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Números Complexos
Controle de Sistemas Mecânicos 1
Prof. Eng. Antonio Carlos Lemos Júnior
AGENDA
� Revisão de conceitos matemáticos � Números complexos
Exercícios
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� Exercícios
Controle de Sistemas Mecânicos
Números complexos
� Objetivo: O objetivo desta seção é fazer umapequena revisão de números complexos, álgebrade números complexos, variáveis complexas efunções complexas .
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funções complexas .
Controle de Sistemas Mecânicos
Números complexos
� A necessidade de manipular números complexossurge da resolução de equações do tipo: s 2 + 1 = 0
� Usando a notação , todos os númerosencontrados em aplicações de engenharia podemser escritos da forma : C= X + jY
1−=j
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ser escritos da forma : C= X + jY
� C: número complexo� X: parte real� Y: parte imaginária
Controle de Sistemas Mecânicos
Números complexos
� Interpretação : Um número complexo C pode serconsiderado como um ponto no plano complexo oucomo o segmento unindo a origem até o ponto.
5Controle de Sistemas Mecânicos
Números complexos
� O ângulo de um número complexo C é o ânguloentre o segmento e a parte positiva do eixo real.É considerado positivo no sentido anti-horário.
� O comprimento ou magnitude de C e o ângulo deC são calculados por:
+== YXZC 22
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=
+==
XY
YXZC
arctanθ
22
� Na forma polar o número complexo C é dadopor: θ∠= ZC
Controle de Sistemas Mecânicos
Números complexos
� O conjugado complexo de C = X + jY é definidopor: C* = X - jY
� Possui a mesma parte real e a parte imagináriacom sinal trocado.
7Controle de Sistemas Mecânicos
Números complexos
Forma Retangular: ( )
+=+=
θθ jsenZC
jYXC
cos
Forma Polar:
=∠=
θ
θjZeC
ZC
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A conversão da forma polar para a retangular é:
=+=XY
YXZ arctan; θ22
A conversão da forma retangular para a complexa é:
θθ ZsenYZX == ;cos
Controle de Sistemas Mecânicos
Números complexos
� Exemplo: C = X+jY = 3 + j4
Na forma polar: 543 2222 =+=+= YXZ
°=
=
= 13533
4,arctanarctan
XYθ
13535 ,∠=∠= θZC
9
Na forma polar: Z = 10∠ 45
Na forma retangular:
07174510
07174510
,sinsin
,coscos
======
θθ
ZY
ZX
07170717 ,, jjYXC +=+=
13535 ,∠=∠= θZC
Controle de Sistemas Mecânicos
Números complexos
θθθ jej =+ sencosFórmula de Euler:
jeje jj sencossencos θθ θθθθ − −=+=
10
j
eeee
jejejjjj
jj
2sen
2cos
sencossencosθθθθ
θθ
θθ
θθθθ−−
−
−=+=
−=+=
Controle de Sistemas Mecânicos
� Igualdade de números complexos: Dois números complexos z e w são iguais se esomente se a parte real e a parte imagináriadeles forem iguais.
Álgebra de números complexos
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deles forem iguais.
VYjVUC
CC
UXjYXC
=+=⇔=⇒
=+=
2
21
1
Controle de Sistemas Mecânicos
� Adição de números complexos :Dois números complexos C1 e C2podem ser somados, somando-seseparadamente as partes reais eimaginárias.
Álgebra de números complexos
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� C1 + C2 = (X + jY) + (U + jV) � C1 + C2 = (X + U) + j(Y + V)
� Exemplo: C 1 = 2 + j4C2 = 3 + j1
C1 + C2 = 5 + j5
Controle de Sistemas Mecânicos
Álgebra de números complexos
� Subtração de números complexos:
� Dois números complexos C1 eC2 podem ser subtraídos,subtraindo-se separadamenteas partes reais e imaginárias
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� C1 – C2 = (X + jY) - (U + jV) � C1 – C2 = (X - U) + j(Y - V)
� Exemplo: C1 = 4 + j6
C2 = 1 + j4C1 – C2 = 3 + j2
Controle de Sistemas Mecânicos
Álgebra de números complexos
� Multiplicação de números complexos :� A multiplicação de dois números complexos C1 e
C2 é dada por:� C1.C2 = (X + jY)(U + jV) = X.U + jY.U + jX.V + j2Y.V� C1.C2 = (X.U – Y.V) + j(X.V + Y.U)
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� C1.C2 = (X.U – Y.V) + j(X.V + Y.U)
� Usou-se o fato que j2 = -1.
Na forma polar temos:
)(..;; ϕθϕθ +∠=∠=∠= 21212211 ZZCCZCZC
Controle de Sistemas Mecânicos
Álgebra de números complexos
� Exemplo: C1 = 3 + j4, C2 = 4 + j3
C1.C2 = (3.4 – 4.3) + j(3.3 + 4.4) = 0 + j25
Exemplo: C = 5∠53,13 , C = 5∠36,87
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� Exemplo: C1 = 5∠53,13 , C2 = 5∠36,87
C1.C2 = 5∠53,13 . 5∠36,87 = 25 ∠90
Controle de Sistemas Mecânicos
Divisão de números complexos: a divisão de dois números complexos C1 e C2 é mais simples de ser realizada na forma polar:
Álgebra de números complexos
( )ϕθϕθ −∠=
∠∠= 111
ZZ
ZZ
CC
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( )ϕθϕ
−∠=∠
=222 ZZC
Na forma retangular é necessário multiplicar o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador:
( )( )
( )( ) 2222
2
1
VUXVYU
jVUYVXU
jVUjVU
jVUjYX
jVUjYX
CC
+−+
++=
−−
++=
++=
Controle de Sistemas Mecânicos
Álgebra de números complexos
� Exemplo: C1 = 3 + j4, C2 = 4 + j3
2809602616187365
13535
2
1 ,,,,,
jCC +=∠=
∠∠=
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873652 ,C ∠
25
7
25
24
34
3344
34
34432222
2
1 jjCC +=
+−+
++= ....
Controle de Sistemas Mecânicos
� Potenciação e raízes :
Álgebra de números complexos
( ) nZZC nnn θθ ∠=∠=
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( )
( )n
ZZC
nZZC
nnn θθ
θθ
∠=∠=
∠=∠=111
Controle de Sistemas Mecânicos
Funções Complexas
� Um número complexo possui, portanto,parte real e parte imaginária. Se a partereal ou a parte imaginária são variáveis onúmero complexo é chamado de variávelcomplexa. Seja s = σ + jω uma variável
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complexa. Seja s = σ + jω uma variávelcomplexa.
� Uma função complexa F(s), função davariável complexa s, possui uma parte reale uma parte imaginária.
� F(s) = Fx + jFy
Controle de Sistemas Mecânicos
Funções Complexas
� O módulo e o ângulo de F(s) são:
=∠+=
x
y
yx F
FsFFFsF arctan)(;)( 22
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x
� O complexo conjugado de F(s), denotado por F*(s) é:
� F*(s) = Fx – jFy
Controle de Sistemas Mecânicos
Funções Complexas
� As funções complexas mais comumente encontradas emanálise e projeto de sistemas lineares são funções do tipo:
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )nn
mm
pspspsps
zszszszsksF
++++++++
=−
−
121
121
...
...)(
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As raízes do denominador s = - p1; s = - p2; ; s = - pn são os pólosde F(s). Se forem todas distintas, dizemos que a função possuipólos simples e se forem repetidas F(s) possui pólos múltiplos, demultiplicidade r (onde r é o número de vezes que o mesmo pólo serepete).
As raízes do numerador s = - z1; s = - z2; ; s = - zm são os zeros deF(s), podendo ser simples ou múltiplos.
Controle de Sistemas Mecânicos
Exercícios
� 1) Converta os números seguintes para a forma polar:a) 4+j3 b) 2+j2 c) 3,5+j16 d) 100+j800e) 1000+j400 f) 0,001+j0,0065 g)7,6-j9h) –8+j4 i) –15-j60 j) 78-j65
� 2) Converta os números seguintes para a forma retangular:
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� 2) Converta os números seguintes para a forma retangular:
a) 6∠30 b) 40∠80 c) 7400∠70d)4.10-4∠8 e) 0,04∠80 f) 0,0093∠23g) 65∠150 h) 1,2∠135 i) 500∠200j) 6320∠-35
Controle de Sistemas Mecânicos
Exercícios
� 3) Efetue as operações, fornecendo a resposta na forma retangular:
a) (4,2+j6,8) + (7,6+j0,2) b) (142+j7) + (9,8+j42) + (0,1+j0,9) c) (4.10-6+j76) + (7,2.10-7-j5)
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c) (4.10-6+j76) + (7,2.10-7-j5) d) (9,8+j6,2) – (4,6+j4,6) e) (167+j78) – (-42,3-j68) f)(-36+j78) - (-4-j6) + (10,8-j72) g) 6∠20 + 8∠80h) 42∠45 + 62∠60 - 70∠120
Controle de Sistemas Mecânicos
Exercícios
� 4) Efetue as operações, fornecendo a resposta na forma retangular:
a) (2+j3)(6+j8) b) (4+j2)(7+j6) c) (0,002+j0,006)(-2+j2) d) (400-j200)(1+j3) e) (2∠60)(4∠22) f) (6,9∠8)(7,3∠-72)
� 5) Efetue as operações, fornecendo a resposta na forma
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� 5) Efetue as operações, fornecendo a resposta na forma polar:
a) (42∠10)/(7∠60) b) (0,006∠120)/(30∠-20) c) (4360∠-20)/(40∠210) d) (8+j8)/(2+j2) e) (8+j42)/(-6+j60) f) (-4,5-j6)/(0,1-j0,4)
Controle de Sistemas Mecânicos
Exercícios
06059319 234 =+−+− ssss
� 7) Calcule as raízes dos polinômios abaixo:
06059319 234 =++++ ssss
060599168329 23456 =++++++ ssssss
25Controle de Sistemas Mecânicos
FIM
Sinais e Sistemas - Faculdade Talentos
Humanos 26
Muito Obrigado!