МУИС ын харъяа “Байгаль Эх лицей” сургууль...

МУИС-ын харъяа “Байгаль-Эх лицей” сургууль Математикийн багш Б.Ариунзул МУИС-ийн Математикийн сорилго ном 7-р бүлгийн бодлогын бодолт

Бадарч Ариунзул

-1 17

3

11-р ангийн сонгон судлах цаг дээр МУИС-ийн МКС-аас гаргасан “Математикийн

сорилго” ном 7-р бүлгийн сонгох “А” хувилбарын бодлогын бодолтыг бодож, “Б”

хувилбарыг бие даалтаар өгнө.

1.А 5; 7; 11; 19; 35 дарааллын ерөнхий гишүүнийг бич.

Бодолт: Дарааллын 1-р гишүүнээс 2-р ишүүн нь 2, 2-р гишүүнээс 3-р гишүүн нь 4, 3-р гишүүнээс

4-р гишүүн нь 8 гэх мэт 2-ийн зэрэгтээр нэмэгдэж байна. Иймд D хариу буюу 3 + 2𝑛 байна.

2.А 𝑥1 =1

2; 𝑥𝑛+1 =

1

2−𝑥𝑛 ; 𝑛 ∈ 𝑁 бол дарааллын ерөнхий гишүүнийг бич.

Бодолт: 𝑥2 =2

3; 𝑥3 =

3

4 ; 𝑥4 =

4

5; 𝑥5 =

5

6; … ; 𝑥𝑛 =

𝑛

𝑛+1 буюу B хариу.

3.А 𝑥𝑛 =21

3𝑛2−14𝑛−17 дарааллын хамгийн их гишүүнийг ол.

Бодолт: 𝑓 𝑛 = 3𝑛2 − 14𝑛 − 17 > 0 тэнцэтгэл бишийг бодвол 𝑥1 = −1; 𝑥2 =17

3

−∞; −1 ∪ 17

3; +∞ завсарт тэгээс их утга авна. Мөн 𝑓 ′(𝑛) = 6𝑛 − 14 > 0 ; 𝑛 >

14

6 болох тул

𝑛 = 6; 7; 8 утгууд дээр авч үзье 𝑥6 =21

7= 3, 𝑥7 =

21

32, 𝑥8 =

21

63 буюу цааш нь буураад явна. Иймд

хамгийн их утга нь 3 хариу D.

4.А lim𝑛→∞ 8𝑛3−4𝑛+18

−3𝑛

𝑛2−3+3𝑛= ?

Бодолт: lim𝑛→∞ 8𝑛3−4𝑛+18

−3𝑛

𝑛2−3+3𝑛= lim𝑛→∞

8−4/𝑛2+1/𝑛38−3

1−3/𝑛2+3=

2−3

1+3=

−1

4 хариу С.

5.А lim𝑛→∞ 𝑎 +1

𝑎+ ⋯ +

𝑎

𝑎𝑛−1 = ?

Бодолт: lim𝑛→∞ 𝑎 +1

𝑎+ ⋯ +

𝑎

𝑎𝑛−1 = lim𝑛→∞ 𝑎 1 +1

𝑎+ ⋯ +

1

𝑎𝑛−1 = lim𝑛→∞ 𝑎 1−

1

𝑎𝑛

1−1

𝑎

=𝑎 𝑎

𝑎−1

6.А lim𝑛→∞ 𝑛2 + 1 − 𝑛2 − 1 𝑠𝑖𝑛 𝑛2 = ?

Бодолт: lim𝑛→∞ 𝑛2 + 1 − 𝑛2 − 1 𝑠𝑖𝑛 𝑛2 = lim𝑛→∞ 𝑛2+1− 𝑛2−1 𝑛2+1+ 𝑛2−1

𝑛2+1+ 𝑛2−1 𝑠𝑖𝑛 𝑛2 =

lim𝑛→∞ 𝑛2+1−𝑛2+1 𝑠𝑖𝑛 𝑛2

𝑛2+1+ 𝑛2−1 = lim𝑛→∞

2𝑠𝑖𝑛 𝑛2

𝑛2+1+ 𝑛2−1 = 0 хариу А.

7.А lim𝑛→∞𝑛

𝑛2−1 𝑙𝑛 𝑛=?

Бодолт: lim𝑛→∞𝑛

𝑛2−1 𝑙𝑛 𝑛= lim𝑛→∞

1

𝑛−1

𝑛 𝑙𝑛𝑛

= 1

𝑛→ 0 = 0 хариу А.



8.А lim𝑛→∞

1+1

2+

1

4+⋯+

1

2𝑛

1+1

3+

1

9+⋯+

1

3𝑛

=?

Бодолт: lim𝑛→∞

1+1

2+

1

4+⋯+

1

2𝑛

1+1

3+

1

9+⋯+

1

3𝑛

= lim𝑛→∞

1+

12 1−

12𝑛

1−12

1+

13 1−

13𝑛

1−13

= 1

2𝑛 → 0;1

3𝑛 → 0 =4

3 хариу B.

9.А lim𝑛→∞ 3𝑛 − 2𝑛𝑛=?

Бодолт: lim𝑛→∞ 3𝑛 − 2𝑛𝑛= lim𝑛→∞ 3 ∙ 1 −

2

3 𝑛𝑛

= 2

3 𝑛

→ 0 = 3 хариу B.

10.А lim𝑛→∞ 𝑛2 + 1 − 𝑛2 − 1 =?

Бодолт:

lim𝑛→∞ 𝑛2 + 1 − 𝑛2 − 1 = lim𝑛→∞ 𝑛2+1− 𝑛2−1 𝑛2+1+ 𝑛2−1

𝑛2+1+ 𝑛2−1 = lim𝑛→∞

2

𝑛2+1+ 𝑛2−1 = 0

хариу B.

11.А lim𝑛→∞𝑛2+3𝑛−2

1+2+⋯+𝑛=?

Бодолт: lim𝑛→∞𝑛2+3𝑛−2

1+2+⋯+𝑛= lim𝑛→∞

𝑛2+3𝑛−2 1+𝑛 𝑛

2

= lim𝑛→∞2 𝑛2+3𝑛−2

𝑛+𝑛2 = lim𝑛→∞

2 1+3

𝑛−

2

𝑛2

1

𝑛+1

= 2 хариу C.

12.А lim𝑥→𝑎 1

𝑥−𝑎−

2𝑎

𝑥2−𝑎2 =?

Бодолт: lim𝑥→𝑎 1

𝑥−𝑎−

2𝑎

𝑥2−𝑎2 = lim𝑥→𝑎 𝑥−𝑎

𝑥−𝑎 𝑥+𝑎 = lim𝑥→𝑎

1

𝑥+𝑎=

1

2𝑎 хариу А.

13.А lim𝑥→𝑎𝑥3−𝑎3

𝑥2−𝑎2 =?

Бодолт: lim𝑥→𝑎𝑥3−𝑎3

𝑥2−𝑎2 = lim𝑥→𝑎 𝑥−𝑎 𝑥2+𝑥𝑎+𝑎2

𝑥−𝑎 𝑥+𝑎 = lim𝑥→𝑎

𝑥2+𝑥𝑎+𝑎2

𝑥+𝑎=

3𝑎2

2𝑎=

3𝑎

2 хариу С.

14.А lim𝑥→𝑎6𝑎3− 𝑥

𝑎2− 𝑥3 =?

Бодолт: lim𝑥→𝑎6𝑎3− 𝑥

𝑎2− 𝑥3 = Лоп − 1 = lim𝑥→𝑎6

−1

2 𝑥

−1

3 𝑥23

= lim𝑥→𝑎63 𝑥23

2 𝑥=

3𝑎4

2𝑎3 =3𝑎

2 хариу А.

15.А lim𝑥→∞6𝑥6+4𝑥2+5

3𝑥6+2𝑥+7=?

Бодолт: lim𝑥→∞6𝑥6+4𝑥2+5

3𝑥6+2𝑥+7= lim𝑥→∞

6+4

𝑥4+5

𝑥6

3+2

𝑥5+7

𝑥6

=6

3= 2 хариу B.



16.А lim𝑥→0 1+𝑥− 1−𝑥

1+𝑥3

− 1−𝑥3 =?

Бодолт: lim𝑥→0 1+𝑥− 1−𝑥

1+𝑥3

− 1−𝑥3 = lim𝑥→0

1+𝑥− 1−𝑥

1+𝑥3

− 1−𝑥3 ∙

1+𝑥+ 1−𝑥

1+𝑥+ 1−𝑥∙

1+𝑥 23+ 1−𝑥23

+ 1−𝑥 23

1+𝑥 23+ 1−𝑥23

+ 1−𝑥 23 = lim𝑥→02𝑥

2𝑥∙

31+𝑥2+31−𝑥2+31−𝑥21+𝑥+1−𝑥= lim𝑥→031+𝑥2+31−𝑥2+31−𝑥21+𝑥+1−𝑥=32 хариу В.

17.А lim𝑥→∞𝑙𝑛 𝑥2−𝑥+1

𝑙𝑛 𝑥10 +𝑥+1 =?

Бодолт: lim𝑥→∞𝑙𝑛 𝑥2−𝑥+1

𝑙𝑛 𝑥10 +𝑥+1 = lim𝑥→∞

𝑙𝑛 𝑥2 1−1

𝑥+

1

𝑥2

𝑙𝑛 𝑥10 1+1

𝑥9+1

𝑥10 = lim𝑥→∞

2𝑙𝑛𝑥 +𝑙𝑛 1−1

𝑥+

1

𝑥2

10𝑙𝑛𝑥 +𝑙𝑛 1+1

𝑥9+1

𝑥10 =

𝑙𝑛 1 −1

𝑥+

1

𝑥2 → 𝑙𝑛1 = 0; 𝑙𝑛 1 +1

𝑥9 +1

𝑥10 → 𝑙𝑛1 = 0 = lim𝑥→∞2𝑙𝑛𝑥

10𝑙𝑛𝑥=

1

5хариу А.

18.А lim𝑥→0 1+𝑡𝑔𝑥 − 1+𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑥3 =?

Бодолт: lim𝑥→0 1+𝑡𝑔𝑥 − 1+𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑥3 = lim𝑥→0 1+𝑡𝑔𝑥 − 1+𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑥3 ∙ 1+𝑡𝑔𝑥 + 1+𝑠𝑖𝑛𝑥

1+𝑡𝑔𝑥 + 1+𝑠𝑖𝑛𝑥= lim𝑥→0

𝑡𝑔𝑥 −𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑥3 ∙

11+𝑡𝑔𝑥+1+𝑠𝑖𝑛𝑥=lim𝑥→0𝑠𝑖𝑛𝑥1𝑐𝑜𝑠𝑥−1𝑥∙𝑥2∙12=lim𝑥→0𝑠𝑖𝑛𝑥1−𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑥∙𝑥2

𝑐𝑜𝑠𝑥1+𝑐𝑜𝑠𝑥∙12=lim𝑥→0𝑠𝑖𝑛3𝑥2∙𝑥3𝑐𝑜𝑠𝑥1+𝑐𝑜𝑠𝑥=1−р гайхамшигт хязгаар=14 хариу С.

19.А lim𝑥→1𝑥2− 𝑥

𝑥−1=?

Бодолт: lim𝑥→1𝑥2− 𝑥

𝑥−1= Лоп − 2 = lim𝑥→1

2𝑥−1

2 𝑥1

2 𝑥

=2−

1

21

2

= 3 хариу С.

20.А lim𝑥→12𝑥2−3𝑥+1

3𝑥2−2𝑥−1=?

Бодолт: lim𝑥→12𝑥2−3𝑥+1

3𝑥2−2𝑥−1= Лоп − 2 = lim𝑥→1

4𝑥−3

6𝑥−2=

4−3

6−2=

1

4 хариу А.

21.А lim𝑥→01−𝑐𝑜𝑠4𝑥

2𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥=?

Бодолт: lim𝑥→01−𝑐𝑜𝑠4𝑥

2𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥= Лоп − 2 = lim𝑥→0

4𝑠𝑖𝑛4𝑥

4𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 +2𝑥2𝑠𝑖𝑛𝑥= lim𝑥→0

8𝑠𝑖𝑛4𝑥

4𝑥∙ 2𝑐𝑜𝑠𝑥 +𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 =

1 − р Гайхамшигт хягаар = lim𝑥→08

2𝑐𝑜𝑠𝑥 +𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥=

8

2= 4 хариу D.

22.А lim𝑥→∞ 𝑥2 + 𝑥 − 𝑥 =?

Бодолт: lim𝑥→∞ 𝑥2 + 𝑥 − 𝑥 = lim𝑥→∞𝑥

𝑥2+𝑥+𝑥= lim𝑥→∞

1

1+1

𝑥+1

=1

2 хариу А.

23.А lim𝑥→3𝑥2−𝑥−6

𝑥−3=?



Бодолт: lim𝑥→3𝑥2−𝑥−6

𝑥−3= lim𝑥→3

𝑥−3 𝑥+2

𝑥−3= lim𝑥→3 𝑥 + 2 = 3 + 2 = 5 хариу В.

24.А 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥3+6𝑥2+3𝑥+1 функцийн уламжлал нь бүх тоон шулуун дээр эерэг байх

параметр й-гийн утгыг ол.

Бодолт: Эхлээд уламжлалыг олъёо. 𝑦′ = 3𝑎𝑥2 + 12𝑥 + 3 𝑒𝑎𝑥3+6𝑥2+3𝑥+1 одоо уламжлал эерэг

байх завсрыг олъёо. Энд ямагт 𝑒𝑎𝑥3+6𝑥2+3𝑥+1 > 0 байх учир

𝑦′ > 0 байхын тулд 3𝑎𝑥2 + 12𝑥 + 3 > 0 байна. Кватрат тэгшитгэл ямагт тэгээс их байхын тулд

3𝑎 > 0 мөн 𝐷 < 0 байх ёстой. Эндээс 𝑎 > 0

𝐷 = 144 − 36𝑎 < 0 =>

𝑎 > 0𝑎 > 4

𝑎 ∈ 4; +∞ хариу С.

25.А А,B –ээс нэгэн зэрэг зурагт заасан чиглэлийн дагуу 2 машин хөдөлжээ. А-аас

хөдөлсөн машины хурд 36км/цаг, В-ээс хөдөлсөн машины хурд 12км/цаг бөгөөд А,В-ийн

хоорондох зай 130 км бол хэдэн цагийн дараа 2 машины хоорондох зай хамгийн бага байх

вэ?

Бодолт: BM –ийн хоорондох зай ВМ = 130 − 36𝑡, BN-ийн хоорондох

зайг 𝐵𝑁 = 12𝑡-аар өөрчлөгдөнө. Тэгвэл MN машины хоорондох зай

BNM тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз юм.

𝐷 = 𝑀𝑁 = 130 − 36𝑡 2 + 12𝑡 2 = 1440𝑡2 − 9360𝑡 + 16900

D-ийн хамгийн бага утганд хүрэх t-г олох бодлого боллоо.

𝐷′ =2880𝑡−9360

2 1440𝑡2−9360𝑡+16900= 0 , 𝑡 =

13

4 цагт хоорондох зай нь хамгийн бага байна.

26.А 𝑦 = 𝑙𝑛 1+𝑠𝑖𝑛𝑥

1−𝑠𝑖𝑛𝑥 бол 𝑦′

𝜋

4 =?

Бодолт: 𝑦′ = 𝑙𝑛 1+𝑠𝑖𝑛𝑥

1−𝑠𝑖𝑛𝑥

′

= 1−𝑠𝑖𝑛𝑥

1+𝑠𝑖𝑛𝑥∙

1−𝑠𝑖𝑛𝑥

2 1+𝑠𝑖𝑛𝑥∙

𝑐𝑜𝑠𝑥 1−𝑠𝑖𝑛𝑥 +𝑐𝑜𝑠𝑥 (1+𝑠𝑖𝑛𝑥 )

(1−𝑠𝑖𝑛𝑥 )2 =(1−𝑠𝑖𝑛𝑥 )

2(1+𝑠𝑖𝑛𝑥 )∙

2𝑐𝑜𝑠𝑥

(1−𝑠𝑖𝑛𝑥 )2 =

𝑐𝑜𝑠𝑥

1−𝑠𝑖𝑛𝑥 2𝑥=

𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠 2𝑥=

1

𝑐𝑜𝑠𝑥 одоо 𝑦′

𝜋

4 =?-ийг олъёо. 𝑦′

𝜋

4 =

1

𝑐𝑜𝑠𝜋

4

=2

2= 2 хариу А.

27.А 𝑦 = 1 + 𝑒−𝑥 𝑠𝑖𝑛 1 − 𝑥 бол 𝑦′ 0 =?

Бодолт: 𝑦′ = −𝑒−𝑥 𝑠𝑖𝑛 1 − 𝑥 − (1 + 𝑒−𝑥)𝑐𝑜𝑠 1 − 𝑥 ∙1

2 1−𝑥 болно. 𝑦′ 0 = −𝑒−0 𝑠𝑖𝑛 1 − 0 −

1 + 𝑒−0 𝑐𝑜𝑠 1 − 0 ∙1

2 1−0= −𝑠𝑖𝑛1 − 𝑐𝑜𝑠1 хариу В.

28.А 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2 − 24𝑥 + 7 функцийн өсөх завсарыг ол.

Бодолт: 𝑓 ′(𝑥) = 3𝑥2 − 6𝑥 − 24 > 0 байх завсар нь функцийн өсөх завсар юм. 3𝑥2 − 6𝑥 − 24 > 0

болж хариу B буюу −∞; −2 ∪ 4; +∞

M В

N

A

-2 4



0 4

5

29.А 48см периметртэй тэгш өнцөгтүүдийн дотроос хамгийн их талбайтай тэгш

өнцөгтийн талбайг ол.

Бодолт: 𝑃 = 2 𝑎 + 𝑏 = 48 эндээс 𝑎 = 24 − 𝑏 болж 𝑆 = 𝑎𝑏 = 24𝑏 − 𝑏2 талбай нь хамгийн их

утгандаа хүрэх b-гийн утгыг олох бодлого боллоо. 𝑆 ′ = 24 − 2𝑏 = 0 буюу 𝑏 = 12 ба 𝑆 = 144

боллоо. Хариу В.

30.А 𝑦 = −1

3𝑥3 + 2.5𝑥2 − 4𝑥 +

1

3 функцийн экстремумуудын нийлбэрийг ол.

Бодолт: 𝑦′ = −𝑥2 + 5𝑥 − 4 = 0 болж сэжигтэй цэг нь 𝑥1 = 1; 𝑥2 = 4 ба 𝑥1 = 1 нь минимум цэг ба

хамгийн бага утга нь 𝑦 = 1.5 ; 𝑥2 = 4 нь максимум цэг болох ба хамгийн их утга нь 𝑦 = −3 болж

хамгийн их хамгийн бага утгын нийлбэр 1,5 болно. Хариу А.

31.А 𝑦 = −5𝑥3 + 6𝑥2 + 8 функцийн өсөх завсарыг ол.

Бодолт: 𝑦′ = −15𝑥2 + 12𝑥 = 3𝑥(−5𝑥 + 4) > 0 болж өсөх завсар нь 0; 0.8

хариу В. Болно.

32.А 𝑦 = 2𝑥3 − 𝑥2 − 6𝑥 муруйн 𝑥 = −1 абцисстай цэгт татсан шүргэгчийн тэгшитгэл бич.

Бодолт: Шүргэгчийн тэгшитгэлийн томъёо нь тул 𝑦0 = −2 − 1 + 6 = 3

𝑓 ′ 𝑥 = 6𝑥2 − 2𝑥 − 6; 𝑓 ′ −1 = 6 + 2 − 6 = 2 болж шүргэгчийн тэгшитгэл нь 𝑦 − 3 = 2(𝑥 + 1)

болж эмхэтгэвэл 2𝑥 − 𝑦 + 5 = 0 хариу В.

33.А 𝐹′ 𝑥 = 3𝑥2 + 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥; 𝐹 0 = 7 бол 𝐹 𝑥 =?

Бодолт: 𝐹 𝑥 = 𝐹′ 𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑥2 + 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥3 +2𝑥 𝑥

3+ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶; болно 𝐹 0 = 7

нөхцөлийг ашиглавал: 𝐹 0 = 03 +2∙0 0

3+ 𝑐𝑜𝑠0 + 𝐶 = 7 ба эндээс 𝐶 = 6 болж, хариу В.

𝐹 𝑥 = 𝑥3 +2𝑥 𝑥

3+ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 6

34.А 𝑠𝑖𝑛5𝑡𝑑𝑡𝑥

0 ′

=?

Бодолт: 𝑠𝑖𝑛5𝑡𝑑𝑡𝑥

0 ′

= 1

5𝑐𝑜𝑠5𝑡|0

𝑥 ′

= 1

5 𝑐𝑜𝑠5𝑥 − 𝑐𝑜𝑠0

′

= 1

5 𝑐𝑜𝑠5𝑥 − 1

′

= 𝑠𝑖𝑛5𝑥 хариу С.

35.А 𝑥

𝑥+2𝑑𝑥 =?



Бодолт: 𝑥

𝑥+2𝑑𝑥 =

𝑥+2−2

𝑥+2𝑑𝑥 = 𝑥 + 2𝑑𝑥 − 2

1

𝑥+2𝑑𝑥 = 𝑥 + 2𝑑(𝑥 + 2) − 2

1

𝑥+2𝑑(𝑥 +

2)=𝑥+2=𝑎=𝑎𝑑𝑎−21𝑎𝑑𝑎=2𝑎𝑎3−4𝑎+𝐶=2(𝑥+2)𝑥+23−4𝑥+2+𝐶 хариу С.

36.А 4𝑥 + 2 𝑒𝑥2+𝑥+1𝑑𝑥 =?

Бодолт:

4𝑥 + 2 𝑒𝑥2+𝑥+1𝑑𝑥 = 2 2𝑥 + 1 𝑒𝑥2+𝑥+1𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 ′ = 2𝑥 + 𝑥 = 2 𝑒𝑥2+𝑥+1𝑑 𝑥2 +

𝑥= 2𝑒𝑥2+𝑥+1𝑑𝑥2+𝑥+1= 𝑥2+𝑥+1=𝑎=2𝑒𝑎𝑑𝑎=2𝑒𝑎+𝐶=2𝑒𝑥2+𝑥+1+𝐶 хариу В.

37.А 𝑙𝑛 1+ 𝑥

𝑥𝑑𝑥 =?

Бодолт: 𝑙𝑛 1+ 𝑥

𝑥𝑑𝑥 = 2

𝑙𝑛 1+ 𝑥

2 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥

′=

1

2 𝑥 = 2 𝑙𝑛 1 + 𝑥 𝑑 𝑥 = 2 𝑙𝑛 1 +

𝑥𝑑𝑥+1=𝑥+1=𝑎=2𝑙𝑛𝑎 𝑑𝑎=𝑙𝑛𝑎=𝑢 1𝑎𝑑𝑎=𝑑𝑢𝑑𝑎=𝑑𝑣 𝑎=𝑣=2𝑎 𝑙𝑛𝑎−1𝑎 𝑎 𝑑𝑎=2𝑎 𝑙𝑛𝑎− 𝑑𝑎=2𝑎

𝑙𝑛𝑎−𝑎+𝐶=2𝑥+1𝑙𝑛𝑥+1−2𝑥+2+𝐶 хариу D.

38.А 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5 ба 𝑦 = 𝑥 + 1 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.

Бодолт: Парабол шулуун хоёрын огтлолцолын цэгийг олъёо. 𝑥 + 1 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5 𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0

𝑥1 = 4; 𝑥2 = 1. Мөн парабол нь дээшээ харсан тул талбай нь 𝑆 = 𝑥2 − 5𝑥 + 4 𝑑𝑥4

1 =

𝑥3

3− 5 ∙

𝑥2

2+ 4𝑥

4

1

= 43

3− 5 ∙

42

2+ 4 ∙ 4 −

13

3− 5 ∙

1

2+ 4 ∙ 1 = 4.5 хариу С.

39.А 𝑦 = 𝑥2 ба 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.

Бодолт: Параболуудын огтлолцолын цэгийг олъёо. 2𝑥 − 𝑥2 = 𝑥2; 2𝑥2 − 2𝑥 = 0 𝑥1 = 0; 𝑥2 = 1.

Мөн доошоо харснaaс нь дээшээ харсныг нь хасч талбай нь

𝑆 = 2𝑥 − 2𝑥2 𝑑𝑥1

0 = 𝑥2 − 2 ∙

𝑥3

3

1

0

= 12 − 2 ∙13

3 − 0 − 2 ∙

0

3 =

1

3 хариуА.

40.А 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥𝜋

0=?

Бодолт: 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥𝜋

0=

1+𝑐𝑜𝑠2𝑥

2 𝑑𝑥

𝜋

0=

1

2 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥

𝜋

0=

1

2 𝑥 +

1

2𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝜋

0

=1

2 𝜋 +

1

2∙ 0 −

0−12∙0=𝜋2 хариу В.

41.А 4𝑥 −1

2𝑥+1 𝑑𝑥

0.5

0=?



-a 2a 0 a

- +

Бодолт: 4𝑥 −1

2𝑥+1 𝑑𝑥

0.5

0= 4𝑥 𝑑𝑥 −

0.5

0 1

2𝑥+1𝑑𝑥

0.5

0= 4𝑥 𝑑𝑥 −

0.5

0

1

2

1

2𝑥+1𝑑 2𝑥 +

0.5

0

1=2𝑥2−12𝑙𝑛2𝑥+10.50=2∙0.52−12𝑙𝑛2∙0.5+1−2∙02−12𝑙𝑛2∙0+1=0.5−12𝑙𝑛2=121−𝑙𝑛2=12𝑙𝑛𝑒−𝑙𝑛

2=12𝑙𝑛𝑒2хариу D.

42.А 𝑠𝑖𝑛 𝜋

3− 3𝑥 𝑑𝑥

2𝜋

30

=?

Бодолт: 𝑠𝑖𝑛 𝜋

3− 3𝑥 𝑑𝑥

2𝜋

30

= −1

3 𝑠𝑖𝑛

𝜋

3− 3𝑥 𝑑 −3𝑥

2𝜋

30

= −1

3 𝑠𝑖𝑛

𝜋

3− 3𝑥 𝑑

𝜋

3− 3𝑥

2𝜋

30

=

𝜋

3− 3𝑥 = 𝑎 = −

1

3 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑑𝑎

2𝜋

30

=1

3𝑐𝑜𝑠

𝜋

3− 3𝑥

2𝜋

3

0

=1

3 𝑐𝑜𝑠

𝜋

3− 𝑐𝑜𝑠

𝜋

3 = 0 хариу А.

43.А 𝑥 𝑥2 − 𝑎2 𝑑𝑥2𝑎

0=? 𝑎 > 0

Бодолт: 𝑥2 − 𝑎2 = 0 ба 𝑥1=𝑎; 𝑥2 = −𝑎

Тул 𝑎2𝑥 − 𝑥3 𝑑𝑥𝑎

0+ 𝑥3 − 𝑎2𝑥 𝑑𝑥

2𝑎

𝑎= 𝑎2 𝑥2

2−

𝑥4

4

𝑎

0

+ 𝑥4

4−

𝑎2𝑥2

2

2𝑎

𝑎

= 𝑎4

2−

𝑎4

4 +

4𝑎4 − 2𝑎4 − 𝑎4

4−

𝑎4

2 =

5𝑎4

2 хариу С.

44.А 𝑥 𝑑𝑥

𝑥2+𝑎2

𝑎

0=?

Бодолт: 𝑥 𝑑𝑥

𝑥2+𝑎2

𝑎

0=

1

2

𝑑 𝑥2

𝑥2+𝑎2

𝑎

0=

1

2

𝑑 𝑥2+𝑎2

𝑥2+𝑎2

𝑎

0= 𝑥2 + 𝑎2

1

2 𝑎

0

= 𝑎2 + 𝑎2 1

2 − 02 + 𝑎2 1

2 =

2𝑎 − 𝑎 = 𝑎 2 − 1 хариу В.

45.А 𝑑𝑥

1−2𝑥2=?

0.5

0

Бодолт:

𝑑𝑥

1−2𝑥2=

1

2

0.5

0 𝑑 2𝑥

1−2𝑥2=

0.5

0 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 ′ =

1

1−𝑥2 =

1

2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2𝑥

0.5

0

=1

2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛

2

2 −

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛0=12𝜋4−0=𝜋42=2𝜋8 хариу С.

46.А 𝑠𝑖𝑛𝑥

1−2𝑐𝑜𝑠𝑥

𝜋𝜋

2

𝑑𝑥 =?



Бодолт: 𝑠𝑖𝑛𝑥


𝜋𝜋

2

𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ′ = −𝑠𝑖𝑛𝑥 = − 𝑑𝑐𝑜𝑠𝑥


𝜋𝜋

2

=1

2

𝑑 −2𝑐𝑜𝑠𝑥


𝜋𝜋

2

=1

2

𝑑 1−2𝑐𝑜𝑠𝑥


𝜋𝜋

2

=

1

2 𝑙𝑛 1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥

𝜋

𝜋

2

=1

2 𝑙𝑛 1 − 2𝑐𝑜𝑠𝜋 −

1

2𝑙𝑛 1 − 2𝑐𝑜𝑠

𝜋

2 =

1

2 𝑙𝑛 3 − 𝑙𝑛1 =

1

2𝑙𝑛3 = 𝑙𝑛 3 хариу

D.

47.А 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 =1

4

𝑡

0 тэгшитгэлийн 0; 𝜋 завсар дахь шийд нь аль вэ?

Бодолт: 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 =𝑡

0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑡

0

1

2𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑡

0

=1

2𝑠𝑖𝑛2𝑡 =

1

4 эндээс 𝑠𝑖𝑛2𝑡 =

1

2 ба 𝑠𝑖𝑛𝑡 =

2

2

ба 𝑠𝑖𝑛𝑡 = − 2

2 хариу 𝑡 = −1 𝑛 𝜋

4+ 𝜋𝑘 ба 𝑡 = −1 𝑛+1 𝜋

4+ 𝜋𝑘 ба 0; 𝜋 энэ завсарт

𝜋

4 гэсэн хариу А

байна.

48.А 𝑥2 + 1 𝑑𝑥𝑦

𝑦−1<

10

3 тэнцэтгэлийн бишийн шийдийн олонлог аль вэ?

Бодолт: 𝑥2 + 1 𝑑𝑥𝑦

𝑦−1<

10

3 эндээс

𝑥3

3+ 𝑥

𝑦𝑦 − 1

<10

3;

𝑦3

3+ 𝑦 −

𝑦−1 3

3− 𝑦 − 1 <

10

3

𝑦2 − 𝑦 +4

3<

10

3; 𝑦2 − 𝑦 − 2 < 0 эндээс 𝑦1 = 2; 𝑦2 = −1

Хариу −1; 2 D.

49.А 3𝑥2 + 1 𝑑𝑥𝑦

−𝑦≤ 𝑦2 тэнцэтгэл бишийн 0; +∞ завсар дахь шийд аль вэ?

Бодолт: 𝑥3 + 𝑥

𝑦

−𝑦

≤ 𝑦2; 𝑦3 + 𝑦 + 𝑦3 + 𝑦 ≤ 𝑦2 ; 2𝑦3 − 𝑦2 + 2𝑦 ≤ 0; 𝑦 2𝑦2 − 𝑦 + 2 ≤ 0

𝑦1 = 0; болж шийд нь

0; +∞ завсартай огтлолцох шийд нь 𝑥 = 0 буюу С.

50.А 7𝑥 + 2 𝑑𝑥3

−1=?

Бодолт: 7𝑥 + 2 = 0 ; 𝑥 = −2

7

−7𝑥 − 2 𝑑𝑥−

2

7−1

+ 7𝑥 + 2 3

−2

7

𝑑𝑥 = −7𝑥2

2− 2𝑥

−2

7

−1

+ 7𝑥2

2+ 2𝑥

3

−2

7

= −2

7+

7

2+

4

7− 2 +

63

2−

2

7+ 6 +

4

7 = 39

4

7 хариу В.

-1 2

-

+

0

-

+

-2

7

-

+

0



4 5

51.А 𝑥2 − 7 𝑥 + 12 𝑑𝑥3

−2=?

Бодолт: Модулийн тэмдэг нь 𝑥 = 0

𝑥2 + 7𝑥 + 12 𝑑𝑥0

−2+ 𝑥2 − 7𝑥 + 12 𝑑𝑥

3

0=

𝑥3

3+

7𝑥2

2+ 12𝑥

0

−2

+ 𝑥3

3−

7𝑥2

2+ 12𝑥

3

0

=8

3−

28

2+ 24 + 9 −

63

2+ 36 = 26

1

6 хариу D.

52.А 𝑥2 − 7𝑥 + 12 𝑑𝑥5

3= ?

Бодолт: Модулийн тэмдэг тогтооё: 𝑥2 − 7𝑥 + 12 = 0 ; 𝑥1 =

3; 𝑥2 = 4

−𝑥2 + 7𝑥 − 12 𝑑𝑥4

3

+ 𝑥2 − 7𝑥 + 12 𝑑𝑥5

4

= −𝑥3

3+

7𝑥2

2− 12𝑥

4

3

+ 𝑥3

3−

7𝑥2

2+ 12𝑥

5

4

= −43

3+

7 ∙ 42

2− 48 + 9 −

63

2+ 36 +

53

3−

7 ∙ 52

2+ 60 −

53

3+

7 ∙ 52

2− 60 = 1

53.А Зураг дээрх зурааслагдсан дүрсийн талбай аль вэ?

Бодолт: a –нь доод хил, b-нь дээд бол талбай нь 𝑆 = − 𝑎−𝑏 3

6 томъёо ёсоор

𝑆 = − 0−5 3

6=

125

6= 20

5

6 хариу А.

54.А 𝑦 = 𝑥2; 𝑦 = 𝑎𝑥 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай 36 бол a-гийн бүх утга

нь аль вэ?

Бодолт: Огтлолцолын цэгийг олъёо: 𝑥2 = 𝑎𝑥; 𝑥1 = 0; 𝑥2 = 𝑎 тул 𝑆 = − 𝑎−𝑏 3

6 ёсоор хэрэв а нь

дээд хил бол 36 = − 0−𝑎 3

6; 63 = 𝑎3; 𝑎 = 6 . Хэрэв а нь доод хил бол 36 = −

𝑎−0 3

6; 63 =

−𝑎3; 𝑎 = −6 тул хариу 𝑎 = ±6 буюу С.

3 4

МУИС ын харъяа “Байгаль Эх лицей” сургууль...

Documents

Transcript of МУИС ын харъяа “Байгаль Эх лицей” сургууль...