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제3장 선형계획모형의 분석

목원대학교 경영학과

정 철 호

최대화문제의 분석

• 일반앰프와 고성능앰프를 생산하는 소규모 전자회사인 F전자는 현재의 생산능력

안에서 이익이 최대가 되도록 각 제품의 생산량을 결정하려 하고 있다. 앰프생

산은 조립공정과 검사공정을 거치게 되는데, 각 공정에서 하루에 이용 가능한

인력은 각각 240시간 및 81시간이고, 일반앰프를 생산하는 데에는 개당 1.2시

간의 조립공정과 0.5시간의 검사공정의 인력이 소요되며, 고성능앰프 생산의 경

우 개당 4시간의 조립공정과 1시간의 검사공정의 인력이 소요된다. 특히 고성능

앰프의 경우 특수 반도체 칩이 1개씩 소요되는데 최근 이 칩의 공급이 원활치

못하여 하루에 40개씩만을 조달할 수 있다. 이 회사에서 생산된 앰프는 품질이

좋아서 전량 판매되고 있으며, 일반앰프는 개당 20만원, 고성능앰프는 개당 50

만원의 이익을 내고 있다.


• 변수

• LP모형

1

2

:

: .

X

X

일반앰프1일생산량

고성능앰프1일생산량

1 2

1 2

1 2

2

maximize 20 50 ( , : ) [3-1]

subject to 1.2X +4X 240 ( , : ) [3-2]

0.5X +X 81 ( , ; ) [3-3]

X 4

Z X X

총이익 단위 만원

조립공정 제약식 단위 시간

검사공정제약식 단위 시간

1 2

0 ( , : ) [3-4]

X ,X 0 ( ) [3-5]

반도체칩공급제약 단위 개수

비음제약식


• 가. 제약식의 표현

1 21.2 4 240X X

0 50 100 150 200

10

20

30

40

50

60

1X

2X


• 가. 제약식의 표현

– 실행가능해

– 실행가능지역

– 실행불가능해

0 50 100 150 200

10

20

30

40

50

60

1X

2X

70

80

반도체칩 공급제약

조립공정 제약

검사공정 제약 실행가능지역


• 나. 목적함수의 표현

1 220 50Z X X

0 50 100 150 200

10

20

30

40

50

60

1X

2X

70

80

A B

C

D

E

F

Z=2,500

Z=4,000

Z=Z*


• 최적해의 발견

• 정수가 아닌 해에 대한 해석

1 2

1 2

1.2 4 240

0.5 81

X X

X X

1 2105, 28.5X X

3,525 ( )Z 만원


• 다. 제약식과 여유변수

– 최적해에서의 여유변수 :

– 첫째 제약식은 최적해에서 여유변수가 0임 : 첫째 제약식은 속박적인 제약식임

– 두 번째 제약식도 역시 속박적임

– 세번째 제약식의 여유변수 :

– 세 번째 제약식은 비속박적임

1 2 1 1 2 11.2 4 240 240- (1.2 4 ), 0X X S X X S

1 240 (1.2 105 4 28.5) 0S

3 40 28.5 11.5 0S


• 라. 컴퓨터 분석

– 심플렉스 방법

– LINDO, CPLEX, EXCEL 등

– K-OPT

0 50 100 150 200

10

20

30

40

50

60

1X

2X

70

80

A B

C

D

E

F

Z=25,000

Z=40,000

Z=Z*

해법

• 선형계획모형 수립

– 목적함수(최대화 모형) 및 제약식 도출

• 제약식의 그래프 표현

– 조립공정 제약조건

– 검사공정 제약조건

– 반도체 칩 공급 제약조건

• 실행가능지역 및 실행가능해 도출

• 목적함수의 그래프 표현

– 여러 개의 대안을 그래프로 표현(ex. 2,500만원, 4,000만원 등)

– 등위이익선(iso-profit line)이 실행가능지역과 최소한 한 점에서 만나며 가능한 위쪽으로 올라간 경우

가 실행가능하면서 이익을 최대로 발생하는 경우가 됨 → 조립공정과 검사공정 제약식의 교차점

• 제약식과 여유변수

– 여유변수 : 제약식에서 남는 처리능력

– 속박적 제약식 : 최적해에서 등식으로 성립하여 여유변수의 값이 0이 되는 제약식

– 비속박적 제약식 : 최적해에서 여유변수의 값이 양수가 되는 경우

심플렉스 방법

• 최적해를 구하기 위해 실행가능지역 안의 모든 점들을 분석해 볼 필요가 없이 꼭지

점만을 모두 찾아서 이 중에서 목적함수의 값이 가장 큰 것을 선택하면 그것이 최적

해가 됨

• 문제를 해결하기 위해 하나의 꼭지점을 구한 후 인접한 꼭지점들 중에서 목적함수의

값이 더 좋아지는 꼭지점을 찾아서 옮겨가는 방법을 반복적으로 사용하는 것을 통해

최적해를 찾아가는 기법

• 컴퓨터 패키지를 통한 해결

K-OPT 사용

• http://cafe.naver.com/shkimbooks

• 명령어

– 명령어 : 목적함수 max(or min), 제약식 st, 종료 end, 정수 integer

• 확장자 : .opt

• 변수의 개수 : 총 변수(연속적 변수 및 이진변수)의 수 <= 100

이진변수의 수 <= 20

• 제약식의 개수는 100개 이하로 입력 가능함

http://cafe.naver.com/shkimbooks

http://cafe.naver.com/shkimbooks

K-OPT 사용 유의사항

• 1. 목적식은 상수항을 가질 수 없다.

– 예. 20X+30Y+20은 잘못된 목적식임

• 2. 제약식에서 모든 변수는 좌변에 있어야 하며, 상수항은 우변에 있어야 한다.

– 예1. 20X-30Y-10<0은 20X-30Y<10으로 입력해야 함

– 예2. 20X<30Y+10은 20X-30Y<10으로 입력해야 함

• 3. 계수에 분수는 사용할 수 없다. 분수는 소수로 변환하여 입력해야 한다.

• 4. 긴 수식은 두 줄로 나누어 입력해도 무방하다.

• 5. MAX, MIN, ST, END, INTEGER는 변수로 사용하지 못한다.

• 6. 여러 자리의 숫자에서 “ , “로 1,000단위씩 구분하는 것은 사용하지 않는다.

– 예. 12,300은 12300으로 입력해야 함

• 7. 비음조건은 따로 입력하지 않는다(모든 변수는 비음조건을 가진다고 가정함).

K-OPT 입력/출력

최소화문제

• A대학 구내식당의 영양사인 김양은 학생들이 적절한 건강을 유지하기 위해서는 매일

단백질 66g과 철분 9mg을 섭취하여야 한다는 것을 알고 있다. 이 영양분들은 고기

와 야채를 통해 제공되는데 고기는 1Kg에 300g의 단백질과 30mg의 철분을 함유

하고 있으며, 야채는 1Kg에 20g의 단백질과 10mg의 철분을 함유하고 있다. 이

식당에서는 고기는 1Kg에 6,000원, 야채는 1Kg에 1,000원씩에 구입하고 있다. 김

양은 학생들의 건강을 적절히 유지하면서 식품 구입비를 최소로 하는 구매계획을 세

우고자 한다.


• 변수

• LP모형

1

2

1 (kg)

1 (kg)

X

X

인당 1일고기구매량

인당 1일채소구매량

1 2

1 2

1 2

minimize 6,000 1,000 ( , ) [3-8]

subject to 300 20 66 ( , ) [3-9]

30 10 9 ( , mg) [3-

Z X X

X X

X X

총비용 단위: 원

단백질제약식 단위: g

철분제약식 단위: 10]

1, 2 0 ( ) [3-11]X X 비음 제약식


Z=2,400



– 첫째 제약식의 여유변수는 최적해에서 0임 : 첫째 제약식은 속박적임

– 둘째 제약식도 속박적임

1 2 1 1 2 1300 20 66 300 20 66, 0X X S X X S

K-OPT 입력/출력

해법


– 목적함수(최소화 모형) 및 제약식 도출


– 단백질 제약조건

– 철분 제약조건

– 비음 제약조건



– 여러 개의 대안을 그래프로 표현(ex. 1,200원, 2,400원 등)

– 등위비용선(iso-cost line)이 실행가능지역과 최소한 한 점에서 만나며 가능한 아래쪽으로 내려간 경우

가 실행가능하면서 비용을 최소로 하는 경우가 됨 → 단백질과 철분 제약식의 교차점


– 여유변수를 통한 속박적 혹은 비속박적 제약식 판명

• K-OPT 활용 최적해 도출

인력관리

• K전자는 새로운 사업을 확장함에 따라 기능공과 견습공을 채용할 계획에 있다. 기능

공을 고용하는 경우 시간당 만원의 비용이 들고, 견습공의 경우 5,000원의 비용이

든다. K전자가 신규고용계획에 사용할 수 있는 자금은 1억 5천만원으로 노동조합과

의 계약에 의해 이 자금은 전량 신규 고용계획에 사용되어야 한다. K전자는 회사의

현황을 고려하여 기능공을 10,000시간 이하로 고용할 계획이다. 또한 노동조합은 견

습공을 최소한 12,000시간 이상 고용할 것을 요구하고 있다. 현재의 원가분석에 의

하면 기능공은 시간당 3,000원, 견습공은 시간당 1,250원의 이익을 가져다 주고 있

다. 경영진은 총 이익을 최대로 하는 고용계획을 세우려 한다.


• 변수

• LP모형

K-OPT 입력/출력

해법




– 예산 제약조건

– 견습공시간 제약조건

– 노조의 요구 제약조건





가 실행가능하면서 이익을 최대로 하는 경우가 됨 → 예산과 노조요구 제약식의 교차점


특수한 경우들

• 모든 선형계획모형들은 유한한 최적해를 가지고 있는가?

– 그렇지 않은 경우도 존재함

– 선형연립방정식의 경우

• 해 없음

• 해 존재 : 유일한 해, 다수 해

• 선형계획모형의 경우

– 실행가능해가 없는 경우 : 실행불가능문제

– 실행가능해가 존재하는 경우

• 목적함수의 값이 무한히 증가(또는 감소)하는 경우 : 무한최적해

• 유한한 최적해 : 유일한 해, 다수 최적해

특수한 경우 : 실행불가능한 해

• 건축설계사인 박씨는 보급형 태양에너지 주택의 설계를 정부로부터 의뢰 받았다. 이

주택은 주거지역과 에너지관리지역으로 구성되는데, 주거지역은 최소한 105m2 이상,

에너지관리지역은 최소한 30m2 이상 되어야 한다. 건설비는 주거지역이 200만원

/m2, 에너지관리지역은 400만원/m2이 소요된다. 정부에서는 총 건축비 24,000만원

이내에서 총 면적이 최대가 되도록 설계하기를 요구하고 있다.

• 이상한 점은?

: 최소한 필요한 자금만 계산해 봐도 총 비용을 넘는다!!

특수한 경우 : 실행불가능한 해

• 변수

• LP모형

21

22

( m )

( m )

X

X

주거지역면적

에너지관리지역면적

1 2

1 2

1

2

1 2

Maximize

subject to 200 400 24,000

105

30

, 0

Z X X

X X

X

X

X X

120 0

30

60

1X

2X

에너지 관리지역 면적

총 건축비 예산

주거지역 면적

105

해법




– 건축비 제약조건

– 주거지역 제약조건

– 에너지관리지역 제약조건





가 실행가능하면서 이익을 최대로 하는 경우가 됨 → 제약식의 교차점


K-OPT 입력/출력

특수한 경우 : 무한최적해

• S공업에서는 A형과 B형의 두 가지 특수모터를 생산하고 있다. 다음달 공급계약을

이행하기 위해서는 최소한 각각 1,000대 이상씩을 생산하여야 하며 회사의 정책상

B형 모터를 A형 모터보다 500대 이상 많이 생산하는 것은 피할 생각이다. A형, B

형 모터의 개당 이익은 각각 20만원 및 10만원이다. S공업에서는 이익을 최대로

하는 생산계획을 수립하고자 한다.

• 이상한 점은?

: 생산량을 제약하는 내용이 보이지 않는다. 즉, 생산량을 무한히 늘릴 수 있다!!

특수한 경우 : 무한최적해

• 변수

• LP모형

1

2

A

.

X

X B

형모터생산량

형모터생산량

1 2

1

2

1 2

1 2

Maximize 20 10

subject to 1,000

1,000

500

, 0

Z X X

X

X

X X

X X

1,000 3,000 0

1,000

2,000

2,000 1X

2X

A

Z=200,000

Z=40,000

Z=60,000

B

C

D

해법




– A형 모터 제약조건

– B형 모터 제약조건

– 회사정책 제약조건





가 실행가능하면서 이익을 최대로 하는 경우가 됨 → 제약식의 교차점


K-OPT 입력/출력

특수한 경우 : 다수 최적해

• 일반앰프와 고성능앰프를 생산하는 소규모 전자회사인 F전자는 현재의 생산능력

안에서 이익이 최대가 되도록 각 제품의 생산량을 결정하려 하고 있다. 앰프생

산은 조립공정과 검사공정을 거치게 되는데, 각 공정에서 하루에 이용 가능한

인력은 각각 240시간 및 81시간이고, 일반앰프를 생산하는 데에는 개당 1.2시

간의 조립공정과 0.5시간의 검사공정의 인력이 소요되며, 고성능앰프 생산의 경

우 개당 4시간의 조립공정과 1시간의 검사공정의 인력이 소요된다. 특히 고성능

앰프의 경우 특수 반도체 칩이 1개씩 소요되는데 최근 이 칩의 공급이 원활치

못하여 하루에 40개씩만을 조달할 수 있다. 이 회사에서 생산된 앰프는 품질이

좋아서 전량 판매되고 있으며, 일반앰프는 개당 15만원, 고성능앰프는 개당 50

만원의 이익을 내고 있다.

특수한 경우 : 다수 최적해

• 변수

• LP모형

1 2

1 2

1 2

2

1 2

Maximize 15 50

Subject to 1.2 4 240

0.5 81

40

, 0

Z X X

X X

X X

X

X X

50 150 200 0

20

40

100 1X

2X

B

10

30

50

A

C

D

1 215 50Z X X




– 조립공정 제약조건

– 검사공정 제약조건

– 반도체 칩 공급 제약조건




가 실행가능하면서 이익을 최대로 발생하는 경우가 됨 → 조립공정과 검사공정 제약식의 교차점


해법

K-OPT 입력/출력

다수최적해의 경우, 최적해를 구하는데 문제가 되지 않음 → 컴퓨터 프로그램 실행 시 최적해 제공됨

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