen
t (cm
)
Time (sec)
55
5. 요약 및 결론
본 연구에서는 주로 저주파수 변위가 현저한 건물의 Pseudo-static 변위와
동적 변위를 재구성하기 위해 새로운 FFIR 필터를 제안하고 있다. 이
필터의 특징은 변위 재구성을 위해 계측 가속도와 계측 변위 모두
사용한다. 즉, 고주파수로 샘플링한 가속도와, GPS 장비와 같이
일반적으로 저주파수로 샘플링한 변위를 변위 재구성에 사용된다. 변위
재구성의 지배방정식은 역해석의 한 가지 방법인 최소오차의 변분 원리에
의해 유도된다. 여기서 지배방정식을 유한요소화하면 이산화된 FFIR
필터가 산출된다. 이 필터의 정확도는 여러 변위 sampling rate와 목표
정확도로 생성된 전달함수에 대해서 자세하게 평가하였다. 이 필터를
사용할 때에는 변위 sampling rate를 목표 주파수의 Nyquist-rate보다 높게
샘플링 하는 것을 권한다. 만약 이 sampling rate보다 변위 샘플링이
낮다면 목표 정확도를 높이는 방법이 보다 더 정확한 결과를 산출할 수
있다.
FFIR 필터의 평가는 수치 해석 시뮬레이션 예제와 철도교량 실제
계측값을 적용하여 수행하였다. 두 예제 모두 FFIR 필터는 비교적 높은
오차에도 불구하고 안정하고 정확하게 변위를 재구성하는 결과를
보여주고 있다. 덧붙여서 Sampling rate, 목표 주파수, 오차 등 다방면에서
필터 성능의 펑가를 이 연구에서 수행하였고, 별도의 추가 작업 없이
56
속도 또한 재구성할 수 있는 방법을 예제를 통하여 제시하였다.
구조물의 변위는 구조물의 거동에 유용한 정보를 포함하고 있기 때문에
변위 재구성은 구조물의 Health monitoring과 유지관리에 다양하게 응용할
수 있다. 그러므로 본 필터는 직접적으로 계측이 어려운 교량과 빌딩 등
대규모 건축물에 유용하게 사용할 수 있을 것이라 판단된다.
57
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River, NJ, 2001.
60
ABSTRACT
This paper presents a displacement reconstruction scheme using acceleration
measured at a high sampling rate and displacement measured at a considerably low
sampling rate. The governing equation and the boundary conditions for the
reconstruction are derived using the variational statement of an inverse problem to
minimize the errors between measured and reconstructed responses. The transfer
function of the governing equation is identically 1 over whole frequency domain,
and the proposed scheme would not result in any reconstruction error. A finite
impulse response filter (FIR filter) is formulated through the finite element
discretization of the governing equation. The Hermitian shape function is adopted
to interpolate the displacement in a finite element. The transfer functions of the
FIR filter are derived, and their characteristics are thoroughly discussed. It is
recommended that the displacement sampling rate should be higher than the Nyquist
rate of the target frequency, which is the lowest physically meaningful frequency in
measured acceleration. In case the displacement sampling rate is lower than the
recommended rate, the use of a higher target accuracy, which is the predefined
accuracy at the target frequency, is required. The reconstruction of velocity with
the proposed scheme is also presented. The validity of the proposed scheme is
demonstrated with a numerical simulation study and a field test on a simply-
supported railway bridge.
61
keywords
Reconstruction of displacement; Inverse problem; Minimization; Finite impulse
response (FIR) filter; Target frequency; Target accuracy
Student Number : 2004-21287
62
감사의 글
이 연구를 할 수 있었던 것에 대해 제일 먼저 담당 교수님인 이해성 교수
님께 깊은 감사를 드립니다. 개인 사정상 대학원을 그만둘 수 밖에 없었
던 저를 언제든 다시 찾아오라며 따뜻하게 위로해주신 그 말은 평생 잊지 않고 기억하겠습니다. 그리고 교수님의 선행연구에 대한 후속연구를 할 수 있게 허락해 주시고 지도해주신 은혜에 다시 감사 드리며, 여기에 참
여할 수 있었던 저는 이를 영광스럽게 생각하고 있습니다. 그리고 연구 처음부터 끝까지 가르쳐주고 파트 타임인 나를 이끌어 주기 위해 가장 고생 많이 한 윤화, 나랑 역사가 가장 깊은 길제, 그리고 조언
을 아끼지 않은 승근이 셋 모두 진심으로 감사하고 졸업한 것을 축하한다. 연구실이 어색했던 나에게 항상 잘해준 종서와 내 후임으로 들어온 근원
이 에게도 감사의 말을 전하며 앞으로 무슨 일이 있으면 항상 연락해주길
바란다. 논문 마지막에 기여가 컸던 광연이랑 승한이, 수업들을 때 하나
부터 열까지 다 챙겨준 진호, 모르는 것이 없는 척척박사 희동이, 나와
같이 논문 발표를 하게 된 지현이, 호현이, 진욱이, 그리고 중간에 들어온
예슬이 그리고 새로 들어온 신입생들 모두들 고맙다는 인사를 전하고 싶
다.
회사다 대학원이다 집에 신경을 못쓴 나를 대신하여 안팎으로 가장 고생
한 아현아 사랑한다. 그리고 이제 100일 갓 넘긴 서영이와 서진아 너희
들 덕분에 난 행복하단다. 그리고 뒤늦은 학업에 걱정 많으셨던 부모님
그리고 무능한 저 때문에 애들을 돌봐주시느라 밤이나 낮이나 쉬지 못하
셨던 장인어른, 장모님 너무 감사 드리며 사랑합니다.
마지막으로 저에게 학업 성취의 기회를 주고 지원해주신 수자원공사 선후
배님들에게 깊은 감사를 드립니다.
