nelineárnaoptika

Vladimír Mesároš, Anton Štrba, Dagmar Senderáková

NELINEÁRNA OPTIKA

BRATISLAVA 2016

Autori: doc. RNDr. Vladimír Mesároš, CSc.

prof. RNDr. Anton Štrba, CSc.

RNDr. Dagmar Senderáková, CSc.

Názov: Nelineárna optika

Recenzenti: prof. RNDr. Jarmila Müllerová, PhD.

prof. RNDr. Pavel Veis, CSc.

Vydavateľ: Kniţničné a edičné centrum FMFI UK, Bratislava

Rok vydania: 2016

Miesto vydania: Bratislava

Počet strán: 274

ISBN 978-80-8147-065-3

© Vladimír Mesároš, Anton Štrba, Dagmar Senderáková, 2016

© Kniţničné a edičné centrum FMFI UK, Bratislava, 2016

Na prednej strane obálky je záznam generácie súčtovej frekvencie ţiarenia YAG lasera so satelitmi

vynúteného Ramanovho rozptylu v benzéne - jav upconversion (záznam získaný v Laboratóriu

nelineárnej optiky FMFI UK).

Obsah

Predslov.................................................................................................................................7

Úvod ......................................................................................................................................9

1. Dielektrické prostredia ................................................................................................... 11

1.1 Charakteristika prostredia .......................................................................................... 11

1.2 Lineárne izotropné prostredie ...................................................................................... 13

1.2.1 Priehľadné dielektriká .......................................................................................... 16

1.2.2 Absorpčné dielektrika .......................................................................................... 16

1.3 Anizotropné prostredie ................................................................................................ 17

1.4 Klasická mikroskopická teória susceptibility a disperzie ............................................. 28

2. Slabé a silné optické polia ............................................................................................... 33

3. Výpočet nelineárnej polarizácie s využitím mikroskopického modelu susceptibility

s uvážením anharmonického oscilátora. Nelineárna zložka susceptibility ................. 36

3.1 Lineárna zloţka polarizácie ......................................................................................... 40

3.2 Kvadratická zloţka polarizácie .................................................................................... 42

3.3 Kubická zloţka polarizácie ......................................................................................... 44

3.4 Prípad superpozície harmonických vĺn ........................................................................ 46

3.4.1 Lineárna polarizácia ............................................................................................. 47

3.4.2 Kvadratická polarizácia ........................................................................................ 48

3.4.3 Kubická polarizácia .............................................................................................. 49

3.5 Nelineárna polarizácia v anizotropnom prostredí ......................................................... 51

4. Výpočet nelineárnej polarizácie s využitím fenomenologického opisu polarizačnej

odozvy ............................................................................................................................. 55

4.1 Časová reprezentácia .................................................................................................. 55

4.1.1 Lineárna polarizácia ............................................................................................. 55

4.1.2. Kvadratická polarizácia ....................................................................................... 58

4.2 Frekvenčná reprezentácia ............................................................................................ 60

4.2.1 Lineárna zloţka polarizácie .................................................................................. 60

4.2.2 Kvadratická zloţka polarizácie ............................................................................. 61

4.2.3 Prípad superpozície harmonických vĺn ................................................................. 62

4.2.4 Úplná frekvenčná reprezentácia ........................................................................... 66

5. Tenzory nelineárnych susceptibilit ................................................................................ 71

5.1 Vlastnosti tenzorov susceptibilit ............................................................................... 71

5.2 Vzťah prvkov tenzorov nelineárnych susceptibilit so symetriou kryštálov ................... 77

5.3 Efektívna hodnota kvadratickej susceptibility ......................................................... 87

5.3.1 Výpočet efektívnej hodnoty susceptibility v jednoosových kryštáloch .................. 89

6. Vlnová rovnica pre nelineárne optické prostredie ...................................................... 92

6.1 Vlnová rovnica pre nelineárne optické izotropné prostredie ....................................... 92

6.2 Vlnová rovnica pre nelineárne optické anizotropné prostredie ................................. 100

6.3 Vzťahy Menleyho – Rowa ....................................................................................... 109

7. Kvadratické nelineárne optické javy ........................................................................... 111

7.1 Optické usmernenie ................................................................................................. 113

7.2 Generácia druhej harmonickej ................................................................................... 114

7.2.1 Prípad neohraničených vĺn ................................................................................. 115

7.2.2 Analýza máloefektívnej GDH – priblíţenie zadaného poľa................................ 116

7.2.3 Analýza GDH pri perfektnej fázovej synchronizácii ........................................... 122

7.2.4 Prípad ohraničených vĺn ................................................................................... 129

7.3 Generácia súčtovej frekvencie ................................................................................... 131

7.3.1 Prípad rovnakých fotónových tokov subfrekvenčných ţiarení ........................... 140

7.3.2 Prípad perfektnej synchronizácie fáz ................................................................. 140

7.3.3 Prípad perfektnej synchronizácie pri rovnakých fotónových tokoch.................... 141

7.3.4 Prípad, ak jedno subfrekvenčné ţiarenie je omnoho menšie ako druhé................ 142

7.3.5 Prípad veľkej desynchronizácie .......................................................................... 143

7.3.6 Riešenie v priblíţení zadaného poľa .................................................................. 144

7.4 Generácia rozdielovej frekvencie .............................................................................. 145

7.4.1 Prípad perfektnej synchronizácie fáz .................................................................. 149

7.4.2 Prípad veľkej desynchronizácie .......................................................................... 151

7.4.3 Prípad, ak subfrekvenčné ţiarenie je omnoho menšie, ako čerpacie ţiarenie .... 151

7.5 Pockelsov jav ............................................................................................................ 156

8. Metódy fázovej synchronizácie .................................................................................... 158

8.1 Metódy získavania fázovej synchronizácie v vyuţitím dvojlomu............................... 160

8.1.1 Prípad generácie druhej harmonickej .................................................................. 162

8.1.2 Prípad generácie súčtovej frekvencie .................................................................. 167

8.1.3 Javy zniţujúce efektívnosť fázovej synchronizácie ............................................. 170

8.2 Metódy vyuţívajúce teplotnú závislosť indexu lomu ................................................. 174

8.3 Kvázisynchronizačné metódy .................................................................................... 178

9. Využitie javov generácie frekvencií v praxi ............................................................. 181

9.1 Parametrický zosilňovač - OPA ( Optical Parametric Amplifiers )........................... 181

9.2 Parametrický generátor OPO ( Optical Parametric Oscillators ) ............................... 185

9.3. Frekvenčná konverzia nahor - Up conversion .......................................................... 189

10. Kubické nelineárne optické javy ............................................................................... 193

10.1. Efekty zmiešavania so súčtom a rozdielom frekvencii .......................................... 196

10.2 Generácia tretej harmonickej ................................................................................... 199

10.2.1 Fázová synchronizácia GTH v anizotropných materiáloch ................................ 201

10.2.2 Fázová synchronizácia GTH v izotropných materiáloch ................................... 203

10.2.3 Nekolineárna fázová synchronizácia GTH v izotropných materiáloch .............. 204

10.3 Efekty samopôsobenia ............................................................................................ 205

10.3.1 Samomodulácia fázy ........................................................................................ 209

10.3.2 Samofokusácia a samodefokusácia ................................................................... 211

10.3.3 Samoindukované spektrálne rozšírenie ............................................................. 218

10.3.4 Kríţová fázová modulácia XPM, degenerované štvorvlnové zmiešavanie..... 222

10.3.5 Nelineárna absorpcia ........................................................................................ 232

10.3.6 Dvoj- a viacfotonová absorpcia ........................................................................ 237

10.4 Kombinačné procesy ............................................................................................... 241

10.4.1 Spontánny Ramanov rozptyl............................................................................. 243

10.4.2 Spontánny Mandelštamov – Brillouinov rozptyl ............................................... 250

10.4.3 Vynútený Ramanov a Vynútený Mandelštamov- Brillouinov rozptyl ............ 257

10.4.4 Viazané rovnice VRMB .................................................................................. 259

10.4.5 Viazané rovnice vynúteného Ramanovho rozptylu (VRR) .............................. 266

11. Nelineárne optické javy vyšších rádov ....................................................................... 271

Použitá literatúra ............................................................................................................. 274

7

Predslov

Optika, jedna z najstarších vedných disciplín, sa v polovici minulého storočia zdala na

prvý pohľad uzavretou disciplínou. Objav a konštrukcia intenzívnych svetelných zdrojov na

báze stimulovanej emisie - laserov v 60. rokoch minulého storočia vyvolali veľkú renesanciu

optiky. V rámci optiky sa začali rozvíjať nové smery ako koherentná optika a holografia,

koherentná optoelektronika a nelineárna optika. Nové poznatky z nelineárnej optiky, ako

disciplíny, ktorá skúma optické javy pri vysokých svetelných intenzitách, sa v súčasnosti

stali uţ samozrejmosťou. Vyuţívajú sa pri konštrukcii preladiteľných laserov, pri prenose

informácií optickými solitónmi, pri konštrukcii optických prvkov v komunikačných

systémoch s čisto optickými prvkami, v analytických spektroskopických systémoch

s vysokým rozlíšením a pod. Pre hlbšie pochopenie takýchto systémov je potrebné poznať

aspoň základy z nelineárnej optiky. K tomu chce prispieť aj predkladaná učebnica. Táto

vznikla na základe prednášok konaných na FMFI UK v Bratislave pre študentov

magisterského štúdia odboru Optika ako úvodný kurz. V tomto kurze sú javy v prevaţnej

miere objasňované na báze klasickej fyziky s tým, ţe kvantovo mechanický prístup je

prezentovaný v doktorandskom štúdiu.

Obsah textu vyplýva zo snahy prezentovať všetky známe nelineárne optické javy. V tomto

smere sme sa pokúsili o akúsi systemizáciu kvadratických a kubických nelineárnych

optických javov podľa rovnakých kritérií. To znamená, ţe na základe výpočtu nelineárnych

polarizácii ukazujeme pri akých podmienkach aké nelineárne optické javy môţu vznikať.

Získavame tak kvalitatívny pohľad na nelineárne optické javy. Jednotlivé javy sú následne

analyzované a kvantitatívne opísané s vyuţitím viazaných rovníc. Do obsahu textov sú

zaradené kvôli kompaktnosti aj niektoré základné poznatky z lineárneho izotropného

a anizotropného prostredia, ktoré sa pri výklade nelineárnych optických javov vyuţívajú.

K zaradeniu týchto kapitol do textu nás navyše motivoval aj fakt, ţe v poslednom čase sme

svedkami výrazných zmien zniţovania obsahu prednášok v základnom kurze Optiky.

Z dôvodov kompaktnosti textov boli zaradené aj základné poznatky z kryštalografie

a z vlastností tenzorov nelineárnych susceptibilit. Podrobnejšie vysvetlenie niektorých

pojmov, resp. javov nespadajúcich do hlavného zamerania textu, ako aj podrobnejšie

výpočty, sú uvedené v niekoľkých zaradených poznámkach.

Sme vďační, za starostlivé prečítanie rukopisu a ďakujeme za všetky pripomienky

recenzentom prof. RNDr. Jarmile Müllerovej, PhD. a prof. RNDr. Pavlovi Veisovi, PhD.

Autori

Bratislava 2016

8

9

Úvod

Optické javy, s ktorými sme sa zaoberali v základnom kurze optiky sme študovali za predpokladu, ţe intenzita optického ţiarenia, ktoré sa šíri prostredím, nemá vplyv na tieto

javy. Takéto javy nazývame lineárne a optiku študujúcu tieto javy lineárnu optiku. Prostredie,

v ktorom tieto javy študujeme nazývame tieţ lineárnym prostredím. Predpoklad lineárnosti

optického prostredia má nasledovné štyri dôsledky, resp. zákonitosti: 1. optické parametre

látok ( index lomu, koeficient absorpcie, a i.) závisia len od frekvencie svetelnej vlny a nie od

intenzity svetla, 2. platí princíp superpozície, 3. pri šírení svetelnej vlny v prostredí sa

nemení jej frekvencia, 4. svetelný zväzok nepôsobí na druhý a nijako ho neovplyvňuje.

Pri interakcií svetelnej vlny, charakterizovanej intenzitou elektrického poľa E

( časovo

premenné pole s frekvenciou Hz1510 ) s prostredím dochádza k polarizácii prostredia P

a tým k vzniku vlny polarizácie. Lineárna optika vyuţíva pri opise tejto interakcie závislosť

polarizácie P

od intenzity elektrického poľa v tvare EP

0 , kde je susceptibilita

prostredia. Túto lineárnu závislosť treba chápať ako aproximáciu, ktorá platí len pre malé

intenzity. Treba si uvedomiť, ţe v prírode neexistujú striktné lineárne závislosti odozvy

prostredia na vonkajšie pôsobenie. Ako príklad moţno uviesť ucho, ako nelineárny detektor ,

ktorého citlivosť závisí od intenzity zvuku. Keďţe vo všeobecnosti moţno ľubovoľnú spojitú

funkciu, napísať v tvare mocninového (Taylorovho) rozvoja, potom uvaţovanú funkčnú

závislosť odozvy prostredia od intenzity elektrického poľa, moţno takto napísať v tvare

...200 EEP . V prípade vysokých hodnôt intenzity je potrebné uvaţovať vo

funkčnej závislosti aj s vyššie rády rozvoja. Otázkou je, od akých hodnôt intenzít je potrebné

uvaţovať vyššie rády a či takéto hodnoty intenzít elektrického poľa svetelnej vlny moţno

vôbec v reálnych podmienkach dosiahnuť. V prípade svetelných vĺn z klasických zdrojov, kde

hodnota intenzity elektrického poľa dosahuje hodnôt maximálne 102 Vm

-1

uvedená lineárna závislosť EP

veľmi dobre opisuje reálny stav. Avšak pri hodnotách

intenzity elektrického poľa nad 106 Vm

-1 treba uvaţovať aj vyššie rády rozvoja funkcie EP

a polarizácia sa tak stáva nelineárnou funkciou intenzity elektrického poľa svetelnej vlny.

Takéto hodnoty intenzity a podstatne vyššie moţno získať pri pouţití ţiarenia niektorých

laserov. Preto obdobie do vzniku laserov ( rok 1961) moţno nazvať obdobím lineárnej

optiky.

Svetelné vlny, ktoré nadobúdajú vyššie uvedené hodnoty intenzity elektrického poľa

nazývame aj intenzívne svetelné vlny. Pri šírení intenzívnej svetelnej vlny v prostredí

závislosť polarizácie P

prostredia od intenzity elektrického pola E

svetelnej vlny sa stáva

nelineárnou, takţe odozva prostredia na harmonický signál - svetelnú vlnu o frekvencii , uţ nebude harmonický signál, ale neharmonický signál. Takýto signál, ako je známe moţno

Fourierovou analýzou rozloţiť na súčet harmonických signálov o frekvenciách , 2 , 3,... . To znamená, ţe na výstupe z prostredia sa objavia aj svetelné vlny o

frekvenciách vyšších harmonických, čo v prípade slabých svetelných polí nebolo moţné.

Okrem toho pri svetelnej vlne s vysokou intenzitou, ako uvidíme niţšie, parametre prostredia

10

závisia od intenzity tejto vlny a tak v konečnom dôsledku prostredie ovplyvňuje šírenie sa

samotnej vlny, resp. intenzívna svetelná vlna môţe prostredníctvom zmeny parametrov

prostredia ovplyvňovať aj šírenie inej svetelnej vlny. Ako vidieť, pri interakcii intenzívneho

svetelného ţiarenia s prostredím neplatia uvedené štyri zákonitosti lineárnej optiky.

Vznikajú však kvalitatívne nové optické javy ako napr. generácie harmoník, optické

zosilnenie, javy samopôsobenia, samofokusácia, nelineárna absorpcia, konjugované vlny,

vynútené kombinačné javy a pod.. Optické javy, ktoré vznikajú pri interakcii intenzívnych

svetelných zväzkov s prostredím v dôsledku nelineárnej závislosti EP

, nazývame

nelineárnymi optickými javmi a optiku študujúcu tieto javy nelineárnou optikou. Podobne, aj

prostredie v ktorom je vybudená nelineárna polarizácia, nazývame nelineárnym prostredím.

Moţno tieţ povedať, ţe nelineárna optika, ktorá zahŕňa viacero fascinujúcich javov, skúma

optické javy závisiace od intenzity optického ţiarenia.

Nelineárna optika je pomerne mladá disciplína. Jej začiatky moţno poloţiť do 30. rokov

minulého storočia, kedy ruský fyzik S. I. Vavilov experimentálne zistil, ţe koeficient

absorpcie uránového skla klesá s rastúcou intenzitou svetla. Aj pri pouţití, v tých časoch,

najintenzívnejších svetelných zdrojov dosiahol len 1,5 % zmenšenia koeficienta absorpcie.

Intenzívnejšie zdroje svetla neexistovali a to neumoţnilo Vavilovovi pokračovať

v experimentoch. Aţ existencia laserov v 1961 potvrdila Vavilovov experiment v širšom

intervale intenzít a umoţnila búrlivý rozvoj nelineárnej optiky. Tento pokračuje

aj v súčasnosti, kedy sú k dispozícii nové typy laserov, hlavne s veľmi krátkymi impulzmi

s1514 1010 ( stoviek aţ desiatok- fs), pri dosahovaní 11710 VmE . Optické nelineárne javy sa v súčasností vyuţívajú v moderných diagnostických a technologických zariadeniach.

11

1. Dielektrické prostredia

1.1 Charakteristika prostredia

Pri interakcii svetelnej vlny s prostredím je potrebné vţdy špecifikovať prostredie,

v ktorom interakciu študujeme a správne ho opísať fyzikálnymi veličinami. Svetelná vlna

dopadajúca na prostredie je opísaná vektorom intenzity elektrického poľa . Odozva

prostredia na intenzitu elektrického poľa svetelnej vlny je polarizácia prostredia,

alebo elektrická indukcia , prípadne magnetická indukcia prostredia. Fyzikálne

veličiny charakterizujúce odozvu prostredia sú merateľné a preto musia byť reálne. Vo

všeobecnosti moţno pre odozvu pomocou indukcií písať

,

kde a sú tenzory kvadrupólových momentov a je magnetizácia prostredia.

V ďalšom budeme uvaţovať len dipólové priblíţenie, to znamená , ţe budeme predpokladať:

, , .

Môţeme to urobiť preto, ţe príspevky k polarizácii od kvadrupolových momentov v oblasti

optických javov sú takmer rovné nule.

Vo všeobecnosti charakterizujeme prostredia materiálovými parametrami a to indexom

lomu - n, permitivitou prostredia - a susceptibilitou - , ktoré môţu byť podľa typu

prostredia konštantami, alebo tenzormi, pričom môţu byť reálnymi, alebo komplexnými

veličinami. Prostredia s ktorými sa stretneme v tomto texte a v ktorých budeme interakciu so

svetlom opisovať môţeme rozdeliť nasledovne:

1. Lineárne - odozva prostredia na pole je lineárna =

Nelineárne - odozva je nelineárna

kvadratické prostredie

kubické prostredie

kubické prostredie

parametre a závisia od intenzity svetla a môţu byť aj tenzory

2. Nedisperzné - odozva prostredia na pole je okamţitá (idealizácia)

Disperzné - odozva nastáva po čase to je , kde

trE ,

E

trP ,

trD ,

trB ,

...0 QdivPED

...0 MQdivMHB

Q

MQ

M

0Q

0MQ

0M

P EP

,..,, 32 EEEPP 2,EEPP 32 ,, EEEPP 3,EEPP

00 tEPtP tEPtP 0 0tt

12

3. Izotropné - parametre , , sú skaláry a závisia len od frekvencie

Anizotropné - parametre , sú tenzory a závisia len od frekvencie

4. Homogénne - parametre , sú skaláry a závisia len od frekvencie

Nehomogénne - parametre , sú skaláry , ale závisia aj od polohy

5. Absorpčné - všetky reálne prostredia, maximálnu absorpciu a disperziu vykazujú

v oblasti blízko rezonančnej frekvencie

Neabsorpčné - idealizované prostredie, všetky reálne prostredia v oblasti ďaleko

od rezonančnej frekvencie môţeme povaţovať za neabsorpčné

Treba si uvedomiť, ţe reálne prostredia sú rôznymi kombináciami uvedených typov prostredí.

Poznámka k zápisu harmonických vĺn:

Pri štúdiu jednotlivých nelineárnych javov sa stretneme s nasledovnými zápismi a vyjadreniami elektrického

poľa:

monochromatická vlna

vyjadruje reálnu vlnovú funkciu , ktorú môžeme vyjadriť pomocou komplexnej vlnovej funkcie:

Reálnu vlnovú funkciu potom pomocou komplexnej vlnovej funkcie vyjadríme

kde KZ = je komplexne združené k a je komplexná amplitúda a platí

Monochromatické elektrické pole budeme vo všeobecnosti vyjadrovať v tvare:

= (1.0)

kde pre komplexná amplitúdu platí

alebo (1.0)

Keďže monochromatická vlna je idealizáciou ,reálne periodické elektrické pole budeme zapisovať ako sumu

diskrétnych monochromatických vĺn.:

),( trE = ]exp,exp,.[2

1

1

riktitrEriktitrE mmmmm

n

m

m

(1.0 a)

kde v skrátenom zápise predstavuje Fourierov obraz

V prípade, že budeme predpokladať nemennosť jednotlivých amplitúd od času a priestorových súradníc,

potom

Ak nás budú v ďalšom zaujímať len časové, resp. frekvenčné závislosti študovaného javu, budeme pole

vyjadrovať

(1.0 b)

V prípade záujmu o priestorové zmeny môžeme pole vyjadrovať v tvare:

r

rtratru cos, tru ,

tirUtiriratrU expexpexp,

tru ,

trU ,

KZtrUtrUtrUtrUtru ,2

1,,

2

1,Re,

trU , trU ,

rU

rarU

trE ,

tirEtrE expRe,

tirEtirE expexp2

1

rE

rkirErE 00 exp rirErE

exp0

mE mmE

mm EtrE ,

tiEtiEtE mmmmn

m

expexp2

1

1

13

),( trE = ]exp.exp.[2

1

1

rktirErktirE mmmmm

n

m

m

(1.0 c)

1.2 Lineárne izotropné prostredie

Lineárne izotropné prostredie moţno opísať nasledujúcimi materiálovými rovnicami:

= (1.1)

= (1.2)

= (1.3)

kde a sú materiálové parametre, ktoré sú v prípade izotropného prostredia konštanty

- skalárne veličiny. Závisia len od frekvencie. V prípade optických frekvencii totiţ platí, ţe

= . Vnútorné magnetické momenty (ak sú) sa nedokáţu zorientovať pod pôsobením

elektrického poľa svetelnej vlny a diamagnetické efekty sú príliš malé na to aby prispeli

k celkovej magnetickej indukcii ( preto ).

Na druhej strane elektróny rýchlo reagujú na vplyvy poľa aj pri optických frekvenciách

. Permitivita alebo vodivosť , niekedy aj obidve, majú hodnoty značne odlišné

od hodnôt vo vákuu. Niţšie ukáţeme, ţe neviazané - voľné elektróny zabezpečujú absorpčný

mechanizmus, čo je charakteristické pre kovové vodiče a plazmu, ktoré vykazujú malý

elektrický odpor, resp. veľkú vodivosť Dielektriká sú charakterizované veľmi malým

mnoţstvom voľných elektrónov, čo odpovedá malej hodnote vodivosti a teda vykazujú

značnú priepustnosť. Optické vlastnosti látok sú charakterizované priepustnosťou a tá, ako

vyplynie z ďalšieho je ovplyvňovaná posuvnými a nie vodivostnými prúdmi.

Ak na látku pôsobí vonkajšie elektrické pole o intenzite posunie viazané elektróny

(pôsobí proti vnútorným silám), ktoré sa snaţia vrátiť elektróny do pôvodnej rovnováţnej

polohy. V dôsledku tohto posunu náboja sa vytvoria vnútorné dipólové momenty. Celková

suma vnútorných dipólových momentov indukovaných v jednotke objemu je polarizácia .

Takţe pre celkovú indukciu v dielektriku môţeme písať:

= + (1.4 )

kde je indukcia vákua. Uvedený vzťah platí len pre tzv. dipólové priblíţenie, to

znamená, ţe pri výpočte indukcie sa neuvaţujú príspevky od vyšších multipólov ako napr.

kvadrupóp a pod. Príspevok od kvadrupólu mení vzťah (1.4) na tvar:

= + + (1.5 )

kde kvadrupólový moment. Príspevky od vyšších multipólov sú veľmi malé a uvaţuje sa

s nimi len pri výpočtoch veľmi jemných efektov. Preto pri našich úvahách vystačíme čisto

s dipólovým priblíţením , ktoré vyjadruje vzťah ( 1.4 ).

Indukované posuny nábojov v dielektriku môţu byť viacerých typov. Viazané náboje na

ktoré pôsobí elektrické pole nemusia totiţ byť len elektróny viazané v atómoch, molekulách,

B

H

D

E

J

E

,

0

1r

1510 Hz

.

E

P

D

0 E

P

E

0

D

0 E

P

div Q

Q

14

alebo v kryštáloch, ale aj ióny obidvoch znamienok a permanentné dipóly. Dipóly sú

v prostredí orientované náhodne a nedávajú ţiadnu výslednú makroskopickú polarizáciu

( okrem segnetoelektrik). Vonkajšie elektrické pole ich stáča do svojho smeru, čím dochádza

ku makroskopickej polarizácii. Ako vonkajšie elektrické pole budeme v ďalšom rozumieť

svetelnú vlnu, šíriacu sa v dielektriku, charakterizovanú vektorom elektrickej intenzity .

Budeme predpokladať rovinnú harmonickú vlnu o frekvencii v tvare:

= (1.6 )

Na optické frekvencie najrýchlejšie reagujú elektróny, ktoré sú zodpovedné za elektrónovú

polarizáciu. Preto sa v optike zaoberáme hlavne elektrónovou polarizáciou. V lineárnych

izotropných dielektrikách je indukovaná polarizácia priamoúmerná intenzite elektrického

poľa a je rovnobeţná s ňou, to je:

= ( 1.7 )

Pre indukciu potom moţno písať:

= = ( 1.8 )

Bezrozmerný koeficient je dielektrická susceptibilita a charakterizuje najdôleţitejšie

optické vlastnosti prostredia. Alternatívne moţno pouţívať permitivitu :

= = ( 1.9 )

alebo makroskopickú polarizovateľnosť :

= (1.9a )

Svetelné pole dopadajúce na dielektrikum je časovo premenné a v prostredí spôsobuje

časové posunutie , takţe vzniká Maxwellov posuvný prúd = . Posuvné prúdy, ktoré

tečú v dielektriku v dôsledku pôsobenia v čase sa meniacej intenzity elektrického poľa,

zahŕňajú okrem člena , opisujúceho prúd vo vákuu, aj prúd spôsobený meniacou sa

polarizáciou . Tento prúd pôsobí ako sekundárny zdroj elektromagnetických vĺn.

Pri štúdiu vlastnosti lineárneho izotropného prostredia moţno výjsť z Maxwellových

rovníc

= = -

= = (1.10)

E

E

2

1 KZrktiE

exp0

P

E

P

0 E

D

0 1 E

r 0 E

0 1 r 0

0

D

J

dt

Dd

dt

dE0

dt

dP

D

E

dt

Bd

B

0 Hdt

DdJ

15

Známym postupom získame z týchto rovníc vlnovú rovnicu

= - = - = - =-

= - (1.11a)

Po úprave dostávame vlnovú rovnicu:

+ = - - (1.11)

V rovnici je zahrnutý vplyv všetkých pohybujúcich sa nábojov v prostredí (členy na

pravej strane). Tieto ovplyvňujú vlnový vektor, o čom sa presvedčíme tak, ţe do vlnovej

rovnice dosadíme predpokladané riešenie harmonickej vlny:

= (1.12 )

Pri indukovanom pohybe elektrónov v dielektriku dochádza k stratám energie, čo súvisí

s tým, ţe kmitanie elektrónov je tlmené, v dôsledku čoho sa polarizácia fázovo oneskoruje

za intenzitou poľa elektrického poľa . Preto, podľa (1.7), susceptibilita musí byť vo

všeobecnosti komplexnou veličinou:

= + (1.13)

a na základe vzťahu (1.8) musíme aj permitivitu napísať ako komplexnú veličinu

(1.13a)

Ak uvaţujeme izotropné dielektrikum bez voľného náboja ( ), pre ktoré div = 0,

potom dvojnásobný vektorový súčin v rovnici (1.11 ) je rovný - . Aplikáciou

operátorov v tejto rovnici na harmonickú vlnu (1.12) máme:

- = , = - ... , = ... ,

dosadením do rovnice (1.11) dostávame:

- = -

a úpravou:

E

t

B

t

H

0 Ht

0

t

DJ

t

0

E

PE

tE

t

00

E

E

00 0 E

0 0 E

E

2

1 KZrktiE

00 exp

P

E

i

rrr i

0 E

E

2

2 E krtiEk

00

2

exp2

2

2

t

E

2

2

00E

t

E

2

0i 0E

2

0E 2k2

0E00

2

0 2

0E 2000 i

2

0E00

16

= (1.14)

Vidíme, ţe vektor k je komplexným vektorom. Veľká rozmanitosť optických vlastností

lineárnych izotropných prostredí je zahrnutá vo vzájomných hodnotách jednotlivých

parametrov , , a v ich frekvenčných závislostiach. Analyzujme vzťah (1.14) len pre

dva základné typy dielektrík.

1.2.1 Priehľadné dielektriká

Sú také, v ktorých prechádzajúce ţiarenie o frekvencii má takmer nulovú absorpciu,

t.j. = 0 a = 0 a . Z rovnice (1.14) potom dostávame:

= ,

odkiaľ ( = ) získame známy vzťah zo základného kurzu optiky

resp. = (1.14a)

tento vzťah, ako sme ukázali platí len pre priehľadné a neabsorpčné dielektriká.

1.2.2 Absorpčné dielektrika

Imaginárne členy v (1.14) uţ nemôţeme zanedbať, pretoţe vlna je tlmená. Ak je absorpcia

malá, pouţívame predchádzajúce výsledky ako dolnú aproximáciu. Ak , čo znamená

existenciu voľných elektrónov a ak , pre vlnové číslo k zo vzťahu (1.14) dostávame

=

takţe

= = - (1.15)

Vo všeobecnosti povaţujeme index lomu prostredia za komplexnú veličinu a označujeme ju

nasledovne:

= = + (1.16)

odkiaľ máme

= (1.17)

Porovnaním vzťahov (1.15) a (1.17) dostávame:

2k2

2

0

c

00

1

i

r

0

2k 1 20k2

0

2 kk 2n

211 n n r

00

2k2

0k

00

1

i

2n20

2

k

k ,r

00

i

n0k

krn i

2n rr nin 222

17

= , alebo (1.18)

Odkiaľ moţno získať vzťah pre reálnu zloţku indexu lomu:

(1.19)

Ak do rovnice ( 1.12), ktorá opisuje šírenie sa svetelnej vlny v prostredí dosadíme za

vlnové číslo výraz (1.16) dostávame:

= =

= (1.20)

Činiteľ charakterizuje absorpciu vlny s tlmiacim faktorom , ktorý, ako

vyplýva zo vzťahu (1.18) výrazne závisí od vodivosti prostredia . Uvedený výsledok

potvrdzuje skutočnosť, ţe za absorpčný mechanizmus v látkach sú zodpovedné voľné nosiče

náboja.

1.3 Anizotropné prostredie

Z hľadiska štúdia nelineárnych optických javov, hlavne kvadratických, majú významné miesto anizotropné prostredia, preto stručne uvedieme niektoré ich vlastnosti. V opticky anizotropných prostrediach závisia ich optické vlastnosti od smeru šírenia sa

svetla. Takţe rýchlosť šírenia sa svetla, index lomu a iné optické veličiny sú v rôznych

smeroch rôzne. Táto skutočnosť závisí od rozličných faktorov, ale hlavne od fyzikálnych

vlastností stavebných častíc prostredia a ich vzájomného pôsobenia. Takéto vlastnosti

vykazujú niektoré kryštalické látky. Opis optickej anizotropie je predmetom základného

kurzu a preto sa na tomto mieste sústredíme na najdôleţitejšie výsledky a hlavne na ich

geometrickú interpretáciu, ktorú v ďalších kapitolách budeme vyuţívať.

Anizotropia dielektrických vlastností prostredia znamená, ţe závislosť polarizácie

prostredia od smeru elektrického poľa nie je moţné charakterizovať len jednou skalárnou

veličinou – permitivitou vo vzťahu (1.7). Susceptibilita v takomto prípade závisí od smeru

vektora , teda aj od jeho zloţiek. Na základe toho moţno vzťah (1.7) napísať

zzzyzyxzxz EEEP 000 (1.21)

alebo

, stručne

r 22 rn

00

2

rn

002

rn

rn 212 r

0E ti 0exp ikrexp 0E ti 0exp rinik r 0exp

0E ti 0exp rnik r0exp rk 0exp

rk .exp 0

E

zxzyxyxxxx EEEP 000

zyzyyyxyxy EEEP 000

.,,,

0

EPzyx

EP

0

18

kde sú zloţky tenzora suceptibility

(1.22)

Zo vzťahu (1.4) pre anizotropné prostredie dostávame

=

Ak prvky tenzora permitivity , zapíšeme v tvare

dostávame pre elektrickú indukciu

alebo (1.23)

Kvantitatívne vzťahy pre šírenie sa svetla v anizotropnom prostredí vypočítame z vlnovej

rovnice pre anizotropné prostredie, ktorú získame nasledovným postupom.

Budeme predpokladať rovinné harmonické vlny v tvare

;

;

Pre takéto vlny prejdú operátory vystupujúce v Maxwellových rovniciach do tvaru:

Maxwellove rovnice potom môţeme napísať:

; ; ; ; (1.24)

Odkiaľ získavame

( ) a dosadením za z tretej rovnice ( )

dostávame vlnovú rovnicu v tvare

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

EEDzyx

,,

00

Ezyx

,,

0

EDzyx

,,,

0 ED

0

rktiEE .exp0 rktiDD

.exp0

rktiHH .exp0 rktiBB

.exp0

FkiFFrot

FkiFFdiv..

Fit

F

DiHki

0. Bki

BiEki

0. Dki

DHxk

H

EkH

0

1

19

(1.25)

Ak za dosadíme z rovnice (1.23) získavame vlnovú rovnicu pre anizotropné prostredie.

Rovnicu (1.25) môţeme získať aj z rovnice (1.11a) pre prípad harmonických polí, za

predpokladu .

Rovnica (1.25) sa často v nelineárnej optike pouţíva vo vyjadrení jednotkových

vektorových polí. Ak v rovnici (1.25) vyjadríme zo vzťahu (1.8) a predelíme

ju veľkosťami vektorov a dostávame:

Zavedením jednotkových vektorov ; a označením; ;

a rovnica (1.25) nadobudne tvar

alebo

(1.26)

V prípade, ţe uvaţujeme svetelné pole v tvare (1.0a), resp. (1.0b) nadobudne rovnica tvar:

(1.26a)

Z rovníc (1.24) a (1.25) moţno určiť vzťahy medzi a smerom šírenia v

anizotropnom prostredí:

1. vlnový vektor je kolmý na plochu rovnakej fázy, udáva teda smer vlnového

frontu. Fázová rýchlosť šírenia sa vlny má smer vektora .

2. Z Maxwellových rovníc vyplýva, ţe vektory a sú kolmé na smer šírenia

sa vlny, a .

3. Z definície Poyntingovho vektora = je jasné , ţe . Ale z podmienky

vyplýva, ţe vektor leţí v rovine určenej vektormi a .

DEkk

2

0

D

0

D

2

k

E

Ek

E

E

E

k

k

k

kr

2

2

00

Kkk

eEE

2

00 1 c

22

2 vk

222 nvc

en

eKK

2

0.2

ekn

eeKK r

0.2

mm

mrmmmm e

kneeKK

DE, H

, k

k

fv k

D

H

Dk

Hk

S

HE

ES

HE

E

k

D

20

4. Zo vzťahu (1.23) vyplýva, ţe vektory a medzi sebou zvierajú uhol ,

ktorý závisí od materiálu a nazýva sa uhol anizotropnej divergencie. Smer

šírenia sa toku energie – lúč je určený vektorom a s vektorom zviera uhol .

Rýchlosť, ktorou sa šíri energia je známa pod pojmom grupová rýchlosť a

v optike nazývaná tieţ lúčová rýchlosť. Vzťah uvaţovaných vektorov je graficky

znázornený na obr. 1.1. Z neho vyplýva, ţe vektory , , a tvoria

v anizotropnom prostredí komplanárnu štvoricu vektorov, teda leţia v kaţdom

okamihu v jednej rovine.

Obr. 1.1 Vzťah vektorov a v anizotropnom kryštáli

Vyjadrime ešte vzťahy medzi jednotkovými vektormi elektromagnetického poľa. K tomu

zaveďme ešte magnetické jednotkové vektory a jednotkový vektor Poyntingovho

vektora. .

a .

Z obrázku 1.1 je zrejme, ţe:

, kde a je reálne číslo.

Platí: = = . = a

resp. a = (1.27)

Z definície Poyntingovho vektoru máme

Z čoho dostávame často vyuţívanú identitu

. = - (1.28)

E

D

S

k

gv

E

D

k

S

kDE,, s

bh

s

HHh

SSs

h

a eK

1 h

a K

e

2sin cos

cos1

eKaehes

KeeeeK....cos1

s

cos K

Kee..

21

Riešenie vlnovej rovnice (1.25), resp. (1.26) vedie k známej Fresnelovej rovnici, z ktorej

vyplynú špecifiká šírenia svetla v anizotropnom prostredí. Medzi najdôleţitejšie patrí :

v danom smere sa v takomto prostredí šíria dva lúče s navzájom rôznymi rýchlosťami a rôznymi polarizáciami, pričom roviny polarizácie sú na seba

kolmé

z nekolineárnosti vektorov a vyplývajú rôzne hodnoty grupovej a fázovej

rýchlosti

V ďalšom sa sústredíme na objasnenie vlastností anizotropného prostredia pomocou

geometrickej interpretácie. Z tohto hľadiska je výhodné zaviesť k tenzoru dielektrickej

susceptibility inverzný tenzor , ktorý nazývame tenzor dielektrickej impermitivity ,

pričom

(1.29)

Materiálové vzťahy (1.23) potom píšeme v tvare:

alebo (1.30)

Zo vzťahu pre hustotu energie elektrického poľa

dostaneme vyjadrenie v zloţkovom tvare

(1.31)

Zavedením substitúcie získame vzťah

(1.32)

kde súradnice označíme: , , , pričom rozmer súradníc ,

vyplýva zo substitúcie. Táto rovnica, vyjadrujúca geometrické miesto bodov s rovnakou

hustotou energie, je rovnicou kvadratickej formy a predstavuje rovnicu elipsoidu. Vo

všeobecnosti nazývaný tieţ Fresnellov elipsoid.. Z geometrie je známe, ţe existuje práve

jedna ortogonálna súradná sústava Oxyz, v ktorej sa dá elipsoid zapísať bez zmiešaných

členov, to znamená, ţe tenzor impermitivity má v tejto sústave nenulové len diagonálne prvky

E

D

fg vv

1

DEzyx

,,,0

1DE

0

1

DEw.

2

1

DDwzyx

,,

02

02 wDk kt

zyx ,,,

1 t t

kt xt x yt y zt z zyx ,,

22

V tejto súradnej sústave nadobudne vzťah (1.27) tvar:

(1.33)

Pretoţe pre index lomu platí:

pre

môţeme rovnicu (1.33) prepísať:

(1.34)

Táto rovnica predstavuje rovnicu elipsoidu indexov lomu. Dĺţky jeho hlavných osi sú

veľkosti hlavných indexov lomu, ktoré sú charakteristickými veličinami kaţdej opticky

anizotropnej látky. Ak by sme vo vzťahu pre hustotu energie elektrického poľa dosadili

zo vzťahu (1.23), teda nevyuţili by sme tenzor dielektrickej impermitivity, dostali by sme

hustotu energie vyjadrenú prostredníctvom vektora , čo by viedlo k elipsoidu, v ktorom by

hlavné osi elipsoidu predstavovali veľkosti prevrátených hodnôt hlavných dielektrických

permitivít. ( ). Odtiaľ vyplýva aj význam zavedenia tenzora impermitivity.

Elipsoid indexov lomu vyjadrený vzťahom (1.34), udáva hodnoty indexu lomu prostredia

pre daný smer vektora svetla šíriaceho sa prostredím. Hodnotu indexu lomu určíme

nasledovne. Spojnica bodu P na povrchu elipsoidu a stredu elipsoidu O určuje polohový

nx

ny

nzD

0

P x,y,z[ ] R

Obr.1.2 Fresnelov elipsoid indexov lomu, nR

vektor , ktorého veľkosť sa rovná veľkosti indexu lomu pre svetlo polarizované tak, ţe

vektor je kolineárny so smerom (obr. 1.2). Poznamenávame, ţe vektor odpovedajúci

z

y

x

00

00

00

2221 zyx zyx

kkkn 1 zyxk ,,

2

2

2

2

2

2

1zyx n

z

n

y

n

x

D

E

zyx ,,

D

R

D

R

E

23

svetelnej vlne s vektorom , je kolmý na dotykovú rovinu elipsoidu, vedenú bodom P.

Z obrázku vidíme, ţe rôznym smerom polarizácie svetla odpovedajú rôzne indexy lomu

a teda aj rôzne rýchlosti. Otázkou je aký smer šírenia svetla odpovedá danej polarizácii

svetla - vektora . Túto úlohu jednoducho vyriešime inverznou úlohou, teda ak k zadanému

smeru šírenia budeme hľadať vektor . Zvoľme k elipsoidu (1.34) smer šírenia

(obr. 1.3). Vektor je vţdy kolmý na , preto bude leţať v rovine kolmej na vektor ,

prechádzajúcej stredom elipsoidu. Táto rovina vytvorí v elipsoide vo všeobecnosti rez v tvare

elipsy. Podmienke komplanárnosti vektorov vyhovujú z mnoţstva smerov vektora

len dva smery a a to také, ktoré majú smer hlavných osí elipsy vytvorenej

rezom. V týchto smeroch je vektor rovnobeţný s a vo všetkých ostatných smeroch

vektora smeruje vektor mimo rovinu určenú vektorom a . Takto získaný

výsledok potvrdzuje aj výsledok získaný z Fresnelovej rovnice, teda ţe v danom smere sa

šíria dve polarizované vlny , ktorých roviny polarizácie a sú navzájom kolmé

( ). Rovina je určená vektorom a vektorom a rovina vektormi a .

Rýchlosti týchto vĺn sú rôzne ( index lomu 1n > 2n , pričom 1n odpovedá veľkosti dlhšej

polosi – smer vektora 1D a 2n odpovedá veľkosti menšej polosi elipsy v smere vektora 2D ).

Vlna, ktorej vektor kmitá v rovine má väčší index lomu a šíri sa menšou rýchlosťou

Obr. 1.3 Možné smery vektorov D k danému smeru šírenia sa svetla

Anizotropné prostredia môţu byť charakterizované dvoma druhmi elipsoidov. Obecný

elipsoid charakterizuje anizotropné prostredie v ktorom . Z geometrie je

známe, ţe v takomto elipsoide existujú dva kruhové rezy , obr. 1.4. Smeru odpovedajúcemu

kruhovému rezu vyhovujú všetky moţné smery vektorov , pretoţe v tomto prípade je

vţdy kolineárne s , takţe rýchlosť šírenia sa svetla v tomto smere nezávisí od

polarizácie. Takýto smer nazývame optickou osou. Uvaţovaný elipsoid indexov lomu má

teda dve optické osi. Kryštály charakterizované obecným elipsoidom indexov lomu

nazývame dvojosové.

D

k

D

k

D

k

D

k

k

kDE,,

D

1D

2D

E

D

D

E

k

D

k

21 DD

1D

k

2D

k

D

zyx nnn

k

D

E

D

k

24

Obr. 1.4 Obecný elipsoid indexov lomu charakterizujúci dvojosový kryštál.

Rotačný elipsoid indexov lomu, charakterizuje anizotropné prostredie, v ktorom

. V ňom existuje jeden kruhový rez a priamka kolmá na tento rez odpovedá

optickej osi (obr. 1.5.). Táto, ako vidieť z obrázka je totoţná v danom prípade s osou z.

Kryštály, ktoré charakterizuje rotačný elipsoid indexov lomu nazývame jednoosové kryštály.

Obr. 1.5 Rotačný elipsoid indexov lomu charakterizujúci jednoosový kryštál

Ak budeme v jednoosovom kryštáli sledovať, ako sa menia veľkosti polosí elíps

vzniknutých rezom, reprezentovaných vektormi a pre rôzne smery šírenia svetla

v rovine obrázku (obr. 1.5.), zistíme, ţe kratšia polos reprezentovaná vektorom 2D

, smeruje

vţdy kolmo na rovinu nákresne a jej veľkosť je pre všetky uhly rovnaká. Veľkosť dlhšej

polosi elipsy, reprezentovanej vektorom 1D

, závisí od uhla šírenia sa svetla vzhľadom na

optickú os a vektor leţí v rovine nákresne. Zavedením definície roviny hlavného rezu,

určenej optickou osou a vektorom šírenia , moţno uvedené poznatky interpretovať

nasledovne:

nz

ny

nx

k2 k1

zyx nnn

1D

2D

k

1D

k

25

Vlna, ktorej polarizácia odpovedá smeru vektora , pričom, vektor je kolmý na

rovinu hlavného rezu (RHR) a ktorej index lomu

2n je konštantný, nazývame riadnou vlnou,

alebo ordinárnou a index lonu označujeme . Druhú vlnu, ktorej vektor leţí v RHR

nazývame mimoriadnou vlnou, alebo extraordinárnou. Index lomu mimoriadnej vlny

označujeme = 1n . Tento závisí od uhla , ktorý zviera optická os a smer šírenia sa svetla

.

Rotačný elipsoid charakterizujúci jednoosové kryštály je určený riadnym a mimoriadnym

indexom lomu. Podľa vzťahu ich vzájomných veľkosti rozlišujeme k l a d n é a

z á p o r n é jednoosové kryštály: v kladnom platí › (obr. 1.6a) a v zápornom

› , (obr. 1.6b).

a.) b.)

Obr. 1.6 Elipsoid indexov lomu a) jednoosového kladného kryštálu, b) jednoosového záporného kryštálu

Situáciu, zobrazenú na obr. 1.5, moţno vyuţiť na zobrazenie indexových plôch. Ak pre

kaţdý smer šírenia svetla vynesieme jemu odpovedajúce dve hodnoty indexov lomu

a do rovinného polárneho diagramu, v ktorom smer je smerom

optickej osi, dostaneme dve krivky . Na obr. 1.7a a 1.7b. sú tieto krivky zobrazené pre

kladný a záporný jednoosový kryštál. Kruţnica, ktorá v priestorovom zobrazení prejde do

gule, predstavuje indexovú plochu riadnej vlny. Druhé geometrické miesto bodov- elipsa,

ktorá v priestore prejde do rotačného elipsoidu, predstavuje indexovú plochu mimoriadnej

vlny.

Pri konštrukcii indexových plôch pre rôzne frekvencie treba mať na mysli disperziu indexu

lomu. Pri frekvenciách svetla platí v oblasti normálnej disperzie

, pre riadny aj pre mimoriadny index lomu.

V niektorých aplikáciách je výhodnejšie namiesto indexových plôch zobrazovať

vlnoplochy, resp. plochy vlnových vektorov pre danú frekvenciu (obr. 1.8). Tieto ľahko

získame z indexových plôch pomocou vzťahu , resp. , kde c je rýchlosť

svetla vo vákuu.

2D

2D

on 1D

en

k

en on

on en

no

ne

ne

none

no

k

onn 2 enn 100

21

1n 2n

cnk oo cnk ee

26

Obr. 1.7 Indexové plochy jednoosového kryštálu a.) kladného, b.) záporného, c.) kladného pre dve rôzne frekvencie

Obr. 1.8 Plochy vlnových vektorov

no

ne

oo

oo

oo

ne( )

ne

no

no( )2

ne( )2

no( )1

ne( )1

a.) b.)

c.)

ko

ke

oo

27

Grafický priebeh indexových plôch umoţňuje získať analytický vzťah pre závislosť

mimoriadneho indexu lomu od smeru šírenia = . Indexová plocha v priestore je

plocha rotačného elipsoidu (obr. 1.9a). Pretoţe ide o kruhovú symetriu, stačí vybrať rovinný

rez vytvorený napríklad rovinou xz prechádzajúcou stredom elipsoidu pre x=0. Pre kladný

kryštál , v ktorom optická os je totoţná s osou z dostávame elipsu v súradniciach Ozy,

(obr. 1.9b). Rovnicu takto vzniknutej elipsy moţno vyjadriť v tvare

(1.35)

a) b)

Obr. 1.9 K výpočtu závislosti indexu lomu mimoriadnej vlny od uhla , ktorý zviera smer

šírenia sa svetla s optickou osou kryštálu

Veľkosť úsečky OA určuje index lomu mimoriadnej vlny pre smer šírenia daný uhlom

vzhľadom na optickú os. Veľkosť indexu lomu (obr. 1.9b) sa mení od hodnoty pre

prípad, kedy , aţ po pre , čo je hodnota uvádzaná v tabuľkách.

Z trojuholníka OKA moţno vyjadriť y – ovú a z – ovú zloţku :

a dosadením do vzťahu (1.34) máme:

alebo

en en en

12

2

2

2

eo n

z

n

y

no

ne( )k

o oo o

kA x ,y[ ]

ne( )

no

ne

y

z

en on

0 ee nn 90

en

cos.eny sin.enz

1

sincos2

22

2

22

e

e

o

e

n

n

n

n

28

= + (1.36)

Tento vzťah platí aj pre záporný kryštál, čo moţno ľahko ukázať.

1.4 Klasická mikroskopická teória susceptibility

a disperzie

Disperzia vo všeobecnosti charakterizuje závislosť fyzikálnej veličiny od frekvencie. V optike týmto pojmom označujeme závislosť indexu lomu od vlnovej dĺţky resp. od

frekvencie svetelného ţiarenia šíriaceho sa prostredím.. V lineárnych prostrediach, kde index

lomu, resp. permitivita, nezávisia od intenzity elektrického poľa šíriacej sa svetelnej vlny,

odozva prostredia – polarizácia závisí lineárne od intenzity elektrického poľa . Klasická

mikroskopická teória podľa Lorentza interpretuje túto lineárnu závislosť pomocou väzbových

síl elektrónu k jadru, ktoré povaţuje za pruţné sily typu:

= -

Vplyv magnetického poľa je malý, takţe elektróny sú nútené vykonávať kmitavý pohyb pod

vplyvom elektrického poľa. Predpokladajme, ţe na izotropné prostredie zloţené z j druhov

atómov pôsobí svetelné ţiarenie, ktorého intenzita elektrického poľa je daná vzťahom (1.12)

( má len x- ovú zloţku), takţe elektrón bude kmitať v smere osi x. Pre makroskopickú

polarizáciu prostredia potom platí

= - = (1.37)

kde je susceptibilita prostredia, posunutie elektrónu j – tého typu atómu,

veličina známa zo spektroskopie ako sila oscilátora a udáva podiel počtu Nj indukovaných

dipólov daného typu atómov, ktoré kmitajú pod pôsobením poľa, ku koncentrácií N atómov

( je menšie ako 1).

Pod vplyvom svetelnej vlny a pruţných síl môţeme posunutie elektrónu v atóme opísať

pomocou vynútených, tlmených harmonických oscilácií. Pohybová rovnica pre takýto

elektrón má tvar:

= - - - (1.38)

kde prvý člen na pravej strane predstavuje vynucujúcu silu od svetelnej vlny, druhý člen

vyjadruje pruţné sily a tretí tlmenie. Označením upravíme rovnicu na tvar:

(1.39)

Nakoľko elektrón sleduje zmeny priloţeného poľa predpokladáme riešenie rovnice v tvare:

21

en2

2cos

on

2

2sin

en

P

E

F

k r

P

N e jj

j xf

0 E

jx

jf

jf

m jx e E

jk jx

2 m j jx

2

jj mk

m

Eexxx jjjjj

22

29

(1.40)

Dosadením tohto výrazu do rovnice (1.39) a vykonaním derivácií dostávame pohybovú

rovnicu (napísanú pre jednoduchosť v skalárnych veličinách, bez komplexne zdruţených

výrazov)

odkiaľ dostávame:

(1.41)

Pre posunutie elektrónu z (1.40) môţeme písať:

(1.42)

Posunutie elektrónu je komplexné číslo, čo znamená, ţe polarizácia prostredia, ako

odozva na pôsobiace pole nie je s ním vo fáze. Dosadením (1.42) do vzťahu (1.37)

pomocou (1.13) dostávame:

= - = (1.43)

Poznámka k lokálnemu poľu: V našom prístupe sme kvôli jednoduchosti predpokladali, že na uvažovaný elektrón pôsobí elektrické pole, ktoré sa rovná veľkosti E intenzity vonkajšieho elektrického poľa svetelnej vlny vzťah (1.12). V skutočnosti, ako je známe zo základného

kurzu Elektromagnetizmu, na elektrón v látke pôsobí lokálne pole , ktorého veľkosť je . Táto

skutočnosť spôsobí malú zmenu vo výsledku (vzťah (1.43), ktorú možno vypočítaným korekčným členom upraviť. Takýto prístup je bežný v nelineárnej optike hlavne pri výpočte vyšších rádov polarizácie, kedy by lokálne pole značne komplikovalo výpočty. Korekčné členy sú v literatúre dobré známe.

Reálnu a imaginárnu zloţku susceptibility ľahko získame z posledného vzťahu

= (1.44)

= (1.45)

Vzťah (1.14) pre prejde na tvar,

KZtixx jj 00 exp2

1

m

eExxix jjjjj

0

0

2

000

2

0 2

02020

0

2 jjj

i

meEx

tixtixx jjj 0*000 expexp2

1

P

E

i

j jj

j

i

f

m

Ne

0

2

0

20

2

2

LE 03PEEL

jjj

jjf

m

Ne

2

0

222

0

2

2

0

2

0

2

4

j jj

jjf

m

Ne

2

0

222

0

2

0

0

2

4

2

0

30

na základe vzťahu (1.9) a identity , moţno vo všeobecnosti pre index lomu písať:

n= inr = 21

1 =

21

0

2

0

22

0

2

21

jjj

j

i

f

m

Ne

(1.46)

Druhý člen je malý, hlavne v prípade plynov, preto moţno posledný vzťah rozloţiť do radu.

Ak sa ohraničíme len na prvé dva členy

inr =1 +

j jj

j

i

f

m

Ne

0

2

0

20

2

22 (1.47)

Odkiaľ pre reálnu a imaginárnu zloţku indexu lomu dostaneme.

rn = 1 +

jjj

jjf

m

Ne

2

0

222

0

2

2

0

2

0

2

42

= 1 + (1.48)

= -

j jj

jjf

m

Ne

2

0

222

0

2

0

0

2

4

2

2

= (1.49)

V blízkosti rezonancie, kedy moţno pouţiť priblíţenie

( - ) 2 , tak dostávame namiesto vzťahov (1.44) a (1.45)

= (1.50)

= - (1.51)

Analogicky môţeme napísať vzťahy pre zloţky indexu lomu v prípade keď sa frekvencia

svetla blíţi k rezonančnej frekvencii. Závislosť a od frekvencie (1.50) je na obr.

1.10. V grafickom priebehu zloţky moţno pozorovať dve oblasti. V jednej rastie

s rastúcou frekvenciou. Tejto oblasti hovoríme oblasť normálnej disperzie ( poznamenávame,

ţe pre frekvencie nadobúda susceptibilita záporné hodnoty). V druhej oblasti, ktorá

je pomerne úzka, klesá s rastúcou frekvenciou. Táto oblasť je oblasťou anomálnej

11 202

0

2 kikk

nkk 202

2

1

2

1

0 j

2

j2

0 00 j

0

4

2

22

00

00

0

2

j

jj

jjf

m

Ne

j jj

jjf

m

Ne

22

000

2

2

0 j

31

disperzie. V oblasti anomálnej disperzie pri rezonančnej frekvencii nadobúda nulovú

hodnotu. Naopak, práve pri tejto frekvencii nadobúda zloţka maximum. Táto zloţka

charakterizuje absorpciu - absorpčnú čiaru, ktorej priebeh má Lorentzovský tvar. Pološírka

absorpčnej čiary, ktorá určuje priamo frekvenčný interval vymedzený hodnotami priebehu na

úrovni ½ maximálnej hodnoty, je úmerná parametru tlmenia . Pripomíname, ţe

rezonančná frekvencia atómu , vyššie označená ako , je z kvantovo mechanického

pohľadu

Obr. 1.10 Závislosť reálnej a imaginárnej zložky susceptibility od frekvencie

frekvenciou odpovedajúcou rozdielu energii dvoch energetických hladín predelene

Obr. 1.11 Závislosť zložiek susceptibility pre látku s viacerými vlastnými frekvenciami.

j

j2

mk jj 2

,

,,

j

,

32

Planckovou konštantou, medzi povolenými energetickými hladinami. Preto je aj šírka

absorpčnej čiary rovnako široká ako šírka emisnej čiary.

V prípade, ţe je látka zloţená z viacerých typov atómov, potom kaţdému typu atómu

odpovedá iná vlastná frekvencia a kaţdej takejto frekvencii odpovedá aj osobitná absorpčná

čiara a samostatný priebeh zloţky . Dostávame tak absorpčné spektrum látky a priebeh

disperzie . Schematicky je takýto priebeh zobrazený na obr. 1.11.

Na základe vzťahov (1.50) a (1.51) moţno povedať, ţe pri rezonančnej frekvencii je

susceptibilita prostredia čisto imaginárna a naopak, pri frekvenciách ďaleko od

rezonančnej. frekvencie je čisto reálna. Pri ostatných frekvenciách je susceptibilita

komplexným číslom. V prípade anizotropného prostredia, kedy je susceptibilita tenzorovou

veličinou, sú v oblasti rezonančnej frekvencie všetky prvky tenzora susceptibility čisto

imaginárne a pri frekvenciách ďaleko od rezonančnej sú prvky tenzora susceptibility čisto

reálne.

V ďalšom, ak budeme hovoriť o absorpčnom prostredí budeme mať na mysli frekvenčnú

oblasť blízko rezonančnej frekvencie prostredia. Naopak pri neabsorbujúcej látke resp. bez

disperznom prostredí, budeme predpokladať frekvenčnú oblasť ďaleko od rezonančnej

frekvencie, kde sa zloţka s frekvenciou takmer nemení a zloţka je v takom prípade

rovná nule, čiţe susceptibilita je čisto reálna.

Poznámka Zo vzťahov (1.41) až (1.51) je zrejme, že reálna a imaginárna časť indexu lomu spolu súvisia. Túto súvislosť možno získať tak, že sa určí prenosová funkcia lineárneho systému, ktorá je daná Fourierovou transformáciou

impulzovej odozvy daného prostredia a uplatní sa princíp kauzality. Vzťahy, ktoré explicitne vyjadrujú reálnu

časť indexu lomu pomocou imaginárnej časti indexu lomu a naopak sa nazývajú Kramersove – Kronigové

vzťahy.

33

2. Slabé a silné optické polia

Pri opise interakcie svetelného poľa s látkou sme predpokladali, ţe polarizácia, ako

odozva prostredia na elektrické pole svetla je lineárna, čo je dôsledkom toho, ţe optický

elektrón vykonáva tlmený harmonický oscilačný pohyb. Takáto závislosť, ako sme uviedli

je akousi lineárnou aproximáciou, ktorá verne opisuje interakciu len pre slabé polia . Pri

vyšších intenzitách elektrického poľa, tak ako aj pri iných fyzikálnych javoch, je potrebné

uváţiť aj vyššie členy rozvoja polarizácie, ako sú kvadratické resp. kubické. Polarizácia

potom nadobúda nelineárnu závislosť od intenzity elektrického poľa:

+ ... (2.1)

kde a sú susceptibility druhého a tretieho rádu. Je zrejme, ţe takúto závislosť uţ

nedokáţeme opísať optickým elektrónom ako harmonickým oscilátorom, ale je potrebné

povaţovať elektrón za anharmonický oscilátor.

Zaoberajme sa otázkou, pri akých intenzitách svetelného poľa prestáva platiť lineárna

závislosť medzi polarizáciou a intenzitou elektrického poľa svetelnej vlny, teda s čím

treba porovnávať intenzitu svetelného poľa, aby bolo moţné posúdiť platnosť spomínanej

lineárnej závislosti. Ukazuje sa, ţe rozhodujúcim v tomto smere je elektrické pole vo

vnútri atómu. Toto pole vyjadruje mieru vzájomného pôsobenia optického elektrónu

s atómovým jadrom. Veľkosť moţno určiť z Coulombovho zákona: = ,

kde je náboj elektrónu a je polomer dráhy elektrónu a permitivita vákua. Ak

dosadíme príslušné hodnoty r0=10-10

m, dostávame, E0= 1011

Vm-1

. Táto hodnota

vnútorného poľa predstavuje maximálnu hodnotu, ktorá bola získaná pre model atómu

vodíka. V materiáloch nadobúda vnútorné pole niţších hodnôt, napríklad v polovodičoch

okolo 109 - 10

10 Vm

-1

Najintenzívnejšie klasické zdroje svetla umoţňovali získavať intenzitu (104 - 10

5 )

Wm-2

, čo odpovedá intenzite elektrického poľa E 10 - 102 Vm-1 ( , kde

je index lomu prostredia a je rýchlosť svetla vo vákuu). Takéto polia sú v porovnaní

s vnútorným poľom zanedbateľné a polarizáciu dobre opisuje lineárna časť výrazu (2.1).

Optické javy opísané na základe tohto vzťahu, nazývame l i n e á r n e o p t i c k é j a v y

a optiku lineárnou optikou. V nej sa zachováva tvar harmonickej vlny šíriacej sa prostredím,

platí zákon superpozície a optické javy nezávisia od intenzity svetelnej vlny. V prípade

slabých polí je pohyb elektrónu v poli jadra pohybom v potenciálovej jame konečnej hĺbky,

kde potenciál moţno napísať v tvare = ( pre jednoduchosť neuvaţujeme vplyv

poľa od susedných atómov, ktorý čiastočne prispieva k deformácii potenciálovej jamy).

Deriváciou získame závislosť sily od posunutia , čo predstavuje pruţnú

E

330

22

0

1

0 EEEP

2 3

P

E

0E

0E

0E 200

4

1

r

e

e 0r 0

I

220 EncI

n c

xV 22xk

xxV kxF

34

silu a pohyb elektrónu pod vplyvom takejto sily predstavuje vyššie spomínaný

h a r m o n i c k ý o s c i l á t o r.

Intenzívne impulzné lasery s pikosekundovou (ps) dĺţkou impulzu dosahujú intenzitu

ţiarenia I = (1011

- 1015

) Wm-2

, čo odpovedá intenzite elektrického poľa E = ( 106 - 10

10)

Vm-1

. Takúto hodnotu uţ nemoţno zanedbať v porovnaní s vnútorným poľom a pri

interakciách prostredí s takýmito svetelnými poľami je potrebné pouţiť pri výpočtoch vzťah

(2.1). Optické javy, opísané touto nelineárnou závislosťou nazývame

n e l i n e á r n e o p t i c k é j a v y . Pri nich neplatí zákon superpozície, javy závisia od

intenzity dopadajúcej svetelnej vlny a na optický elektrón je potrebné pozerať ako na

a n h a r m o n i c k ý o s c i l á t o r.

Obr. 2.1 Potenciálová jama pri slabých a silných svetelných poliach. 1- potenciál pri slabých optických poliach

, 2 – potenciál pri silných optických poliach

V prípade silných svetelných polí dochádza k deformácii potenciálovej jamy (obr. 2.1 )

( príspevok k deformácii závisí od veľkosti poľa) a pre potenciál moţno písať

(2.2)

Odtiaľ, deriváciou , pre závislosť sily od posunutia elektrónu dostávame :

(2.3)

Sila pôsobiaca na elektrón je tak uţ nelineárna a nazývame ju tieţ kvázipruţnou silou.

Elektrón vykonáva pod vplyvom takejto sily anharmonický pohyb - stáva sa

anharmonickým oscilátorom. Dôsledkom toho je, ţe odozva prostredia nelineárne závisí

od intenzity svetelného poľa ( priebeh 2 na (obr. 2.2)). Sekundárne vlny, ktoré vysielajú

elektróny neodpovedajú tvaru harmonickej primárnej vlny 4 na (obr. 2.2), ale sú

deformované – neharmonické ( priebeh 3 na (obr.2.2)). Na základe Fourierovej analýzy

moţno však tieto periodické , neharmonické vlny rozloţiť na súčet harmonických vĺn

s frekvenciámi , , , ... .To znamená, ţe z prostredia sa okrem dopadajúcej vlny s

V x( )1

2

x

22xkxV 32 32 xkxkxV

...432

432

xkxkkx

xV

xxV

32 xkxkkxF

P

E

2 3

35

Obr. 2.2 Závislosť polarizácie od intenzity svetelného poľa, 1 – lineárna, 2 – nelineárna, 3 – odozva optického elektrónu kmitajúceho v potenciálnej jame na harmonické svetelné pole 4

v prípade intenzívneho svetelného poľa, kedy je harmonický signál deformovaný

frekvenciou šíri aj vlna s dvojnásobnou a trojnásobnou frekvenciou. Prostredie teda

generuje aj ţiarenie na vyšších harmonických frekvenciách, okrem uvedených generácií

harmoník vyvoláva intenzívna svetelná vlna mnoţstvo ďalších efektov, pričom za niektoré

z nich je zodpovedný aj vynútený pohyb jadra atómu vyvolaný pôsobením práve silného

svetelného poľa. Takéto efekty, predstavujú kvalitatívne nové fyzikálne javy v optike, za

ktoré sú zodpovedné vlny nelineárnej polarizácie.

O tom, aké efekty vznikajú pri interakcii silného svetelného poľa s látkou, hovorí vlna

odozvy prostredia – nelineárna polarizácia prostredia. Preto budeme v ďalšom venovať

pozornosť práve výpočtu nelineárnej polarizácie prostredia hlavne jej kvadratickej

a kubickej zloţky a následne výpočtu ich susceptibilít. Ukáţeme dva prístupy výpočtu

nelineárnej polarizácii prostredia.

P

E

P= E P= E+ E

, 2

12

3

4

36

3. Výpočet nelineárnej polarizácie s využitím

mikroskopického modelu susceptibility

s uvážením anharmonického oscilátora –

Nelineárna zložka susceptibility

Na prvom mieste uvedieme metódu výpočtu nelineárnej polarizácie vyplývajúcu

z mikroskopického Lorentzovho modelu susceptibility, kde namiesto lineárneho

harmonického oscilátora budeme uvaţovať anharmonický oscilátor. Analogickým postupom,

ako v časti 1.3, budeme riešiť prípad keď v izotropnom dielektriku pôsobí na optický

elektrón intenzívna svetelná vlna

Nech pod jej vplyvom elektrón kmitá v smere osi x. V pohybovej rovnici pre elektrón, v

prípade intenzívnej svetelnej vlny, bude vystupovať namiesto pruţnej sily kvázipruţná sila

daná vzťahom (2.2). Ak označíme ; ; , pohybová rovnica

(1.39) nadobudne tvar:

(3.1)

Dosadením riešenia do vzťahu (1.21) vypočítame polarizáciu prostredia pre intenzívnu

svetelnú vlnu. Rovnica (3.1) je nelineárna a vo všeobecnom prípade ťaţko riešiteľná.

Pomerne ľahko ju však moţno riešiť ak predpokladáme, ţe riešenie môţeme rozloţiť do

radu, ktorého jednotlivé členy sú priamo úmerné mocninám intenzity elektrického poľa ,

čo moţno napísať:

pričom, sú úmerné . Pre jednoduchosť prejdeme v ďalšom na skalárny zápis.

Pre takýto prípad dostaneme pre sériu rovníc, pričom do kaţdej vstupujú len členy

s rovnakou mocninou vzhľadom na . Takáto schéma je obdobou poruchového počtu

v kvantovej mechanike. V ďalšom, pre jednoduchosť dočasne vynecháme indexovanie podľa

„j“ (predpokladáme sústavu pozostávajúcu z jedného typu atómov). Obmedzíme sa len na

prvé tri členy radu, takţe , pričom , , . Dosadením

za do (3.1) máme:

KZtiEE 00 exp2

1

mk mk mk2

m

Eexxxxx jjjjjjjj

322

2

jx

jx

E

n

jnj xx

jnxnE

jx

E

321 xxxx 1

1 Ex 2

2 Ex 3

3 Ex

x

23213212

321321 2 xxxxxxxxxxxx

37

(3.2)

Pri naznačenom roznásobení si treba uvedomiť, úmernosť členov na mocnine E, takţe napr.

členy ; ; a pod. Porovnaním členov úmerných s

dostávame tri rovnice:

(3.3)

(3.4 )

(3.5)

Riešenie rovnice (3.3) pre prípad vynucujúcej sily ako svetelnej vlny danej vzťahom

uţ poznáme (1.41), resp. (1.42)

kde

(3.6)

Pravá strana rovnice (3.4) predstavuje vynucujúcu silu, ktorá má tvar , kde

(3.7)

Dosadením tohto vzťahu do rovnice (3.4) dostávame:

(3.8)

kde

Pri riešení rovnice (3.8) postupujeme rovnako, ako v prípade rovnice (3.3). To znamená, ţe

predpokladáme kmitanie s rovnakou frekvenciou ako vybudzujúce pole (sila), ktoré je

v našom prípade reprezentované pravou stranou rovnice (3.8). Ináč povedané, kmitá tak

ako

m

eExxx

3

321

42

2 Ex 5

32 Exx 93

3 Ex 321 ,, EEE

1Em

eExxx 12

11 2

2E2

12

2

22 2 xxxx

3E3

1213

2

33 22 xxxxxx

titiEE 000 expexp2

1

tixtixx 0*100101 expexp2

1

020210

2 i

meEx

2

1x

KZxxtixx *1010021021 2exp4

1

22

22 2 xxx

KZ

ii

E

i

tiE

m

e

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

2

222

2exp

4

000 EEE

2x

2x

2

1x

38

.

Takţe predpokladáme riešenie v tvare:

(3.9)

Po dosadení (3.9) do (3.8) a derivácii dostávame ( nezávisí od času)

=

Porovnaním členov pri exponentoch a dostávame:

20202020200

2

20

1

222

ii

EE

m

ex

Z toho dostávame výsledné riešenie pre

+

+ (3.10)

Zo vzťahu (3.10) vyplýva, ţe pozostáva z dvoch členov. Prvý opisuje kmitanie

s frekvenciou a druhý je časovo nepremenný- stacionárny

10*10*101002100210212 2exp2exp4

1xxxxtixtixxx

2x

KZxtixx 200202 2exp4

1

10x

KZxtixtixitix 2020202020002020 2exp2exp42exp44

1

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

2

222

2exp

4

ii

E

i

tiE

m

e

tie 0

2 0e

0

2

0

22

0

2

0

2

2

0

2

2

20

22422

ii

E

m

ex

2x

KZ

ii

tiE

m

ex

0

2

0

22

0

2

0

2

0

2

0

2

2

2

2222

2exp

24

1

KZii

EE

m

e2

0

2

0

2

0

2

0

2

00

2

2 1

2224

1

2x

02

39

Podobne budeme postupovať aj pri riešení diferenciálnej rovnice (3.5). Po dosadení

vypočítaných riešení a do pravej strany (3.5) a vykonaní naznačených súčinov,

dostávame po úprave diferenciálnu rovnicu:

- (3.11)

kde KZ sú komplexne zdruţené výrazy k výrazom A a B, ktoré majú tvar:

(3.12)

Vidíme, ţe zdrojová funkcia (pravá strana rovnice (3.11) vyjadruje kmitanie na frekvencii

a . Preto budeme predpokladať, ţe riešenie rovnice (3.11) bude obsahovať tie isté

harmonické zloţky, ak zdrojová funkcia, teda

(3.13)

Po dosadení (3.13) a (3.12) do (3 11), vykonaní príslušných derivácií a porovnaní členov

s rovnakými frekvenciami, dostávame

0

2

0

23

0

2

0

2

0

2

0

2

3

0

3

32

30

22223232

iii

E

m

ex -

-

02

0

2

0

2

0

2

3

0

3

3

23234

ii

E

m

e (3.14)

1x 2x

32

33 2 xxx KZAm

e

3

32

8

KZB

m

e

3

3

8

2

0

2

0

22

0

2

0

2

00

2

0

0

2

0

22

0

2

0

2

0

2

0

2

00

2

0

22

0

2

0

2