NHIỆT LIỆT CHÀO MỪNG CÁC THẦY CÔ Dự giờ với thầy và trò lớp 10Toán 2

Ôn tập tổng hợp: Định lý Cosin và Bài toán giải tam giác

Hai câu hỏi mở đầu:

A.Một tam giác được coi là xác định trong các trường hợp cơ bản nào?B.Tam giác đã xác định khi đó hãy tìm các yếu tố cơ bản còn lại ? (bài toán giải tam giác)

Trả lời câu hỏi A

I. Biết độ dài hai cạnh và một góc xen giữa.II. Biết độ dài ba cạnh.III. Biết hai góc và một cạnh.

Ba trường hợp kể trên tương ứng với ba trường hợp bằng nhau của tam giác.Ta khẳng định ba trường hợp đó là tương đương:

Bài giảng:

Định lý Cosin trong tam giác

Và các ứng dụng

?

b a2 2 2 2 osc a b abc

Ví dụ bài toán thực tếBài toán 1

Người ta muốn đo khoảng cách hai điểm A,B mà không thể đến trực tiếp được vì ở hai

bên đầm lầy ( hình vẽ).Câu hỏi:

Người ta phải làm gì để thực hiện được ý đồ?

A B

Đây là bài toán thực tế. Để giải người ta chọn một điểm C sao chotam giác ABC xác định. Cụ thể là: +) Xác định: AC=b; BC=a và số đo góc ACB?+) Áp dụng Định lý Cosin cho tam giác ABC ta có AB=?

*C

b a

?

0

1. Định lý côsin

Bài toán 2: Hai tàu thuỷ cùng xuất phát từ một vị trí với vận tốc v1=30km/h,v2=50km/h theo hai hướng hợp với nhau một góc (như hình vẽ). Hỏi sau một giờ hai tàu cách nhau bao xa?

30Km/h50Km/hA

B

C

30Km

50Km

?

45o

045

30Km/h50Km/hA

B

C

30Km

50Km

?

45o

2 2 2 230 50 2.30.50. 1278,67( )

235,76

BC Km

BC km

Trả Lời:

2 2 2 2 . . osA BC AB AC AB AC c

Áp dụng Định lý Cosin cho tam giác ABC ta có:

•Từ trên ta thấy trong một tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa ta sẽ tính được cạnh còn lại đó chính là nội dung của định lý cosin. •Như vậy (I) và (II) là tương đương.

Định Lý Cosin

2 2 2 2 osCc a b abC

2 2 2 2 osAa b c bcC 2 2 2b 2 osBa c acC

Trong tam giác ABC bất kỳ với BC=a, AB=c, CA=b Ta có:

Hãy sử dụng định lý vừa tìm được để tìm lời giải bài toán đo khoảng cách giữa các điểm mà không đến trực tiếp được (hình vẽ).

Ta chọn điểm C sao cho từ đó có thể nhìn thấy điểm A,B và đo độ dài AC, BC và góc ACB Giả sử các số liệu đo được như hình vẽ .

A B

CHướng dẫn:

75o

20m23m

2 2 2 o2 . . os75 690,9( ) 26,3AB AC BC AC BC C m AB m

Trở lại bài toán thực tế ban đầu………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Tính được các góc của tam giác khi biết độ dài ba cạnh :Tính được các góc của tam giác khi biết độ dài ba cạnh :

A

BC

a

bc ?

Từ đẳng thức

2 2 2 2 osAa b c bcC 2 2 2b

osA=2

c ac

bc

Tương tự:

2 2 2

osB=2

a c bc

ac

2 2 2

osC=2

a b cc

ab

Ta có:

Ứng dụng khác………………………………….

Hơn nữa ta có thể định dạng tam giác nhọn, vuông, tù

A Vuông

A Nhọn

A Tù

2 2 2osA=0 c a b c

2 2 2osA>0 c a b c

2 2 2osA<0 c a b c

Người ta còn coi Định lý cosin cho tam giác như là một mở rộng của Định lý Pitago

Và có thể xây dựng các hệ thức khác.Ví dụ: Cho tam giác ABC chứng minh rằng

2 2 2osA osB osC

a b c 2

c c c a b c

abc

2 2 2cosB=

b 2

a c b

abc

Trả lời: Từ hệ quả ta có

2 2 2cosA b=

a 2

c a

abc

2 2 2cosC=

c 2

a b c

abc

Suy ra:2 2 2osA osB osC

a b c 2

c c c a b c

abc

LLiên hệ với một kết quả đã biết…?

•Đặc biệt: nếu xyz>0:

• Với mọi tam giác ABC; với mọi số thực x,y,z ta đều có:

2 2 2 2 osA+2yzcosB+2zxcosCx y z xyc

2 2 2 osA osB cosC2 x y z

x y z c cxyz

Dấu bằng có khi x:y:z = a:b:c

Mở rộng định lý cosin• Trong mọi tam giác ta

đều có:

2 2 2

cot4

a c bB

S

2 2 2

cot4

a b cC

S

2 2 2

cot4

b c aA

S

•Vậy mọi tam giác ABC: 2 2 2

cot cot cot 34

a b cA B C

S

Dấu bằng chỉ có khi chỉ khi tam giác đều

Chúng ta còn câu hỏi: (I) tương đương với (III)?

• Trong mọi tam giác ta đều có: a

2sinA sin sin

b cB C

R

Do đó nếu tam giác ABC ta biết độ dài một cạnh và hai góc, chẳng hạn biết:

;Góc ABC= BAC=

BC=a

Và các góc:

•Khi đó ta hoàn toàn có thể tính được các cạnh và các yếu tố còn lại của tam giác!

Định lý Sin trong tam giác:

•Mặt khác ta có hệ quả: a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC•Hệ quả này giúp ta lượng giác hoá các yếu tố độ dài.

Bài toán: Cho tam giác có các cạnh BC=a, CA=b, AB= c Gọi M là trung điểm của BC. Hãy tính 2MA

am

A

BCM

bca2

Trả lời:

Áp dụng định lý Côsin cho tam giác AMB ta có

2MA 2c

2

2

a

2 . osB2

ac c

22 osB

4

ac acC

2 2 2aosB=

2

c bc

ac

Mà

2MA 2 2 2 2

2

4 2

a a c bc ac

ac

2 2 22

4

b c a 2am

Thay vào đẳng thức trên ta có

CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, AC=b,AB=c. Gọi là độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A,B,C của tam giác. Ta có:

Công thức tính độ dài đường trung tuyến

, ,a b cm m m

2am 2 2 22

4

b c a

2bm 2 2 22

4

a c b

2cm

2 2 22

4

a b c

Và bạn Long đã chứng minh kết quả:

3 2 .a b cl l l p p

2 2

22 2

2 4 ( )1 osB

( ) ( )b

a c acp p bl c

a c a c

2 2

22 2

2 4 ( )1 osA

( ) ( )a

b c bcp p al c

b c b c

Dấu bằng chỉ có khi chỉ khi tam giác đều!

Bằng cách tương tự ta có thể thực hiện việc xây dựng công thức đường phân giác trong của tam giác:

2 2

22 2

2 4 ( )1 osC

( ) ( )c

b a bap p cl c

b a b a

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có a=3, b=5, c=7. Hãy tính độ dài đường trung tuyến

am2am 2 2 22 5 7 3

4

34,75

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC chứng minh rằng

2 2 2 2 2 23

4a b cm m m a b c

2 2 23

4a b c

Trả lời:Trả lời: Áp dụng công thức tính đường trung tuyến ta có

2am 2

bm 2cm

2 2 22

4

b c a 2 2 22

4

a c b

2 2 22

4

a b c

Bài toán giải tam giác

5,89am

Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1: Cho tam giác ABC có , AC=1cm, AB=2cm, Độ dài cạnh BC bằng

60oA

(A) (B) 3 3

2cm 3

2cm(C) 3cm (D)

Câu 2: Cho tam giác ABC có AB=7 cm, BC=5cm, AC= 6cm Giá trị Cho tam giác ABC có AB=7 cm, BC=5cm, AC= 6cm Giá trị CosC bằng:CosC bằng:

(A): 1

21

5

1

5

2

5(B): (C): (D):

3cm

Câu 3: Cho tam giác ABC có AB=2cm,BC=6cm,AC=5cm.Khi đó độ dài đường phân giác trong góc A của tam giác có độ dài là:

Câu 4: Cho tam giác ABC có AB=7cm, BC=6cm, AC=3cm khẳng định nào sau đây đúng:

(A): cm (B): (C): (D):7

4cm 49

4cm

130

7cm

(A): Tam giác ABC nhọn

(B): Tam giác ABC tù

(C): Tam giác ABC vuông

Câu hỏi trắc nghiệm

22

4

Bài tập về nhà: Cho tam giác ABC như hình vẽ sau. Em hãy cho biết: 1) Độ dài AB=?

2) Độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A?

3) Độ dài đường phân giác trong kẻ từ đỉnh B?

4) Diện tích tam giác ABC? 5) Độ dài các loại bán kính: r;R;

A

BC

?

4

3

; ;a b cr r r

060

Chứng minh các hệ thức

(b+c)cosA+(c+a)cosB+(a+b)cosC=2p

R(acosA+bcosB+ccosC)=2S

2 2 2cot cot cot 4a A b B c C S

asinA+bsinB+csinCcot cot cot .

acosA+bcosB+ccosCA B C

osA+bcosB+ccosC 2asinB+bsinC+csinA 9ac p

R

Tæng kÕt

Hãy làm rõ sơ đồ trên!

a,b,C

Sau khi có tích vô hướng

Ta có những kết quả gì?

Về vấn đề giải tam giác?!

Cần nhìn lại các kết quả sau:1. Định lý Cosin trong tam giác

2. Định lý sin trong tam giác3. Công thức độ dài đường trung tuyến4. Công thức độ dài đường phân giác5. Các công thức tính diện tích6. Sơ đồ bài toán giải tam giác

Xin cảm ơn các thầy cô!Xin cảm ơn các thầy cô!

Giờ học kết thúc.Giờ học kết thúc.