応用数学Ⅱ （4） - 北海道大学 · 2014-08-25 · 1 応用数学Ⅱ （4） 1....

1

応用数学Ⅱ （４）

1. 線形バネ振動の問題

2. 運動方程式

3. 斉次形の解法

§4 バネの問題を例にとった現象記述

§5 線形2階定係数常微分方程式の解法

2

例題（１）


y

y0m m

外乱

平衡状態

強制変位

復元力 F

質量mのおもりをコイルバネに

よって天井から吊るす場合，バネが伸びてちょうど釣り合った状態を平衡状態とする．このときのおもりの重心を原点として，右図の状態のように下方にy0だけバネを引き伸ばして手を離す．

この後，おもりはどのような運動をするか？

k：比例定数

（バネ定数） y

(1)F ky 　　　

変位量yに比例した復元力この現象を微分方程式として

記述する．

3

例題（１）

y

y0m m

外乱

平衡状態

強制変位

復元力 F

k：比例定数


(1) 'ma F ky 　　　

〈1〉変数

・独立変数：時間t → 説明変数

・従属変数（未知数）：

重心の釣り合い位置からの変位y

→ 目的変数

注）変位yは原点を釣り合いの位

置に定めた座標軸で定義

〈2〉現象の成り立ち

Newtonの第2法則をもとに考える．（おもりの質量）×（おもりの加速度）＝（外力）＝（バネの復元力）


4

1( ) ( )

(2)

y t t y tv

t

dyy t t y t

t dt

dy

dt

　　　　　

〈3〉微尐変化量の表現

微小時間δt の間の変化を考えてTaylor展開を利用し，微分方程式を導く．

おもりの速度おもりの加速度

1( ) ( )

(3)

v t t v ta

t

dvv t t v t

t dt

dv

dt

　　　　　

式(3)に式(2)を代入すると， 2

2(4)

d dy d ya

dt dt dt

　　　　

Taylor展開

例題（１）


5

Taylor展開

Taylor 展開

xf が x 軸上で定義された滑らかな関数（何回でも微分できる）で、a を変数、n を

整数としたとき、

10,

0lim

!

1

!1

1

''!2

1'

!1

1

11

2

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　＋

･･･

axa

RR

axfn

axafn

axafaxafafxf

nn

nnnn

剰余項

2

1 1

1 1' ''

1! 2!

1 1

1 ! !

n n n n

y t t y t y t t y t t

y t t y tn n

････

　　　　　　　　　　

ここで、 t は微少量なので

　　････　　　　　　　　　　 32 '''!3

1''

!2

1' ttyttytty である。

そこで、 2t 以上の項（高次項）が t の項と比較して微小のため無視できるものと考えると、

tdt

tdytytty である。

これを式（2）に代入すると、

I･

ttdt

tdytytyt

2S･

tytdt

tdyty

両辺に t がかかっているので、両辺をδt で割ると、

I－

tdt

tdyty

2

2S

dt

tdy

ここで，f (t) ⇒ y (t)，x ⇒ t+δt，a ⇒ t

2

1 1

1 1' ''

1! 2!

1 1

1 ! !

n n n n

y t t y t y t t y t t

y t t y tn n

････

　　　　　　　　　　

ここで、 t は微少量なので

　　････　　　　　　　　　　 32 '''!3

1''

!2

1' ttyttytty である。

そこで、 2t 以上の項（高次項）が t の項と比較して微小のため無視できるものと考えると、

tdt

tdytytty である。

これを式（2）に代入すると、

I･

ttdt

tdytytyt

2S･

tytdt

tdyty

両辺に t がかかっているので、両辺をδt で割ると、

I－

tdt

tdyty

2

2S

dt

tdy

6

〈4〉微分方程式の導出

外力について考えると，

2

2

2

20 (5)

d ym ky

dt

d y ky

dt m

　　　　

重力は引張り力と釣り合っており，その釣り合い位置を原点としているので，バネの復元力とは関係がない．

バネの変位に伴う復元力は，変位の向きと逆向きの変位量に比例して働く．

(1)F ky 　　　

以上から，現象の成り立ちを考慮すると，

例題（１）


(1) 'ma F ky 　　　

7

〈5〉初期条件

高階の微分方程式は最高階の階数に等しい条件式が必要 e.g. 2階の微分方程式 → 2個

00, (6)

0, 0 (7)

t y y

dyt v

dt

　　　　

　　　　

〈6〉成立条件

バネの変位が弾性限界を超えない範囲で成立

例題（１）


8

釣合位置

変位：y

バネ係数k

質量m

例題（２）

平衡状態

左図のように，バネに繋がれたおもりのもう一方の端に減速用のシリンダー（ダッシュポット）が取り付けられている．このダッシュポットは，おもりの変位速度vに比例する減衰力Rを及ぼすことが知られている．すなわち，

このような系（スプリング・ダッシュポット系）におけるおもりの運動を表す微分方程式を導け．

(4)F ky 　　　変位量yに比例した復元力

この現象を微分方程式として記述する．

β：比例定数

（減衰定数）

(5)R v 　　　


9

釣合位置

変位：y

バネ係数k

質量m

例題（２）

平衡状態

β：比例定数

（減衰定数）

〈1〉変数

・独立変数：時間t → 説明変数

・従属変数（未知数）：

重心の釣り合い位置からの変位y → 目的変数

注）変位yは原点を釣り合いの位置に定めた座標

軸で定義

(6)ma F ky v 　　　

〈2〉現象の成り立ち

Newtonの第2法則をもとに考える．（おもりの質量）×（おもりの加速度）＝（外力）＝（バネの復元力）＋（ダッシュポットの抵抗力）


10

1( ) ( )

(2)

y t t y tv

t

dyy t t y t

t dt

dy

dt

　　　　　

〈3〉微尐変化量の表現

微小時間δt の間の変化を考えてTaylor展開を利用し，微分方程式を導く．

おもりの速度おもりの加速度

1( ) ( )

(3)

v t t v ta

t

dvv t t v t

t dt

dv

dt

　　　　　

式(3)に式(2)を代入すると， 2

2(4)

d dy d ya

dt dt dt

　　　　

Taylor展開

例題（２）


11

〈4〉微分方程式の導出

外力について考えると，復元力：抵抗力：

2

2

2

20 (6)

d y dym ky

dt dt

d y dy ky

dt m dt m

　　　　

(4)F ky 　　　

以上から，現象の成り立ちを考慮すると，

例題（２）

(5) 'dy

R vdt

　　　


(6)ma F ky v 　　　

12

〈5〉初期条件

高階の微分方程式は最高階の階数に等しい条件式が必要 e.g. 2階の微分方程式 → 2個

00, (7)

0, 0 (8)

t y y

dyt v

dt

　　　　

　　　　

〈6〉成立条件

バネの変位が弾性限界を超えない範囲で成立バネの変位がダッシュポットのシリンダーのシリンダー長を

超えない範囲で成立

例題（２）


13

2

2( ) (1)

d y dyA By F t

dt dt 　　　　

解法（1）の場合：斉次（同次）形の微分方程式


一般に，2階定係数微分方程式は，

A，B：定数， F(t)：任意の連続関数

【重要】定係数の高階数微分方程式を解くには，次のような定石がある．

( ) 0F t

① 解を仮定し，斉次形方程式に仮定した解を代入する

2

20 (2)

d y dyA By

dt dt 　　　　

ty e

2 0t t te A e Be ①

2 0A B 特性方程式

14



( ) 0F t

② 特性方程式の解を求める 2 0A B 2

1,2

14

2A A B ②

※ 虚根になってもかまわない．従って2階微分方程式は，2つの解

をもつ． 1 2t te e ，

③ が実根の場合（） 1 2 ， 2 4 0A B

一般解

1 2

2 2

1 2

1 14 4

2 21 2

t t

A A B t A A B t

y C e C e

C e C e

③

1 2C C，：積分定数（未知数）

15



( ) 0F t

④ が虚根の場合（） 1 2 ， 2 4 0A B

2

1

2

2

2 2 2

14

2 2

14

2 2

4 4 1 4

At B A it

t

At B A it

t

A B B A B A i

e e e

e e e

>0

Eulerの公式 cos sinie i を用いると，とおいて 242

tB A

1

2

2 22

2 22

cos 4 sin 42 2

cos 4 sin 42 2

At

t

At

t

t te e B A i B A

t te e B A i B A

2

1,2

14

2 2

AB A i

16



( ) 0F t

④ が虚根の場合（） 1 2 ， 2 4 0A B

以上より式③は

1 2

1 2

2 221

2 222

2 22 21 2 1 2

cos 4 sin 42 2

cos 4 sin 42 2

cos 4 sin 42 2

t t

At

At

A At t

y C e C e

t tC e B A i B A

t tC e B A i B A

t tC C e B A C C ie B A

17



( ) 0F t

④ が虚根の場合（） 1 2 ， 2 4 0A B

ここで， 1 1 2 2 1 2D C C D C C i ，とおく．

このとき，

1 1 2

2 1 2

1

2

1

2

C D iD

C D iD

したがって，一般解

1 2

1 2

2 22 21 2cos 4 sin 4

2 2

t t

A At t

y C e C e

t tD e B A D e B A

④

1 2D D，：積分定数（未知数）

2

1,2

14

2 2

AB A i

18



( ) 0F t

⑤ が重根の場合（） 1 2 ， 2 4 0A B

を式(2)に代入すると， 2 4 0A B

2 2

20 (2) '

4

d y dy AA y

dt dt 　　　　

このとき， 1 2 2

At

t ty e e e

は一つの解であるが，もう一つの解

が存在 2

At

y te

証明 2

At

y te

を式(2)’に代入してみると，

2 2

2

A At tA

y e te

2

2 2 2

2

2 2

2 2 4

4

A A At t t

A At t

A A Ay e e te

AAe te

19



( ) 0F t

⑤ が重根の場合（） 1 2 ， 2 4 0A B

証明 2 2 2 2

2 2 2 2 2 04 2 2 4

A A A A At t t t tA A A A

y Ay Ae te Ae te te

確かに式(2)’の解になっている．

したがって，一般解 1 2

1 2

t ty C e C te

⑤

1 2C C，：積分定数（未知数）

1,22

A

20

の場合：斉次（同次）形の微分方程式の解


( ) 0F t 2

20 (2)

d y dyA By

dt dt 　　　　

2 0A B 特性方程式

【重要】

③ が実根の場合（） 1 2 ， 2 4 0A B

一般解

2 21 14 4

2 21 2

A A B t A A B t

y C e C e

③

1 2C C，

：積分定数（未知数）

④ が虚根の場合（） 1 2 ， 2 4 0A B

2 22 21 2cos 4 sin 4

2 2

A At tt t

y D e B A D e B A

④

1 2D D，⑤ が重根の場合（）

1 2 ， 2 4 0A B

1 2

1 2

t ty C e C te

⑤ 1,2

2

A

2

1,2

14

2 2

AB A i

2

1,2

14

2 2

AA B

21

例題（１）

y

y0m m

外乱

平衡状態

強制変位

復元力 F

k：比例定数


(1)F ky 　　　

2

20 (5)

d y ky

dt m 　　　　

〈5〉初期条件

00, (6)

0, 0 (7)

t y y

dyt v

dt

　　　　

　　　　

〈6〉成立条件

バネの変位が弾性限界を超えない範囲で成立

〈4〉微分方程式


22

の場合：斉次（同次）形の微分方程式


( ) 0F t

① 解を仮定し，斉次形方程式に仮定した解を代入する ty e

2 0t tke e

m

2 0k

m 特性方程式

例題（１）

2

20 (5)

d y ky

dt m 　　　　

00, (6)

0, 0 (7)

t y y

dyt v

dt

　　　　

　　　　

② 特性方程式の解を求める

1,2

k ki

m m

④ が虚根の場合（） 1 2 ， 2 4 0A B

虚根の場合（） 2 4 0A B

1 2cos sink k

y D t D tm m

：積分定数（未知数）

1 2D D，

23



( ) 0F t 例題（１）

2

20 (5)

d y ky

dt m 　　　　

00, (6)

0, 0 (7)

t y y

dyt v

dt

　　　　

　　　　

⑥ 初期条件の適用

00,

0, 0

t y y

dyt v

dt

　

　

より 1 0D y

より一般解を微分して

1 2sin cosdy k k k k

D t D tdt m m m m

2 0D

したがって

0 cosk

y y tm

24



( ) 0F t 例題（１）

2

20 (5)

d y ky

dt m 　　　　

00, (6)

0, 0 (7)

t y y

dyt v

dt

　　　　

　　　　

解の意味

0 cosk

y y tm

この式は振動を表し，周期はより，

となり，振幅はy0で減衰しない．

おもり質量mが大きくバネ定数kが小さいほど長周期になる．

2 2k m

T Tm k

　　　

単振動 or 調和振動

25

〈5〉初期条件

〈6〉成立条件



釣合位置

変位：y

バネ係数k

質量m

例題（２）

平衡状態

β：比例定数

（減衰定数）

2

20 (6)

d y dy ky

dt m dt m

　　　　

00, (7)

0, 0 (8)

t y y

dyt v

dt

　　　　

　　　　

バネの変位が弾性限界を超えない範囲で成立バネの変位がダッシュポットのシリンダーのシリンダー長を

超えない範囲で成立

26



釣合位置

変位：y

バネ係数k

質量m

例題（２）

平衡状態

β：比例定数

（減衰定数）

2

20 (6)

d y dy ky

dt m dt m

　　　　

i. もし，ダッシュポットがなく，運動に対する抵抗がなければ上式はβ =0であり，例1の問題と同じになって一度振動を起こすと永久に振動を続ける事になる．

ii. ダッシュポットが存在し，適度な大きさの摩擦が働くときには，振動を起こしても次第に減衰し，やがて静止するであろう．

iii. ダッシュポットの摩擦抵抗が非常に大きくなった場合には，振動は起こらず，初期位置からゆっくり静止に向かうであろう．

現象の物理的な特徴

これらの現象が上式の解に表現されているか？

27



( ) 0F t

① 解を仮定し，斉次形方程式に仮定した解を代入する ty e

2 0k

m m

特性方程式

例題（２）

00, (7)

0, 0 (8)

t y y

dyt v

dt

　　　　

　　　　

② 特性方程式の解を求める

2

20 (6)

d y dy ky

dt m dt m

　　

2

1,2

2

14

2

4 0 2

k

m m m

kmk

m m

　　　　　　すなわちの３通りが考えられる

28



( ) 0F t 例題（２）

00, (7)

0, 0 (8)

t y y

dyt v

dt

　　　　

　　　　

2

20 (6)

d y dy ky

dt m dt m

　　

③ が実根の場合（） 1 2 ， 2 4 0A B

2 21 1

4 42 2

1 2

k kt t

m m m m m m

y C e C e

2 mk


初期条件(7)(8)より

したがって

2 2

1 0 2 02 2

4 4

2 4 2 4

k k

m m m m m mC y C y

k k

m m m m

，

2 2

2 2

1 14 4

2 2

0 02 2

4 4

2 4 2 4

k kt t

m m m m m m

k k

m m m m m my y e y e

k k

m m m m

29



( ) 0F t 例題（２）

この解は，振動せずに指数減衰することを示し，先のiiiの場合に相当する．

2 2

2 2

1 14 4

2 2

0 02 2

4 4

2 4 2 4

k kt t

m m m m m m

k k

m m m m m my y e y e

k k

m m m m

解の意味

③ が実根の場合（） 1 2 ， 2 4 0A B 2 mk

y

t

過減衰

30



( ) 0F t 例題（２）

00, (7)

0, 0 (8)

t y y

dyt v

dt

　　　　

　　　　

2

20 (6)

d y dy ky

dt m dt m

　　

④ が虚根の場合（） 1 2 ， 2 4 0A B 2 mk



したがって

1 0 2 02

4

D y D yk

mm m

，

2 2

20

2

1 1cos 4 sin 4

2 24

tm

k ky y e t t

m m m mkm

m m

2 2

2 21 2cos 4 sin 4

2 2

t tm m

t k t ky D e D e

m m m m

31



( ) 0F t 例題（２）

この解は，減衰振動を示し，先のiiの場合に相当する．

解の意味

④ が虚根の場合（） 1 2 ， 2 4 0A B 2 mk

2 2

20

2

1 1cos 4 sin 4

2 24

tm

k ky y e t t

m m m mkm

m m

y

t

y0

-y0

振動周期は

であり，β が大きくなると周期は長くなる．また，β =0の場合は減衰なしの振動になり，先のiの場合に相当する．

2

4

4

Tk

m m

減衰振動

32



( ) 0F t 例題（２）

00, (7)

0, 0 (8)

t y y

dyt v

dt

　　　　

　　　　

2

20 (6)

d y dy ky

dt m dt m

　　

⑤ が重根の場合（） 1 2 ， 2 4 0A B 2 mk



したがって

1 0 2 02

C y C ym

，

2 21 2

t tm my C e C te

20 1

2

tmy y e t

m

この解は，非周期振動であり，先のi～iiiのいずれの場合にも対応しない．臨界減衰

33

問題

次の微分方程式を括弧内の初期条件のもとで解きなさい。

2

22 2 0 ( (0) 0, (0) 1)

d y dyy y y

dx dx 　　（１）

（２）

2

26 9 0 ( (0) 0, (0) 1)

d y dyy y y

dx dx 　　

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