Não comutatividade e dualidade t em cordas bosônicas
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Um Estudo sobreNao-Comutatividade e
Dualidade T emCordas Bosonicas
Rafael D’Andrea Alves da Rocha
Orientador: Nelson Ricardo de Freitas Braga
Um Estudo sobre Nao-Comutatividade eDualidade T em Cordas Bosonicas
Rafael D’Andrea Alves da Rocha
Tese de Mestrado apresentada ao Programa dePos-Graduacao em Fısica, Instituto de Fısica, daUniversidade Federal do Rio de Janeiro, comoparte dos requisitos necess´arios a obtencao dotıtulo de Mestre em Ciˆencias (Fısica).
Orientador: Nelson Ricardo de Freitas BragaColaborador: Carlos Alfonso M. Ball´on Bayona
Rio de JaneiroMarco de 2008
D’Andrea, Rafael
Um Estudo sobre N˜ao-Comutatividade e Dualidade T em
Cordas Bosonicas/ Rafael D’Andrea A. da Rocha. Rio de
Janeiro: UFRJ/IF, 2008.
xi, 91f.: il. ; 30cm.
Orientador: Nelson Ricardo de Freitas Braga.
Dissertacao (Mestrado) - UFRJ / Instituto de Fısica /
Programa de P´os-graduacao em Fısica, 2008.
Referencias Bibliograficas: f. 90-93.
1. Teoria de Cordas. 2. Nao-Comutatividade. 3. Du-
alidade T. 4. Quantizacao de Dirac. 5. D-branas. I. Braga,
Nelson Ricardo de Freitas. II. Universidade Federal do Rio
de Janeiro. Instituto de Fısica. Programa de P´os-graduacao
em Fısica. III. Um Estudo sobre N˜ao-Comutatividade e D-
ualidade T em Cordas Bosonicas.
Resumo
Um Estudo sobre Nao-Comutatividade e Dualidade T em Cordas
Bosonicas
Rafael D’Andrea Alves da Rocha.
Orientador: Nelson Ricardo de Freitas Braga.
Colaborador: Carlos Alfonso M. Ball´on Bayona.
Resumo da Dissertacao de Mestrado submetida ao Programa de Pos-graduacao em Fısica, Instituto de Fısica,
da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessarios a obtencao do t´ıtulo de
Mestre em Ciˆencias (Fısica)
A dissertacao e um estudo sobre nao-comutatividade e dualidade T em D-branas de cor-
das bosonicas. Particularmente, o objetivo e investigar se (ou como) a nao-comutatividade
se manifesta no sistema dual a uma D2-brana com campo magnetico, este sendo um espaco
nao-comutativo. O trabalho organiza-se como a seguir: 1. Introducao da corda bosonica. 2.
Quantizacao da corda. Surgimento da n˜ao-comutatividade em cordas ligadas a D-branas com
campo de fundo constante. 3. Breve exposicao sobre dualidade T em cordas fechadas e abertas.
Apresentacao dos ”candidatos” a sistema dual. 4. Quantizacao dos candidatos. 5. Conclus˜oes.
Palavras-chave: teoria de Cordas, nao-comutatividade, dualidade T, quantizacao de Dirac, quantizacao
simpletica, D-branas.
Rio de Janeiro
Marco de 2008
Abstract
A Study of Noncommutativity and T-Duality in Bosonic Strings
Rafael D’Andrea Alves da Rocha.
Advisor: Nelson Ricardo de Freitas Braga.
Collaborator: Carlos Alfonso M. Ballon Bayona.
Abstractda dissertacao de Mestrado apresentada ao Programa de Pos-graduacao em Fısica, Instituto de Fısica,
da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessarios a obtencao do t´ıtulo de
Mestre em Ciˆencias (Fısica)
The dissertation is a study on noncommutativity and T-duality in D-branes for bosonic
strings. In particular, the goal is to figure out whether (or how) noncommutativity appears in a
system dual to a D2-brane with background, which a known noncommutative space. The work
is organized as follows: 1. The bosonic string setup is introduced. 2. The string is quantized by
means of several methods; noncommutativity shows up for a D2-brane with a constant B-field
spread over it. 3. A brief explanation on T-duality in closed and open strings is given; the
candidates for a dual system are presented. 4. Those candidates are quantized. 5. Conclusions.
Key-words: string theory, noncommutativity, T-duality, Dirac quantization, symplectic quanti-
zation, D-branes.
Rio de Janeiro
March 2008
Indice
1 Introduc ao 6
1.1 A acao da corda bosonica livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Introducao dos campos de fundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Compatibilidade entre comutadores e condicoes de contorno . . . . . . . . . . 13
1.4 A expans˜ao em modos de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Quantizacao e Nao-Comutatividade 18
2.1 Quantizacao via equacao de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Quantizacao simpletica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Quantizacao de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Dualidade T 33
3.1 Cordas fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.1 Cordas fechadas emR1,25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.2 Cordas fechadas emS1 ⊗ R1,24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Cordas abertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.1 Caso livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.2 D2-brana num toroT 2 com campo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.3 Uma prescricao para a dualizacao deX2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.4 Uma outra dualizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.5 DualizandoX1 eX2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
xi
xii
4 Quantizacao do Sistema Dual 60
4.1 Dualizacao por condicoes de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.1 Quantizacao via equacao de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.2 Quantizacao via metodo de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Dualizacao por multiplicador de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Dualizacao deX1 eX2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Apendices 69
A M etodo de quantizacao de Dirac para a corda livre num espaco 1-d 69
B Calculo da massa 76
B.1 Cordas fechadas emR1,25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
B.2 Cordas fechadas emS1 ⊗ R1,24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
B.3 Cordas abertas livres emS1 ⊗ R1,24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
B.4 D2-brana num toroT 2 com campo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
B.5 Sistemas duais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
C Conexoes entre simetrias da teoria e simetrias do toro 85
D Descricao da worldsheet comX i adimensionais 88
Conclusoes 90
Primeiras palavras
Motivacao: Uma breve historia das cordas
A teoria de cordas surgiu nos anos 60 como uma tentativa de descrever as interacoes fortes.
Apos um perıodo inicial de popularidade, essa iniciativa foi suplantada em 1974 pela rec´em-
nascida cromodinamica quantica. N˜ao obstante, logo em seguida se descobriu que o gr´aviton
surge naturalmente nessa descricao baseada em cordas, e comecou-se a pensar nas cordas como
um modelo para a gravitacao. Estava inaugurada a teoria de cordas bosonicas.
No entanto, a teoria tinha problemas. Por exemplo, o espectro das cordas apresentava esta-
dos de massa negativa (taquions). Alem disso, percebeu-se que a teoria apresentaria anomalias
a menos que o espaco-tempo tivesse inopinadas 26 dimensoes; demais, os fermions n˜ao eram
descritos pela teoria. Para consertar esses embaracos, acrescentou-se-lhe a supersimetria, que
promoveu as cordas a “supercordas”, e nao s´o introduziu os fermions no jogo como eliminou os
taquions. E, se nao livrou a teoria das inacredit´aveis 22 dimensoes extras, reduziu seu numero
para mais toleraveis 6, constituindo um espaco-tempo de (1+9) dimensoes.
Na decada de 80, com a chamada primeira revolucao das supercordas, a teoria despontou
como uma possıvel descricao de todas as interacoes conhecidas, e portanto uma promessa de
unificacao da fısica. Foi nessa epoca que comecou a ser chamada de “teoria de tudo”. Vier-
am os anos 90, e, com eles, a segunda revolucao das supercordas, que trouxe as D-branas, as
equivalencias da teoria (tais como a dualidade T), e a correspondˆencia AdS/CFT [18], que en-
gatilhou uma nova busca por descricoes das interacoes fortes via modelos fenomenologicos de
1
2
cordas, uma area muito ativa hoje na fısca te´orica. Ela possui muitas caracter´ısticas de interesse
matematico e incorpora naturalmente todas as propriedades essenciais do Modelo Padr˜ao, tais
como grupos de calibre nao-abelianos e As supercordas, entretanto, tˆem seus cr´ıticos, que n˜ao
sao poucos. A teoria ainda n˜ao foi verificada fermions quirais. experimentalmente. Na ver-
dade, nenhuma versao da teoria de cordas apresentou qualquer resultado sujeito aos meios de
verificcao atuais que difira daqueles de outras teorias. A escala de energia em que seria possıvel
ver o carater “cordico” das partıculas e muito maior do que as disponıveis experimentalmente.
O LHC e visto como uma oportunidade sem precedentes de se obter suporte empırico a teo-
ria, como a deteccao de part´ıculas supersimetricas ou a observacao de um car´ater inedito da
interacao gravitacional condizente com dimensoes extras. De qualquer modo, a teoria tal como
esta poderia sobreviver mesmo a ausencia de quaisquer novidades experimentais encorajadoras
que o LHC possa trazer, e por isso alguns argumentam [30] que at´e o momento a teoria de
cordas n˜ao e falseavel, e portanto talvez sequer mereca ser chamada de ciˆencia.
Nao esta claro como as supercordas produzirao um modelo realista e preditivo da natureza,
se e que um dia o far˜ao. Mas a teoria e elegante, e no mınimo ja apresentou a comunidade cien-
tıfica novos conceitos, como D-branas e dimensoes extras compactificadas, que possivelmente
serao parte fundamental de uma descricao completa do Universo. De maneira que, assim me
parece, n˜ao faltam motivos para investigar o que mais pode advir desta “not´avel e fascinante
teoria” [4].
A dissertacao
Os conceitos-chave nesta dissertacao saonao-comutatividade, dualidade Te D-branas.
Segue abaixo uma explanacao sobre o que sao esses conceitos e o que se prop˜oe fazer com
eles neste trabalho.
3
Nao-comutatividade
Este nao e um assunto novo. Pelo menos desde 1947 [51] concebeu-se um espaco-tempo
nao comutativo em mecanica quantica. No entanto, at´e recentemente nao se levava realmente a
serio tal tipo de tratamento, por raz˜oes que envolvem a n˜ao-localidade intrınseca a tais modelos
e ate mesmo quebra da invariancia de Lorentz e da causalidade [10, 22].
No entanto, h´a mais de uma boa raz˜ao para estudar n˜ao-comutatividade. Uma delas seria a
possiblidade de melhorar a divergencia UV em teorias de campos. Uma segunda motivacao e
a tentativa de se encontrar variantes de teorias de Yang-Mills que sejam mais trat´aveis pertur-
bativamente. Entre essas variantes, figuram teorias de calibre n˜ao-comutativas [40, 52]. Uma
outra razao e a busca pela gravidade quantica. Talvez espacos nao-comutativos sejam mais ad-
equados para descrever a gravidade a pequenas distancias.E possıvel que a gravidade sequer
seja local nessa escala. O fato e que a n˜ao-localidade ainda n˜ao e bem entendida, e n˜ao faria
mal estuda-la em modelos simples a fim de aplic´a-las em tentativas realistas de se chegar a uma
teoria quantica da gravitacao.
Essa e uma das principais motivacoes para a atual atividade na area em teoria de cordas. De
fato, a nao-comutatividade surge em modelos muito simples de cordas interagindo com campos
de fundo. E o melhor e que as patologias apresentadas em teorias com nao-comutatividade do
espaco-tempo nao aparecem em teorias de cordas [22]. Um desses modelos simples e analisado
nesta dissertacao.
D-branas
Existem dois tipos gerais de cordas: fechadas e abertas, e varias versoes de teorias de cordas
envolvem ambas (nem todas envolvem as abertas). Cedo se deu conta de que existe um fluxo
de energia pela corda, e no caso da corda aberta isso implica um problema com conservacao da
energia. Portanto, uma teoria de cordas abertas consistente deve incluir um lugar para onde a
4
energia flua uma vez que deixe a corda pelas pontas. Esse lugar e a chamadaD-brana. Toda
corda aberta deve ter cada uma de suas pontas presas a alguma D-brana, que ali´as, nao e encar-
ada como uma estrutura matematica, e sim como um objeto fısico, t˜ao real quanto as pr´oprias
cordas.
D-branas sao hiper-superfıcies e podem possuir qualquer numero de dimensoes, com um
limite maximo estabelecido pela dimensionalidade do espaco-tempo (no caso das cordas bosonicas,
25 dimensoes espaciais). Como as pontas de uma corda aberta n˜ao podem se soltar da D-brana,
decorre que D-branas determinam a condicao de contorno que as cordas devem satisfazer. Uma
ponta de corda presa a uma D1-brana que se estende sobre o eixoX1 pode mover-se apenas
nesta direcao, enquanto que uma ponta de corda presa a uma D25-brana (space-filling brane)
esta livre para mover-se sobre todo o espaco. No caso mais simples, as condicoes de contorno
satisfeitas pelas 25 coordenadas de uma ponta de corda sao indepententes entre si, e teremos
condicoes de Neumann para todas as direcoes paralelas a D-brana e de Dirichlet (o “D” em
D-brana e deDirichlet) para as ortogonais. As coisas se complicam quando existem campos na
D-brana, como veremos.
As D-branas, como objetos fısicos que sao, possuem tensao, massa, e uma acao que deter-
mina sua dinamica. No entanto, para os nossos fins, basta que elas sejam tratadas como objetos
infinitamente massivos e sem dinˆamica, e nossa acao nao incluira termos de D-branas.
Dualidade T
A palavra “dualidade” sera usada aqui com o significado deequivalencia fısicaentre difer-
entes descricoes ou teorias. Em fısica, uma dualidade e sempre bem-vinda, porque nos permite
aplicar resultados de um dado modelo trat´avel mas n˜ao realista no sistema que efetivamente
queremos descrever, que em geral e bem menos simples e palat´avel.
A dualidade T, especificamente, relaciona diferentes teorias de corda (uma vez que se lhes
inclua supersimetria, uma caracter´ıstica importante de teorias de cordas mais realistas mas que
nao sera incluıda nesta dissertacao), o que aponta para uma unificacao de duas das diferentes
5
versoes de supercordas (quais sejam, IIA e IIB) [16, 20, 4]. Para n´os, no entanto, o que interessa
e que a dualidade T aparece sempre que se tem espacos em que ao menos uma direcao possui a
topologia de uma c´ırculo (o que chamaremos de “compactificacao”), e conecta um espaco com
raio de compactificacao pequeno a um de raio grande (essencialmente, de raio inverso). Mais
detalhes sobre essa propriedade a conferir no cap´ıtulo 3.
Roteiro do trabalho
E sabido [1, 23, 8, 14, 5] que uma D-brana com campo magnetico (ou, equivalentemente,
um campo de Kalb-Rammond) configura um espaco n˜ao-comutativo. Nosso objetivo principal
e estabelecer a permanencia (ou n˜ao) do car´ater nao-comutativo na teoria que cont´em o espaco
dual a esse (dual via dualidade T, entenda-se). Chegamos a um resultado surpreendente, que
pede uma reinterpretacao do papel fısico desempenhado pelas propriedades de comutacao de
campos em dimensoes compactificadas. Pelo caminho, encontramos mais de uma maneira de
encontrar o espaco dual (cap´ıtulo 3), e um curioso paralelismo entre simetrias da nossa teoria e
simetrias do toro sobre o qual a situamos (apˆendice C).
No cap.1, introduzimos a acao da corda bosonica, o tal sistema da D-brana com um cam-
po magnetico, as expans˜oes de Fourier dos campos e da hamiltoniana, e mostramos a incon-
sistencia dos comutadores canˆonicos no sistema referido. No cap.2, apresentamos tres difer-
entes maneiras consistentes de quantizar as cordas, o que nos leva as relacoes de comutacao
apropriadas. No cap.3, falamos de dualidade T, mostramos como ela assoma em sistemas sim-
ples e, em particular, obtemos o espaco dual ao sistema de interesse deste estudo. No cap.4,
aplicamos os metodos de quantizacao do cap.2 ao sistema dual apresentado no cap.3. Fechamos
com as conclusoes e os apˆendices.
Capıtulo 1
Introduc ao
Neste cap´ıtulo apresentamos o ferramental basico da teoria de cordas bosonicas abertas,
delineamos o sistema sobre o qual desejamos nos deter, e mostramos por que a quantizacao
canonica nao funciona para ele.
A corda bosonica possui coordenadasX i(τ, σ) e momentos canˆonicosP i(τ, σ), como se
vera. Assim, parece razo´avel postular os comutadores canˆonicos
(X i(τ, σ), P j(τ, σ′)) = iδijδ(σ − σ′)
(X i(τ, σ), Xj(τ, σ′)) = 0 (1.1)
(P i(τ, σ), P j(τ, σ′)) = 0.
No entanto, e necess´ario verificar a compatibilidade dos comutadores com as condicoes
de contorno para uma corda aberta. O campo de fundo (background) altera as condicoes de
contorno que aparecem para a acao de corda livre, de modo que n˜ao e automatico que relacoes
de comutacao que valham em um caso sejam aceit´aveis em outro. A bem da verdade, mesmo
para uma corda livre os comutadores acima n˜ao sao permitidos.
1.1 A acao da corda bosonica livre
6
7
Devido ao fato de que uma part´ıcula relativıstica livre se move numa geod´esica sobre o
espaco-tempo, sua acao e aquela que extremiza o comprimento invariante de sua trajet´oria (linha
de mundo, ouworldline),
Sparticula ∝∫
ds, (1.2)
Da mesma forma, a acao de um objeto dep dimensoes movendo-se no espaco-tempo e
proporcional ao hiper-volume (p+1)-dimensional da trajet´oria [20, 13, 4, 17, 16]. Para o caso
espec´ıfico de cordas, que sao objetos bidimensionais, a acao e proporcional aareade suafolha
de mundoou worldsheet(que nada mais e que a extens˜ao natural da linha de mundo de uma
partıcula a corda):
S = T
∫d2σ
√− det Gαβ (1.3)
ondeT e a tens˜ao da corda e a metrica induzida e dada por
Gαβ = gµν(X)∂αXµ∂βXν α, β = 0, 1. (1.4)
e a worldsheet e parametrizada pelas coordenadasσ0 = τ , de carater temporal, eσ1 = σ,
de carater espacial. Para cordas abertas,σ assume valores num intervalo finito (que aqui e
escolhido comoσ ∈ [0, π], sendo queσ = 0 corresponde a uma das pontas da corda eσ = π
corresponde a outra). No caso de cordas fechadas,σ e periodico (ja que as “pontas” devem ser
identificadas).
O espaco no qual a worldsheet esta inserida e descrito pelas coordenadasXµ(τ, σ), cf.
Fig.1.2.
Para o caso de um espaco de Minkowski, a acao (1.3) toma a forma
SNG = T
∫d2σ
√(X · X ′)2 − X2X ′2, (1.5)
chamadaacao de Nambu-Goto[31]. O ponto denota derivada emτ , e a linha, emσ. Devido
a raiz quadrada que aparece em 1.5, esta acao e complicada de quantizar. Para contornar esse
problema, usa-se uma acao classicamente equivalente: a chamadaacao de modelo sigma de
8
Figura 1.1: worldline de uma partıcula, worldsheet de uma corda aberta, e worldsheet de umacorda fechada
Figura 1.2: Worldsheet no embedding space. A linha na worldsheet representa uma corda numdado tempoτ . Um ponto da corda e mapeado para as coordenadasXµ(τ, σ).
cordas, ouacao de Polyakov[20, 4]:
Sσ =T
2
∫d2σ
√−hhαβ∂αX · ∂βX, (1.6)
Repare que a´ı se utiliza um campo auxiliar, ametrica da worldsheet, hα,β, comh = det hαβ
e hα,β = (h−1)α,β. Esta acao possui simetrias, que nos permitirao, ao serem fixadas com
escolhas de calibre convenientes, tornar a quantizacao particularmente simples. Ei-las:
• Transformacoes de Poincare
9
• Reparametrizacoes. A acao e invariante sob os difeomorfismos
σα → fα(σ) = σ′α, hαβ(σ) =∂f γ
∂σα
∂f δ
∂σβhγδ(σ
′)
• Transformacoes de Weyl. A acao e invariante sob a transformacao de escala
hαβ → eφ(σ,τ)hαβ, δXµ = 0
As ultimas duas sao simetrias locais, que podem ser usadas para escolher um calibre em que
a metricahαβ assume uma forma particular. Fixaremos nossa metrica como se segue:
hαβ = ηαβ =
1 0
0 −1
(1.7)
Com isso, (1.6) toma a forma
S =T
2
∫d2σ(X2 − X ′2) (1.8)
A tensaoT da corda pode ser escrita em termos de um parˆametro da teoria de cordas, o
parametro de Regge (Regge slope), α′, que remonta aos primordios da teoria de cordas e prov´em
da associacao das trajetorias de Regge observadas para hadrons a estados de cordas. A relacao
e [31] T = 12πα′ . Esse parˆametro tambem se relaciona com a escala de comprimento da corda,
ls, sendols =√
2α′. Para simplificar a notacao, estabeleceremos daqui em dianteT = 1 [8].
Esta, pois, apresentada a acao para a corda livre. Estaremos interessados, entretanto, no
caso em que existe um campo de fundo com o qual a corda interage.
1.2 Introducao dos campos de fundo
Quando se calcula o espectro de cordas abertas e fechadas, aparecem campos nao mas-
sivos (entre eles, o graviton e o foton). Estes campos, assim como as D-branas, possuem uma
10
dinamica ditada por uma acao. Novamente como com as D-branas, n˜ao estamos interessados
na dinamica deles, e sim em como eles afetam a dinˆamica das cordas, de modo que aqui ol-
haremos apenas para o termo de interacao da corda com os campos. Estes, pois, serao tratados
como campos de fundo prescritos. No caso, para nossos fins (quais sejam, de obter um espaco
nao-comutativo), basta-nos considerar a interacao da corda aberta com dois desses campos, o
campo de Kalb-Rammond [31] e o de Maxwell. Na verdade, sequer precisamos considerar os
dois. O acoplamento deles com as cordas e tal que, como sera mostrado abaixo, existe uma
liberdade de calibre que nos permite ajustar, e.g., o campo de Maxwell para zero.
Investiguemos, portanto, o caso de cordas abertas interagindo com um campo de fundo
composto por um campo antissimetrico de Kalb-Rammond e um campo de Maxwell. A acao
sera composta do termo livre (1.8) mais os termos de interacao com os respectivos campos [20]:
S = Sf + SB + SA
Sf =1
2
∫d2σ gµν(X
µXν − X ′µX ′ν)
SB =1
2
∫d2σ εαβBµν∂αXµ∂βXν
SA =
∫dτAµ∂τX
µ|σ=πσ=0 (1.9)
ondeεαβ =
0 1
−1 0
.
Podemos expressarSA em uma forma mais interessante. SejaF = dA uniforme. Temos
Aµ = −12FµνX
ν, e
SA = −1
2
∫dτFµνX
ν∂τXµ|σ=π
σ=0
= −1
2
∫dτdσ∂σ(FµνX
ν∂τXµ)
= −1
2
∫dτdσFµν∂σXν∂τX
µ − 1
2
∫dτdσFµνX
ν∂σ∂τXµ
11
Integrando por partes emτ o ultimo termo, temos
SA = −1
2
∫dτdσFµν∂σXν∂τX
µ +1
2
∫dτdσFµν∂τX
ν∂σXµ − 1
2
∫dσ Fµν∂σXνXµ|τ2τ1
= −∫
dτdσεαβFµν∂αXµ∂βXν (1.10)
onde se suposFµν(τ1) = Fµν(τ2) = 0.
Note-se que a acao resultante,
S =1
2
∫d2σhαβgµν∂αXµ∂βXν + εαβ(Bµν − Fµν)∂αXµ∂βXν, (1.11)
possui uma simetria de calibre nos campos debackground,
Bµν → Bµν + ∂(µΛν)
Fµν → Fµν + ∂(µΛν)
(1.12)
de modo que o campo fisicamente significativo (invariante de calibre) eF := B − F . Isso sig-
nifica que podemos escolher um calibre em que, por exemplo,B = 0, ouF = 0. Trabalharemos
com este ultimo. Nossa acao, portanto, simplifica-se:
S =1
2
∫d2σ(hαβgµν + εαβBµν)∂αXµ∂βXν. (1.13)
Usamos o princ´ıpio variacional para encontrar as equacoes de movimento e as condicoes de
contorno:
δS =1
2
∫d2σ(∂αXµ∂βδXν + ∂αδXµ∂βXν)(hαβgµν + εαβBµν)
=1
2
∫d2σ ∂β(∂αXµδXν(hαβgµν + εαβBµν)) − δXν∂α∂βXµ(hαβgµν + εαβBµν)
=1
2
∫d2σ ∂β(∂αXµδXν(hαβgµν + εαβBµν)) − δXν∂α∂βXµhαβgµν
= 0. (1.14)
Na segunda linha, integramos por partes, e, na terceira, eliminamos o ultimo termo pela
12
antissimetria deεαβ. A equacao de movimento e, portanto,
hαβ∂α∂βgµνXµ = 0 (1.15)
Vemos, com isso, que o campoB nao contribui para a equacao de movimento (que e a
mesma encontrada no casoB = 0), o que e esperado, j´a que o campo interage com a corda
somente nas pontas. Para o termo de superfıcie, encontramos
δXν(∂σgµνXµ + ∂τBµνX
µ) = 0. (1.16)
Vamos trabalhar com um campoBµν constante e uniforme e tal queB12 = −B21 = B e
Bµ,ν = 0 ∀ µ, ν 6= 1, 2.1 Al em disso, estaremos num espaco plano de Minkowski,gµν = ηµν =
diag{−1, 1, ..., 1}. A equacao de movimento torna-se a equacao de onda
X′′µ(τ, σ) − Xµ(τ, σ) = 0, µ = 0, 1, ..., 25. (1.17)
Usaremos o calibre est´atico,X0(τ, σ) = τ . Neste calibre, a equacao de movimento (1.17) e
trivialmente satisfeita paraµ = 0.
Do conjunto de condicoes de contorno que anulam o termo de superfıcie, escolhemos o
seguinte:
X ′a|σ=0,π = 0, a = 0, 3, 4, ..., 25
X′1 + BX2 |σ=0,π = 0
X′2 − BX1 |σ=0,π = 0
(1.18)
Nos limitesB = 0 eB → ∞, obtemos condicoes de Neumann e Dirichlet, respectivamente.
Portanto, eis a´ı a contribuicao do campoB: ele torna o que seriam as usuais condicoes de
contorno de Neumann e de Dirichlet em condicoes mistas, e que correlacionam as coordenadas
1Repare-se que isso e equivalente, por uma transformacao de calibre do tipo (1.12), a ter-seF12 = B eFµν =0 ∀ µ, ν 6= 1, 2. Em outras palavras, um campo B de Kalb-Rammond constante sobre todo o espaco-tempo efisicamente equivalente a um campo magnetico constante sobre a superfıcie onde as cordas prendem suas pontas.
13
X1 eX2. Veremos que este sistema n˜ao e compatıvel com os comutadores canˆonicos, fazendo-
se necess´arios metodos de quantizacao que levem em conta esse conjunto de condicoes de
contorno.
1.3 Compatibilidade entre comutadores e condicoes de con-
torno
Vamos analisar a estrutura canˆonica desta corda bosonica. Da acao (1.13), temos a la-
grangeana
L(τ) =1
2
∫dσ (X)2 − (X ′)2 + 2B(X1X ′2 − X ′1X2) (1.19)
Os momentos conjugados2 sao
P a(τ, σ) = Xa(τ, σ) (1.20)
P 1(τ, σ) = X1(τ, σ) + BX ′2(τ, σ) (1.21)
P 2(τ, σ) = X2(τ, σ) − BX ′1(τ, σ) (1.22)
Nota: Como se pode ver, a escolha deBµν = 0 ∀ µ, ν 6= 1, 2 deixa as coordenadasXa into-
cadas, com o momento e as condicoes de contorno usuais. Doravante, portanto, registraremos
Xa apenas quando for relevante.
Escrevamos as c.c. (condicoes de contorno) em funcao de X e P:
MX ′1 + BP 2 |σ=0,π = 0 (1.23)
MX ′2 − BP 1 |σ=0,π = 0 (1.24)
comM := 1 + B2. Conforme veremos no Cap´ıtulo 2, podemos encarar (1.23) e (1.24) como
2A rigor, densidades de momento.
14
vınculos. Nesse caso, o comutador entre (1.23) e (1.24) deve se anular:
(MX ′1(σ) + BP 2(σ)|σ=0, MX ′2(σ′) − BP 1(σ′)|σ′=0) ≈ 0
Se aplicarmos as relacoes usuais de comutacao, (1.1), e usarmos a relacao entre a distribuicao
de Dirac e sua derivadaδ′(x) = −δ(x)/x [29], isso torna-se
−MB((∂σX1(σ), P 1(σ′))|σ,σ′=0 + (∂σ′X2(σ′), P 2(σ))|σ,σ′=0
)=
−2MB(∂σδ(σ − σ′)
)|σ,σ′=0 = 2MB
δ(σ − σ′)
σ − σ′ |σ,σ′=0 ≈ 0, absurdo !
Outra maneira de constatar esse conflito e discretizar a coordenadaσ, dividindo o intervalo
[0, π] numa malha deN pontos, comN → ∞:
X i(σ) → X in
X i(σ = 0, π) 7→ X i0,π
com X i0 e X i
π correspondendo as pontasσ = 0 e σ = π, respectivamente. A lagrangeana
discretizada e
L → 1
2
∑
n=0
ε[(Xn)2 − 1
ε2(Xn+1 −Xn)2 +
2B
ε
(X1
n(X2n+1 −X2
n)− (X1n+1 −X1
n)X2)]
, (1.25)
e os momentos,
P 1n = εX1
n + BX2n+1 n (1.26)
P 2n = εX2
n − BX1n+1 n (1.27)
ondeXn+1 n := Xn+1 − Xn. Note-se que no limiteε → 0, temosP (σ) → Pn
ε, dondePn e de
ordemO(ε).
15
Os comutadores canˆonicos (1.1) para a vers˜ao discretizada sao
(X im, P j
n) := δijδmn (1.28)
(X im, Xj
n) := (P im, P j
n) := 0 (1.29)
Observe que, no limiteε → 0, esses comutadores reproduzem os da versao cont´ınua.
As c.c. tornam-se
φ1 :=1
ε(MX1
10 + BP 20 ) = 0 (1.30)
φ2 :=1
ε(MX2
10 − BP 10 ) = 0. (1.31)
Assim, para que valham as c.c., devemos ter(φ1, φ2) ≈ 0.
1
ε2(MX1
10 + BP 20 , MX2
10 − BP 10 ) ≈ 0.
Se aplicarmos (1.28) e(1.29), obtemos
MB
ε2
(−(X1
10, P10 ) + (P 2
0 , X210)
)=
MB
ε2
((X1
0 , P 10 ) + (X2
0 , P20 )
)≈ 0, (1.32)
o que e uma contradicao.
Portanto, vemos que este sistema n˜ao aceita os comutadores canˆonicos3. Devemos proceder
a quantizacao com cuidado. Proporemos neste estudo tres metodos de quantizacao: quantizacao
via equacao de Heisenberg, a quantizacao simpletica e a quantizacao de Dirac, a serem desen-
volvidos no proximo cap´ıtulo. Os dois primeiros metodos fazem uso da expansao das coorde-
nadas e momentos em modos de Fourier, que apresentaremos a seguir.
3A rigor, as relacoes (1.1) devem ser modificadas mesmo no caso de corda livre. A saber, aδ(σ − σ′) deve sersubstitu´ıda por uma funcao semelhante, mas cuja derivada se anule paraσ(′) = 0, π
16
1.4 A expansao em modos de Fourier
A expansao de Fourier da solucao mais geral possıvel para a equacao de movimento (1.17)
e
X i(τ, σ) = xi + piτ + wiσ + i∑
n 6=0
1
nαi
ne−inτ cos nσ +∑
n 6=0
1
nβi
ne−inτ sin nσ, (1.33)
comi = 1, 2. A condicao de realidade sobreX i(τ, σ) impoe as relacoesαin = αi
−n, βin = βi
−n.
Com isso, podemos reescrever (1.33):
X i(τ, σ) = xi+piτ +wiσ+i∑
n>0
1
n(αi
ne−inτ−αineinτ ) cos nσ+
∑
n>0
1
n(βi
ne−inτ +βine
inτ ) sin nσ.
(1.34)
Vamos introduzir os modos dependentes deτ , αin(τ) := αi
ne−inτ , βin(τ) := βi
ne−inτ , e a
notacaoαi+n (τ) := αi
n(τ) + αin(τ); αi−
n (τ) := αin(τ) − αi
n(τ); (analogo paraβ). A expans˜ao
fica
X i(τ, σ) = xi + piτ + wiσ +i
nαi−
n (τ) cos nσ +1
nβi+
n (τ) sin nσ. (1.35)
Daqui em diante, o somatorio emn > 0 fica implıcito. Se substituirmos (1.35) em (1.18),
obtemos relacoes entre os modos deX1 eX2:
X ′1 + BX2 |σ=0,π = w1 + β1+n (τ) + Bp2 + Bα2+
n (τ) = 0
X ′2 − BX1 |σ=0,π = w2 + β2+n (τ) − Bp1 − Bα1+
n (τ) = 0
⇓
w1 = −Bp2 w2 = Bp1 β1n(τ) = −Bα2
n(τ) β2n(τ) = Bα1
n(τ)
Para simplificar a notacao, vamos renomear os modos:
p := p1 w := p2 αn(τ) := α1n(τ) βn(τ) := α2
n(τ)
17
Com isso, as expans˜oes paraX1(τ, σ) eX2(τ, σ), tornam-se, finalmente,
X1(τ, σ) = x1 + pτ − Bwσ +i
nα−
n cos nσ − B
nβ+
n sin nσ (1.36)
X2(τ, σ) = x2 + wτ + Bpσ +i
nβ−
n cos nσ +B
nα+
n sin nσ, (1.37)
onde, por brevidade, omitiremos o argumento dosα′s e β ′s, mantendo em mente que eles sao
funcoes deτ .
As expans˜oes para os momentos (1.21) e (1.22) s˜ao
P 1(τ, σ) = M(p + α+n cos nσ) (1.38)
P 2(τ, σ) = M(w + β+n cos nσ) (1.39)
A hamiltoniana e
H(τ) =
∫dσ P · X − L
=
∫dσ (X1 + BX ′2)X1 + (X2 − BX ′1)X2 − 1
2
[(X)2 − (X ′)2 + 2B(X1X ′2 − X ′1X2)
]
=1
2
∫ π
0
dσ (X)2 + (X ′)2
=1
2
∫ π
0
dσ (P )2 + M(X ′)2 + 2B(−P 1X ′2 + P 2X ′1) (1.40)
=Mπ
2[(p2 + w2) + αnαn + αnαn + βnβn + βnβn] (1.41)
Obs: Conquanto a hamiltoniana receba contribuicoes das coordenadas transversais ao cam-
po,Xa, a = 3, 4, ..., 25, focaremo-nos apenas nas coordenadasX1 e X2, ja que, como dito, as
transversais comoportam-se de maneira identica a do caso livre.
Capıtulo 2
Quantizacao e Nao-Comutatividade
Aqui, apresentamos os metodos de quantizacao usados neste estudo (para outras abordagen-
s, cf., e.g., [19, 6, 21]).E neste cap´ıtulo que obtemos a n˜ao-comutatividade, ao calcularmos as
relacoes de comutacao numa D2-brana com campo magnetico.
2.1 Quantizacao via equacao de Heisenberg
O metodo mais simples de encontrar os comutadores(Xµ(τ, σ), Xν(τ, σ′)), (Xµ(τ, σ), P ν(τ, σ′)),
(P µ(τ, σ), P ν(τ, σ′)) consiste em aplicar a equacao de Heisenberg nos operadoresXµ. Com-
paramos as expans˜oes do comutador entreX i(τ, σ) e a Hamiltoniana com a expans˜ao deX i(τ, σ).
Com isso, fazendo uso de algumas hip´oteses simplificadoras, obtemos muito diretamente os co-
mutadores dos modos de expans˜ao. Finalmente, usamos estes para calcular os comutadores
desejados.
Usando as expansoes (1.35) paraX e (1.41) para a hamiltoniana, aplicamos a equacao de
Heisenberg emX1(τ, σ):
(X1(τ, σ), H(τ)) =Mπ
2[(x1, p2 + w2) +
i
n(α−
n , αmαm + αmαm) cos nσ −
−B
n(β+
n , βmβm + βmβm) sin nσ]
= X1(τ, σ) = p + α+n cos nσ + iBβ−
n sin nσ ,
18
19
onde fizemos nossa primeira hip´otese, de que os modos-zeroxi, p, w comutam com os modos
de oscilacao,αn, αn, etc. Comparando os termos emτ eσ, vem
Mπ
2(x1, p2 + w2) = p
iMπ
2n(αn − αn, αmαm + αmαm) = α+
n
−MπB
2n(βn + βn, βmβm + βmβm) = iBβ−
n
Supondo, agora, que os comutadores1 dos modos de expans˜ao sejam n´umeros, obtemos
(x1, p) =1
πM(2.1)
iMπ
2n[αm(αn, αm) + (αn, αm)αm − (αn, αm)αm − αm(αn, αm)] =
iMπ
n[(αn, αm)αm + (αm, αn)αm] = α+
n
→ (αn, αm) = − in
πMδmn (2.2)
(βn, βm) = − in
πMδmn (2.3)
Aplicando o mesmo procedimento paraX2(τ.σ), o unico comutador novo e
(x2, w) =1
πM(2.4)
Todos os outros comutadores se anulam.1Na verdade, estes s˜ao os parenteses de Poisson, da teoria cl˜assica. Como usaremos sempre a prescricao
usual de quantizacao,[A, B]P.B. 7→ i(A, B), tomaremos a liberdade de nos referirmos aos parenteses de Poissoncomo “comutadores” por todo o resto do trabalho, subentendendo-se sempre essa prescricao para os comutadoresquanticos.
20
Para futura referencia, eis algumas expans˜oes de Fourier uteis [3]:
1
π(1 + 2
∑
n>0
cos nσ cos nσ′) = δN(σ − σ′)2, para σ, σ′ ∈ [0, π] (2.5)
1
π2∑
n>0
sin nσ sin nσ′ = δD(σ − σ′)3, para σ, σ′ ∈ [0, π]. (2.6)
2∑
n>0
1
nsin n(σ + σ′) =
π − (σ + σ′), para 0 < σ + σ′ < 2π
0, σ, σ′ = 0 ou π(2.7)
De posse disso, procedemos aos comutadores dos campos:
(X1(τ, σ), P 1(τ, σ′)) = (X2(τ, σ), P 2(τ, σ′)) = M(x1, p) +iM
n(α−
n , α+m) cos nσ cos nσ′
=1
π(1 + 2 cos nσ cos nσ′)
= δN(σ − σ′) (2.8)
(X1(τ, σ), P 2(τ, σ′)) = (X2(τ, σ), P 1(τ, σ′)) = 0 (2.9)
(P 1(τ, σ), P 2(τ, σ′)) = 0 (2.10)
(X1(τ, σ), X2(τ, σ′)) = (x1, x2) + (x1, p)Bσ′ − (w, x2)Bσ +
iB
nm(α−
n , α+m) cos nσ sin mσ′ − iB
nm(β+
n , β−m) sin nσ cos mσ′
= (x1, x2) +B
πM[(σ′ + σ) + 2
1
nsin n(σ′ + σ)] (2.11)
De (2.7), vemos que o somatorio acima sofre uma descontinuidade entre o corpo (bulk) e as
pontas da corda. Nobulk, ele cancela a dependˆencia do comutador emσ e σ′. Portanto, nesta
regiao(X1(τ, σ), X2(τ, σ′)) e constante,
(X1(τ, σ), X2(τ, σ′)) = (x1, x2) +B
M.
Como B nao interage com a corda nesta regi˜ao, e natural impormos(X1(τ, σ), X2(τ, σ′)) =
21
0, como no caso livre. Com isso, fixamos o valor da constante,(x1, x2) = − BM
, e podemos
avaliar o comutador(X1(σ), X2(σ′)) em todos os pontos. Resumindo nossos resultados, fi-
camos com
(P i(σ), P j(σ′)) = 0 (2.12)
(X i(σ), P j(σ′)) = δijδN(σ − σ′) (2.13)
(X i(σ), Xj(σ′)) =
0, 0 < σ, σ′ < π
−Bij
M, ponta σ = σ′ = 0
Bij
M, ponta σ = σ′ = π
(2.14)
onde subentendem-se comutadores a tempos iguais.
Nota-se que a unica diferenca entre os comutadores neste sistema e aqueles no caso de uma
D2-brana sem campo e a n˜ao-comutatividade entreX1(τ, σ) e X2(τ, σ), que, alias, se anula
paraB = 0. Todas as outras relacoes de comutatividade sao identicas.
A diferenca de sinal entre os comutadores nas pontas
Observe-se que o sinal do comutador na ponta0 e oposto ao da pontaπ. Tal situacao
e intrigante porque, em princ´ıpio, a nao-comutatividade e uma caracter´ıstica do espaco, nao
devendo ter dependˆencia com a corda.
Em [8], argumenta-se que isso e esperado, porque estamos trabalhando com uma teoria de
cordas orientadas (isto e, uma teoria sensıvel a uma inversao na orientacao da corda). De fato,
se reorientarmos a corda, via uma reparametrizacaoσ → σ := π − σ, inverte-se o sinal do
22
acoplamento com o campoB na acao, efetivamente mudando o sinal do campo:
S =
∫dτ
∫ π
0
dσ (∂τX)2 − (∂σX)2 + 2B(∂τX1∂σX2 − ∂σX1∂τX
2)
= −∫
dτ
∫ 0
π
dσ (∂τX)2 − (∂σX)2 − 2B(∂τX1∂σX2 − ∂σX1∂τX
2)
=
∫dτ
∫ π
0
dσ (∂τX)2 − (∂σX)2 − 2B(∂τX1∂σX2 − ∂σX1∂τX
2).
Ou seja, a mudanca de sinal no comutador que ocorreria por causa da reorientacao e neu-
tralizada pela correspondente mudanca de sinal deB.
Mas isso n˜ao liquida o problema. Se tivermos uma corda aberta com ambas as pontas presas
a uma mesma brana, ou duas cordas de orientacoes opostas tocando a mesma D-brana, difer-
entes pontos na D-brana apresentar˜ao diferentes valores para(X1, X2). E, e.g., se porventura
um ponto da brana que num dado tempo foi visitado por uma ponta da corda vier a ser visitado
pela outra, teremos uma inversao no sinal do comutador ali. Mais ainda, pode-se perguntar o
que acontece com a nao-comutatividade na D-brana quando nao h´a cordas presas a ela.
Figura 2.1: (A) Uma corda com as duas pontas presas a mesma brana; (B) Duas cordas deorientacoes opostas presas a uma brana; (C) Uma corda movendo-se: a ponta0 tocara o pontoque no momento e tocado pela pontaπ; (D) Uma brana sem cordas
Enfim, se aceitarmos a dependˆencia do comutador na brana com a ponta de corda em
questao, somos levados a questoes como que significado fısico tem as relacoes de comutacao
entre as coordenadas da ponta corda na D-brana.
23
2.2 Quantizacao simpletica
Outro metodo para encontrar os comutadores e o de quantizacao simpletica. Aqui, o mecan-
ismo tambem consistira em obter os comutadores dos modos de expans˜ao e usa-los para calcular
os comutadores entreX eP .
Primeiramente, escrevemos a lagrangeana na forma simpletica (i.e., com somente termos
lineares nas velocidades),
L(τ) = −H(τ) +
∫dσ P · X
= −H + M
∫ π
0
dσ (p + α+m cos mσ)(p +
i
nα−
n cos nσ − B
nβ+
n sin nσ)
+(w + β+m cos mσ)(w +
i
nβ−
n cos nσ +B
nα+
n sin nσ) (2.15)
Integrando emσ, obtemos
L = πM(p2 + w2) +iπM
2n(α+
n α−n + β+
n β−n ) +
MB
n2(cos nπ − 1)(pβ+
n − wα+n )
+MB
n2 − m2(1 − cos mπ cos nπ)(β+
mα+n − α+
mβ+n ) − H (2.16)
Aqui, estenderemos ao nosso caso o metodo apresentado por Faddeev e Jackiw em [11]:
L =∑
n>0
∑
µ=1,2
∑
i=1,2
aµin ξµi
n − H
=∑
n>0
anαn + an ˙αn + bnβn + bn˙βn − H, (2.17)
comµ sendo o ındice de Lorentz ei indicando se se trata deα eβ, ou de seus complexos con-
jugados. Aqui, portanto, as variaveis simpleticasξ sao osαn, ˙αn, βn, ˙βn e os coeficientes sao
osan, an, bn, bn.
Parentese: um modo alternativo, com uma notacao menos pesada, e usar um unico ındice,
que de conta de todos os osciladoresαn, βn e seus conjugados. Nesse caso, ter´ıamos um sistema
24
nao muito diferente do tratado em [11]:
L =∑
n
anξn − H
No entanto, a notacao usada nesta secao, com v´arios ındices, e vantajosa no ato de calcular os
comutadores.
Os comutadores dos osciladores – que aqui sao as vari´aveis simpleticas – sao dados pela
inversa da matriz Hessiana da Lagrangeana.
(ξµim , ξνj
n ) =[[(fµν)−1]ji
]mn
(2.18)
(fµνij )mn =
∂aνin
∂ξµjm
− ∂aµjm
∂ξνin
(2.19)
Assim,
(fµν11 )mn =
∂aνn
∂ξµm− ∂aµ
m
∂ξνn
=
∂an
∂αm− ∂am
∂αn
∂bn
∂αm− ∂am
∂βn
∂an
∂βm− ∂bm
∂αn
∂bn
∂βm− ∂bm
∂βn
(2.20)
(fµν12 )mn =
∂aνn
∂ξµm− ∂aµ
m
∂ξνn
=
∂an
∂αm− ∂am
∂αn
∂bn
∂αm− ∂am
∂βn
∂an
∂βm− ∂bm
∂αn
∂bn
∂βm− ∂bm
∂βn
(2.21)
etc.
No caso,
an =∂L
∂αn=
iπM
2nα+
n − MB
n2(cos nπ − 1)w +
MB
n2 − m2(1 − cos mπ cos nπ)β+
m
an =∂L
∂ ˙αn= − iπM
2nα+
n − MB
n2(cos nπ − 1)w +
MB
n2 − m2(1 − cos mπ cos nπ)β+
m
bn =∂L
∂βn
=iπM
2nβ+
n +MB
n2(cos nπ − 1)p − MB
n2 − m2(1 − cos mπ cos nπ)α+
m
bn =∂L
∂ ˙βn
= − iπM
2nβ+
n +MB
n2(cos nπ − 1)p − MB
n2 − m2(1 − cos mπ cos nπ)α+
m
25
donde obtemos
(fµν11 )mn = (fµν
22 )mn = 0
(fµν12 )mn = −(fµν
22 )mn = iπM
δmn
n0
0 δmn
n
.
Portanto,
fµν = iπM
0 0 δmn
n0
0 0 0 δmn
n
− δmn
n0 0 0
0 − δmn
n0 0
⇒ (fµν)−1 =i
πM
0 0 nδmn 0
0 0 0 nδmn
−nδmn 0 0 0
0 −nδmn 0 0
.
Assim, os unicos comutadores nao-nulos para os osciladores sao
(αm, αn) = (βm, βn) = − in
πMδm,n (2.22)
identico a (2.2) e (2.3). Os comutadores restantes, entre os modos-zero, sao obtidos pela
equacao de movimento dos operadores, com exatamente o mesmo mecanismo desenvolvido
na secao anterior, de modo que o resultado e necessariamente o mesmo.
Portanto, o metodo de quantizacao simpletica dos osciladores fornece os mesmos resultados
que obtivemos com o metodo via equacao de Heisenberg: (2.12), (2.13), (2.14).
2.3 Quantizacao de Dirac
26
Um modo alternativo de quantizacao e encarar as condicoes de contorno como v´ınculos e
usar o metodo de Dirac para sistemas vinculados [23].
O mecanismo consiste em, primeiramente, construir uma serie de vınculosφ(m), m =
0, 1, 2, ... a partir das condicoes de contorno. Entao, se o conjunto de vınculos obtido for de
segunda classe, define-se a matriz inversıvel C a partir dos comutadores canˆonicos entre os
vınculos,Cmn := (φ(m), φ(n)) (se os v´ınculos formarem um conjunto de primeira classe, ent˜ao
ainda subsiste uma simetria a fixar na teoria). Com isso, os comutadores de Dirac sao definidos
por
(A, B)∗ := (A, B) − (A, φ(m))C−1mn(φ(n), B) (2.23)
Comutadores de Dirac implementam os vınculos na quantizacao do sistema. Esses comuta-
dores possuem a propriedade de valer fortemente para os v´ınculos, pois
(A, φ(p))∗ = (A, φ(p)) − (A, φ(m))C−1mn (φ(n), φ(p))︸ ︷︷ ︸
= (A, φ(p)) − (A, φ(m))δmp Cnp
= 0
Para fins de ilustracao, no apˆendice A aplicamos o metodo ao caso da corda livre (sem
campo de fundo) num espaco 1-d (uma dimensao espacial). Na secao a seguir, estendemos para
o caso de interesse – a D2-brana com campoB.
D2-brana com campo B
Comecamos pela cadeia de v´ınculos, que obtemos de modo an´alogo ao usado no apˆendice
A.
φi(m) =
M∂(m+1)X i + Bij∂(m)P j |σ=0,π, m par
∂(m)P i |σ=0,π, m impar(2.24)
27
A matriz C, neste caso, e
Cijmn =
0, m, n impar
−2MBij∫
dσdσ′δ(σ)δ(σ′)∂(m+1)σ ∂
(n)σ′ δ(σ − σ′), m, n par
Mδij∫
dσdσ′δ(σ)δ(σ′)∂(m+1)σ ∂
(n)σ′ δ(σ − σ′), m par, n impar
(2.25)
Aqui, podemos escrever C comoC = D ⊗ E + A ⊗ N , com
D =
−2MB 0
0 0
A =
0 M
−M 0
sendo que
Cij(2m′−2)(2n′−2) = Dij
00Em′n′ := −2MBij(−1)2m′−1(2(m′ + n′) − 3)! limε,σ→0
e−(σ/ε)2
ε√
π
1
σ2(m′+n′)−3
Cij(2m′−2)(2n′−1) = Aij
01Nm′n′ := M ij(−1)2m′−1(2(m′ + n′) − 2)! limε,σ→0
e−(σ/ε)2
ε√
π
1
σ2(m′+n′)−2
comm′, n′ = 1, 2, 3, .... De modo que
Em′n′ = Gm′n′ limε,σ→0
1
ε
1
σ2(m′+n′)−3
Nm′n′ = Fm′n′ limε,σ→0
1
ε
1
σ2(m′+n′)−2
ondeGm′n′ = − 1√π(2(m′ + n′) − 3)! eFm′n′ = − 1√
π(2(m′ + n′) − 2)!. Com isso,
E−1m′n′ = G−1
m′n′ limε,σ→0
εσ2(m′+n′)−3 (2.26)
N−1m′n′ = F−1
m′n′ limε,σ→0
εσ2(m′+n′)−2, (2.27)
Quanto a inversa de C
C = M
−2BE N
−N 0
⇒ C−1 =
1
M
0 −N−1
N−1 −2BN−1EN−1
(2.28)
28
Os comutadores de X e P com os vınculos sao
(X i(σ), φ(m)j) =
∫dσ′ δ(σ′)(X i(σ), ∂
(m)σ′ P j(σ′)), m impar
Bjk∫
dσ′ δ(σ′)(X i(σ), ∂(m)σ′ P k(σ′)), m par
∫dσ′ δ(σ′)∂
(m)σ′ δ(σ − σ′) = (−1)m
∫dσ′ δ(σ′)∂(m)
σ δ(σ − σ′)
= (−1)m∂(m)σ δ(σ) = m!
δ(σ)
σm
= m!δ(σ) limσ→0
1
σm
⇒ (X i(σ), φ(m)j) =
δijm!δ(σ) limσ→0
1
σm, m impar
Bjim!δ(σ) limσ→0
1
σm, m par
(2.29)
(φ(n)i, P j(σ′)) =
0, n impar
M ij∫
dσ δ(σ)∂(n+1)σ δ(σ − σ′), n par
=
0, n impar
M ij(n + 1)!δ(σ′) limσ′→0
1
σ′n+1, n par
(2.30)
Usando (2.26), (2.27), (2.28), (2.29) e (2.30), procedemos aos comutadores. Para(X i, P j),
29
temos
(X i(σ), P j(σ′))∗ = δijδ(σ − σ′) − (X i(σ), φ(m)k)(C−1)klmn(φ(n)l, P j(σ′))
= δijδ(σ − σ′) − (X i(σ), φ(2m′−1)k)(C−1)kl(2m′−1)(2n′−2)(φ
(2n′−2)l, P j(σ′))
−(X i(σ), φ(2m′−2)k)(C−1)kl(2m′−2)(2n′−2)(φ
(2n′−2)l, P j(σ′))
= δijδ(σ − σ′) −[δik(2m′ − 1)!δ(σ) lim
σ→0
1
σ2m′−1
][− 1
MδklN−1
m′n′
]×
[M lj(2n′ − 1)!δ(σ′) lim
σ′→0
1
σ2n′−1
]−
[−Bik(2m′ − 2)!δ(σ) lim
σ→0
1
σ2m′−2
]×
[− 2
MBkl(N−1EN−1)m′n′
][M lj(2n′ − 1)!δ(σ′) lim
σ′→0
1
σ2n′−1
]
= δijδ(σ − σ′) + δijδ(σ)δ(σ′)ε(2m′ − 1)!(2n′ − 1)!F−1m′n′
−2BikBklδljδ(σ)δ(σ′)(2m′ − 2)!(2n′ − 1)!(N−1EN−1)m′n′ limσ→0
σ−(2m′−2)−(2n′−1)
= δijδ(σ − σ′) + δijδ(σ)δ(σ′)εκ − B2δijδ(σ)δ(σ′)ελ limσ→0
σ2 (2.31)
comκ :=
∞∑
m′,n′=1
(2m′−1)!(2n′−1)!F−1m′n′ eλ :=
∞∑
m′,n′=1
2(2m′−2)!(2n′−1)!(F−1GF−1)m′n′ .
Regularizando as funcoes delta em (2.31), vemos que o ultimo termo se anula. Ficamos com
(X i(σ), P j(σ′))∗ = δij[δ(σ − σ′) + κεδ(σ)δ(σ′)
](2.32)
30
Para o comutador(X i, Xj), temos
(X i(σ), Xj(σ′))∗ = −(X i(σ), φ(m)k)(C−1)klmn(φ(n)l, Xj(σ′))
= −(X i(σ), φ(2m′−1)k)(C−1)kl(2m′−1)(2n′−1)(φ
(2n′−1)l, Xj(σ′))
−(X i(σ), φ(2m′−2)k)(C−1)kl(2m′−2)(2n′−1)(φ
(2n′−1)l, Xj(σ′))
−(X i(σ), φ(2m′−1)k)(C−1)kl(2m′−1)(2n′−2)(φ
(2n′−2)l, Xj(σ′))
= −(δikδ(σ)(2m′ − 1)!ε−(2m′−1)
)(− 2
MBkl(N−1EN−1)m′n′
)×
(−δljδ(σ′)(2n′ − 1)!ε−(2n′−1))
−(−Bikδ(σ)(2m′ − 2)!ε−(2m′−2)
)(− 1
MδklN−1
m′n′
)(−δljδ(σ′)(2n′ − 1)!ε−(2n′−1)
)
−(δikδ(σ)(2m′ − 1)!ε−(2m′−1)
)( 1
MδklN−1
m′n′
)(−Bljδ(σ′)(2n′ − 2)!ε−(2n′−2)
)
= −Bij
Mδ(σ)δ(σ′)ε2
((2m′ − 1)!(2n′ − 1)!(F−1GF−1)m′n′
−(2m′ − 2)!(2n′ − 1)!F−1m′n′ − (2m′ − 1)!(2n′ − 2)!F−1
m′n′
)(2.33)
Definindo ξ := 1π
((2m′ − 1)!(2n′ − 1)!(F−1GF−1)m′n′ − 2(2m′ − 2)!(2n′ − 1)!F−1
m′n′
),
obtemos
(X i(σ), Xj(σ′))∗ = −ξBij
Mε2δ(σ)δ(σ′) (2.34)
O comutador(P i, P j)∗ e nulo, como e facil de ver.
Para calcular as constantesκ e ξ, usamos um truque semelhante ao do caso livre. Exigimos
consistencia no comutador de um v´ınculo com uma funcao arbitraria,
(M∂σX1(σ) + BP 2(σ)|σ=0, f(X, P ))∗ =
∫dσδ(σ)
{M∂σ(X1(σ), P 1(σ′))∗
∂f
∂P 1(σ′)
+M∂σ(X1(σ), X2(σ′))∗∂f
∂X2(σ′) + B(P 2(σ), X2(σ′))∗
∂f
∂X2(σ′)
}
= 0
31
Comof e arbitraria, isso implica
∫dσδ(σ) M∂σ(X1(σ), P 1(σ′))∗
∂f
∂P 1(σ′) = 0
∫dσδ(σ)
[M∂σ(X1(σ), X2(σ′))∗ + B(P 2(σ), X2(σ′))∗
] ∂f
∂X2(σ′) = 0
Substituindo (2.32) e (2.34),
∫dσδ(σ) M∂σ [δ(σ − σ′) + κεδ(σ)δ(σ′)]
∂f
∂P 1(σ′) = 0
(2.35)∫
dσδ(σ)[M∂σ(−ξ
B
Mε2δ(σ)δ(σ′)) − B(δ(σ − σ′) + κεδ(σ)δ(σ′))
] ∂f
∂X2(σ′) = 0
(2.36)
A expressao (2.35) e igual a (A.11), de modo que obtemosκ =√
π. Devemos, agora,
determinarξ atraves de (2.36).
∫dσδ(σ)
[ξε2δ(σ′)∂σδ(σ) + δ(σ − σ′) +
√πεδ(σ)δ(σ′)
] ∂f
∂X2(σ′) = 0
∫dσδ(σ)
[δ(σ − σ′) + (
√π − ξ
ε
σ)εδ(σ′)δ(σ)
] ∂f
∂X2(σ′) = 0 (2.37)
onde na segunda linha usamos (A.6). Realizando a integral sobreσ:
(δ(σ′) + (√
π − ξ)1√π
δ(σ′))∂f
∂X2(σ′) = 0 (2.38)
onde usamos (A.7) e fizemoslimε,σ→0
ε
σ= 1. Integremos sobreσ′,
(2 − ξ√π
)∂f
∂X2(0) = 0, (2.39)
32
dondeξ = −2√
π. Abaixo segue o resumo dos resultados, incluindo a pontaπ:
(P i(σ), P j(σ′))∗ = 0 (2.40)
(X i(σ), P j(σ′))∗ = δijδN(σ − σ′) (2.41)
(X i(σ), Xj(σ′))∗ =
0, bulk
− 2√π
Bij
M, σ = σ′ = 0
2√π
Bij
M, σ = σ′ = π
(2.42)
Comparando os resultados acima com (2.12), (2.13) e (2.14), vemos que a unica diferenca
e o fator numerico em (2.42).
Encontramos aqui o efeito de termos afrouxado o rigor ao lidar com os limites. De fato,
diante da impossibilidade de definir de forma inequıvoca o valor de expressoes comolimx,y→0
x
y,
nao se deve considerar a risca os resultados obtidos.E razoavel supor que estes resultados aqui
obtidos sao definidos a menos de constantes.
O metodo de Dirac foi aqui desenvolvido como um procedimento alternativo para obter
as relacoes de comutacao, de modo a dar respaldo a nosso resultado anterior e efetivamente
confirmar a n˜ao-comutatividade neste sistema, o que, como se ve, foi realizado com sucesso.
Na pratica, entretanto, preferimos o metodo da equacao de Heisenberg, que e mais facil de
ser implementado e n˜ao possui essas ambiguidades provenientes da regularizacao das funcoes
delta.
Capıtulo 3
Dualidade T
Apresentamos aqui um breve resumo do que e a dualidade T, como surge, o que representa,
e como implementa-la para o caso de branas com campo de fundo.
A dualidade T aparece em teorias de cordas quando se tem compactificacao toroidal (daı
o “T”) de uma ou mais dimensoes espaciais. Ela relaciona espaco-tempos compactificados de
raios pequenos com espacotempos de raios grandes.
Sob dualidade T, cordas fechadas em uma geometria transformam-se em cordas fechadas
na geometria dual, que e diferente, mas similar. Com cordas abertas, no entanto, a situacao
e outra. Veremos que uma transformacao de dualidade T altera as condicoes de contorno da
corda aberta, de modo que a dualidade T em cordas abertas mapeia estruturas essencialmente
distintas.
Historicamente, a dualidade T fundamenta o conceito de D-brana, que e ent˜ao definida
como uma hiper-superfıcie onde se prendem as pontas das cordas abertas. A D-brana nao e
um artifıcio matematico; ela e um objeto fısico, possui momento, tens˜ao, cargas. Uma parte
da importancia das D-branas reside no fato de que elas sao capazes de introduzir simetrias
de calibre nao-abelianas na teoria de cordas. Al´em disso, D-branas facilitam a identificacao
de dualidades entre as aparentemente distintas teorias de cordas existentes. Isso nos motiva a
estudar a dualidade T numa D-brana.
Comecamos mostrando o aparecimento da dualidade em cordas fechadas e depois estende-
mos para cordas abertas livres. Finalmente, aplicamos ao caso de interesse, de uma D2-brana
33
34
com campoF constante.
3.1 Cordas fechadas
A fim de demonstrar a simetria contida na dualidade T, estudemos a expressao para a massa
da corda fechada bosonica.
3.1.1 Cordas fechadas emR1,25
Para cordas fechadas, estabelecemos que o intervalo sobre o qualσ e definido e[0, 2π].
Obviamente, dado o car´ater periodico da corda, temos a condicao de periodicidade
Xµ(τ, σ + 2π) = Xµ(τ, σ) (3.1)
A solucao mais geral da equacao de movimento paraXµ e
Xµ(τ, σ) = XµL(τ + σ) + Xµ
R(τ − σ) (3.2)
Aplicando (3.1) em (3.2), obtemos
XµL(u + 2π) + Xµ
R(v − 2π) = XµL(u) + Xµ
R(v)
→ XµL(u + 2π) − Xµ
L(u) = XµR(v) − Xµ
R(v − 2π) (3.3)
ondeu := τ + σ ev := τ − σ.
As expans˜oes das solucoes que satisfazem (3.3) sao
XµL(u) =
1
2xµ
L +
√α′
2lµ0u +
√α′
2
∑
n 6=0
i
nlµne−inu (3.4)
XµR(v) =
1
2xµ
R +
√α′
2rµ0v +
√α′
2
∑
n 6=0
i
nrµne−inv (3.5)
35
De (3.3), temos
rµ0 = lµ0 (3.6)
Em termos do momento total (momento do centro de massa), escrevemos
pµ =
∫ 2π
0
dσ P µ(τ, σ) =
∫ 2π
0
dσ Xµ(τ, σ) = 2π 2
√α′
2lµ0
→ lµ0 =
√α′
2pµ (3.7)
onde, como sempre, fizemos12πα′ = 1.
O calculo da massa (cf. Apˆendice B) fornece a expressao
M2 =2
α′ (NL + NR − 2) (3.8)
comNL =∑
n>0
l−n · ln e NR =∑
n>0
r−n · rn os operadores n´umero.
3.1.2 Cordas fechadas emS1 ⊗ R1,24
Se compactificarmos circularmente uma direcao, e.g.,x25 ∼ x25 + 2πmR, as condicoes de
periodicidade nesta coordenada mudam:
X25(σ + 2π) = X25(σ) + 2πmR. (3.9)
A interpretacao param e o numero de voltas (winding number) que se da ao redor do c´ırculo
quando se percorre a corda uma vez (i.e., no intervaloσ = [0, 2π]). Como estamos trabalhando
com uma teoria de cordas orientadas,m pode ser negativo. Veja alguns exemplos de cordas
fechadas com diferenteswinding numbersna Fig.3.1.
Uma caracter´ıstica interessante de uma dimensao compactificada e que o momento nesta
direcao fica discretizado (o que n˜ao e prerrogativa das cordas; aqui, isso ocorre exatamente co-
mo em mecanica quantica, onde o momento de uma part´ıcula confinada e sempre discretizado).
36
Figura 3.1: Exemplos de winding number. (A)m = 1; (B) m = −1; (C) m = 2; (D) m = 0.
Senao, vejamos: uma translacao de uma volta inteira (ou qualquer n´umero inteiro de voltas)
na direcao compactificada corresponde a nao sair do lugar. Ou seja, o operador de translacao,
eip·∆x, tem de corresponder a identidade quando o deslocamento for de∆x = 2πR.
eip 2πR = 1 = e2inπ
p =n
R, n ∈ Z. (3.10)
Aqui, como emR1,25, as expans˜oes sao
XµL(u) =
1
2xµ
L +
√α′
2lµ0u +
√α′
2
∑
n 6=0
i
nlµne−inu (3.11)
XµR(v) =
1
2xµ
R +
√α′
2rµ0v +
√α′
2
∑
n 6=0
i
nrµne−inv (3.12)
A partir da equacao (3.9), obtemos, aqui,
l250 − r250 = 2πmR.
Definamosw := mRα′ . Assim, temos
l250 − r250 =
√2α′w.
A expressao analoga a (3.7) para a coordenadap25 (que chamaremos, por brevidade, dep)
37
do momento total, neste caso, e:
p =
∫ 2π
0
dσ X25 =1√2α′
(l250 + r250 ) (3.13)
Portanto, temos as relacoes
l250 + r250 =
√2α′p
l250 − r250 =
√2α′w
(3.14)
Aqui, a expressao para a massa torna-se (cf. Apˆendice B)
M2 = p2 + w2 +2
α′ (NL + NR − 2)
=( n
R
)2
+(mR
α′
)2
+2
α′ (NL + NR − 2) (3.15)
Com esta expressao obtem-se o espectro de massa de uma teoria com dimensao compacti-
ficada de raioR. Mas existe uma simetria nesta expressao: ela tambem fornece o espectro de
massa para uma teoria com dimensao compactificada de raioR = α′
R. Em outras palavras, duas
teorias distintas possuem o mesmo espectro de massa. Isso nos leva a considerar a possibilidade
de haver uma equivalˆencia fısica (dualidade) entre tais teorias. Vejamos: sejam
p =m
Rw =
nR
α′ com R :=α′
R
⇒ p =mR
α′ = w w =n
R= p
Nota-se queM2(R, p, w) = M2(R, p, w), com
p 7→ p = w
w 7→ w = p
R 7→ R = α′/R
Isso nos leva a cogitar dualidade entre uma teoria com uma coordenadaX25(τ, σ) compact-
38
ificada num raioR de momentop e winding numberw, e uma teoria com uma coordenada
X25(τ, σ) compactificada num raioα′/R de momentow e winding numberp. As expans˜oes
em modos seriam
X25(τ, σ) = x + α′p τ + α′wσ + osciladores
X25(τ, σ) = x + α′p τ + α′wσ + ˜osciladores
= q + α′wτ + α′p σ + ˜osciladores
E possıvel relacionarX25 e X25? Nota-se pelos modos-zero queX25 parece poder ser
construıdo com os mesmos modos de expansao queX25, a partir da regra
X(τ, σ) = XL(τ + σ) + XR(τ − σ) (3.16)
X(τ, σ) = XL(τ + σ) − XR(τ − σ) (3.17)
Podemos, ent˜ao, definir uma transformacao,
∼ : S1(R) × R1,24 → S1
(R)× R1,24
: X25(τ, σ) 7→ X25(τ, σ) (3.18)
X25(τ, σ) := XL(τ + σ) − XR(τ − σ),
investigar os aspectos fısicos desse sistema dual e compara-los com nossa teoria original.
A partir da regra de transformacao (3.17), podemos tracar um mapa entre os modos:
XL(τ + σ) =1
2(x + q) +
1
2α′(p + w)(τ + σ) + i
√α′
2
∑
n 6=0
1
nlne−in(τ+σ) (3.19)
XR(τ − σ) =1
2(x − q) +
1
2α′(p − w)(τ − σ) + i
√α′
2
∑
n 6=0
1
nrne−in(τ−σ) (3.20)
39
X(τ, σ) = x + α′p τ + α′wσ + i
√α′
2
∑
n 6=0
1
ne−inτ (lne−inσ + rneinσ) (3.21)
X(τ, σ) = q + α′wτ + α′p σ + i
√α′
2
∑
n 6=0
1
ne−inτ (lne−inσ − rneinσ) (3.22)
x 7→ x = q p 7→ p = w ln 7→ ln = ln
w 7→ w = p rn 7→ rn = −rn
O mapeamento dos modos das outras coordenadas, correspondentes as dimensoes nao com-
pactificadas, e a identidade.
Comparemos as hamiltonianas. Na teoria original, a partir da acao
S =1
2
∫d2σ (X)2 − (X ′)2, (3.23)
obtemos a hamiltoniana
H =1
2
∫dσ XµX
µ + X ′µX ′µ
= πα′2(pipi + p2 + w2) + πα′∑
n 6=0
(ln · l−n + rn · r−n)
=α′
2(pipi + p2 + w2) + NL + NR − 2 (3.24)
onde−2 e a constante de ordenamento necess´aria apos a quantizacao [4, 31].
A hamiltoniana dual e
H =α′
2(pipi + p2 + w2) + NL + NR − 2
=α′
2(pipi + w2 + p2) + NL + NR − 2
= H (3.25)
Portanto, a hamiltoniana e preservada sob a transformacao!
Precisamos, agora, checar os comutadores. Todavia, essa e uma tarefa simples, pois os mo-
40
dos de expans˜ao duais sao os mesmos que os da teoria original (sem compactificacao); suas
relacoes de comutacao j´a estao determinadas. Os unicos comutadores novos sao os que en-
volvem q, o unico novo termo. Podemos calcula-los com o metodo da expans˜ao, usado no
Capıtulo 2, e o resultado obtido e
(rm, rn) = (−rm,−rn) = (rm, rn) = −in
(lm, ln) = (lm, ln) = −in
(rm, ln) = −(rm, ln) = 0
(p, w) = (w, p) = 0
(q, w) = (x, p) = 1
Daı, seguimos para as relacoes de comutacao entre os campos:
(X(τ, σ), P (τ, σ′)) = α′(x, p) +iα′
2n[(βn, β−n) + (αn, α−n)] = 2α′ =
1
π
(X(τ, σ), P (τ, σ′)) = α′(q, w) +iα′
2n[(βn, β−n) + (−αn,−α−n)] =
1
π
= (X(τ, σ), P (τ, σ′))
Portanto, temos uma simetria completa: a Hamiltoniana e as relacoes de comutacao se
preservam sob a transformacao (3.18). Assim, concluımos que a dualidade T e uma simetria
verdadeira da teoria de cordas fechadas livres (na verdade, isso tambem vale para cordas com
interacoes [4, 16]).
No exemplo que acabamos de considerar, a dualidade T mapeia entre si duas teorias do
mesmo tipo, comparametros(raios de compactificacao) diferentes – veremos que nas cordas
abertas isso n˜ao e tao simples. O raio do c´ırculo deve ser visto como um parˆametro de uma
classe particular de espaco-tempos compactificados que permitem uma definicao consistente da
teoria de cordas. O raio n˜ao e um parˆametro da teoria em si, e sim um parˆametro ajustavel do
41
espaco-tempo usado na teoria. A existencia de uma dualidade est´a nos mostrando que o espaco
de tais parˆametros e restrito, contendo apenas raios maiores ou iguais ao raio auto-dual,R∗,
R∗ =α′
R∗ = R∗ ⇒ R∗ =√
α′.
Repare que este raio especial e da escala do comprimento da corda,lS =√
2α′. Assim,
nao e de surpreender que em teoria de cordas ocorram quebras de conceitos geometricos usuais,
tais como a equivalencia fısica entre um c´ırculo de raioR e um c´ırculo de raioα′/R, pois,
para raios da ordem deR∗ ou menores, estamos sondando um espaco geometrico que possui a
mesma escala dos objetos que nele interagem.
3.2 Cordas abertas
Uma questao natural a se fazer neste ponto e se algo an´alogo ocorre no caso de cordas
abertas. Veremos separadamente o caso de cordas abertas livres (sem campo de fundo) e o de
cordas na presenca de um campo de Kalb-Rammond.
3.2.1 Caso livre
Seja uma corda livre num espaco com uma dimensaox compactificada, de raioR.
S[Xµ, X] =1
2
∫d2σ XµX
µ − X ′µX ′µ + (X)2 − (X ′)2. (3.26)
ondeX i sao as outras coordenadas.
As condicoes de contorno sao
∂σXµ|σ=0,π = 0
∂σX|σ=0,π = 0
42
A expansao do campoX na direcao compactificada e
X(τ, σ) =1
π(x + p τ +
i
nα−
n cos nσ)1,2 (3.27)
com momento total (momento do centro de massa)
∫ π
0
dσ P (τ, σ) =
∫ π
0
dσ X(τ, σ) = p =n
R,
como visto anteriormente.
A hamiltoniana e
H =1
2
∫dσ XµXµ + X ′
µX ′µ + (X)2 + (X ′)2
=1
2π(pµpµ + αµ
nαµn + p2 + αnαn) (3.28)
e o espectro de massa (cf. Apˆendice B) e
M2 = p2 +1
α′ (N − 1) =( n
R
)2
+1
α′ (N − 1) (3.29)
A primeira coisa a se notar e que aqui n˜ao hawinding; uma corda aberta livre sempre pode
se contrair a um ponto. Como owindingfoi crucial para relacionar o espectro da corda fechada
com seu dual, n˜ao se deve esperar que a dualidade T se de da mesma maneira com cordas aber-
tas. Ao contrario das cordas fechadas, as abertas claramente distinguem uma compactificacao
de raioR de uma de raioα′
R. Parece entao que talvez n˜ao se deva esperar dualidade T para
cordas abertas. E, no entanto, existe uma maneira!
Separemos (3.27) emXL eXR:
X(τ, σ) := XL(τ + σ) + XR(τ − σ)
1Esta notacao para a expansao deX(τ, σ) sera mais conveniente doravante.2Lembremo-nos de que o somatorio sobren > 0 esta implıcito.
43
XL(τ + σ) =1
2π
((x + x) + p(τ + σ) +
i
n(αne
−inσ − αneinσ))
XR(τ − σ) =1
2π
((x − x) + p(τ − σ) +
i
n(αneinσ − αne−inσ)
)
Investiguemos o campoX(τ, σ) definido por
X(τ, σ) := XL(τ + σ) − XR(τ − σ)
=1
π
(x + p σ +
1
nα+
n sin nσ)
(3.30)
Qual a interpretacao para essa coordenada? Note-se que (3.30) e a expans˜ao de uma corda
que se estende entre duas branas paralelas, comX(τ, π) − X(τ, 0) = d.
Figura 3.2: Corda com pontas em duas branas paralelas.
Acontece que, de (3.30),
X(τ, π) − X(τ, 0) = p =n
R= d
Podemos interpretar isso como uma serie infinita de D-branastransversaisa direcao X,
separadas a uma distancia de1/R uma da outra, ou, equivalentemente, a termos uma unica D-
brana num espaco cuja direcaoX e periodica (compactificada), de per´ımetro2πR = 1/R (cf.
Fig.3.3).
Portanto, segundo esta definicao, a coordenada dual a uma coordenadaX compactificada
num raioR e uma coordenadaX compactificada num raioR = 1/2πR = α′/R.
44
Figura 3.3: Infinitas D1-branas separadas a uma distancia1R
= 2πR entre si na direcaoX, ou,equivalentemente, uma D1-brana num c´ırculo de raioR.
E interessante notar a relacao entre as condicoes de contorno:
∂σX = ∂τX ∂τ X = ∂σX (3.31)
Consideremos uma acao
S[Xµ, X] =1
2
∫d2σ XµX
µ − X ′µX ′µ + ( ˙X)2 − (X ′)2. (3.32)
A hamiltoniana para essa teoria e
H =1
2
∫dσ XµXµ + X ′
µX ′µ + ( ˙X)2 + (X ′)2
=1
2
∫dσ XµXµ + X ′
µX ′µ + (X ′)2 + (X)2
= H (3.33)
e o espectro de massa (cf. Apˆendice B) e
M2 = p2 +1
α′ (N − 1) =( n
R
)2
+1
α′ (N − 1) = M2 (3.34)
Portanto, descobrimos nossa dualidade. Em cordas abertas em espacos compactificados,
existe dualidade entre um sistema com corda livre (que possui momento, mas nenhumwind-
ing) e outro com D-branas (que possuiwinding, mas nenhum momento), e a relacao entre os
45
parametros de compactificacao eR 7→ R = α′
R.
Observe-se que a coordenadaX(τ, σ), dual aX(τ, σ), foi construıda com o mesmo algorit-
mo usado nas cordas fechadas:
X(τ, σ) = XL(τ + σ) + XR(τ − σ) 7→ X(τ, σ) = XL(τ + σ) − XR(τ − σ) (3.35)
Descobrimos que a dualidade T relaciona uma corda aberta livre (condicoes de Neumann
em todas as coordenadas) com uma corda aberta presa a uma D-brana (condicao de Dirichlet
na direcao dualizada), e vice-versa. O fato de ela nao alterar as coordenadas n˜ao envolvidas na
dualizacao permite generalizar trivialmente esse resultado para o caso de dualizacao simultanea
den dimensoes:
Dp − branas ↔ D(p − n) − branas
As relacoes de comutacao, para comparacao, sao
(X(τ, σ), P (τ, σ)) = δN (σ − σ′) (3.36)
(X(τ, σ), P (τ, σ)) = δD(σ − σ′) (3.37)
O fato de serem diferentes, se por um lado e facilmente compreendido a luz das diferentes
condicoes de contorno satisfeitas porX(τ, σ) eX(τ, σ), por outro levanta a questao de se deve-
mos esperar invariancia dos comutadores (e do carater comutativo do espaco) sob transformacao
de dualidade T, e como interpretar isso. Estudaremos melhor esta questao adiante.
3.2.2 D2-brana num toroT 2 com campo B
Tratemos agora do sistema apresentado no cap´ıtulo 1, de cordas presas a uma D2-brana com
campo de Kalb-Rammond constante e uniforme. Retomemos a acao, a hamiltoniana (1.40), as
46
condicoes de contorno (1.18), e as expans˜oes (1.36), (1.37):
S =
∫d2σ (X1)2 − (X ′1)2 + (X2)2 − (X ′2)2 + 2B(X1X ′2 − X ′1X2) (3.38)
H =1
2
∫ π
0
dσ (P 1)2 + (P 2)2 + M((X ′1)2 + (X ′2)2) + 2B(−P 1X ′2 + P 2X ′1) (3.39)
X′1 + BX2 |σ=0,π = 0
X′2 − BX1 |σ=0,π = 0
(3.40)
X1(τ, σ) =1
π(x1 + pτ − Bwσ +
i
nα−
n cos nσ − B
nβ+
n sin nσ) (3.41)
X2(τ, σ) =1
π(x2 + wτ + Bpσ +
i
nβ−
n cos nσ +B
nα+
n sin nσ) (3.42)
P 1(τ, σ) =M
π(p + α+
n cos nσ) (3.43)
P 2(τ, σ) =M
π(w + β+
n cos nσ) (3.44)
Suponhamos, tambem, queX2 e uma direcao compactificada, de raioR2.
A compactificacao deX1 e a quantizacao do fluxo deB
Um fenomeno interessante acontece quando consideramos a simetria de calibre do campo
de Maxwell,Aµ.3 Em espacos compactificados, a simetria de calibre do campo de Maxwell,
Aµ ∼ Aµ + ∂µλ, adota uma forma especial. Em particular, no nosso caso de uma D2-brana
com compactificacao emX2, a periodicidade emX2 gera paraA2 a seguinte transformacao de
calibre [31]:
A2 ∼ A2 +n
R2.
3Lembremo-nos de que, como visto no Capıtulo 1, existe uma simetria de calibre que conecta um sistema comcampoBµν e sem campo de Maxwell a um sistema com campo de Maxwell e sem campoBµν . Portanto, o quevale para um tambem vale para o outro.
47
Para um campoFµν constante dado porF12 = B, temos
A1 = 0
A2 = Bx1
Assim, a simetria de calibre induz uma compactificacao emX1!
Bx1 ∼ Bx1 +n
R2⇒ R1 =
n
2πmBR2, com n, m ∈ Z. (3.45)
Ou seja, estamos falando de uma D2-brana enrolada num toro,T 2(R1, R2).
Figura 3.4: Brana enrolada sobre um toroT 2(R1, R2)
Calculando o fluxo do campoB sobre o toro, obtemos
ΦB = B(2πR1)(2πR2) = 2πn
m(3.46)
Dadas estas compactificacoes, ocorre, como vimos, discretizacao dos momentos:
∫ π
0
dσP 1(τ, σ) = Mp =n1
R1⇒ p =
n1
MR1(3.47)
∫ π
0
dσP 2(τ, σ) = Mw =n2
R2⇒ w =
n2
MR2(3.48)
48
O espectro para este sistema (cf. Apendice B) e dado por4
M2 = M(p2 + w2) +1
α′ (NB − 1) = M
(( n1
R1
)2
+( n2
R2
)2)+
1
α′ (NB − 1), (3.49)
Cabe-nos, agora, encontrar o sistema T-dual a esta D2-brana neste toro. Primeiramente,
dualizamos apenas a direcaoX2. Depois, dualizaremos tambemX1.
3.2.3 Uma prescricao para a dualizacao deX2
Da nossa experiˆencia com as cordas fechadas e a corda aberta livre, e natural cogitarmos
aplicar a transformacao (3.35) sobre (3.42), ou, o que e equivalente, definirX2 pelas suas
derivadas:
∂σX2(τ, σ) := ∂τX2(τ, σ) (3.50)
∂τ X2(τ, σ) := ∂σX2(τ, σ) (3.51)
Isso nos basta para construir a expansao deX2(τ, σ):
X2(τ, σ) =1
π(x2 + Bpτ + wσ +
iB
nα−
n cos nσ +1
nβ+
n sin nσ) (3.52)
Da mesma forma que em (3.32), construiremos nossa acaoSB[X1, X2] simplesmente tro-
candoX2(τ, σ) por X2(τ, σ):
SB :=1
2
∫d2σ (X1)2 − (X ′1)2 + ( ˙X2)2 − (X ′2)2 + 2B(X1X ′2 − X ′1 ˙X2) (3.53)
Os momentos, portanto, sao
P 1(τ, σ) =1
π[(p + Bw) + (α+
n + Bβ+n ) cos nσ + iB(β−
n − Bα−n ) sin nσ] (3.54)
P 2(τ, σ) =1
π[B(p + Bw) + B(α+
n + Bβ+n ) cos nσ − i(β−
n − Bα−n ) sin nσ]. (3.55)
4Nao confundir o operador massa ao quadradoM2 com o parametroM ≡ 1 + B2.
49
As condicoes de contorno satisfeitas porX1(τ, σ) e X2(τ, σ) sao
X ′1 + BX ′2 |σ=0,π = 0
˙X2 − BX1 |σ=0,π = 0(3.56)
diferindo de (3.40) apenas em que as derivadas emτ eσ deX2 sao trocadas entre si.
Podemos notar que, se definirmos
Y 1 ≡ 1√M
(X1 + BX2) (3.57)
Y 2 ≡ 1√M
(X2 − BX1), (3.58)
teremos
∂σY 1|σ=0,π = 0
∂τY2|σ=0,π = 0
, (3.59)
ou seja, teremos uma D1-brana, estendida na direcaoY 1 e transversal aY 2. As direcoesY 1, Y 2
relacionam-se aX1,X2 por uma rotacao de um anguloϕ = tan−1 B.
Figura 3.5:
ComoX1 nao foi alterada, ainda e uma dimensao compactificada. Supondo queX2 tambem
e compactificada, temos uma D1-brana cingindo um toro dualT 2(R1, R2) (cf. Fig.3.6.).
Na Fig.3.6., a D1-brana d´a um numero inteiro de voltas no toro, tornando a coordenada
Y 1 periodica (compactificada). Isso, em princ´ıpio, nao e necessariamente verdade. Veremos,
50
entretanto, que a condicao de quantizacao do fluxoΦB, (3.46), garante essa situacao.
Y 2, sendo uma direcao perpendicular a brana, e necessariamente compactificada. Sen˜ao,
vejamos: seja uma corda com as pontas presas a D-brana, e que possui winding numberm = 1
na direcaoX2, cf. Fig.3.7. Note-se que ambas as pontas possuem mesma coordenadaY 2,
Y 2(0) = Y 2(π) = 0. Supondo que a corda tenha tamanho finito, e facil ver que, para que isso
seja possıvel,Y 2 tem de ser compactificada.
Figura 3.6: D1-brana circundando o toroT 2(R1, R2). O angulo entre a brana e a direcaoX1 eϕ.
Figura 3.7: Esquema do toro dual planificado, mostrando a compactificacao deY 2.
Da Fig.3.7., vemos que
RY 2 = R2 cos ϕ =R2√M
(3.60)
51
Isso sera util para determinarmos o raio dualR2, como veremos adiante.
Para a hamiltoniana, temos
H =
∫d2σ P · X − L
=1
2
∫d2σ(X1)2 + (X ′1)2 + ( ˙X2)2 + (X ′2)2
=1
2
∫d2σ(X1)2 + (X ′1)2 + (X ′2)2 + (X2)2
= H (3.61)
Portanto, nossa transformacao preserva a hamiltoniana. O espectro tambem e preservado
(cf. Apendice B). Podemos ver que, na verdade, as teorias paraX2 e X2 diferem apenas em
suas condicoes de contorno, e nos referiremos a essa forma de dualizar como dualizacao por
condicoes de contorno.
3.2.4 Uma outra dualizacao
Podemos encontrar na literatura [4, 16, 17] uma acao dual distinta da nossa. Ela e con-
struıda por meio de um campo auxiliar e um multiplicador de Lagrange. Discutimos agora essa
dualizacao.
Seja um espaco com campo de fundoBµν (Aµ = 0) onde a direcaoXk e compactificada.
Seja
Vα := ∂αXk. (3.62)
Entao a acao (1.13) e
S =1
2
∫d2σ
√−hhαβ(gkkVαVβ + 2gkµVα∂βXµ + gµν∂αXµ∂βXν)
+εαβ(2BkµVα∂βXµ + Bµν∂αXµ∂βXν) (3.63)
52
De (3.62), temosεαβ∂βVα = 0. Assim, podemos incluir um multiplicador de Lagrange,
S =1
2
∫d2σ
√−hhαβ(gkkVαVβ + 2gkµVα∂βXµ + gµν∂αXµ∂βXν)
+εαβ(2BkµVα∂βXµ + Bµν∂αXµ∂βXν) + 2Xkεαβ∂αVβ (3.64)
Variando a acao em relacao aVα, encontramos a equacao de movimento
Vα =1
gkk
εβα(Bµk∂βXµ − ∂βXk). (3.65)
ondeεβα ≡ hαρε
ρβ =
0 1
1 0
.
EliminandoVα da acao, encontramos
S =1
2
∫d2σ
√−hhαβ(gkk∂αXk∂βXk + 2gkµ∂αXk∂βXµ + gµν∂αXµ∂βXν)
+εαβ(2Bkµ∂αXk∂βXµ + Bµν∂αXµ∂βXν) (3.66)
onde
gkk =1
gkk, gkµ = gµk =
Bkµ
gkk, gµν = gµν +
BkµBkν − gkµgkν
gkk,
Bkµ = −Bµk =gkµ
gkk
, Bµν = Bµν +gkµBkν − Bkµgkν
gkk
(3.67)
Nesta abordagem, trata-seXk como o dual deXk. E uma abordagem em que tambem os
campos sofrem dualizacao.
Para o nosso caso, temosk = 2 e
g22 = 1, g21 = −B, g11 = M, B21 = 0
e a acao fica
SS[X1, X2S] =
1
2
∫d2σ M((X1)2−(X ′1)2)+( ˙X2
S)2−(X ′2S )2−2B(X1 ˙X2
S−X ′1X ′2S ). (3.68)
53
onde passaremos a denotar a coordenada dual nesta acao porX2S. VariandoSS, obtemos as
equacoes de movimento e o termo de superfıcie:
X ′′i − X i = 0, i = 1, 2 (3.69)
δS(sup.)S =
∫dσ ∂σ
((MX ′1 − BX ′2
S )δX1 + (−X ′2S + BX ′1)δX2
S
)(3.70)
Uma escolha de condicoes de contorno que anula o termo de superfıcie e
δX2S|σ=0,π = 0 → ˙X2
S = 0
MX ′1 − BX ′2S |σ=0,π = 0
(3.71)
De (3.62) e (3.65), sai
X2S = −X2
B + BX1 (3.72)
ondeX2B := X2 = XL − XR e a coordenada dual definida na secao anterior. Substituindo
(3.72) em (3.71), obtemos
˙X2B − BX1|σ=0,π = 0
X ′1 + BX ′2B |σ=0,π = 0
, (3.73)
identicas a (3.56). Comparando (3.72) com as coordenadasY i, vemos que
X2S = −
√M Y 2, (3.74)
sendo, pois, uma combinacao linear deX1 e X2.
No entanto, as acoesSS e SB nao sao equivalentes. Sen˜ao, vejamos:
SS[X1, X2B] =
1
2
∫dσ M((X1)2 − (X ′1)2) + (− ˙X2
B + BX1)2 − (−X ′2B + BX ′1)2
−2BX1(− ˙X2B + BX1) + 2BX ′1(−X ′2
B + BX ′1)
=1
2
∫dσ (X1)2 − (X ′1)2 + ( ˙X2
B)2 − (X ′2B )2
6= SB[X1, X2B]
54
Seguem as expans˜oes dos campos que satisfazem (3.69) e (3.71):
X1S(τ, σ) = xS + pSτ +
B
MwSσ +
i
nαn
−S cos nσ +
B
Mnβn
+S sin nσ (3.75)
X2S(τ, σ) = qS + wSσ +
1
nβn
+S sin nσ (3.76)
IgualandoX1S = X1 (o que e razo´avel, ja que a dualizacao se d´a apenas emX2), obtemos
X1(τ, σ) =1
π(x + pτ − Bwσ +
i
nα−
n cos nσ − B
nβ+
n sin nσ) (3.77)
X2S(τ, σ) =
1
π(q − Mwσ − M
nβ+
n sin nσ) (3.78)
Prosseguimos para os momentos e a hamiltoniana5:
P 1S(τ, σ) = MX1 − B ˙X2
S =M
π(p + α+
n cos nσ) (3.79)
P 2S(τ, σ) = ˙X2
S − BX1 = − 1
π(Bp + Bα+
n cos nσ − iβ−n sin nσ) (3.80)
HS =
∫dσ P 1
S(τ, σ)X1(τ, σ) + P 2S(τ, σ) ˙X2
S(τ, σ) − LS
=1
2
∫dσ M((X1)2 + (X ′1)2) + ( ˙X2
S)2 + (X ′2S )2
−2B(X1 ˙X2S + X ′1X ′2
S )
=M
2π(p2 + w2 + 2αnαn + 2βnβn)
= HB = H (3.81)
O espectro aqui, assim como na dualizacao por condicoes de contorno, e preservado (cf.
Apendice B).
Raios
5Note-se queP 1S = P 1
55
Determinemos, agora, os raios de compactificacao paraX2S e X2
B. Como X2S obedece
condicao de Dirichlet, esta direcao e perpendicular a D1-brana, e, conforme vimos na secao
anterior, essa dimensao e compactificada. Assim, uma corda presa a D1-brana possuiwinding
nesta direcao:X2S(π) − X2
S(0) = 2πmRS. Substituindo a expans˜ao (3.78), sai
w = mRS
α′M
Aplicando (3.48), obtemosRS = α′
R2. Se agora levarmos em conta as relacoes (3.74) entre
X2S eY 2 e (3.60) entreRY 2 e R2, chegamos a
RS = R2 =α′
R2
. (3.82)
O raio se inverte! Argumentando que a dualidade T e uma simetria da teoria, temos aqui
uma consequencia muito interessante: existe um raio de compactificacao mınimo. Qualquer
raio R menor que esse raio crıticoRc =√
α′ ∼ lS sempre pode ser relacionado com um raio
R > Rc usando dualidade T.
Resgatemos a expressao (3.46) para o fluxo deB:
ΦB = B(2πR1)(2πR2) = 2πn
m
Introduzindo o resultado acima paraR2, (3.82), obtemos
BR1
R2
=n
m⇒ tan ϕ =
n
m
R2
R1
(3.83)
o que significa que a D1-brana d´a n voltas inteiras emX2B para cadam voltas inteiras emX1
no toro dual, justificando a Fig.3.6.
56
Comparando as prescricoes
Vemos, pois, que os dois esquemas de dualizacao apresentados aqui sao semelhantes em
varios aspectos, o que nos encoraja a consider´a-los como modelos igualmente validos, ape-
sar de essencialmente diferentes. Como ambas as versoes comportam a mesma hamiltoniana,
as mesmas condicoes de contorno, e a mesma topologia, ent˜ao ambas descrevem (ou podem
descrever) o mesmo sistema fısico, e representam a mesma dualidade da teoria de cordas.
A dualizacao por condicoes de contorno apresenta problemas, no entanto. Ela n˜ao nos diz
que acao usar. Nosso ansatz (3.53) para a acao dual parece razo´avel, mas nao mantem o mo-
mentoP 1(τ, σ) invariante, como faz a acao (3.68) na dualizacao por multiplicador de Lagrange.
Com efeito, os momentos totais definidos a partir de (3.53) sao problematicos, introduzindo
vınculos estranhos quando tentamos discretiz´a-los. Sem embargo, podemos confiar pelo menos
nos resultados cujos c´alculos nao dependem dos momentos, como a invariˆancia da hamiltoni-
ana e do espectro, o c´alculo do raio, e, especialmente, a relacao de comutacao entreX1(τ, σ) e
X2(τ, σ).
3.2.5 DualizandoX1 eX2
Como a dualidade T e uma simetria de cordas em espacos compactificados, podemos tam-
bem ver o que acontece quando, al´em deX2, dualiza-se tambemX1.
Desenvolveremos a dualizacao pelo metodo apresentado na secao 3.2.3, e referiremos o
resultado obtido seguindo o processo de dualizacao da secao 3.2.4.
Dualizacao por derivadas
57
De acordo com o metodo de dualizacao da secao 3.2.3, temos as seguintes definicoes:
˙X1 := X ′1
X ′1 := X1
X1(τ, σ) =1
π(x1 + pτ − Bwσ +
i
nα−
n cos nσ − B
nβ+
n sin nσ)
⇓
X1(τ, σ) =1
π(x1 − Bwτ + pσ − i
B
nβ−
n cos nσ +1
nα+
n sin nσ) (3.84)
Quanto aX2(τ, σ), ja o temos:
X2(τ, σ) =1
π(x2 + Bpτ + wσ + i
B
nα−
n cos nσ +1
nβ+
n sin nσ) (3.85)
O ansatz para a nova acao e an´alogo ao ja usado na secao 3.2.3, de modo que os momentos
sao
P 1(τ, σ) = ˙X1(τ, σ) + BX ′2(τ, σ) = −iM
πα−
n sin nσ (3.86)
P 2(τ, σ) = ˙X2(τ, σ) − BX ′1(τ, σ) = −iM
πβ−
n sin nσ (3.87)
Agora, para as condicoes de contorno: podemos obte-las de dois modos. O primeiro, muito
simples, e pelo mapa entre as derivadas. O segundo e pelo mapa entre as coordenadas, que se
obtem comparando as expansoes (3.84) e (3.85) com (1.36) e (1.37):
B → B = − 1
B
X1(B, τ, σ) → X1(B, τ, σ) =1
BX2(B, τ, σ)
X2(B, τ, σ) → X2(B, τ, σ) = − 1
BX1(B, τ, σ) (3.88)
58
Com ambos, chega-se a
X ′1 + BX2|σ=0,π = 0
X ′2 − BX1|σ=0,π = 0→
˙X1 + BX ′2|σ=0,π = 0
˙X2 − BX ′1|σ=0,π = 0(3.89)
que se pode reescrever
X ′2 + 1B
˙X1|σ=0,π = 0
X ′1 − 1B
˙X2|σ=0,π = 0(3.90)
Pode-se usar o mapa (3.88) ou as c.c. (3.90) para antecipar a relacao de comutacao
(X1(σ), X2(σ′)) (cf. Cap.4).
Uma pergunta que logo assoma e: em que tipo de estrutura de branas vivem as cordas aqui?
Pode-se argumentar que, dada a similaridade entre as condicoes de contorno (3.90) e (3.40),
e dado o mapa (3.88), tratar-se-ia de uma D2-brana combackground, como no caso “primal”.
Entretanto, outra interpretacao tambem e possıvel.
No caso primal, a id´eia de que se tratava de uma D2-brana combackgroundvinha do fato de
que as c.c. satisfeitas porX1 eX2 sao do tipo Neumann no limiteB → 0. Aqui, as c.c. deX1
e X2 no limite de campo nulo sao do tipo Dirichlet. Portanto, pelo mesmo racioc´ınio, deduz-se
que aqui temos D0-branas.E claro que para D0-branas estaticas comuns n˜ao ha qualquer tipo
de movimento das pontas da corda, de modo que as c.c. seriam irremediavelmente de Dirichlet.
Assim, nao pode ser uma estrutura ordin´aria de D0-branas est´aticas. Fala-se em D0-branas
dissolvidasnuma D2-brana (Fig.3.8) [1, 24, 31].
Portanto, temos uma ambiguidade na estrutura de brana do nosso sistema bi-dualizado.
Ele tanto pode ser encarado como uma D2-brana combackgroundquanto como D0-branas
dissolvidas numa D2-brana. Tal ambiguidade poe em questao o car´ater fısico da estrutura de
brana de uma teoria.
Dualizacao por multiplicador de Lagrange
Citaremos o resultado obtido por esta dualizacao (que pode ser encontrado em [12]): con-
59
Figura 3.8: (A) sistema inicial: D2-brana combackground; (B) dualizacao deX2: D1-branainclinada; (C) e (D) dualizacao deX1: D0-branas dissolvidas numa D2-brana, ou uma D2-branacombackgroundB = − 1
B.
sidere compactificacao emT 2 com um campoB de Kalb-Rammond constante. Sob dualizacao
simultanea de todas as coordenadas, a combinacaoFij = (G − B)ij inverte-se, ondeG e a
metrica expressa em unidades da corda (cf. Apˆendice D).
Portanto, para o toro dual, e
F = G − B =1
R21R
22 + B2
R22 B
−B R21
Aqui, nota-se que so ha invers˜ao dos raios no limiteB → 0. Fora desse regime, coisas
interessantes podem acontecer. Por exemplo, se um dos raios e pequeno (de modo queR21R
22 �
B2), temos efetivamente uma troca entreR1 eR2. Pois se, e.g.,R2 ' 0, teremos (cf. Apˆendice
D)
G11 = R21 ∼
R22
B2G22 = R2
2 ∼ R21
B2,
dondeR1 ∼ R2/B e R2 ∼ R1/B. Para mais comentarios sobre isso, ver [39].
Capıtulo 4
Quantizacao do Sistema Dual
O objetivo deste cap´ıtulo e aplicar os mecanismos de quantizacao usados no Cap´ıtulo 2 as
teorias duais apresentados no Cap´ıtulo 3. Desejamos verificar se as relacoes de comutacao e,
em particular, o car´ater nao-comutativo do espaco, se preservam sob a dualidade T.
4.1 Dualizacao por condicoes de contorno
Nesta secao, quantizaremos o sistema exposto na subsecao 3.2.3, que constr´oi a coordenada
dual a partir de suas derivadas. Como no Cap´ıtulo 2, implementaremos o metodo de quantizacao
por equacao de Heisenberg, e, em seguida, o de Dirac.
4.1.1 Quantizacao via equacao de Heisenberg
Eis as expansoes:
X1(τ, σ) = x1 + pτ − Bwσ +i
nα−
n cos nσ − B
nβ+
n sin nσ (4.1)
X2B(τ, σ) = x2 + Bpτ + wσ +
iB
nα−
n cos nσ +1
nβ+
n sin nσ (4.2)
P 1B(τ.σ) = (p + Bw) + (α+
n + Bβ+n ) cos nσ + iB(β−
n − Bα−n ) sin nσ (4.3)
P 2B(τ.σ) = B(p + Bw) + B(α+
n + Bβ+n ) cosnσ − i(β−
n − Bα−n ) sin nσ. (4.4)
60
61
Como as novas coordenadas e momentos,X2B(τ, σ), P 1
B(τ.σ), P 2B(τ.σ), sao expressas em
termos dos mesmos modos do sistema “primal”, n˜ao precisamos recalcular todos os comuta-
dores. O unico novo termo ex2. Aplicando a equacao de Heisenberg emX2B(τ, σ), obtemos
(x2, w) =B
πM.
Com isso, podemos calcular os comutadores dos operadores duais:
(X1(τ, σ), X2B(τ, σ′)) = (x1, x2) + (p, x2)τ + (x1, p)Bτ
= (x1, x2) (4.5)
(X1(τ, σ), P 1B(τ, σ′)) = (x1, p) +
i
n(α−
n , α+n ) cos nσ cos nσ′
− iB2
n(β+
n , β−n ) sin nσ sin nσ′
=1
πM[(1 + 2 cos nσ cos nσ′) + 2B2 sin nσ sin nσ′]
=1
M(δN(σ − σ′) + B2δD(σ − σ′)) (4.6)
(X1(τ, σ), P 2B(τ, σ′)) = B(x1, p) +
iB
n(α−
n , α+n ) cos nσ cos nσ′
+iB
n(β+
n , β−n ) sin nσ sin nσ′
=B
πM[(1 + 2 cosnσ cos nσ′) − 2 sinnσ sin nσ′]
=1
M(δN (σ − σ′) − δD(σ − σ′)) (4.7)
(X2B(τ, σ), P 1
B(τ, σ′)) = (x2, p) +iB
n(α−
n , α+n ) cos nσ cos nσ′
+iB
n(β+
n , β−n )sin(nσ)sin(nσ′)
=B
πM[(1 + 2 cos nσ cos nσ′) − 2sin(nσ)sin(nσ′)]
=1
M(δN(σ − σ′) − δD(σ − σ′)) (4.8)
62
(X2B(τ, σ), P 2
B(τ, σ′)) = B(x2, p) +iB2
n(α−
n , α+n ) cos nσ cos nσ′
− i
n(β+
n , β−n ) sin nσ sin nσ′
=1
πM[B2(1 + 2 cosnσ cos nσ′) + 2 sin nσ sin nσ′]
=1
M(B2δN (σ − σ′) + δD(σ − σ′)) (4.9)
(P 1B(τ, σ), P 2
B(τ, σ′)) = iB[(α+n , α−
n ) − (β+n , β−
n )] cos nσ cos nσ′
+iB2[(β−n , β+
n ) − (α−n , α+
n )] sin nσ sin nσ′
= 0 (4.10)
Reescrevemos esses comutadores abaixo, destacando seu comportamento dıspar entre obulk
e as pontas:
(X1(τ, σ), X2B(τ, σ′)) = (x1, x2) (4.11)
(X1(τ, σ), P 1B(τ, σ′)) =
δ(σ − σ′), bulk
1M
δN(σ − σ′), pontas(4.12)
(X1(τ, σ), P 2B(τ, σ′)) = (X2
B(τ, σ), P 1B(τ, σ′)) =
0, bulk
BM
δN(σ − σ′), pontas(4.13)
(X2B(τ, σ), P 2
B(τ, σ′)) =
δ(σ − σ′), bulk
B2
MδN(σ − σ′), pontas
(4.14)
(P 1B(τ, σ), P 2
B(τ, σ′)) = 0. (4.15)
O comutador(X1(τ, σ), X2B(τ, σ′)) e constante sobre toda a corda. Esta constante n˜ao pode
ser determinada por este metodo, a n˜ao ser por consideracoes fısicas: uma vez que o campo
interage com a corda apenas na brana, n˜ao esperamos encontrar n˜ao-comutatividade nobulk.
Assim,escolhemos (x1, x2) = 0, e, com isso, temoscomutatividade para este sistema.
Novamente, observamos que a discrepˆancia entre as relacoes de comutacao para o caso com
campo e aquelas para o caso livre existe apenas nas pontas da corda. Nota-se que no limite
63
B = 0 os comutadores reduzem-se aos do caso Neumann paraX1 e Dirichlet paraX2B, como e
de se esperar.
4.1.2 Quantizacao via metodo de Dirac
As condicoes de contorno escritas em termos deX i eP i,
φ(0)1 = ∂σX1 + B∂σX2|σ=0,π
φ(0)2 = P 2 − BP 1|σ=0,π
dao origem a cadeia de vınculos
φ(m)1 =
∂(m+1)(X1 + BX2)|σ=0,π, m par
∂(m)(P 1 + BP 2)|σ=0,π, m impar(4.16)
φ(n)2 =
∂(n)(P 2 − BP 1)|σ=0,π, n par
∂(n+1)(X2 − BX1)|σ=0,π, n impar(4.17)
Para a matriz C, temos:
C11mn =
M∫
dσdσ′ δ(σ)δ(σ′)∂(m+1)σ ∂
(n)σ′ δ(σ − σ′), m par, n impar
0, outros casos
C22mn =
−M∫
dσdσ′ δ(σ)δ(σ′)∂(m)σ ∂
(n+1)σ′ δ(σ − σ′), m par, n impar
0, outros casos
Assim,C11 eC22 sao produtos diretos de matrizes, do tipo
C11 = M
0 1
−1 0
︸ ︷︷ ︸
⊗ N C22 = M
0 −1
1 0
⊗ N
A
64
sendo que
C11mn = M(−1)n∂(m+n+1)
σ δ(0) = M(−1)m+2n+1(m + n + 1)! limσ→0
δ(σ)
σm+n+1, m par
n impar
C22mn = −M(−1)n+1∂(m+n+1)
σ δ(0) = M(−1)n∂(m+n+1)σ δ(0), m par
n impar= C11
mn
Assim,
Cij(2m′−2)(2n′−1) = δijA01Nm′n′ (4.18)
comNm′n′ = − 1√π(2(m′ + n′) − 2)! lim
ε,σ→0
1
ε σ2(m′+n′)−2= fm′n′ lim
ε,σ→0
1
ε σ2(m′+n′)−2.
C = M
0 12×2
−12×2 0
⊗ N C−1 =
1
M
0 −12×2
12×2 0
⊗ N−1
N−1m′n′ = εf−1
m′n′ limσ→0
σ2(m′+n′)−2 (4.19)
(C−1)ij(2m′−2)(2n′−1) = −δij
Mεf−1
m′n′ limσ→0
σ2(m′+n′)−2 (4.20)
Os comutadores entre as coorenadas e os vınculos seguem-se:
(X1(σ), φ(m)1) =
0, m par∫
dσ′δ(σ′)∂(m)σ′ δ(σ − σ′) = m!δ(σ) lim 1
σm , m impar(4.21)
(X2(σ), φ(m)1) = B(X1(σ), φ(m)1) (4.22)
(X2(σ), φ(m)2) =
∫dσ′δ(σ′)∂
(m)σ′ δ(σ − σ′) = m!δ(σ) lim 1
σm , m par
0, m impar(4.23)
(X1(σ), φ(m)2) = −B(X2(σ), φ(m)2) (4.24)
65
(P 1(σ), φ(n)1) =
−∫
dσ′δ(σ′)∂(n+1)σ′ δ(σ − σ′) = (n + 1)!δ(σ) lim 1
σ(n+1) , n par
0, n impar(4.25)
(P 2(σ), φ(n)1) = B(P 1(σ), φ(n)1) (4.26)
(P 2(σ), φ(n)2) =
0, n par
(n + 1)!δ(σ) lim 1σ(n+1) , n impar
(4.27)
(P 1(σ), φ(n)2) = −B(P 2(σ), φ(n)2) (4.28)
Os comutadores de Dirac, neste caso, sao
(X1(σ), P 1(σ′))∗ = δ(σ − σ′) − (X1(σ), φ(2m′−1)1(C−1)11(2m′−1)(2n′−2)(φ
(2n′−2)1, P 1(σ′))
−(X1(σ), φ(2m′−2)2(C−1)22(2m′−2)(2n′−1)(φ
(2n′−1)2, P 1(σ′))
= δ(σ − σ′) +ε
Mδ(σ)δ(σ′)(h − B2h), (4.29)
ondeh :=∑
(2m′ − 1)!(2n′ − 1)!f−1m′n′ , h :=
∑(2m′ − 2)!(2n′)!f−1
m′n′.
(X2(σ), P 2(σ′))∗ = δ(σ − σ′) +ε
Mδ(σ)δ(σ′)(B2h − h) (4.30)
(X1(σ), P 2(σ′))∗ = (X2(σ), P 1(σ′))∗ =ε
Mδ(σ)δ(σ′)B(h + h) (4.31)
(X i(σ), Xj(σ′))∗ = −(X i(σ), φ(m)k)(C−1)klmn(φ(n)l, Xj(σ′)) (4.32)
De (4.20), vemos que o elemento de matriz(C−1)ijmn e nao-nulo apenas sei = j e se a
paridade dem e oposta a den. Se impusermos isso em (4.32) e considerarmos (4.21) a (4.24),
vemos que(X i(σ), Xj(σ′))∗ = 0. (o comutador entre os momentos se anula pelo mesmo
motivo). Temos, portanto, que o espaco dual ecomutativo!
Podemos, em face da dificuldade de calcularh e h, deduzi-los a partir dos resultados con-
66
hecidos no limiteB = 0. Neste caso, temos
(X1(σ), P 1(σ′))∗ = δN (σ − σ′) = δ(σ − σ′) +√
πεδ(σ)δ(σ′) (4.33)
(X2(σ), P 2(σ′))∗ = δD(σ − σ′) = δ(σ − σ′) −√
πεδ(σ)δ(σ′) (4.34)
Impoe-se isso em (4.29) e (4.30), e conclui-se queh = h =√
π. Substituindo, obtemos
(X1(σ), P 1(σ′))∗ = δ(σ − σ′) +(1 − B2)
M
√πεδ(σ)δ(σ′)
=1 + B2
Mδ(σ − σ′) +
(1 − B2)
M
√πεδ(σ)δ(σ′)
=1
M(δN(σ − σ′) + B2δD(σ − σ′)) (4.35)
(X2(σ), P 2(σ′))∗ = δ(σ − σ′) − (1 − B2)
M
√πεδ(σ)δ(σ′)
=1
M(B2δN (σ − σ′) + δD(σ − σ′)) (4.36)
(X1(σ), P 2(σ′))∗ = (X2(σ), P 1(σ′))∗ = 2B
M
√πεδ(σ)δ(σ′)
=B
M(δN(σ − σ′) − δD(σ − σ′)) (4.37)
(X1(σ), X2(σ′))∗ = (P 1(σ), P 2(σ′))∗ = 0. (4.38)
Comparando com (4.5)-(4.10), observamos a consistencia entre estes resultados e aqueles
obtidos pelo metodo da expans˜ao.
4.2 Dualizacao por multiplicador de Lagrange
Nesta secao, quantizamos o sistema mostrado na subsecao 3.2.4. Usaremos o metodo da
equacao de Heisenberg, mas o resultado e previsıvel, uma vez que os camposXS(τ, σ) e
67
PS(τ, σ) relacionam-se aX(τ, σ) eP (τ, σ) pelo seguinte:
X2S = −X2
B + BX1 (4.39)
P 1S = X1 + B ˙X2
B = X1 + BX ′2 = P 1 (4.40)
P 2S = − ˙X2
B = −P 2B − BX ′1 (4.41)
Retomemos as expansoes (3.77)-(3.80):
X1(τ, σ) =1
π(x + pτ − Bwσ +
i
nα−
n cos nσ − B
nβ+
n sin nσ) (4.42)
X2S(τ, σ) =
1
π(q − Mwσ − M
nβ+
n sin nσ) (4.43)
P 1S(τ, σ) =
M
π(p + α+
n cos nσ) (4.44)
P 2S(τ, σ) = − 1
π(Bp + Bα+
n cos nσ − iβ−n sin nσ) (4.45)
H =M
2π(p2 + w2 + 2αnαn + 2βnβn) (4.46)
Aplicando as equacoes de Heisenberg, temos os resultados de antes1
(x, p) =π
M(αm, αn) = (βm, βn) = − inπ
Mδmn
mais
(q, ...) = 0
1I.e., os mesmos do Capıtulo 2, corrigidos para a nova notacao para a expansao das coordenadas e momentos.
68
As relacoes de comutacao, portanto, sao
(X1(σ), X2S(σ′)) = (x, q) = 0 (4.47)
(X1(σ), P 1S(σ′)) = δN (σ − σ′) (4.48)
(X2S(σ), P 2
S(σ′)) = δD(σ − σ′) (4.49)
(X1(σ), P 2S(σ′)) = − B
M(δN(σ − σ′) − δD(σ − σ′)) (4.50)
(X2S(σ), P 1
S(σ′)) = 0 (4.51)
(P 1S(σ), P 2
S(σ′)) = 0 (4.52)
que est˜ao em sintonia com as relacoes (4.39), (4.40) e (4.41). Apesar de os comutadores n˜ao
serem identicos aos obtidos na secao 4.1 (comentarios sobre o significado f´ısico dos comuta-
dores sao feitos nas Conclus˜oes), e de se notar que aqui, tambem, a nao-comutatividade desa-
parece.
4.3 Dualizacao deX1 eX2
Aplicando o procedimento de quantizacao via equacao de Heisenberg, obtem-se
(P 1(σ), P 2(σ′)) = 0 (4.53)
(X i(σ), P j(σ′)) = δijδD(σ − σ′), para σ, σ′ ∈ [0, π] (4.54)
(X1(σ), X2(σ′)) =
BM
, ponta 0
− BM
, ponta π
0, bulk
(4.55)
Ou seja, recupera-se a n˜ao-comutatividade que havia para a D2-brana com campoB. Isso
ja era esperado, uma vez que estas coordenadas satisfazem condicoes de contorno mistas, como
as da D2-brana combackground. Nao se deve pensar, entretanto, que as relacoes de comutativi-
dade se preservam: n˜ao so os comutadores entre as coordenadas e os momentos alteraram-se
(cf.(2.13)), como(X1(σ), X2(σ′)) tem sinal inverso ao de(X1(σ), X2(σ′)) (cf.(2.14)).
Apendice A
Metodo de quantizacao de Dirac para a
corda livre num espaco 1-d
Para a corda livre, o v´ınculo primario e a condicao de contorno de Neumann:
φ(0) = ∂(1)X(σ) |σ=0,π (A.1)
Calculemos a derivada temporal deste v´ınculo:
φ(0) = (φ(0), H) =1
2
∫ ∞
−∞dσ
∫ π
0
dσ′ δ(σ) ∂(1)σ (X(σ), (P (σ′))2)
=
∫dσdσ′ δ(σ) ∂(1)
σ δ(σ − σ′)P (σ′)
= −∫
dσ ∂(1)σ δ(σ)
∫dσ′ δ(σ − σ′)P (σ′)
= ∂(1)σ P (σ) |σ=0
(a pontaπ produz resultado semelhante). Comoφ(0) = 0 deve valer para todos os tempos, sua
derivada deve se anular. Assim, obtemos um novo v´ınculo,φ(1) := ∂(1)σ P (σ) |σ=0.
Devemos, agora, aplicar esta mesma verificacao de consistencia ao novo v´ınculo:
φ(1) = (φ(1), H) + λ0(φ(1), φ(0))
69
70
ondeλ0 e um multiplicador de Lagrange (uma vez estabelecidos v´ınculos no sistema, a hamil-
toniana fica definida a menos de termos do tipoλmφ(m)). A partir daqui, podem resultar 2
situacoes:
1) (φ(1), φ(0)) < ∞. Neste caso, obtem-se uma equacao paraλ0, e a serie de vınculos e
interrompida;
2) (φ(1), φ(0)) = 0 ou → ∞. Aqui, λ0 fica indefinido (ou e nulo), e nao e capaz de truncar a
serie de vınculos. Neste caso, o surgimento de novos v´ınculos depende de se(φ(1), H) se anula
trivialmente ou n˜ao.
No caso em questao, temos(φ(1), φ(0)) → ∞:
(φ(1), φ(0)) = −∫
dσdσ′ δ(σ)δ(σ′) ∂(1)σ ∂
(1)σ′ δ(σ′ − σ) (A.2)
Isso forcaλ0 = 0. Procedendo com a verificacao de consistencia deφ(1),
φ(1) = (φ(1), H) =1
2
∫dσdσ′ δ(σ) ∂(1)
σ (P (σ), (∂(1)σ′ X(σ′))2)
= −∫
dσdσ′ δ(σ) ∂(1)σ ∂
(1)σ′ δ(σ − σ′)∂
(1)σ′ X(σ′)
= −∫
dσ ∂(1)σ δ(σ)
∫dσ′ δ(σ − σ′)∂
(2)σ′ X(σ′)
= ∂(3)σ X(σ) |σ=0
Temos, portanto, um novo vınculo,φ(2) := ∂(3)σ X(σ) |σ=0. Aplicando mais uma vez a
verificacao de consistencia, temos
φ(2) = (φ(2), H) + λ1(φ(2), φ(1)).
Mais uma vez,(φ(2), φ(1)) → ∞, de modo que e
φ(2) = (φ(2), H) =
∫dσdσ′ δ(σ) ∂(3)
σ δ(σ − σ′)P (σ′)
= −∫
dσ ∂(3)σ δ(σ)
∫dσ′ δ(σ − σ′)P (σ′)
= ∂(3)σ P (σ) |σ=0
71
e assim temosφ(3) := ∂(3)σ P (σ) |σ=0.
Prosseguindo com esse processo, obtemos uma cadeia infinita:
φ(m) =
∂(m+1)σ X(σ) |σ=0, m par
∂(m)σ P (σ) |σ=0, m impar
(A.3)
Os calculos est˜ao sendo feitos explicitamente para a ponta0, mas e facil ver que os resulta-
dos valem igualmente para a pontaπ.
Assim, a matriz antissimetrica C e dada por
Cmn =
0, m par e n par
0, m impar e n impar∫
dσdσ′ δ(σ)δ(σ′)∂(m+1)σ ∂
(n)σ′ (X(σ), P (σ′)), m par e n impar
(A.4)
Trabalhemos o elemento n˜ao-nulo da matriz. Sejamm := 2m′ − 2 en := 2n′ − 1.
C(2m′−2)(2n′−1) =
∫dσdσ′ δ(σ)δ(σ′)∂(2m′−1)
σ ∂(2n′−1)σ′ δ(σ − σ′)
= (−1)2n′−1
∫dσdσ′ δ(σ)δ(σ′)∂(2(m′+n′−1))
σ δ(σ − σ′)
= (−1)2m′+4n′−3
∫dσ ∂(2(m′+n′−1))
σ δ(σ)
∫dσ′ δ(σ′)δ(σ − σ′)
= −∂(2(m′+n′−1))σ δ(σ) |σ=0 (A.5)
Podemos, portanto, escreverCmn como um produto direto de matrizes:
C = A ⊗ N,
comA =
0 1
−1 0
e Nmn = −∂
(2(m+n−1))σ δ(σ) |σ=0, m, n = 1, 2, 3, ... . Usando a relacao
[29]
xn∂(n)δ(x) = (−1)nn!δ(x) (A.6)
72
e a regularizacao da funcao delta,
δ(x) = limε→0
1
ε√
πe−
x2
ε2 , (A.7)
reescrevemosNmn
Nmn = −(−1)2(m+n−1)(2(m + n − 1))! limσ→0
δ(σ)
σ2(m+n−1)
= −(2(m + n − 1))!√π
limε→0
limσ→0
1
ε
1
σ2(m+n−1)e−
σ2
ε2
= fmn limε,σ→0
1
ε σ2(m+n−1),
comfmn = fnm (N, pois, e uma matriz simetrica).
Para a inversa de C, temos
C−1 = A−1 ⊗ N−1
. De modo que
C−1(2m′−2)(2n′−1) = −N−1
m′n′ (A.8)
C−1(2m′−1)(2n′−2) = N−1
m′n′ (A.9)
A inversa de N e dada por
N−1mn = f−1
mn limε,σ→0
ε σ2(m+n−1),
pois
NmpN−1pn = fmnf−1
pn limσ→0
σ2(n−m)
= δmn limσ→0
σ2(n−m)
= δmn.
Para calcularmos os comutadores de Dirac (2.23), ainda precisamos calcular(X(σ), φ(m))
73
e (P (σ), φ(m)).
(X(σ), φ(m)) =
0, m par∫
dσ′δ(σ′)∂(m)σ′ δ(σ − σ′), m impar
(P (σ′), φ(m)) =
−∫
dσ′′δ(σ′′)∂(m+1)σ′′ δ(σ′′ − σ′), m par
0, m impar
Usando algebra semelhante a aplicada no c´alculo da matriz C, temos
(X(σ), φ(m)) = (−1)m∂(m)σ δ(σ) = m!
δ(σ)
σm
= m!δ(σ) limσ→0
1
σm, m impar
(P (σ′), φ(n)) = −(n + 1)!δ(σ′) limσ→0
1
σn+1, n par
Finalmente, podemos escrever os comutadores de Dirac:
(X(σ), P (σ′))∗ = δ(σ − σ′) − (X(σ), φ(m))C−1mn(φ(n), P (σ′)).
Este ultimo termo e
(X(σ), φ(m))C−1mn(φ(n), P (σ′)) = (X(σ), φ(2m′−1))C−1
(2m′−1)(2n′−2)(φ(2n′−2), P (σ′))
= (X(σ), φ(2m′−1))N−1m′n′(φ
(2n′−2), P (σ′))
=((2m′ − 1)!δ(σ) lim
σ→0
1
σ2m′−1
)(f−1
m′n′ limε,σ→0
εσ2(m′+n′−1))
((2n′ − 1)!δ(σ′) lim
σ→0
1
σ2n′−1
)
= −κεδ(σ)δ(σ′),
onde subentende-seε no limite ε → 0, e onde
κ := −∑
m′,n′>0
(2m′ − 1)!(2n′ − 1)!f−1m′n′
74
e uma constante a ser determinada.
Assim, ficamos com
(X(σ), P (σ′))∗ = δ(σ − σ′) + κεδ(σ)δ(σ′). (A.10)
Para determinarκ, usemos a propriedade do comutador de Dirac de que(φ(0), f)∗ = 0 para
toda funcaof(X, P ):
(φ(0), f)∗ =
∫dσ δ(σ)(∂σX(σ), f)∗
=
∫dσ δ(σ)∂σ(X(σ), P (σ′))∗
∂f
∂P(σ′)
=
∫dσ δ(σ)∂σ
(δ(σ − σ′) + κεδ(σ)δ(σ′)
) ∂f
∂P(σ′)
=
∫dσ δ(σ)
(δ(σ − σ′)
σ − σ′ − κεδ(σ′)δ(σ)
σ
) ∂f
∂P(σ′)
=(δ(σ′)
σ′ − κ√π
δ(σ′) limσ→0
1
σ
) ∂f
∂P(σ′) (A.11)
= 0
onde na quarta linha usamos (A.6) e, na quinta, (A.7). Integremos (A.11) emσ′:
(limσ′→0
1
σ′ −κ√π
limσ→0
1
σ
) ∂f
∂P(0) = 0
Como f e arbitraria, resultaκ =√
π. Encontramos, portanto, o comutador entre X e P para
uma corda com condicoes de contorno de Neumann:
(X(σ), P (σ′))∗ = δ(σ − σ′) +√
πεδ(σ)δ(σ′). (A.12)
O trabalho aqui foi todo feito sobre a pontaσ = σ′ = 0. O processo e inteiramente
analogo sobre a outra ponta. Podemos, tambem, aplicar o mesmo procedimento numa corda
com condicoes de contorno de Dirichlet. Segue o resultado completo para uma corda com
75
condicoes de contorno de Neumann e para uma corda com condicoes de contorno de Dirichlet:
(X(σ), P (σ′))∗ = δ(σ − σ′) +√
πε(δ(σ)δ(σ′) + δ(σ − π)δ(σ′ − π)
)= δN (σ − σ′). (A.13)
(X(σ), P (σ′))∗ = δ(σ − σ′) −√
πε(δ(σ)δ(σ′) + δ(σ − π)δ(σ′ − π)
)= δD(σ − σ′). (A.14)
onde identificamos
δ(σ − σ′) +√
π limε→0
ε(δ(σ)δ(σ′) + δ(σ − π)δ(σ′ − π)
)(A.15)
δ(σ − σ′) −√
π limε→0
ε(δ(σ)δ(σ′) + δ(σ − π)δ(σ′ − π)
)(A.16)
como as expressoes anal´ıticas, respectivamente, para as funcoesδN e δD definidas pelas series
(2.5) e (2.6). De fato, usando (A.6) e (A.7), mostra-se que, paraσ = 0, π, (A.15) possui derivada
nula e (A.16) se anula. Sen˜ao, vejamos:
∂σ
[δ(σ − σ′) +
√π lim
ε→0ε
(δ(σ)δ(σ′) + δ(σ − π)δ(σ′ − π)
)]|σ=0
=[−δ(σ − σ′)
σ − σ′ −√
π limε→0
εδ(σ′)δ(σ)
σ
]|σ=0
=δ(σ′)
σ′ − δ(σ′) limε→0
ε limρ→0
1
ρlimσ→0
1
σ
= δ(σ′)[limσ′→0
1
σ′ − limε→0
ε limρ→0
1
ρlimσ→0
1
σ
]= 0
[δ(σ − σ′) −
√π lim
ε→0ε
(δ(σ)δ(σ′) + δ(σ − π)δ(σ′ − π)
)]|σ=0
= δ(σ′)[1 − lim
ε→0ε lim
ρ→0
1
ρ
]= 0
Note-se que nesses c´alculos deram-se alguns passos n˜ao plenamente justificados no trata-
mento de expressoes envolvendo limites. Por exemplo, supos-se quelimε→0
limρ→0
ε
ρ= 1. Isso nao se
sustenta, pois o valor real da expressao depende de como (com que rapidez)ε eρ vao a zero. Na
melhor hipotese, tal expressao e definida a menos de uma constante. Para efeito de praticidade,
usamos esse tratamento pouco rigoroso nesta subsecao e na proxima, mas deve-se ter em mente
que nao se deve surpreender se o resultado final discrepar do esperado por um fator numerico.
Apendice B
Calculo da massa
A acao e
S =1
2
∫d2σ
√−hhαβgµν∂αXµ∂βXν (B.1)
Como nao ha termo cin´etico parahαβ na acao, sua equacao de movimento implica o cance-
lamento do tensor energia-momentoTαβ ∝ δSδhαβ = 0
δS
δhαβ=
1
2
∫d2σδ(
√−hhαβ)∂αX · ∂βX
=1
2
∫d2σ(
1
2
hαβ
√−h
δh +√−h δhαβ)∂αX · ∂βX
=√−hδhαβ(∂αX · ∂βX − 1
2hαβh
γδ∂γX · ∂δX) (B.2)
donde obtemos
Tαβ ∝ ∂αX · ∂βX − 1
2hαβhγδ∂γX · ∂δX = 0 (B.3)
A escolha do calibre por meio da fixacao da metrica emhαβ = diag{1,−1} produz, com
(B.3),
(X) · (X) + (X ′) · (X ′) = 0 (B.4)
X · X ′ = 0 (B.5)
76
77
que se podem escrever como
gµν(Xµ ± X ′µ)(Xν ± X ′ν) = 0 (B.6)
SeparandoXµ(τ, σ) emXµL(u) eXµ
R(v), comu ≡ τ + σ ev ≡ τ − σ, temos
∂τXµ + ∂σXµ = 2X ′µ
L (u) (B.7)
∂τXµ − ∂σXµ = 2X ′µ
R (v) (B.8)
Como (B.7) e funcao apenas deu e (B.8) apenas dev, podemos definir
gµν(Xµ + X ′µ)(Xν + X ′ν) ≡ 2
π
∑
n∈Z
LLne−in(τ+σ) (B.9)
gµν(Xµ − X ′µ)(Xν − X ′ν) ≡ 2
π
∑
n∈Z
LRn e−in(τ−σ) (B.10)
Os coeficientes de FourierLLn eLR
n sao osoperadores de Virasoro, e (B.6) implica que cada
um deles deve ser nulo. Isso e imposto como um v´ınculo,
Lm = Lm = 0 ∀m ∈ Z. (B.11)
No caso deL0 e L0, deve-se adicionar uma constante de ordenamento [20]:
(L0 − 1)|φ〉 = (L0 − 1)||φ〉 = 0 (B.12)
⇒ (L0 + L0 − 2)|φ〉 = 0 (B.13)
para todo estado fisico|φ〉.
Note que (B.6) prov´em diretamente da escolha do calibre, independendo de condicoes de
contorno e de campos de fundo. Destarte, (B.13) vale indistintamente para cordas fechadas ou
abertas, com ou sem campo de fundo.
Calcularemos os operadores de Virasoro em termos dos modos de expans˜ao para cada caso,
e, por meio deles, obeteremos as respectivas expressoes para a massa.
78
B.1 Cordas fechadas emR1,25
Neste caso, usamos as expans˜oes (3.11) e (3.12):
(Xµ + X ′µ)2 = 4(X ′µL )2
= 2α′(lµ0 +∑
n 6=0
lµne−in(τ+σ))2
= 2α′(∑
n∈Z
lµne−in(τ+σ))2
= 2α′∑
n∈Z
(∑
p∈Z
lµn−plµp
)e−in(τ+σ) (B.14)
(Xµ − X ′µ)2 = 4(X ′µR )2
= 2α′∑
n∈Z
(∑
p∈Z
rµn−pr
µp
)e−in(τ−σ) (B.15)
donde
LLn =
1
2
∑
p∈Z
lµn−plµp (B.16)
LRn =
1
2
∑
p∈Z
rµn−pr
µp (B.17)
de modo que os operadoresLL0 eLR
0 sao
LL0 =
1
2l0 · l0 +
∑
p>0
l−p · lp (B.18)
LR0 =
1
2r0 · r0 +
∑
p>0
r−p · rp (B.19)
A massa ao quadrado e dada por
M2 = −pµpµ = − 2
α′
25∑
µ=0
lµ0 lµ0 = − 2
α′
25∑
µ=0
rµ0 rµ
0 = − 1
α′
25∑
µ=0
(lµ0 lµ0 + rµ0 rµ
0 ) (B.20)
79
Aplicamos, agora, o v´ınculo (B.13) sobre (B.18) e (B.19), que se traduz por
1
2(l0 · l0 + r0 · r0)
︸ ︷︷ ︸+
∑
n>0
(l−n · ln + r−n · rn) − 2 = 0 (B.21)
−α′
2M2
Portanto,
M2 =2
α′ (NL + NR − 2) (B.22)
onde
NL ≡∑
n>0
l−n · ln NR ≡∑
n>0
r−n · rn
sao os operadores numero [13, 20, 4, 31].
B.2 Cordas fechadas emS1 ⊗ R1,24
Neste mundo compactificado, a massa e calculada do ponto de vista de quem vive nosX i –
as dimensoes restantes:
M2 = −pipi = − 2
α′
24∑
i=0
ri0r
i0 = − 2
α′
24∑
i=0
li0li0 = − 1
α′
24∑
i=0
(li0li0 + ri
0ri0). (B.23)
Ja os operadores de VirasoroLL0 , LR
0 recebem contribuicoes de todas as dimensoes:
(Xµ ± X ′µ)2 = (X25 ± X ′25)2 + (X i ± X ′i)2 ≡∑
n∈Z
LL,Rn e−in(τ±σ)
⇓
LL0 =
1
2(l250 l250 + li0l
i0) +
∑
n>0
l−n · ln
LR0 =
1
2(r25
0 r250 + ri
0ri0) +
∑
n>0
r−n · rn
Aqui, pois, o vınculo (B.13) se traduz por
80
1
2(l250 l250 + r25
0 r250 ) +
1
2(li0l
i0 + ri
0ri0) + N + N − 2 = 0
Usando (3.14) e (B.23), temos
M2 = p2 + w2 +2
α′ (NL + NR − 2)
=( n
R
)2
+(mR
α′
)2
+2
α′ (NL + NR − 2) (B.24)
Observacao: Este resultado tambem vale para o caso de ligarmos um campo B numa acao
de cordas fechadas, porque aqui, em vez de condicoes de contorno, a expans˜ao e determinada
pelas condicoes de periodicidade,X i(τ, σ + 2π) − X i(τ, σ) = 2πmiRi, que nao sao afetadas
pela presenca do campo.
B.3 Cordas abertas livres emS1 ⊗ R1,24
Fazendo uso da expans˜ao
X(τ, σ) =1
π(x + p τ +
i
nα−
n cos nσ) (B.25)
para a direcao compactificada e de
X i(τ, σ) =1
π(xi + piτ +
i
nαi−
n cos nσ) (B.26)
para as outras coordenadas, obtemos
(Xµ ± X ′µ)2 =2
π
∑
n∈Z
( 1
2π
∑
p∈Z
αn−p · αp
)e−in(τ±σ)
comα0 ≡ p eαi0 ≡ pi.
81
Portanto, os operadores de Virasoro sao
LLn = LR
n ≡ Ln =1
2π
∑
p∈Z
αn−p · αp
e o vınculo (B.13) e1
π(p2 + pipi + 2
∑
p>0
α−p · αp) − 2 = 0, (B.27)
donde
M2 = −pipi = p2 +1
α′ (N − 1), (B.28)
comN ≡ 1π
∑
p>0
α−p · αp.
Repare que paraX, relacionado comX via (3.56), a massa e a mesma, pois
( ˙X ± X ′)2 = (X ± X ′)2.
B.4 D2-brana num toro T 2 com campo B
Aqui,
(Xµ + X ′µ)2 = (X1 + X ′1)2 + (X2 + X ′2)2 + (X i + X ′i)2 ≡ 2
π
∑
n∈Z
LLne−in(τ+σ)
(Xµ − X ′µ)2 = (X1 − X ′1)2 + (X2 − X ′2)2 + (X i − X ′i)2 ≡ 2
π
∑
n∈Z
LRn e−in(τ−σ)
Retomemos as expansoes
X1(τ, σ) =1
π(x1 + pτ − Bwσ +
i
n
∑
n>0
α−n cos nσ − B
n
∑
n>0
β+n sin nσ) (B.29)
X2(τ, σ) =1
π(x2 + wτ + Bpσ +
i
n
∑
n>0
β−n cos nσ +
B
n
∑
n>0
α+n sin nσ) (B.30)
X i(τ, σ) =1
π(xi + piτ +
i
n
∑
n>0
αi−n cos nσ), i = 0, 3, 4, ..., 25 (B.31)
82
Daı, vem
X1 + X ′1 =1
π
(p − Bw + (α−
n − Bβ+n )
∑
n>0
cos nσ − i(α−n − Bβ−
n
) ∑
n>0
sin nσ)
=1
π
(p − Bw +
∑
n>0
(αn − Bβn)e−in(τ+σ) +∑
n>0
(αn − Bβn)ein(τ+σ))
=1
π
∑
n∈Z
l1ne−in(τ+σ), com
l1n ≡ αn − Bβn, n 6= 0
l10 ≡ p − Bw
X1 − X ′1 =1
π
(p + Bw + (α−
n + Bβ+n )
∑
n>0
cos nσ + i(α−n + Bβ−
n
)∑
n>0
sin nσ)
=1
π
(p + Bw +
∑
n>0
(αn + Bβn)e−in(τ−σ) +∑
n>0
(αn + Bβn)ein(τ−σ))
=1
π
∑
n∈Z
r1ne−in(τ−σ), com
r1n ≡ αn + Bβn, n 6= 0
r10 ≡ p + Bw
Analogamente,
X2 + X ′2 =1
π
∑
n∈Z
l2ne−in(τ+σ), com
l2n ≡ βn + Bαn, n 6= 0
l20 ≡ w + Bp
X2 − X ′2 =1
π
∑
n∈Z
r2ne−in(τ+σ), com
r2n ≡ βn − Bαn, n 6= 0
l20 ≡ w − Bp
X i ± X ′i =1
π
∑
n∈Z
rine−in(τ−σ), com
rin = lin ≡ αi
n, n 6= 0
ri0 = li0 ≡ pi
83
De modo que
LL0 = LR
0 =1
2π[(p ∓ Bw)2 + (w ± Bp)2 + pipi
+2∑
n>0
((α−n ∓ Bβ−n)(αn ∓ Bβn) + (β−n ± Bα−n)(βn ± Bαn) + αi
−nαin
)]
=1
2π[M(p2 + w2) + pipi + 2
∑
n>0
M(α−nαn + β−nβn) + αi−nαi
n]
e do vınculo (B.13) obtemos
M2 = M(p2 + w2) +1
α′ (NB − 1), (B.32)
ondeNB ≡ 1π
∑
p>0
M(α−n · αn + β−n · βn) + αi−nαi
n.
B.5 Sistemas duais
E facil ver que o espectro de massa do sistema dual proposto na secao 3.2.3 e igual a (B.32).
O unico objeto diferente – e que, portanto, poderia alterar o espectro – eX2B. Acontece que sua
contribuicao para a massa e sob a forma do quadrado da soma/diferenca de suas derivadas. Ora,
( ˙X2B ± X ′2
B)2 = (X2 ± X ′2)2.
Dada essa invariˆancia nos fatores que aparecem no c´alculo da massaM2, temos que a propria
massa e invariante.
Ja o caso do sistema da secao 3.2.4 e menos trivial. Para comecar, o v´ınculo (B.6) e modifi-
cado, tornando-se
gµν(Xµ±X ′µ)(Xν±X ′ν) = M(X1±X ′1)2+(X2
S±X ′2S)2−2B(X1±X ′1)(X2
S±X ′2S)+(X i±X ′i)2 = 0
84
comi = 3, 4, ..., 25.
Lembrando a relacao (3.72), pode-se escrever a expressao acima em termos das coordenadas
“primais”:
M(X1 ± X ′1)2 +(B(X1 ± X ′1) − (X2
B ± X ′2B)
)2 − 2B(X1 ± X ′1)(B(X1 ± X ′1) − (X2
B ± X ′2B)
)
+(X i ± X ′i)2 =
M(X1 ± X ′1)2 +(B(X1 ± X ′1) ∓ (X2 ± X ′2)
)2 − 2B(X1 ± X ′1)(B(X1 ± X ′1) ∓ (X2 ± X ′2)
)
+(X i ± X ′i)2 =
(X1 ± X ′1)2 + (X2 ± X ′2)2 + (X i ± X ′i)2 = 0
Novamente, os fatores se igualam. Assim, conclui-se que tambem aqui o espectro e invari-
ante.
Note-se que essa invariancia no espcetro constatada para os sistemas duais vale tanto para
as cordas abertas quanto para as fechadas, porque n˜ao entramos no merito das expans˜oes.
Apendice C
Conexoes entre simetrias da teoria e
simetrias do toro
Nosso interesse aqui e estabelecer uma correspondˆencia entre as simetrias da teoria (world-
sheet) e as simetrias do toro (target space).
Comecemos pelas cordas abertas num 2-toro livre (sembackground):
Este toro pode ser parametrizado no plano complexo por [31, 12]
τ ≡ iR1
R2
(C.1)
O espectro para essa teoria e
M2 =(( n1
R1
)2
+( n2
R2
)2)+ ... (C.2)
Uma simetria obvia deste espectro eR1 → R2, R2 → R1. Ou seja, uma teoria com raios
85
86
de compactificacao paraX1 e X2 trocados e dual a essa. Outra dualidade existe quando se
invertem os raiosR1 eR2 (secao 3.2.5). Para ambas estas teorias duais, o parˆametro do toro e
τ = iR1
R2
= iR2
R1= −1
τ(C.3)
Acontece que toros definidos porτ e− 1τ
estao na mesma classe de equivalˆencia sob mapea-
mentos conformes, i.e., existe uma sequencia finita de transformacoes conformes que levam o
toro τ no toro− 1τ.
Tal correspondˆencia entre simetrias tambem se verifica para o caso com background. Para
ver isso, escrevamos o parametro complexo do toro em termos dos camposGµν, Bµ,ν (veja
Apendice C para a descricao com os raios na metrica):
τ ≡ −G12
G22+ i
√G
G22(C.4)
A parte real se anula para um toro retangular (ou, equivalentemente, paraG12 = 0). Repare
que esta expressao se reduz a (C.1) para o toro retangular.
Devido a presenca do campoB, outro parametro e necess´ario para se descrever completa-
mente o toro:
ρ ≡ B12 + i√
G (C.5)
As seguintes transformacoes formam um conjunto minimal de geradores do grupo de sime-
tria deste toro [12]:
S : ρ → ρ, τ → −1
τ(C.6)
T : ρ → ρ, τ → τ + 1 (C.7)
D2 : ρ → τ, τ → ρ (C.8)
W : ρ → −ρ, τ → τ (C.9)
87
S corresponde a troca de raios;D2 e a transformacao dual definida na secao 3.2.4 (para ver
isso, basta substituir os campos transformados de (3.67) em (C.4) e (C.5));W corresponde a
transformacao de paridade da worldsheet,σ → −σ, que, cf. secao 2.1.1, trocaB → −B.
O que estamos vendo aqui e que simetrias da teoria (simetrias da worldsheet) tˆem paralelo
nas simetrias do toro (target space).
Apendice D
Descricao da worldsheet comXi
adimensionais
Na acao
S =1
2
∫d2σ hαβgµν∂αXµ∂βXν, (D.1)
as coordenadasX i, i = 1, 2 possuem unidade de comprimento. Alternativamente, podemos
trabalhar com coordenadas angulares:
X i ≡ Riφi (D.2)
e transferir os raios para a metrica, ficando
S =1
2
∫d2σ hαβ
(α′Gij∂αφi∂βφj + gµν∂αXµ∂βXν
), (D.3)
com
Gij =
R21
α′ 0
0R2
2
α′
(D.4)
O fator 1α′ foi introduzido para manter a metrica adimensional.
Calculemos a area do toro formado pela compactificacao das coordenadasX1 eX2:
88
89
Figura D.1: Toro reto.
A = (2πR1)(2πR2) =1
α′
√R2
1
α′R2
2
α′ =1
α′
√G (D.5)
Para coordenadas nao-ortogonais, temos
Figura D.2: Toro geral.
A = |−→u 1 ×−→u 2| = (2πR1)(2πR2) sin θ =1
α′
√R2
1
α′R2
2
α′ −R2
1
α′R2
2
α′ cos2 θ =1
α′
√G (D.6)
comG12 = R1R2
α′ cos θ.
Para o toro reto, a estrutura complexa geral,
τ ≡ −G12
G22+ i
√G
G22
torna-se imaginaria pura,
τ = i
√G
G22= i
√G11
G22= i
R1
R2.
Conclusoes
Sobre o carater fısico da nao-comutatividade
Este trabalho se propos a investigar o comportamento da nao-comutatividade observada
num dado sistema sob uma simetria da teoria de cordas – a dualidade T. Desenvolveu-se em
minucias e de v´arias maneiras o calculo das relacoes de comutacao entre os camposXµ e P µ.
Viu-se que, ao se passar de uma D2-brana que embala um 2-toro com campo de fundo para
o seu equivalente dual – qual seja, uma D1-brana rosqueando um 2-toro sem campo –, a n˜ao-
comutatividade desaparece.
Tambem se observou um fenˆomeno curioso e inesperado sobre a n˜ao-comutatividade na
D2-brana: o valor do comutador entreX1 eX2 depende da orientacao da corda.
Dadas a equivalˆencia fısica entre um sistema comutativo e um n˜ao-comutativo, e o ele-
mento de arbitrariedade introduzido pela dependˆencia com a orientacao das cordas, e razo´avel
supor que o car´ater de comutacao dos campos relacionados as dimensoes compactas n˜ao tem
relevancia fısica, pelo menos n˜ao para as coordenadas transversais, do espaco nao-compacto.
Em outras palavras, comutadores como(X1(τ, σ), X2(τ, σ′)) nao constituem em si um ob-
servavel para o mundo efetivo, onde sao calculados o espectro e outras grandezas fısicas ob-
servaveis.
Em vez disso, esse sistema de relacoes de comutacao passa a ser encarado como parte de
umadescricaoda teoria, havendo outras descricoes possıveis. De fato, as relacoes de comutacao
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obtidas para a D2-brana com o campoB nao sao invariantes sob uma transformacao de calibre
Λ [21, 25], e [21] constr´oi um mapeamento entre teorias de calibre n˜ao-comutativas e uma
teoria de calibre comutativa modificada (onde h´a comutatividade, mas o produto dos campos e
redefinido).
Sobre a dualidade T
Outro aspecto do trabalho e que ele usa mais de uma receita para T-dualizar um sistema.
Uma delas leva em conta a transformacao do campoBµν e da metricaGµν. Para a outra, eles sao
meramente o palco em que atuam os camposXµ. Apesar de a primeira parecer ser mais rigorosa
e completa, ambas produzem, para efeito de interesse, os mesmos resultados. Na verdade,
pode-se conceber uma conex˜ao entre elas, e encar´a-las como descricoes diferentes da mesma
coisa: vemos que a coordenada dualX2S nao passa de uma rotacao deX2
B. Parece ent˜ao que
se pode concluir que a dualizacao dos camposGµν , Bµν corresponde a uma rotacao no eixo de
coordenadas dotoro dual. Podemos, com isso, conjeturar que todas as eventuais prescricoes que
levem o toro nao-comutativo ao toro dual sao equivalentes, produzindo os mesmos resultados
fisicamente significativos.
E nao sao so os comutadores que diferem entre as multiplas descricoes equivalentes de uma
classe de teorias: o mesmo ocorre com a estrutura de branas. Vimos que dualizar pode levar
um sistema Dp-brana +backgrounda uma D(p±1)-brana ou a um sistema Dp-brana + D(p-2)-
branas (que, inclusive, pode ser identificado com um sistema Dp-brana +background). A teoria
inteira, com sua hamiltoniana, seu espectro, seu tensor energia-momento etc, e n˜ao a estrutura
de brana, e que e invariante sob a dualidade T.
Sobre a correspondencia entre simetrias
Outra questao interessante e a conex˜ao entre a dualidade T e as simetrias do toro. Viu-se
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no Apendice C que dualizar a D2-brana no 2-toro de acordo com a prescricao da secao 3.2.4
corresponde a trocar os parametrosτ e ρ do toro. A dualidade T e uma simetriada teoria de
cordase a trocaτ ↔ ρ e uma simetriado toro. A esta altura, aprecia-se a possibilidade de a
todasimetria daworldsheetcorresponder uma simetria dotarget space. Isso daria a teoria de
cordas um sabor geometrico.
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