Nach einem Vortrag von Lucia Del Chicca und M a rkus Hohen wa rter ÖMG-Tagung 25 A p ril 2014
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Transcript of Nach einem Vortrag von Lucia Del Chicca und M a rkus Hohen wa rter ÖMG-Tagung 25 A p ril 2014
Nach einem Vortrag von
Lucia Del Chicca und Markus
HohenwarterÖMG-Tagung
25 April 2014L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
Die Problemstellung
Es ist allgemein bekannt, dass wenn wir ein
bestimmtes Kapital zur Verfu¨gung haben, es besser ist
dieses in unterschiedliche Finanzprodukte zu investieren, anstatt nur in ein Einziges (die sogenannte Diversifikation). Bei einer gegebenen Menge von Finanzprodukten, stellen sich einige Fragen wie:
In welche davon sollte man investieren?
Wie sollte man das Kapital am besten aufteilen?
Und vor allem: Gibt es eine Kombination von Finanzprodukten die besser ist als alle anderen?
.,. Motivation
.., Der Fall von 2 Finanzprodukten l¨asst sich mit den
mathematischen Kenntnissen der Oberstufe vollst¨andig
l¨osen
.., Der allgemeine Fall von n Finanzprodukten kann im Rahmen eines Projektes bzw. einer Projektarbeit behandelt werden (dazu braucht man die Methode des Lagrange-Multiplikators)
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
Wir haben zur Verfu¨gung:
.,. Kapital = 1
.,. A1, A2, . . . , An Finanzprodukte
Frage:
In welche dieser Anlagem¨oglichkeiten oder deren
Kombinationen sollen wir investieren?
Gibt es “bessere” und “schlechtere” Finanzprodukte?
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
ZIEL einer Investition: so viel wie m¨oglich gewinnen mit so
wenig wie m¨oglich Risiko.
Eine “gute” Investmentstrategie ist eine mit großer erwarteter Rendite und geringem Risiko.
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
2 “Gr¨oßen” fu¨r die Finanzprodukte:
.,. Erwartete Rendite (erwarteter Gewinn, Trend) µ
entspricht dem gesch¨atzten Wert, den das
Finanzprodukt zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft haben wird
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
2 “Gr¨oßen” fu¨r die Finanzprodukte:
.,. Erwartete Rendite (erwarteter Gewinn, Trend) µ
entspricht dem gesch¨atzten Wert, den das
Finanzprodukt zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft haben wird.
.,. Volatilit¨at σ stellt das Risikomaß eines Finanzproduktes
dar.
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
Jedem Finanzprodukt Ai mit i = 1, . . . n k¨onnen wir ein
Paar
(σi , µi )
zuordnen und in einem Trend-Volatilit¨ats-Diagramm
eintragen
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
5 Finanzprodukten in Trend-Volatilit¨ats-
Diagramm L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
DEFINITION:
.,. Risikoloses Finanzprodukt: bei dem wir, unter normalen Voraussetzungen, in jedem Moment den
Wert des Produktes fu¨r jeden Zeitpunkt in der
Zukunft exakt berechnen k¨onnen
.,. Risikobehaftetes Finanzprodukt: bei dem wir
gegenw¨artig nicht exakt berechnen k¨onnen,
welchen Wert es zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft haben wirdL. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU,
Linz
In Hinsicht auf den Trend-Volatilit¨ats-Ansatz k¨onnen wir in
manchen F¨allen bereits klar sagen, dass eine Investition in
eine bestimmte Aktie gegenüber der in eine andere zu bevorzugen ist.
Frage: Wie sieht es aber mit Kombinationen von Finanzprodukten aus?
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
DEFINITION:Eine Kombination von verschiedenen Finanzprodukten heißt Portfolio (von Finanzprodukten).
Um von Rendite und Volatilit¨at eines Portfolios zu
sprechen, brauchen wir eine zus¨atzliche Gr¨oße:
Korrelation
.,. Korrelation ist ein Maß fu¨r den Zusammenhang zweier
Aktien, hat immer einen Wert zwischen − 1 und 1L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU,
Linz
Notationen:
A1, A2, . . . , An
µ1, µ2, . . . , µn
Aktien zur Verfu¨gung
erwartete Renditen von A1, A2, . . . , An in einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft
Volatilit¨aten von A1, A2, . . . , An in
einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft Korrelation von Ai
und Aj
σ1, σ2, . . . , σn
ρij = Korr (Ai , Aj )
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
Sei Y das allgemeine Portfolio Kombination von A1, . . . , An
Y = x1A1 + x2A2 + . . . + xnAn
wo xi = Anteil des Kapitals, das in Ai investiert wird (i =
1, . . . , n). Als Nebenbedingung gilt also:
x1 + x2 + . . . + xn = 1
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
Fu¨r Y ist
µY = x1µ1 + x2µ2 + . . . + xnµn
und
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
Wo befindet sich das allgemeine Portfolio Y mit den Koordinaten (σY , µY )?
Betrachten wir als erstes den Fall zweier Aktien:
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
Kombinationen aus 2
Aktien Seien:A1, A2
µ1, µ2
Aktien zur Verfu¨gung
erwartete Renditen von A1, A2 in einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft
Volatilit¨aten von A1, A2 in einem bestimmten
Zeitpunkt in der ZukunftKorrelation von A1 und A2
(wir betrachten den allgemeinen Fall − 1 < ρ12 < 1) Kapital zur Verfu¨gung
σ1, σ2
ρ121
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
2 Aktien in Trend-Volatilit¨ats-
DiagrammL. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU,
Linz
Sei Y das allgemeine Portfolio Kombination von
A1 und A2 Y = x1A1 + x2A2 = tA1 + (1
− t)A2
wo t = Anteil des Kapitals, das in A1 investiert wird
(σY , µY ) =
GeoGebraBook Aktienportfolio: http://ggbtu.be/b110094
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
Konvexe Kurve aller Portfolios aus A1
und A2L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU,
Linz
Opportunity Set und Portfolio mit minimaler
Volatilit¨at L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
Efficient Border (Effizienzlinie)
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
Kombinationen aus 5 AktienSeien:
A1, A2, A3, A4, A5
µ1, µ2, µ3, µ4, µ5
Aktien zur Verfu¨gung
erwartete Renditen von Ai , . . . , An
in einem bestimmten Zeitpunkt in der ZukunftVolatilit¨aten von Ai , . . . , An in
einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft Korrelation von Ai , Aj mit i , j = 1, . . . , 5
Kapital zur Verfu¨gung
σ1, σ2, σ3, σ4, σ5ρij
1
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
5 Aktien in Trend-Volatilit¨ats-
DiagrammL. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU,
Linz
Sei Y das allgemeine Portfolio Kombination von Ai miti = 1, . . . , 5
Y = x1A1 + x2A2 + x3A3 + x4A4 + x5A5
mit x1, . . . , x5 Anteile von Kapital die in A1, . . . , A5
investiert sind (σY , µY ) =
GeoGebraBook Aktienportfolio: http://ggbtu.be/b110094 L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU,
Linz
Opportunity Set der Kombination von 5 Aktien
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
Wo liegen die “besten” Portfolios?
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
Effizienzlinie und Portfolio mit minimaler Volatilit¨at
der Kombination von 5 AktienL. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz
Literatur:
1. Hull, J. (2011). Risikomanagement. Banken, Versicherungen und andere Finanzistitutionen. Pearson.
2. Schnid, F., Trede, M. (2006). Finanzmarktstatistik. Springer.
3. Sharpe, W.F., Alexander, G.J. (1990). Investments. Prentice-Hall International Editions.
4.Sydsaeter, K., Hammond, P. (2004). Mathematik
fu¨r Wirtschaftswissenschaftler. Pearson Studium.
L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz