Multi-state extension of asymmetric simple exclusion process

確率過程の可解性と代数構造

数理助教の会 2014 年 1 月 27 日（月） 17:00-19:00

数理 4 研　松井千尋

イントロダクション• 統計力学：原子や分子レベルの運動規則から

　　　　　　統計的手法を用いてマクロな性質を導き出す．

• 数理物理：モデルの数理的構造を使って　　　　　　物理現象を解析的に説明する．

• 物理現象はミクロな相互作用と多体効果によって引き起こされる．• 相関長は無限に長くなることがある．

例：電池，超流動

例：イジングモデル，　　高温領域・低温領域の duality

例：熱揺らぎと秩序化しようとする力　　が釣り合う＠低温

イジングモデル（ T=2.1K ）

イントロダクション• 物理現象をなんとか分類したい！• 臨界現象には系の詳細によらない特徴量が出現．▫ 相関長のシステム・サイズ依存性▫ スケーリング則（物理量の振る舞いに現れる冪の関係）▫ 共形不変性（等角写像変換の下で不変）

• しかし，実際にこういった量を求めるのは困難．▫ 多くは漸近解析や近似で導出．▫ 可積分系と呼ばれる一部のモデルのみ，よい代数構造をもち，厳

密に解くことができる．

▫ ここでは Uq(sl2) 代数の場合を取り扱う．

非対称単純排他過程 (ASEP)• 体積排他相互作用をもつマルコフ過程．

• 交通流や mRNA の転写モデルとしてよく知られる．• 密度プロファイルに相転移がある．

• Uq(sl2) 不変（閉じた境界条件の場合）．一般の境界条件下ではAskey-Wilson 代数が現れる．

（左から）低密度相，カレント最大相，共存相，高密度相[Sasamoto 03]

rate p1 で右へホッピング．rate p2 で左へホッピング．隣に粒子がいる場合，移動不可．

非対称単純排他過程 (ASEP)• ASEP の状態空間は一次元に配列された {0,1} で与えられる．

• 隣り合った 2 サイト間での遷移に注目．

• ベクトル表示

粒子あり：粒子なし：

遷移の種類遷移レート(10) → (01) p1

(01) → (10) p2

このベクトル空間で考えると上の遷移則は 4×4 の行列で書ける．

遷移行列

非対称単純排他過程 (ASEP)• 一次元系全体に対する遷移行列は局所遷移行列の和で与えられる．

• 境界条件を課して有限系で定義することも可能．

• ASEP の時間発展はマスター方程式により記述される．

隣の状態のみによる．マルコフ的（直前の状態のみによる．）

周期境界条件

閉じた境界条件

一般の境界条件

粒子の出入りなし

incoming rate outgoing rate

代数表現と確率モデルの関係• 遷移行列の代数的性質

• 遷移行列は TL 代数の 2 次元表現で書ける．

Temperley-Lieb 代数生成子

： 2 状態 ASEP

： (ℓ+1) 状態 ASEP

• 元々の TL生成子に対しては graphical な表現が与えられている．

• テンソル積から空間の入れ替えに関して対称な部分空間を取り出して高次元表現を構成．

代数表現と確率モデルの関係

i

i i+1

i+1

1/21/2 1 0

射影演算子 Y で消える部分空間例： 3 状態の場合

i

i i+1

i+1

i

i i+1

i+1Y Y

YY

i

i i+1

i+1Y Y

YY[Zinn-Justin 07]

代数表現と確率モデルの関係• 確率モデルであるためには以下の条件が成り立っている必要がある．▫ 確率保存則▫ 確率の正値性

適切な相似変換適切な生成子の組み合わ

せ確率保存則は成り立っているか？⇒ No.



せ次の相似変換を考える．



せ次の相似変換を考える．同じ次元に属する全ての TL生成子が

確率保存則を満たすように同時に変換する．



せ確率の正値性は満たされているか？⇒ No.



せ同じ次元の異なる TL生成子を組み合わせてみる．

代数表現と確率モデルの関係

5

6

3

1

4

β に関する条件 :

①

②

③

④

⑤

⑥

モデルの設定より q > 0.

β が条件式を満たすとき，相似変換された TL生成子の組み合わせは確率過程を与える．

• ここで “確率過程が可解である” とは定常状態が厳密に求まるモデルのことを指すことにする．

• 定常状態は時間発展に関して不変：

▫ もしマルコフ行列 M と交換する演算子を見つけられれば，定常状態にその演算子を作用させて得られる状態も定常状態．

▫ TL 代数生成子は Uq(sl2) 代数生成子と可換．

新しい定常状態

TL 代数 Uq(sl2) 代数

生成子

dual

commute

可解性とは

• Uq(sl2) 代数生成子

• 2 次元表現

• SU(2) 代数生成子

• 2 次元表現

可解性とは

q 変形

可解性とは• Uq(sl2) 代数の生成子は局所空間に作用する．• coproduct を導入することにより，空間を拡げることが可能．

• coproduct により拡張された生成子は元の代数関係式を満たす．

可解性とは—定常状態—• 0 粒子状態（系に粒子がいない状態）は時間発展不変なので定常状

態．

• n 粒子状態は， TL生成子との可換性を利用して， Uq(sl2)生成子を 0粒子状態に作用させることで構成できる．

サイト数 N の (ℓ+1) 状態 ASEP の定常状態はサイト数ℓ N の 2 状態 ASEP の定常状態で書ける．

サイト数ℓ N の 2 状態ASEP のn 粒子定常状態で書ける．

可解性とは—ノルム—• 定常状態のノルム

• 状態ベクトルの規格化を以下のように定める．

交換関係S+ の作用

可解性とは—粒子密度—• 定常状態中の xth サイトでも粒子密度は以下で定義できる．

• counting operator を導入．

定常状態は 2 状態 ASEPで表せる．

行列部分も 2 状態 ASEPで表せるか？

⇒ Yes. 例： 3 状態の場合

2 状態での計算に置き換わった．

可解性とは—粒子密度—• 導かれた公式： (ℓ+1) 状態の粒子密度の計算は 2 状態の密度計算に

分解される．

• 2 状態の場合の表式　 [Sandow-Schutz 94]

large N での漸近形

高密度相から 0 密度相への減衰速度は系の状態数に依存する．

可解性とは—粒子カレント—• Particle-counting operator を使って粒子の流れを表す．▫ 2 状態の場合

▫ 3 状態の場合 ??

可解性とは—粒子カレント—

可解性とは—粒子カレント—• Particle-counting operator を使って粒子の流れを表す．▫ 2 状態の場合

▫ 3 状態の場合= 0

閉じた境界条件では定常状態中のカレントが消えてしまう．

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