ÖNSÖZ - WordPress.comDERS PLANI VE ĐÇER ĐĞĐ HAFTA Laboratuar Çalı şmasının Konusu 1...

2

ÖNSÖZ

Đstatistik Laboratuarı 1990 yılından itibaren bölümümüz müfredatında yer alan derslerden birisidir. O yıllarda: “… yürütmekte olduğumuz bu laboratuar çalışmalarında, yer ve alet imkansızlıklarına rağmen öğrencilerimizin büyük bir istekle deneyleri yaptıkları ve değişik bir bilgi elde etmenin mutluluğu ile çalışmalarını yürüttüklerini gözlüyoruz. Önümüzdeki yıllarda daha geniş mekanlarda her öğrenciye bir bilgisayar düşecek şekilde her yıl için en az bir laboratuar dersinin yer aldığı bir programın özlemi ve gerçekleşeceği inancı içindeyiz…” demişiz. Evet, bugün bilgisayar problemimiz yok, ancak mekân sıkıntısı anlatılacak gibi değil ve yakında çözülecek gibi görünmüyor. Tüm sıkıntılara rağmen deneylerimizi ve çalışmalarımızı yapmaya devam edeceğiz. Bu laboratuar kılavuzu ĐST 251 Đstatistik Laboratuarı deneyleri için hazırlanmıştır. Buradaki deneyler ve çalışmaların amacı, şu ana kadar görülen derslerin çerçevesinde, rasgelelik olgusunun anlaşılması ve anlatılması (modellenmesi) problemini kavratabilmek, öğrenilen temel bilgileri pekiştirmek ve ileride öğrenilecek istatistik kavram ve yöntemleri öğrenmede kolaylık sağlayacak sezgisel bir altyapı oluşturmaktır. Bu laboratuar kılavuzunun istatistik kavramlar ve yöntemler öğreten bir kitap olmadığını; deneyler yapmanızı, grafikler çizmenizi, bilgisayar programları yazmanızı, istatistik paket programları çalıştırmanızı, veri analizi ve yorumlar yapmanızı, üstelik bunları kendi gayretinizle yapmanızı isteyen bir rehber olduğunu unutmayın.

1) Laboratuara hazırlıklı gelin. Yapacağınız laboratuar çalışmasıyla ilgili ön bilgileri kitaplar ve ders notlarından okuyun.

2) Laboratuar kılavuzundaki bilgisayar programlarını gözden geçirin ve

çalışır hale getirin. 3) Yanınızda cetvel, kurşun kalem, silgi ve bilgisayar bulundurun. 4) Laboratuar çalışmalarınızı mümkün olduğunca sessiz ve bireysel

yürütünüz. Bitiremediğiniz deney veya raporlarınızı evde tamamlayınız. Birçok kusurunun var olacağını doğal karşıladığımız bu laboratuar kılavuzunun iyileştirilmesi hususunda öğrencilerle meslektaşlarımız tarafından gelecek her türlü öneri ve eleştiri için önceden teşekkür eder öğrencilerimize çalışmalarında başarılar dileriz. 10 Ağustos 2011 Ankara

3

ĐÇĐNDEKĐLER Sayfa GĐRĐŞ LABORATUAR ÇALIŞMASI 1 Olgu-Deney-Model-Benzetim (Simülasyon)………………….…..…….. 6 LABORATUAR ÇALIŞMASI 2 Bazı Modelleme Örnekleri …..…………………………..…………...… 17 LABORATUAR ÇALIŞMASI 3 Rasgele Sayılar ve Üretimi ……………………………………………… 28 LABORATUAR ÇALIŞMASI 4 Olasılık Dağılımlarından Sayı Üretme ……….…. ……………………… 39 LABORATUAR ÇALIŞMASI 5 Bir Boyutlu Kesikli Dağılımlar ………………………………………….. 45 LABORATUAR ÇALIŞMASI 6 Poisson Dağılımı ve Uygulamaları …………………………………….... 65 LABORATUAR ÇALIŞMASI 7 Bir Boyutlu Sürekli Dağılımlar ……….………………………………….. 67 LABORATUAR ÇALIŞMASI 8 Üstel ve Gamma Dağılımı. Güvenilirlik Analizi.………..………….…….. 75 LABORATUAR ÇALIŞMASI 9 Normal Dağılım ve Uygulamaları …….…………………………………. 91 LABORATUAR ÇALIŞMASI 10 Çok Boyutlu Dağılımlar. Marjinal ve Koşullu Dağılımlar ……………… 102 LABORATUAR ÇALIŞMASI 11 Bağımsız Rasgele Değişkenlerin Toplamı ve Ortalaması.……..…………. 112 LABORATUAR ÇALIŞMASI 12 Büyük Sayılar Kanunu ………………………………………………....…. 119 LABORATUAR ÇALIŞMASI 13 Merkezi Limit Teoremi…..……………………………………………….. 128

4

Giri ş

DERSIN KODU

ĐST 251

DERSIN ADI

Đstatistik Laboratuvarı I

DERSIN TÜRÜ

Zorunlu

DERSIN SINIF VE DÖNEMĐ

2.sınıf / Güz

DERSĐN VERĐLDĐĞĐ BÖLÜM

Đstatistik

DERSĐN KREDĐSĐ:

( 0 , 0 , 2 ) 1

AKTS

4

DERSĐ VEREN ÖĞRETĐM ÜYESĐ/ÜYELERĐ

DERSĐN AMACI,ÖĞRENĐM HEDEFĐ, ÖĞRENĐM METODU, ÖĞRETME VE ÖĞRENME MATERYALĐ

1) DERSĐN AMACI

Đstatistik eğitiminin amacı olan rasgelelik olgusunun modellenmesi problemini öğrencilere kavratabilmek, birinci sınıfta edinilen temel istatistik bilgilerini pekiştirmek ve ileride öğrenilecek istatistiksel kavram ve yöntemleri anlamada kolaylık sağlayacak bir alt yapı oluşturmak.

2) DERSĐN ÖĞRENĐM HEDEFLERĐ

KAZANDIRILAN BĐLGĐ

Örnek uzay, olay, olasılık ölçüsü, olasılık uzayı, rasgele değişken, olasılık (yoğunluk) fonksiyonu, dağılım fonksiyonu, beklenen değer, varyans v.s. gibi kavramlar.

KAZANDIRILAN BECERĐ

Lisans öğrenimi boyunca kullanılacak temel kavramların pekiştirilmesi ve istatistik yöntemlerin deney ortamında öğrenilmesi.

3) ÖĞRETĐM METODU Gerçek ve sanal deneyler yapmak.

4) ÖĞRETME MATERYALI Değişik deney araç ve gereçleri, bilgisayar.

5) DERSĐN ÖLÇME VE DEGERLENDĐRME YÖNTEMLERĐ

Laboratuar kılavuzundaki ödev ve deney sonuçlarının haftalık değerlendirilmesi, ara sınav ve dönem sonu sınavı

5

DERS PLANI VE ĐÇERĐĞĐ HAFTA Laboratuar Çalışmasının Konusu

1

Deney-model-benzetim (simülasyon). Dik atış: modellenmesi ve benzetimi. Tazı-tavşan kovalamacası.

2

Bazı modelleme örnekleri. Rasgelelik içeren olguların modellenmesi.

3 Rasgele sayılar ve üretimi.

4 Olasılık dağılımlarından sayı üretme.

5 Bir boyutlu kesikli dağılımlar.

6 Poisson dağılımı ve uygulamaları.

7 Bir boyutlu sürekli dağılımlar.

8

Üstel ve Gamma dağılımı. Güvenilirlik analizi.

9 Normal dağılım ve uygulamaları.

10

Çok boyutlu dağılımlar. Marjinal ve koşullu dağılımlar.

11 Bağımsız rasgele değişkenlerin toplamı ve ortalaması.

12 Büyük Sayılar Kanunu 13 Merkezi Limit Teoremi 14 Ara Sınav

KAYNAKLAR F. Öztürk, L. Özbek ve F.M. Kaya (1993) Đstatistik Laboratuarı I, Ankara. F. Öztürk (2011) Olasılık ve Đstatistiğe Giriş I, Gazi Kitabevi, Ankara. ĐST 101, ĐST102 ve ĐST201 Ders Notları.

SINAVLAR Ara sınav ve dönem sonu sınavı. Sınavlar yazılı veya deneysel olarak yapılır. Laboratuar kılavuzundaki ödev ve deney sonuçları ile ilgili değerlendirmeler başarı notuna katkıda bulundurulur.

6

Laboratuar Çalı şması 1

Olgu-Deney-Model-Benzetim (Simülasyon)

Aklımız ile gerçek dünyadaki olguları anlamaya ve anlatmaya çalışırız. Bu anlama-anlatma işine modelleme ve anlatımın kendisine de model denir. Modellemede, dilden sonra, aklımızın kullandığı ifade araçlarından en önde gelenleri matematik ve istatistiktir.

Model, gerçek dünyadaki bir olgunun ilgili olduğu bilim sahasının (fizik, kimya, biyoloji, jeoloji, astronomi, ekonomi, sosyoloji,...) kavram ve kanunlarına bağlı olarak ifade edilmesidir. Model gerçek dünyadaki bir olgunun bir anlatımıdır, bir tasviridir. Gerçek dünyanın çok karmaşık olması sebebiyle modeller, anlatmak istedikleri olgu ve sistemleri basitleştirerek belli varsayımlar altında ele almaktadır. Modeller gerçeğin kendileri değildir ve ne kadar karmaşık görünseler de gerçeğin bir eksik anlatımıdırlar. Model denilen şey model kurucunun gerçeği anlayışının bir ürünüdür, bir sanıdır. Simülasyon (benzetim) model üzerinde olgunun irdelenmesidir, “model üzerinde deney yapmaktır” diyebiliriz. Simülasyon yoluyla elde edilen verilere sanal veri diyelim. Sanal veriler, olgunun gerçeğinden elde edilen verilere (gözlemlere) benzemektedir, maket modellerde olduğu gibi.

Olguları modellemede düşünce tarzı aşağıdaki gibidir.

Bir modelin yararlı olması için verilerden, sonuçların nasıl çıkarılacağına dair bir

çözüm yönteminin bilinmesi gerekir. Örneğin belli bir olgu bir diferansiyel denklem ile

modellendiğinde bu denklemin çözüm yolunun da bilinmesi gerekir. Bu, matematiğin bir

sorunudur. Eğer model stokastik ise çözümleme istatistiğin bir sorunudur. Verilerin nasıl

toplanacağı da istatistiğin bir sorunudur. Kısaca, istatistik yukarıdaki döngünün her

safhasında yer almaktadır. Olguya temas ölçme ile olmaktadır. Ölçme, içinde istatistik de

barındıran başlı başına bir konudur.

Fizik, kimya, biyoloji, jeoloji, astronomi, ekonomi, sosyoloji ve başka birçok bilim

dalının gerçek dünyada ilgilendiği kendi konuları (sahaları) vardır ve çoğunun arakesiti boş

değildir. Matematik ve Đstatistiğin gerçek dünyada bir konusu olmamasına rağmen, gerçek

dünyadaki olguları anlama ve anlatmada, yani modellemede insan aklının en güçlü iki aracı

matematik ve istatistiktir. Đstatistik, rasgelelik içeren olguların modellenmesinde öne

çıkmaktadır.

Bu laboratuar çalışmasında sebep-sonuç ilişkileri kesin, başka bir ifade ile deterministik modelleri ele alacağız.

Sonuç çıkarım

Veri (Data)

Ölçme

Model

Matematik çözümleme Đstatistik çözümleme

Gerçek Dünya Olgu

7

Dik Atış Yukarıya doğru atılan bir cismin hareketini ele alalım. Ölçümler mks sisteminde yapılsın, yani uzunluğun birimi metre (m), kütlenin birimi kilogram (kg) ve zamanın birimi saniye (s) olsun. Hareketin doğrusal, hava ile sürtünme olmadığı ve yerçekimi ivmesinin yükseklikle değişmediği gibi bazı varsayımlar yaparak ve Newton prensiplerinden 1. Eylemsizlik prensibi, 2. Etki-tepki prensibi,

3. Momentum prensibi, Fdt dmv= , dv

F m madt

= =

faydalanarak hareketi matematiksel olarak modellemeye çalışalım. Hareketi, yeryüzüne dik bir eksen üzerinde irdeleyelim. Yerçekimi kuvveti P

, yerçekimi kuvvetinin büyüklüğü

mgP = olmak üzere, t = 0 anında cismin konumu 0)0( =y ve hızı 0)0( vv = olsun.

Bir t anında cisme etki eden kuvvet, sadece yerçekimi kuvveti P

olmak üzere, PF

=

eşitli ğindeki kuvvetlerin büyüklükleri için y ekseninin yönü de göz önüne alınarak, ma mg= −

2

2

dvg

dt

d yg

dt

= −

= −

veya gty −=′′ )( yazılır. Başlangıç değerlerle birlikte,

gty −=′′ )(

0)0( =y , 0'(0)y v=

diferansiyel denklemi, hareketin matematiksel bir anlatımıdır, yani bir matematiksel modeldir.

8

Diferansiyel denklem kavramı matematiğin bir kavramıdır. Bu denklemi çözmeye çalışalım. Denklemin her iki yanında,

∫∫ −=′′tt

gdtdtty00

)(

integrallerinin alınmasıyla, 0)( vgtty +−=′

elde edilir. Böylece, t anında cismin hızını veren formülü elde etmiş olduk. Cismin konumu için,

∫∫ +−=′tt

dtvgtdtty0

0

0

)()(

ve

tvgtty 02

2

1)( +−=

formülü elde edilir. Hareketin yol-zaman ve hız-zaman grafikleri,

gibidir. Yol-zaman grafiğinde t1 den t2 anına kadar geçen zaman aralığındaki yol miktarı

)()( 12 tyty − farkına eşittir. Bu yol miktarının hız-zaman grafiğindeki karşılığı taralı alana eşittir. Yol-zaman grafiği ya da hız-zaman grafiği de tek başına bu hareketi anlatmaktadır. Dolayısıyla bunlar da hareketin birer matematiksel modelidir. Modelden, cismin ne kadar bir yüksekliğe çıkabileceği, ne kadar bir zaman sonra yere düşeceği, yere düştüğü andaki hızı, belli bir anda bulunduğu konumu ve hızı gibi hareket ile ilgili sonuçlar elde edilebilir. Bu sonuçlar deney sonuçları ile karşılaştırılarak modelin geçerliliği sınanır. Modelin verdikleri ile gerçek dünyada olup bitenlerin tamamıyla aynı olduğu söylenemez. Modeller, gerçek olguların eksik birer anlatımıdır. Örneğin, başlangıç anında modelin anlattığına göre hız aniden v0 değerine ulaşmaktadır. Bu gerçeğe ters düşmektedir. Cisim atılırken neler olmaktadır? Bunu da göz önüne alarak bir model nasıl kurulabilir?

Yeryüzüne dik doğrultuda atılan bir cismin hareketini gözlemlemek, bazı ölçümler almak bir deneydir. Zamana bağlı olarak konum hesaplaması yapıp, bir kâğıda çizili bir eksen üzerinde işaretlenen bir noktanın hareketini izlemek dik atışın kâğıt üzerinde bir simülasyonudur (benzetimidir). Bunu, bir monitörde yapmak bir bilgisayar simülasyonudur. QBASIC dilinde yazılmış aşağıdaki gibi bir bilgisayar programıyla dik atışın görüntülü bir simülasyonu (animasyon) yapılabilir.

9

SCREEN 12

WINDOW (-10, 250)-(10, -10)

LINE (-10, 0)-(10, 0)

INPUT "Başlangıç hızı="; vo

INPUT "deltat="; deltat

FOR t = 0 TO 2 * vo / 9.81 STEP deltat

y = vo * t - (1 / 2) * 9.81 * t ^ 2

IF t<vo/9.81 THEN

CIRCLE (0, y) , 0.1 , 2

ELSE

CIRCLE (0, y) , 0.1 , 0

END IF

NEXT t

Serbest Düşme Belli bir h yüksekliğinden düşen cismin hareketini modellemeye çalışalım.

Dik atıştakine benzer varsayımlar ve düşüncelerle,

( )y t g′′ = 0)0( =y , 0)0( =′y

diferansiyel denklemine ulaşılır. Bu denklemin çözülmesiyle, 2

21)( gtty =

bulunur. Buna göre, cismin yere düşünceye kadar geçirdiği zaman süresi,

2 *12 2 /gt h t h g= ⇒ =

ve yere düştüğü andaki hızı,

ghgttytv 2)()( *** ==′=

olarak bulunur.

1000 metre yükseklikten yeryüzüne sürtünmesiz düşen bir cismin uygun bir koordinat sisteminde hız-zaman ve yol-zaman grafiklerini çiziniz. Cismin yere düşünceye kadar geçirdiği zaman süresini ve yere düştüğü andaki hızını hesaplayınız. Yerçekimi

10

ivmesini 9.81 2/m sn alınız. Bu hareketin simülasyonunu yapan bir bilgisayar programı yazınız ve işletiniz. Sürtünmeli Düşme Hareketi

11

Şimdi, cismin hareketinde hava ile sürtünme de gözönüne alınsın. Diğer varsayımlar dik atıştaki gibi kalsın.

Cisme etki eden kuvvetler için sF P F= −

yazılabilir. Sürtünme kuvvetinin yönü hareketin

ters yönünde olduğu açık, ancak büyüklüğü nedir? Sürtünme kuvvetinin büyüklüğünün hızın büyüklüğü ile orantılı olduğu varsayılırsa, )()( tykmgtym ′−=′′ yazılabilir. Böylece,

gtym

kty =′+′′ )()(

0)0( =y , 0)0( =′y modeli oluşturulabilir. Buradan,

2

2

2

2

)(k

mgt

k

mge

k

mgty

tm

k

−+=−

bulunur. Yol formülünde türev alınırsa, cismin hızı için

k

mge

k

mgtvty

tm

k

+−==′−

)()(

elde edilir. Her ne kadar hareket sonsuza kadar sürmese de,

limk

tm

t

m m mg e g g

k k k

−

→∞

− + =

limiti, zaman ilerledikçe düşen cismin hızının sabitleşeceğini söylemektedir. Gerçek dünyada bu sabitleşme k ve m sabitlerine bağlı olmakla birlikte, kısa bir zamanda gerçekleşmektedir. Yani kısa bir zaman sonrası düşen cismin hızı limit değere ulaşmakta ve sabitleşerek daha fazla artmamaktadır. Yağan yağmur taneciklerinin veya paraşütle yüksekten atlayan birisinin yeryüzüne düştüğündeki hızının büyük olmaması bundan olsa gerek.

Aşağıdaki Matlab programını işletiniz. Sürtünme katsayısının değişik değerlerinde, sürtünmeli

hareketi (mavi çizgi) gözleyiniz.

12

clc clear all close all axis ( [0 500 0 1000]) k=0.3; y0=1000; g=-9.81; hold on for i=1 : 500 t(i)=i*.1; y1(i)=y0+0.5*g*(t(i)^2); y2(i)=y0+g*(1/k^2)*exp(-k*t(i))+g*(1/k)*t(i)-g*( 1/k^2); if (y1>0) h1=plot(y1, 'r' ); %sürtünme yok set(h1, 'EraseMode' , 'none' ); drawnow; end if (y2>0) h2=plot(y2, 'b' ); % sürtünmeli set(h2, 'EraseMode' , 'none' );drawnow; end end Not: Yatay eksen zamanı temsil etmektedir (gerçek z aman de ğil).

Tazı-Tavşan Kovalamacası

Bir tazının bir tavşanı gördüğü doğrultu ve yönde kovaladığını, tavşanın dosdoğru

yuvasına doğru kaçtığını ve her ikisinin de koşabilecekleri en büyük hızları ile yorulmadan koştuklarını varsayalım. Tavşan kendi yuvasının 100 metre doğusunda bulunsun ve her ikisi de birbirini aynı anda fark etsin. Tazının konumu, Durum 1: tavşanın 100 metre batısında, Durum 2: tavşanın 100 metre güneyinde, Durum 3: tavşanın 100 metre güney batısında, olsun. Tazının ( ) tavşanı ( ) yuvasına ( ) varmadan önce yakalaması için hızının büyüklüğü tavşanınkinin kaç katı olmalıdır? Başka bir ifade ile hızların büyüklükleri oranı ne olmalıdır?

Tavşanın hızını 1V

ve tazının hızını 2V

vektörü ile gösterelim. Birinci durumda, tazının

tavşanı yakalaması için 2 12V V> olması gerektiğini hemen söyleyebiliriz. Durum 2 de tazının

yörüngesi bir doğru parçası olmayacaktır (aşağıdaki gibi bir eğri olabilir). Tazının hızının büyüklüğü sabit olup doğrultusu her an değişecektir. Tavşanı gördüğü yere doğru koşması matematik dilinde ne anlama gelmektedir?

Durum 1 Durum 2

Durum 3

13

Birinci durumdaki koşma olgusunu biraz daha yakından irdeleyelim. Tazının hızı

2 20V = metre/saniye ve tavşanın hızı 1 15V = metre/saniye olsun. Küçük t∆ ( t∆ =0,1) gibi

zaman aralıkları sonunda tazı ile tavşanın konumlarını bir eksen üzerinde işaretleyerek hareketin gelişimini izleyebiliriz. Her t∆ zaman aralığında birer adım attıklarını düşünürsek, tazının adım uzunluğu 2 metre ve tavşanın adım uzunluğu 1,5 metre olmak üzere, ilk üç işaretleme sonunda tazı ile tavşanın konumları aşağıdaki gibi olur.

Đkinci ve üçüncü durumlar için t∆ gibi küçük zaman aralıkları içinde hareketin sabit hızla (doğrultu, yön ve büyüklük olarak) yapıldığını düşünerek Durum 1 deki gibi bir işaretleme ile hareketin gelişimini izleyebiliriz. Kovalamacadaki heyecanı yaşayabilmek için aşağıdakileri adım adım kendiniz de çiziniz.

14

Zaman aralığı t∆ ‘yi küçük tutarsak, yaptığımız çizimlerle hareket olgusuna daha iyi yaklaştığımızı söyleyebiliriz. Yeterli gördüğümüz küçük bir t∆ seçip, değişik 2 1/V V oranları

için tavşanın yakalanıp yakalanmadığını görebiliriz. Çizerek deneyin.

15

Şimdiye kadar elle yaptığımız bu çizimleri bir bilgisayara yaptırmaya kalkışsak, nasıl olur? Örneğin, Durum 2 de tazının hızı 2 20V = (m/sn), tavşanın hızı 1 15V = (m/sn) ve t∆

zaman aralığı 0.2 ve 0.01 olduğunda bilgisayarda çizilen yörüngeler,

0 50 100

0

20

40

60

80

100

x

y

0 50 100

0

20

40

60

80

100

x

y

dır. Bu çizimlere benzer çizimleri, çok kolay bir programlama dili olan QBASIC dilinde, aşağıdaki programı işleterek bilgisayarınızda yapabilirsiniz. CLS : SCREEN 12 WINDOW (-10, 110)-(110, -10) LINE (-10, 0)-(110, 0) LINE (0, 110)-(0, -10) CIRCLE (100, 100), 1 INPUT "tavsanin hizini giriniz, v1=", v1 INPUT "tazinin hizini giriniz,v2=", v2 INPUT "deltat degerini giriniz, deltat=", deltat x1 = 0: y1 = 100: x2 = 0: y2 = 0 10 PSET (x1, y1): PSET (x2, y2) x1 = x1+deltat * v1: y1 = 100 x2 = x2+deltat*(x1 - x2)/SQR((x1 - x2)^2 +(y1 - y2)^2)*v2 y2 = y2+deltat*(y1 - y2)/SQR((x1 - x2)^2 +(y1 - y2)^2)*v2 IF SQR((x1 - x2)^2+(y1 - y2)^2)<.001 THEN 20 IF x1>100 THEN 30 GOTO 10 20 PRINT "tavsan yakalandi":GOTO 40 30 PRINT "tavsan kurtuldu" 40 END

Küçük bir t∆ seçip değişik 2 1/V V oranları için bilgisayar programını işleterek tavşanın

yakalanıp yakalanmadığını gözleyiniz. 2 1/V V oranı hangi sayıdan büyük olduğunda tavşan

yakalanmaktadır? Belirlemeye çalışınız.

16

Kaynak: Bir Tazı-Tavsan Kovalamacası http://80.251.40.59/science.ankara.edu.tr/ozturk/Yazilar/Lise/TaziTavsan.doc

17


Bazı Modelleme Örnekleri

Aklımız ile gerçek dünyadaki olguları anlamaya ve anlatmaya çalışırız. Bu anlama-

anlatma işine modelleme ve anlatımın kendisine de model denir. Önceki laboratuar

çalışmasında,

gty −=′′ )(

0)0( =y , 0'(0)y v=

gibi bir diferansiyel denklemin (türev bulunduran denklem) dik atış hareketini modellediğini

(anlattığını) gördük. Ayrıca,

* Deterministik (sebep-sonuç ilişkileri kesin)

* Stokastik (rasgelelik içeren)

modellerden söz ettik. Yukarıdaki model deterministik bir modeldir. Bu laboratuar çalışmasında bazı stokastik model örnekleri üzerinde duracağız. Elektronik Parçaların Dayanma Süresi

Dayanma süreleri rasgele olan belli bir tür elektronik parça için bozulma oranının (beli bir zamana kadar dayanan parçalardan bir birim zaman aralığında bozulanların oranı) sabit kaldığı gözlenmiş olsun. T rasgele değişkeni dayanma süresi olmak üzere, bozulma oranı ile ilgili söylenen matematiksel olarak ifade edilirse,

ct

tTttTtPt

=∆

>∆+≤<→∆

)/(lim

0

ctTPt

ttTtPt =

>∆

∆+≤<→∆

)(

)(lim

0

ctFt

tFttFt =

−∆

−∆+→∆

)(1

)()(lim

0

ctF

tF =−

′)(1

)(

18

ctF

tf =− )(1

)(

yazılır. Burada fF , sırasıyla T nin dağılım ve yoğunluk fonksiyonunu göstermektedir.

)()(1

)(tr

tF

tF =−

′

diferansiyel denkleminin 0)0( =F başlangıç değerine bağlı çözümü

∫−

−=

t

dttr

etF 0

)(

1)(

dır. Buna göre,

>

=−

d.y. , 0

0 , )(

tcetf

ct

olarak elde edilir. Dayanma süresi üstel dağılıma sahiptir. Başka bir ifade ile bu parçaların

dayanma süresi üstel dağılım ile modellenmektedir (anlatılmaktadır). Bu modelde c sabitinin

değerinin bilinmesi gerektiğine dikkat edin.

Parçaların dayanma süresinin beklenen değeri (ortalaması) ve varyansı,

2

1)( ,

1)(

cXVar

cTE ==

dır. F ve f fonksiyonlarının grafikleri şekildeki gibidir.

Sürekli bir rasgele değişkenin belli bir aralıkta olması olasılığı dağılım fonksiyonunda

yorumlandığında, aralığın uç noktalarında fonksiyon değerleri arasındaki fark (grafikte

yükseklik), yoğunluk fonksiyonunda yorumlandığında, bu aralığın üzerinde yoğunluk

fonksiyonunun integrali (grafikteki alan) olmaktadır. Bu düşünce tarzı yol-zaman ve hız-

zaman grafiklerinde de aynıdır. Yol-zaman grafiğinde fonksiyon değerleri arasındaki fark ve

hız-zaman grafiğinde belli bir aralığın üzerindeki alan yol miktarını anlatmaktadır.

19

Basamak fonksiyonu biçiminde olan dağılım fonksiyonları basamakların bulunduğu

noktalarda, basamak yükseklikleri büyüklüğünde olasılıklar bulunan kesikli olasılık

dağılımlarının anlatımında kullanılmaktadır. Basamak fonksiyonu biçiminde olan bir yol-

zaman grafiğinin (fonksiyonunun) anlatmak istediği hareket nasıl bir şey olabilir? Bir örnek

verin.

Düzgün Bir Tavla Zarının Atılması Deneyi

Düzgün bir tavla zarının atılması ve üste gelen yüzeyin gözlenmesi deneyinde örnek uzay,

olmak üzere, tüm olaylar ile ilgilendiğimizde sigma cebir 2U Ω= olur. Zar düzgün olduğunda, :P U R→

( )

( )( )

n AA P A

n→ =

Ω

olasılık ölçüsü kullanılabilir. Özetlersek, bu deney

Olasılık Uzayı ile modellenebilir (anlatılabilir).

Ω =

, 2U Ω= , ( )

( )( )

n AP A

n=

Ω

Ω =

20

X rasgele değişkeni üste gelen yüzeydeki nokta sayısı olsun.

X rasgele değişkeni’nin dağılım fonksiyonu,

: [0,1]F R→ ( ) ( )x F x P X x→ = ≤

0 , 1

( ) ( ) , 1 661 , 6

x

xF x P X x x

x

<= ≤ = ≤ < ≥

ve grafiği,

dır. X in olasılık fonksiyonu,

1( ) ( ) , 1,2,3,4,5,6

6 Xf x P X x x D= = = ∈ =

ve grafiği, ( ) ( , ( )) : 1,2,3,4,5,6grafik f x f x x= =

olmak üzere, bu grafik

1 2 3 4 5 6

• • • • • • x

f(x)

1/6

R

X

0 1 2 3 4 5 6 7

Ω =

1 2 3 4 5 6 7

1

F(x)

x 1/6

2/6

3/6

4/6

5/6

21

biçiminde de gösterilir. Okların yükseklikleri o noktalardaki olasılıkları göstermektedir. Dağılım fonksiyonunda ise basamakların yükseklikleri olasılıkları göstermektedir. Suda Çözülen Madde Miktarı Cx sıcaklıkta 100 gr su içinde çözülen bir maddenin kütlesi (y) aşağıdaki gibi gözlenmiştir.

xoC 10 20 30 30 40 40 40 50 60 60

y(gr) 59 65 68 70 73 74 75 81 92 93

Bu gözlemlere dayanarak y ile x arasında bir bağıntı araştıralım. Gözlemlerin bir xOy

koordinat sistemindeki görüntüsü (serpilme diyagramı) aşağıdaki gibidir.

Belli bir x sıcaklığında 100 gr su içinde çözülen madde miktarı için farklı farklı

değerler gözlenebilmektedir. Bu sebeple çözülen madde miktarını bir Y rasgele değişkenin

aldığı değer olarak görebiliriz. Belli bir x değerinde Y rasgele değişkeninin ortalaması (koşullu ortalaması) / ( / )Y x E Y xµ = olmak üzere,

bxaxYE +=)/(

varsayımı altında, 10,...,2,1 , =++= i

iii bxaY ε

1 2 3 4 5 6

x

f(x)

1/6

22

denklemini (regresyon modelini) göz önüne alalım. Burada i

ε ‘ler birer rasgele değişkendir.

a ve b katsayılarını [ ]10 10

22

1 1

( )i i ii i

y a bxε= =

= − +∑ ∑ hata kareler toplamı minimum olacak

şekilde belirlediğimizde,

661.0)(

))((ˆ

10

1

2

10

1 =−

−−=

∑

∑

=

=

ii

iii

xx

yyxxb

881.49ˆˆ =−= xbya

bulunur. Bu katsayılar, gözlem noktalarının arasından gözlemlere yakın olacak şekilde çizilen

doğrunun eğimini ve ordinatı kestiği noktayı göstermektedir. /ˆ 49.881 0.661Y x xµ = +

denklemi yardımıyla belli x sıcaklığında 100 gr su içinde çözülen ortalama madde miktarını

tahmin edebiliriz. Buna tahmin denklemi diyelim. C1 C2 10 59 20 65 30 68 30 70 40 73 40 74 40 75 50 81 60 92 60 93 Regression Analysis: C2 versus C1 The regression equation is C2 = 49,9 + 0,661 C1 Predictor Coef SE Coef T P Constant 49,881 2,168 23,01 0,000 C1 0,66102 0,05289 12,50 0,000 S = 2,56938 R-Sq = 95,1%

C1

C2

605040302010

95

90

85

80

75

70

65

60

55

S ca tterplot of C2 v s C1

23

xOy koordinat sistemindeki serpilme diyagramındaki ( , )x yi i noktaları, 2ii xz =

dönüşümü sonucu, ( , )i iz y noktaları olarak zOy koordinat sisteminde yeniden

işaretlendiğinde aşağıdaki gibi bir serpilme diyagramı ortaya çıkmaktadır.

Bu serpilme diyagramına bakıldığında,

( / )E Y z c dz= +

ve , 1, 2, ...,10i i i iY c dz δ == + +

gibi bir model uygun görünmektedir. Katsayılar, [ ]10 10

22

1 1

( )i i ii i

y c dzδ= =

= − +∑ ∑ kareler toplamı

minimum olacak şekilde belirlendiğinde, tahmin denklemi

/

2/

ˆ 60 0.00893

ˆ 60 0.00893

Y z

Y x

z

x

µ

µ

= +

= +

olarak elde edilir. Her iki model için

10 2

1

10 22

1

ˆˆ( ) 52.8

ˆˆ( ) 14.2

i ii

i ii

y a bx

y c dx

=

=

− + =

− + =

∑

∑

olmak üzere, bu değerlere göre ikinci model daha iyi görünmektedir.

24

ĐST251 dersini alan öğrenciler için boy uzunluğuna bağlı olarak ağırlığı veren bir bağıntı

bulmaya çalışınız.

25

Top Çekme Deneyleri

Đçinde 5 beyaz, 3 mavi ve 2 sarı top bulunan bir torbadan rasgele bir top çekilmesi ve renginin gözlenmesi deneyinin örnek uzayını yazınız. Bu deney ile ilgili bir olay tanımlayınız. Deneyi bir kez yapınız. Tanımladığınız olay gerçekleşti mi?

Çekilen topu torbaya geri atarak ard arda 3 top çekilmesi deneyinin örnek uzayını yazınız. Bu deney ile ilgili bir olay tanımlayınız. Deneyi bir kez yapınız. Tanımladığınız olay gerçekleşti mi?

Torbadan 3 topun aynı anda (çekileni yerine koymadan ) çekilmesi deneyinde örnek uzayı yazınız. Bu deney ile ilgili bir olay tanımlayınız. Tanımlanan olay gerçekleşti mi?

Yukarıdaki deneyleri en az 20 kez tekrarlayınız ve gelen beyaz topların sayılarını kaydediniz. Bu sayıların kaç kez geldiğini ve gözlenen sıklıklar (frekanslar) için bir grafik (çubuk diyagramı) çiziniz. Gelen beyaz topların sayısının ortalamasını bulunuz.

26

Boncuk Deneyleri Tabanın kenar uzunluğu 20 cm olan bir dik kare prizma içine küçük bir boncuk (yarıçapı çok küçük olan bir bilye) atılması ve düştüğü noktanın gözlenmesi deneyinin örnek uzayını yazınız. Tabana bir üçgen çiziniz. Boncuğun bu üçgenin içine düşmesi olasılığını uygun gördüğünüz bir olasılık uzayında hesaplayınız. Deneyi 50 kez yapınız. Boncuğun, üçgenin içine düşme oranını gözleyiniz ve bu oranı yukarıda hesapladığınız olasılık ile karşılaştırınız.

Tabanın köşegenlerinden bir tanesini çiziniz ve deney sonucunda bilyenin düştüğü noktanın çizilen bu köşegene uzaklığını gözleyiniz. Bir rasgele değişken olan bu uzaklığın olasılık dağılımını bulunuz. Deneyi en az 50 kez tekrarlayınız. Gözlenen uzaklıklar için histogram çiziniz.

27

Evde: Bir masada (veya herhangi düz bir zeminde) işaretlenmiş bir nokta üzerine 10 cm yükseklikten bir boncuk bırakınız. Boncuk düşüp konumlandıktan sonra işaretlenmiş olan noktaya uzaklığını gözleyiniz (ölçünüz). Bunu en az 50 kez tekrarlayınız. Gözlemler için histogram çiziniz. Uzaklığın olasılık dağılımı hakkında ne söyleyebilirsiniz? Uzaklığın ortalaması ve varyansı hakkında ne söylenebilir?

28

Laboratuar Çalı şması 3 Bu laboratuarda:

1) Rasgele Rakamlar Tablosu (RRT) 2) (0,1) Aralığından Rasgele Sayı Üretimi 3) Gerçek ve Sanal Deney

ile tanışacaksınız. Rasgele Rakamlar Tablosu (RRT)

428553 982230 207767 223855 192603 592214 858416 750335 029617 614796 186157 675484 873144 210914 912862 599449 238585 315625 359612 592751 846880 181410 162965 408123 586412 572018 777506 382604 175093 147775 961690 282387 315513 971757 761695 828251 134099 934677 372967 750855 115400 712653 737241 153352 991487 049221 905558 719157 137551 860682 259683 621103 907876 711821 814726 990553 815785 310487 406848 411654 017488 976927 409567 291738 494433 868338 879778 428690 146965 381879 627678 900936 203198 631810 572948 249092 405866 884142 367940 325861 321483 124368 732234 994087 474823 379009 008300 541048 241431 181606 110756 196119 199029 014147 418472 998489 932945 217910 539610 452228 530576 154461 996114 343786 488428 729848 352688 149926 639924 805119 715740 591423 117498 148510 845972 280062 246813 529428 299325 746498 746000 724368 575452 675599 995735 885100 842099 991521 52894 539822 249016 816621 621194 892568 993559 274102 956565 930864 341212 840400 927425 090997 207582 059399 912220 931874 747833 510318 276034 361543 528532 437182 739118 402303 853487 067952 456736 251527 154909 501948 392120 281978 726291 151596 583984 287854 238706 393336 790214 812939 491924 011379 648993 059349 250596 205509 663809 488748 597666 925877 444132 777180 160036 762545 960366 607938 621588 745474 89690 384330 319011 733872 749607 316255 015349 055553 367653 949097 837618 105962 337798 660118 671589 657529 185105 439117 175415 415283 251636 379447 956550 291330 597009 036413 213835 995199 202594 509360 282807 516767 493572 604359 406172 408802 349400 264975 158455 911482 249332 400977 805497 763131 904544 832384 283015 803979 901212 27947 819001 561513 100590 081027 290721 778844 213097 020088 423523 897533 532191 626165 748564 247072 706366 006290 428226 638969 574229 975327 681379 942418 394596 278733 152620 201723 937060 429485 872008 288322 207609 367800 572560 312924 829433 20635 564946 591077 580089 958739 882699 949747 792905 396929 546337 174536 509131 077110 949874 999576 436620 161770 536690 606842 388329 926846 704251 899559 724315 856797 955997 239469 219844 361147 28819 393365 525083 935560 750052 432324 956409 269976 299936 283512 496412 726944 165466 439144 455763 763144 526123 578518 935326 392594 569247 943382 28628 699720 663656 237840 257262 855174 201723 291014 337415 380602 995854 968238 544041 629716 047380 631149 155422 003491 244421 143457 434574 957207 471418 782022 766418 569411 272754 324843 54263 815933 184143 698729 989084 173858 002268 326715 625130 313953 343644 604392 670594 511778 463190 813713 956760 720821 479450 465200 890577 756109 574099 156878 074215 231305 047769 952891 763156 347449 630701 059559 963966 955462 580850 575731 654230 264574 512328 515901 837859 349097 045983 067787 609350 399508 301831 146160 398592 268906 122211 675375 17622 644317 336005 144634 817307 188572 529365 569832 383258 966669 951686 243930 584291 940329 132010 950272 346804 981936 427918 102659 892512 540124 489401 035721 332287 382819 255658 046963 776010 672991 664791 911504 263235 381454 788809 998810 356124 740735 641185 599986 129631 882568 474869 719744 595774 786280 977200 234912 168055 331046 855426 804037 592390 742308 626896 503243 Kendinize yukarıdaki gibi yarım sayfalık bir RRT hazırlayınız.

29

RRT ile 0, 1, … ,99 sayılarından birinin rasgele seçilmesi deneyini nasıl gerçekleştirebilirsiniz? Elinizdeki RRT yardımıyla 1000 tane 6 rakamlı sayı üretebilir misiniz? Varsa, sorun nedir?

30

(0,1) Aralığından Rasgele Sayı Üretimi

“(0,1) aralığındaki reel sayılardan (noktalardan) rasgele bir sayı (nokta) çekme” deneyi yapılabilir mi? Bunu nasıl gerçekleştirebilirsiniz? RRT ile nasıl gerçekleştirebilirsiniz? Aşağıdaki bilgisayar programlarını çalıştırıp çıktılarını gözleyiniz.

QBasic FOR I = 1 TO 20 PRINT RND NEXT I

Matlab >> rand(20,1)

Programı bir kez daha çalıştırınız. Sonuç? Aşağıdaki bilgisayar programlarını birkaç kez çalıştırınız ve çıktıları gözleyiniz.

PRINT RND

RANDOMIZE 12345 PRINT RND

RANDOMIZE TIMER PRINT RND

31

Aşağıdaki çıktıları gözden geçiriniz. >> rand('seed',1234) >> rand ans = 0.9296 >> rand('seed',1234) >> rand ans = 0.9296 >> rand('seed',12345) >> rand ans = 0.8608 >> rand('seed',12345) >> rand ans = 0.8608 >> rand('seed',12) >> rand ans = 0.1549 >> rand ans = 0.5258 >> rand ans = 0.2047 >> rand ans = 0.1405 QBASIC‘deki “RND” veya Matlab’daki “rand” fonksiyonu ( komutu ) nasıl çalışmaktadır?

32

[0,1) Aralığından Rasgele Sayı Üretilmesi

“[0,1) aralığındaki reel sayılardan rasgele bir sayı çekilmesi” başka bir ifade ile “[0,1)

aralığındaki noktalardan rasgele bir nokta seçilmesi” nasıl gerçekleştirilebilir? Yapılabilir mi

sorusunu bir tarafa bırakarak, derinliğine inmeksizin, bunu iki yoldan yapmaya çalışacağız.

Biri doğal (gerçek dünyadaki) rasgeleliği kullanarak, diğeri ise aklımızın (soyut) dünyasında

bir şeyler yapacağız.

Bir tahta üzerine çizilmiş, uzunluğu bir metre olan bir çember milimetre cinsinden

ölçeklenmiş olsun. Saat yelkovanı gibi ince uçlu bir ibre bu çemberin merkezi etrafında

rahatça döndürülüyor olabilsin. Böyle bir alete “döndürgeç” diyelim. Çevirip, ibre durduktan

sonra metre cinsinden okunan sayıyı [0,1) aralığından çekilen bir rasgele sayı olarak

düşünebiliriz. Ancak, dikkat edilirse bazı sayılar hiç çekilmeyecektir (gözlenemeyecektir).

Ölçeği, milimetrenin alt birimine indirme imkânımız olsa bile ibre ve okuma sorunu ortaya

çıkacaktır. Yine de, imkânlar çerçevesinde [0,1) aralığından rasgele sayı çekebildiğimizi

düşünebiliriz. Deneyebilirsiniz (evde).

0,1,...,9 rakamlarından birinin rasgele olarak çekilmesi deneyi çok değişik biçimde

gerçekleştirilebilir. Örneğin, üzerinde bu rakamlar yazılı 10 tenis topu bir torbaya konup iyice

karıştırıldıktan sonra biri çekilebilir. Benzer bir işlem mekanik olarak milli piyango

çekilişlerindeki makinelerde yapılmaktadır. 0,1,2,...,9 rakamlarının rasgele üretilmesi

problemi çözüldüğünde [0,1] aralığındaki her reel sayının bir ondalık açılımının olduğu göz

önüne alınırsa, [0,1] aralığındaki sayılardan birinin rasgele üretilmesi sorunu da çözülebilecek

gibi görünmektedir. Ancak, [0,1] aralığındaki reel sayılar ile bunların ondalık açılımları

arasındaki bire-bir eşlemeye dikkat edilirse,

1

0,333... 0.3 ,3= =

10.5 .50

2= = , 0 0.0 , 1 0.9= = , ...0471,1

3=π

olmak üzere 0,1,2,...,9 rakamlarının rasgele üretilmesi ile bir sayı elde etmek için sonsuz tane

rakam üretmek gerekecektir. Bunun pratik olarak gerçekleştirilmesi mümkün değildir. Yine

de ihtiyaçlarımızı karşılayacak kadar, [0,1] aralığından rasgele sayı çekecek bir yöntem olarak

kullanılabilir. Bunu da kolayca deneyebilirsiniz.

33

Düzgün bir paranın atılması deneyinde, yazı gözlendiğinde 0, tura gözlendiğinde 1 rakamları yazılsın. Paranın atılmasıyla 0,1 rakamlarından oluşan belli uzunluklu rasgele diziler elde edilebilir. Böyle bir dizinin elemanları 2-li sayma sisteminde, tam kısmı sıfır olan bir sayının virgülden sonraki basamaklarını doldursun. Bu sayı 10-lu sayma sistemine çevrilebilir. Böylece para atışı ile de [0,1] aralığında sayı üretilebilir.

Olgulardaki doğal rasgelelikten faydalanarak rasgele sayı üretmek için pek çok

yöntem geliştirilebilir. Milli piyango çekilişlerindeki işlem, hemen hemen hiç kimsede şüphe

bırakmayacak şekilde ihtiyacı karşılamaktadır. Ancak zaman açısından hiç de elverişli

değildir. Milyarlarca rasgele üretilmiş sayıya ihtiyaç olduğunda böyle bir yöntem, hattâ

çekilişleri önceden yapıp, kayda geçirip bu kayıtlardan istifade etmek şeklinde olsa bile,

bilgisayarlarda yer tutma açısından çok uygun değildir.

Rasgele sayı üretmek için çok değişik yöntemler düşünülmüştür. Bu yöntemlerin çoğu, belli bir sayıdan (1u ) başlayıp belli bir dönüşüm kuralına göre ardışık olarak,

)( 12 ugu =

)())(()( 12

123 uguggugu ===

⋮ )()( 1

11 ugugu n

nn−

− ==

⋮

dizisini üretmektir. Kesin bir kurala göre elde edilen böyle sayılara sözde rasgele sayılar

(pseudo random numbers) denir.

Sayı üreteçleri arasında en yaygın olanları Lineer Kongrüans Üreteçler’dir.

Kongrüans hesap, modüler hesap veya saat aritmetiği doğal sayılara, belli bir bölene (modüle)

göre kalanını karşılık getiren bir işlemdir.

Lineer kongrüans üreteçler: )0( >mm bir doğal sayı olmak üzere, 1,...,2,11 −∈ mX başlangıç değerini seçip,

( )maXX ii mod c 1 +=+

algoritmasına göre ,...,, 321 XXX sayılarını ve bu sayılar yardımıyla,

1 1 2 2 3 3/ , / , / ,... [0,1)u X m u X m u X m= = = ∈

sayılarını üretmektedir.

IBM bilgisayarlarında a = 16807 veya 630360016=a , c=0, 1231 −=m değerleri

alınmıştır. m= 235 ve 135=a olduğunda üretecin devir uzunluğu, yani kongrüans hesabında

ortaya çıkan bir kalanın tekrarlanması için atılan adım sayısı 332 dır.

34

( )maXX ii mod c+1 =+ gibi bir kongrüans üretecinde mca ,, ’ye değişik değerler

vererek elde edeceğiniz sayıları gözden geçirebilirsiniz. Bu amaçla aşağıdaki gibi bir

bilgisayar programı kullanabilirsiniz.

INPUT "Deneme sayısı=",N

DIM X(N)

INPUT "A sabiti=",A: INPUT "C sabiti=",C

INPUT "MOD=",M :

INPUT "Başlangıç değer=",X(1)

FOR I=2 TO N

X(I)=A*X(I-1)+C

IF X(I)< M THEN GO TO 100

W=INT(X(I)/M)

X(I)=X(I)-W*M

100 PRINT "X(I)=",X(I)

NEXT I

Kesin matematiksel formüllere dayalı olarak sayı üreteçleri ile üretilen sayılar esasında

rasgele olmayıp, görünüşte rasgeledir. Sayılarda belli bir özelliğin (örüntünün) ortaya çıkması

rasgeleliğin bozulmasının bir göstergesi olabilir. Örneğin belli bir sayının belli aralıklarda

tekrar etmesi böyle bir özelliktir. Rasgeleliği bozan bir özelliğin tanımlanmasından sonra var

olup olmadığını ortaya çıkaran bir test geliştirilebilir. Bu şekilde çok sayıda test

geliştirilmi ştir. Bunlara genel olarak, rasgelelik testleri denmektedir.

Uzun yıllar bilgisayarlarda kullanımda olan bazı rasgele sayı üreteçleri, sonraki

yıllarda yapılan istatistik testlerinde başarılı olamamıştır. Rasgele sayı üretiminin kendi başına

bir araştırma sahası olduğunu belirtelim.

35

Gerçek ve Sanal Deney 1. a) Düzgün bir tavla zarını 25 kez atınız ve gelen nokta sayısını gözleyiniz. b) RRT tablosu kullanarak “25 atış yapınız”. c) RND’yi kullanarak “25 atış yapınız”.

36

2. a) Bir parayı 10 kez atınız ve üste gelen yüzeyi yazı (Y), tura (T) olarak gözleyiniz. b) RRT tablosu kullanarak “10 atış yapınız”. c) RND’yi kullanarak “25 atış yapınız”. 3. Varsa kameranızı veya cep telefonunuzu kullanarak a) şıklarındaki gerçek deneyleri bilgisayarda izlettirebilir misiniz? Buna ne deniyor? 4. RND’yi kullanarak c) şıklarında yapılan sanal deneyler için QBASIC de kalmak şartıyla animasyon yaptırabilir misiniz? 5. Bilgisayarlardaki tavla oyunlarında zar atışları nasıl yapılmaktadır?

37

6. Đçinde 3 beyaz, 2 mavi top bulunan bir torbadan rasgele bir top çekilmesi ve renginin gözlenmesi deneyinin örnek uzayını yazınız. Bu deney ile ilgili bir olay tanımlayınız. Deneyi bir kez yapınız. Tanımladığınız olay gerçekleşti mi?

Çekilen topu torbaya geri atarak ard arda 3 top çekilmesi deneyinin örnek uzayını yazınız. Bu deney ile ilgili bir olay tanımlayınız. Deneyi bir kez yapınız. Tanımladığınız olay gerçekleşti mi?

Torbadan 3 topun aynı anda (çekileni yerine koymadan) çekilmesi deneyinde örnek uzayı yazınız. Bu deney ile ilgili bir olay tanımlayınız. Tanımlanan olay gerçekleşti mi?

Yukarıdaki deneyleri en az 20 kez tekrarlayınız ve gelen beyaz topların sayılarını kaydediniz. Bu sayıların kaç kez geldiğini ve gözlenen sıklıklar (frekanslar) için bir grafik (çubuk diyagramı) çiziniz.

Yukarıdaki top çekme deneylerini bilgisayarda yapınız (sanal olarak gerçekleştiriniz).

38

7. Tabanın yarıçapı 10 cm olan bir silindirin içine çok küçük bir bilyenin (küçük boncuk) rasgele atılması ve düştüğü noktanın gözlenmesi deneyinin örnek uzayını yazınız. Bu deney ile ilgili bir olay tanımlayınız (tabanda bir bölge belirlenip, boncuğun bu bölgeye düşüp düşmediğine bakılabilir). Deneyi bir kez yapınız. Tanımladığınız olay gerçekleşti mi?

Tabanın merkezi ile boncuk arasındaki uzaklığı gözleyiniz. Deneyi en az 30 kez tekrarlayınız.

Deneyleri bilgisayarda yapınız (sanal olarak gerçekleştiriniz).

39


Olasılık Dağılımlarından Sayı Üretme

Ters Dönüşüm Yöntemi

F dağılım fonksiyonuna sahip bir X rasgele değişkenin dağılımından sayı üretmek

için en çok kullanılan yöntemlerden biri, F dağılım fonksiyonunun genelleştirilmi ş tersi denen

RF →− )1,0(:

u F u x F x u→ = ≥− ( ) inf : ( )

fonksiyonuna dayalı X F U= − ( ) dönüşümünü kullanmaktır. Burada U rasgele değişkeni

(0,1) aralığı üzerindeki düzgün dağılıma, yani U ( , )0 1 dağılımına sahiptir. X F U= − ( )

dönüşümü integral dönüşümü olarak bilinmektedir. X sürekli bir rasgele değişken olduğunda

dağılımın destek kümesi üzerinde F artan bir fonksiyon olmakta ve bu durumda yukarıdaki

dönüşüm X F U= −1( ) biçimini almaktadır. Bu durumda, X F U= −1( ) rasgele değişkeninin

dağılım fonksiyonu,

P X x P F U x P F F U F x( ) ( ) ( ( )) ( )≤ = ≤ = ≤− −1 1

= ≤ =P U F x F x( ) ( )

dır.

U ( , )0 1 düzgün dağılımdan üretilen sayılar integral dönüşümü sonucunda X rasgele

değişkenin dağılımından üretilmiş sayılar olacaktır. Böylece herhangi bir X rasgele

değişkenin dağılımından sayı üretme işlemi çözülmüş gibi görünmektedir, ancak buradaki

zorluk bazı dağılımlar için −F genelleştirilmi ş ters fonksiyonunun açık bir ifadesinin elde edilememesidir. Örneğin ~ (0,1)X N için,

2

21( ) ,

2

x z

F x e dz xπ

−

−∞

= ∈∫ R

ve )1,0(,)()( 1 ∈= −− uuFuF

olmak üzere, )(1 uF − değerleri u ‘ya bağlı olarak açık bir şekilde kolayca yazılıp

hesaplanamamaktadır.

40

F dağılım fonksiyonunun 1−F ters fonksiyonunun değerlerinin hesaplanabilir olması

durumunda sürekli bir X rasgele değişkeninin dağılımından sayı üretmek için algoritma

aşağıdaki gibidir.

Algoritma 1. U ( , )0 1 dağılımından U üretilir

2. X F U= −1( ) hesaplanır

Örnek : X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu ve dağılım fonksiyonu,

f xx x

d y( )

,

, . .=

≤ ≤

2 0 1

0

F x

x

x x( )

,

,

,

=

<

≤ ≤

0 0

0 1

1

2

x > 1

olup, X F U U U= = =−1 1 2( ) / dönüşümü ile X rasgele değişkeninin dağılımından sayı

üretilebilir. En az 50 tane sayı üretiniz ve üretilen sayıların bu dağılımdan gelip gelmediğini

irdeleyiniz.

41

Örnek: θ parametreli üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ve dağılım fonksiyonu,

≥=−

.. , 0

0 ,)(1

yd

xexf

x

θθ

≥−

<=

−0 ,1

0 ,0)(

xe

xxF x

θ

ve 10,)1ln()(1 <<−−=− uuuF θ

olmak üzere, )1ln()(1 UUFX −−== − θ

dönüşümü ile üretilen X rasgele sayıları üstel dağılımdan üretilmiş sayılardır. )1,0(~ UU

için U−1 rasgele değişkeninin de )1,0(U düzgün dağılımına sahip olduğu göz önüne alınırsa,

θ parametreli üstel dağılımdan sayı üretmek için )ln(UX θ−= dönüşümü de kullanılabilir.

θ parametresine bir değer verip en az 50 tane sayı üretiniz ve üretilen sayıların bu

dağılımdan gelip gelmediğini irdeleyiniz.

42

Kesikli rasgele değişkenler için −F fonksiyonunu belirlemek zor değildir.

Örnek: X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu

X=x

f(x)

1 2 3

0.2 0.5 0.3

olsun. Kesikli bir rasgele değişken olan X ’ in dağılım fonksiyonu

≥<≤≤≤

<

=

3,1

32,7.0

21,2.0

1,0

)(

x

x

x

x

xF

dır. −F fonksiyonu,

<≤

≤<=−

1<7.0 ,3

7.0<2.0 ,2

2.00 ,1

)(

u

u

u

uF

olmak üzere,

<≤

≤<== −

1<7.0 ,3

7.0<2.0 ,2

2.00 ,1

)(

U

U

U

UFX

dönüşümü ile X rasgele değişkenin dağılımından sayı üretilebilir. En az 20 tane sayı üretiniz

ve üretilen sayıların bu dağılımdan gelip gelmediğini irdeleyiniz.

43

Kabul-Red Yöntemi X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f ve aldığı değerler kümesi

XD olsun. V rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu g ve aldığı değerlerin kümesi

D olmak üzere V sayıları kolayca üretilebilsin. a > 0 sabiti ve Xx D∀ ∈ için

f x a g x( ) ( )≤ ⋅

koşulu sağlansın. Bu durumda aşağıdaki algoritma ile olasılık yoğunluk fonksiyonu f olan

dağılımından sayı üretilebilir.

Algoritma 1) V sayısı olasılık yoğunluk fonksiyonu g olan dağılımından üretilsin

2) V ’den bağımsız olarak ~ ( , )U U 0 1 üretilsin.

)()( VfVgaU ≤⋅⋅ ise VX = kabul edilsin yani bir X sayısı üretilmiş olsun, aksi

durumda reddedilsin yani 1. adıma geçilsin (başka bir ifade ile ))(,0(~ VgaUY ⋅

üretilsin. )(VfY < ise X kabul edilsin, aksi durumda reddedilsin.)

Algoritmayı aşağıdaki gibi de yazabiliriz. 1) Birbirinden bağımsız olarak V ~ g ve )1,0(~ UU üretilsin.

2) Eğer )(

)(

Vag

VfU ≤ ise VX = olsun ve X sayısı çıkılsın.

Örnek: X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu

<−

=d.y. , 0

2<0 , )2()(

2 xxxxf π

olsun, uygun bir g fonksiyonu da

<

= d.y. , 0

2<0 , )( 2

1 xxg

şeklinde seçilsin. Bu durumda a = 2 için )(2)( xgxf ≤ ( )2,0(∈x ) dır. Buna göre algoritma

aşağıdaki gibi olacaktır.

x

f(x)

1 2

1

1) )1,0(~ UU dağılımından bir 1U sayısı üretilip 12UV = alınır. U(0,1) dağılımından

bir 2U sayısı üretilir.

2) Eğer 21

2

2 .2

)2( VVU

−≤ π yani )2(2

2 VVU −≤ π ise VX = alınır ve X sayısı çıkılır.

44

Yukarıdaki algoritmaya dayalı, BASIC programlama dilinde aşağıdaki program yazılabilir.

X=2*RND

IF RND < (2/3.14)*SQR(X*(2-X)) THEN PRINT X

Bilgisayar programında V sayısını X ile göstermek (X adresine yazdırmak) ikinci adımda kolaylık sağlamaktadır. Karışıklığa yol açmadığı takdirde algoritmanın birinci adımında g

olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip dağılımdan üretilen V sayısı yerine X yazılabilir. Buna

göre algoritma aşağıdaki şekli alır. 1) Birbirinden bağımsız olarak X ~ g ve )1,0(~ UU üretilir.

2) Eğer )(

)(

Xag

XfU ≤ ise X kabul edilir aksi halde red edilir.

Kolayca sayı üretilebilen yardımcı dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu olan g

fonksiyonu f fonksiyonuna ne kadar çok benziyorsa ve grafikleri birbirine yakınsa

simülasyon zamanı kısadır, red olunmalar o kadar az olur. g fonksiyonu seçildikten sonra a

sabiti Xx D∀ ∈ için )(

)(

xg

xfa ≥ olacak şekilde ve

)(

)(

xag

xf değerleri bire yakın olacak şekilde

seçilmelidir. Bu şartlar altında g seçildikten sonra a sabiti,

( )

sup( )

Xx D

f xa

g x∈=

olarak seçilebilir.

Yukarıdaki örnekte sayı üretilmek istenen dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu

<−

=d.y. , 0

2<0 , )2()(

2 xxxxf π

ve yardımcı dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu

g xx

( ),

=<

12 2 0 <

0 , d.y.

dır.

)2(2

2)(

)(xx

xg

xf −=π

olmak üzere, ( ) 4 (1) 4

sup max (2 ) ( ) (1)XX

x Dx D

f x fa x x

g x gπ π∈∈= = − = =

olarak seçilirse algoritmadaki )()( XfXUag ≤ eşitsizliği )2( XXU −≤ biçiminde olur.

45

Algoritma: 1) Birbirinden bağımsız olarak )2,0(~ UX ve )1,0(~ UU üretilir.

2) Eğer )2( XXU −≤ ise X kabul edilir aksi halde red edilir.

BASIC deyimleri:

X=2*RND

IF RND < SQR(X*(2-X)) THEN PRINT X.

olmak üzere, bu algoritma (program) ile bir önceki,

X=2*RND

IF RND < (2/3.1415)*SQR(X*(2-X)) THEN PRINT X

algoritmasını (programını) hız açısından karşılaştırmak amacıyla her ikisi ile üretilen 100’er

tane X sayısı için döngü sayılarını gözleyiniz.

Örnek: Olasılık yoğunluk fonksiyonu

≥=

−

.. , 0

0 ,)(2

21

2

yd

xexfx

π

olan dağılımdan sayı üretilmek istensin. Dikkat edilirse bu dağılım standart normal dağılımın

sağ yarısıdır. Bu dağılıma sahip rasgele değişkeni X ile gösterelim.

Kabul-red yöntemine göre bu dağılımdan sayı üretmek için olasılık yoğunluk

fonksiyonu bu dağılımınkine benzeyen ve kolayca sayı üretilebilen bir dağılım olarak 1=θ

parametreli üstel dağılım seçilsin. Buna göre, g x e xx( ) = ≥− , 0

dır.

)2(2

0)()(

0

221

maxmaxxx

xxgxf

xea

−−

≥≥== π

olmak üzere x = 1 değerinde )()(

xgxf maksimum değerine ulaşır. Bu durumda 2

12

)1()1( ea g

fπ==

değerini alır ve birbirinden bağımsız olarak üretilen X ~ g ve )1,0(~ UU sayıları için

)(.)(xga

xfU ≤ yani 2

21 )1( −−≤ x

eU ise X kabul edilir. Aşağıdaki program ile bu dağılımdan sayı

üretilebilir.

X= -LOG(RND)

IF RND < EXP (-(X-1)^2) THEN PRINT X

46

Bu dağılımdan üretilen sayılar kullanılarak standart normal dağılımdan da sayı

üretilebilir. Bu amaçla yazılan bilgisayar programı aşağıda verilmiştir.

X= -LOG(RND)

IF RND>EXP (-(X-1)^2) THEN GOTO 10

IF RND < 0.5 THEN PRINT X ELSE PRINT –X

10

En az 50 tane sayı üretiniz ve üretilen sayıların standart normal dağılımdan gelip gelmediğini

irdeleyiniz.

47

Örnek: Standart normal dağılımın bir d ( 0>d ) sayısının sağında kalan kısmından

(kuyruğundan) sayı üretme problemini ele alalım. Başka bir ifade ile olasılık yoğunluk

fonksiyonu

≥=

−

d.y. , 0

, )(2

21

dxcexfx

olan dağılımdan sayı üretilmek istensin (c sabiti f bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olacak

şekildedir). Kolayca sayı üretilebilecek yardımcı dağılım olarak ötelenmiş üstel dağılım, yani

olasılık yoğunluk fonksiyonu

≥

=+−

d.y. , 0

, )(

dxexg

dx

olan dağılım seçilmiş olsun.

e)(

)( 2

2

xx

dcexg

xf +−−=

olmak üzere, xx +−2

2

ifadesi 1<x için artan 1>x için azalan olduğundan, 10 ≤< d , için

2/1

)1(

)1(

)(

)(max ece

g

f

xg

xfa d

dx

−

≥===

ve 1>d için

2

2

)(

)(

)(

)(max

d

dxce

dg

df

xg

xfa

−

≥===

dır. Buna göre algoritmada yer alan )()( XfXUag ≤

eşitsizliği, 10 ≤< d durumunda

2)1(

2

1−−

≤X

eU

ve 1>d durumunda

22 )1(

2

1)1(

2

1−−−

≤Xd

eeU

biçiminde olacaktır. Đlgili bilgisayar programı BASIC dilinde aşağıdaki gibi olabilir.

INPUT D

X=-LOG(RND)+D

A=EXP(-0.5*(X-1)^2

IF D<=1 AND RND<A THEN PRINT X

IF D>1 AND RND<A*EXP(0.5*(D-1)^2) THEN PRINT X

48

Örnek: >> z=randn(100,1);

>> [z(1:20,1) z(21:40,1) z(41:60,1) z(61:80,1) z(81:100,1)]

0.7160 -0.1514 1.3148 0.6588 -0.2577 1.5986 0.3158 0.6653 -1.5501 -1.3718 -2.0647 1.3437 -0.2751 -3.0291 -1.2677 -0.7436 -2.2378 -0.0230 0.5406 -0.8949 0.1762 1.2929 -0.9080 -1.0090 0.5891 0.5278 -0.3785 -1.0437 0.9080 1.8426 -0.5532 0.0025 0.3735 1.5823 1.3480 0.2983 0.8846 0.9015 -0.9791 -0.4913 -1.2266 0.5825 1.2785 1.0079 -2.1776 -0.1897 -1.6142 -0.1285 0.1585 0.2370 -0.3017 -1.5037 0.6128 -0.5869 -0.7354 0.9570 0.5736 1.9565 1.5741 -1.7794 -0.5334 -0.9105 2.2663 -0.5166 0.4480 -0.9011 -1.6313 -0.3740 1.2278 0.5812 -0.8926 -0.3591 2.2380 1.5839 0.8566 0.2787 -0.3976 -0.1596 -2.0890 -0.2663 -0.7458 -1.1613 -0.7033 2.9495 -0.4175 1.6035 -1.1098 0.5635 1.3561 -0.2058 0.5743 0.2907 -0.0503 1.0501 -0.1743 0.3207 -1.9102 1.1636 -0.7672 0.2176

>> hist(z)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 30

5

10

15

20

25

Random Number Generators betarnd Random numbers from beta distribution binornd Random numbers from binomial distribution chi2rnd Random numbers from chi-square distribution copularnd Random numbers from copula evrnd Random numbers from extreme value distribution exprnd Random numbers from exponential distribution frnd Random numbers from F distribution gamrnd Random numbers from gamma distribution geornd Random numbers from geometric distribution gevrnd Random numbers from generalized extreme value distribution gprnd Random numbers from generalized Pareto distribution hygernd Random numbers from hypergeometric distribution iwishrnd Random numbers from inverse Wishart distribution

49

johnsrnd Random numbers from Johnson system of distributions lhsdesign Generate latin hypercube sample lhsnorm Generate latin hypercube sample with normal distribution lognrnd Random numbers from lognormal distribution mhsample Markov chain Metropolis-Hastings sampler mnrnd Random numbers from multinomial distribution mvnrnd Random numbers from multivariate normal distribution mvtrnd Random numbers from multivariate t distribution nbinrnd Random numbers from negative binomial distribution ncfrnd Random numbers from noncentral F distribution nctrnd Random numbers from noncentral t distribution ncx2rnd Random numbers from noncentral chi-square distribution normrnd Random numbers from normal distribution pearsrnd Random numbers from Pearson system of distributions poissrnd Random numbers from Poisson distribution randg Gamma distributed random numbers and arrays (unit scale) random Random numbers from specified distribution randsample Random sample, with or without replacement randtool Interactive random number generation raylrnd Random numbers from Rayleigh distribution slicesample Markov chain slice sampler trnd Random numbers from Student's t distribution unidrnd Random numbers from discrete uniform distribution unifrnd Random numbers from continuous uniform distribution wblrnd Random numbers from Weibull distribution wishrnd Random numbers from Wishart distribution >> hist(randn(100,1))

-3 -2 -1 0 1 2 30

10

20

30

>> hist(trnd(10,100,1))

-4 -2 0 2 4 60

10

20

30

50


Bir Boyutlu Kesikli Da ğılımlar

Bazı Kesikli Dağılımlar

Düzgün Dağılım o.f.

( )f x = 1 2

1, , ,..., nx a a a

n=

m.ç.f. ( )XM t =

1

,an

i

i tet

nR

=

∈∑

ortalama ( )E X = 1

n

ii

aa

n==∑

varyans

( )Var X =( )2

1

n

ii

a a

n=

−∑

parametre 1 2, ,..., , 1,2,...na a a nR∈ ∈

Bernoulli Dağılımı

o.f. ( )f x = ( )11 , =0,1

xxp p x−−

( )1,b p m.ç.f. ( )XM t = 1 , tp pe t− + ∈R

ortalama ( )E X = p

varyans ( )Var X = ( )1p p−

parametre (0,1) , n 1,2,...∈ ∈p

Binom ( ),b n p

o.f. ( )f x = ( )1 , =0,1,...,n

n xxnp p x

x−

−

m.ç.f. ( )XM t = ( )1 , ntp pe t− + ∈ R

ortalama ( )E X = np varyans ( )Var X = ( )1np p−

parametre (0,1) , 1,2,...p n∈ ∈

Hipergeometrik

o.f.

m.ç.f.

ortalama

varyans

parametre

( )f x =a N a N

x n x n

− −

açık biçimi yok

( )E X = an

N×

( )Var X = (1 )1

N n a an

N N N

− × × × −−

, , 1,2,... , ,N a n a N n N∈ < <

51

Poisson

o.f. ( )f x = , 0,1,2,...

!

xex

x

λλ−

=

m.ç.f. ( )XM t =

1,

tee t

λ

−∈R

ortalama ( )E X = λ varyans ( )Var X = λ parametre (0, )λ ∈ ∞

Geometrik o.f.

( )f x = ( ) 11 , =1,2,...

−− xp p x

m.ç.f. ( )XM t = ( ) , ln(1 )

1 1

t

t

pet p

p e< − −

− −

ortalama ( )E X = 1

p

varyans ( )Var X =

2

1 p

p

−

parametre (0,1)∈p

Negatif Binom o.f. ( )f x = ( )1

1 , , 1,...1

k rkxp p x k k

k−−

− = + −

m.ç.f. ( )XM t =

( ), ln(1 )

1 1

kt

t

pet p

p e

< − − − −

ortalama ( )E X = k

p

varyans ( )Var X =

2

(1 )k p

p

−

parametre (0,1) , 1,2,...p k∈ ∈ Probability Density Functions binopdf Binomial probability density function geopdf Geometric probability density function hygepdf Hypergeometric probability density function nbinpdf Negative binomial probability density function poisspdf Poisson probability density function unidpdf Discrete uniform probability density function Cumulative Distribution Functions binocdf Binomial cumulative distribution function ecdf Empirical cumulative distribution function geocdf Geometric cumulative distribution function hygecdf Hypergeometric cumulative distribution function poisscdf Poisson cumulative distribution function unidcdf Discrete uniform cumulative distribution function Inverse Cumulative Distribution Functions binoinv Inverse of binomial cumulative distribution function geoinv Inverse of geometric cumulative distribution function hygeinv Inverse of hypergeometric cumulative distribution function nbininv Inverse of negative binomial cumulative distribution function poissinv Inverse of Poisson cumulative distribution function unidinv Inverse of discrete uniform cumulative distribution function

52

1

( 3, )2

X b n p= =∼ olsun. Bu dağılım ile ilgili aşağıdaki Matlab çıktılarını gözden geçiriniz.

>>x=0:3 x = 0 1 2 3 >> binopdf(x,3,1/2) ans = 0.125 0.375 0.375 0.125 >> plot(x,binopdf(x,3,1/2),'.')

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

>> binocdf(x,3,1/2) ans = 0.125 0.5 0.875 1 >> stairs(x, binocdf(x,3,1/2))

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

53

1

( 10, )2

X b n p= =∼

>> x=0:10 x = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >> binopdf(x,10,1/2) ans = 0.0010 0.0098 0.0439 0.1172 0.2051 0.2461 0.2051 0.1172 0.0439 0.0098 0.0010 >> plot(x,binopdf(x,10,1/2),'.')

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

>> stairs(x,binocdf(x,10,1/2))

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

54

50 tane top arasında 40 tanesi beyaz ve 10 tanesi siyah olsun. Birini, rasgele, bilgisayarda sayı üreterek seçmek istersek QBASIC programlama dilinde, IF RND<0.80 THEN PRINT “beyaz” ELSE PRINT “siyah” deyimini kullanabiliriz. Đadeli olarak 10 çekiliş yapmak istersek,

FOR i=1 TO 1 IF RND<0.80 THEN PRINT “beyaz” ELSE PRINT “siyah” NEXT i

deriz. 10 çekiliş yapınız.

Đadesiz olarak 10 çekilişi nasıl yaptırırız? Bilgisayar programı yazınız ve çalıştırınız.

55

Bir torbada 4 beyaz ve 1 siyah top bulunsun. Đadeli olarak siyah top gelinceye kadar toplar çekilmektedir. Bu çekilişleri yapan ve çekiliş sayısını (X) çıkan bir bilgisayar programı yazınız. Bu programı 50 defa işletiniz ve X ‘in aldığı değerleri kaydedip çubuk diyagramı çiziniz. X ‘in olasılık tablosu ile karşılaştırın.

56

Bir torbada 4 beyaz ve 1 siyah top bulunsun. Đadeli olarak çekilişler yapan ve 5 ‘inci defa siyah top geldiğinde durup, çekiliş sayısını (X) çıkan bir bilgisayar programı yazınız. Bu programı 50 defa işletiniz ve X ‘in aldığı değerleri kaydedip çubuk diyagramı çiziniz. X ‘in olasılık tablosu ile karşılaştırın.

57

Numaralanmış 3 tane tenis topu, aynı şekilde 1,2,3 olarak numaralanmış 3 kutuya rasgele atılsın. * Örnek uzayı yazınız. * Top numarası ile kutu numarasının aynı olmaması olasılığı nedir?

* Top numarası ile kutu numarası aynı olduğunda, o kutuda eşleme vardır denir. X rasgele değişkeni eşleme sayısı olsun. X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonunu bulunuz ve grafiğini çiziniz. X ‘in beklenen değerini ve varyansını bulunuz.

* Bu deneyde (oyunda) top numarası ile kutu numarası aynı olursa, yani eşleme olursa, her eşleme için 1 TL kazanılsın. Kazancın olasılık dağılımını bulunuz. Oyunun dürüst olması için kaç TL’ye oynatılmalıdır.

58

Top ve kutu sayısı 5 olsun. X rasgele değişkeni eşleme sayısı olsun. X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonunu bulunuz. X ‘in beklenen değeri ve varyansı nedir?

59

Top ve kutu sayısı 100 olsun. X rasgele değişkeni eşleme sayısı olsun. X ‘in beklenen değeri ve varyansı nedir?

60


Poisson Dağılımı ve Uygulamaları

Poisson Dağılımı, sürekli (zaman, alan, hacim gibi) ortamlarda kesikli sonuçlar veren ve aşağıdaki a),b),c) şıklarında belirtilen özelliklere sahip deneylerin modellenmesinde kullanılan bir dağılımdır.

Poisson Dağılımı ile ilgili açıklamaları ortamın zaman olması halinde yapalım. ](0,t

zaman aralığında meydana gelen sonuçların (bir olayın gerçekleşme) sayısı X olsun. Sonuçları ortaya çıkaran deney ile ilgili aşağıdaki özellikler geçerli olsun:

a) Küçük t∆ uzunluklu bir zaman aralığında bir başarı elde etme olasılığı ∆t ile

orantılıdır. b) Küçük ∆t uzunluklu bir zaman aralığında iki veya daha çok başarı elde etme olasılığı

yaklaşık olarak sıfırdır. c) ∆t uzunluklu ayrık aralıklar için elde edilen sonuçlar bağımsız birer Bernoulli

Denemesidir. ](0,t zaman aralığında meydana gelen sonuç sayısı X, kesikli bir rasgele değişken

olmak üzere, X ‘in aldığı değerler x = 0,1,2,… dır. X ‘in olasılık fonksiyonunu bulmaya

çalışalım. ](0,t aralığını yeterince küçük t∆ uzunluklu, t

nt

=∆

tane alt aralığa

parçalayalım. Belli bir parçada 0 veya 1 tane sonuç ortaya çıkabilir diyebiliriz. t∆ zaman aralığında bir sonuç çıkması veya çıkmaması bir Bernoulli Denemesi olup, sonucun ortaya çıkması olasılığı ∆t ile orantılıdır. Bu olasılık, c bir sabit olmak üzere, p c t= ∆ olsun. ](0,t

aralığında n tane t∆ uzunluklu ayrık aralık bulunmakta ve bu aralıklarda bağımsız sonuçlar veren p c t= ∆ olasılıklı Bernoulli Denemeleri gerçekleşmektedir. O zaman ](0,t aralığında

elde edilen sonuçların sayısı ( , )t

b n p c tt

= = ∆∆

Binom Dağılımına sahip olacaktır. 0t∆ →

için t

nt

= → ∞∆

, t

np c t ctt

λ= ∆ = =∆

olmak üzere, ( , )t

b n p c tt

= = ∆∆

Binom

Dağılımındaki olasılıkların limitleri Poisson Dağılımındaki olasılıkları verecektir. Başka bir ifade ile, ](0,t zaman aralığında meydana gelen sonuç sayısı olan ve Poisson dağılımına

sahip olan X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu,

0lim

lim

/( ) ( ) ( ) (1 )

( ) (1 )

t

n

t xx t

x n x

t tf x P X x c t c t

x

nx n n

λ λ

∆ →

→∞

−∆

−

∆= = = ∆ − ∆

= −

61

( )

!lim . . 1 . 1

! !

x nx

xn

n

x n x n n n

λ λ λ−

→∞

= − − −

( )1 ...( ( 1))

lim 1 . 1!

x nx

xn

n n n x

x n n n

λ λ λ−

→∞

− − − = − −

!

xe

x

λλ−

= , x = 0,1,2,3,...

dır.

( )1 ( 2)...( ( 1)) 1 2 11 1 ... 1 1n

x

n n n n x n x

n n n n n→∞− − − − − = − − − →

1 1x

n

n

λ −→∞ − →

, 1

nn e

nλλ →∞ − − →

X Poisson Dağılımına sahip bir rasgele değişken olduğunda,

!( )

xex

f xλλ−

= , x = 0,1,2,3,...

ve

( ) ( ) ( )tX txX

x

M t E e e f x= =∑ ( 1)teeλ −= , t R∈

olmak üzere,

( 1)

00

( )( )

tt eX

tt

dM tE X e e

dtλλ λ−

==

= = =

( )2

22 ( 1) ( 1) 22

00

( )( )

t tt e t eX

tt

d M tE X e e e e

dtλ λλ λ λ λ− −

==

= = + = +

( )22 2 2( ) ( )Var X E X EX λ λ λ λ= − = + − =

dır. Poisson Dağılımının parametresi olan ( (0, ))λ λ ∈ ∞ sayısı aynı zamanda dağılımın beklenen değeri (ortalaması) ve varyansıdır. λ parametresinin bazı değerleri için Poisson dağılımının olasılık fonksiyonunun grafikleri aşağıdaki gibidir.

1λ =

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.1

0.2

0.3

0.4

62

2.5λ =

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

5λ =

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.05

0.1

0.15

0.2

10λ =

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

20λ =

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

63

Şehirlerarası bir petrol istasyonuna bir dakikada ortalama bir araba gelmektedir. Bir dakikada gelen araba sayısı λ=1 olan Poisson Dağılımına sahip bir rasgele değişken olarak düşünülsün. λ=1 olan Poisson Dağılımının olasılık tablosunu hazırlayınız.

64

Bir dakikada gelen araba sayısı λ=1 olan Poisson Dağılımına sahip bir rasgele

değişken olmak üzere, bir saniyede gelen araba sayısı 1

60λ= olan Poisson dağılımına sahip

bir rasgele değişken olarak düşünülebilir. Bir saniyede gelen araba sayısının iki veya daha çok olması olasılığı 0.00013736 olup (hesaplayın), yaklaşık olarak sıfır alınabilir. Ayrıca bir saniyelik bir zaman aralığında istasyona bir araba gelmesi olasılığı,

1160

1

60

1( ) 1601! 60

ep e

−

−= = = 0.016391

dır. Bir dakikalık bir zaman aralığının her saniyesi için p=0.016391 başarı olasılıklı bir Bernoulli Denemesi yapıp istasyona gelen araba sayısını sayın. Bunu 100 defa tekrarlayın (bilgisayarda). Gözlediğiniz bu 100 değer için çubuk diyagramı hazırlayın ve yukarıdaki olasılık tablosu ile karşılaştırın.

65

* Bir dakikalık bir zaman aralığının her saniyesi için p=0.016391 başarı olasılıklı bir Bernoulli Denemesi yapıp istasyona gelen arabaların geliş anlarını kaydedin. * On dakikalık bir zaman aralığının her saniyesi için p=0.016391 başarı olasılıklı bir Bernoulli Denemesi yapıp istasyona gelen arabaların geliş anlarını kaydedin. * Bir saatlik bir zaman aralığının her saniyesi için p=0.016391 başarı olasılıklı bir Bernoulli Denemesi yapıp istasyona gelen arabaların geliş anlarını kaydedin.

66

** Bir saatlik bir zaman aralığında gelen arabaların gelişleri arasında geçen zamanları gözleyin. ** Bir saatlik bir zaman aralığında gelen arabaların gelişleri arasında geçen zamanları gözleyip histogram çizin.

67


Bir Boyutlu Sürekli Dağılımlar Düzgün Dağılım

( )1 2 1 2 1 2, , , ,X U θ θ θ θ θ θ∈Θ = <R∼

( ) ( ),

1( )

a bf x I x

b a=

−

( )2

a bE X

+= , 2( )

( )12

b aVar X

−= , ( ) ( )( ) , bt atXM t e e b a t= − − ∈R

( )0,1X U∼

-1 0 1 2-2

0

2

( ) ( )0,1

1 , 0 1( )

0 , . .

xf x I x

d y

< <= =

1 1

( ) , ( ) , ( ) 12 12

tXE X Var X M t e= = = −

Normal Dağılım

( )2 2 2 2, , , (0, ) , ( , ) ( , )X N µ σ µ σ µ σ∈ ∈ ∞ ∈Θ = × ∞ ⊂R R 0 R∼

2

2

121

( ; , ) ,2

x

f x e xµ

σµ σπσ

−−= ∈R

( )E X µ= , 2( )Var X σ= , 2 2

2( ) , tX

t t

M t eµ σ−

= ∈R

( )0,1Z N∼

-4 -2 0 2 40

0.1

0.2

0.3

0.4

2

21( ) ,

2

z

f z e zπ

−= ∈R

2

2( ) 0 , ( ) 1 , ( )t

ZE Z Var X M t e= = =

68

Üstel Dağılım

( ) , (0, )X Üstelθ θ ∈Θ = ∞ ⊂ R∼

-2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

(0, )

1( ; )

x

f x e Iθθθ ∞

−=

( )E X θ= , 2( )Var X θ= , 1

( ) , t1XM t

tθ= ∈

−R

Ki-kare Dağılımı

2( ) , 1,2,3,...rX rχ ∈∼

0 10 200

0.1

0.2

( ) ( ) ( )2 1 20,2

1( ; )

2 2r x

rf x r x e I x

r− −

∞=Γ

( )E X r= , ( ) 2Var X r= , ( ) 2( ) 1 2 , t<1 2

r

XM t t−= −

Gamma Dağılımı

( ) 2, , , (0, ) , ( , )X α β α β α βΓ ∈ ∞ ∈Θ×Θ ⊂ R∼

0 5 100

0.2

0.4

( ) ( ) ( )10,

1( ; , ) xf x x e I xα β

αα βα β

− −∞=

Γ

( )E X αβ= , 2( )Var X αβ= , ( ) 1( ) 1 , t<XM t tαβ β− −= −

69

Beta Dağılımı

( ) 2, , , (0, ) , ( , )X B α β α β α β∈ ∞ ∈Θ×Θ ⊂ R∼

0 0.5 10

2

4

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )11

0,1( ; , ) 1f x x x I xβαα β

α βα β

−−Γ += −

Γ Γ

Moment Çıkaran Fonksiyonu’nun açık biçimi yok.

( )E Xα

α β=

+ ,

( ) ( )2( )1

Var Xαβ

α β α β=

+ + +

Cauchy Dağılımı

( ) 2, , , (0, ) , ( , ) ( , )X C µ σ µ σ µ σ∈ ∈ ∞ ∈Θ = × ∞ ⊂R R 0 R∼

121

( ; , ) 1 ,x

f x xµµ σ

πσ σ

− − = + ∈

R

Moment Çıkaran Fonksiyonu yok. Momentleri yok.( ) ,X

it tt e t

µ σϕ −= ∈R

( )0,1X C∼

-5 0 50

0.5

1

1.5

2

1( ) ,

1f x x

x= ∈

+R

t-Dağılımı

( ) , 1,2,3,...X tυ υ ∈∼

-5 0 50

0.2

0.4

( )

( )

( )1 221 2( ; 1 ,

2)

xf x x

υυυυπ υ

υ− +Γ + + ∈ Γ

= R


( ) 0E X = , ( ) , ( 2)2

Var Xυ υ

υ= >

−

70

F Dağılımı

, , , 1,2,3,...n mX F n m∈∼

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

( )

( ) ( ) ( )2 2 2 1

0,

2( ; , ) ( ; , )

2

n m nn m n m xf x n m f x n m I x

n nπ

−

∞

Γ + = =Γ


( ) ( )( ) 2 , m>2E X m m= − , ( )

( ) ( )

2

2

2 2( )

2 4

m n mVar X

n m m

+ −=

− − , ( )4m>

Log-Normal Dağılım

( )2 2 2 2, , , (0, ) , ( , ) ( , )X LN µ σ µ σ µ σ∈ ∈ ∞ ∈Θ = × ∞ ⊂R R 0 R∼

0 10 200

0.05

0.1

( )( ) ( )2 10,

2 2log 21( ; , )

2

xf x x e I x

µ σµ σπσ

−∞

− −=

Moment Çıkaran Fonksiyonu yok.( )E X µ= , 2( )Var X σ=

Weibull Dağılımı

( ) 2, , , (0, ) , ( , )X W α θ α θ α θ∈ ∞ ∈Θ×Θ ⊂ R∼

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

( ) ( )0,1( ; , )

x

f x x e I x

αα θαα θ

θ ∞

−−=


( )1 1( ) 1E X αθ α −= Γ +

( ) ( ) 22 1 1( ) 2 1 1Var X αθ α α− − = Γ + − Γ +

71

Probability Density Functions betapdf Beta probability density function chi2pdf Chi-square probability density function exppdf Exponential probability density function fpdf F probability density function gampdf Gamma probability density function gppdf Generalized Pareto probability density function lognpdf Lognormal probability density function normpdf Normal probability density function pdf Probability density function for specified distribution raylpdf Rayleigh probability density function tpdf Student's t probability density function unifpdf Continuous uniform probability density function wblpdf Weibull probability density function Cumulative Distribution Functions betacdf Beta cumulative distribution function cdf Cumulative distribution function for specified distribution chi2cdf Chi-square cumulative distribution function expcdf Exponential cumulative distribution function fcdf F cumulative distribution function gamcdf Gamma cumulative distribution function gpcdf Generalized Pareto cumulative distribution function logncdf Lognormal cumulative distribution function normcdf Normal cumulative distribution function raylcdf Rayleigh cumulative distribution function tcdf Student's t cumulative distribution function unifcdf Continuous uniform cumulative distribution function wblcdf Weibull cumulative distribution function Inverse Cumulative Distribution Functions betainv Inverse of beta cumulative distribution function chi2inv Inverse of chi-square cumulative distribution function finv Inverse of F cumulative distribution function gaminv Inverse of gamma cumulative distribution function gpinv Inverse of generalized Pareto cumulative distribution function icdf Inverse cumulative distribution function for specified distribution logninv Inverse of lognormal cumulative distribution function norminv Inverse of normal cumulative distribution function raylinv Inverse of Rayleigh cumulative distribution function tinv Inverse of Student's t cumulative distribution function unifinv Inverse of continuous uniform cumulative distribution function wblinv Inverse of Weibull cumulative distribution function >> x=-4:.1:4; >> plot(x,normpdf(x))

-4 -2 0 2 40

0.1

0.2

0.3

0.4

>> plot(x,normcdf(x))

-4 -2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

72

QBASIC ’de WINDOW (-4,0.5)-(-0.05,4) LINE (-4,0)-(4,0) LINE (0,-0.05)-(0,0.5) FOR z=-4 TO 4 STEP 0.001 PLOT(z , EXP(-z^2/2)/SQR(2*3,14))) NEXT z Matlab ‘da >> x=-4:.001:4; >> plot(x,normpdf(x,0,1),'.') QBASIC ’de T = 0 FOR z= 0 TO 1 STEP 0.001 T = T + 0.001* EXP(-z^2/2)/SQR(2*3,14)) NEXT z PRINT z,T Matlab ‘da >> normcdf(1,0,1)- normcdf(0,0,1) programlarını işletiniz.

73

Tablodaki dağılımların olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonlarının grafiklerini parametrelerin farklı değerlerinde çizdiriniz ve alacağı şekilleri gözden geçiriniz. Bu dağılımlardan sayı üretip histogram çizdiriniz ve olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği ile karşılaştırınız.

75


Üstel ve Gamma Dağılımı Güvenilirlik Analizi

Üstel Dağılım

Bir X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

( )1

, 0

0 ,

x

e xf x

dy

θ

θ−

>=

olduğunda X rasgele değişkenine üstel dağılıma sahiptir denir. Üstel dağılımın parametresi θ ( )( )0,θ ∈Θ = ∞ dır.

Üstel dağılıma sahip bir X rasgele değişkeni için,

( )0

1

0 , 0 0 , 0

, 0 1 , 0

x xx

x xF x

e dx x e xθ θ

θ

− −

< <= =

≥ − ≥∫

( ) ( ) 1

0

1 1(1 ) ,

xtX tx

XM t E e e e dx t tθ θθ θ

∞− −= = = − <∫

( ) ( ) ( )( ) ( ) 2

0 01 1Xt t

dM tE X t

dtθ θ θ−

= == = − − − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

32 20 02

2 1 2Xt t

d M tE X t

dtθ θ θ θ−

= == = − − − =

( ) 2 2 2 2 2( ) ( ( )) 2Var X E X E X θ θ θ= − = − =

dır.

F(x)

1

x x

f(x)

• 1/θ

76

(0,1)U U∼ ve ( )0,θ ∈ ∞ için lnX Uθ=− dönüşümü ile verilen X rasgele değişkeni θ

parametreli üstel dağılıma sahiptir. lnX Uθ=− dönüşümünü simülasyonlarda üstel dağılımdan sayı üretmek için kullanabiliriz. >>-5*log(rand(20,5)) ans= 0.25578 7.3237 2.4975 3.6079 0.57537 1.3584 3.9212 19.949 0.98366 4.0518 8.2142 1.912 5.9741 3.0655 9.4567 1.7984 4.8594 0.75406 0.79111 2.6081

2.4272 1.1663 0.40708 1.5176 8.6787 4.5106 0.33353 0.43378 4.4547 0.56221 3.5004 0.52808 0.98233 2.1932 1.0046 2.0758 5.3652 6.194 5.3766 3.136

14.246 5.2083 1.0341 23.096 9.8704 7.9784 8.0793 2.5226 6.5063 8.077 1.5934 5.8674 0.8807 2.8276 4.9657 1.7638 3.0205 4.0498 1.8223 2.3796

20.908 1.4599 4.0473 0.35313 3.818 4.3536 0.83488 3.2204 7.9814 1.9864 1.1482 0.2206 3.2448 0.63837 8.7735 0.10229 6.5199 6.8851 0.66343 1.5237

0.88297 19.651 1.9189 4.8448 0.92082 3.4377 1.7162 4.2328 5.9435 8.3129 9.9564 22.217 0.56081 8.0687 6.0412 2.0667 6.2867 3.7834 13.684 0.058693

Bu sayılar için histogram,

0 5 10 15 20 250

10

20

30

40

50

dır. Bu sayılar bir x vektöründe toplandıktan sonra,

>>mean(x) = 4.5786 >>var(x) = 23.84 >> sqrt(ans) = 4.8827

elde edilmektedir. 5θ= olan üstel dağılıma sahip bir X rasgele değişkeni için ( ) 5E X = 2 ( ) 25Var Xσ = = 5σ= dır.

77

Gamma ve Ki-kare Dağılımları Hatırlatma:

1

0

( ) ,xx e dxαα α

∞− −Γ = ∈∫ R

fonksiyonuna Gamma fonksiyonu denir. Bu fonksiyon için,

1 1 2

00 00

( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1)x x x

xu dv

x e dx x e x e dxα α αα α α α

∞ ∞∞− − − − − −

=Γ = = − + − = − Γ −∫ ∫

0

(1) 1xe dx∞

−Γ = =∫

( ) ( 1)! ,α α α +Γ = − ∈Z ve

1

2

0

1( )2

xx e dx π

∞− −Γ = =∫ (matematik derslerinde göreceksiniz)

dır. Örneğin,

2 1

0 0

(2) (2 1)! 1x xxe dx x e dx∞ ∞

− − −= =Γ = − =∫ ∫

5 6 1

0 0

(6) (6 1)! 5! 120x xx e dx x e dx∞ ∞

− − −= =Γ = − = =∫ ∫

5

2

0

7 5 5 5 3 3 5 3 1 1 5 3 1 15( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8

xx e dxπ

π

∞− =Γ = Γ = × Γ = × × Γ = × × × =∫

dır. Matlab’da gamma fonksiyonu:

>> gamma(2) ans = 1

>> gamma(6) ans = 120

>> gamma(7/2) ans = 3.3234

>> gamma(1/2) ans = 1.7725

>> sqrt(pi) ans = 1.7725

>> gamma(2.2) ans = 1.1018

>> gamma(-2.2) ans = -2.205

>> alfa=-5:0.1:5; >> plot(alfa,gamma(alfa)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

78

Tanım: Bir X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

1 /

, 0( ) ( )

0 , .

xx ex

f x

d y

α β

αβ α

− − >= Γ

, 1

, (0, )α θ ββ

= ∈ ∞

biçiminde olduğunda, X ‘e Gamma Dağılımına sahiptir denir ve ( , )X α βΓ∼ biçiminde gösterilir. ( 1, )α βΓ = dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu,

/

, 0( )

0 , .

xex

f x

d y

β

β

− >=

olmak üzere, bu β parametreli üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonudur. ( 1, )α βΓ = dağılımı β parametreli üstel dağılımdır. >> x=0:0.1:15; >> plot(x,gampdf(x,1,2))

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Gamma dağılımının parametreleri , (0, )α β ∈ ∞ olmak üzere, bu parametrelere bağlı olarak olasılık yoğunluk fonksiyonu değişik biçimler almaktadır. >> plot(x,gampdf(x,3,.5)) >> hold on >> plot(x,gampdf(x,2,.5),'r') >> hold on >> plot(x,gampdf(x,0.5,3),'g') >> hold on >> plot(x,gampdf(x,5,.5)) >> hold on >> plot(x,gampdf(x,2,2),'r') >> hold on >> plot(x,gampdf(x,0.5,10),'g') >> plot(x,gampdf(x,10,0.5),'k')

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

79

>> plot(x,gampdf(x,5,1)) >> figure >> plot(x,gamcdf(x,5,1))

0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gamma dağılımına sahip bir ( , )X α βΓ∼ rasgele değişkeni için,

( ) ( )11

, 0

0 ,

x

x e xf x

dy

α βαα β

−− >Γ=

( ) ( )tXXM t E e= ( ) ( )1

0

1 11 ,

xtxe x e dx t t

αα βα β

α β β

∞ − −−= = − <Γ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0 01Xt t

dM tE X t

dt

αα β β αβ− −= == = − − − =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2

2 22 2 20 02

1 1Xt t

d M tE X t

dt

αα α β β α α β− −= == = − − + − − = −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 2 2 2Var X E X E X α α β αβ αβ= − = − − =

dır.

80

Güvenilirlik Analizi

Belli bir işlevi olan bir sistemin veya bir bileşenin ömrü sonludur. Ömür, örneğin elektronik parçalarda dayanma süresi, canlılarda yaşama süresi olmak üzere, zaman olarak ölçüldüğünde sürekli bir rasgele değişken olarak ele alınabilir.

Dayanma (yaşam) süresi, başka bir ifade ile bozuluncaya (ölünceye) kadar geçen zaman T ile gösterilsin.

( ) ( ) , t 0 R t P T t= > ≥

fonksiyonuna güvenilirlik fonksiyonu (reliability function) denir. Bir sistemin belli bir t anındaki güvenilirliği ( ( )R t ) bu sistemin t anında görev yapabilir olmasının olasılığıdır,

başka bir ifade ile t anına kadar bozulmamış olmasının olasılığıdır veya bozulmanın t anından sonra olması olasılığıdır.

0

( / )h(t)= lim , t 0

t

P t T t t T t

t→

< ≤ + > ≥

fonksiyonuna bozulma oranı (ölüm oranı, risk, hazard) fonksiyonu denir.

h(t) t ( / )P t T t t T t≈ < ≤ + >

olmak üzere, h(t) t değeri, sistemin t anına kadar bozulmadığı bilindiğinde ( , ]t t t+ zaman

aralığında bozulması olasılığı olarak düşünülürse,

( / )

h(t)t

P t T t t T t< ≤ + >≈

olup, birim zamanda bozulma oranıdır.

, , , hf F R fonksiyonlarından birinin bilinmesi durumunda diğerleri elde edilebilir.

0

( )0

'( )( ) ( ) ( )( ) 1 ( ) ( )

( ) ( ) 1 ( )( )( )

t

th t dt

R tF t f t dt h tR t F t R t

F t F t R tf tdt R t e

f F R h− ∫

= =−= −

= −==

→ → →← ← ←∫

Dayanma süresi T üstel dağılıma sahip olduğunda,

1

, 0( )

0 , d.y.

t

e tf t

θ

θ−

>=

0 , 0

( )1- , 0

t

tF t

e tθ−

<= ≥

( ) , 0t

R t e tθ−

= ≥

1

( ) , 0h t tθ

= ≥

dır.

81

Güvenilirlik analizinde çok kullanılan dağılımlardan birisi de Weibull dağılımıdır. Bu dağılım için,

1 , t>0

( )0 , d.y.

tt ef t

αα βαβ − −=

0 , 0

( )1 , 0t

tF t

e tαβ−

<= − ≥

1

( ) , 0

( ) , 0

tR t e t

h t t t

αβ

ααβ

−

−

= ≥= ≥

dır. Dağılımın parametrelerine (, 0α β > ) bağlı olarak Weibull dağılımı ( , )W α β ile

gösterilir. (1, )W β dağılımı 1/ β parametreli üstel dağılımdır. (2, )W β dağılımına Rayleigh

dağılımı denir.

( 2, 2)W α β= = dağılımı için olasılık yoğunluk, dağılım, güvenilirlik ve bozulma

oranı fonksiyonlarının grafikleri aşağıdaki gibidir.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

10

20

( , )T W α β∼ olmak üzere,

11 1

( ) ( ) ( 1)E T α

β α= Γ +

2

2 1 2( ) ( ) ( 1)E T α

β α= Γ +

2

21 2 1( ) ( ) ( 1) ( ( 1))Var T α

β α α = Γ + − Γ +

dır.

82

Sistem Güvenilirliği

Bir sistemde, dayanma sürelerinin olasılık dağılımları bilinen bazı bileşenler (parçalar) görev yapsın. Bileşenlerin dayanma süreleri bağımsız olsun. Bileşenlerden bazıları bozulduğu zaman diğerlerinin dayanma süreleri üzerinde bir etkisi olmasın. Aşağıdaki sistemi göz önüne alalım.

S1

Sistem paralel görev yapan iki alt sistemden oluşmaktadır. Alt sistemlerin her biri seri görev yapan iki parçadan oluşmaktadır. iA olayı i numaralı ( 4,3,2,1=i ) parçanın t zaman

biriminden (yıldan) fazla dayanması olayı olsun. Sistemin en az t yıl (t yıldan fazla) dayanması olayının olasılığı,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4P A A A A P A A P A A P A A A A ∩ ∪ ∩ = ∩ + ∩ − ∩ ∩ ∩

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43214321 APAPAPAPAPAPAPAP −+=

dır. Parçalar için dayanma süresi )4,3,2,1( =iTi rasgele değişkeni ve güvenilirlik fonksiyonu

)()( tTPtR ii >= ile gösterilirse, sistemin güvenilirlik fonksiyonu,

)()()()()()()()()( 432143211 tRtRtRtRtRtRtRtRtRS −+=

olur. Parçaların aynı türden olduğu göz önüne alınırsa,

( ))(2)()( 21

211 tRtRtRS −= , 0>t

yazılır. Örneğin parçalar için dayanma süresi 10=θ yıl ortalama ile üstel dağılıma sahip olduğunda,

101011 10

1)()(

t

t

t

edtetTPtR−∞ −

∫ ==>=

ve

)2()( 10

2

10

2

1

tt

S eetR−−

−=

olmak üzere S1 sisteminin en az 10 yıl görev yapması olasılığı,

( ) 2551.02)10( 221 =−= −− eeRS

dır.

Sistemin dayanma süresi 1ST ile gösterilsin. 1ST ‘in dağılım fonksiyonu,

2 210 10

1 1( ) 1 ( ) 1 (2 ) , 0t t

S SF t R t e e t− −

= − = − − >

dır.

a1 a2

a3 a4

83

Sistemin ortalama dayanma süresi,

( )0

1 1 1 1

0 0

(1 ( )) ( ) ( )S S S SE T F x dx F x dx R t dt∞ ∞

−∞

= − − =∫ ∫ ∫

olmak üzere, parçaların dayanma süreleri 10=θ olan üstel dağılıma sahip olduğunda,

( ) 2 /10 2 /101

0

(2 ) 7.5t tSE T e e dt

∞− −= − =∫

elde edilir. (Burada sürekli bir X rasgele değişkeninin beklenen değeri için söz konusu olan

( ) ∫∫∫∞−

∞∞

∞−

−−==0

0

)())(1()( dxxFdxxFdxxxfXE

formülü kullanılmıştır).

Şimdi bu sistemlerin en az t yıl dayanması olasılığını yani güvenilirlik fonksiyonunun t deki değerini simülasyon yaparak elde etmeye çalışalım. Parçaların dayanma süreleri

1 2 3 4, , ,T T T T olmak üzere, bunların dağılımlarından sayı üreterek 1 2 3 4, , ,T T T T rasgele

değişkenlerin aldığı değerleri gözleyebiliriz. Sistemin dayanma süresi,

43211 ,min,,minmax TTTTTS =

olup, ilgili Matlab programı, n=10000

for i=1:n

T1=-10*log(rand(1));




TS1(i)=max(min(T1,T2),min(T3,T4));

end

RS1=sum(TS1>10)/n

ETS1=mean(TS1)

hist(TS1)

dır. Bu programı işletiniz ve sonuçları yorumlayınız.

84

Bileşenlerin dayanma sürelerinin olasılık dağılımlarına bağlı olarak sistemin dayanma süresinin olasılık dağılımı teorik (analitik) olarak elde edildiğinde simülasyona gerek kalmayabilir. Bazı durumlarda sistemlerin karmaşık yapıda olması veya bileşenlerin dayanma sürelerinin dağılımları ile ilgili fonksiyonların karmaşık olması nedeniyle sistemin dayanma süresi ile ilgili bilgilerin teorik olarak elde edilmesi mümkün olmamaktadır. Bu nedenle simülasyon sistem güvenilirliğinde çok yaygın olarak kullanılmaktadır. Simülasyon ile gözlenen dayanma süreleri için çizilen histogram dayanma süresinin dağılımının biçimi hakkında bilgi vermektedir.

85

Aşağıdaki sistemi göz önüne alalım.

S2

Bu sisteminin eşdeğeri olan sistem,

olmak üzere güvenilirlik fonksiyonu,

2 1 2 1 5 4 3 4 3 5 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )SR t R t R t R t R t R t R t R t R t R t R t= + + +

1 2 5 4 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R t R t R t R t R t R t R t R t− − 1 2 3 5( ) ( ) ( ) ( )R t R t R t R t−

−−− )()()()()()()()()( 234513451 tRtRtRtRtRtRtRtRtR 3 4 5 2( ) ( ) ( ) ( )R t R t R t R t

1 2 5 4 34 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R t R t R t R t R t+

)()()()()( 54321 tRtRtRtRtR−

)(2)(5)(2)(2 51

41

31

21 tRtRtRtR +−+=

dır.

Parçalar 10=θ parametreli üstel dağılıma sahip olsun. Sistemin en az 10 yıl dayanması olasılığı,

2 3 4 52(10) 2 2 5 2 0.2921SR e e e e− − − −= + − + =

olur.

a1 a2

a4 a1

a4 a3

a2 a3

a5

a5

a1 a2

a3 a4

a5

86

Sistemin dayanma süresinin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

2( )( ) , 2SdR t

f t tdt

= − >

olmak üzere, bu fonksiyonun biçimini simülasyon ile gözlenen dayanma süreleri için çizilen histogram yardımıyla görmeye çalışınız.

Sistemin ortalama dayanma süresini simülasyon yaparak elde etmeye çalışınız.

87

2a , 4a parçalarının yerine bozulma oranı,

tth 210)( −= , 0>t

fonksiyonu ile verilen 2b , 4b parçaları konmuş olsun. Böyle parçalar için,

2 2

0 0

1( ) 10200( ) , 0

t th t dt tdt t

R t e e e t−− −∫ ∫ −

= = = >

21

200( ) 1 ( ) 1 , 0t

F t R t e t−

= − = − >

1( ) 200ln(1 ) , 0 1F u u u− = − − < <

212001

( ) , 0100

tf t te t

−= >

π50100

1)(

0

200

1 2

== ∫∞ − t

tetTE

dır.

S1, S2 sistemlerinde 2a , 4a parçalarının yerine 2b , 4b parçalarının bulunduğu durum

için simülasyon yapmak için yukarıdaki bilgisayar programlarında T2 ile T4 değişkenleri için T2=sqrt(-200*log(rand))

T4=sqrt(-200*log(rand))

yazılması yeterli olacaktır. Đlgili Matlab programı, clc;clear all;close all

n=10000

for i=1:n




T2=sqrt(-200*log(rand(1)));

T4=sqrt(-200*log(rand(1)));

TS1(i)=max(min(T1,T2),min(T3,T4));

TS2(i)=max([min(T1,T2),min([T1 T5 T4]),min(T3,T4),min([T3 T5 T2])]);

end

RS1=sum(TS1>10)/n

RS2=sum(TS2>10)/n

ORTS1=sum(TS1)/n

ORTS2=sum(TS2)/n

subplot(2,1,1);hist(TS1)

subplot(2,1,3);hist(TS2)

dır.

88

Yukarıdaki programı işletiniz ve sonuçları yorumlayınız.

89

Belli bir tür elektronik parça için dayanma süresi 1 yıl ortalama ile üstel dağılıma sahip olsun. Dayanma süreleri birbirinden bağımsız ve böyle parçalardan oluşan aşağıdaki devre elemanlarının ortalama dayanma süreleri nedir? Bu devre elemanlarının az 1 yıl dayanmaları olasılıkları nedir?

Çözüm:

birbirinin yedeği olarak görev yapan üç parça

90

Simülasyon:

91


Normal Dağılım ve Uygulamaları

Bir X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

( )2

121 ,

2

x

f x xeµ

σπσ

− −= −∞ < < +∞

biçiminde olduğunda, X rasgele değişkenine normal dağılıma sahiptir denir ve

( )2,X N µ σ∼ biçiminde gösterilir. Rµ ∈ ve 2 (0, )σ ∈ ∞ dağılımın parametreleridir. 0µ =

ve 2 1σ = olan dağılıma standart normal dağılım denir. Standart normal dağılıma sahip rasgele değişken genellikle Z harfi ile gösterilir. Standart normal dağılıma sahip (0,1)Z N∼ rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

2

21( ) ,

2

z

f z e zπ

−= −∞< <∞

dağılım fonksiyonu, : [0,1]F →R

2

21( )

2

z z

z F z e dzπ

−

−∞

→ = ∫

ve grafikleri, >> x=-4:.1:4; >> plot(x,normpdf(x,0,1))

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

>> plot(x,normcdf(x,0,1))

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

dır. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği çan kesitine benzemekte olup, çan eğrisi olarak isimlendirilmektedir.

2

2

0

1( )

2

z z

I z e dzπ

−= ∫

92

integralinin yaklaşık değerini, Riemann toplamı olarak hesaplayan aşağıdaki Basic programı yardımıyla 0 : 0.5 : 4z= için hesaplayınız.

INPUT DELX , Z T = 0 FOR X = 0 TO Z STEP DELX T = T + 1 / EXP (-0.5 *(DELX / 2 + X)^2 ) NEXT X I = 1 / SQR ( 2*3.14159 )* T* DELX PRINT I END

Aynı değerleri Matlab’ da elde edin. >> z=0:.5:4; >> normcdf(z)-0.5

Normal dağılıma sahip bir ( )2,X N µ σ∼ rasgele değişkenin olasılık yoğunluk

fonksiyonu,

( )2

121 ,

2

x

f x xeµ

σπσ

− −= − ∞ < < +∞

93

olmak üzere, grafiğinin biçimi çan eğrisi gibi olmakla birlikte, şekli Rµ ∈ ve 2 (0, )σ ∈ ∞ parametrelerine göre değişmektedir. Örneğin, µ =2 ve 2 16σ = için olasılık

yoğunluk fonksiyonunun grafiği, >> x=-15:.1:15; >> plot(x,normpdf(x,2,4))

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

dır. Grafikten de görüldüğü gibi olasılık yoğunluk fonksiyonu x=µ =2 için maximum değerini almaktadır ve x=µ =2 ye göre simetriktir. Dağılım fonksiyonunun grafiği de, >> x=-15:.1:15; >> plot(x,normcdf(x,2,4))

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

dır. 5, 2.5,0,3,6.6µ=− − ve 2 9σ = olan normal dağılımların olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonlarının grafikleri,

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

94

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

olmak üzere, görüldüğü gibi µ parametresi dağılımın konumunu belirlemektedir.

0µ= ve 2 0.25,0.81,1,9,20σ = olan normal dağılımların olasılık yoğunluk fonksiyonlarının grafikleri,

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

olmak üzere, görüldüğü gibi 2σ parametresine bağlı olarak dağılımın yayılımı değişmektedir. Grafiği kırmızı çizgi olan olasılık yoğunluk fonksiyonu (0,1)N standart normal

dağılımınkidir. 2σ değeri arttıkça, olasılık yoğunluk fonksiyonu basıklaşmaktadır, küçüldükçe sivrileşmektedir.

Normal dağılımına sahip bir ( )2,X N µ σ∼ rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk

fonksiyonu,

( )2

121 ,

2

x

f x xeµ

σπσ

− −= − ∞ < < +∞

ve parametreleri Rµ ∈ , 2 (0, )σ ∈ ∞ olmak üzere,

212( )

12

x

x dxE X eµσ

µπσ

∞

−∞

−−

= =∫

2( )Var X σ=

2 2

2( ) ,X

ttM t te

σµ +

= −∞< <∞

dır.

95

Örnek: Yapılan araştırmalar sonucunda, Ankara doğumlu 18 aylık çocukların ağırlıklarının

( )213.5( ), 2.25N kgµ σ= = dağılımına sahip olduğu tespit edilmiştir.

a) Rasgele seçilen bir çocuğun ağırlığının 18 kg´dan fazla olması olasılığı nedir? b) Rasgele seçilen bir çocuğun ağırlığının 12 kg´dan az olması olasılığı nedir? c) Ağırlıkları 12 kg ile 15 kg arasında olan çocukların oranı nedir? d) Rasgele seçilen 10 çocuktan en az 8 tanesinin [10,17] aralığında olması olasılığı nedir? 10 çocuktan kaç tanesinin [10,17] aralığına düşmesi beklenir? e) Çoçuklardan %25 ‘nin ağırlığı hangi değerin altındadır? f) Çoçuklardan %75 ‘nin ağırlığı hangi değerin altındadır? g) En hafif %5 ‘lik çocuklar için ağırlıklar hangi değerin altındadır. h) En ağır %5 ‘lik çocuklar için ağırlıklar hangi değerin üzerindedir? ı) Rasgele seçilen 1000 tane çocuktan aşağıdaki aralıklara düşenlerin beklenen sayıları nedir?

(9 kg’dan az) , (9,10] , (10,11] , (11,12] , (12,13] , (13,14] , (14,15] , (15,16] , (16,17] , (17,18] , (18 kg’dan çok)

a) X : rasgele seçilen bir çocuğun ağırlığı olsun. 2~ ( 13.5, 2.25)X N µ σ= = dağılımlıdır.

18 13.5( 18) ( 3) 1 ( 3) 1 normcdf (3) 1 0.9987 0.0013

1.5P X P Z P Z P Z

− > = > = > = − ≤ = − = − =

b) 12 13.5

( 12) ( 1) normcdf ( 1) 0.15871.5

P X P Z P Z− < = < = < − = − =

c) (12 15)P X< < = normcdf(15,13.5,1.5)-normcdf(12,13.5,1.5)= 0.6826 %68≈ d) Rasgele seçilen bir çocuğun 10 kg ile 17 kg arasında olması olasılığı, p= (10 17)P X< < = normcdf(17,13.5,1.5)-normcdf(10,13.5,1.5)= 0.98037%98≈ dır. Y rasgele değişkeni rasgele seçilen 10 çocuk arasında ağırlıkları [10,17] aralığında olanların sayısı olsun. ( 10, 0.98037)Y b n p= =∼ dağılımına sahiptir. Buna göre,

10

10

8

10( 8) x x

x

P Y p qx

−

=

≥ = = ∑ sum(binopdf([8 9 10],10,0.98037)) = 0.99918

dır. ( ) 10 0.98037=9.8037E Y np= = × olmak üzere, rasgele seçilen 10 çocuktan [10,17] aralığına düşenlerin sayısının beklenen değeri 9.8037 dir. e) 0.25( ) 0.25P X x< = olmak üzere,

10.25 (0.25)Xx F−= = norminv(0.25,13.5,1.5) = 12.488

dır. f) 1

0.75 (0.75)Xx F−= = norminv(0.75,13.5,1.5) = 14.512

g) 1

0.05 (0.05)Xx F−= = norminv(0.05,13.5,1.5) = 11.033

96

h) 1

0.95 (0.95)Xx F−= = norminv(0.95,13.5,1.5) = 15.967

ı) ( 9)P X < = normcdf(9,13.5,1.5)=0.0013 (9 10)P X< < = normcdf(10,13.5,1.5)-normcdf(9,13.5,1.5) = 0.0085 (10 11)P X< < = normcdf(11,13.5,1.5)-normcdf(10,13.5,1.5) =0.0380 (11 12)P X< < = normcdf(12,13.5,1.5)-normcdf(11,13.5,1.5) =0.1109 (12 13)P X< < = normcdf(13,13.5,1.5)-normcdf(12,13.5,1.5) =0.2108 (13 14)P X< < = normcdf(14,13.5,1.5)-normcdf(13,13.5,1.5) =0.2611 (14 15)P X< < = normcdf(15,13.5,1.5)-normcdf(14,13.5,1.5) =0.2108 (15 16)P X< < = normcdf(16,13.5,1.5)-normcdf(15,13.5,1.5) =0.1109 (16 17)P X< < = normcdf(17,13.5,1.5)-normcdf(16,13.5,1.5) =0.0380 (17 18)P X< < = normcdf(18,13.5,1.5)-normcdf(17,13.5,1.5) =0.0085 ( 18) 1 ( 18)P X P X> = − ≤ = 1-nomcdf(18,13.5,1.5)=1-0.9987=0.0013

5 10 15 200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

olmak üzere, 1000 çocuktan bu arlıklara düşenlerin beklenen sayıları, 1000 ( 9)P X < = 1.3 1000 (9 10)P X< < = 8.5 1000 (10 11)P X< < = 38 1000 (11 12)P X< < = 110.9 1000 (12 13)P X< < = 210.8 1000 (13 14)P X< < = 261.1 1000 (14 15)P X< < = 210.8 1000 (15 16)P X< < = 110.9 1000 (16 17)P X< < = 38 1000 (17 18)P X< < = 8.5 1000 ( 18)P X > = 1.3 dır. Ankara’da yaşayan 18 aylık çocukların ağırlıklarının dağılımını ortaya çıkarmak için yapılan araştırmada:

• 18 aylık çocukların kitlesi nasıl belirlendi? • Bu kitleden bir örnek (örneğin 200 tane çocuk) nasıl seçildi? • Verileri toplama zaman olarak ne kadar sürdü? • Toplanan 200 tane sayı nasıl analiz edildi? • Ağırlığın normal dağılıma sahip olduğu kararı nasıl verildi? • Bir yıl sürmüş olması gereken böyle bir çalışmada elde edilen bulgular sonraki

yıllarda 18 aylık çocuklar için geçerliliğini koruyacak mıdır? • Erkek ve kız çocukları için farklı dağılımlar söz konusu olabilir mi?

gibi sorular ve başka birçok sorun ortaya çıkacaktır. Bunların çözüm yollarını ileride öğreneceksiniz.

97

ĐST251 dersini alan öğrencilerin boy uzunluklarının ve ağırlıklarının histogramlarını çiziniz. Ağırlığı anlatan (modelleyen) bir dağılım ve boy uzunluğunu anlatan bir dağılım önerebilir misiniz?

99

(0,1)N standart normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ve dağılım fonksiyonu

grafikleri aşağıdaki gibidir.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Dağılım fonksiyonunun grafiğinin bulunduğu koordinat sisteminin y-ekseninin [0,1] aralığında (0,1)U düzgün dağılımdan 100 tane sayı üretip, bunları dağılım fonksiyonun tersi ile x-eksenine dönüştürürsek (0,1)N dağılımından sayı üretmiş oluruz. >> hist(norminv(rand(100,1)),6)

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

5

10

15

20

25

100

Matlab’da randn(100,1) fonksiyonu ile doğrudan (0,1)N dağılımından 100 tane sayı üretip histogram çizdiriniz.

101

2( 60, 100)N µ σ= = dağılımının olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonlarının

grafiklerini çizdiriniz. Bu dağılımından 100 tane sayı üretip histogram çizdiriniz.

102


Çok Boyutlu Dağılımlar

Marjinal ve Ko şullu Dağılımlar Kesikli Dağılımlar

Yukarıdaki kavanozdan bir top çekilmesi ve renk ile birlikte üzerindeki sayının gözlenmesi deneyini modelleyen bir olasılık uzayı oluşturunuz.

1

2 3

3

2

3

3 2 1

2

3

1 3 2

2 1 1

3 1 2

103

1X rasgele değişkeni çekilen topun üzerindeki sayıyı, 2X rasgele değişkeni ise sarı top için 0,

yeşil top için 1, pembe top için 2, gri top için 3 değerini alsın. 1 2( , )X X rasgele vektörünün

olasılık tablosunu yazınız.

1X ve 2X rasgele değişkenlerin marjinal dağılımlarını bulunuz.

1

2 3X

x = ve 2

1 3X

x = ‘nin koşullu dağılımını bulunuz.

104

Đadeli olarak 50 çekiliş yapıp aşağıdaki tablonun gözelerine ilgili frekansları yazınız. Gözlemler:

1x 2x 0 1 2 3 Sütun toplamı

1 2 3 Satır tolamı

Toplam

Beklenen frekanslar nedir? Beklenen frekansları hesaplayıp aşağıdaki tablonun içine yazınız.

1x 2x 0 1 2 3 Sütun toplamı

1 2 3 Satır tolamı

Toplam

Gözlenen frekanslar ile beklenen frekansları bir tek tabloya yazınız.

1x 2x 0 1 2 3

1 2 3

: . .

: . .

gij

bij

f i satır j sütundaki gözlenelen frekans

f i satır j sütundakibeklenen frekans

−

−

olmak üzere,

( )22 3

1 1

g bij ij

bi j ij

f f

f= =

−∑∑ =

dır.

105

Korelasyon Katsayısı

Bir top çekilmesi ve renk ile birlikte üzerindeki sayının gözlenmesi deneyinde:

a) 1X çekilen topun üzerindeki sayı, 2X ise beyaz top için 0, sarı top için 1, yeşil top için 2,

pembe top için 3, gri top için 4 değerini alsın. 1X ile 2X arasındaki Pearson korelasyon

katsayısını hesaplayınız.

1

2 3

1

2

3

3 2 1

4

3

4 3 2 2

1 1 2 3 4

106

b) 2X beyaz top için 0, sarı top için 2, yeşil top için 4, pembe top için 6 ve gri top için 8

değerini aldığında 1X ile 2X arasındaki korelasyon katsayısı ne olur?

c) 1X ile 2X bağımsız mıdır? 1X ile 2X aynı marjinal dağılımlara sahip olma koşuluyla

bağımsız olsalardı, ortak olasılık tablosundaki olasılıklar ne olurdu. Bu olasılıkları hesaplayınız ve önceki şıklardaki olasılıklar ile karşılaştırınız. Dikkat edilirse bağımsızlık incelemesinde sadece marjinal olasılıklar ile ortak olasılıklar göz önüne alınmaktadır. Şimdi, olasılık tablosunun kenarındaki (marjindeki) 2X nin aldığı 0,1,2,4 değerlerini siliniz ve

yerlerine renk isimlerini yazınız. “1X ile 2X bağımsız mıdır?” sorusu “Topların üzerindeki

sayılar ile topların renkleri bağımsız mıdır?” sorusuna dönüşmüş oldu.

107

Aşağıdaki kavanozların hangisinde topların üzerindeki sayılar ile topların renkleri arasındaki “bağımsızlıktan uzaklaşma” daha küçüktür?”

1

2 3

1

2

3

4 2 1

4

3

2 1 2 2

1 4 2 3 4

1

2 3

1

2

3

3 2 1

4

3

4 3 2 2

1 1 2 3 4

108

Sürekli Dağılımlar

1 2X ve X rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,

1 2

1 2, 1 2

1, 0 / 2 , 0 10

( , ) 50 , . .

X X

x xf x x

d y

ππ

≤ ≤ ≤ ≤=

olsun. Dağılımın destek kümesi,

1 2

21 2 1 2( , ) : 0 / 2 , 0 10X XD x x x x Rπ= ≤ ≤ ≤ ≤ ⊂

dır.

1 21 2 1 2 1( , ) : 0 / 2 , 0 7sin X XA x x x x x Dπ= < < < < ⊂

olayının olasılığı, /2

/2

1 2 2 1 1 1 2 00 0 0

1/2 7sin1 1 7 14

(( , ) ) 7sin ( cos )5 5 5 10

x

P X X A dx dx x dx xπ

ππ

π π π π∈ = = = − =∫ ∫ ∫

dır. Böyle bir olay gerçek dünyada söz konusu olabilir mi? Aralarındaki uzaklık 20 cm olan paralel doğruların bulunduğu bir düzleme, uzunluğu 14 cm olan bir iğne’nin rasgele atılması deneyinde (Buffon’un Đğne Deneyi),

1X : iğnenin doğrultusu ile paralel doğrular arasındaki dar açının

büyüklüğü (radyan cinsinden),

2X : iğnenin orta noktasının en yakın olan doğruya

uzaklığı (cm cinsinden) olsun.

1X rasgele değişkeni (0, )2

π aralığında düzgün dağılıma sahip olup, olasılık yoğunluk

fonksiyonu,

1

1

1

1, 0 / 2

/ 2( )

0 , . .X

x

f x

d y

ππ ≤ ≤

=

109

ve 2X rasgele değişkeni (0,10) aralığında düzgün dağılıma sahip olup, olasılık yoğunluk

fonksiyonu,

2

1

2

1, 0 10

10( )

0 , . .X

x

f x

d y

≤ ≤

=

dır. 1 2X ile X bağımsız iki rasgele değişken olarak düşünülebilir. Buna göre, 1 2X ve X ‘nin

ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,

1 2

1 2, 1 2

1, 0 / 2 , 0 10

( , ) 50 , . .

X X

x xf x x

d y

ππ

≤ ≤ ≤ ≤=

olur.

1 21 2 1 2 1( , ) : 0 / 2 , 0 7sin X XA x x x x x Dπ= < < < < ⊂

olayı iğne ile doğruların kesişmesi olayı olup,

14

( ) 0.445610

P Aπ

= =

dır. Paralel doğrular arasındaki uzaklık 2a ve iğnenin uzunluğu 2l (l<a) olmak üzere, iğne

ile doğruların kesişmesi olayının olasılığı 2l

paπ

= dır.

2

al = olması durumunda

1p

π= = 0.3183 dır. Bu sonuç deneyler tarafından

destekleniyor mu?

110

Evde: Bir boncuğu 10 cm yükseklikten çizdiğiniz bir 1 2( , )x x -koordinat sisteminin başlangıç

noktası üzerine bırakınız ve konumlandığı noktayı işaretleyiniz. Bunu 100 defa tekrarlayınız (önceki gözlemlerinize 50 gözlem daha ekleyiniz). Đşaretlenen noktalar, gözlenen 1 2( , )x x ‘ler

için serpilme (saçılım) grafiği oluşturacaktır. a) Gözlediğiniz 1x ‘ler için histogram çiziniz.

b) Gözlediğiniz 2x ‘ler için histogram çiziniz.

c) Gözlediğiniz 1 2( , )x x ‘ler için histogram çizmeye çalışınız.

111

Aşağıdaki gibi bir olasılık yoğunluk fonksiyonu göz önüne alalım.

( )

2 2

2 21 21

( )2

1 2 12

2

1( , ) ,

2

, (0, )

x x

f x x e x

x

θ θ

πθ

θ

− += −∞< <∞

−∞< <∞ ∈ ∞

Bu olasılık yoğunluk fonksiyonu ile ilgili marjinal dağılımlar 21

2

1

21 1

1( ) ,

2

x

Xf x e xθ

π θ

−= −∞< <∞

22

2

2

22 2

1( ) ,

2

x

Xf x e xθ

π θ

−= −∞< <∞

dır.

1 2X ve X rasgele değişkenleri boncuğun konumlandığı noktanın koordinatları olsun.

1 2X ile X ‘nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu ve marjinal olasılık yoğunluk

fonksiyonları yukarıdaki gibi birer fonksiyon olabilir mi? ( )(0, )θ θ ∈ ∞ parametresinin

değişik değerleri için yukarıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz (bilgisayarda çizdiriniz) ve gözlemlerle ilişkilendirmeye çalışınız.

112


Bağımsız Rasgele Değişkenlerin Toplamı ve Ortalaması

1 2, ..., nX X X rasgele değişkenlerin beklenen değerleri ( )iE X , 1,2,...,i n= ve

kovaryansları ( , )i jCov X X , , 1,2,...,i j n= mevcut olduğunda 1 2, ,..., na a a R∈ olmak üzere,

1 1

( )n n

i i i ii i

E a X a E X= =

= ∑ ∑

ve

1 1 1

2

1 1 1

( , )

( ) 2 ( , )

n n n

i i i j i ji i j

n n n

i i i j i ji i j i

Var a X a a Cov X X

a Var X a a Cov X X

= = =

= = = +

=

= +

∑ ∑∑

∑ ∑∑

dır. 1 2, ..., nX X X rasgele değişkenleri bağımsız olduğunda kovaryanslar sıfır olacağından,

2

1 1

( )n n

i i i ii i

Var a X a Var X= =

= ∑ ∑

ve 1

, 1,2,...,ia i nn

= = için

1 12

( )n n

i ii i

X Var XVar

n n= =

=

∑ ∑

dır. 1 2, ..., nX X X rasgele değişkenlerinin ortalaması alışılagelmiş olarak nX veya X ile

gösterilir. 1 2, ..., nX X X rasgele değişkenleri aynı (µ ) ortalamalı olduklarında,

1( )

n

ii

n

XE X E

nµ=

= =

∑

dır.

1 2, ..., nX X X rasgele değişkenleri aynı (µ ) ortalamalı, aynı ( 2σ ) varyanslı ve

bağımsız olduklarında,

1( )

n

ii

n

XE X E

nµ=

= =

∑ ,

21( )

n

ii

n

XVar X Var

n n

σ=

= =

∑

dır.

113

Bağımsız 1 2, ..., nX X X rasgele değişkenleri için 1

n

ii

X=∑ ve nX rasgele değişkenlerinin

dağılımlarını elde etmek bazen çok kolay olmaktadır. Bağımsız rasgele değişkenler için

( )1

1

1

( ) ( ) ( )n n

X Xi

i

iX

n

i

M t M t M t=

=

= =∑

∏

özelliğinden faydalanarak 1

n

ii

X=∑ ‘nin dağılımı ve buradan nX ‘nin dağılımı bulunabilir.

* 1 2, ..., nX X X rasgele değişkenleri bağımsız ve aynı (1, )b p Bernoulli dağılımına sahip

olduğunda ( ) , 1,2,...,i

tXM t q pe i n= + = olmak üzere,

1

1

( ) ( ) ( )i

nt n

Xi

iX

n

i

M t M t q pe=

=

= = +∑

∏

olup, 1

( , )n

ii

X b n p=∑ ∼ binom dağılımına sahiptir.

* 1 2, ..., kX X X rasgele değişkenleri bağımsız ve aynı p parametreli geometrik dağılıma sahip

olduğunda ( ) , 1,2,...,i

tXM t q pe i k= + = olmak üzere,

1

1

( ) ( ) ( )1i

tkn

X ti

iX

k

i

peM t M t

qe==

= =+∑

∏

dır. 1

k

ii

X=∑ rasgele değişkeni k başarı elde edinceye kadar yapılan deneme sayısı olup, negatif

binom dağılımına sahiptir. * 1 2, ..., nX X X rasgele değişkenleri bağımsız ve aynı λ parametreli Poisson dağılıma sahip

olsun.

( 1) 1,2,...,( ) ,t

i

eX i nM t eλ − ==

olmak üzere,

1

1

( 1) ( 1)( ) ( ) ( )i

kn

Xi

t t

iX

k

i

e n eM t M t e eλ λ

==

− −= = =∑

∏

olup, 1

k

ii

X=∑ rasgele değişkeni parametresi nλ olan Poisson dağılımına sahiptir.

114

* 1 2, ..., nX X X rasgele değişkenleri bağımsız ve aynı θ parametreli üstel dağılıma sahip

olsun. 1( ) (1 ) , 1,2,...,

iXM t t i nθ −= − =

olmak üzere,

( )11

1

( ) ( ) (1 ) (1 )i

k n nX

ii

Xk

i

M t M t t tθ θ− −

==

= = − = −∑

∏

olup, 1

k

ii

X=∑ rasgele değişkeni parametreleri nα= ve β θ= olan gamma dağılımına

sahiptir. 1

( , )k

ii

X n θ=

Γ∑ ∼ dır.

* 1 2, ..., nX X X rasgele değişkenleri bağımsız, aynı µ ortalamalı ve aynı 2σ varyanslı

2( , )N µ σ normal dağılımına sahip olsun.

2 2

2( ) , 1,2,...,i

ttXM t i ne

σµ += =

olmak üzere,

1

2 2 2 2

1

2 2( ) ( )i

nk

Xi

iX

k

i

t n tt n tM t M t e e

σ σµ µ

==

+ + = = = ∑∏

olup, 2

1

( , )k

ii

X N n nµ σ=∑ ∼ dır.

1

n

ii

X=∑ nin dağılımı bilindiğinde 1

n

ii

n

XX

n==∑

‘nin dağılımını elde etmek kolaydır.

Kesikli halde, nX ‘nin aldığı değerler 1

n

ii

X=∑ rasgele değişkeninin aldığı değerlerin n ‘e

bölünmüşleridir. Olasılıklar ise aynıdır. * 1 2, ..., nX X X rasgele değişkenleri bağımsız ve aynı (1, )b p Bernoulli dağılımına sahip

olduğunda, 1

( , )n

ii

Y X b n p=

=∑ ∼ rasgele değişkeninin aldığı değerler, 0,1,2,...,y n= olmak

üzere, olasılık fonksiyonu,

1

( ) ( ) ( )

, 0,1,2,...,

n

Y ii

y n y

f y P Y y P X y

np q y n

y

=

−

= = = =

= =

∑

dır.

115

1

n

ii

n

XY

Xn n

== =∑

rasgele değişkeninin aldığı değerler, 1 2 3

0, , , ,...,1nxn n n

= olup, bu

değerleri alması olasılıkları

1

)( ) ( ) (n

i ni

n n n nXX nxf x P X x P

=

== = = ∑

1 2 3

0, , , ,...,1, nn nnx n nx

nx

n n n

np q

nx−

= =

dır.

Sürekli dağılımlar için nX ‘nin dağılımı,

1

11

( )

1( ) ( )( ) ( )

i

i

n

ii

nn

in i

t nn

XX

XXtX t n

nXt t

M Mn n

M t E e E e E e

=

==

= ∑

∑∑

= = = =

moment çıkaran fonksiyonundan bulunabilir. * 1 2, ..., nX X X rasgele değişkenleri bağımsız ve aynı θ parametreli üstel dağılıma sahip

olduğunda, 1

( , )k

ii

X n θ=

Γ∑ ∼ ve

1( ) (1 ) (1 )( )

nn n

XnX

t tM t

n n nM t

θθ − − = − = −

=

olup, ( , )nX nn

θα βΓ = =∼ dır.

* 1 2, ..., nX X X rasgele değişkenleri bağımsız, aynı µ ortalamalı ve 2σ varyanslı

2( , )N µ σ normal dağılıma sahip olsun. 2

1

( , )k

ii

X N n nµ σ=∑ ∼ ve

2 22

12

2

2( ) ( )n

nt

n t nn

XX

nt

ttM t M

ne e

σσ

µ µ + +

= = =

olup, 2

( , )nX Nn

σµ∼ dır.

116

Düzgün bir tavla zarını n=1,2,3,...,20 defa atınız. Gelen nokta sayıları sırasıyla

1 2 20, ...,X X X rasgele değişkenleri olmak üzere, bu rasgele değişkenlerin aldığı 1 2 20, ...,x x x

değerlerini gözleyiniz.

1

n

ii

n

XX

n==∑

, n=1,2,3,...,20

rasgele değişkeninin aldığı 1 2 3 20, , ,...x x x x değerlerini, gözlenen 1 2 20, ...,x x x sayılarına bağlı

olarak hesaplayınız.

Yatay eksende atış sayısı olan n=1,2,3,...,20 sayıları ve düşey eksende karşılık gelen nokta sayısı ortalaması 1 2 3 20, , ,...x x x x olmak üzere ( , )nn x , n=1,2,3,...,20 noktalarını bir

koordinat sisteminde elle işaretleyiniz.

Zarı, yeniden 20 defa atınız ve( , )nn x , n=1,2,3,...,20 noktalarını yukarıdaki koordinat

sisteminde işaretleyiniz.

117

Düzgün zar atışı deneyini bilgisayarda yapınız. ( , )nn x , n=1,2,3,...,20 noktalarını bir

koordinat sisteminde işaretleyiniz.

( , )nn x , n=1,2,3,...,20 noktalarını 10 kez aynı koordinat sisteminde işaretleyiniz.

1 2, ..., nX X X rasgele değişkenleri bağımsız ve aynı dağılımlı olmak üzere,

1

n

ii

n

XX

n==∑

rasgele değişkeninin kesikli halde olasılık, sürekli halde olasılık yoğunluk fonksiyonunu aşağıdaki dağılımların her biri için elde ediniz.

a) 1

(1, )2

b p=

b) (1, 0.8)b p= c) 3λ= parametreli Poisson d) 3θ= parametreli üstel e) 2( 3, 25)N µ σ= =

f) 2( 3, 100)N µ σ= = n=5,10,20,50,100 için nX ‘nin olasılık (yoğunluk) fonksiyonunun grafiğini, dağılımların

her biri için çiziniz (çizdiriniz).

119


Büyük Sayılar Kanunu

1 2 nX X … X, , , bağımsız rasgele değişkenler ve ( )iE X µ= , 2( ) 1 2iVar X i … nσ= , = , , ,

olsun. 1 2 nX X … X, , , ‘ler aynı dağılımlı olmayabilir.

1 , 1,2,3,...

n

ii

n

XX n

n== =∑

olmak üzere, 1 2 ,...nX X … X, , ,

ortalamalar dizisini göz önüne alalım. nE X µ

= ve 2

( )nVar Xn

σ= olup, Chebyshev

eşitsizliğinden,

( ) 2

11n nn nX X

P X k P X kkn

σµ σ µ | − |< = | − |< ≥ −

ve n

kε

σ= , 0k

n

σε= > için

( ) 2

11nP X

nµ ε

εσ

| − |< ≥ −

yazılır. Eşitsizliğin her iki tarafının n→∞ için limiti alınırsa,

( ) 2

1lim lim 1nn n

nP X

εσ

µ ε→∞ →∞

| − |< ≥ −

ve olasılılığın birden büyük olamayacağı düşünülürse,

( )lim 1nn

P X µ ε→∞

| − |< =

elde edilir. Bu durum Zayıf Büyük Sayılar Kanunu olarak bilinmektedir. Küçük her 0ε> değeri için,

( )lim 1nn

P X µ ε→∞

| − |< =

olması durumu, “ nX olasılıkta µ ‘ye yakınsar “ diye ifade edilmekte ve

Pn n

X µ→∞→

biçiminde gösterilmektedir.

120

Zayıf Büyük Sayılar Kanunu: 1 2 ,...nX X … X, , , bağımsız ve aynı µ ortalamalı 2σ < ∞

varyanslı rasgele değişkenler ise Pn n

X µ→∞→ dır.

Olasılık Teorisi çerçevesinde ispatlanan Zayıf Büyük Sayılar Kanunu gerçek dünyada

da geçerlidir. Örneğin, düzgün bir tavla zarının ardı ardına atılışında gelen nokta sayıları sırasıyla 1 2, ..., ,...nX X X rasgele değişkenleri bağımsız ve 3.5 ortalamalı, 35/12 varyanslı

olmak üzere, Zayıf Büyük Sayılar Kanunu’na göre

1 3.5

n

iPi

n n

XX

nµ=

→∞= → =∑

dır. Bunu deneysel olarak görmeye çalışalım. Düzgün bir tavla zarının 150 kez atılışında aşağıdaki değerler gözlenmiştir. → 2 6 1 4 2 5 4 6 5 4 1 5 2 4 1 1 2 2 2 4 1 1 4 4 1 3 3 4 3 2 6 4 4 3 3 6 3 3 5 4 6 1 5 4 2 1 2 6 3 2 6 3 2 4 1 1 1 1 4 2 6 2 1 1 6 5 4 6 1 2 1 5 6 4 2 6 3 6 1 2 2 2 1 6 5 1 5 6 1 6 1 3 4 4 6 6 2 5 1 1 3 6 2 2 6 6 2 2 6 6 3 2 3 5 3 6 6 5 6 4 1 1 4 2 4 6 2 3 5 3 5 1 3 6 3 3 4 6 6 4 6 2 4 3 5 2 6 2 5 5 toplamlar: 2 8 9 13 15 20 24 30 35 39 40 45 47 51 52 53 55 57 59 63 64 65 69 73 74 77 80 84 87 89 95 99 103 106 109 115 118 121 126 130 136 137 142 146 148 149 151 157 160 162 168 171 173 177 178 179 180 181 185 187 193 195 196 197 203 208 212 218 219 221 222 227 233 237 239 245 248 254 255 257 259 261 262 268 273 274 279 285 286 292 293 296 300 304 310 316 318 323 324 325 328 334 336 338 344 350 352 354 360 366 369 371 374 379 382 388 394 399 405 409 410 411 415 417 421 427 429 432 437 440 445 446 449 455 458 461 465 471 477 481 487 489 493 496 501 503 509 511 516 521 ortalamalar: 2 4 3 3.25 3 3.3333 3.4286 3.75 3.8889 3.9 3.6364 3.75 3.6154 3.6429 3.4667 3.3125 3.2353 3.1667 3.1053 3.15 3.0476 2.9545 3 3.0417 2.96 2.9615 2.963 3 3 2.9667 3.0645 3.0938 3.1212 3.1176 3.1143 3.1944 3.1892 3.1842 3.2308 3.25 3.3171 3.2619 3.3023 3.3182 3.2889 3.2391 3.2128 3.2708 3.2653 3.24 3.2941 3.2885 3.2642 3.2778 3.2364 3.1964 3.1579 3.1207 3.1356 3.1167 3.1639 3.1452 3.1111 3.0781 3.1231 3.1515 3.1642 3.2059 3.1739 3.1571 3.1268 3.1528 3.1918 3.2027 3.1867 3.2237 3.2208 3.2564 3.2278 3.2125 3.1975 3.1829 3.1566 3.1905 3.2118 3.186 3.2069 3.2386 3.2135 3.2444 3.2198 3.2174 3.2258 3.234 3.2632 3.2917 3.2784 3.2959 3.2727 3.25 3.2475 3.2745 3.2621 3.25 3.2762 3.3019 3.2897 3.2778 3.3028 3.3273 3.3243 3.3125 3.3097 3.3246 3.3217 3.3448 3.3675 3.3814 3.4034 3.4083 3.3884 3.3689 3.374 3.3629 3.368 3.3889 3.378 3.375 3.3876 3.3846 3.3969 3.3788 3.3759 3.3955 3.3926 3.3897 3.3942 3.413 3.4317 3.4357 3.4539 3.4437 3.4476 3.4444 3.4552 3.4452 3.4626 3.4527 3.4631 3.4733

121

olmak üzere, yatay eksende atış sayısı ve düşey eksende gelen sayıların ortalaması işaretlenirse,

0 50 100 1502

2.5

3

3.5

4

elde edilir. Deney sayısı n arttıkça, nX değerleri 3.5µ= sayısına yaklaşmaktadır.

Düzgün tavla zarı atılışı deneyini Matlab’da fix(unifrnd(1,7)) deyimi ile gerçekleştirebiliriz (simüle edebiliriz). unifrnd(1,7) fonksiyonu (1,7)U düzgün dağılımdan rasgele sayı üretmekte olup, fix fonksiyonu bunun tam değerini vermektedir. Örneğin, >> fix(unifrnd(1,7,1,50)) 3 4 3 4 3 4 6 1 1 4 2 4 3 5 1 4 1 5 3 3 2 3 2 2 2 3 3 3 2 2 6 6 3 4 1 2 5 5 6 1 3 1 6 6 6 1 4 1 6 5 dır. hold on; for i=1:30

plot((1:100),cumsum(fix(unifrnd(1,7,1,100)))./(1:100)) end plot([0 100],[3.5,3.5])

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1001

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

Zar atışı ile ilgili deneyi (50 atış) ve simülasyonunu kendiniz yapınız.

122

Yukarıdaki kavanozdan rasgele bir top çekilmesi deneyinde gelen sayı X rasgele değişkeni olsun. X rasgele değişkeninin olasılık tablosu,

x 1 2 3 4 10 ( ) ( )f x P X x= = 2/9 2/9 2/0 2/9 1/9

ve 10

( )3

E Xµ= = ve 2 20( )

3Var Xσ = = dır.

Kavanozdan iadeli olarak, n=1,2,3,...,25 kez top çekiniz ve gelen sayıları

1 2 3 25, , ,...,x x x x gözleyiniz. n=1,2,3,...,25 için nX rasgele değişkeninin aldığı değerleri

1 2 3 25, , ,...x x x x hesaplayınız. ( , )nn x , n=1,2,3,...,25 noktalarını bir koordinat sisteminde

işaretleyiniz.

1

2

3 2

1 4

4 3

10

123

Bernoulli Büyük Sayılar Kanunu: Düzgün bir paranın ardı ardına atılışında gelen tura sayıları (0 ya da 1 tane) sırasıyla 1 2, ..., ,...nX X X rasgele değişkenleri (bağımsız ve

1(1, ) , 1,2,3,...

2iX b p i= =∼ ) olmak üzere,

1 1

2

n

iPi

n n

Xn atışta gelen tura sayısı

X pn n

µ=→∞= = → = =

∑

dır. Đstenildiği kadar küçük 0ε> değeri için,

1

2lim 1n nP X ε

→∞

| − |< =

dır. “Düzgün bir para atıldıkça gelen tura sayısı ortalaması 1/2 değerine yakınsamaktadır”.

1 2, ..., ,...nX X X rasgele değişkenleri bağımsız ve 1

(1, ) , 1,2,3,...2iX b p i= =∼ olmak

üzere, Zayıf Büyük Sayılar Kanunu’na göre

1

n

iPi

n n

Xn denemedeki başarı sayısı

X pn n

=→∞= = →

∑

dır. Zayıf Büyük Sayılar Kanunu’nun bu özel hali Bernoulli Büyük Sayılar Kanunu olarak bilinmektedir. Düzgün bir paranın ardı ardına atılışında gelen tura sayıları sırasıyla 1 2, ..., nX X X

rasgele değişkenleri (bağımsız ve 1

(1, ) , 1,2,3,...2iX b p i= =∼ ) olmak üzere, n=1,2,3,...,25

atılış için nX rasgele değişkeninin aldığı değerleri 1 2 3 25, , ,...x x x x gözleyiniz. ( , )nn x ,

n=1,2,3,...,25 noktalarını bir koordinat sisteminde işaretleyiniz. Bernoulli Büyük Sayılar Kanununu bu grafik üzerinde yorumlayınız.

124

( )nX , bağımsız ve aynı dağılımlı (dağılımın beklenen değeri µ sonlu) olan rasgele

değişkenlerin bir dizisi ise, P

n nX µ→∞→

dır (Khinchin Teoremi). 1 2, ..., ,...nX X X rasgele değişkenleri bağımsız ve her biri aşağıdaki dağılıma sahip

olsun.

3

2, 1

( )0 , . .

X

xf x x

d y

>=

( ) 2E Xµ= =

2( ) , dağılımın varyansı yokE X =∞

Simülasyon yaparak, P

n nX µ→∞→

yakınsamasını görmeye çalışalım. nX değerlerini sanal olarak (simülasyon yaparak)

gözlemlemek için yukarıdaki dağılımdan rasgele sayı üretmemiz gerekmektedir.

2

0 , 1( ) 1

1 , 1X

xF x

xx

<= − ≥

ve dağılımın destek kümesi (1, )XD = ∞ üzerinde bire-bir olan XF fonksiyonunun tersi

1 1( ) , 0 1

1XF y yy

− = < <−

dır.

1

, (0,1)1

X U UU

=−

∼

dönüşümü ile 1 2, ..., nx x x değerlerini üretip, 1 2 3, , ,..., nx x x x değerlerini elde edebiliriz.

n=1,2,3,...,200 için ( , )nn x noktalarını bir koordinat sisteminde işaretleyip,

2P

n nX →∞→

yakınsamasını sanal olarak görmeye çalışalım.

125

hold on for i=1:20 plot((1:200),cumsum(sqrt(1./(1-rand(1,200))))./(1:200)); end plot([0 200],[2,2]);

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2001

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

1 2, ..., ,...nX X X rasgele değişkenleri bağımsız ve her biri aşağıdaki dağılıma sahip

olsun.

2

1, 1

( ) , dağılımın yok0 , . .

X

xf x beklenen değerix

d y

>=

Simülasyon ile 1 2, ..., nx x x değerlerini üretip, n=1,2,3,...,200 için ( , )nn x noktalarını bir

koordinat sisteminde işaretleyelim.

0 , 1

( ) 11 , 1X

xF x

xx

<= − ≥

ve dağılımın destek kümesi (1, )XD = ∞ üzerinde bire-bir olan XF fonksiyonunun tersi

1 1( ) , 0 1

1XF y yy

− = < <−

dır.

1

, (0,1)1

X U UU

=−

∼

dönüşümü ile 1 2, ..., nx x x değerlerini üretebiliriz.

126

hold on for i=1:20 plot((1:200),cumsum(1./(1-rand(1,200)))./(1:200)); end

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

50

100

150


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

50

100

150

200

250

Yakınsama olmamaktadır.

127

* Khinchin Teoremi’ni bir kez daha ifade edelim: ( )nX , bağımsız ve aynı dağılımlı

(dağılımın beklenen değeri µ sonlu) olan rasgele değişkenlerin bir dizisi ise P

n nX µ→∞→

dır.

Dikkat edilirse Khinchin Teoremi’nde ( )nX dizisindeki rasgele değişkenlerin ikinci

momentleri-varyansları ile ilgili her hangi bir koşul yoktur, var olmaları bile aranmamaktadır. Ancak, aynı dağılımlı olmaları koşulu söz konusudur. ( )nX dizisindeki rasgele değişkenler

aynı µ ortalamalı ve sonlu, aynı varyanslı olmaları durumunda, aynı dağılımlı olmasalar bile

Pn n

X µ→∞→

dır (yukarıda ispatlandı). * ( )nX dizisindeki rasgele değişkenler aynı µ ortalamalı ve sonlu, farklı 2 ( )

nX nVar Xσ =

varyanslı olsunlar. 2

21

nX

n n

σ∞

=

< ∞∑ koşulu sağlandığında,

P

n nX µ→∞→

olduğu ispatlanabilir. * ( )nX dizisi, varyansları sınırlı, yani bir c sayısı için

( ) , 1,2,3,...nVar X c n≤ =

ve aynı µ ortalamalı,

( , ) 0i ji jCov X X − →∞→

olan rasgele değişkenlerin bir dizisi ise P

n nX µ→∞→

dır.

128


Merkezi Limit Teoremi Merkezi Limit Teoremi: 1 2 ,...nX X … X, , , bağımsız ve aynı dağılımlı (bu

dağılımın beklenen değeriµ , varyansı 2σ < ∞ ) olan rasgele değişkenler olmak üzere,

2 2lim

12n

tznXP t e dz

n nµ

σ→∞− /

−∞

− ≤ =/ ∫

dır. Merkezi Limit Teoremi aşağıdaki gibi de ifade edilebilir. Merkezi Limit Teoremi: 1 2 ,...nX X … X, , , bağımsız ve varyansı mevcut, aynı

dağılımlı rasgele değişkenler olmak üzere,

2 21 1

1( )

lim( )

12n

n n

ti izi i

n

ii

Var

X E XP t e dz

nX

→∞− /= =

−∞

=

−≤ =

∑ ∑∫

∑

dır. Büyük n ler için,

2 21

2

tznXP t e dz

n nµ

σ− /

−∞

− ≤ ≈/ ∫

yani, (0,1)Z N∼ olmak üzere

( )n P Z tXP t

nµ

σ

≤

− ≤ ≈/

dır.

Düzgün bir tavla zarının ardı ardına atılışında gelen nokta sayıları sırasıyla

1 2, ..., ,...nX X X rasgele değişkenleri (bağımsız ve 3.5 ortalamalı, 35/12 varyanslı) olmak

üzere, Zayıf Büyük Sayılar Kanunu’na göre,

1 3.5

n

iPi

n n

XX

nµ=

→∞= → =∑

yani, “zar atıldıkça gelen sayıların ortalaması 3.5 değerine yakınsamaktadır”. 100 atış

sonucunda ( )100 3.5 0.1XP − ≤ olasılığı nedir?

129

Merkezi Limit Teoreminden, büyük n ‘ler için

( )n P Z tXP t

nµ

σ

≤

− ≤ ≈/

olmak üzere,

( ) 100100

3.5 0.13.5 0.1

3512

100

X

n

P P Xσ

− − ≤ =

≤

1003.5 12 12

35 35P Z

n

P Xσ

− = ≤

≤ ≈

olup,

12 12

( )35 35

P Z− ≤ ≤ = normcdf(sqrt(12/35),0,1)-normcdf(-sqrt(12/35),0,1)

= 0.44182 elde edilir. Düzgün bir tavla zarının 100 kez atılışında,

( )100 100(3.4 3.6) 3.5 0.1P X XP≤ ≤ = − ≤ =0.44182

dır.

( )100 3.5 0.5XP − ≤ olasılığı nedir?

( ) 100 100100

0.53.5 0.5

3512

100

2.9277X

n n

P P PX Xµ µσ σ

− − − ≤ =

≤ = ≤

( 2.9277)P Z ≤≈

= normcdf(2.9277,0,1)-normcdf(-2.9277,0,1) = 0.99659 Düzgün bir tavla zarının 100 kez atılışında,

( )100 100(3 4) 3.5 0.5P X XP≤ ≤ = − ≤ ≈ 0.99659

olmak üzere, bu sonucu Matlab’da simülasyon yaparak görmeye çalışın.

130

100X rasgele değişkenini en az 50 kez gözleyiniz. Histogram çizdiriniz.

Düzgün bir paranın ardı ardına atılışında gelen tura sayıları (0 ya da 1 tane) sırasıyla

1 2, ..., nX X X rasgele değişkenleri (bağımsız ve 1

(1, ) , 1,2,3,...2iX b p i= =∼ ) olmak üzere,

n=100 atılışında gelen toplam tura sayısının 50 olması olasılığını Merkezi Limit Teoremini kullanarak hesaplayalım.

100 100

1 1

( 50) (50 0.5 50 0.5)i ii i

P X P X= =

= ≤= − ≤ +∑ ∑

49.5 100 50.5 100

( )1 1

100 1002 2

1 12 21 12 2

P Z− × − ×

≤ ≤

× ×

≈× ×

= ( 0.1 0.1)P Z− ≤ ≤ = normcdf(.1,0,1)-normcdf(-0.1,0,1) = 0.079656 Bu olasılığın gerçek değeri,

100100 1

50 2

= binopdf(50,100,1/2) = 0.079589

dır.

131

Düzgün bir paranın n=100 atılışında gelen toplam tura sayısının 40‘dan çok ve 60‘dan az olması olasılığı nedir? Merkezi Limit Teoremi’nden

100 100

1 1

6 59(40 0) (41 )i ii i

P X P X= =

< ≤< = ≤∑ ∑

40.5 100 59.5 100

( )1 1

100 1002 2

1 12 21 12 2

P Z− × − ×

≤ ≤

× ×

≈× ×

= ( 1.9 1.9)P Z− ≤ ≤ = normcdf(1.9,0,1)-normcdf(-1.9,0,1) = 0.94257 olup, bu olasılığın gerçek değeri sum(binopdf((41:59),100,1/2)) = 0.94311 dir.

Her biriniz birer parayı 100 kez atınız ve gelen toplam tura sayısını (100

1i

i

X=∑ rasgele

değişkenini) gözleyiniz. Tam 50 kez tura getiren kaç kişi oldu?

Kaç kişi 40 ile 60 arasında tura getirdi?

Bu sonuçları,

100

1

( 50)ii

P X=

= =∑ 0.079589

ve

100

1

6(40 0)ii

P X=

<<∑ = sum(binopdf((41:59),100,1/2)) = 0.94311

olasılıkları ile karşılaştırınz.

132

100

1i

i

X=∑ rasgele değişkeninin gözlenen değerleri ve 100

100

1

100

iiX

X==∑

rasgele değişkeninin

gözlenen değerleri için histogram çiziniz.

Bilgisayarda, sınıftaki öğrenci sayısı (n) kadar 100‘er atışlık sanal deney yapınız ve 1

n

ii

X=∑ ile

1n

n

iiX

n

X==∑

rasgele değişkenlerinin gözlenen değerleri için histogram çizdiriniz.

.

133

1

1( 100, )

2

n

ii

X b n p=

= =∑ ∼ binom dağılımındaki olasılıklar (mavi noktalar) ile

2( 50, 25)N np npqµ σ= = = = normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği

(kırmızı çizgi) aşağıdaki gibidir. Yukarıdaki histogram ile karşılaştırınız.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Yukarıdaki kavanozdan rasgele bir top çekilmesi deneyinde gelen sayı X rasgele değişkeni olsun. X rasgele değişkeninin olasılık tablosu,

x 1 2 3 4 10 ( ) ( )f x P X x= = 2/9 2/9 2/0 2/9 1/9

ve 10

( )3

E Xµ= = ve 2 20( )

3Var Xσ = = dır.

20

100.1

3P X − ≤

olasılığını Merkezi Limit Teoremini kullanarak hesaplayınız.

1

2

3 2

1 4

4 3

10

134

Bilgisayarda 30 tane düzgün tavla zarının 100 kez atılışında, her bir zar için her atış

sonucunda , 1,2,...,100 , 1,2,...,30jnx n j= = ortalamaları gözlenip aşağıdaki grafik

(simülasyon sonucu) elde edilmiştir. >> hold on; plot([0 100],[3.5,3.5]) >> plot((1:100),cumsum(fix(unifrnd(1,7,1,100)))) ; %( 30 kez tekrarlandı)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1001

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

Bu grafik üzerinde Büyük Sayılar Kanunu’nu yorumlayınız.

135

25,50,75,100n = için Merkezi Limit Teoremini yorumlayınız. 60 zar için yukarıdaki simülasyonu yapınız. 25,50,75,100n = için , 1,2,...,60j

nx j =

gözlemlerinin histogramlarını çizdiriniz ve Merkezi Limit Teoremini yorumlayınız.

ÖNSÖZ - WordPress.comDERS PLANI VE ĐÇER ĐĞĐ HAFTA Laboratuar Çalı şmasının Konusu 1...

Documents

Transcript of ÖNSÖZ - WordPress.comDERS PLANI VE ĐÇER ĐĞĐ HAFTA Laboratuar Çalı şmasının Konusu 1...