Олон хувьсагчтай функцийн үндэс

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

Àãóóëãà

Îëîíõóâüñàã÷òàéôóíêö(ÎÕÔ)

(ÎÕÔ)-èéíòîäîðõîéëîãäîõìóæ(ÎÕÔ)-èéíòóõàéí áàá³òýí°°ð÷ë°ëò

Õî¼ðõóâüñàã÷òàéôóíêöèéíõÿçãààð,òàñðàëòã³é÷àíàð

ÄàâõàðõÿçãààðÄàðààëñàíõÿçãààð(ÎÕÔ)-èéíòàñðàëòã³é÷àíàð

(ÎÕÔ)-èéíòóõàéíóëàìæëàëáà á³òýíäèôôåðåíèéë

(ÎÕÔ)-èéíòóõàéíóëàìæëàë(ÎÕÔ)-èéíá³òýíäèôåðåíöèàë

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí ³íäýñ

Ä. Áàòò°ð

ÎËÎÍ ÓËÑÛÍ ÓËÀÀÍÁÀÀÒÀÐÛÍ ÈÕ ÑÓÐÃÓÓËÜ

2016.01.15

Àãóóëãà

1 Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ)

(ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ

(ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò

2 Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð

Äàâõàð õÿçãààð

Äàðààëñàí õÿçãààð

(ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð

3 (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí óëàìæëàë áà á³òýí äèôôåðåíèéë

(ÎÕÔ)-èéí òóõàéí óëàìæëàë

(ÎÕÔ)-èéí á³òýí äèôåðåíöèàë

Àãóóëãà

Òîäîðõîéëò

Õýðýâ áèå áèåíýýñýý ³ë õàìààðàí °°ð÷ë°ãä°õ x , y -ãýñýíõóâüñàõ õýìæèãäýõ³³íèé ýðýìáýëýãäñýí õîñ óòãà (x ; y)-ýýñòîãòîõ (D) ìóæèéí M(x ; y) öýã á³õýíä ÿìàð íýãýí õóóëü,

ä³ðìýýð òîäîðõîé íýã áîäèò òîî z-èéã õàðãàëçóóëæ áàéâàë

z-ûã x , y -õóâüñàã÷ààñ õàìààðñàí, D ìóæ äýýð

òîäîðõîéëîãäñîí íýãýí óòãàò õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêö ãýýä

z = f (x ; y) z = φ(x ; y)

ãýõ ìýòýýð òýìäýãëýíý.

ÎÕÔ-ã °ã°õ àðãóóä

1 Õ³ñíýãòýýð

2 Àíàëèòèê àðãààð (ìàòåìàòèêèéí

òîìú¼îíû òóñëàìæòàéãààð)

Àãóóëãà

z = f (x ; y) z = φ(x ; y)

Àãóóëãà

z = f (x ; y) z = φ(x ; y)

Àãóóëãà

Æèøýý

y0 1 2 3 4 5

1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 6 8 10

3 0 3 6 9 12 15

4 0 4 8 12 16 20

z = x2 + y2

Àãóóëãà

Àíàëèòèê àðãààð òîäîðõîéëîãäñîí z = f (x ; y) ôóíêöèéíóòãûã òîäîðõîé áîäèò òîî áàéëãàõ á³õ (x ; y)-õîñ óòãóóäûíîëîíëîãèéã z = f (x ; y) ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ ãýíý.

Òîäîðõîéëîãäîõ ìóæèéí (x ; y)-õîñ óòãà á³õýíä õàðãàëçàõ

z-ûí á³õ óòãóóäûí îëîíëîãèéã ôóíêöèéí óòãûí ìóæ ãýíý.

Àãóóëãà

Àíàëèòèê àðãààð òîäîðõîéëîãäñîí z = f (x ; y) ôóíêöèéíóòãûã òîäîðõîé áîäèò òîî áàéëãàõ á³õ (x ; y)-õîñ óòãóóäûíîëîíëîãèéã z = f (x ; y) ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ ãýíý.

Òîäîðõîéëîãäîõ ìóæèéí (x ; y)-õîñ óòãà á³õýíä õàðãàëçàõ

z-ûí á³õ óòãóóäûí îëîíëîãèéã ôóíêöèéí óòãûí ìóæ ãýíý.

Àãóóëãà

Æèøýý

z = 4x − y ôóíêö íü äóðûí (x ; y)-õîñ óòãà á³õýí äýýðòîäîðõîé áîäèò óòãàòàé áàéõ òóë ò³³íèé òîäîðõîéëîãäîõìóæ íü õàâòãàéí á³õ öýã³³ä áàéíà.

z =√

9− x2 − y2 ôóíêö íü 9− x2 − y2 ≥ 0 áóþó x2 + y2 ≤ 9í°õöëèéã õàíãàõ (x ; y)-ûí õîñ óòãà á³õýí äýýðòîäîðõîéëîãäîíî.

x2 + y2 ≤ 9 íü O(0; 0) öýã äýýð ò°âòýé R = 3 ðàäèóñòàéäóãóéí äîòîðõè á³õ öýã³³ä áîëîí x2 + y2 = 9 òîéðãèéíöýã³³ä áàéíà. Èéìä z =

√9− x2 − y2 ôóíêöèéí

òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ íü áèò³³ ìóæ áàéíà.

z = ln(x + y) ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ íü x + y > 0áóþó y > −x í°õöëèéã õàíãàñàí (x ; y)-õîñ óòãà á³õýí äýýðòîäîðõîéëîãäîíî. Ýíýõ³³ (x ; y)-õîñ óòãóóäûí îëîíëîã íüy = −x-øóëóóíààñ äýýø îðøèõ õàâòãàéí á³õ öýã³³äèéíîëîíëîã áàéíà.

Àãóóëãà

Æèøýý

z =√

Àãóóëãà

Æèøýý

z =√

Àãóóëãà

Ñàíàìæ

ÎÕÔ-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ íü êîîäèíàòûí õàâòãàé,

ýñâýë ò³³íèé õýñýã áàéäàã.

y = −x

1-ð çóðàã

Çóðàã: Êîîðäèíàòûí õàìòãàé

Àãóóëãà

Áèå áèåíýýñýý ³ë õàìààðàõ x1, x2, ..., xn-ãýñýí n-øèðõýãõóâüñàã÷óóäûí óòãóóäààñ òîãòîõ D ìóæèéí (x1, x2, ..., xn)óòãà á³õýíä ÿìàð íýãýí õóóëü ä³ðìýýð z-ãýñýí õóâüñàõ

õýìæèãäýõ³³íèé òîäîðõîé íýã óòãûã õàðãàëçóóëæ áîëæ

áàéâàë z-ûã D-ìóæ äýýð òîäîðõîéëîãäñîí (x1, x2, ..., xn)õóâüñàã÷ààñ õàìààðñàí n-õóâüñàã÷òàé íýãýí óòãàò ôóíêö ãýæ

íýðëýýä

z = f (x1; x2; ...; xn) áóþó z = φ(x1; x2; ...; xn)

ãýõ ìýòýýð òýìäýãëýíý. Åð°íõèéä°° õî¼ð áà ò³³íýýñ äýýø

òîîíû õóâüñàã÷ààñ õàìààðñàí ôóíêöèéã îëîí õóâüñàã÷òàé

ôóíêö ãýíý.

Æèøýýëáýë W = x2+y2+z2√

1+t2ôóíêö íü x , y , z , t ãýñýí ä°ðâ°í

õóâüñàã÷òàé ôóíêö þì.

Ä°ð°â áà ò³³íýýñ äýýø õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí

òîäîðõîéëîãäîõ ìóæèéã ãåîìåòðèéí àðãààð ä³ðñëýõ

áîëîìæã³é.

Àãóóëãà

z = f (x ; y), (x ; y) ∈ D õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêö àâúÿ. Ýíý

ôóíêöèéí x-õóâüñàã÷èä ∆x-°°ð÷ë°ëòèéã (x + ∆x ; y) ∈ Dáàéõààð °ã÷ y -ûã õýâýýð áàéëãàâàë z-ôóíêö °°ð÷ë°ãä°õ

á°ã°°ä ò³³íä õàðãàëçàõ °°ð÷ë°ëò

∆xz = f (x + ∆x ; y)− f (x ; y) (1)

-èéã z-ôóíêöèéí x-ýýð àâñàí òóõàéí °°ð÷ë°ëò ãýíý. �³íèé

àäèëààð z-ýýñ y -ýýð àâñàí òóõàéí °°ð÷ë°ëòèéã

∆yz = f (x ; y + ∆y)− f (x ; y)

ãýæ òîäîðõîéëæ áîëíî.

Àãóóëãà

Õýðýâ z = f (x ; y) ôóíêöèéí x àðãóìåíòàä ∆x , y -àðãóìåíòàä∆y -°°ð÷ë°ëòèéã íýãýí çýðýã (x + ∆x ; y + ∆y) ∈ D áàéõààð

°ã°õ°ä ãàðàõ ôóíêöèéí °°ð÷ë°ëò

∆z = f (x + ∆x ; y + ∆y)− f (x ; y)

-èéã z = f (x ; y)-èéí á³òýí °°ð÷ë°ëò ãýíý.

Ñàíàìæ

∆z 6= ∆xz + ∆yz áàéæ áîëíî.

Àãóóëãà

Æèøýý

z = x2 · y ôóíêöèéí õóâüä

∆xz = (x + ∆x)2y − x2y = x2y + 2x ·∆x · y + (∆x)2y − x2y == (2x + ∆x) ·∆x · y

∆yz = x2(y + ∆y)− x2y = x2 ·∆y∆z = (x + ∆x)2(y + ∆y)− x2y

= [x2 + 2x∆x + (∆x)2](y + ∆y)− x2y= 2x ·∆x · y + (∆x)2y + x2∆y + x2∆y

+2x∆y∆x + (∆x)2∆y

áàéõ áà∆z 6= ∆xz + ∆yz

áàéíà.

Àãóóëãà

1-èéí �ðã°òã°ë

�³íèé àäèëààð z = f (x1; x2; ...; xn) ôóíêöèéí òóõàéí áà

á³òýí °°ð÷ë°ëòèéã áè÷âýë

∆x1 = f (x1 + ∆x1, x2, ..., xn)− f (x1, x2, ..., xn)∆x2 = f (x1, x2 + ∆x2, ..., xn)− f (x1, x2, ..., xn)....................................∆xn = f (x1, x2, ..., xn + ∆xn)− f (x1, x2, ..., xn)∆z = f (x1 + ∆x1; x2 + ∆x2; ...; xn + ∆xn)− f (x1, x2, ..., xn)

áàéíà.

Àãóóëãà

Õàâòãàéí M0 áà M öýãèéí õîîðîíäàõü çàéã

ρ(M,M0) =√

(x − x0)2 + (y − y0)2

ãýæ òýìäýãëüå.

M0(x0, y0) öýãèéí õóâüä ρ(M,M0) < ε í°õö°ëèéã õàíãàñàíM(x , y) öýã³³äèéí îëîíëîãèéã M0(x0, y0) öýãèéí ε îð÷èíãýíý.

M0(x0, y0) öýãèéí îð÷èí ãýäýã

íü ãåîìåòðèéí ³³äíýýñ M0(x0, y0)öýã äýýð ò°âòýé ε ðàäèóñòàé

äóãóéí á³õ öýã³³äèéí îëîíëîã

Àãóóëãà

Õàâòãàéí M0 áà M öýãèéí õîîðîíäàõü çàéã

ρ(M,M0) =√

(x − x0)2 + (y − y0)2

ãýæ òýìäýãëüå.

M0(x0, y0) öýãèéí õóâüä ρ(M,M0) < ε í°õö°ëèéã õàíãàñàíM(x , y) öýã³³äèéí îëîíëîãèéã M0(x0, y0) öýãèéí ε îð÷èíãýíý.

M0(x0, y0) öýãèéí îð÷èí ãýäýã

íü ãåîìåòðèéí ³³äíýýñ M0(x0, y0)öýã äýýð ò°âòýé ε ðàäèóñòàé

äóãóéí á³õ öýã³³äèéí îëîíëîã

Àãóóëãà

∀ε > 0 òîî àâàõàä ρ(M,M0) < δ áàéõ M(x , y) öýã³³äèéíõóâüä

|f (M)− A| < ε

òýíöýòãýë áèø áèåëýãäýæ áàéõààð δ = δ(ε) > 0 òîî îëäîæ

áàéâàë A− const òîîã M → M0(x0, y0) ³åèéí f (x , y)ôóíêöèéí äàâõàð õÿçãààð ãýæ íýðëýýä

limM→M0

f (M) = A áóþó limx → x0y → y0

f (x , y) = A (2)

ãýæ òýìäýãëýíý.

Àãóóëãà

Æèøýý

limx → 0y → 0

a−√

a2−xyxy õÿçãààðûã îë.

C limx → 0y → 0

a−√

a2−xyxy = lim

x → 0y → 0

(a−√

a2−xy)(a+√

a2−xy)

xy ·(a+√

a2−xy)

= limx → 0y → 0

xy ·(a+√

a2−xy)= lim

x → 0y → 0

(a+√

a2−xy)= 1

Àãóóëãà

Æèøýý

limx → 0y → 0

a−√

a2−xyxy õÿçãààðûã îë.

C limx → 0y → 0

a−√

a2−xyxy = lim

x → 0y → 0

(a−√

a2−xy)(a+√

a2−xy)

xy ·(a+√

a2−xy)

= limx → 0y → 0

xy ·(a+√

a2−xy)= lim

x → 0y → 0

(a+√

a2−xy)= 1

Àãóóëãà

z = f (x , y), x ∈ X , y ∈ Y ôóíêöèéí õóâüä y -ûã áýõëýýä x → a³åèéí f (x , y) ôóíêöèéí õÿçãààð íü îðøèí áàéâàë òýð íüåð°íõèéä°° y -ýýñ õàìààðñàí ôóíêö áàéíà.

limx→a

f (x , y) = φ(y).

Ýíý ôóíêöýýñ y → b ³åèéí õÿçãààð àâáàë

limy→b

φ(y) = limy→b

( limx→a

f (x , y)) (3)

áîëíî. (4)-èéã äàðààëñàí õÿçãààð ãýæ íýðëýíý.�³íèé àäèëààð

limx→a

limy→b

f (x , y) = limx→a

ψ(x) (4)

ãýñýí äàðààëñàí õÿçãààðûí òóõàé ÿðüæ áîëíî.

Àãóóëãà

Æèøýý

f (x , y) = 5x−3y+x2+y2

x+y ôóíêöèéí x → 0, y → 0 ³åèéí á³õ

áîëîìæò äàðààëñàí õÿçãààðûã îë.

limy→0

limx→0

5x − 3y + x2 + y2

x + y= lim

y→0(y − 3) = −3

limx→0

limy→0

5x − 3y + x2 + y2

x + y= lim

5x + x2

x= 5.B

Àãóóëãà

Æèøýý

f (x , y) = 5x−3y+x2+y2

x+y ôóíêöèéí x → 0, y → 0 ³åèéí á³õ

áîëîìæò äàðààëñàí õÿçãààðûã îë.

limy→0

limx→0

5x − 3y + x2 + y2

x + y= lim

y→0(y − 3) = −3

limx→0

limy→0

5x − 3y + x2 + y2

x + y= lim

5x + x2

x= 5.B

Àãóóëãà

(ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð

Õýðýâ M0(x0, y0) öýã íü f (x , y) ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæèéíöýã áàéõ áà

limx → x0y → y0

f (x , y) = f (x0, y0) (5)

òýíöýòãýë áèåëýãäýæ áàéâàë z = f (x , y) ôóíêöèéã M0(x0, y0) öýãäýýð òàñðàëòã³é ôóíêö ãýíý.Áèä x = x0 + ∆x , y = y0 + ∆y ãýâýë (6)-èéã

lim∆x → 0∆y → 0

f (x0 + ∆x , y0 + ∆y) = f (x0, y0) (6)

Àãóóëãà

z = f (x ; y) ôóíêöèéí M0(x0; y0) öýã äýýðõ x-ýýð àâñàí

òóõàéí °°ð÷ë°ëòèéã àðãóìåíò x-èéí °°ð÷ë°ëò ∆x-ä

õàðüöóóëñàí õàðüöàà∆xz

∆x-ààñ ∆x → 0 ³åèéí õÿçãààð àâàõàä

ò°ãñã°ë°ã òîî ãàðàõ áîë ýíý õÿçãààðûã f (x ; y) ôóíêöýýñM0(x0; y0) öýã äýýðõ x-ýýð àâñàí òóõàéí óëàìæëàë ãýýä

∂f (x0; y0)

∂x; z ′x ; f ′x(x0; y0)

ãýæ òýìäýãëýíý.

Àãóóëãà

�°ð°°ð õýëáýë:

∂x= lim

∆→0

∆x= lim

∆x→0

f (x0 + ∆x ; y0)− f (x0; y0)

∆x(7)

∂y= lim

∆→0

∆y= lim

∆y→0

f (x0; y0 + ∆y)− f (x0; y0)

∆y(8)

Æèøýý

z = x2y2 + ln(5x + 4y) + 1 ôóíêöýýñ x , y -àðãóìåíòóóäààðàâñàí òóõàéí óëàìæëàëóóäûã îë.

C ∂z∂x = 2xy2 + 5

5x+4y ; ∂z∂y = 2x2y + 4

5x+4y B

Àãóóëãà

∂x= lim

∆→0

∆x= lim

∆x→0

f (x0 + ∆x ; y0)− f (x0; y0)

∆x(7)

∂y= lim

∆→0

∆y= lim

∆y→0

f (x0; y0 + ∆y)− f (x0; y0)

∆y(8)

Æèøýý

C ∂z∂x = 2xy2 + 5

5x+4y ; ∂z∂y = 2x2y + 4

5x+4y B

Àãóóëãà

∂x= lim

∆→0

∆x= lim

∆x→0

f (x0 + ∆x ; y0)− f (x0; y0)

∆x(7)

∂y= lim

∆→0

∆y= lim

∆y→0

f (x0; y0 + ∆y)− f (x0; y0)

∆y(8)

Æèøýý

C ∂z∂x = 2xy2 + 5

5x+4y ; ∂z∂y = 2x2y + 4

5x+4y B

Àãóóëãà

∂x= lim

∆→0

∆x= lim

∆x→0

f (x0 + ∆x ; y0)− f (x0; y0)

∆x(7)

∂y= lim

∆→0

∆y= lim

∆y→0

f (x0; y0 + ∆y)− f (x0; y0)

∆y(8)

Æèøýý

C ∂z∂x = 2xy2 + 5

5x+4y ; ∂z∂y = 2x2y + 4

5x+4y B

Àãóóëãà

Õýðýâ z = f (x ; y) ôóíêöèéí M0(x0; y0) öýã äýýðõ á³òýí°°ð÷ë°ëò íü (2) õýëáýðòýé áè÷èãäýõ áîë z = f (x ; y)-èéãM0(x0; y0) öýã äýýð äèôôåðåíöèàë÷ëàãäàõ ôóíêö ãýæ íýðëýõ

áà ýíýõ³³ °°ð÷ë°ëòèéí ∆x , ∆y -òàé õàðüöóóëàõàä øóãàìàí

áàéõ õýñãèéã f (x ; y) ôóíêöèéí á³òýí äèôôåðåíöèàë ãýíý.

dz =∂f

∂xdx +

∂ydy (9)

Àãóóëãà

Òîäîðõîéëò (9)-èéí °ðã°òã°ë

z = f (x1; x2; ...; xn) ãýñýí n õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí á³òýí

äèôôåðåíöèàë:

dz =∂f

∂x1dx1 +

∂x2dx2 + · · ·+ ∂f

∂xndxn

áàéíà.

Æèøýý

u = xy − yx + zx + z2 ôóíêöèéí á³òýí äèôôåðåíöèàëûã îë.

C ∂u∂x = y + y

x2 + z , ∂u∂y = x − 1

x ,∂u∂z = x + 2z .

dz = (y +y

x2+ z)dx + (x − 1

x)dy + (x + 2z)dz .B

Àãóóëãà

Òîäîðõîéëò (9)-èéí °ðã°òã°ë

z = f (x1; x2; ...; xn) ãýñýí n õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí á³òýí

äèôôåðåíöèàë:

dz =∂f

∂x1dx1 +

∂x2dx2 + · · ·+ ∂f

∂xndxn

áàéíà.

Æèøýý

u = xy − yx + zx + z2 ôóíêöèéí á³òýí äèôôåðåíöèàëûã îë.

C ∂u∂x = y + y

x2 + z , ∂u∂y = x − 1

x ,∂u∂z = x + 2z .

dz = (y +y

x2+ z)dx + (x − 1

x)dy + (x + 2z)dz .B

Олон хувьсагчтай функцийн үндэс

Education

Transcript of Олон хувьсагчтай функцийн үндэс