Numeros Complexos
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SÉRIE TREINAMENTO
Apostila 3062
3º Revisão
Juvenilton Firmino de Lemos
NÚMEROS COMPLEXOS
Três Irmãos2001
1
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SUMÁRIO
P.Introdução..................................................................................................................... 03
Redução de arcos ao primeiro quadrante....................................................................... 04
Operador j.................................................................................................................... 06
Notação retangular, ou cartesiana, das quantidades complexas....................................... 09
Módulo do vetor............................................................................................................ 12
Argumento do complexo................................................................................................ 12
Notação polar................................................................................................................ 14
Notação trigonométrica.................................................................................................. 15
Operações com complexos............................................................................................. 17
Mudanças de formas....................................................................................................... 22
Aplicação de números complexos em corrente alternada................................................. 28
Impedância..................................................................................................................... 30
O operador “a”............................................................................................................... 58
2
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INTRODUÇÃO
Este trabalho desenvolve o assunto Números Complexos, para sua aplicação junto aos cursos ministrados neste Centro de Treinamento, trazendo em seu conteúdo uma sucinta recordação detrigonometria, operador j, notação regular, notação polar, notação trigonométrica, notação exponencial, operações com complexos e operador a.
3
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I - Redução de Arcos ao Primeiro Quadrante
1. Considerações:
Dado um ângulo qualquer do II, III ou IV quadrante, existe somente um ângulo , do I quadrante, tal que as funções trigonométricas de , do I quadrante, tal que as funções trigonométricas de sejam iguais às funções trigonométricas de , em Módulo.
2. Resumo:
Sinal das funçõesQuadrante Seno Co-seno Tangente
II = 180 - + - -III = - l80 - - +IV = 360 - - + -
3. Arcos Negativos:
Um arco precedido do sinal (-) significa que o mesmo foi tomado no sentido negativo (sentido horário) do círculo trigonométrico.Para acharmos um equivalente com sinal positivo, a este arco, basta somar-lhe 360: o resultado é o arco procurado.
Exemplos:
a) Dado um arco de -50, qual é o arco equivalente com o sinal positivo?fazendo = 360 + (-50) = 310
b) Dado um arco de -250, qual é o arco equivalente com o sinal positivo?fazendo = 360 + (-250) = 110
4
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4. Arcos Maiores que uma Circunferência
Dado um ângulo , tal que maior que 360, para acharmos um ângulo equivalente a e menor que 360, devemos dividir por 360 e o resto desta divisão será o ângulo procurado.
Exemplos:
a) Calcular o ângulo menor que 360, que tenha os mesmos valores das funções trigonométricas que igual a 752.
Resolução:-
752 360 = 32032 2
b) Idem para = -840
Se = -840 = - 840
840 360 = -120 120 2
Se quisermos positivo basta somarmos 360:
360 - 120 = 240
Exercícios:
Dar as funções seno, co-seno e tangente dos seguintes ângulos:
a) 155
b) 235
c) 348
d) -50
5
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e) -120
f) -190
g) -330
h) 4322
i) 528
j) -795
k) -690
l) -999
II. OPERADOR j
1. Definição
“É o operador que produz uma rotação de 90 no sentido o positivo (anti-horário) em qualquer vetor a que é aplicado, como fator de multiplicação, sem alterar o módulo deste vetor”.
2. Aplicação:
Dado o vetor v , situado sobre o eixo horizontal, com sentido positivo, ao aplicarmos a este vetor
v o operador j, teremos o vetor j v , conforme figura 1.
Y
X
Figura 1
jv
v
6
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Y
X
Figura 2
jv
v
j v2
Aplicando o operador j, aovetor j2
v , termos o vetor
j3 v , conforme a figura 3.
Aplicando o operador j ao vetorj3 v , teremos o vetor j4
v , que é
igual ao vetor v , conforme
figura 4. Se continuarmos aplicando o operador j, caminharemos no mesmo ciclo.
Analisando as figuras 2 e 4 temos:
j2v = - v j2 = - 1 j2 = - 1 j = 1
7
Aplicando o operador jvetor j
v , teremos o vetor
j2 v , conforme figura 2.
Y
X
Figura 3
jv
v
j v3
j v2
X
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1 é a unidade imaginária, representada na matemática por i (na eletricidade optou-se por jota (j), para não ser confundido com i) o valor instantâneo da corrente elétrica.
Se j2 = - 1, então:
j3 = j2 . j -1. j j3 = - j
j4 = j2 . j2 -1.-1 j4 = 1
j5 = j2 . j2 . j - 1.- 1 . j j5 = j
Resumindo:
j0 = 1 j5 = j
j1 = j j6 = -1
j2 = -1 j7 = -j
j3 = -j j8 = 1
j4 = 1 j9 = j
Podemos observar que as potências do operador j só podem assumir os valores 1, j, -1 e -j.Dada a potência jn ( n 4), para calcularmos seu valor, basta dividir n pelo múltiplo de 4 mais próximo e menor que n. então jn será igual a j elevado ao resto desta divisão.
Exemplo:
j23 n = 23 23 20 j23 = j3
3 1
Resto
8
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Exercícios
Determinar os valores das potências abaixo:
a) j7 =
b) j16 =
c) j101 =
d) j15 =
e) j315 =
f) j24 =
g) j21 =
h) j231 =
i) j14 =
j) j1521 =
k) j-500 =
l) j83 =
III. NOTAÇÃO RETANGULAR OU CARTESIANA DAS QUANTIDADES COMPLEXAS
1. Conceito
Já vimos que um vetor pode ser decomposto em dois vetores e que cada um desses pode ser operado de forma independente.
Exemplo:
9
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Y
X
Figura 5
a1
a2 A
Assim, temos:
onde:
A = a1 + ja2
Dado o vetor B do segundo quadrante,
B pode ser decomposto nos vetores -b1 + jb2
B = -b1 + jb2
10
Y
X
Figura 6
Aja
a
2
1
O vetor componente que está no eixo vertical (y) édesignado j
Figura 6
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Y
X
Figura 7
B
jb2
b1
Dado o vetor C do terceiro quadrante,
C é decomposto nos vetores -c1 e -jc2, tal que:
C = -c1 - jc2
Dado o vetor D do quarto quadrante,
D é decomposto nos vetores d1 e -jd2, tal que:
D = d1 - jd2
11
Y
X
Figura 8
C
c 1
jc 2
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Aos vetores definidos por seus componentes sobre o eixo x e y dá-se o nome de “Vetores Retangulares ou Vetores Cartesianos”.O eixo x recebe o nome de eixo dos Reais e o eixo y recebe o nome de eixo dos imaginários.
IV. MÓDULO DO VETOR
Dado o vetor v = v1 + jv2, seu módulo será dado por:
V v v1
222
Exemplos:
12
Y
X
Figura 9
d1
jd2D
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a) Calcular o módulo do vetor I = 4A + j3A
I = 4 32 2
I = 5A
b) Idem para u = 12v - j5v
u = 144 25 =
u = 13v
c) Idem para u = -12v - j9v
u = 144 81
u = 15v
V. ARGUMENTO DO COMPLEXO
1. Conceito
Dado o vetor v = v1 + jv2, denomina-se argumento do complexo ao ângulo (teta) tomado a
partir do sentido positivo do eixo das abcissas ao vetor v .
2. Exemplos:
a) V = 5 37 b)
U = 10 150
c) T = 5 210 ou d)
Z = 10 300 ou
T = 5 -150
Z = 10 -60
13
Y
X
Y
X
Figura 14 Figura 15
°37 °150jv2
v1
ju2
u 1
v5
u 10
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VII. NOTAÇÃO TRIGONOMÉTRICA
1. Conceito
Dado um vetor V de módulo
V e argumento ,
V pode ser definido por:
V =
V ( cos + jsen)
2. Exemplos:
V = 10 (
3
2 + j
1
2 )
U = 8 ( -
2
2 + j
2
2 )
V = 10 30
U = 8 135
14
Y
X
Y
X
Figura 16 Figura 17
t1
jT2
z1
jZ2
210 300
T
5
Z
10
Figura 19Figura 18
30
u
8 135
v10
Figura 20 Figura 21
240° 300°
T
5Z10
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T = 5 ( -
1
2 - j
3
2 )
Z = 10 (
1
2 - j
3
2 )
T = 5 240
Z = 10 300
OBS.: Na notação trigonométrica, à expressão ( cos + j sen) costuma-se dar o nome de “Argumento do Complexo”
RESUMO
- Forma Retangular ou Cartesiana
Z x jy
- Forma Polar
Z = r
15
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- Forma Trigonométrica
Z = r ( cos + jsen )
As formas usuais na eletricidade são a forma polar e a retangular.
VIII - OPERAÇÕES COM COMPLEXOS
1. Soma e diferença
Para somar ou subtrair dois números complexos, somam ou subtraem-se separadamente as partes reais e as imaginárias. Do ponto de vista prático, isso deve ser feito convenientemente quando ambos estão na forma retangular.
Exemplos:
Dados: Z1 = 5 - j2 e
Z2 = -3 -j8
Z Z1 2 = 5 + (-3) = j-2 = (-8)
Z Z1 2 = ( 5-3) + j (-2 - 8)
Z Z1 2 = 2 + j (-10)
Z Z1 2 = 2 - 10j
Z Z1 2 = 5 - (-3) + j-2 - (-8)
Z Z1 2 = (5 = 3) + j(-2 + 8)
Z Z1 2 = 8 + j6
16
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2. Multiplicação
a) O produto na forma polar segue-se da forma exponencial.
Z Z1 2. = (r1 1 ) (r2 2 )
Z Z1 2. = r1 r2 1 + 2
b) O produto da forma retangular é obtido tratando-se os dois números complexos como sendo dois binômios.
Z Z1 2. = (x1 +jy1 ) . (x2 + jy2 )
Z Z1 2. = x1 x2 + x1 jy2 = x2 jy1 + jy1 . jy2
Z Z1 2. = x1 x2 + j(x1 y2 + x2 y1 ) = j2y1 . y2
Z Z1 2. = x1 y2 + j(x1 y2 + x2 y1) - y1 y2
Z Z1 2. = (x1 x2 - y1 y2 ) + j(x1y2 + x2 y1)
Exemplos:
1. Se Z1 = 2 30 e
Z2 = 5 -45
Z Z1 2. = 2 . 5 30 - 45
Z Z1 2. = 10 -15
2. Se Z1 = 2 + j3 e
Z2 = -1 -j3
Z Z1 2. = ( 2+ j3) . ( -1 - j3)
Z Z1 2. = 2(-1) - (-9) + j2(-3) + 3(-1)
Z Z1 2. = (-2 + 9) + j-6 + (-3)
Z Z1 2. = 7 - j9
Exercícios
17
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1. Realizar as multiplicações de números complexos;
a) 2(cos 60 + jsen 60) . 3(cos 75 - jsen 75)
b) (2304 15 ) . (2 15 )
c) ( 19 - j33) . (15 + j25)
d) 2,3 (cos 58,5 + jsen 58,5) . 0,7(cos 90 + jsen 90)
e) (24 70 ) . (20 43 )
f) ( 2 + j3) . ( 3 + j6)
g) 32,7(cos 138 - jsen 138) . 10(cos 0 - jsen 0)
h) 5(-cos 60 - jsen 60) . 9,3(cos 127 + jsen 127)
i) (3,5 + j5,3) . (2,5 + j4,3)
j) (240 -30 ) . (16 -60 )
k) (12,5 45 ) . (6 -131 )
l) (-8,5 + j3,67) . (6 + j8)
m) 14 (cos 45 + jsen 45) . 28( cos 45 - jsen 45)
n) (15 30 ) . (82 58,5 )
o) (5,1 + j5,33) . (36,6 - j25)
3. Divisão
a) A divisão da forma polar provém da forma exponencial.
ZZ
r
r1
2
1
2
r
r1
2
b) Na forma retangular, multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado ao denominador.
18
1
2
1 - 2
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Z
Z
x jy
x jy
x jy
x jy1
2
1 1
2 2
2 2
2 2
Z
Z
x x y y j x y x y
x j y1
2
1 2 1 2 2 1 1 2
22 2
22
( ) ( )
=
Z
Z
x x y y j x y x y
x y1
2
1 2 1 2 2 1 1 2
22
22
( ) ( )
Exemplos:
1. Dados:- Z1 = 8 -30 e
Z2 = 2 -60
2. Dados: - Z1 = 4 - j5 e
Z2 = 1 + j2
Exercícios
19
Z
Z1
2
Z
Z1
2
8
2
Z
Z
j
j
j
Z
Z
j
1
2
1
2
4 5
1 2
4 10 5 8
1 4
6 13
5
( ) [ ( )]
-30 - (-60) 4 30
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1. Efetuar as divisões dos números complexos:
a) (37 4 ) : (24,6 -26)
b) 5,6 (cos 34 - jsen 34) : 8,5(cos 94 - jsen 94)
c) ( 84,1 - j76,45) : (8,2 + j7)
d) (9,8 -45 ) : (5,6 116 )
e) 10(cos 53 - jsen 53) : 20(cos 157 - j sen 157)
f) (24,4 - j15,8) : (-15,9 + j12,13)
g) (9,4 156,6 ) : (1,24 -41 )
h) 3,2(cos 13,8 - jsen 13,8) : 16(cos 56,4 + jsen 56,4)
i) (5,75 - j3,86) : (13,2 +9,44)
j) (16,2 36 ) : (173,2 120 )
k) 6(cos -131 - jsen 131) : 49(cos 221 + jsen 221)
l) (2,5 + j4,3) : (3,5 - j8,4)
m) (10,86 -37 ) : (15,9 70 )
IX - MUDANÇA DE FORMAS
1. Retangular para Polar
Para transformar da forma retangular para a forma polar, basta calcular o módulo e o argumento do vetor.
20
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Dado:- v = v1 + jv2
V = v v1
222
então
= arc tg v
v2
1
Exemplos:
a) Dado o vetor I = (5 + j5 3 3 ). A, passar para a forma polar.
I = 25 75
I = 10
tg = 5 3
5 tg = 3
= 60
Logo I = 10 60 Ab) Dado o vetor
V = -5 + j5 3 volts, passar para a forma polar.
V = 25 + 75
V = 10
tg = 5 3
5 = - 3
= 120
arc tg - 3
= 300
Para determinação precisa de podemos calcular sen ou cos .
21
![Page 22: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/22.jpg)
sen = 5 3
10 sen =
3
2
ou seja I e II quadrante.
cos = - 5
2 = -
1
2 = II quadrante
II quadrante então = 120
Resposta:- V = 10 120 volts.
c) Dado o vetor F = ( -3 - j4)N, passar para a forma polar.
F = 5
tg = 4 tg = 1,33 3
então = 233
Achemos o seno e o co-seno do ângulo:
sen = - 4
5 III quadrante
cos = - 3
5 III quadrante
então = 233 III quadrante.
Resposta: F = 5 233 N
2. Forma Polar para Retangular
Para transformar um número complexo da forma polar para a forma retangular, devemos
1. Esboçar o gráfico do vetor.
2. Calcular o valor de x e y.
22
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3. Analisar os sinais das funções do ângulo.
4. Transformar.
Exemplo:
a) Transformar 50 53,1 na forma (x + jy).
x = 50 cos 53,1
x = 50 . 0,600 = 30
y = 50 sen 53,1
y = 50 . 0,8 = 40
50 53,1 = 30 + j40
b) Transformar 100 120 na forma (x + jy).
sen 120 = sen 60
23
Y
X
50 531, 53 1,
Figura 22
sen.53,1 > 0cos.53,1 > 0
![Page 24: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/24.jpg)
cos 120 = -cos 60
x = 100 cos 120
x = 100 . -1 = -50 2
y = 100 . sen 120
y = 100 . 3 = 86,5 2100 120 = -50 + j86,5
Exercícios
1. Esboçar o plano complexo e localizar os seguintes números complexos.
a) 2 - j2 e) 5 + j0
b) 3 + j8 f) j6
c) -5 + j3 g) -4
d) -4 -j4 h) -j5
24
X
Y
100 120
120
Figura 23
sen. 120 > 0 cos .120 < 0
![Page 25: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/25.jpg)
2. Converter cada número do exercício anterior para a forma polar e repetir o esboço no plano complexo.
3. Converter os complexos da forma polar para a forma retangular.
a) 12,3 30 g) 13 260
b) 53 160 h) 156 -190
c) 25 -45 i) 10 3
d) 86 -115 j) 25 88
e) 50 -20 l) 50 -93
f) 3 80 m) 200 181
4. Converter os complexos da forma retangular para a forma polar.
a) -12 + j16 d) 700 + j200
b) 2 - j4 e) -69,4 - j40
c) -59 - j25 f) -2 + j2
5. Determinar a soma ou a diferença indicada:
a) ( 10 53,1 ) + ( 4 + j2 )
b) ( 10 90 ) + ( 8 - j2 )
c) ( -4 - j6) + ( 2 + j4 )
d) ( 2,83 45 ) - ( 2 - j8)
e) ( -5 + j5 ) - ( 7,07 135 )
f) ( 2 - j10 ) - ( 1 - j10 )
25
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g) ( 10 + j1 ) + 6
h) -( 5 53,1 ) - ( 1 - j6 )
6. Calcular o produto:
a) ( 3 - j2 ) ( 1 - j4 )
b) ( 2 + j0 ) ( 3 - j3 )
c) ( -1 - j1 ) ( 1 + j1 )
d) ( j2 ) ( 4 - j3 )
e) ( j2 ) ( j5 )
f) ( -j1 ) ( j6 )
g) ( 2 + j2 ) ( 2 - j2 )
h) ( x + jy ) ( x - jy )
7. Transformar os complexos do exercício 6 para a forma polar e efetuar as multiplicações.
8. Achar o quociente, multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
Converter os números para a forma polar e determinar novamente o quociente.
a)(5 )
( )
j
j
5
1 1
b)( )
( )
4 8
2 2
j
j
26
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c)(5 )
( )
j
j
10
3 4
d)(8 )
( )
j
j
12
2
e)( )
( )
3 3
2 2
j
j
f)( )
( )
5 10
2 4
j
j
APLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS EM CORRENTE ALTERNADA
As medidas das da corrente alternada são baseadas na hipótese de ondas senoidas de tensão e corrente.Ao lidar com grandezas não senoidais de número e período diferentes, mas que possam ser operadas de acordo com os métodos aplicáveis a ondas senoidais. Contudo, torna-se trabalhoso, pois teremos que usar valores instantâneos de medidas em equações de ondas. Torna-se então mais prático empregar o método vetorial para representar estas grandezas senoidais, e este método conduz ao resultado desejado.Por exemplo, num circuito monofásico de corrente alternada ( figura 24 ), ima corrente i = Im sen t, em forma de onda senoidal, onde todas as coordenadas desta onda nos vários instantes t, poderão ser obtidas através das projeções do vetor girante nos eixos OX e OY. Estas projeções serão resultados de Imsen t ( em OY
) e Imcos t ( em OX
).
27
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Y
Im
wt Im cos w t
Im sem w t
0wt
Im
Tempo da me-dida angular.
Figura 24
2
Nos diagramas vetoriais, certas convenções devem ser observadas.Primeiro deve ser estabelecido um conveniente eixo de referência. Segundo, deverá ser observado que o sentido anti-horário seja considerado o sentido positivo de rotação dos vetores e também se um dos vetores estiver adiantado, este ângulo de avanço deverá ser medido no sentido horário.A seguir temos os diagramas de tensão e corrente para circuitos de resistência, indutância e capacitância puras.
RI
Figura 25
V
+
VR
I
No circuito de resistênciapura, teremos a correnteem fase com a tensão deacordo com a figura 25.
28
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No circuito de indutância
pura, a corrente atrasa-seda tensão por 90.
onde XL = 2fl = L
e VL = jIXL
No circuito de capacitância pura, a corrente adianta-se da tensão por 90.
onde XC = 1 = 1 2fC C
e VC = - jIXC
IMPEDÂNCIA
De um circuito série, constituído por uma resistência pura R e uma resistência indutiva XL , teremos a tensão assim determinada:
29
L
Figura 26
V
+
I
90
VL
C
Figura 27
I
VC
+
90
V
I
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V V VR L V = jIX I (R + jX = IZ (*)L L )
Daí podemos concluir que a impedância está representada na forma complexa, apesar de não ser uma grandeza vetorial. O fato é que a impedância permite-nos decompor as quedas de tensão provenientes da reatância ( capacitiva ou indutiva ) e da resistência ôhmica.
(*) Adota-se a simbologia Z para identificar uma
impedância complexa e Z para identificar seu Módulo.
Assim, temos:
O mesmo acontece para um circuito contendo uma resistência pura R e uma capacitância XC
V V V V IR jIX R jX IZR C C C I( ) ( )
30
jXLR
R
jXL
I
= R + jXL
z
z
z = R + jX
L
Figura 28
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Então:
Exercícios de Aplicação
1. Dado o circuito
Calcular:
a) Impedância do circuito
b) Quedas de tensão em R e XL
c) Tensão total do circuito
d) Fator de potência
e) Demonstrar graficamente a defasagem entre V e I
Resolução:
a) Impedância do circuito
XL = 2fL
XL = 2 x 3,14 x 60 x 0,028 XL = 10,55
31
-jXLR
-jXC
I
z
z = R + jXL
z = R - jX
C
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Z = R + JXL
Z = ( 12 + j10,55)
Z = 15,98 41,32
b) Quedas de tensão em R e XL
1. V RR I 2.
V XL L x I
VR 12 x 8
VL J10,55 x 8
VR 96 V
VL J84,40 V
c) Tensão total do circuito
V V VR L
V = ( 96 + j84,40 ) V
V = 127,83 41,32 V
d) Fator de potência
cos R
Z
12
15 98, cos = 0,75
e) Gráfico de defasagem
32
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2. Dado o circuito
R
c F=200 R = 12
I A= 8 60Hz
Calcular:
a) Impedância do circuito
b) Quedas de tensão em R e em -jXC
c) Tensão total do circuito
d) Fator de potência
e) Demonstrar graficamente a defasagem entre V e I
Resolução:
a) Impedância do circuito
XC = 1 2 f C
33
41,32
jVL
VR
°
V
![Page 34: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/34.jpg)
XC = 1 2 x 3,14 x 60 x 200 x 10-6
XC = 13,26
Z = R - jXC
Z = ( 12 - j13,26 )
Z = 17,88 -47,86
b) Quedas de tensão em R e em Xc
1.VR = R x I 2.
VC = -jXC x I
VR = 12 x 8
VC = -J13,26 x 8
VR = 96 V
VC = -j106,08 V
c) Tensão total do circuito
V V VR C
V = ( 96 - J106,08 ) V
V = 143,07 -47,86 Volts
d) Fator de potência
cos = R
Z
12
17 88, cos = 0,67
e) Gráfico da defasagem
34
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3. Dado o circuito
Calcular:
a) Impedância do circuito
b) Quedas de tensão em XL e em XC
35
47 86,
jVC
V
RI
C = 200 FL = 0,028 H
I = 8 A 60Hz
![Page 36: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/36.jpg)
c) Tensão total do circuito
d) Fator de potência
e) Demonstrar graficamente a defasagem entre V e I
Resolução:
a) Impedância do circuito
XL = 2fL
XL = 2 x 3,14 x 60 x 0,028
XL = 10,55
XC = 1
2fC
XC =1
2 x 3,14 x 60 x 200 x 10-6
XC = 13,26
Z = R + j ( XL - XC )
Z = 0 + j ( 10,55 - 13,26 )
Z = - j2,71
z = 2,71 -90 Ohms
b) Quedas de tensão em XL e XC
1.VL = jXL x I
VL = j10,55 x 8
36
![Page 37: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/37.jpg)
VL = j84,40 V
2.VC = -jXC x I
VC = -J13,26 x 8
VC = -J108,08 V
c) Tensão do circuito
V V VL C
V = j (84,40 - 106,08 ) V
V = 21,68 -90 volts
d) Fator de potência
cos = R
Z
0
2 71, cos = 0
e) Gráfico
37
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4. Dado o circuito
38
I-90
-jVC
0
jV L
°
V
C = 200 FL = 0,028 H
I = 8 A 60Hz
R = 12
![Page 39: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/39.jpg)
Calcular:
a) Impedância do circuito
b) Quedas de tensão em XL , XC e R
c) Tensão total do circuito
d) Fator de potência do circuito
e) Demonstrar graficamente a defasagem entre V e I
Resolução:
a) Impedância do circuito
R = 12 é dado
XL = 2fL
XL = 2 x 2,14 x 60 x 0,028
XL = 10,55
XC = 1
2fC
XC = 1
2 x 3,14 x 60 x 200 x 10-6
XC = 13,26
Z = R + j ( XL - XC )
Z = 12 + ( J10,55 - 13,26 )
Z = 12 - J2,71
39
![Page 40: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/40.jpg)
Z = 12,30 -12,73 Ohms
b) Quedas de tensão
VR = R x I
VL = jXL x I
VR = 12 x 8
VL = j10,55 x 8
VR = 96 volts
VL = j84,40 volts
VC = -jXC x I
VC = -j13,26 x 8
VC = -j106,08 volts
c) Tensão total do circuito
V V V VR L C
V = 96 + j (84,40 - 106,08 )
V = 96 - j21,68
V = 98,42 -12,73 volts
d) Fator de potência do circuito
40
![Page 41: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/41.jpg)
cos = R
Z =
12
12 30, cos = 0,97
e) Gráfico
41
I
-jVC
jVL
VR
V
-12,73o
![Page 42: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/42.jpg)
5. Dado o circuito
L = 0,03 H120 V
60Hz
R = 12
Calcular:
a) Intensidade de corrente em cada ramal do circuito
b) Intensidade de corrente total do circuito
c) Fator de potência do circuito
d) Gráfico da defasagem
Resolução:
a) Intensidade de corrente
Em R
IR =
V
R =
120
12
IR = 10 A
XL = 2fL
XL = 2 x 3,14 x 60 x 0,03
XL = 11,30
Em XL
I
V
JX JI jL
LL
120
11 310 62
,, A
b) Intensidade de corrente total
42
![Page 43: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/43.jpg)
I I IR L ( )
I ( 10 - j10,62 ) A
I 14,59 -46,72 Ampères
c) Fator de potência
cos = I
IR =
10
14 59, cos = 0,69
d) Gráfico
43
-jVL
V
- 46,72°
I
![Page 44: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/44.jpg)
6. Dado o circuito
120 V
60Hz
R = 12C = 150 F
Calcular:
a) Intensidade de corrente em cada ramal do circuito
b) Intensidade total do circuito
c) Fator de potência do circuito
d) Gráfico de defasagem
Resolução:
a) Intensidade de corrente
Em R
IR =
V
R =
120
12
IR = 10 A
Em XC
44
![Page 45: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/45.jpg)
IC =
V
jXC XC = 1
2fC
XC = 1
2 3 14 60 150 10 6 x x x x ,
XC = 17,69
IC =
120
17 69 j ,
IC = j6,78 A
b) Intensidade total
I I IR C
I = 10 + j6,78 A
I = 12,08 34,14 Ampères
c) Fator de potência
cos = I
IR =
10
12 08, cos = 0,83
d) Gráfico
45
V
jIC
I R
3414, °
I
![Page 46: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/46.jpg)
7. Dado o circuito
120 V
60Hz
L = 0,03 H C = 150 F
Calcular:
a) Intensidade de corrente em cada ramal do circuito
b) Intensidade de corrente total do circuito
c) Fator de potência do circuito
d) Gráfico da defasagem
Resolução:
a) Intensidade de corrente
Em XL
46
![Page 47: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/47.jpg)
I
V
jXLL
XL = 2fL
XL = 2 x 3,14 x 60 x 0,03
XL = 11,30
I
jL
120
11 30, IL = -j10,62 A
I
V
jXCC
X
fCC 1
2
XC
1
2 3 14 60 150 10 6 x x x x ,
X C 17 69,
I
jC
120
17 69, IC = j6,78 A
b) Intensidade de corrente total
I I IL C
I j (-10,68 + 6,78 ) A
I 3,90 -90 Ampères
c) Fator de potência
cos = I
IR
0
3,90 cos = 0
d) Gráfico
47
![Page 48: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/48.jpg)
-jIL
V
jIC
- °90V
8. Dado o circuito
120 V
60Hz
R = 12C = 200 FL = 0,05 H
Calcular:
a) Intensidade de corrente de ramal em cada circuito
b) Intensidade de corrente total
c) Fator de potência do circuito
d) Gráfico de defasagem
48
![Page 49: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/49.jpg)
Resolução:
a) Intensidade de corrente
Em R
IR =
V
R =
120
12
IR = 10 A
Em XL
IL =
V
jXL XL = 2fL
XL = 2 x 3,14 x 60 x 0,05
XL = 18,84
IL =
120
18 84j ,
IL = -j6,37 A
Em XC
IC =
V
jXCZ XC = 1
2fC
XC = 1
2 3 14 60 200 10 6 x x x x ,
XC = 13,27
IC =
120
13 27 j ,
IC = j9,04 A
49
![Page 50: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/50.jpg)
b) Intensidade total
I I I IR L C
I = 10 + j (-6,37 + 9,04 )
I = 10,35 14,95 Ampères
c) Fator de potência
cos = I
IR
10
10 35,
d) Gráfico
50
-jIL
V
IC
IR
jIX 1495, °
I
cos = 0,97
![Page 51: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/51.jpg)
Exercícios propostos
1. Uma tensão de 110 volts é aplicado a um circuito de série constituído de resistência de 8 Ohms, indutância de 0,0531 H e capacitância de 189,7 F. Quando a freqüência for 60 ciclos, calcular a corrente, o fator de potência e as quedas de tensão.
110 V
8 14j-j
2. Dado o circuito paralelo, determinar a corrente elétrica em cada ramal e a corrente total.
51
![Page 52: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/52.jpg)
110 V
6 5
-j5 j8
3. Determinar a corrente em cada ramal e a corrente total docircuito.
110 V
5 5 8
220 F160 F0,04 H
4. Calcular a corrente, quedas de tensão em Vab, Vbc, Vcd, e o fatorde potência do circuito abaixo.
B 6 C-j8 2 D4A j3
100 V
5. No circuito abaixo, determinar:
a) Corrente do circuito
52
![Page 53: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/53.jpg)
b) Quedas de tensão Vab, Vbc, Vcd
c) Desenhar um diagrama vetorial polar de Vab, Vbc, Vcd, V e I.
a
-j4
c
j11
d
2
V = 98,98 45º volts
3
b
2
I
6. No circuito abaixo, calcular I e Z eq. Mostrar que a soma das quedas de tensão é igual à tensão aplicada.
4 j3
V = 100 - 0º volts
7. Achar a corrente total e a impedância equivalente do circuito paralelo, traçando o diagrama vetorial.
53
![Page 54: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/54.jpg)
50 0º V
IT
I1
10
I2
I33 8
-j6
j4
8. Calcular a impedância Z do circuito abaixo.
50 45º volts
5
I = 2,5 - 15º A
j8
Z
9. Do circuito a seguir, determinar:
a) Impedância
b) Intensidade
c) Fator de potência
d) Defasagem entre tensão e corrente ( graficamente )
54
![Page 55: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/55.jpg)
220 V
(4+j9) -j13
°
7
I
307,5 j10 10
10. No circuito abaixo:
R
S
T
I1 = ?
I2 = ?
I3 = ?
R = 221
R = 28
R = 40
2
3
Dado - Rede - 220 e f = 60Hz
Determinar:
a) I1, I2, I3
b) I1 +2 I2 + I3
c)Determinar graficamente que I1 + I2 + I3 = 0
11. No circuito a seguir:
55
![Page 56: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/56.jpg)
R
S
T
N
R 1 31=
R 2 63 85= ,
R 3 16 275= .
I =
I n = ?
?
I = ?1
2
I = ?3
Dado - Rede: 127/220 V f= 60 Hz
Determinar - a) I1, I2, I3, In. b) Determinar graficamente o valor de In.
12. No circuito abaixo:
R
S
T
N
R 1 28=
R2
R3
I =
I n = ?
?
I = ?1
2
I = ?3
X L 2
X L1 j 38=
XL3
Dado: Rede - 127/220 V f = 60 Hz R1 = R2 = R3
XL1 = XL2 = XL3
Determinar: a) I1, I2, I3, In.
b) Determinar graficamente o valor de In ( 2 cm para 1A )
56
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R
S
T
N
I =
I n = ?
?
I = ?1
2
I = ?3
R1 = 30 = - j40
XC1
R2
R3
XC
2
XC
3
Dado: Rede - 127/220 V
f = 60 Hz
R1 = R2 = R3
Determinar: a) I1, I2, I3, In.
b) Determinar graficamente o valor de In .
14. No circuito:
R
S
T
NI n = ?
I = ?1X jL1 38=
I = ?2
I = ?3
X L2
X L3X j17C 3
= -
X j18C 2= -
X j25C 1= -
Dado: Rede - 127/220 V
f = 60 Hz
XL1 = XL2 = XL3
Determinar:- a) I1, I2, I3, In.
b) Determinar graficamente o valor de In .
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15. No circuito abaixo:
R
S
T
N
R 1 8=
R = 82
R = 83
I =
I n = ?
?
I = ?1
2
I = ?3
X L1 j 25= X j5C 1= -
X j20C 2= -
X j20C 3= -
X L2 j 5=
X L3 j 10=
Dado: Rede - 127/220 V
f = 60 Hz
Determinar:- Determinar: a) I1, I2, I3, In.
b) Determinar graficamente o valor de In .
O OPERADOR “a”
1. Definição
“É o operador que produz uma rotação de 120 no sentido positivo ( sentido anti-horário ) em qualquer vetor em que é aplicado, como fator de multiplicação, sem alterar o módulo deste vetor.
a = 1 120
2. Aplicação
58
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Dado o vetor v , situado sobre o eixo horizontal, com sentido positivo, ao aplicarmos a este
vetor v o operador “a” , teremos o vetor a
v , conforme figura 1.
Aplicando o operador “a” ao vetor av , teremos o vetor a2
v , conforme figura 2.
Y
Xa
240°
Figura 2
a2
v
v
v
59
Y
Xa 120°
Figura 1
v
v
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Aplicando o operador “a” a vetor a2 v , termos o vetor a3
v ,conforme figura 3.
Aplicando o operador “a” ao vetor a3 v , teremos o vetor a4
v ,conforme figura 4.
60
Y
X
a360°
Figura 3
a2 a3v
v
v
v
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Analisando as figuras 3 e 4, temos:
a3 v = v a3 = 1
a4 v = av a4 = a
Nas, se a3 = 1 e a4 = a
então, a5 = a4.a = a . a = a2
a6 = a3 . a3 = 1 . 1 = 1
61
Y
Xa480°
Figura 4
a2 a3
a4vvv
v
v
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a7 = a3 . a4 = 1.a = a
Resumindo:
a0 = 1 a5 = a2
a1 = a a6 = 1
a2 = a2 a7 = a
a3 = 1 a8 = a2
a4 = a a9 = 1
Daí concluímos que as potências de “a” só podem assumir osvalores 1, a e a2.Dada a potência an ( n > 3 ), para calcularmos seu valor bastadividir n por 3 ( período de a ).Então an será igual a “a” elevado o resto desta divisão.
Exemplo:
1) a17 n = 17
17 3 a17 = a2
2 5
resto
2) a53 n = 53
53 3 a53 = a 22 17 1
resto
62
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NOTAÇÕES DO OPERADOR “a”
Podemos exprimir o operador “a” na forma polar, trigonométrica e retangular.Exprimimos o operador “a” em função do operador “j” , e assimteremos:
Para v = 1
v = 1 0
v = 1 ( cos 0 + jsen 0 )
v = 1 ( 1 + j0 )
v = 1 + j0 = 1
63
Y
X
Figura 5
v
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av = 1 120
av = 1 ( cos 120 + jsen 120 )
av = 1 ( -
1
2 + j 3
2 )
av = -
1
2 + j 3
2
a2 v = 1 240
a2 v = 1 ( cos 240 + jsen 240 )
a2 v = 1 (-1
2 - j 3
2 )
64
Y
X
a
Figura 6
120°
v
Y
X
Figura 7
240°
a2v
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PROPRIEDADES DO OPERADOR “a”
O operador “a” é muito usado em problemas de circuitos trifásicos porque, sob condições equilibradas, as tensões de fase individuais ( e correntes ) estão deslocadas uma da outra por 120.
Notação polar
Ia = 1 0 = 1
Ib = 1 240 = a2
Ic = 1 120 = a
Analisando a figura 8, temos:
a) Ib = 1 240 1 -120
pois a-1 = 1 = 1 = 1 -120 = a2
a 1 120
65
Figura 8
240°120°
Ic
Ib
Ia
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b) Ic = 1 120 1 -240
pois a-2 = 1 = 1 = 1 120 = a a2 1 -120
c) Ia = 1 0 1 360
pois a-3 = 1 = 1 = 1 0 = 1 a3 1 0
Além dessas propriedades, o operador “a” goza ainda da propriedade:
1 + a + a2 = 1 0 + 1 120 + 1 -120 = 0
FUNÇÕES DO OPERADOR “a”
NOTAÇÕES
a = 1 120 = -0,5 + j0,866
a2 = 1 240 = -0,5 - j0,866
a3 = 1 360 = 1 + j0
a4 = 1 120 = -0,5 + j0,866 = a
1 + a = 1 60 = 0,5 + j0,866 = - a2
1 - a = 3 -30 = 1,5 - j0,866
1 + a2 = 1 -60 = 0,5 - j0,866 = - a
1 - a2 = 3 30 = 1,5 + j0,866
66
![Page 67: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/67.jpg)
a + a2 = 1 180 = - 1 - j0
a - a2 = 3 90 = 0 + j1,732
1 + a + a2 = 0 = 0 + j0
NOTA:
Uma diferença importante deve ser observada entre os operadores “a” e “j” . O operador j tem módulo unitário a + 90 , e -j significa que o complexo j varia em 180, para resultar um vetor de mesmo módulo ( unitário ) a 270.
ou seja: j = 1 90
- j = 1 90 x 1 180 = 1 270 = 1 -90
Para o operador “a” não se pode fazer uma afirmação semelhante,pois,
a = 1 120
-a = 1 120 x 1 180 = 1 300 = 1 -60
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
1. Calcular o valor de a2 - a. Temos:
67
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a2 - a = ( -1
2 - j 3
2) - ( -
1
2 + j 3
2 ) = -j 3 = 3 -90
Graficamente:
2. Calcular o valor de a3 - a2
Temos:
a3 - a2 = 1 - a2 = ( 1 + j0 ) - ( - 1
2 - j 3
2 ) =
3
2 + j 3
2 =
= 3 30
68
Y
X
a
1
-aa2
a a j2 3- = -
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Graficamente:
1. Calcule as seguintes expressões, na forma polar.
a) a2 - 1 c) 2a2 + 3 + 2a
b) 1 - a - a2 d) ja
2. Simplificar as expressões:
69
Y
X
a2
30°
33 2- =a aa2-30°
a3 1=
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a) a
a a
2
2
1
b) 1
2
a
a a
70
![Page 71: Numeros Complexos](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081421/55cf9b81550346d033a6540a/html5/thumbnails/71.jpg)
Impressa na ADCRI - Seção de ReprografiaIlha solteira/Abril/1994
Tiragem: exemplares
71