O 是圓心

定理 定理 11.3.111.3.1 若半徑 若半徑 OPOP ⊥ ⊥ APAP ，，則 則 AP AP 是圓的切線。是圓的切線。[ [ 切線⊥半徑的逆定理 切線⊥半徑的逆定理 ]]

定理 定理 11.3.211.3.2 若 ∠若 ∠ TAB TAB = ∠= ∠ACBACB ，，則 則 TA TA 是圓的切線。是圓的切線。[[ 交錯弓形的圓周角的交錯弓形的圓周角的 逆定理逆定理 ]]

與切線有關的證明與切線有關的證明

圖中，圖中， AB AB 是直徑，∠是直徑，∠ BAC BAC = ∠= ∠ATCATC ，， BB

CT CT 是直線。證明 是直線。證明 TA TA 是圓在 是圓在 A A 點的切線。點的切線。

∴ ∴ TA TA 是圓在 是圓在 A A 點的切線。 （切線⊥半徑的逆定理）點的切線。 （切線⊥半徑的逆定理）

∠∠CAT CAT + ∠+ ∠ATC ATC = ∠= ∠ACB ACB

（△ 外角）（△ 外角）

∠∠CAT CAT + ∠+ ∠BAC BAC = 90= 90

∠ ∠BAT BAT = 90= 90

∠∠ACB ACB = 90= 90 （半圓上的圓周角）（半圓上的圓周角）

例例與切線有關的證明與切線有關的證明

定理 定理 11.4.111.4.1 若 ∠若 ∠ A A + ∠+ ∠C C = 180= 180 或或∠∠B B + ∠+ ∠D D = 180= 180 ，，則 則 AA 、、 BB 、、 C C 和和 D D 共共

圓。圓。[[ 內對角互補 內對角互補 ]]

定理 定理 11.4.211.4.2 若 若 x x = = yy ，則 ，則 AA 、、 BB 、、 C C 和和 D D 共圓。共圓。

[[ 外角等於內對角外角等於內對角 ]]

共圓點的證明共圓點的證明

共圓點的證明共圓點的證明定理 定理 11.4.311.4.3 若 若 x x = = yy ，則 ，則 AA 、、 BB 、、 C C 和和 D D 共圓。共圓。

[[ 同弓形內的圓周角的逆定理同弓形內的圓周角的逆定理 ]]

∴ ∴ AA 、、 BB 、、 D D 和和 E E 四點共圓。 四點共圓。

（同弓形內的圓周角的逆定理）（同弓形內的圓周角的逆定理）

∠∠CED CED + 70+ 70 = 98= 98

∠ ∠CED CED = 28= 28

= ∠= ∠BACBAC

∠∠CED CED + ∠+ ∠CDE CDE = ∠= ∠ACEACE （△ 外角）（△ 外角）

共圓點的證明共圓點的證明圖中， 圖中， ADAD 與 與 BE BE 相交於 相交於 CC 。證明 。證明 AA 、、BB 、、 D D 和和 E E 四點共圓。四點共圓。

例例