Nelj annen viikon luennot Vektorit tasossa ja …math.tut.fi/~eturunen/LaMa2009/Luento4.pdfNelj...

Neljannen viikon luennot

Vektorit tasossa ja avaruudessa - pistetulo,normi, projektio. Suorat.LaMa 1 syksylla 2009

Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.1 - I.3

Esko [email protected]

Tasovektoreista Oletetaan tunnetuksi reaalitaso R2

R2:n vektorit ovat suunnattuja janoja eli niillä on pituus ja suunta.

Vektoriesityksessä vektorilla AB (tai vain a) on alkupiste A

ja loppupiste B. Esimerkiksi

A = (2, -2) ja B = (4,-1)

1. komponentti

Vektoria saa siirtää tasossa paikasta toiseen kunhan suunta ja suuruus (= pituus) ei muutu. Esim. tässä vektori, jonka alkupiste on origo (= (0,0)) ja päätepiste on piste (4-2, (-1) - (-2)) = (2, 1) on oleellisesti sama vektori kun vektori, jonka alkupiste A = (2, -2) loppupiste B = (4, -1)

Vektoria saa siirtää tasossa paikasta toiseen kunhan suunta ja suuruus (= pituus) ei muutu. Esim. tässä vektori, jonka alkupiste on origo (= (0,0)) ja päätepiste on piste (4-2, (-1) - (-2)) = (2, 1) on oleellisesti sama vektori kun vektori, jonka alkupiste A = (2, -2) loppupiste B = (4, -1). Tämä pätee yleisestikin: vektori, jonka alkupiste A = (a1, a2) ja päätepiste on B = (b1,b2) on sama kuin origosta alkava ja pisteeseen (b1-a1, b2-a2) päättyvä vektori

Siten jokainen tasoavaruuden piste (a,b) voidaan ymmärtää vektorina, jonka alkupiste on origossa ja pääte-piste pisteessä (a,b) [ja kääntäen] Eli tason vektorit ja pisteet ovat 1 – 1 vastaavuudessa

(-6, -3)

Vektoreiden a = (a1,a2) ja b = (b1,b2) yhteenlasku tapahtuu komponenteittain a + b = (a1+b1, a2+ b2)

(a1,a2)

(b1,b2)

Vektoreiden a = (a1,a2) ja b = (b1,b2) yhteenlasku tapahtuu komponenteittain a + b = (a1+b1, a2+ b2) Sen geometrinen merkitys: - siirrä b alkamaan a:n loppupisteestä - summavektorin alkupiste on silloin a:n alkupiste ja loppupisteenä on b:n loppupiste

(a1,a2)

(a1+b1,a2+b2)

Vektorin a = (a,b) kertominen skalarilla (eli reaaliluvulla k) tapahtuu sekin komponenteittain eli ka = k(a,b) = (ka,kb). Sen geometrinen merkitys: - ’venyttää’ a:ta jos k > 1

(a,b)

k(a,b)

Vektorin a = (a,b) kertominen skalarilla (eli reaaliluvulla k) tapahtuu sekin komponenteittain eli ka = k(a,b) = (ka,kb). Sen geometrinen merkitys:

- ’venyttää’ a:ta jos k > 1 - ’supistaa’ a:ta jos 0 < k < 1

(a,b)

k(a,b)

Vektorin a = (a,b) kertominen skalarilla (eli reaaliluvulla k) tapahtuu sekin komponenteittain eli ka = k(a,b) = (ka,kb). Sen geometrinen merkitys:

- ’venyttää’ a:ta jos k > 1 - ’supistaa’ a:ta jos 0 < k < 1 - muuttaa suunnan vastakkaiseksi jos k = -1

(a,b)

k(a,b)

Vektoreiden a = (a1,a2) ja b = (b1,b2) erotus a – b = (a1-b1, a2-b2) Sen geometrinen merkitys:

a

b

Vektoreiden a = (a1,a2) ja b = (b1,b2) erotus a – b = (a1-b1, a2-b2) Sen geometrinen merkitys:

a

b

- b

Vektoreiden a = (a1,a2) ja b = (b1,b2) erotus a – b = (a1-b1, a2-b2) Sen geometrinen merkitys: Laske ensin vektori -b ja laske sitten summa a + (-b)

a

b

- b

a - b

Huomaa, etta vektoreita a = (a, b) ja niiden laskutoimituksiamaariteltaessa kaikki tapahtuu komponenteittain ja voidaantehda, vaikka komponentteja olisi enemmankin,

esim. kolme,jolloin puhutaan avaruuden R3 vektoreista tai n kappaletta,jolloin puhutaan n-ulotteisen avaruuden Rn vektoreista. Joskuson katevaa kayttaa vaakavektorimerkinnan a = (a1, · · · , an)sijasta pystyvektorimerkintaa

a =

a1...an

n-ulotteisen avaruuden Rn nolla-vektori on 0 = (0, 0, · · · , 0).Seuraava teoreema kertaa vektoreiden perusominaisuudet.

Huomaa, etta vektoreita a = (a, b) ja niiden laskutoimituksiamaariteltaessa kaikki tapahtuu komponenteittain ja voidaantehda, vaikka komponentteja olisi enemmankin, esim. kolme,jolloin puhutaan avaruuden R3 vektoreista tai n kappaletta,jolloin puhutaan n-ulotteisen avaruuden Rn vektoreista.

Joskuson katevaa kayttaa vaakavektorimerkinnan a = (a1, · · · , an)sijasta pystyvektorimerkintaa

a =

a1...an


Huomaa, etta vektoreita a = (a, b) ja niiden laskutoimituksiamaariteltaessa kaikki tapahtuu komponenteittain ja voidaantehda, vaikka komponentteja olisi enemmankin, esim. kolme,jolloin puhutaan avaruuden R3 vektoreista tai n kappaletta,jolloin puhutaan n-ulotteisen avaruuden Rn vektoreista. Joskuson katevaa kayttaa vaakavektorimerkinnan a = (a1, · · · , an)sijasta pystyvektorimerkintaa

a =

a1...an


Teoreema (Vektoreiden perusominaisuuksia)

Vektoreille u, v ja w (0 nollavektori) ja c, d skalaareille patee

(a) u + v = v + u (kommutatiivisuus)

(b) u + (v +w) = (u + v) + w (assosiatiivisuus)

(c) u + 0 = u

(d) u + (-u) = 0

(e) c(u + v) = cu + cv (distributiivisuus)

(f) (c+d)u = cu + du (distributiivisuus)

(g) c(du) = (cd)u

(h) 1u = u.

Todistetaan (a). u+ v = (u1, u2, · · · , un)+(v1, v2, · · · , vn) =(u1 + v1, u2 + v2, · · · , un + vn) = (v1 + u1, v2 + u2, · · · , vn + un)= v + u. Muut kohdat samalla tavalla.





(c) u + 0 = u

(d) u + (-u) = 0



(g) c(du) = (cd)u

(h) 1u = u.

Todistetaan (a).

u+ v = (u1, u2, · · · , un)+(v1, v2, · · · , vn) =(u1 + v1, u2 + v2, · · · , un + vn) = (v1 + u1, v2 + u2, · · · , vn + un)= v + u. Muut kohdat samalla tavalla.





(c) u + 0 = u

(d) u + (-u) = 0



(g) c(du) = (cd)u

(h) 1u = u.

Todistetaan (a). u+ v = (u1, u2, · · · , un)+(v1, v2, · · · , vn) =

(u1 + v1, u2 + v2, · · · , un + vn) = (v1 + u1, v2 + u2, · · · , vn + un)= v + u. Muut kohdat samalla tavalla.





(c) u + 0 = u

(d) u + (-u) = 0



(g) c(du) = (cd)u

(h) 1u = u.

Todistetaan (a). u+ v = (u1, u2, · · · , un)+(v1, v2, · · · , vn) =(u1 + v1, u2 + v2, · · · , un + vn) =

(v1 + u1, v2 + u2, · · · , vn + un)= v + u. Muut kohdat samalla tavalla.





(c) u + 0 = u

(d) u + (-u) = 0



(g) c(du) = (cd)u

(h) 1u = u.

Todistetaan (a). u+ v = (u1, u2, · · · , un)+(v1, v2, · · · , vn) =(u1 + v1, u2 + v2, · · · , un + vn) = (v1 + u1, v2 + u2, · · · , vn + un)

= v + u. Muut kohdat samalla tavalla.





(c) u + 0 = u

(d) u + (-u) = 0



(g) c(du) = (cd)u

(h) 1u = u.

Todistetaan (a). u+ v = (u1, u2, · · · , un)+(v1, v2, · · · , vn) =(u1 + v1, u2 + v2, · · · , un + vn) = (v1 + u1, v2 + u2, · · · , vn + un)= v + u.

Muut kohdat samalla tavalla.





(c) u + 0 = u

(d) u + (-u) = 0



(g) c(du) = (cd)u

(h) 1u = u.

Todistetaan (a). u+ v = (u1, u2, · · · , un)+(v1, v2, · · · , vn) =(u1 + v1, u2 + v2, · · · , un + vn) = (v1 + u1, v2 + u2, · · · , vn + un)= v + u. Muut kohdat samalla tavalla.

Maaritelma (Vektoreiden lineaarikombinaatio)

Vektori v on vektoreiden v1, v2, · · · , vk lineaarikombinaatio jos onolemassa skalaarit c1, c2, · · · , ck s.e. v = c1v1 + c2v2 + · · ·+ ckvk .

Esimerkki 3

10−1

+ 2

2−31

− 1

5−40

=

3 · 1 +2 · 2 −53 · 0 +2 · (−3) −(−4)3 · (−1) +2 · 1 −0

=

2−2−1

Vektorit i = (1, 0) ja j = (0, 1) muodostavat avaruuden R2

luonnollisen kannan. Jokainen kaksiulotteinen vektori a = (a, b)voidaan esittaa niiden lineaarikombinaationa, silla a = ai+ bj.Vastaavasti vektorit i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) ja k = (0, 0, 1)muodostavat avaruuden R3 luonnollisen kannan, esimerkiksi



Esimerkki 3

10−1

+ 2

2−31

− 1

5−40

=

3 · 1 +2 · 2 −53 · 0 +2 · (−3) −(−4)3 · (−1) +2 · 1 −0

=

2−2−1


luonnollisen kannan.

Jokainen kaksiulotteinen vektori a = (a, b)voidaan esittaa niiden lineaarikombinaationa, silla a = ai+ bj.Vastaavasti vektorit i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) ja k = (0, 0, 1)muodostavat avaruuden R3 luonnollisen kannan, esimerkiksi



Esimerkki 3

10−1

+ 2

2−31

− 1

5−40

=

3 · 1 +2 · 2 −53 · 0 +2 · (−3) −(−4)3 · (−1) +2 · 1 −0

=

2−2−1


luonnollisen kannan. Jokainen kaksiulotteinen vektori a = (a, b)voidaan esittaa niiden lineaarikombinaationa, silla a = ai+ bj.

Vastaavasti vektorit i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) ja k = (0, 0, 1)muodostavat avaruuden R3 luonnollisen kannan, esimerkiksi



Esimerkki 3

10−1

+ 2

2−31

− 1

5−40

=

3 · 1 +2 · 2 −53 · 0 +2 · (−3) −(−4)3 · (−1) +2 · 1 −0

=

2−2−1


luonnollisen kannan. Jokainen kaksiulotteinen vektori a = (a, b)voidaan esittaa niiden lineaarikombinaationa, silla a = ai+ bj.Vastaavasti vektorit i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) ja k = (0, 0, 1)muodostavat avaruuden R3 luonnollisen kannan, esimerkiksi

vektorin a =

2−2−1

= 2

100

+ (−2)

010

+ (−1)

001

koordinaatit luonnollisen kannan suhteen ovat skalaarit2,−2,−1 (tassa jarjestyksessa).

Samalla tavalla voidaan maaritella annetun vektorinkoordinaatit annetun vektorijoukon suhteen (tarkempimaaritelma myohemmin).

Esimerkki Jos u = (3, 1) ja v = (1, 2), niin vektorin w = (−1, 3)koordinaatit joukon {u, v} suhteen ovat −1 ja 2, silla−1 · (3, 1) + 2 · (1, 2) = (−3 + 2,−1 + 4) = (−1, 3) = w.Huomaa, etta koordinaattien jarjestyksella on valia!

vektorin a =

2−2−1

= 2

100

+ (−2)

010

+ (−1)

001



Esimerkki Jos u = (3, 1) ja v = (1, 2), niin vektorin w = (−1, 3)koordinaatit joukon {u, v} suhteen ovat −1 ja 2, silla−1 · (3, 1) + 2 · (1, 2)

= (−3 + 2,−1 + 4) = (−1, 3) = w.Huomaa, etta koordinaattien jarjestyksella on valia!

vektorin a =

2−2−1

= 2

100

+ (−2)

010

+ (−1)

001



Esimerkki Jos u = (3, 1) ja v = (1, 2), niin vektorin w = (−1, 3)koordinaatit joukon {u, v} suhteen ovat −1 ja 2, silla−1 · (3, 1) + 2 · (1, 2) = (−3 + 2,−1 + 4)

= (−1, 3) = w.Huomaa, etta koordinaattien jarjestyksella on valia!

vektorin a =

2−2−1

= 2

100

+ (−2)

010

+ (−1)

001



Esimerkki Jos u = (3, 1) ja v = (1, 2), niin vektorin w = (−1, 3)koordinaatit joukon {u, v} suhteen ovat −1 ja 2, silla−1 · (3, 1) + 2 · (1, 2) = (−3 + 2,−1 + 4) = (−1, 3)

= w.Huomaa, etta koordinaattien jarjestyksella on valia!

vektorin a =

2−2−1

= 2

100

+ (−2)

010

+ (−1)

001



Esimerkki Jos u = (3, 1) ja v = (1, 2), niin vektorin w = (−1, 3)koordinaatit joukon {u, v} suhteen ovat −1 ja 2, silla−1 · (3, 1) + 2 · (1, 2) = (−3 + 2,−1 + 4) = (−1, 3) = w.

Huomaa, etta koordinaattien jarjestyksella on valia!

vektorin a =

2−2−1

= 2

100

+ (−2)

010

+ (−1)

001



Esimerkki Jos u = (3, 1) ja v = (1, 2), niin vektorin w = (−1, 3)koordinaatit joukon {u, v} suhteen ovat −1 ja 2, silla−1 · (3, 1) + 2 · (1, 2) = (−3 + 2,−1 + 4) = (−1, 3) = w.Huomaa, etta koordinaattien jarjestyksella on valia!

Vektoreiden pistetuloOlkoot u = (u1, · · · , un) ja v = (v1, · · · , vn) kaksi vektoria.Niiden pistetulo (joka ei ole vektori!) lasketaanvastinkomponenttien tulojen summana, ts.

u • v = u1v1 + · · ·+ unvn =∑n

i=1 uivi .

Esimerkki Jos u = (1, 2,−3) ja v = (−3, 5, 2), niinu • v = 1 · (−3) + 2 · 5 + (−3) · 2 = 1.

Monet vektoreiden pistetulon ominaisuudet palautuvat reaali-lukujen ominaisuuksiin. On esimerkiksi helppoa huomata, ettau • v = v • u. Kootaan seuraavassa yhteen pistetulon perus-ominaisuudet ja todistetaan niista malliksi yksi.

Teoreema (Pistetulon perusominaisuudet)

Jos u, v ja w ovat samanulotteisia vektoreita ja c on skalaari, niin

(a) u • v = v • u (kommutatiivisuus)

(b) u • (v +w) = (u • v) + (u •w) (distributiivisuus)

(c) (cu) • v = c(u • v)(d) 0 ≤ u • u ja 0 = u • u jos ja vain jos u = 0.

Todistus (d): Maaritelman mukaan u • u = u1u1 + · · ·+ unun= u21 + · · ·+ u2n, joka on nelioiden summa, siis aina ei-nega-tiivinen, ja nolla tasmalleen silloin kun kaikki komponentit ovat= 0. �Taman Teoreeman avulla voidaan todistaa myos muita ominai-suuksia, esim. etta

(u+ v) • (u+ v) = u • u+ 2u • v + v • v.(muistuttaa reaalilukujen binomikaavaa!)





(c) (cu) • v = c(u • v)

(d) 0 ≤ u • u ja 0 = u • u jos ja vain jos u = 0.








Todistus (d): Maaritelman mukaan u • u = u1u1 + · · ·+ unun

= u21 + · · ·+ u2n, joka on nelioiden summa, siis aina ei-nega-tiivinen, ja nolla tasmalleen silloin kun kaikki komponentit ovat= 0. �Taman Teoreeman avulla voidaan todistaa myos muita ominai-suuksia, esim. etta







Todistus (d): Maaritelman mukaan u • u = u1u1 + · · ·+ unun= u21 + · · ·+ u2n,

joka on nelioiden summa, siis aina ei-nega-tiivinen, ja nolla tasmalleen silloin kun kaikki komponentit ovat= 0. �Taman Teoreeman avulla voidaan todistaa myos muita ominai-suuksia, esim. etta







Todistus (d): Maaritelman mukaan u • u = u1u1 + · · ·+ unun= u21 + · · ·+ u2n, joka on nelioiden summa, siis aina ei-nega-tiivinen,

ja nolla tasmalleen silloin kun kaikki komponentit ovat= 0. �Taman Teoreeman avulla voidaan todistaa myos muita ominai-suuksia, esim. etta







Todistus (d): Maaritelman mukaan u • u = u1u1 + · · ·+ unun= u21 + · · ·+ u2n, joka on nelioiden summa, siis aina ei-nega-tiivinen, ja nolla tasmalleen silloin kun kaikki komponentit ovat= 0. �

Taman Teoreeman avulla voidaan todistaa myos muita ominai-suuksia, esim. etta


Kayttamalla distributiivisuutta, kommutatiivisuutta, distribu-tiivisuutta ja kommutatiivisuutta (tassa jarjestyksessa), voidaanpaatella, etta(u+ v) • (u+ v) = (u+ v) • u+ (u+ v) • v

= u • (u+ v) + v • (u+ v)= u • u+ u • v + v • u+ v • v= u • u+ u • v + u • v + v • v= u • u+ 2u • v + v • v �

Pistetulolla on suora yhteys vektorin pituuteen, esim. origostaalkavan ja pisteeseen (a, b) paattyvan vektorin u = (a, b) pituuson Pythagoraan lauseen nojalla√

(a− 0)2 + (b − 0)2 =√a2 + b2 =

√u • u.

Maaritellaan yleisemmin, etta n-ulotteisen vektorinu = (a1, · · · , an) pituus (eli normi) on ei-negatiivinen skalaari

‖ u ‖=√u • u =

√a21 + · · ·+ a2n.


= u • (u+ v) + v • (u+ v)

= u • u+ u • v + v • u+ v • v= u • u+ u • v + u • v + v • v= u • u+ 2u • v + v • v �


(a− 0)2 + (b − 0)2 =√a2 + b2 =

√u • u.


‖ u ‖=√u • u =

√a21 + · · ·+ a2n.


= u • (u+ v) + v • (u+ v)= u • u+ u • v + v • u+ v • v

= u • u+ u • v + u • v + v • v= u • u+ 2u • v + v • v �


(a− 0)2 + (b − 0)2 =√a2 + b2 =

√u • u.


‖ u ‖=√u • u =

√a21 + · · ·+ a2n.


= u • (u+ v) + v • (u+ v)= u • u+ u • v + v • u+ v • v= u • u+ u • v + u • v + v • v

= u • u+ 2u • v + v • v �


(a− 0)2 + (b − 0)2 =√a2 + b2 =

√u • u.


‖ u ‖=√u • u =

√a21 + · · ·+ a2n.


= u • (u+ v) + v • (u+ v)= u • u+ u • v + v • u+ v • v= u • u+ u • v + u • v + v • v= u • u+ 2u • v + v • v �


(a− 0)2 + (b − 0)2 =√a2 + b2 =

√u • u.


‖ u ‖=√u • u =

√a21 + · · ·+ a2n.

Teoreema (Normin perusominaisuudet)

Olkoon u vektori ja c on skalaari. Silloin

(a) ‖ u ‖= 0 jos ja vain jos u = 0

(b) ‖ cu ‖=| c | · ‖ u ‖.

Todistus Kohta (a) seuraa suoraan pistetulon perusominai-suudesta (d). Kohdan (b) todistamiseksi todetaan ensin, etta

‖ cu ‖2=√

(cu) • (cu)2 = (cu) • (cu) = c2(u • u) = c2 ‖ u ‖2.Ottamalla neliojuuret puolittain ja kayttamalla hyvaksi tietoa,etta

√c2 =| c | saadaan haluttu tulos. �

Vektori, jonka pituus on = 1 on yksikkovektori. R2:n yksikko-vektorit ovat yksikkoympyran kehalla. Vektori u 6= 0 normali-soidaan jakamalla se pituudellaan ‖ u ‖, jolloin saadaan yhden-suuntainen vektori 1

‖u‖u; sen pituus on ‖ 1‖u‖u ‖ =

1‖u‖ ‖ u ‖= 1




(b) ‖ cu ‖=| c | · ‖ u ‖.

Todistus Kohta (a) seuraa suoraan pistetulon perusominai-suudesta (d).

Kohdan (b) todistamiseksi todetaan ensin, etta

‖ cu ‖2=√





1‖u‖ ‖ u ‖= 1




(b) ‖ cu ‖=| c | · ‖ u ‖.


‖ cu ‖2=√

(cu) • (cu)2

= (cu) • (cu) = c2(u • u) = c2 ‖ u ‖2.Ottamalla neliojuuret puolittain ja kayttamalla hyvaksi tietoa,etta




1‖u‖ ‖ u ‖= 1




(b) ‖ cu ‖=| c | · ‖ u ‖.


‖ cu ‖2=√

(cu) • (cu)2 = (cu) • (cu)

= c2(u • u) = c2 ‖ u ‖2.Ottamalla neliojuuret puolittain ja kayttamalla hyvaksi tietoa,etta




1‖u‖ ‖ u ‖= 1




(b) ‖ cu ‖=| c | · ‖ u ‖.


‖ cu ‖2=√

(cu) • (cu)2 = (cu) • (cu) = c2(u • u)

= c2 ‖ u ‖2.Ottamalla neliojuuret puolittain ja kayttamalla hyvaksi tietoa,etta




1‖u‖ ‖ u ‖= 1




(b) ‖ cu ‖=| c | · ‖ u ‖.


‖ cu ‖2=√

(cu) • (cu)2 = (cu) • (cu) = c2(u • u) = c2 ‖ u ‖2.

Ottamalla neliojuuret puolittain ja kayttamalla hyvaksi tietoa,etta




1‖u‖ ‖ u ‖= 1




(b) ‖ cu ‖=| c | · ‖ u ‖.


‖ cu ‖2=√





1‖u‖ ‖ u ‖= 1




(b) ‖ cu ‖=| c | · ‖ u ‖.


‖ cu ‖2=√



Vektori, jonka pituus on = 1 on yksikkovektori. R2:n yksikko-vektorit ovat yksikkoympyran kehalla.

Vektori u 6= 0 normali-soidaan jakamalla se pituudellaan ‖ u ‖, jolloin saadaan yhden-suuntainen vektori 1


1‖u‖ ‖ u ‖= 1




(b) ‖ cu ‖=| c | · ‖ u ‖.


‖ cu ‖2=√




‖u‖u;

sen pituus on ‖ 1‖u‖u ‖ =

1‖u‖ ‖ u ‖= 1




(b) ‖ cu ‖=| c | · ‖ u ‖.


‖ cu ‖2=√





1‖u‖ ‖ u ‖= 1

i = e1 = (1,0)

j = e2 = (0,1)

Standardiyksikkövektorit R2:ssa

x y

z

i = e1 = (1,0,0)

j = e2 = (0,1,0)

k = e3 = (0,0,1)

x

y

Standardiyksikkövektorit R3:ssa

Teoreema (Cauchy-Schwarz’in epayhtalo)

Rn:n vektoreille u ja v patee | u • v |≤‖ u ‖ · ‖ v ‖.

Todistus Jos jompi kumpi vektoreista on nolla-vektori, on vaiteselvasti voimassa, joten oletetaan, etta kumpikaan ei ole. Olet.etta vektorit on normalisoitu (jolloin u • u = v • v = 1). Silloinvoidaan paatella, etta0 ≤‖ u− v ‖2= (u− v) • (u− v) = u • (u− v)− v • (u− v)= u • u− u • v − v • u+ v • v = 1− 2u • v + 1

eli u • v ≤ 1. Luovutaan nyt normalisointioletuksesta: edelleenon kuitenkin voimassa

u‖u‖ •

v‖v‖ ≤ 1,

joka voidaan sieventaa muotoon u • v ≤‖ u ‖ · ‖ v ‖. Samapaattely patee, vaikka u:n paikalle sijoitetaan −u: silloin− ‖ u ‖ · ‖ v ‖≤ u • v. Siis | u • v |≤‖ u ‖ · ‖ v ‖. �.



Todistus Jos jompi kumpi vektoreista on nolla-vektori, on vaiteselvasti voimassa, joten oletetaan, etta kumpikaan ei ole.

Olet.etta vektorit on normalisoitu (jolloin u • u = v • v = 1). Silloinvoidaan paatella, etta0 ≤‖ u− v ‖2= (u− v) • (u− v) = u • (u− v)− v • (u− v)= u • u− u • v − v • u+ v • v = 1− 2u • v + 1


u‖u‖ •

v‖v‖ ≤ 1,




Todistus Jos jompi kumpi vektoreista on nolla-vektori, on vaiteselvasti voimassa, joten oletetaan, etta kumpikaan ei ole. Olet.etta vektorit on normalisoitu (jolloin u • u = v • v = 1).

Silloinvoidaan paatella, etta0 ≤‖ u− v ‖2= (u− v) • (u− v) = u • (u− v)− v • (u− v)= u • u− u • v − v • u+ v • v = 1− 2u • v + 1


u‖u‖ •

v‖v‖ ≤ 1,




Todistus Jos jompi kumpi vektoreista on nolla-vektori, on vaiteselvasti voimassa, joten oletetaan, etta kumpikaan ei ole. Olet.etta vektorit on normalisoitu (jolloin u • u = v • v = 1). Silloinvoidaan paatella, etta0 ≤‖ u− v ‖2= (u− v) • (u− v)

= u • (u− v)− v • (u− v)= u • u− u • v − v • u+ v • v = 1− 2u • v + 1


u‖u‖ •

v‖v‖ ≤ 1,




Todistus Jos jompi kumpi vektoreista on nolla-vektori, on vaiteselvasti voimassa, joten oletetaan, etta kumpikaan ei ole. Olet.etta vektorit on normalisoitu (jolloin u • u = v • v = 1). Silloinvoidaan paatella, etta0 ≤‖ u− v ‖2= (u− v) • (u− v) = u • (u− v)− v • (u− v)

= u • u− u • v − v • u+ v • v = 1− 2u • v + 1eli u • v ≤ 1. Luovutaan nyt normalisointioletuksesta: edelleenon kuitenkin voimassa

u‖u‖ •

v‖v‖ ≤ 1,




Todistus Jos jompi kumpi vektoreista on nolla-vektori, on vaiteselvasti voimassa, joten oletetaan, etta kumpikaan ei ole. Olet.etta vektorit on normalisoitu (jolloin u • u = v • v = 1). Silloinvoidaan paatella, etta0 ≤‖ u− v ‖2= (u− v) • (u− v) = u • (u− v)− v • (u− v)= u • u− u • v − v • u+ v • v

= 1− 2u • v + 1eli u • v ≤ 1. Luovutaan nyt normalisointioletuksesta: edelleenon kuitenkin voimassa

u‖u‖ •

v‖v‖ ≤ 1,






u‖u‖ •

v‖v‖ ≤ 1,





eli u • v ≤ 1.

Luovutaan nyt normalisointioletuksesta: edelleenon kuitenkin voimassa

u‖u‖ •

v‖v‖ ≤ 1,






u‖u‖ •

v‖v‖ ≤ 1,






u‖u‖ •

v‖v‖ ≤ 1,

joka voidaan sieventaa muotoon u • v ≤‖ u ‖ · ‖ v ‖.

Samapaattely patee, vaikka u:n paikalle sijoitetaan −u: silloin− ‖ u ‖ · ‖ v ‖≤ u • v. Siis | u • v |≤‖ u ‖ · ‖ v ‖. �.





u‖u‖ •

v‖v‖ ≤ 1,

joka voidaan sieventaa muotoon u • v ≤‖ u ‖ · ‖ v ‖. Samapaattely patee, vaikka u:n paikalle sijoitetaan −u: silloin− ‖ u ‖ · ‖ v ‖≤ u • v.

Siis | u • v |≤‖ u ‖ · ‖ v ‖. �.





u‖u‖ •

v‖v‖ ≤ 1,


Teoreema (Kolmioepayhtalo)

Rn:n vektoreille u ja v patee ‖ u+ v ‖≤‖ u ‖ + ‖ v ‖.

Todistus (Epa)yhtalon molemmat puolet ovat ei-negatiivisia,joten riittaa osoittaa, etta vaiteen neliomuoto on tosi:‖ u+ v ‖2= (u+ v) • (u+ v)

= u • u+ 2(u • v) + v • v (kuten jo todistettiin)≤ u • u+ 2 | u • v | +v • v≤ u • u+ 2 ‖ u ‖ · ‖ v ‖ +v • v (C-S epayhtalo!)=‖ u ‖2 +2 ‖ u ‖ · ‖ v ‖ + ‖ v ‖2= (‖ u ‖ + ‖ v ‖)2. �

Lukusuoralla kahden pisteen a ja b etaisyys d on niidenerotuksen itseisarvo, d =| a− b |, esimerkiksi pisteiden −2 ja 3etaisyys on | −2− 3 |= 5. Normin avulla tama yleistyyvektoreille u ja v: niiden etaisyys d =‖ u− v ‖.



Todistus (Epa)yhtalon molemmat puolet ovat ei-negatiivisia,joten riittaa osoittaa, etta vaiteen neliomuoto on tosi:

‖ u+ v ‖2= (u+ v) • (u+ v)= u • u+ 2(u • v) + v • v (kuten jo todistettiin)≤ u • u+ 2 | u • v | +v • v≤ u • u+ 2 ‖ u ‖ · ‖ v ‖ +v • v (C-S epayhtalo!)=‖ u ‖2 +2 ‖ u ‖ · ‖ v ‖ + ‖ v ‖2= (‖ u ‖ + ‖ v ‖)2. �





= u • u+ 2(u • v) + v • v (kuten jo todistettiin)

≤ u • u+ 2 | u • v | +v • v≤ u • u+ 2 ‖ u ‖ · ‖ v ‖ +v • v (C-S epayhtalo!)=‖ u ‖2 +2 ‖ u ‖ · ‖ v ‖ + ‖ v ‖2= (‖ u ‖ + ‖ v ‖)2. �





= u • u+ 2(u • v) + v • v (kuten jo todistettiin)≤ u • u+ 2 | u • v | +v • v

≤ u • u+ 2 ‖ u ‖ · ‖ v ‖ +v • v (C-S epayhtalo!)=‖ u ‖2 +2 ‖ u ‖ · ‖ v ‖ + ‖ v ‖2= (‖ u ‖ + ‖ v ‖)2. �





= u • u+ 2(u • v) + v • v (kuten jo todistettiin)≤ u • u+ 2 | u • v | +v • v≤ u • u+ 2 ‖ u ‖ · ‖ v ‖ +v • v (C-S epayhtalo!)

=‖ u ‖2 +2 ‖ u ‖ · ‖ v ‖ + ‖ v ‖2= (‖ u ‖ + ‖ v ‖)2. �





= u • u+ 2(u • v) + v • v (kuten jo todistettiin)≤ u • u+ 2 | u • v | +v • v≤ u • u+ 2 ‖ u ‖ · ‖ v ‖ +v • v (C-S epayhtalo!)=‖ u ‖2 +2 ‖ u ‖ · ‖ v ‖ + ‖ v ‖2

= (‖ u ‖ + ‖ v ‖)2. �Lukusuoralla kahden pisteen a ja b etaisyys d on niidenerotuksen itseisarvo, d =| a− b |, esimerkiksi pisteiden −2 ja 3etaisyys on | −2− 3 |= 5. Normin avulla tama yleistyyvektoreille u ja v: niiden etaisyys d =‖ u− v ‖.





Lukusuoralla kahden pisteen a ja b etaisyys d on niidenerotuksen itseisarvo, d =| a− b |, esimerkiksi pisteiden −2 ja 3etaisyys on | −2− 3 |= 5.

Normin avulla tama yleistyyvektoreille u ja v: niiden etaisyys d =‖ u− v ‖.

Vektoreiden u ja v etäisyys tarkoittaa niiden päätepisteiden etäisyyttä, Pythagoraan

lauseen mukaan siis d = ( ) ( ) ( )2332

222

11 vuvuvu −+−+− = || u – v ||.

u

v

u - v

Pistetulon avulla voidaan laskea myös vektoreiden välinen kulma θ, joka on välillä 0 ≤ θ ≤ π

θ θ

θ


R2:ssa ja R3:ssa pätee Cosinilause: ||u – v||2 = ||u||2 + ||v||2 – 2||u|| ||v||cosθ

θ θ

θ

u v

u - v



Ottamalla huomioon, että ||u – v||2 = ||u||2 - 2(u•v) + ||v||2

θ θ

θ

u v

u - v

θ



Ottamalla huomioon, että ||u – v||2 = ||u||2 - 2(u•v) + ||v||2 saadaan yhtälö ||u||2 - 2(u•v) + ||v||2 = ||u||2 + ||v||2 – 2||u|| ||v||cosθ

θ θ

θ

u v

u - v

θ



Ottamalla huomioon, että ||u – v||2 = ||u||2 - 2(u•v) + ||v||2 saadaan yhtälö

||u||2 - 2(u•v) + ||v||2 = ||u||2 + ||v||2 – 2||u|| ||v||cosθ eli ||v||||u||vucos •

=θ

θ θ

θ

u v

u - v

θ

Voimme nyt maaritella minka tahansa n-ulotteisen avaruudenRn vektoreiden u ja v valiselle kulmalle θ

cos θ = u•v‖u‖·‖v‖ (jolloin −1 ≤ cos θ ≤ 1).

Esimerkki vektoreiden u = (2, 1,−2) ja v = (1, 1, 1) valisellekulmalle θ on

cos θ = 2·1+1·1+(−2)·1√22+12+(−2)2

√12+12+12

= 13√3.

Talla kurssilla edellytetaan seuraavien erikoiskulmien ja niidenjohdannaisten cosinien tunteminen (muut cosinit lasketaanfysiikan kursseilla laskimella)

θ 0 π6

π4

π3

π2

cos θ 1√32

1√2

12 0

Tason tai kolmiulotteisen reaaliavaruuden vektorit u ja v ovattoisiaan vastaan kohtisuorassa jos niiden valinen kulma onθ = π

2 radiaania eli cos θ = 0. Tama merkitsee, etta u • v = 0.

Asetamme yleisemman

Maaritelma (Ortogonaalisuus)

Rn:n vektorit u ja v ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa eliortogonaaliset jos u • v = 0 (Silloin merkitaan u⊥v).

Esimerkiksi vektorit u = (1, 1,−2) ja v = (3, 1, 2) ovat keske-naan ortogonaaliset, silla (1, 1,−2) • (3, 1, 2) = 3 + 1− 4 = 0.Koska 0 • v = 0, on jokaisen avaruuden Rn nollavektori 0kohtisuorassa kaikkia Rn:n vektoreita v kohtaan.

Mieti, miten tulisi asettaa tylpan ja teravan kulman maaritel-ma.


2 radiaania eli cos θ = 0. Tama merkitsee, etta u • v = 0.Asetamme yleisemman









Esimerkiksi vektorit u = (1, 1,−2) ja v = (3, 1, 2) ovat keske-naan ortogonaaliset, silla (1, 1,−2) • (3, 1, 2) = 3 + 1− 4 = 0.

Koska 0 • v = 0, on jokaisen avaruuden Rn nollavektori 0kohtisuorassa kaikkia Rn:n vektoreita v kohtaan.


Vektorin v projektio(vektori p) vektorille u (≠ 0) voidaan määritellä kaikissa reaaliavaruuksissa Rn; se on vektorin u suuntainen, ja p on pituudeltaan ||v||cos θ:n mittainen, ks. kuva

v

u

p θ

Vektorin v projektio(vektori p) vektorille u (≠ 0) voidaan määritellä kaikissa reaaliavaruuksissa Rn; se on vektorin u suuntainen, ja p on pituudeltaan ||v||cosθ:n mittainen, ks. kuva. Voidaan päätellä, että

Vektorin v projektiota vektorille u merkitään proju(v)

v

u

p

p = ||v||cosθ u

u1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ •= u

uvuvuv 1

u

uvu⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ •= 2

u

uuvu⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

••

=

θ

Esimerkiksi vektorin v = (−1, 3) projektio vektorille u = (2, 1):

u • v = 2 · (−1) + 1 · 3 = 1 ja u • u = 2 · 2 + 1 · 1 = 5, jotenproju(v) = (15)u = (25 ,

15).

Teoreema (Yleistetty Pythagoraan lause)

Rn:n vektoreille u ja v on ‖ u+ v ‖2=‖ u ‖2 + ‖ v ‖2 jos, ja vainjos u ja v ovat ortogonaaliset.

Todistus ‖ u+ v ‖2=‖ u ‖2 +2(u • v)+ ‖ v ‖2, kuten jo todis-tettiin. Siis ‖ u+ v ‖2=‖ u ‖2 + ‖ v ‖2 tasmalleen silloin kunu • v = 0. �

Esimerkiksi vektorin v = (−1, 3) projektio vektorille u = (2, 1):u • v = 2 · (−1) + 1 · 3 = 1 ja u • u = 2 · 2 + 1 · 1 = 5,

jotenproju(v) = (15)u = (25 ,

15).




Esimerkiksi vektorin v = (−1, 3) projektio vektorille u = (2, 1):u • v = 2 · (−1) + 1 · 3 = 1 ja u • u = 2 · 2 + 1 · 1 = 5, jotenproju(v) = (15)u = (25 ,

15).





15).



Todistus ‖ u+ v ‖2=‖ u ‖2 +2(u • v)+ ‖ v ‖2, kuten jo todis-tettiin.

Siis ‖ u+ v ‖2=‖ u ‖2 + ‖ v ‖2 tasmalleen silloin kunu • v = 0. �


15).




Aloittaessamme vektoreiden opiskelun oletimme sellaisetkasitteet kuin pituus, suunta ym tunnetuiksi. Myohemminosottautui, etta koko vektoriteoria voidaan algebralisoida eliesittaa aksioomina, joista johdetaan uusia tuloksia ilman, ettakertaakaan tarvitsisi turvautua kuviin tai piiroksiin (vaikkaniita esitettiinkin asioiden havainnollistamiseksi).

Jatkamme talla linjalla: osoitamme, etta geometrian keskeisetkasitteet suora ja taso voidaan myos maaritella pelkkinaabtrakteina yhtaloina.Pedagogisista syista aloitamme kuitenkin aina ensin esimerkistaja esitamme formaaliin, yleisen maaritelman vasta sitten.

Aloittaessamme vektoreiden opiskelun oletimme sellaisetkasitteet kuin pituus, suunta ym tunnetuiksi. Myohemminosottautui, etta koko vektoriteoria voidaan algebralisoida eliesittaa aksioomina, joista johdetaan uusia tuloksia ilman, ettakertaakaan tarvitsisi turvautua kuviin tai piiroksiin (vaikkaniita esitettiinkin asioiden havainnollistamiseksi).Jatkamme talla linjalla: osoitamme, etta geometrian keskeisetkasitteet suora ja taso voidaan myos maaritella pelkkinaabtrakteina yhtaloina.

Pedagogisista syista aloitamme kuitenkin aina ensin esimerkistaja esitamme formaaliin, yleisen maaritelman vasta sitten.

Aloittaessamme vektoreiden opiskelun oletimme sellaisetkasitteet kuin pituus, suunta ym tunnetuiksi. Myohemminosottautui, etta koko vektoriteoria voidaan algebralisoida eliesittaa aksioomina, joista johdetaan uusia tuloksia ilman, ettakertaakaan tarvitsisi turvautua kuviin tai piiroksiin (vaikkaniita esitettiinkin asioiden havainnollistamiseksi).Jatkamme talla linjalla: osoitamme, etta geometrian keskeisetkasitteet suora ja taso voidaan myos maaritella pelkkinaabtrakteina yhtaloina.Pedagogisista syista aloitamme kuitenkin aina ensin esimerkistaja esitamme formaaliin, yleisen maaritelman vasta sitten.

x

y

Suora l: 2x + 1y = 0

Tarkastellaan xy-tason suoraa l: (voidaan esittää myös muodossa y = -2x.) Sen kulmakerroin k = -2 ja se kulkee origon (0,0) kautta.

x

y


Tarkastellaan xy-tason suoraa l: (voidaan esittää myös muodossa y = -2x.) Sen kulmakerroin k = -2 ja se kulkee origon (0,0) kautta. Oivallus: tehdään kertoimista 2 ja 1 oma vektori n ja x:stä ja y:stä toinen vektori x eli

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

12

n ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yx

x

ja lasketaan niiden pistetulo: n•x = 2x + y

Suora l voidaan siis esittää pistetuloyhtälönä n•x = 0.

x

y



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

12

n ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yx

x


Suora l voidaan siis esittää pistetuloyhtälönä n•x = 0. Piirretään vektorit n ja x vielä kuvaan mukaan

x

y



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

12

n ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yx

x


n

x

Suora l voidaan siis esittää pistetuloyhtälönä n•x = 0. Piirretään vektorit n ja x vielä kuvaan mukaan. Ne ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa: vektoria n sanotaan suoran l normaaliksi.

x

y



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

12

n ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yx

x


n

x

x

y


Olkoon xy-tason suora l nyt y = -2x +5, kulmakerroin k = -2 ja se kulkee pisteen P = (0,5) kautta.

(0,5)

x

y


Olkoon xy-tason suora l nyt y = -2x +5, kulmakerroin k = -2 ja se kulkee pisteen P = (0,5) kautta. Merkitään taas kertoimien 2 ja 1 määräämää normaalivektoria

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

12

n ja taaskin ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yx

x

jolloin suoran l yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon n•x = 5

(0,5)

Jos toisaalta piste P ymmärretään pystyvektorina ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛50

, huomataan, että n•P = 2⋅0+1⋅5 = 5.

x

y



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

12

n ja taaskin ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yx

x


(0,5)

Jos toisaalta piste P ymmärretään pystyvektorina ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛50

, huomataan, että n•P = 2⋅0+1⋅5 = 5. Siis n•x = n•P eli n•(x-P) = 0.

x

y



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

12

n ja taaskin ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yx

x


(0,5)

n

(x-P)

Maaritelma (Suoran normaaliesitys)

Tason suoran `: ax + by = c normaalimuoto on n • (x− P) = 0tai n • x = n • P, missa piste P (ymmarrettyna pystyvektorina) onsuoralla `. Pystyvektori n = (a, b)T 6= (0, 0)T on suoran normaali-vektori. [Ei yleisty sellaisenaan avaruuteen R3 !]

Esimerkki Etsi suoran 3x − 5y = 2 normaalimuoto.

Ratkaisu. Normaalivektori n saadaan kertoimista, se on(3,−5)T . Tarvitaan viela jokin piste P, joka on suoralla. Josvalitaan x = −1, pitaa y :n olla = −1, jotta ollaan suoralla. SiisP = (−1,−1)T ja siten normaalimuoto on[

3−5

]•([

xy

]−[−1−1

])= 0.




Ratkaisu. Normaalivektori n saadaan kertoimista, se on(3,−5)T .

Tarvitaan viela jokin piste P, joka on suoralla. Josvalitaan x = −1, pitaa y :n olla = −1, jotta ollaan suoralla. SiisP = (−1,−1)T ja siten normaalimuoto on[

3−5

]•([

xy

]−[−1−1

])= 0.




Ratkaisu. Normaalivektori n saadaan kertoimista, se on(3,−5)T . Tarvitaan viela jokin piste P, joka on suoralla.

Josvalitaan x = −1, pitaa y :n olla = −1, jotta ollaan suoralla. SiisP = (−1,−1)T ja siten normaalimuoto on[

3−5

]•([

xy

]−[−1−1

])= 0.




Ratkaisu. Normaalivektori n saadaan kertoimista, se on(3,−5)T . Tarvitaan viela jokin piste P, joka on suoralla. Josvalitaan x = −1, pitaa y :n olla = −1, jotta ollaan suoralla.

SiisP = (−1,−1)T ja siten normaalimuoto on[

3−5

]•([

xy

]−[−1−1

])= 0.




Ratkaisu. Normaalivektori n saadaan kertoimista, se on(3,−5)T . Tarvitaan viela jokin piste P, joka on suoralla. Josvalitaan x = −1, pitaa y :n olla = −1, jotta ollaan suoralla. SiisP = (−1,−1)T ja siten normaalimuoto on[

3−5

]•([

xy

]−[−1−1

])= 0.

x

y

Suora l

Tason suoraa l voidaan tarkastella myös toiselta kannalta: ajatellaan, että tunnetaan sen normaali n

x

y

Suora l

Tason suoraa l voidaan tarkastella myös toiselta kannalta: ajatellaan, että tunnetaan sen normaali n jos vektori d on suoran l suuntai-nen, pitää olla n•d = 0

n

d

x

y

Suora l

Tason suoraa l voidaan tarkastella myös toiselta kannalta: ajatellaan, että tunnetaan sen normaali n jos vektori d on suoran l suuntai-nen, pitää olla n•d = 0. Toisaalta myös kaikki d:n monikerrat td ovat suoran l suuntaisia eli n•td = 0 kaikilla t ∈ R

n

d

x

y

Suora l

Tason suoraa l voidaan tarkastella myös toiselta kannalta: ajatellaan, että tunnetaan sen normaali n jos vektori d on suoran l suuntai-nen, pitää olla n•d = 0. Toisaalta myös kaikki d:n monikerrat td ovat suoran l suuntaisia eli n•td = 0 kaikilla t ∈ R Tarvitaan vielä piste P suoralta l

n

d

P

x

y

Suora l

Tason suoraa l voidaan tarkastella myös toiselta kannalta: ajatellaan, että tunnetaan sen normaali n jos vektori d on suoran l suuntai-nen, pitää olla n•d = 0. Toisaalta myös kaikki d:n monikerrat td ovat suoran l suuntaisia eli n•td = 0 kaikilla t ∈ R Tarvitaan vielä piste P suoralta l Muistetaan, miten vektoreita saa siirrellä tasossa ...

n

d

P

x

y

Suora l

Tason suoraa l voidaan tarkastella myös toiselta kannalta: ajatellaan, että tunnetaan sen normaali n jos vektori d on suoran l suuntai-nen, pitää olla n•d = 0. Toisaalta myös kaikki d:n monikerrat td ovat suoran l suuntaisia eli n•td = 0 kaikilla t ∈ R Tarvitaan vielä piste P suoralta l Muistetaan, miten vektoreita saa siirrellä tasossa ... Voidaan siis sanoa, että suoran l pisteet x ovat täsmälleen ne, jotka toteuttavat x = P + td, t ∈ R

n

d

P

Maaritelma (Suoran vektoriesitys)

Suoran ` vektoriesitys on x = P+ td, t ∈ R, missa piste P(ymmarrettyna pystyvektorina) on suoralla `. Pystyvektori d 6= 0on suoran suuntavektori (ja kohtisuorassa normaalivektoria nvastaan).

Huomaa, etta suoran vektorimuotoinen esitys ei ole rajoitu vaintasoon, sanottu patee sellaisenaan myos avaruuden R3 suoriin.Voidaan esimerkiksi kysya, mika on se suora, joka kulkeepisteen P = (1, 2,−1)T kautta ja on vektorin d = (5,−1, 3)Tsuuntainen. Ratkaisu x

yz

=

12−1

+ t

5−13

eli

x = 1 + 5ty = 2− tz = −1 + 3t

, t ∈ R.

Viimeinen on vektorin parametriesitys (parametrina t).



Huomaa, etta suoran vektorimuotoinen esitys ei ole rajoitu vaintasoon, sanottu patee sellaisenaan myos avaruuden R3 suoriin.

Voidaan esimerkiksi kysya, mika on se suora, joka kulkeepisteen P = (1, 2,−1)T kautta ja on vektorin d = (5,−1, 3)Tsuuntainen. Ratkaisu x

yz

=

12−1

+ t

5−13

eli

x = 1 + 5ty = 2− tz = −1 + 3t

, t ∈ R.




Huomaa, etta suoran vektorimuotoinen esitys ei ole rajoitu vaintasoon, sanottu patee sellaisenaan myos avaruuden R3 suoriin.Voidaan esimerkiksi kysya, mika on se suora, joka kulkeepisteen P = (1, 2,−1)T kautta ja on vektorin d = (5,−1, 3)Tsuuntainen.

Ratkaisu xyz

=

12−1

+ t

5−13

eli

x = 1 + 5ty = 2− tz = −1 + 3t

, t ∈ R.




Huomaa, etta suoran vektorimuotoinen esitys ei ole rajoitu vaintasoon, sanottu patee sellaisenaan myos avaruuden R3 suoriin.Voidaan esimerkiksi kysya, mika on se suora, joka kulkeepisteen P = (1, 2,−1)T kautta ja on vektorin d = (5,−1, 3)Tsuuntainen. Ratkaisu x

yz

=

12−1

+ t

5−13

eli

x = 1 + 5ty = 2− tz = −1 + 3t

, t ∈ R.


Yhteenvetona R2:n suoran ax + by = c esitysmuodot:

1◦ normaalimuoto n • x = n • P tai n • (x− P) = 0, missan = (a, b)T ja n • P = c ,2◦ vektorimuoto x = P+ td, t ∈ R, missa d • n = 0,3◦ parametrimuoto eli vektorimuoto yhtaloryhmana.

Varoitus! R3:ssa ax + by + cz = d tai n • (x− P) = 0 ei esitasuoraa!

Esimerkki Suoran x + 2y = 1 esitysmuodotNormaalimuoto: n = (1, 2)T , P = (1, 0)T , siis[

12

]•[

xy

]=

[12

]•[10

]eli

[12

]•[x − 1

y

]= 0.

Vektorimuoto: Piste P = (1, 0)T ja piste Q = (0, 12)T ovat

suoralla (eli toteuttavat sen yhtalon), joten vektoriksi d saadaand = P−Q =(1, 0)T − (0, 12)

T = (1,−12)

T . Otamalla ’pisteeksiP’ taas vaikkapa P = (1, 0)T saadaan

Yhteenvetona R2:n suoran ax + by = c esitysmuodot:1◦ normaalimuoto n • x = n • P tai n • (x− P) = 0, missan = (a, b)T ja n • P = c ,

2◦ vektorimuoto x = P+ td, t ∈ R, missa d • n = 0,3◦ parametrimuoto eli vektorimuoto yhtaloryhmana.



12

]•[

xy

]=

[12

]•[10

]eli

[12

]•[x − 1

y

]= 0.



T = (1,−12)


Yhteenvetona R2:n suoran ax + by = c esitysmuodot:1◦ normaalimuoto n • x = n • P tai n • (x− P) = 0, missan = (a, b)T ja n • P = c ,2◦ vektorimuoto x = P+ td, t ∈ R, missa d • n = 0,

3◦ parametrimuoto eli vektorimuoto yhtaloryhmana.



12

]•[

xy

]=

[12

]•[10

]eli

[12

]•[x − 1

y

]= 0.



T = (1,−12)


Yhteenvetona R2:n suoran ax + by = c esitysmuodot:1◦ normaalimuoto n • x = n • P tai n • (x− P) = 0, missan = (a, b)T ja n • P = c ,2◦ vektorimuoto x = P+ td, t ∈ R, missa d • n = 0,3◦ parametrimuoto eli vektorimuoto yhtaloryhmana.



12

]•[

xy

]=

[12

]•[10

]eli

[12

]•[x − 1

y

]= 0.



T = (1,−12)




Esimerkki Suoran x + 2y = 1 esitysmuodot

Normaalimuoto: n = (1, 2)T , P = (1, 0)T , siis[12

]•[

xy

]=

[12

]•[10

]eli

[12

]•[x − 1

y

]= 0.



T = (1,−12)




Esimerkki Suoran x + 2y = 1 esitysmuodotNormaalimuoto: n = (1, 2)T , P = (1, 0)T ,

siis[12

]•[

xy

]=

[12

]•[10

]eli

[12

]•[x − 1

y

]= 0.



T = (1,−12)





12

]•[

xy

]=

[12

]•[10

]

eli

[12

]•[x − 1

y

]= 0.



T = (1,−12)





12

]•[

xy

]=

[12

]•[10

]eli

[12

]•[x − 1

y

]= 0.



T = (1,−12)





12

]•[

xy

]=

[12

]•[10

]eli

[12

]•[x − 1

y

]= 0.


suoralla (eli toteuttavat sen yhtalon), joten vektoriksi d saadaan

d = P−Q =(1, 0)T − (0, 12)T = (1,−1

2)T . Otamalla ’pisteeksi

P’ taas vaikkapa P = (1, 0)T saadaan




12

]•[

xy

]=

[12

]•[10

]eli

[12

]•[x − 1

y

]= 0.



T = (1,−12)

T .

Otamalla ’pisteeksiP’ taas vaikkapa P = (1, 0)T saadaan




12

]•[

xy

]=

[12

]•[10

]eli

[12

]•[x − 1

y

]= 0.



T = (1,−12)


[xy

]=

[10

]+ t

[1−1

2

], t ∈ R.

Tasta voidaan lukea parametrimuoto

{x = 1 + ty = −1

2 t, t ∈ R.

Voidaan tietysti kysya toisinkin pain: jos tunnetaan (R3:n taiR2:n) suoran parametrimuoto, niin mitka ovat sen muut esitys-muodot?Esimerkiksi Jos

x = 2 + 3ty = 1− tz = t

, t ∈ R, niin

xyz

=

210

+ t

3−11

, t ∈ R,eli suuntavektori d = (3,−1, 1)T ja P = (2, 1, 0)T . Voidaan myosratkaista t kaikista kolmesta yhtalosta: (t =) x−23 = 1− y = z .

[xy

]=

[10

]+ t

[1−1

2

], t ∈ R.


{x = 1 + ty = −1

2 t, t ∈ R.

Voidaan tietysti kysya toisinkin pain: jos tunnetaan (R3:n taiR2:n) suoran parametrimuoto, niin mitka ovat sen muut esitys-muodot?

Esimerkiksi Josx = 2 + 3ty = 1− tz = t

, t ∈ R, niin

xyz

=

210

+ t

3−11


[xy

]=

[10

]+ t

[1−1

2

], t ∈ R.


{x = 1 + ty = −1

2 t, t ∈ R.


x = 2 + 3ty = 1− tz = t

, t ∈ R,

niin

xyz

=

210

+ t

3−11


[xy

]=

[10

]+ t

[1−1

2

], t ∈ R.


{x = 1 + ty = −1

2 t, t ∈ R.


x = 2 + 3ty = 1− tz = t

, t ∈ R, niin

xyz

=

210

+ t

3−11

, t ∈ R,

eli suuntavektori d = (3,−1, 1)T ja P = (2, 1, 0)T . Voidaan myosratkaista t kaikista kolmesta yhtalosta: (t =) x−23 = 1− y = z .

[xy

]=

[10

]+ t

[1−1

2

], t ∈ R.


{x = 1 + ty = −1

2 t, t ∈ R.


x = 2 + 3ty = 1− tz = t

, t ∈ R, niin

xyz

=

210

+ t

3−11

, t ∈ R,eli suuntavektori d = (3,−1, 1)T ja P = (2, 1, 0)T .

Voidaan myosratkaista t kaikista kolmesta yhtalosta: (t =) x−23 = 1− y = z .

[xy

]=

[10

]+ t

[1−1

2

], t ∈ R.


{x = 1 + ty = −1

2 t, t ∈ R.


x = 2 + 3ty = 1− tz = t

, t ∈ R, niin

xyz

=

210

+ t

3−11

, t ∈ R,eli suuntavektori d = (3,−1, 1)T ja P = (2, 1, 0)T . Voidaan myosratkaista t kaikista kolmesta yhtalosta:

(t =) x−23 = 1− y = z .

[xy

]=

[10

]+ t

[1−1

2

], t ∈ R.


{x = 1 + ty = −1

2 t, t ∈ R.


x = 2 + 3ty = 1− tz = t

, t ∈ R, niin

xyz

=

210

+ t

3−11


Huomaamme tasta, etta R3:n suorat (ja R2:n suorat jattamallaviimeinen yhtalo pois) voidaan esittaa muodossa

x−aA = y−b

B = z−cC .

Merkitaan t = x−aA = y−b

B = z−cC , josta ratkaistaan erikseen x , y

ja z parametrin t avulla lausuttuna:x = At + ay = Bt + bz = Ct + c

, t ∈ R.

Esimerkiksi yhtalot x−23 = y−3

4 = z−45 esittavat R3:n suoraa

x = 2 + 3ty = 3 + 4tz = 4 + 5t

, t ∈ R.


x−aA = y−b

B = z−cC .



ja z parametrin t avulla lausuttuna:

x = At + ay = Bt + bz = Ct + c

, t ∈ R.



x = 2 + 3ty = 3 + 4tz = 4 + 5t

, t ∈ R.


x−aA = y−b

B = z−cC .



ja z parametrin t avulla lausuttuna:x = At + ay = Bt + bz = Ct + c

, t ∈ R.



x = 2 + 3ty = 3 + 4tz = 4 + 5t

, t ∈ R.

Usein kaytetaan sanontaa kaksi pistetta maaraa suoran. Mitenmuodostetaan taman suoran lauseke?

Olkoot pisteet P = (−1, 5, 0) ja Q = (2, 1, 1). Tarvitaan vainsuoran suuntavektori d. Se saadaan vektorista, joka alkaapisteesta P ja paattyy pisteeseen Q. Siis

d = Q− P = (2, 1, 1)− (−1, 5, 0) = (3,−4, 1).Kysytty suora on siis x = P+ td eli auki kirjoitettuna x

yz

=

−150

+ t

3−41

, t ∈ RTasta esityksesta nahdaan, etta suora riippuu vain yhdestamuuttujasta (tassa parametri t). On myos ilmeista, etta jossuoralta kiinnittaa yhden komponenteista x , y tai z , niin myosmuut komponentit kiinnittyvat. Tama on sopusoinnussa senkanssa, etta suora on yksiulotteinen olento.


Olkoot pisteet P = (−1, 5, 0) ja Q = (2, 1, 1). Tarvitaan vainsuoran suuntavektori d.

Se saadaan vektorista, joka alkaapisteesta P ja paattyy pisteeseen Q. Siis


yz

=

−150

+ t

3−41



Olkoot pisteet P = (−1, 5, 0) ja Q = (2, 1, 1). Tarvitaan vainsuoran suuntavektori d. Se saadaan vektorista, joka alkaapisteesta P ja paattyy pisteeseen Q.

Siisd = Q− P = (2, 1, 1)− (−1, 5, 0) = (3,−4, 1).

Kysytty suora on siis x = P+ td eli auki kirjoitettuna xyz

=

−150

+ t

3−41




d = Q− P = (2, 1, 1)− (−1, 5, 0) = (3,−4, 1).

Kysytty suora on siis x = P+ td eli auki kirjoitettuna xyz

=

−150

+ t

3−41





yz

=

−150

+ t

3−41

, t ∈ R

Tasta esityksesta nahdaan, etta suora riippuu vain yhdestamuuttujasta (tassa parametri t). On myos ilmeista, etta jossuoralta kiinnittaa yhden komponenteista x , y tai z , niin myosmuut komponentit kiinnittyvat. Tama on sopusoinnussa senkanssa, etta suora on yksiulotteinen olento.




yz

=

−150

+ t

3−41


Nelj annen viikon luennot Vektorit tasossa ja …math.tut.fi/~eturunen/LaMa2009/Luento4.pdfNelj...

Documents

Transcript of Nelj annen viikon luennot Vektorit tasossa ja …math.tut.fi/~eturunen/LaMa2009/Luento4.pdfNelj...