АКСИОМЫ ТЕОРИИ ЦЕРМЕЛО – ФРЕНКЕЛЯ...
Transcript of АКСИОМЫ ТЕОРИИ ЦЕРМЕЛО – ФРЕНКЕЛЯ...
1
Язык теории множеств Цермело – Френкеля (ZF)
Алфавит
• Переменные (по множествам) : a,b,...
• Предикатные символы: ·, =
• Логические связки: ¤, ª, #, ¢, °
• Кванторы: Á, Ú
• Скобки: ( , )
Формулы
• Атомарные: x·y, x=y (где x,y — переменные)
• Если Ä – формула, то ¤ Ä – формула
• Если Ä,´ – формула, то (Ä#´), (Ī´), (Ä¢´), (Ä°´) –
формулы
• Если Ä – формула, x — переменная, то ÁxÄ, ÚxÄ – формулы
FV(Ä) — множество параметров (свободных переменных) формулы Ä — определяется
по индукции:
• FV(x·y)=FV(x=y)={x,y}
• FV(¤ Ä)=FV(Ä )
• FV(Ä#´)= FV(Ī´)=
FV(Ä¢´)=FV(Ä°´)=FV(Ä)ÜFV(´)
• FV(ÁxÄ)= FV(ÚxÄ)=FV(Ä )-{x}
Логические аксиомы
• ´¢ (Ä¢´)
• (Ä¢´)¢ ( (Ä¢(´¢é)) ¢ (Ä¢ é))
• Ī´¢´
• Ī´¢Ä
• Ä¢(´¢(Ī´))
• Ä¢Ä#´
• ´¢Ä#´
• (Ä¢é)¢((´¢é)¢((Ä#´)¢é))
• (´¢Ä)¢((´¢¤Ä)¢¤´)
• ¤¤Ä¢Ä
• ÚxÄ(x)¢Ä(y)
• Ä(y)¢ÁxÄ(x)
2
• (Ä°´)¢((Ä¢´ª(´¢Ä))
• ((Ä¢´)ª(´¢Ä))¢(Ä°´)
• Úx x=x
• ÚxÚy(x=y¢y=x)
• ÚxÚy(x=yªy=z¢x=z)
• ÚxÚy(x=yªÄ(...x...)¢Ä(...y...))
Здесь Ä(y) получается из Ä(x) заменой всех вхождений параметра x на y (при этом не
должно быть кванторов по y)
Ä(...y...) получается из Ä(...x...) заменой одного вхождения параметра x на y (при
этом не должно быть кванторов по y)
Логические правила вывода
• Ä, Ä¢´ / ´
• Ä¢é / ÁxÄ¢é
• é¢Ä / é¢ÚxÄ
Здесь требуется, чтобы x не был параметром é
Аксиомы наивной теории множеств
Аксиома объемности: Úx Úy (Úz (z·x°z·y)¢ x=y)
Схема аксиом свертывания:
Úa1... ÚamÁyÚx(x·y°Ä(x,a1,...,am)),
где Ä(x,a1,...,am) – произвольная формула с параметрами x,a1,...,am (m³0)
Теорема Наивная теория противоречива (парадокс Рассела).
3
Аксиомы ZF
Аксиома объемности: ÚxÚy(Úz(z·x°z·y) ¢ x=y)
Аксиома пустого множества: ÁyÚx xãy
Аксиома пары: ÚxÚyÁzÚt (t·z ° t=x # t=y)
Аксиома объединения: ÚxÁyÚz (z·y ° Át (z·t ª t·x))
Аксиома степени: ÚxÁyÚz (z·y ° Út (t·z ¢ t·x))
Схема аксиом выделения:
Úa1...ÚamÚxÁyÚz(z·y° z·xªÄ(z,x,a1,...,am)),
где Ä(z,x,a1,...,am) – произвольная формула с параметрами z,x,a1,...,am (m³0)
Сокращенные обозначения
y= Ù := Úx xãy
x y := Úz (z·x¢z·y) (включение)
z={x,y} := Út (t·z ° t=x # t=y)
{x} := {x,x}
(x,y) := {{x},{x,y}} (упорядоченная пара)
Лемма (свойство упорядоченных пар).
(x,y)=(z,t) ¢ x=z ª y=t
Классы
Классы используются для сокращенной записи формул.
{x | Ä(x)} — класс всех множеств x, для которых верна формула Ä(x)
y·{x | Ä(x)} := Ä(y)
{x | Ä(x)}= {x | ´(x)} := Úx(Ä(x)° ´(x))
y={x | Ä(x)}:= Úx(Ä(x)°x·y)
(класс) X – множество := Áy(y=X)
X - собственный класс := ¤Áy(y=X)
V := {x | x=x} (универсальный класс)
Для записи классов применяются также обычные булевы операции:
XÛY := {z | z·Xªz·Y}
XÜY := {z | z·X#z·Y}
X-Y := {z | z·XªzãY} -X := {z | zãX}
Сокращенная запись некоторых аксиом ZF
Аксиома пустого множества: {x | xx} - множество
4
Аксиома пары: { t | t=x # t=y} - множество
Аксиома объединения: {z | Át (z·t ª t·x) } - множество
Аксиома степени: {z | zîx} - множество
Схема аксиом выделения: если x- множество, Y- класс, то x ÛY- множество
Сокращенные обозначения:
Æ x := { z | Át (z·t ª t·x) } (объединение множества x)
ú X := { z | Út ( t·X¢ z·t) } (пересечение класса X)
P (x ) := { z | zîx} (множество всех подмножеств x)
xÜy := Æ {x ,y}
x + := xÜ{x}
0 := Ù
1 := {0 } (=0 + )
2 := {0 ,1} (=1 + )
Аксиома бесконечности: Áa (Ù·aª Úx (x·a ¢ x + ·a))
Натуральные числа
Пусть
Ind := {a | Ù·aªÚx (x·a ¢ x + ·a)} (класс всех
индуктивных множеств)
По аксиоме бесконечности, Ind Ù, и тогда получаем множество натуральных чисел
¿ := ú Ind
Теорема 2.5 (аксиомы Пеано для ¿)
( 1 ) 0 ·¿
( 2 ) n ·¿ ¢ n + ·¿
( 3 ) n ·¿ ¢ n + 0
( 4 ) m + =n + ¢ m=n
( 5 ) Úx (xî¿ ª 0 ·x ªÚn (n ·x ¢ n + ·x) ¢ x=¿)
5
Отношения и функции
Определение AB:={(x,y)|x·A ª y·B}
(или подробнее: AB:={z | ÁxÁy(z=(x,y)ªx·A ªy·B)})
Теорема 2.11 ÚaÚb ab – множество.
Доказательство. abî P(P(aÜb)).
Определение (Класс) R — отношение : = RîVV (т.е. R состоит из пар).
Если R — отношение, то
Dom(R):= {x | Áy (x,y)·R} - область определения, или первая проекция; другое
обозначение: pr1(R)
Rg(R):= {x | Áx (x,y)·R} - область значений, или вторая проекция; другое
обозначение: pr2(R)
R-1:= {(y,x) | (x,y)·R} – обратное отношение
R[A]= {y | Áx(x·Aª(x,y)·R)} – образ класса относительно R
Теорема 2.12 Если r — отношение, то Dom(r), Rg(r) – множества.
Доказательство. Dom(r), Rg(r)îÆÆr.
Сокращенные обозначения:
Á!x Ä(x):=Áx(Ä(x)ªÚy(Ä(y)¢x=y))
Áx·A Ä(x):= Áx(x·AªÄ(x))
Úx·A Ä(x):= Úx(x·A¢Ä(x))
Определение
(Класс) F — функция : = F — отношение ªÚx·Dom(F) Á!y (x,y)·F
Если F — функция, то пишем y=F(x) вместо (x,y)·F.
F— функция из A в B (обозначение F :A -¢B)
: = F — функция ª Dom(F)=AªRg(F)îB
Лемма Если F:a -¢b , то F – множество.
Лемма Если f — функция, то f[A] – множество.
Схема аксиом подстановки: Если класс F — функция, то F[a] – множество.
6
Аксиома регулярности (фундирования): Úx Ù Áa·x aÛx = Ù
(всякое непустое множество имеет ·-минимальный элемент)
Ординалы
Определение A - транзитивный класс, если ÚxÚy(x·yªy·A¢x·A)
или: Úx(x·A¢xA).
Определение ·A:= {(x,y)|x·yªx·Aªy·A} (отношение принадлежности на
классе A)
Определение - ординал, если - транзитивное множество, · - строгий полный
порядок на .
Последнее означает:
(1) Úx· xx
(2) Úx· x транзитивно
(3) Úx (x x Ù ¢ Áa·x b·x (a=b a·b))
Обозначения
On обозначает класс всех ординалов
< := ·
Лемма 3.2 (1) ·On¢+·On
(2) ¿·On
Лемма 3.3 On – транзитивный класс
Лемма 3.4 < – строгий порядок на On
Лемма 3.5 Если X On, XÙ, то X имеет минимальный элемент (относительно <),
т.е. < – строгий полный порядок на On.
Теорема 3.6 (Принцип трансфинитной индукции)
Ú(Ú< ()¢())¢Ú ()
Лемма 3.7 ° $
Лемма 3.8 Если X On, XÙ, то úX - наименьший элемент X.
Лемма 4.1 (1) + - наименьший среди ординалов >, т.е. > ° ³+
(2) - наибольший среди ординалов <+, т.е. ² ° <+
7
Обозначение min X – наименьший элемент (непустого) класса ординалов X.
Лемма 4.2 Если x On, то Æ x = sup x, т.е.
Æ x = min { | Ú·x ²}.
Определение Ординал - предельный, если не существует такого ординала , что =
+
Лемма 4.3 (1) Æ +=.
(2) Если - предельный, то Æ=.
Теорема 4.4 On — собственный класс.
Трансфинитная рекурсия
Определение Пусть F – функция, X – класс. Ограничением (или сужением) F на X
называется множество F|X := {(a,b) ·F | a ·X} (= FÛ (XV) ).
Очевидно, что F|X – функция.
Лемма 4.5 Если F – функция, x – множество, то F|x – множество.
Теорема 4.6 (о трансфинитной рекурсии) Пусть G : V -¢ V – произвольная функция.
Тогда существует единственная функция F : On -¢ V, такая что Ú F() =
G(F|).
Комментарий. В языке ZF нет кванторов по классам. Поэтому формально
теорема о рекурсии записывается в ZF в виде схемы, которая получается следующим
образом. Функция G задается некоторой формулой ©(x,y). По ней явно строится
формула Ä(x,y), задающая некоторый класс F (вид этой формулы получается из
неформального доказательства теоремы). Теорема утверждает:
(1) F – функция.
(2) Если формула Ä1(x,y) задает функцию F1: On -¢ V, такую что Ú F1()
= G(F1|), то F= F1.
Варианты теоремы о рекурсии
Задача 19 (Теорема о рекурсии с параметром). Пусть G: VV -¢ V – функция-класс.
Тогда существует единственная функция F: VOn -¢ V, такая что
ÚÚx F(x,) = G(x,F|).
8
Задача 20 Даны функции H0: V -¢ V, H1: VV -¢ V. Тогда существует
единственная функция F: VOn -¢ V, такая что для любого x и для любого
·On
• F(x,0) = H0(x)
• F(x, +) = H1(x,F(x, ))
• F(x, ) = Æ F[{x} ], если - предельный ординал.
Определение Сложение, умножение и возведение в степень для ординалов определяются
с помощью рекурсии.
1. Пусть
• F(x,0) = x
• F(x, +) = F(x, )+
• F(x, ) = Æ F[{x} ], если - предельный ординал.
Тогда F(,) называется суммой ординалов и и обозначается (+).
2. Пусть
• F(x,0) = 0
• F(x, +) = F(x, )+
• F(x, ) = Æ F[{x} ], если - предельный ординал.
Тогда F(,) называется произведением ординалов и и обозначается (É ).
3. Пусть
• F(x,0) = 1
• F(x, +) = F(x, ) É
• F(x, ) = Æ F[{x} ], если - предельный ординал.
Тогда F(,) называется –й степенью ординала и обозначается .
Вполне упорядоченные множества
Определение Реляционной системой называется пара (a,r), где r – отношение на a.
Изоморфизм реляционных систем f: (a,r) × (a',r') – это биекция f: a -¢ a',
такая что
ÚxÚy (x r y ° f(x) r' f(y))
Реляционные системы изоморфны (обозначение: (a,r) × (a',r')), если такое f
существует.
9
Легко видеть, что если ², ²' – отношения линейного порядка, то f – изоморфизм,
(a, ²) на (a', ²'), если f – биекция и ÚxÚy (x < y ¢ f(x) < ' f(y)) (т.е. f
строго возрастает).
Лемма 5.1 Пусть ·On, f: -¢ - строго возрастающая функция. Тогда Úx
f(x) ³ x.
Определение Пусть (p, ²) – упорядоченное множество, x·p. Тогда
x := {y·p | y < x} - начальный отрезок p (до x).
Само множество p - тоже считается своим начальным отрезком ("несобственным").
Лемма 5.2 Никакое вполне упорядоченное множество не изоморфно своему собственному
начальному отрезку.
Теорема 5.3 Пусть , ·On, (,·) × (,·). Тогда = .
Теорема 5.4 ("теорема счета") Пусть (p, ²) – вполне упорядоченное множество. Тогда
существует единственный ординал , такой что (p,<) × (,·).
Доказательство (набросок). Единственность следует из 6.2. Для доказательства
существования рассмотрим все начальные отрезки p, изоморфные ординалам. Назовем их
хорошими.
Предположим сначала, что не все отрезки хороши. Пусть x – наименьший плохой.
Для y<x отрезок y – хороший; пусть f(y) - тот единственный ординал, который ему
изоморфен. Получаем функцию f: x -¢ On. Тогда
(1) y < z < x ¢ f(y) < f(z)
Действительно, если g: z × f(z), то g переводит
y в
g(y) . Поэтому
f(y)=g(y)·f(z), т.е. f(y) < f(z).
(2) Rg(f) ·On.
Действительно, если = min (On-Rg(f)), то можно видеть, что
< ¢ ·Rg(f)
> ¢ ãRg(f)
Отсюда следует, что Rg(f)=.
Итак, f: x × , т.е.
x – хороший. Противоречие.
Значит, все отрезки хороши, и, аналогично предыдущему, можно построить
изоморфизм f между p и некоторым ординалом. È
10
Теорема 5.5 (Кантор). Для вполне упорядоченных множеств p и q справедливо ровно
одно из трех утверждений:
(1) p и q изоморфны;
(2) p изоморфно собственному начальному отрезку q;
(3) q изоморфно собственному начальному отрезку p.
Мощности. Конечность и счетность
Определение xy := существует биекция x на y.
xøy:= существует инъекция x в y
x÷y:= xøy ª xy
Определение |x|:={y| xy} (мощность x).
Лемма 5.6 (1) — отношение эквивалентности на V.
(2) xøy ª yøz ¢ xøz
(3) xx' ª yy' ª xøy ¢ x'øy'
Эта лемма позволяет корректно определить
|x|²|y| := xøy
Определение x конечно := Án·¿ xn
Лемма 6.1 n·¿ ª xn ª a·x ¢ x\{a} (n-1)
Теорема 6.2 (принцип Дирихле) m, n ·¿ ª mn ¢ m=n
Обозначение: |x|=n := xn
Теорема 6.3 n·¿ ª |x|=n ª yx ¢ Ám²n |y|=m
Определение Множество D-конечно, если оно не равномощно никакому собственному
подмножеству; в противном случае оно называется D-бесконечным
Лемма 6.4 a конечно ¢ a D-конечно
Лемма 6.5 Для конечных множеств
xy |x|=|y|; xøy |x||y| (как натуральные числа).
Лемма 6.6 x,y конечны, xy = ¢ |xÜy|=|x|+|y| (+ - сложение ординалов)
Теорема 6.7 x, y конечны ¢ xÜy конечно
Теорема 6.8 x, y конечны ¢ xy конечно, |xy|=|x|É |y| (É - умножение
ординалов)
Определение x счетно := x¿
Лемма 6.14 x счетно ¢ x бесконечно
x счетно ª yx ¢ x конечно или счетно
11
Лемма 7.2 x, y счетны ¢ xÜy счетно
x, y счетны ¢ xy счетно
Теорема 7.3 (Кантор) x ÷ P (x)
Доказательство. Инъекция x в P (x) строится легко. Если существует биекция
f: x -¢ P (x) , то рассмотрим m = { y | yãf(y) }. Тогда получаем, что
m·m и mãm. È
Теорема 7.4 (Кантор - Бернштейн) a ø b ª b ø a ¢ ab
Кардиналы
Теорема 7.5 (Хартогс) Úu Á·On ( |ø u ª ø P (P (uu)))
Определение H (u) := min{ | ·On ª |ø u} (число Хартогса множества u)
Определение k – кардинал := k·On ª Ú (<k ¢ ÷k)
Card обозначает класс всех кардиналов.
Лемма 7.6 H (u)·Card
Лемма 7.7 ·On ¢ H (u)= min{k | k·Card ª <k}
Обозначение H (k) для кардинала k обозначают также через k+. Ординал, следующий
за k, в этом случае обозначается (k+1).
Определение Если f — произвольная функция, Dom(f) = a, то f называется также
семейством с множеством индексов a (или a-семейством) и обозначается (fi)i·a
(при этом fi обозначает f(i)). В таком случае используется обозначение {fi | i·a} для
Rg(f); соответственно, Æ Rg (f) обозначается Æ{fi | i·a} (а также Æi·a
fi );
аналогично – для ú.
Если ·On, то -семейство называется -последовательностью и обозначается
(f)< .
Аналогично можно рассматривать семейства, у которых множествами индексов
служат классы.
Лемма 7.8 Пусть — предельный ординал, (k)< — строго возрастающая
-последовательность кардиналов, k = Æ{k | <}. Тогда k — кардинал и
Ú(< ¢ k <k).
Определение On-семейство (алеф) определяется по трансфинитной рекурсии:
12
0 := ¿,
+1 := H (),
:= Æ{ | <}, если — предельный ординал.
Лемма 8.1 (1) — кардинал
(2) < ¢ <
(3) { | ·On} — собственный класс
(4) k — бесконечный кардинал ¢ Á k=
Простейшая кардинальная арифметика
Определение xy := (x{0})Ü(y{1}) (сумма множеств)
Лемма Пусть x x', y y'. Тогда
x y x ' y '
x y x ' y '
xy (x ' )
y '
Благодаря этому, можно корректно определить операции над мощностями:
| x |+ |y | := |x y |
| x | É | y | := |x y|
| x || y |
:= |xy|
Теорема 8.6 (Гессенберг) Если k – бесконечный кардинал, то kk k
Если k – кардинал, часто вместо |k| пишут просто k. Тогда 11.2 можно записать в
виде: kÉk = k
Теорема 8.7 (Основная теорема кардинальной арифметики)
Если k,l·Card, k³l>0 и k³0, то kÉl = k+l = k
Аксиома выбора
Определение Пусть xÙ ª Ùãx .
f - функция выбора на x := f - функция ª Dom( f )=x ª Úy·x
f (y )·y
Аксиома выбора (AC) xÙ ª Ùãx ¢ Áf ( f - функция выбора на x)
Лемма 11.4 x конечно ª xÙ ª Ùãx ¢ Áf ( f - функция выбора на x)
Доказательство – индукцией по |x|.
Варианты аксиомы выбора (леммы 11.5-11.7)
(AC ' ) xÙ ª Ùãx ¢ Ás Úy·x |sÛy|=1
13
(AC'') Если (x i ) i · a - непустое семейство непустых множеств, то существует
семейство
(u i ) i · a такое что Úi·a u i·x i
Определение Все такие (u i ) i · a образуют множество, которое называется
декартовым произведением семейства (x i ) i · a и обозначается ¸{x i | i·a} .
Таким образом, (AC'') утверждает, что произведение непустого семейства
непустых множеств – непусто.
Определение Пусть f : x¢y – сюръекция. Тогда s : y¢x называется сечением f,
если
Úb·y f (s (b) )=b
Лемма 11.8
(1) (AC) ° всякая сюръекция обладает сечением.
(2) (AC) ¢ если существует сюръекция x на y, то y ø x.
Определение Цепью в (частично) упорядоченном множестве (x,²) называется непустое
подмножество aîx , любые два элемента которого сравнимы (по ²). Подмножество
aîx называется ограниченным сверху, если Áy·x Úz·a z²y .
Теорема Цермело Любое множество можно вполне упорядочить.
Лемма Цорна Если в упорядоченном множестве (x,²), всякая цепь ограничена
сверху, то (x,²) имеет максимальный элемент.
Теорема сравнения ÚxÚy (x ø y # y ø x) .
1. Аксиома выбора ¢ Теорема Цермело
2. Аксиома выбора ¢ Лемма Цорна
3. Теорема Цермело ¢ Теорема сравнения
4. Теорема сравнения ¢ Теорема Цермело
Конечность по Дедекинду
Лемма (1) a D-бесконечно ¿ ø a
(2) a D-конечно и вполне упорядочено ¢ a конечно
Континуум-гипотеза и теорема Серпинского
Лемма 2a – P (a)
Обобщенная континнум-гипотеза (GCH): для любого кардинала k, 2k – k+
14
Лемма k+ ø 22
k2
ø 222
2k
.
Лемма |z||x|+|y| = |z||x| |z||y|
Лемма 10.4 x D-бесконечно ¢ 2x 2x
2x 2x
x
Определение P nx определяем по индукции: P 0x := P 0x, P n+1x := P (P nx).
Лемма 10.5 x D-бесконечно ¢ P nx P nx
P nx (при n³1)
Лемма 10.6 x D-бесконечно ª y ø 2x ¢ x y ø 2x
Введем обозначение x ø* y := существует сюръекция y на x.
Лемма 10.7 xÜy = z z ¢ z ø* x # z ø y
Лемма 10.8 xÜy z z ¢ z ø* x # z ø y
Лемма 10.9 x y 2 x x ¢ 2x ø y
Лемма 10.10 Примем GCH. Тогда
x x
x ª y ø 2x ¢ x ø y # y ø x
Лемма 10.11 (основная) Примем GCH. Тогда
x x
x ª y ø 2x ¢ x ø y # y ø x
Теорема 10.12 (Серпинский) GCH ¢ AC.