제3장 옵션시장

주가지수옵션의 개요 옵션계약

– 특정자산을 약정된 기일 또는 그 기일 내에 미리 약정된 가격으로 일정량을 사거나 팔 수 있는 권리를 부여하는 계약 매수자는 매도자에게 프리미엄을 지급하고 권리를 취득

매수자는 권리만을 가지며, 매도자는 의무만을 가진다

매수자는 자신의 권리가 불리하게 작용할 경우 이를 포기할 수 있다

– 주가지수옵션의 기능 다양한 투자수단을 제공

주식포트폴리오와의 위험관리 기능

높은 레버리지 효과

KOSPI 200 지수옵션 KOSPI 200 주가지수옵션

– 우리나라는 1997.7.7일 세계에서 25번째로 개장

– KOSPI 200 지수를 기초자산으로 하는 유로피언 옵션

– 만기결제는 현금결제방식

– 거래승수는 계약당 50만원, 거래단위는 지수*50만원

– 가격의 표시는 프리미엄(point)으로 나타내며, 호가가격단위는 프리미엄 3이상인 경우 0.05포인트(2만5천원), 3미만인 경우 0.01포인트(5천원)

– 최근 연속월 3개와, 3,6,9,12월 중 가장 가까운 1개월물로 4개의 상품이 거래

– 최종거래일은 각 결제월의 두번째 목요일

개별주식옵션 – 거래소에 상장되어 있는 보통주 30개 종목을 기초자산으로 하는 옵션

– 유럽형 현금결제 방식

선물과 옵션의 활용

옵션계약의 특성

옵션의 종류

• 개별주식옵션(single stock options)

• 주가지수옵션(stock index options)

• 통화옵션(currency options)

• 금리옵션(interest rate options)

• 선물옵션(futures options)

풋-콜 패리티

• 풋-콜 패리티(put-call parity)는 기초자산, 만기, 행사가격이 동일한 유로피언 콜옵션과 풋옵션 프리미엄 사이에 성립해야 하는 관계(무배당 가정)

• C+PV(K)와 P+S의 만기일에서의 가치가 동일함:

C+PV(K) = P+S

풋-콜 패리티의 증명

풋-콜 패리티

(1) 가치평가

(2) 차익거래 기회의 확인

(3) 합성포지션의 구성

(4) 등가격 옵션프리미엄 비교

(5) 무위험포트폴리오의 구성(2개의 행사가격 기준)

풋-콜 패리티의 이용

풋-콜 패리티 • 차익거래 기회의 확인

SPKPVC +>+ )(

SPKPVC +<+ )(

과대평가된 콜옵션 매도 과소평가된 풋옵션과 주식 매입 무위험이익:

과소평가된 콜옵션 매입 과대평가된 풋옵션과 주식 매도 무위험이익:

TrCSPK )1)(( +−+−

KrCSP T −+−+ )1)((

풋-콜 패리티 • 합성포지션의 구성

- 콜옵션 매입의 복제: 풋매입, 주식매입, PV(K) 차입

- 주식매입의 복제: 콜매입, PV(K) 대출, 풋발행

- 선물매입의 복제: 콜매입, 풋발행

- 채권매입의 복제: 풋매입, 주식매입, 콜발행

이러한 옵션 특성을 잘 이용하여 옵션을 조합하면 주가가 급등 또는 급락하는 경우

이익을 올릴 수 있는 포지션을 만들 수도 있고, 반대로 주가가 거의 변화하지 않는 경

우라도 이익을 올리는 포지션을 합성하는 것도 가능하다. 이러한 다양한 투자전략은 현

물거래나 선물거래에는 없는 옵션거래의 가장 큰 특징 중의 하나이다.

SPKPVC +=+ )(C=P+S-PV(K)

S=C+PV(K)-P

Futures = S-PV(K) = C-P

PV(K) = P+S-C

풋-콜 패리티 합성 풋-콜 패리티

)( KFPVPC −>−

)( KFPVPC −<−

컨버젼 전략(콜매도, 풋매입, 선물매입)

역컨버젼 전략(콜매입, 풋매도, 선물매도)

C-P-PV(F) > PV(K)

C-P-PV(F) < PV(K)

주가지수옵션의 가격결정 옵션계약 이익구조

<기호>

In-the-money at-the-money

out of -the-money

주가지수옵션의 가격결정 • 콜옵션(call option)

(ST: 만기일 기초자산가격, K: 행사가격, C: 콜옵션 가격)

예시: K=2,800, C=500

주가지수옵션의 가격결정 • 풋옵션(put option)

예시: K=2,800, P=200

주가지수옵션의 가격결정

콜옵션의 이득패턴과 이익패턴

주가지수옵션의 가격결정

주가지수옵션의 가격결정 풋옵션의 이득패턴과 이익패턴

주가지수옵션의 가격결정

주가지수옵션의 가격결정 옵션포지션의 선택

주가지수옵션의 가격결정

옵션가격(프리미엄) 결정요인

옵션가격=f(S, σ ,K, r, t)

변동성이 증가한다는 것은 예상되는 가격의 변동폭이 커진다는 것을 의미하는데, 이는 옵션 매수자측에서 보면 투자매력이 커짐을 의미한다. 왜냐하면 콜옵션 매수자의 경우 주가가 급락(급등)하더라도 손실액은 당초 지불한 프리미엄에 한정되는데 반해, 주가가 급등(급락)하였을 때에는 많은 이익을 얻을 수 있기 때문이다.

옵션가격(프리미엄) 결정요인

옵션프리미엄의 분해

• 옵션프리미엄 = 내재가치 + 시간프리미엄 시간프리미엄 = 옵션프리미엄 – 내재가치

• 내재가치: 콜옵션 max(S-K,0), 풋옵션 max(K-S,0) 내가격(ITM)옵션은 기초자산가격과 비례적으로 증가

등가격(ATM)옵션과 외가격(OTM)옵션은 ‘0’

• 시간가치: 만기까지 기초자산의 가격이 현재 상태보다 더 옵션 매수자에게 유리한 방향으로 움직일 가능성에 대한 기대치 만기일까지 잔존기간이 길수록, 또는 기초자산의 변동성이 클수록 커짐

콜옵션의 경우 시간프리미엄은 항상 양(+)의 값을 갖는 반면에, 풋옵션의 경우 시간프리미엄이 0보다 작을 수 있음

옵션가격(프리미엄) 결정요인 • 옵션 ‘시간가치’의 개념적 특성

(매수자) 만료일까지의 잔존기간 동안에 옵션에서 얻어지는 이익과 회피할 수 있는 위험에 대한 기대치

(매도자) 얻는 것보다도 잃는 것이 많을 수 있는 위험에 대한 대가

잔존기간 중의 기대가치이므로 옵션이 만료일에 근접할수록 감소하며, 프리미엄은 내재가치 또는 0에 접근해간다.

시간가치는 옵션이 만료일에 내재가치를 지닐 확률에 대한 기대가치이므로 장래에 행사가치를 가질 가능성이 클수록 그 가치는 높아진다. 따라서 등가격(ATM)일 때 시간가치는 최대가 된다.

현재에는 행사가치가 없는 외가격옵션도 만료일까지의 잔존기간 중에 얻어지는 이익에 대한 가능성 때문에 시간가치를 가진다.

시간가치는 대상자산가격이 권리행사가격에서 멀어질수록 체감되지만, 0이나 마이너스(-)의 값을 갖지는 않는다. 즉, 옵션의 경우 주가가 권리행사가격보다 상당히 낮은 옵션이나 상당히 높은 옵션에서도 작지만 시간가치는 존재한다.

옵션가격(프리미엄) 결정요인

콜옵션 가격범위

• 상한가

• 하한가

콜옵션 vs D포트폴리오 (주식 1주와 PV(K) 차입)

콜옵션은 기초주식을 살 수 있는 권리이므로, 이 권리가 주식 그 자체보다 더 높을 수는 없기 때문

옵션가격(프리미엄) 결정요인

• 아메리칸 콜옵션의 조기행사

- 무배당의 경우 권리행사가 항상 최적이 아님

옵션가격(프리미엄) 결정요인

풋옵션 가격범위

• 상한가

• 하한가

• 유로피언 풋옵션

가격범위

옵션가격(프리미엄) 결정요인

• 아메리칸 풋옵션의 가격범위

• 아메리칸 풋옵션의 조기행사는 주가가 충분히 하락한 경우에 최적임

선물과 옵션의 활용 옵션을 이용한 선물의 복제

선물매입포지션의 복제

선물과 옵션의 활용 옵션을 이용한 선물의 복제

선물매도포지션의 복제

옵션 투자전략 기본 포지션

옵션 투자전략

옵션 투자전략 주식과 옵션을 이용한 투자전략

PS +

CS +−

CS −PS −−

옵션 매입포지션과 결합되면 하향손실이 제한됨

옵션 매도포지션과 결합되면 상향이익이 제한됨

옵션 투자전략 프로텍티브 풋(protective put): S+P

실무에서는 풋옵션을 실제로 매입하지 않고 주식 또는 주가지수선물을 이용하여 풋옵션을 복제하는데 이를 포트폴리오보험이라고 함

옵션 투자전략 커버드 콜(covered call): S-C

옵션 투자전략

커버드 콜을 취하는 이유 1) 콜옵션이 과대평가되었다고 판단하는 경우 2) 목표수익률을 달성하면 무조건 포지션을 마감하고자 하는 투자자가 하향손실을 관리하고자 하는 경우 3) 위험-수익의 구조를 변경하고자 하는 경우

옵션 투자전략 스프레드

스프레드(spread)는 2개 이상의 같은 종류의 옵션(즉, 2개 이상의 콜옵션 또는 2개 이상의 풋옵션)에 포지션을 취하는 전략

옵션 투자전략

• 강세스프레드(bull spread)는 행사가격이 낮은 옵션을 매입하고 행사가격이 높은 옵션을 발행하여 구성함

• 콜옵션으로 구성하거나(콜강세스프레드) 또는 풋옵션으로 구성함

(풋강세스프레드)

• 손익분기점은 K1+(C1-C2) 또는 K2-(P2-P1)임

• C1<C2 또는 P2>P1+PV(K2-K1)의 경우 강세스프레드를 취하여 무위험 차익을 얻음.

강세스프레드

옵션 투자전략

옵션 투자전략

• 약세스프레드(bear spread)는 행사가격이 높은 옵션을 매입하고 행사가격이 낮은 옵션을 발행하여 구성함

• 콜옵션으로 구성하거나(콜약세스프레드) 또는 풋옵션으로 구성함

(풋약세스프레드)

• 손익분기점은 K1+(C1-C2) 또는 K2-(P2-P1)임

• P1>P2 또는 C1>C2+PV(K2-K1)의 경우 약세스프레드를 취하여 무위험 차익을 얻음.

약세스프레드

옵션 투자전략

옵션 투자전략 박스스프레드(box spread)

옵션 투자전략

옵션 투자전략 나비스프레드(butterfly spread)

옵션 투자전략

• 캘린더스프레드(calendar spread)는 행사가격은 동일하지만 만기가 상이한 콜옵션 또는 풋옵션을 이용함

(즉, 만기가 긴 콜옵션을 매입하고 만기가 짧은 콜옵션을 발행함)

기타 스프레드

옵션 투자전략 • 대각선스프레드(diagonal spread)는 행사가격과 만기가 상이한 콜옵션과 풋

옵션을 이용함

• 콘도(condor)는 이득의 뽀족한 부분이 한 가격이 아니라 일정 구간에서 이루어진다는 점을 제외하고 나비스프레드와 동일함

옵션 투자전략 • 비율스프레드(ratio spread)는 매입 또는 매도하는 옵션의 수가 동일하지

않다는 점을 제외하고는 강세 및 약세스프레드와 동일함

예시(C2 1개 매입과 C3 2개 발행)

옵션 투자전략 콤비네이션

• 스트래들(straddle)은 행사가격과 만기가 동일한 콜옵션과 풋옵션을 동시에 매입함

• 동시에 발행하면 스트래들매도(short straddle)이라고 함

콤비네이션(combination)은 동일한 주식에 대한 콜옵션과 풋옵션을 함께 이용하는 투자전략

스트래들

옵션 투자전략 스트랭글

스트랭글(strangle)은 만기는 같으나 행사가격이 상이한 콜옵션과 풋옵션을 동시에 매입하는 포지션임.

옵션 투자전략

스트립(strip)은 콜옵션 1개와 풋옵션 2개를 결합한 포지션이고 스트랩(strap)은 콜옵션 2개와 풋옵션 1개를 결합한 포지션임.

스트립과 스트랩

Exercise 다음 중 맞는 것에 O표, 틀린 것에 X표를 하시오 1. 프리미엄은 행사가치와 시간가치로 구성된다. ( O ) 2. 콜옵션에서는 대상자산의 가격에서 권리행사가격을 뺀 부분이 행사가치가 된다.

( O ) 3. 외가격(OTM)옵션의 매수자는 권리를 행사할 필요가 없다. ( O ) 4. 등가격(ATM)옵션의 매수자는 권리를 행사할 필요가 있다. ( X ) 5. 시간가치는 프리미엄과 행사가격의 차이를 말한다. ( O ) 6. 시간가치는 옵션이 만료일에 행사가치를 지닐 확률에 대한 기대가치이기 때문에 장래

에 행사가치를 가질 가능성이 클수록 그 가치는 높아진다. ( O ) 7. 주가가 권리행사가격보다 크게 낮은 콜옵션은 주가가 상승하면 프리미엄이 주가의 상

승폭과 거의 비슷하게 상승한다. ( X ) 8. 가격변동성이 증가함에 따라 옵션의 시간가치도 상승한다. ( O ) 9. 행사가격이 같은 콜옵션이라도 잔존기간이 3개월인 종목이 1개월인 종목보다 프리미

엄이 더 높다. ( O ) 10. 옵션거래에서 매도자는 주가가 변화하지 않는 경우에도 시간의 경과에 따라 이익을

얻을 수 있다. ( O ) 11. ATM 옵션의 경우가 변동성의 변화에 대한 옵션가격의 변화가 가장 민감하다.

( O )

Exercise 12. 대상자산가격이 15,000원인 경우에 권리행사가격 13,000원인 콜옵션의 프리미엄이 2,500원이라면, 이 옵션의 시간가치는 얼마인가?

답) 500원(=2,500-(15,000-13,000)) 14. (내재가치)란 옵션의 권리를 행사하는 경우에 확실하게 얻어지는 이익으로서 권리행사를 함으로써 발생하는 가치이다. 15. 가격변동성의 증가에 따른 옵션의 시간가치 상승폭은 (등가격)옵션에서 가장 크다. 16. 같은 기초주식에 대해 발행된 옵션으로서 만기와 행사가격이 같은 콜옵션과 풋옵션의 가격 사이에는 일정한 관계식이 성립하며, 이러한 관계식을 (풋콜패리티)라 한다.

이항옵션가격결정모형

• 기본원리: “복제와 차익거래” 기초자산과 채권을 이용하여 옵션과 동일한 현금흐름을 제공하는 복제포트폴리오를

구성하고 이를 이용하여 옵션가격을 구함

• 이항모형은 블랙-숄즈 모형에 비해 이해하기 쉽고 옵션의 조기행사를 쉽게

고려할 수 있음

• 여기서 소개하는 이항모형은 콕스-로스-루빈스타인(1979) 모형임

• 주가가 미래시점에서 단 두 가격만을 가지며, 한 경우는 내가격, 다른 경우는 외가격에 있도록 하여 주가의 불확실성을 모형화함

이항옵션가격결정모형

• 주식을 ∆주 매입하고 콜을 한 계약 매도하는 해지포트폴리오 구성 방법으로, 각 상황에서 정확히 동일한 금액을 제공하도록 함.

• 예시(주가 10,000원, 1년 후 11,000원 또는 9,000원, 무위험이자율 2%, 콜옵션(만기 1년, 행사가격 10,000원))

복제포트폴리오 방법

이항옵션가격결정모형

콜옵션 복제포트폴리오는 주식 0.5주와 채권(원금 4,500원, 현가 4,412원) 공매도로 구성됨

44125.0 −= SC11,000∆-1,000=B(1+0.02) 9,000∆-0=B(1+0.02)

이항옵션가격결정모형

동일함

이항옵션가격결정모형 무위험포트폴리오 방법 2

01000900011000

=−−

=−−

du

du

CCSS

(무위험포트폴리오가 주식 0.5주와 콜옵션 1개로 구성되면 만기일에서의 가치는 4,500원임)

• 주식과 콜옵션을 이용하여 무위험포트폴리오를 구성

• 우리의 예시에서 주식 1주를 매입하고 콜옵션 2개를 발행하면 포트폴리오의 가치가 주가와 무관하게 9,000원으로 일정함. 따라서 이 무위험포트폴리오의 수익률은 무위험이자율이어야 함:

이항옵션가격결정모형 1기간 이항모형공식의 정식 도출

콜옵션 가격결정

이항옵션가격결정모형 주식 1주를 매입하고 콜옵션 m개를 매도하여 포트폴리오를 구성하고 이 포트폴리오가 만기일에 일정한 가치를 갖기 위한 조건: 무위험포트폴리오의 수익률은 무위험이자율이어야 하므로, 따라서 콜옵션의 가치는 다음과 같다.

이항옵션가격결정모형 을 이용하여 정리하면, 단,

복제포트폴리오의 구성: (식 11.10의 양변을 m으로 나눔) 1/m = Δcall

단, (헤지비율) SdSuCC du

call −−

=∆

dudr

++

=π

이항옵션가격결정모형 풋옵션 가격결정

주식 1주를 매입하고 풋옵션 를 매도하여 무위험포트폴리오 구성

du PPSdSuh

−−

=

풋옵션 복제포트폴리오 구성: (1/h = Δput) 위험중립가치평가법:

(여기서 h는 음수임)

이항옵션가격결정모형

옵션의 델타

이항옵션가격결정모형 델타의 속성 -콜옵션의 델타는 양수이고 풋옵션의 델타는 음수임 -이항모형에서의 델타 계산 -매도포지션의 델타는 매입포지션의 델타에 -1을 곱한 값임 -콜옵션의 델타는 0과 1 사이의 값을 갖고, 풋옵션의 델타는 0과 -1 사이의 값을 가짐 -델타는 합산원칙이 적용됨 -델타는 발행한 옵션의 위험을 헤지하기 위해 필요한 주식의 수임 EX)

S=100, X=100, u=10%, d=8%, r=6%인 경우, 콜옵션의 가치는 얼마인가?

답) 7.34 (=(0.778*10+0.222*0)/1.06)

Cu=10, Cd=0이고, π=(0.06+0.08)/(0.1+0.08)=0.778

이항옵션가격결정모형 다기간 모형과 아메리칸옵션의 가격결정 2기간 이항모형으로의 확장

6.01.01.01.002.0=

++

=++

=dudrπ

이항옵션가격결정모형

델타의 변화 SdSuCC du

call −−

=∆

델타가 변하기 때문에 주식과 옵션으로 만든 무위험헤지를 계속 유지하기 위해서는 소유할 주식의 수 혹은 옵션의 수를 계속적으로 조정해야 한다.

이항옵션가격결정모형 n기간 이항모형으로의 확장

u와 d의 결정

만기일에서의 이득을 계산하고

만기일에서 시작하여 출발점으로 역행하며 옵션가격 계산

이항옵션가격결정모형

• 만기일에서의 아메리칸옵션의 가치는 유로피언옵션의 가치와 동일함.

• 만기일을 제외한 시점에서 아메리칸 옵션의 가치는 다음 두 값 중에서 큰 값과 같음

아메리칸옵션에의 적용

Black-Scholes 모형 블랙-숄즈 모형의 기본 가정과 논리

• 피셔 블랙(Fischer Black)과 마이론 숄즈(Myron Scholes)의 1973년 모형

• 가정

• 주가는 기하적 브라운 운동에 의해 변함

(주가는 대수정규분포를 따르며, 점프하지 않고 연속적으로 변함)

• 거래비용과 세금 없음

• 기초자산은 배당을 지급하지 않음

• 무위험 차익거래기회는 존재하지 않음

• 증권의 거래는 연속적으로 발생함

• 무위험이자율로 차입과 대출이 가능함

• 무위험이자율은 일정함

• 논리: 복제(replication)와 차익거래(arbitrage)

Black-Scholes 모형 블랙-숄즈 모형의 옵션가격결정공식

Black-Scholes 모형

Black-Scholes 모형

Black-Scholes 모형 BS공식의 속성 • N(d1)은 콜옵션의 델타로서 무위험포트폴리오를 구성하기 위하여 매도한 콜

옵션 1개당 매입해야 할 주식의 수이고, N(d2)는 만기일의 주가가 행사가격보다 높을 가능성임.

• 공식은 콜옵션 복제포트폴리오 구성방법을 알려줌

Black-Scholes 모형 • 풋옵션 복제포트폴리오의 구성

• 주가가 매우 높으면 콜옵션을 행사하는 것이 거의 확실시되므로 콜옵션은 인도가격을 K로 하는 선도계약과 유사해지고 콜옵션 가격은

하한선인 에 접근함. 그리고 풋옵션 가격은 0에 접근함.

• 주가가 매우 낮으면 콜옵션 가격은 0에 접근하고,

풋옵션 가격은 하한선인 에 접근함.

)(KPVS −

SKPV −)(

Black-Scholes 모형 Greeks

• 델타(delta): 기초자산의 가격변화에 대한 옵션가격의 변화

Black-Scholes 모형 • 감마(gamma): 기초자산의 가격변화에 대한 델타의 변화

• 세타(theta): 시간 경과에 대한 옵션가격의 변화

• 베가(vega): 기초자산 변동성의 변화에 대한 옵션가격의 변화

Black-Scholes 모형 • 로(rho): 무위험이자율의 변화에 대한 옵션가격의 변화

• 옵션탄력성(option elasticity): 주가변화율에 대한 옵션가격의 변화율

Black-Scholes 모형 내재변동성

• 내재변동성(implied volatility)은 옵션가격에 내재된 변동성임

• 내재변동성은 미래 지향적임

• 내재변동성은 반복적 탐색절차를 거쳐 추정함

Black-Scholes 모형 변동성미소(volatility smile): 등가격 옵션의 변동성이 내가격 또는 외가격 옵션의 변동성보다 작아지는 현상

변동성지수

Black-Scholes 모형 변동성의 추정

• 표준편차 이용

• 문제점

• 이동기간(moving window) 설정의 문제

• 동일가중치 사용의 문제

• 에코효과(echo effect)의 문제

Black-Scholes 모형 지수가중이동평균모형 (exponential-weight moving average(EWMA) model) 가장 최근 수익률에 적용되는 가중치는 (1-λ)이고, 과거로 갈수록 가중치에 λ가 곱해짐(예를 들어 λ가 0.94이면, 가중치는 각각 6%, 5.64%, 5.30%, 4.98%로 감소함) 변동성의 변화를 반영하도록 고안됨: 즉, 변동성의 시간가변성(또는 변동성의 군집현상)을 고려할 수 있음

Black-Scholes 모형 BS모형의 실제 적용

기초자산이 배당을 지급하면 배당금의 현재가치만큼 주가를

하락시킨 후 BS공식을 적용함

배당주식에 대한 유로피언 콜옵션의 경우

Black-Scholes 모형

블랙이 제시한 방법으로 배당을 지급하는 주식에 대한 아메리칸 콜옵션의 가격은 다음 2개의 유로피언 콜옵션의 가격 중에서 큰 값과 같음

배당주식에 대한 아메리칸 콜옵션의 경우

Black-Scholes 모형 주가지수옵션과 통화옵션의 경우

Black-Scholes 모형 현재 주가는 42달러, 행사가격은 40달러, 무위험이자율은 연 10%, 변동성은 연 20%, 만기는 6개월이다. 이 때 유러피언 콜옵션과 풋옵션의 가치는 얼마인가?

6278.05.02.0

5.0)2/2.01.0()40/42ln(1

7693.05.02.0

5.0)2/2.01.0()40/42ln(1

2

2

=×

×−+=

=×

×++=

d

d

)2())1/(()1( dNrKdNSC T ×+−×=

)1()2())1/(( dNSdNrKP T −×−−×+=

C=$4.69, P=$0.83