Modelos de riesgo para el seguro de Crédito a la vivienda.

Trabajo presentado para el XVII Premio de Investigación

sobre Seguros y Fianzas 2010.

Act. Valeria Álvarez Navarro Mtro. Javier Gutiérrez García

“FREDDY MAE FANNIE MAC”

 

 

Primer Lugar Categoría de Seguros

XVII Premio de Investigación sobre Seguros y Fianzas 2010

Índice

Reseña ............................................................................................... 1 1 El crédito y el seguro a la vivienda .................................................. 2 

1.1 El mercado de crédito a la vivienda .................................................... 2 1.2 El riesgo de incumplimiento y el seguro del crédito a la vivienda ........ 3 

2 Elementos del riesgo del seguro de crédito a la vivienda ................. 6 2.1 El Riesgo de Crédito ........................................................................... 7 2.2 La Pérdida Esperada ........................................................................... 8 2.3 La Exposición y Severidad .................................................................. 9 2.4 La Probabilidad de Incumplimiento .................................................. 11 

2.4.1 Tipos de Información ............................................................................... 11 2.4.2 Modelos de estimación de probabilidades de incumplimiento para créditos hipotecarios ................................................................................................... 12 

3 Modelos de Riesgo de Corto Plazo ................................................. 19 3.1 Tipos de modelos de dependencia .................................................... 19 3.2 Modelos de riesgo para un crédito hipotecario .................................. 21 3.3 Modelos de Riesgo para una Cartera con Créditos Independientes.... 22 3.4 Modelo de Riesgo para un Cartera con Créditos No Independientes .. 24 

3.4.1 Número de incumplimientos ..................................................................... 24 3.4.2 Distribución de pérdidas de la cartera ........................................................ 26 3.4.3 Momentos de la Distribución Poisson Mixta Compuesta ................................. 27 3.4.4 Estimación de la Distribución Poisson Mixta Compuesta ................................ 29 

4 Modelos de Riesgo de Largo Plazo ................................................. 33 4.1 Modelos de Supervivencia ................................................................ 33 4.2 Modelos de Tasa de Fallo Proporcionales .......................................... 35 4.3 Procesos Mixtos ............................................................................... 36 4.4 Distribución de Pérdida y Proyección de Siniestros ........................... 38 

5 Aplicación Numérica a una Cartera de Seguros de Crédito a la Vivienda ........................................................................................... 40 

5.1 Descripción de las base de datos .................................................................. 40 

5.2 Estimación de la curva de incumplimiento y el proceso mixto ........... 41 5.3 Distribución de pérdida anual ........................................................... 47 

5.3.1 Distribuciones de Pérdida bajo una Variable mixta Gamma ............................ 47 5.3.2 Distribuciones de Pérdida Bajo un Proceso Mixto CIR .................................... 50 

5.4 Flujos y distribución de pérdida por el plazo del crédito ................... 53 

6 Conclusiones ................................................................................. 56 Bibliografía ...................................................................................... 57 

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Reseña

La vivienda es uno de los aspectos más relevantes para el bienestar de las familias, sin embargo, en México una gran cantidad de ellas no cuentan con una propia. Para que más familias puedan adquirir una vivienda se requieren mecanismos financieros como el crédito y el seguro de crédito a la vivienda. El seguro de crédito a la vivienda es un instrumento financiero con el que una aseguradora comparte el riesgo de incumplimiento con las instituciones financieras que otorgan el crédito. Esto hace posible que el crédito llegue con mejores condiciones al acreditado y a poblaciones que de otra forma no tendrían acceso al mismo. Sin embargo, las aseguradoras deben medir correctamente el riesgo de incumplimiento con el fin de que éstas puedan ser solventes y llevar una adecuada administración. Los seguros de crédito a la vivienda presentan características diferentes a los seguros de otros ramos, lo que presenta retos importantes para modelar las pérdidas generadas por las reclamaciones de estos seguros. Los principales retos se derivan de que estos seguros son de largo plazo y que dependen de factores exógenos como el estado de la economía. Sin embargo, también presentan características que facilitan la modelación, como es el hecho de que las sumas aseguradas y por ende el tamaño de las pérdidas son relativamente homogéneos. El presente trabajo tiene como objetivo describir el riesgo del seguro de crédito a la vivienda y proponer modelos que sean adecuados y prácticos para su medición.

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1 El crédito y el seguro a la vivienda Uno de los aspectos más relevante para el bienestar de la población es que las personas cuenten con una vivienda. La situación actual de México es que hacen falta tanto viviendas nuevas, como ampliación y mejoramiento de viviendas ya existentes. De acuerdo a la CONAVI en el año 2000 había necesidad de crear un millón ochocientos mil viviendas nuevas, además de ampliar dos millones cuarenta y dos mil viviendas y reparar otras 438 mil para evitar que su deterioro las hiciera inadecuadas. Ante tal demanda se requiere contar con los mecanismos necesarios para poder cubrirla. Uno de estos mecanismos es el crédito a la vivienda, donde instituciones financieras otorgan los recursos necesarios a las personas para que estos puedan adquirir una vivienda. La persona se compromete a ir pagando el crédito a lo largo de varios años. Las instituciones financieras quedan entonces sujetas al riesgo de que la persona incumpla en sus obligaciones de pago y con ello a perder una parte importante de los recursos que esperan recibir. A este se le conoce como riesgo de crédito o, en este, caso riesgo de incumplimiento. Este riesgo inhibe el otorgamiento de crédito a la vivienda. Las instituciones financieras preferirían invertir sus recursos en alternativas más seguras, en donde sus recursos no estuvieran expuestas a este tipo de riesgo, o bien, podrían seguir otorgando créditos a la vivienda, pero a tasas más elevadas para compensar el riesgo de crédito que están asumiendo. Ante tal situación, surge el seguro de crédito a la vivienda como un mecanismo que transfiere el riesgo de incumplimiento de las instituciones financieras otorgantes de créditos a la vivienda a una entidad aseguradora. A continuación se explica con mayor detalla la función del crédito y el seguro de crédito a la vivienda. 1.1 El mercado de crédito a la vivienda La vivienda es una necesidad básica para la inmensa mayoría de las familias, sin embargo, su alto costo en relación al ingreso familiar provoca que la mayor parte de la población no tenga la capacidad financiera para adquirir vivienda con sus propios recursos y tenga que recurrir a diferentes alternativas para poder acceder a ellas, como son: el pago renta, vivir con otra personas o bien adquirir un crédito. Una gran parte la población aspira a la adquisición de una vivienda ya que con ello genera un patrimonio que le brinda estabilidad económica y social. Mediante el crédito a la vivienda se puede acceder a una, sin embargo, para que éste sea accesible y se adecue a la capacidad de pago, debe ser de largo plazo, de tal manera que el ingreso de los demandantes sea suficiente para cubrir sus necesidades básicas y el pago del crédito a la vivienda. Actualmente existen en el país diversas instituciones que brindan créditos a la vivienda que abarcan: bancos comerciales, sociedad financieras de objeto limitado y múltiple (SOFOLES y SOFOMES) e instituciones gubernamentales como INFONAVIT y FOVISSSTE. Estos intermediarios requieren recursos financieros en grandes cantidades para poder otorgar financiamiento a cada acreditado que lo solicite. Algunos de ellos como los bancos comerciales, son entidades que manejan varias líneas de negocio y pueden acceder a recursos a través de depósitos de sus clientes.

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Sin embargo, hay otros que son instituciones especializadas en hipotecas (SOFOLES y SOFOMES) que no cuentan con otras operaciones que les provean recursos, teniendo que buscar fuentes de fondeo alternativas para poder seguir originando créditos y al mismo tiempo ser competitivos. Una de las estrategias financieras que han adoptado todos estos participantes (incluyendo los bancos y las instituciones gubernamentales) es captar fondeo a través de la venta de cartera de créditos hipotecarios ya originados en el mercado de capitales. De esta manera, un inversionista de largo plazo compra el portafolio de créditos individuales proveyendo de recursos al intermediario financiero a cambio de recibir los flujos de los pagos que genere el crédito hipotecario. De esta forma se tienen un nuevo participante en el mercado de crédito a la vivienda que es el inversionista. Este proceso es conocido en México como “bursatilización”. Todos estos participantes: bancos, SOFOLES Y SOFOMES, inversionistas, cumplen la función de captar recursos para canalizarlos a las personas que los requieren para poder adquirir una vivienda. Sin embargo, el riesgo de incumplimiento que asumen puede inhibir el otorgamiento del crédito o encarecerlo. A continuación se describe el riesgo de incumplimiento y el mecanismo del seguro de crédito a la vivienda. 1.2 El riesgo de incumplimiento y el seguro del crédito a la vivienda Los créditos a la vivienda están estructurados como instrumentos de deuda amortizables cuyas condiciones quedan establecidas en un contrato hipotecario. En éste, el intermediario financiero se compromete a otorgar un monto específico al cliente para la adquisición de vivienda. Por su parte, el acreditado se compromete a pagar el crédito periódicamente durante el plazo y tipo de tasa de interés establecidos en dicho contrato. Sin embargo, no todos los acreditados pagarán el crédito que adquirieron, algunos de ellos decidirán o se verán obligados por las circunstancias a dejar de pagar una o varias mensualidades. Dados los derechos y obligaciones aceptados por las partes involucradas, la falta de pago por parte del acreditado se considera un incumplimiento al contrato. Un crédito puede encontrarse en diferentes fases cuando un pago programado no se realiza. El intermediario desconoce si el acreditado está retrasado en el pago temporalmente o ha decidido no hacer más pagos a la hipoteca. Por lo que en la práctica la falta de pago de la mensualidad se considera que el crédito está en “mora”. La morosidad es una situación que antecede al incumplimiento y tiene un papel importante en su definición. El término “morosidad”, indica que en la fecha de vencimiento de la mensualidad, el acreditado no hace el pago correspondiente. La morosidad simplemente cuenta el número de pagos que el acreditado no ha hecho en relación con los que debía hacer de acuerdo a su tabla de amortización vigente. Cuando un crédito presenta morosidad, significa que tiene cierto número de pagos vencidos acumulados a la fecha de observación. Sin embargo si la situación de no pago continúa por varios periodos incrementando hasta un límite predeterminado, el intermediario financiero puede declarar al crédito en una situación en la cual la falta de pago no es temporal sino permanente. El número de mensualidades sin pago consideradas para declarar que un crédito ha dejado de pagar depende de la institución crediticia; sin embargo la práctica común

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se considera que si un crédito acumula cuatro o más pagos en mora, el intermediario puede declarar el crédito en incumplimiento y empezar el trámite legal de recuperación del mismo. El incumplimiento es un riesgo para la institución otorgante o inversionista del crédito pues dejará de recibir los flujos de efectivo programados. En el caso de su realización la consecuencia puede representar una pérdida económica para el intermediario. El seguro de crédito a la vivienda surge ante la necesidad que tienen las instituciones o inversionistas que reciben estos flujos de cubrirse por el riesgo de incumplimiento. Mediante este seguro las instituciones reciben un monto que cubre parcial o totalmente la pérdida por el incumplimiento del acreditado a cambio de una prima. De esta manera pueden transferir el riesgo de incumplimiento a una tercera entidad que es la aseguradora. Si bien varias de las instituciones pueden administrar el riesgo de incumplimiento de su cartera, existen ciertas ventajas en la transferencia de este riesgo a una aseguradora:

o En primer lugar las instituciones financieras tienen que hacer frente a su riesgo de incumplimiento mediante la creación de reservas y la constitución de capital, por lo que el contar con seguros de crédito a la vivienda, liberaran gran parte de estos recursos y les permite otorgar un mayor número de créditos.

o Asimismo, la mayoría de las instituciones están más especializados en la

captación de fondos para proveer de liquidez a la población y en menor grado en la estimación del riesgo, por lo que prefieren transferir el riesgo a una entidad especializada.

o El seguro de crédito a la vivienda brinda una mayor certeza del flujo de

efectivo que recibe la institución o el inversionista, lo que les permite tener estados financieros más estables.

o Se incorpora una entidad, la aseguradora, en la revisión del otorgamiento del crédito a la vivienda, lo que genera una mayor calidad en la suscripción de crédito.

En términos generales, la aseguradora se vuelve un “socio” en el negocio del otorgamiento del crédito al compartir el riesgo. Como tal, la aseguradora tendrá incentivos para revisar que los créditos estén bien originados y se otorguen a la población adecuada, a que los productos de créditos tengan las características adecuadas para la población objetivo, y a que se hagan de manera correcta los procesos de cobranza y de recuperación de créditos incumplidos. Todo esto con el fin de mitigar el riesgo de incumplimiento y de que se otorguen más créditos a la vivienda. Una de las consecuencias de incorporar el seguro de crédito a la vivienda es que se otorguen créditos que en otras condiciones los intermediarios financieros no estarían dispuestos a hacerlo. Por ejemplo, para recibir un crédito la persona debe participar de la compra de la vivienda pagando una parte, lo cual se conoce como enganche. Los otorgantes de crédito prefieren enganches altos ya que esto mitiga el riesgo de

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que la persona incumpla, derivado de que en caso de incumplimiento la persona perdería el enganche. Desafortunadamente, no todas las personas logran integrar el enganche necesario para ser sujetas de crédito. Con el seguro de crédito a la vivienda, las instituciones financieras están dispuestas a otorgar créditos con menores enganches, debido a que el seguro les compensa el riesgo que de otro forma estarían asumiendo. Resulta natural que la demanda de seguros de crédito a la vivienda se concentre en las poblaciones de créditos más riesgosas, pues es donde las instituciones financieras tienen el mayor interés de cubrirse. Entre estas poblaciones están las que reciben crédito por primera vez y en las que se carece de información, lo que conlleva a que la medición del riesgo de incumplimiento sea más complicada. Sin embargo, es de esta manera que el seguro de crédito a la vivienda cumple con una función de social muy importante que es la de hacer llegar crédito a poblaciones que de otra forma no tendrían acceso al mismo. Para que esta función social se cumpla es necesario que las aseguradoras del ramo de crédito a la vivienda midan correctamente el riesgo que están asumiendo, con el fin de que determinen los criterios y políticas de suscripción adecuados, estimen de manera correcta las tarifas de riesgo a cobrar, valúen correctamente las reservas técnicas para el pago de las reclamaciones, constituyan el capital económico necesario para salvaguardar su solvencia, y en general hagan una administración adecuada del riesgo de su cartera. En otros ramos, existen modelos probados para medir las pérdidas potenciales que asumen las aseguradas, sin embargo, el ramo de crédito a la vivienda es un ramo nuevo y desconocido por el sector asegurador, por lo que se requieren estudios para comprender el comportamiento de las pérdidas de éste y determinar los modelos adecuados para su medición. El presente trabajo tiene como objetivo describir el riesgo del seguro de crédito a la vivienda y proponer algunos modelos adecuados para la medición del mismo. El capitulo 2 describe los métodos y modelos para estimar los parámetros básicos del riesgo de un crédito a la vivienda de forma individual, que son las probabilidades de incumplimiento, las tasas de severidad y el nivel de exposición. El capitulo 3 agrega los créditos individuales y describe como llegar a modelos de distribución de pérdidas de una cartera para un horizonte de tiempo de corto plazo. El capitulo 4 extiende los modelos del capítulo 3 para contemplar un horizonte de tiempo de largo plazo. El capítulo 5 aplica los modelos descritos a una cartera real de seguros de crédito a la vivienda. El capitulo 6 concluye el presente trabajo.

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2 Elementos del riesgo del seguro de crédito a la vivienda El seguro de crédito a la vivienda tiene la particularidad, como su nombre lo indica, de que en él se conjuntan dos productos del mercado financiero: el seguro y el crédito. Cada uno de estos es atendido por una entidad especializada del mercado financiero, el seguro por parte de las instituciones de seguros y el crédito por parte de los bancos, SOFOLES y SOFOMES. Asimismo cada uno tiene su propio marco regulatorio y entidad regulatorio, la CNSF para los primeros y la CNBV para los segundos. A pesar de ello, en el caso del seguro de crédito a la vivienda, todos los participantes, aseguradores como bancos asumen el mismo riesgo, que es el incumplimiento del acreditado. No solamente en la cuestión práctica se conjugan estos dos ámbitos. Dentro de las teorías para la medición del riesgo existen desarrollos tanto dentro del ámbito bancario como en el de seguros. Dentro del ámbito bancario ha habido un importante desarrollo a partir de los años noventa en la medición de riesgo de crédito. Aparecieron en esta década los modelos de distribución de pérdidas que marcaron un parte-aguas en la forma de modelar el riesgo crediticio de los bancos, entre estos modelos se encuentran CreditMetrics (Gupton et al. 1997), CreditPortfolioView (Wilson 1998) y CreditRisk+ (Credit Suisse 1997). A partir de estos modelos se han abierto una serie de trabajos que enmarcan un marco teórico sobre el que descansan estos modelos, Gordy 2000, Bluhm et al. 2001, por mencionar algunos, y que han desencadenado una serie de estudios para probar otros enfoques como es el de las cópulas (Ver Li 1999). Estos estudios se han derivado a su vez de estudios de valuación de riesgo de mercado y productos de derivados financieros y que hoy en día marchan en paralelo con muchos trabajos relativos a la valuación de derivados de crédito. El desarrollo de estos modelos ha jugado un papel fundamental en la creación del nuevo marco de regulación de bancos a nivel internacional conocido como Basilea II. De igual forma, en el ámbito de seguros existe un desarrollo importante para la modelación del riesgo, destacando lo que se conoce en el ámbito actuarial como la teoría de riesgo. Beard 1984, Gerber 1979, Bühlmann 1970 representan algunos de los primeros y más representativos trabajos al respecto. Estos estudios son anteriores a los desarrollados en el ámbito bancario, sin embargo, no son ajenos los unos de los otros, por ejemplo, el modelo CreditRisk+ es un modelo basado en la teoría de riesgo. Poco a poco los ámbitos bancarios y de seguros empiezan a converger, no sólo en cuestión de modelación, sino también en cuestiones de administración, regulación y reportes. Una prueba de ello es el desarrollo de un nuevo marco metodológico de solvencia para las aseguradoras de Europa conocido como Solvencia II. Los modelos del presente trabajo recaban tanto elementos encontrados en los modelos de riesgo de crédito de tipo bancario como en la teoría de riesgo aplicada a seguros, y los engloba en un solo marco para la medición del riesgo de crédito a la vivienda.

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2.1 El Riesgo de Crédito El riesgo de crédito se refiere a la pérdida potencial que existe por la posibilidad de que la contraparte del crédito incumpla o bien se degraden sus condiciones de solvencia crediticia. La pérdida por degradación de la calidad de solvencia crediticia se materializa en un contexto de mercado líquido, en donde es posible vender el crédito. De esta manera, si la calidad del crédito se degrada, el crédito tendrá un menos valor en el mercado. En el caso particular del crédito a la vivienda, la contraparte es el acreditado y la pérdida potencial se da cuando el acreditado incumple. Si bien existe degradación de la calidad de los créditos a la vivienda, no existe en México un mercado líquido donde se coticen estos créditos de manera individual. Existen transacciones de bonos respaldados por créditos a la vivienda donde no se cotizan créditos de forma individual sino fideicomisos cuyos flujos dependen de una cartera de créditos. De esta manera se puede enfocar el análisis de crédito a la vivienda en el riesgo de incumplimiento. La literatura y la práctica reciente clasifica las pérdidas del riesgo de crédito en dos: las pérdidas esperadas y las pérdidas no esperadas. Pérdida Esperada: Se refiere a la pérdida que se esperan ocurra dadas las condiciones actuales o promedio de los créditos. Los otorgantes de créditos no esperan que todos los créditos que otorgan les sean pagados, en realidad saben que algunos incumplirán en sus pagos. La expectativa del monto a perder es lo que se conoce como pérdida esperada. La regulación bancaria establece el monto de las reservas por riesgo de crédito con base en la pérdida esperada. De igual manera, en el ámbito de seguros, la pérdida esperada equivale a la expectativa del monto de siniestros que esperan pagar las aseguradoras, mismas que igualmente forman parte fundamental de la estimación de las reservas técnicas que constituyen. En términos probabilísticos, como se verá más adelante, la pérdida esperada se refiere al valor esperado de la distribución de pérdidas. Pérdida no esperada: Se refiere a las pérdidas que ocurren por encima de la pérdida esperada. Si bien las pérdidas que ocurren deben ser en promedio la pérdida esperada, también es cierto que en ciertas ocasiones las pérdidas que ocurran serán menores y otras mayores a la pérdida esperada. La cuestión es entonces, conoces que tan mayores pueden ser las pérdidas, lo que implica una medición del nivel de desviación de las pérdidas sobre la pérdida esperada. Los bancos y aseguradoras deben tener los recursos suficientes para poder hacer frente también a estas pérdidas, de lo contario quebrarían al momento en que las pérdidas fueran mayores a las esperadas. Esto conlleva al concepto de capital económico, el cual se define como el monto de recursos necesarios por encima de la pérdida esperada que garanticen la solvencia de la institución ante la mayoría de los escenarios probables. Se habla de mayoría de escenarios probables ya que es prácticamente imposible poder garantizar la solvencia ante cualquier escenario. En términos probabilísticos la pérdida no esperada y el capital económico suele definirse como la diferencia entre un percentil de la distribución de pérdidas y el valor esperado de la misma. El percentil que se utilice estará en función de la probabilidad con la que se quiere que la pérdida que ocurra sea menor al capital económico. A continuación se describirá la forma como estimar la pérdida esperada de un crédito a la vivienda incluyendo los parámetros que se requieren. Posteriormente en los

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siguientes capítulos se describirán modelos para obtener la distribución de pérdidas con los cuales se puede estimar además la pérdida no esperada. 2.2 La Pérdida Esperada El primer paso para estimar la pérdida de un crédito consiste en asignar una variable aleatoria X la pérdida potencial de un crédito o seguro de crédito a la vivienda. La variable X toma el valor de cero si el crédito no incumple o el monto de la pérdida

en caso de incumplimiento. De esta manera la pérdida esperada )(PE es [ ]XEPE =

En la literatura de la administración de riesgo la pérdida esperada se divide en tres componentes: la probabilidad de incumplimiento, la pérdida dado el incumplimiento y la exposición. Estos corresponden en el ámbito asegurador a la probabilidad de que

ocurra el siniestro q , a la severidad de la pérdida Sev y la suma asegurada M . Matemáticamente se tiene que

MSevIX ⋅⋅= donde I es la variable aleatoria que indica si el crédito incumple o no y a la que se

le asigna una distribución Bernoulli con la probabilidad de incumplimiento q

⎩⎨⎧

=..0

1oce

incumpleI

⎩⎨⎧

=−=

=011

)(iqiq

if I

Claramente el evento de incumplimiento es incierto y por ende se modela como una variable aleatoria. Por otra parte la severidad y la exposición pueden considerarse determinísticos o variables de acuerdo al modelo que se utilice. Cabe destacar que esta modelación depende del horizonte de tiempo que se considere, que puede ser desde considerar la pérdida por la posibilidad de incumplimiento en el siguiente año, o bien, por lo que resta de la vigencia del crédito. Un supuesto que comúnmente se hace para facilitar la modelación de la pérdida esperada es el de suponer que estos componentes son independientes entre ellos, de tal forma que la pérdida esperada es igual al producto del valor esperado de cada uno

[ ] [ ] [ ]MESevEqXE ⋅⋅= . Esto resulta muy útil ya que permite estimar cada componente por separado para después multiplicarlo y obtener la pérdida esperada. Un ejemplo de esto es la metodología de la regulación bancaria para el cálculo de las reservas de los créditos

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hipotecarios. En ésta se obtiene un factor, de acuerdo a la morosidad del crédito, que corresponde a la probabilidad de incumplimiento. Asimismo se obtiene otro factor que corresponde a la severidad de la pérdida. Ambos factores se multiplican por el saldo del crédito, el cual corresponde a la exposición (Ver Circular Única Bancaria). A continuación se describirá una serie de métodos para estimar cada uno de estos parámetros para el seguro de crédito a la vivienda. 2.3 La Exposición y Severidad La exposición o suma asegurada del seguro de crédito a la vivienda es un porcentaje del saldo del crédito por lo que es variable y está función del mismo. El saldo varía mes con mes y depende de la tabla de amortización programada, del incumplimiento de pago así como de los pagos anticipados o prepagos que pudieran hacer los acreditados. El acreditado que recibe un crédito a la vivienda se compromete a hacer pagos, generalmente mensuales, para ir amortizando su crédito. En general, los pagos y la tasa de interés que paga son fijos, sin embargo, existen créditos con ciertas variaciones. Lo común es que el pago que realiza el acreditado tenga un componente de interés y otra de amortización, de esta forma el saldo programado

del crédito para el mes tS se puede obtener mediante la siguiente fórmula recursiva

tt

1tt Pago12j1SS −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅= −

Donde tj es la tasa de interés anual del crédito para el mes t . Conforme el crédito madura y va amortizando, la exposición disminuye como lo muestra la siguiente figura.

$0

$20

$40

$60

$80

$100

$120

$140

1 50 99 148 197 246 295 344

Sald

o Ins

olut

o

Milla

res

Meses

Saldo Insoluto

Un aspecto importante al modelar los créditos hipotecarios es considerar el hecho de que el acreditado puede realizar amortizaciones anticipadas de capital, conocidas como prepagos, para disminuir su deuda. Por ello, en lugar de utilizar el saldo programado, en adelante, se utilizará un saldo esperado de acuerdo con una estimación de prepago

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( ) ttt1tt epagoPrPagoj1SS −−+⋅= − La estimación el prepago es un tema tan estudiado como el del riesgo de incumplimiento. La siguiente figura muestra cómo se afecta la exposición por los prepagos parciales hechos por el acreditado.

$0

$20

$40

$60

$80

$100

$120

$140

1 50 99 148 197 246 295 344

Sald

o Ins

olut

o

Milla

res

Meses

Amortización Programada

Otro aspecto relevante en los créditos a la vivienda es que en caso de no pago del acreditado, el acreedor tiene derecho a hacerse de la vivienda para resarcir su pérdida. Este proceso de recuperación puede derivar en un proceso legal, que toma tiempo y genera mayores costos. En ciertas ocasiones el acreedor no lo logra recuperar el total del monto que le adeudan y es esa pérdida la que cubre el seguro de crédito a la vivienda. Los seguros de crédito a la vivienda pueden cubrir esa pérdida de forma proporcional o como primera pérdida. En el caso de los seguros proporcionales la pérdida se reparte proporcionalmente de acuerdo al porcentaje del monto cubierto. Esto es

( )( )0,cReSmaxCobB ttt −⋅=

Donde Cob es el porcentaje de cobertura del seguro y tcRe es el monto recuperado. En el caso de los seguros de primera pérdida, el seguro cubre la totalidad de la pérdida hasta un monto máximo que se determina como el porcentaje de cobertura por el saldo al momento del incumplimiento o recuperación. Esto es:

( )( )0,cReS,SCobminmaxB tttt −⋅= Si bien pueden generarse otros esquemas, actualmente éstos son los más utilizados, y la características que tienen en común es que la suma asegurada depende del saldo al momento del incumplimiento por lo que es importante contar con un modelo del tiempo al incumplimiento. Este tipo de modelos se describen el capítulo 5.

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2.4 La Probabilidad de Incumplimiento Existen una gran cantidad de modelos para la estimación de las probabilidades de incumplimiento. Una de las razones de ello se debe a que el incumplimiento del crédito está relacionado con una gran cantidad de factores y que en muchas ocasiones se puede tener información de estos. A continuación se explicará la información que se tiene y que resulta relevante para la estimación de las probabilidades de incumplimiento y posteriormente se hará una breve descripción de los modelos más utilizados.

2.4.1 Tipos de Información En términos generales una póliza de seguro de crédito a la vivienda puede en un periodo tener dos eventos: reclama o no reclama, el cual está ligado al evento de que el acreditado incumpla o no en el pago del crédito hipotecario. Aunque no se conoce de antemano el evento que va ocurrir, sí se tiene una serie de información que permiten asignar una probabilidad al evento de incumplimiento del acreditado. Esta información se puede dividir en:

o Información socio-económica del acreditado. o Información del comportamiento de crédito. o Información macroeconómica.

Las instituciones otorgantes del crédito buscan otorgar los créditos a personas solventes que tengan la capacidad de pagar su crédito hipotecario, por lo que para determinarlo llevan a cabo un proceso de suscripción en el que se genera una gran cantidad de información. Entre la información más relevante se encuentra:

o Los ingresos y egresos del solicitante. En general se busca, que el ingreso mensual que recibe la personal sea al menos 3 o 4 veces el monto del pago mensual del crédito hipotecario.

o El monto del enganche. A mayor monto de enganche, la persona tiene menos incentivos a incumplir, ya que en caso de perder la casa podría perder la parte del enganche. En general se piden enganches mínimos de 5% a 10% del valor de la vivienda.

o Información de Buró de Crédito. Una persona que ha no pagado otros créditos tiene más probabilidad de incumplir en el crédito hipotecario. Asimismo un alto nivel de endeudamiento podría mermar el ingreso de la persona y hacerla caer en incumplimiento.

o Valor de la Vivienda. El valor de la vivienda debe corresponder al nivel de ingresos de la persona, de lo contrario la persona no sería capaz de pagar el crédito.

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o Tipo y tiempo de empleo. El tipo y tiempo que lleva la persona en el empleo, da certidumbre de que el ingreso de la persona es estable. En general las personas con empleos estables tiene menos probabilidad de incumplir.

o Características del crédito. El tipo de crédito que se le otorgue a la persona resulta relevante para determinar si ésta va poder pagarlo. Los créditos con mayores tasas y plazos más cortos generan pagos más altos. Los créditos denominados en UDIS pueden resultar en pagos y saldo más altos en periodos inflacionarios que los denominados en Pesos.

Posteriormente al otorgamiento del crédito se va generando un nuevo tipo de información para determinar la probabilidad de incumpliendo del crédito. Esta información es la del comportamiento del crédito, en donde se tiene si el acreditado a estado pagando su crédito, cuánto ha pagado, si ha realizado prepagos etc. Un crédito que ha estado pagando puntualmente es menos propenso a incumplir que un crédito que se ha atrasado en sus pagos. Esta información resulta mucho más relevante para determinar la probabilidad de incumplimiento que la información de suscripción, sobre todo si ya ha transcurrido mucho tiempo desde la originación del crédito. Este tipo de información tan valiosa en seguro de crédito a la vivienda, no se tiene disponible en otros seguros. Por ejemplo, en seguro de vida equivaldría a conocer el estado de salud de una persona cada mes, con lo cual si la persona está enferma de gravedad tiene una probabilidad más alta de fallecer. O bien, en seguro de autos, a conocer los hábitos de manejo del conductor en un seguro de autos, en donde los malos hábitos darían una probabilidad más alta de siniestro. Asimismo, es sabido que el incumplimiento de los créditos está muy ligado a los ciclos macroeconómicos. En periodos de expansión los niveles de empleo, salarios, remesas son buenos y conllevan a que la gente tenga los recursos suficientes para el pago de su crédito hipotecario. Por el contrario en periodos de recesión, estos niveles se deterioran y se presenta un mayor número de incumplimientos. El estado macroeconómico es por ello una información relevante para determinar la probabilidad de incumplimiento de los seguros y créditos hipotecarios.

2.4.2 Modelos de estimación de probabilidades de incumplimiento para créditos hipotecarios Existen una diversidad de estudios y métodos utilizados para estimar la probabilidad de incumplimiento. Ello se debe a que existe una gran variedad de información y aplicaciones. Los modelos por información se pueden dividir en: Modelos de suscripción. Son aquellos que emplean únicamente la información de suscripción de los créditos, como son los datos del crédito (tasa, enganche, denominación) y los datos del solicitante (ingreso, tipo de empleo, buró de crédito etc.). Estos modelos se emplean generalmente para determinar la suscripción de un crédito, por lo que no se tiene información de comportamiento debido a que este no ha sido originado. Modelo de comportamiento. Son aquellos que además de utilizar la información de suscripción, utilizan los datos del comportamiento del crédito como son el número de pagos vencidos, el saldo actual, etc. También pueden utilizar el estado de factores exógenos, como niveles de desempleo, valores de vivienda, tasas, etc.

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Asimismo los modelos se pueden dividir en modelos de corto y largo plazo. Modelos de corto plazo. Son aquellos que buscan determinar el incumplimiento del crédito en un periodo corto, de tal manera que buscan utilizar la mayor cantidad de información que permite determinar esta probabilidad. Modelos de largo plazo. Son aquellos que buscan determinar el comportamiento que tendrá el crédito durante toda su vigencia. Por esta razón la información actual si bien resulta relevante para determinar la probabilidad de incumplimiento en el corto plazo, pierde efectividad en el largo, por lo que se buscan otros enfoques. Un ejemplo de este tipo de modelos es la curva de incumplimiento que se describe más adelante. A continuación se describen algunos modelos.

Matrices de Transición

Las matrices de transición son una herramienta que permite determinar la probabilidad de incumplimiento de un crédito de acuerdo a su estado de morosidad actual. Es una herramienta sencilla, intuitiva, útil y poderosa para pronosticar el desempeño de una cartera de créditos en el corto plazo sin requerir de mayor información que el historial de morosidad.

Para obtener una matriz de transición primeramente se definen los estados que puede tener un crédito de acuerdo a su morosidad. Por ejemplo el estado de un crédito puede ser que tenga cero pagos vencidos, o que tenga uno, dos, etc. Se pueden definir estados como tener más de 25 pagos vencidos, estar en incumplimiento, en cancelación de crédito etc., siempre que estos estados sean mutuamente excluyentes.

La siguiente tabla muestra un ejemplo de una definición de estados:

Estado Descripción

0: El crédito tiene 0 pagos vencidos al momento de observación

1: El crédito tiene 1 pago vencido al momento de observación

2: El crédito tiene 2 pagos vencidos al momento de observación

: .

: .

“x”: El crédito tiene x o más pagos vencidos lo que se considera como “Incumplimiento”.

n: El crédito ha sido prepagado.

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Los créditos van cambiando de estado cada periodo de pago, lo que se denomina transición. Por ejemplo, un crédito que hasta el momento tiene un pago vencido

tiene tres opciones en el próximo periodo de pago 1t + , es decir tres estados a los que puede cambiar:

Puede pagar la mensualidad correspondiente a 1t + y seguir debiendo un pago.

Puede pagar la mensualidad correspondiente a 1t + y pagar la cantidad que debe de algún periodo anterior, poniéndose con ello al corriente en su historial de pagos.

Puede no pagar la mensualidad correspondiente a 1t + acumulando otro vencimiento llegando así a dos mensualidades vencidas.

Desde el punto de vista probabilístico esto conforma un proceso estocástico discreto el cuál puede ser representado por una matriz que contiene las probabilidades de transición, es decir, las probabilidades de pasar de un estado a otro ( )roEstadoFutualEstadoActup ,

Matriz de Transición

Estado Futuro

Estado ActualCero Pagos Vencidos

Un Pago Vencido

Dos Pagos Vencidos …

Incumplimiento Prepago

Cero Pagos Vencidos p (0,0) p (1,1) p (2,0) … p (I,0) p (P,0)Un Pago Vencido p (0,1) p (1,1) p (2,1) … p (I,1) p (P,1)Dos Pagos Vencidos p (0,2) p (1,2) p (2,2) … p (I,2) p (P,2)

: : : : : : :Incumplimiento p (0,I) p (1,I) p (2,I) … p (I,I) p (P,I)Prepago p (0,P) p (1,P) p (2,P) … p (I,P) p (P,P)

Estas probabilidades únicamente utilizan el estado actual. Para estimarlas se necesita contar con información histórica del historial de pagos de los créditos. Las

Transición 0: 0 Pagos Vencidos

2: 2 Pagos Vencidos

1: 1 Pago Vencido

Mes i + 1

1: 1 Pago Vencido

Mes i

15

probabilidades en una matriz de transición se pueden obtener por métodos de máxima verosimilitud simplemente dividiendo el número de créditos que pasaron de

un estado i a un estado j en un periodo 1t + entre el número de créditos que tenían

morosidad i en el periodo t . Una ventaja de las matrices de transición es que permiten dada la morosidad actual de una cartera, determinar la morosidad futura. Si se supone que estas matrices son homogéneas en el tiempo, entonces si se multiplica la matriz de transición mensual por si misma entonces se obtiene la matriz de transición para un periodo de dos meses. De esta forma, por ejemplo, la matriz anual se puede obtener multiplicando la matriz de transición por si misma doce veces. Esto requiere suponer que las probabilidades de transición son estacionarias, lo cual no se puede suponer para periodos largos ya hay diversos factores afectando el comportamiento del crédito, como por ejemplo, la edad del crédito, la razón del monto del crédito – valor de la vivienda, etc. Por esta razón se considera este un método adecuado sólo para periodos cortos.

Modelos logísticos

A diferencia de las matrices de transición, los modelos logísticos buscan incorporar mayor cantidad de información para determinar la probabilidad de incumplimiento de los créditos. Para aplicar un modelo logístico al caso de un crédito se parte del evento de que un acreditado tiene la alternativa de pagar o no pagar. Este evento se puede modelar como una variable aleatoria Y donde:

Y = 1 Si el crédito incumple en el periodo

Y = 0 Si el crédito no incumple en el periodo.

Y que tiene función de probabilidad Bernoulli de la siguiente forma:

( ) ( ) ( )( ) { }1 0, donde y x1xx|yf y1yX|Y ∈−⋅= −ππ

Donde x se refiere a las variables de información que determinan la probabilidad de incumplimiento.

Como se puede ver, no existe relación lineal entre las variables de información x y el

evento de incumplimiento Y por lo que ajustar una regresión lineal del tipo

ii0i xY εββ ++= daría resultados poco precisos e incluso erróneos. Además los resultados no estarían restringidos a tomar valores entre 0 y 1, incumplimiento o no incumplimiento, los cuales son los dos únicos posibles resultados.

16

El modelo logístico propone como alternativa trabajar con la media condicional )X|Y(E como la variable de respuesta en vez de la utilizar la respuesta misma Y .

Se sabe que Y se distribuye Bernoulli con media, ( )xπ medida que también representa la probabilidad de que el resultado sea igual uno (incumplimiento). Por lo tanto, el objetivo del pronóstico se concentra en la estimación de la probabilidad de

incumplimiento ( )xπ .

La expresión para estimar la probabilidad de incumplimiento, es:

( )ikk1i10

ikk1i10

xx

xxi

e1ex ⋅++⋅+

⋅++⋅+

+= βββ

βββπ

K

K

donde:

( ) )X|Y(Ex ii =π

Aplicando la transformación logística, la expresión para ( )ixπ puede simplificarse y hacer los cálculos más sencillos, ésta se obtiene simplemente dividiendo por

)x(1 iπ− y calculando el logaritmo natural en ambos lados, obteniendo lo que se

conoce como la función de respuesta ( )ixg :

( )( ) ikk1i10

ii x...xx1

xln ⋅++⋅+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

βββπ

π

Haciendo

( ) ( )( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=i

ii x1

xlnxg r

rr

ππ

Se tiene que:

( ) ikk1i10i x...xxg ⋅++⋅+= βββ

( ) )x(g

)x(gi

i

i

e1ex+

=π

La transformación logística es la que da origen a la regresión logística, donde a la

expresión )X(1)X(

ππ− , se le conoce como “momios” u “odds” por su nombre en inglés.

Es el cociente de dos probabilidades ( ) ( )1yPxi ==rπ , ( ) ( )0yPx1 i ==− rπ ; se

interpreta como el número de veces que es más probable obtener el resultado 1y =

17

(incumplimiento) contra la probabilidad de obtener 0y = (no incumplimiento), por

ejemplo, unos momios de 1:3

13=

, se interpreta como tres variables 1y = por cada

variable 0y = ; o como que la probabilidad de obtener 1y = es tres veces mayor a la

de obtener 0y = . El valor de los momios, es siempre mayor o igual al de la probabilidad.

La ventaja de este modelo es que permite incorporar cualquier tipo de información para determinar las probabilidades de incumplimiento, incluyendo variable como la edad, morosidad, saldo del crédito que varían en el tiempo. El siguiente modelo hace explícito el hecho de que existen variables dependientes del tiempo que afectan las probabilidades de incumplimiento.

Modelos de tasa de riesgo proporcional Estos modelos son usados frecuentemente en las ciencias biomédicas para estimar la probabilidad de supervivencia de los pacientes basándose en sus características y el tratamiento que se les está proporcionando. En este caso el paciente es una hipoteca y su probabilidad de incumplimiento se puede interpretar como el fallo a la supervivencia del crédito. Es por ello que este modelo ha sido adoptado en la literatura hipotecaria para estimar los efectos que las variables explicativas tienen en el tiempo que las hipotecas tardan en tomar en incumplir. En particular este modelo estima la probabilidad de que un crédito a la vivienda con ciertas características incumpla o prepague en determinado periodo dado que se encontraba vigente al inicio del mismo, lo cual también es conocido con el nombre de probabilidad condicional de incumplimiento. Suponiendo que la función de probabilidad de terminación en función del tiempo que

tarda el crédito en incumplir o prepagar es )t(f , y que la función acumulada de

probabilidad es )t(F , la función de tasa de riesgo se define como la función de

probabilidad de incumplimiento al tiempo t , condicionada a que se encontraba activa

antes de t :

)t(F1)t(f)tTtTtPr(

lim)t(h 0 −=

≥+<<= → Δ

ΔΔ

La tasa de riesgo )t(h representa la probabilidad condicional de incumplimiento en el

siguiente periodo dado que el crédito estaba vigente en el periodo t . El supuesto de tasa de riesgo proporcional de Cox (1972) supone que el vector de variables

explicativas )t(x , ya sean variables o constantes en el tiempo, afectan la tasa de

riesgo de referencia )t(h0 de una manera proporcional y exponencial. La tasa de

riesgo para el individuo i al tiempo t se puede especificar como: )t(x

0 e)t(h)t(h ⋅−⋅= β

18

Donde β es el vector de coeficientes constantes de las variables explicativas. Cabe señalar que la tasa de riesgo de referencia es la tasa de fallo a lo largo del tiempo para el préstamo promedio en la muestra, y que el factor de proporcionalidad es la

función exponencial de las variables explicativas x’s y el vector de coeficientes β . La principal ventaja de este modelo es la facilidad que proporciona para modelar y probar la influencia de alguna variable en particular en la función de supervivencia sin hacer supuestos específicos acerca de la distribución de la función de referencia

)t(h0 . Un caso particular de este modelo son las probabilidades de incumplimiento condicionadas a la edad del crédito, llamadas curvas de incumplimiento y que son equivalentes a las tablas de mortalidad utilizadas en los seguros de vida. La siguiente figura presenta un ejemplo de una curva de incumplimiento:

Ejemplo Curva de incumplimiento

Edad dx lx qx xp0 qx1 0 100,000 0.0000% 0.0000%2 0 100,000 0.0000% 0.0000%3 0 100,000 0.0000% 0.0000%4 0 100,000 0.0000% 0.0000%5 0 100,000 0.0000% 0.0000%6 132 100,000 0.1319% 0.1319%7 168 99,868 0.1683% 0.1681%8 199 99,700 0.1992% 0.1986%9 181 99,501 0.1824% 0.1815%10 207 99,320 0.2081% 0.2067%11 206 99,113 0.2073% 0.2055%12 213 98,908 0.2155% 0.2131%13 218 98,695 0.2210% 0.2181%14 220 98,476 0.2236% 0.2202%15 228 98,256 0.2319% 0.2279%16 224 98,028 0.2289% 0.2244%17 225 97,804 0.2304% 0.2253%18 222 97,579 0.2276% 0.2221%19 219 97,357 0.2251% 0.2192%20 220 97,137 0.2265% 0.2200%

19

3 Modelos de Riesgo de Corto Plazo En el capitulo pasado se mencionó que las pérdidas se dividen en pérdidas esperada y no esperadas. Asimismo se describieron metodologías para estimar las probabilidades de incumplimiento, las tasas de severidad y la exposición de los créditos a la vivienda que permiten estimar la pérdida esperada. El presente y el siguiente capítulo parten de estos mismos parámetros para estimar no sólo el valor esperado sino la distribución de pérdidas de una cartera de crédito a la vivienda. La estimación de la distribución de pérdidas y de la pérdida no esperada tiene una mayor complejidad que la estimación de la pérdida esperada, debido a que la pérdida no esperada depende de la interrelación o dependencia que tienen los créditos entre sí, lo que comúnmente se suele llamar correlación entre los créditos. 3.1 Tipos de modelos de dependencia Existen varias formas de modelar la dependencia entre los créditos y actualmente se siguen elaborando estudios al respecto. Los modelos que se describirán en el presente trabajo parten del enfoque llamado doble estocástico. Enfoque Doble Estocástico Bajo este enfoque se supone que las probabilidades de incumplimiento o equivalentemente las fuerzas de incumplimiento de los créditos son variables o procesos aleatorios que dependen de una serie de factores en común. De esta manera los créditos están interrelacionados pues dependen de los mismos factores. Sin embargo, en el enfoque doble estocástico, una vez determinados estos factores, los créditos son independientes. Un ejemplo, de la aplicación de este enfoque en el ámbito de seguros, sería el número de incendios forestales en Estados Unidos. El número de incendios depende de las condiciones del tiempo, ya que en época de lluvias el número es menor que en épocas secas. Sin embargo, una vez determinada las condiciones del tiempo se espera que los incendios ocurran de forma independiente. Otro ejemplo, sería el número de tarjetahabientes que no pagan sus tarjetas de crédito. En el número de incumplimiento depende de las condiciones de la economía, específicamente del nivel de ingreso, endeudamiento, desempleo etc. Sin embargo, una vez dadas estas condiciones se espera que los tarjetahabientes incumplan de manera independiente, esto es que el impago de una persona no implica que otra forzosamente lo hará también. Este supuesto de independencia condicional ha sido estudiado y algunos casos cuestionados por no lograr modelar de forma adecuada la dependencia que se observada en algunos mercados. Por ello, han surgido otros enfoques como el de incumplimientos simultáneos o riesgo de contagio. Enfoque de Incumplimientos Simultáneos Bajo este enfoque los incumplimientos no son independientes una vez dadas las probabilidades o fuerzas de incumplimiento, sino que incluso pueden ocurrir incumplimientos simultáneos. Para modelar esto se fórmula no solo los incumplimientos de cada uno de los créditos, sino que además se adicionan los eventos de incumplimiento simultaneo los cuales tiene su propia fuerza de incumplimiento. Un ejemplo de este tipo es el propuesto por Duffie and Singleton 1999. Una crítica a este enfoque, es que en raras ocasiones se observan

20

incumplimientos simultáneos, sino que más bien se observan incumplimientos muy cercanos en el tiempo. El siguiente enfoque explora esta idea. Enfoque de Riesgo de Contagio En este enfoque el evento de incumplimiento de un crédito, conlleva a un incremento en las probabilidades de incumplimiento de otros créditos. Un ejemplo de ello son los mercados bursátiles con pocos participantes. En estos mercados, los participantes tiene créditos o bonos unos con otros de tal manera que si uno incumple, esto conllevará a que otro incumpla también y así sucesivamente generando un efecto dominó. De hecho una de las razones para el rescate de la aseguradora AIG durante la crisis crediticia de 2008 fue que de haber sido rescatada hubiera generado un mayor el incumplimiento de otros participantes. Asimismo, se comenta que el quebrante de Lehman Brothers conllevo a una agudización de la crisis por este fenómeno de contagio. Ejemplos de estos modelos son los propuestos por Davis and Lo (1999) y Jarrow and Yu (2001), Giesecke and Tomecek (2005). Enfoque de cópulas Una herramienta matemática que se utiliza para modelar dependencia es las funciones de cópula. Esto ha dado lugar a un nuevo enfoque que es muy utilizado tanto en el ámbito bancario como en el de seguros. De cierta manera la utilización de cópulas implica una cierta dinámica en las fuerzas de incumplimiento de los créditos y contempla que el incumplimiento de un crédito puede afectar la probabilidad de incumplimiento de otro. Sin embargo, bajo este enfoque no se modelan directamente las fuerzas de incumplimiento por lo que se considera un enfoque separado. Una función copula es una distribución multivariada con distribuciones marginales uniformes. Sklar (1973) demuestra que para toda función de distribución multivariada se puede encontrar una función de cópula que relaciona las distribuciones marginales con la función multivariada. Esto resulta muy útil en la práctica, ya que generalmente se tiene las distribuciones marginales que corresponden a los créditos individuales, los cuales se interrelacionan a través de la función cópula para encontrar la distribución multivariada. Li (1999) fue uno de los primeros en proponer el uso de funciones de cópula para modelar el riego de crédito. A partir de su trabajo, ha habido muchos estudios para comprender las implicaciones que tienen la utilización de diferentes funciones de cópula. En particular el mismo Li demostró que el modelo de CreditMetric y el de KMV, están implícitamente basados en una copula Gausiana. Frey y McNeil (2001) demuestran que la cópula Gausiana otorga una muy baja probabilidad a los eventos en los que ocurren varios incumplimientos, por lo que propone el uso de otras funciones cópula para modelar eventos extremos. Otras funciones de cópula han sido estudiadas. Ver por ejemplo los trabajados de Burtschell et al. (2005) y Embrechts et al. (2001). El enfoque de copulas se ha vuelto muy popular por su fácil tratamiento, sin embargo, existe la preocupación de entender su relación con los otros enfoques, en particular, que tipo de dinámica en las fuerzas de incumplimiento implican las cópulas. El trabajo de Schönbucher y Schubert (2001) estudia este problema. La razón de emplear el enfoque doble estocásticos para el seguro de crédito a la vivienda parte del supuesto de que los créditos están sujetos a factores en común como son el estado de la economía, pero que una vez establecidos estos factores los

21

créditos ocurren de forma independiente. No se espera que el incumplimiento de un crédito afecte las probabilidad de otro. Este enfoque ha sido muy utilizado en la modelación de siniestros en el ámbito asegurador y a continuación lo aplicaremos para la modelación de las pérdidas del seguro de crédito a la vivienda. 3.2 Modelos de riesgo para un crédito hipotecario En mucha ocasiones se requiere tener una estimación de las pérdidas que pueden ocurrir en un periodo de corto plazo, comúnmente un año. Por ejemplo, conocer el monto de reclamaciones que se esperan para el siguiente año. Asimismo, los requerimientos de reservas y capital suelen establecerse de acuerdo a ventanas de tiempo de un año. El tomar un horizonte de tiempo de corto plazo permite estimar la distribución de pérdidas de forma estática. Primeramente se definirá un modelo para un crédito. Posteriormente se describen los modelos de pérdida para carteras con eventos independientes, los cuales son muy utilizados en el ámbito de seguros, ya en muchos de estos casos es posible asumir independencia. Por último se describirán los modelos con eventos no independientes que son los más adecuados para la modelar el seguro de crédito a la vivienda. Se define X como la variable aleatoria de la pérdida de un crédito en un horizonte de tiempo determinado, por ejemplo un año. Como se ha mencionado la probabilidad de incumplimiento q de un seguro de crédito a la vivienda puede considerarse como una variable aleatoria cuyas variaciones se deben a factores exógenos como el estado macroeconómico. Antes de hacer este supuesto primero analizaremos la distribución de X suponiendo que q es fija y posteriormente se suponiendo que es una variable aleatoria. Si se supone q fija durante el horizonte de tiempo y que el monto de la reclamación dado el incumplimiento es independiente del evento de incumplimiento, entonces se tiene que la pérdida esperada y la varianza de la pérdida son

[ ] qBXE ⋅= (3.1)

( ) ( )qqBXV −⋅⋅= 12 (3.2)

Donde B es el monto de la reclamación, el cual se supondrá conocido. Estos supuestos son comunes en los modelos de seguros tradicionales, sin embargo, en el seguros de crédito a la vivienda resulta más adecuado considerar la probabilidad de incumplimiento como una variable aleatoria. De esta forma la pérdida esperada y la varianza de la pérdida son

[ ] [ ][ ] [ ] qBqBEqXEEXE ⋅=⋅== | (3.3)

( ) [ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )qqBBqqBEqBVqXVEqXEVXV q −⋅⋅+⋅=−⋅⋅+⋅=+= 11|| 2222 σ

(3.4)

22

Donde

[ ]qEq = y ( )qVq =2σ .

Se observa en las ecuaciones 3.1 y 3.3 que la pérdida esperada es la misma tanto en el caso de que la probabilidad de incumplimiento es fija como si es variable, mientras que la varianza incorpora un nuevo sumando que indica la volatilidad de la probabilidad de incumplimiento a través del valor 2

qσ .

Este parámetro tiene una gran relevancia en el ramo de crédito a la vivienda, debido a que mide el impacto que tiene en las probabilidades de incumplimiento los factores exógenos y que pueden generar mayores pérdidas no esperadas. Además, como se verá más adelante, a través de considerar la probabilidad de incumplimiento q como una variable aleatoria, se tiene una de las formas más útiles con las que se puede modelar el riesgo sistémico de una cartera hipotecaria y las dependencia entre los créditos de dicha cartera. 3.3 Modelos de Riesgo para una Cartera con Créditos Independientes La sección anterior describe la pérdida esperada y varianza de un solo crédito, en esta sección se estudia estas mismas medidas para una cartera. Respecto a la pérdida esperada, ésta tiene la propiedad de ser lineal. Esto implica que la pérdida esperada de la cartera es igual a la suma de las pérdidas esperadas de cada crédito. Matemáticamente, si la cartera hipotecaria está conformada por n créditos y a cada crédito i se le asigna la variable aleatoria iX que indica el monto

de la reclamación de dicho crédito (en caso de que no haya reclamación toma el valor de cero) entonces el monto de reclamaciones de la cartera corresponde a la suma de los montos de los créditos

nXXXS K++= 21 (3.5)

y la pérdida esperada de la cartera resulta ser la suma de las pérdidas esperadas de los créditos

[ ] [ ]∑∑==

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==n

ii

n

ii XEXESEPE

11

(3.6)

La estimación de la varianza de una cartera no es tan simple, ya que está toma en cuenta la dependencia entre los créditos a través de las covarianzas de los créditos

( ) ( ) ( )∑ ∑∑= ≠=

+=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=n

iji

n

jii

n

ii XXCovXVXVSV

11

, (3.7)

En la mayoría de los ramos es posible suponer independencia entre los eventos de siniestros o reclamaciones. En dicho caso, las covarianzas serían cero y la varianza de la cartera sería la suma de las varianzas de los créditos que la componen.

23

Asimismo, suponiendo independencia se facilita la determinación de la distribución del número de incumplimientos y por ende la distribución de pérdidas. Bajo este supuesto la suma de las n variables aleatorios independientes e idénticamente distribuidas Bernoulli( q ) correspondientes al evento de incumplimiento de cada crédito resulta en una distribución binomial con parámetros n y q , de tal forma que la distribución del número de incumplimientos de la cartera

nIIIN +++= K21 donde ( )qBernoulliIi − (3.8)

da como resultado que ( )qnBinomialN ,− . Asimismo al suponer independencia entre las reclamaciones, se tiene que la distribución de pérdidas de la cartera nXXXS +++= K21 se puede aproximar

cuando n es lo suficientemente grande, utilizando el teorema de límite central, por una distribución normal con media y varianza

[ ] [ ]∑=

⋅⋅==n

ii qBnXESE

1

(3.9)

( ) [ ]∑=

−⋅⋅⋅==n

ii qqBnXVSV

1

2 )1( (3.10)

si supone que el monto de la reclamación es igual para todos los seguros. El que todos los créditos tengan el mismo monto de reclamación esperado difícilmente sucede y aunque se puede utilizar un monto promedio, no hay impedimentos teóricos que impidan utilizar esta aproximación aun cuando los montos sean distintos, siempre que estos sean lo suficientemente homogéneos (Ver DeGroot 1988). De esta manera que la distribución de pérdidas es Normal con media y varianza

[ ] [ ] ∑∑==

==n

ii

n

ii BqXESE

11

(3.11)

( ) [ ]∑ ∑= =

⋅−⋅==n

i

n

iii BqqXVSV

1 1

2)1( (3.12)

Un ventaja de la cartera de seguro de crédito a la vivienda es que estás presentan una gran homogeneidad en sus sumas aseguradas. En general, no existen los grandes riesgos presentes en otros seguros de daños, lo que en principio permitiría aplicar el teorema central de límite. Sin embargo, la aproximación normal como se acaba de presentar no es adecuada para las carteras de seguros de crédito a la vivienda debido a que estos créditos no son independientes. La siguiente sección describe como solventar este problema.

24

3.4 Modelo de Riesgo para un Cartera con Créditos No Independientes La dependencia de los créditos a la vivienda se supone se debe fundamentalmente a que los acreditados están sujetos a factores exógenos como el estado de la economía, lo cual afectan de manera global la capacidad de pago de los acreditados y también afecta el valor de las viviendas simultánea, lo que puede llevar a un mayor número de incumplimientos. Para incorporar la dependencia entre los créditos y la volatilidad de las probabilidades de incumplimiento se parte de los modelos colectivos encontrados en la teoría de riesgo. El modelo colectivo modela la pérdida de una cartera a través de la variable aleatoria S la cual corresponden a la suma de las pérdidas de los créditos que incumplen, donde el número de incumplimientos N a su vez una variable aleatoria

NXXXS +++= K21 (3.13)

Para analizar estos modelos es conveniente primero analizar el modelo del número de incumplimientos N y posteriormente la pérdida de la cartera S .

3.4.1 Número de incumplimientos

Como se menciono anteriormente, si se supone que las variables aleatorios iI que

indican el incumplimiento del crédito son independientes e idénticamente distribuidas con distribución Bernoulli( q ), entonces el número de incumplimientos N tiene distribución Binomial( n , q ). Otra distribución muy utilizada en los modelos colectivos para el número de incumplimiento es la distribución Poisson( )λ , con lo que S es llamada una distribución Poisson Compuesta. La elección de la distribución Poisson se debe, entre otras cosas, a que la distribución Binomial ( )qn, converge a la Poisson ( )qn ⋅=λ cuando el número de créditos en la cartera n es grande y q es pequeño, lo cual es el caso de los créditos a la vivienda. Asimismo, no requiere que los créditos tengan la misma probabilidad de incumplimiento q , con lo cual se tiene que la distribución del

número de incumplimientos es Poisson con parámetro ∑=

=n

iiq

1λ .

Ahora bien, para modelar la volatilidad de las probabilidades de incumplimiento y la dependencia de los créditos, se incorporara al modelo un factor de riesgo h que multiplica a las probabilidades de incumplimiento, de tal manera que la distribución del número de incumplimientos es

)( hPoissonN ⋅− λ en el caso de Poisson Y ),( hqnBinomialN ⋅− en el caso de Binomial

donde h es un variables aleatoria con media uno y varianza 2hσ .

25

Estos modelos son llamados procesos compuestos mixtos y h es conocida como la variable mixta. En términos de los seguros de créditos a la vivienda, la variable mixta modela un factor exógeno, por ejemplo el estado de la economía, que afecta directamente las probabilidades de incumplimiento de los créditos. Cuando esta variable toma un valor mayor a uno, las probabilidades de incumplimiento se incrementan y con ello aumenta el número esperado de incumplimientos, y cuando es menor a uno el número esperado de incumplimientos y las probabilidades disminuyen. Esto genera una dependencia entre los créditos. La covarianza entre incumplimientos, suponiendo que los créditos tienen la misma probabilidad de incumplimiento, es

( ) [ ][ ] [ ] [ ] [ ] ( ) 22222222 1|, hhyxyxyX qqqqhqEIEIEhIIEEIICov σσ ⋅=−+=−⋅=⋅−⋅=

(3.14)

que corresponde a la varianza de las probabilidades de incumplimiento. El efecto en la media y la varianza del número de incumplimientos es el siguiente: Para el modelo Poisson mixto

[ ] [ ][ ] [ ] λλ =⋅== hEhNEENE | (3.15)

( ) [ ]( ) ( )[ ] ( ) [ ] λσλλλ +⋅=⋅+⋅=+= 22|| hhEhVhNVEhNEVNV (3.16)

Y para el modelo Binomial mixto

[ ] [ ][ ] [ ] qnhqnEhNEENE ⋅=⋅⋅== | (3.17)

( ) [ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]hqhqnEhqnVhNVEhNEVNV ⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅=+= 1||

( )( )2222 11 hh qqnqn σσ +⋅−⋅⋅+⋅⋅=

( ) ( )nnqqqn h −⋅⋅+−⋅⋅= 2221 σ (3.18)

En ambos casos el número de incumplimientos esperado es igual que en el caso en el que no se incorpora la variable mixta h . Por otro lado, las varianzas están conformadas por dos sumandos, uno de ellos corresponde a la varianza del modelo sin la incorporación la variable mixta, mientras que el otro sumando es el que se obtiene al incorporar la variable mixta y que resulta proporcional a la varianza de

ésta 2hσ .

Este último sumando corresponde lo que se conoce como riesgo sistémico de la cartera o riesgo no diversificable, mientras que el otro corresponde al riesgo idiosincrásico o diversificable. Esto se debe ya que a medida que el número de créditos de la cartera se incrementa, la proporción de la varianza por el riesgo idiosincrásico disminuye, en otras palabras, se diversifica, mientras que la proporción

26

correspondiente al riesgo sistémico no disminuye. Para demostrar esto se obtiene la varianza de la proporción del número de incumplimientos y se toma el límite cuando el número de créditos de la cartera tiende a infinito: Para el modelo Binomial mixto se tiene:

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+

−⋅==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

nq

nqqNV

nnNV h

1111 222 σ

220lim hn

qnNV σ⋅+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞⎯→⎯ (3.19)

Para el modelo Poisson mixto, tomando en cuenta que qn ⋅=λ , se tiene que

( ) 222

1hq

nqNV

nnNV σ⋅+==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

220lim hn

qnNV σ⋅+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞⎯→⎯ (3.20)

En ambos casos el sumando del riesgo idiosincrásico converge a cero y el del riesgo sistémico converge a la varianza de las probabilidades de incumplimiento. Esto quiere decir que si los créditos son independientes, la pérdida no esperada de la cartera tiende cero al aumentar el número de créditos (efecto de diversificación) más no así si los créditos están afectados por un factor sistémico en cuyo caso siempre habrá una pérdida no esperada (riesgo sistémico no diversificable). Este mismo resultado muestra que entre mayor número de créditos tenga la cartera el tipo de riesgo más relevante es sistémico el cual proviene de la variable mixta y el

parámetro que la caracteriza 2hσ . En otras palabras, en las carteras de crédito a la

vivienda el riesgo importante es el riesgo sistémico.

3.4.2 Distribución de pérdidas de la cartera

En la sección anterior se obtuvieron distribuciones del número de incumplimiento N caracterizados por su valor esperado y varianza. En esta sección se obtiene a partir de dichos modelos la distribución de pérdida de la cartera

NXXXS +++= K21 (3.21)

El modelo que utilizaremos es el Poisson Mixto Compuesto, en donde, el número de incumplimientos N se distribuye de acuerdo a un proceso Poisson ( )λ con variable

mixta h . Este modelo es muy utilizado en la teoría de riesgos (ver Daykin) e igualmente ha sido utilizado para modelar el riego de crédito (Ver CreditRisk+). Este modelo corresponde al tipo de modelos llamados doble estocástico debido a que existen componentes aleatorios: el número de incumplimientos y el tamaño de las pérdidas.

27

Para trabajar con este modelo se hace el supuesto de que el tamaño de las pérdidas

iX son independientes del número de incumplimientos N .

Otro supuesto que se hace es que las variables del tamaño de pérdidas iX son

independientes e idénticamente distribuidas, es decir, ( ) [ ]XXPXF i ≤= es la

distribución del tamaño de las pérdidas para todos los créditos. Podría parecer que supuesto no permite la aplicación de este modelo en carteras de seguro de crédito a la vivienda ya que cada crédito tiene un saldo asegurado distinto y por ende debería tener una distribución del tamaño de su pérdida distinta. Sin embargo, este supuesto no representa un impedimento debido al siguiente resultado:

La suma de procesos poisson mixto ( )( )hXFii ,,λ que dependen de la misma

variable mixta h es también un proceso poisson mixto ( )( )hXF ,,λ con

variable aleatoria h en donde ∑=

=n

ii

1λλ y ( ) ( )∑

=

=n

ii

i XFXF1 λλ

Este resultado permite agrupar los créditos en distintos grupos, en un caso extremo cada crédito representaría un grupo, en el que la distribución de pérdidas de cada grupo se distribuye como una variable Poisson Mixta Compuesta ( )( )hXFii ,,λ , la

suma de estos grupos al final continuaría siendo Poisson Mixta Compuesta. Lo único que se requiere es determinar la distribución del tamaño de las pérdidas de la

siguiente forma ( ) ( )∑=

=n

ii

i XFXF1 λλ

.

La distribución de pérdida de la cartera depende de la distribución de la variable mixta, del número de incumplimiento, y de la distribución del tamaño de las pérdidas del crédito. De acuerdo a las distribuciones que se supongan existen describen algunos de estos métodos.

3.4.3 Momentos de la Distribución Poisson Mixta Compuesta

Si se denota [ ]XEX =μ como la media de la distribución del monto de la

reclamación y [ ]jj XEa = como el j-ésimo momento central, la pérdida esperada y la

varianza de la cartera son

[ ] [ ][ ] [ ] XX

N

ii NENXEENSEESEPE μλμ ⋅=⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=== ∑

=

||1 (3.22)

( ) ( )[ ] [ ]( ) ( )[ ] [ ]( ) ( )[ ] ( )( ) ( )

2222

22222

22||

hX

hXX

XX

a

a

NVaNEXENVXVNENSEVNSVESV

σλμλ

σλλμμλ

μμ

⋅⋅+⋅=

⋅+⋅+−⋅=

⋅+−⋅=⋅+⋅=+=

(3.23)

28

La pérdida esperada es igual producto del número esperado de incumplimiento por el monto de la reclamación esperada. La varianza tiene dos sumandos, el primero corresponde a la varianza sin considerar el efecto de la variable mixta, de hecho, corresponde a la varianza del proceso Poisson, el segundo sumando corresponde al efecto que tiene la variable mixta. Mediante una descomposición con tres sumandos se tiene ( ) ( )

( ) ( ) ( )hVZVNV

aSV

XX

hXXX

⋅⋅+⋅+⋅=

⋅⋅+−⋅+⋅=222

22222

2

λμλμ

σλμμλμλ

El primer sumando corresponde a la varianza derivada de que el número de incumplimientos es estocástico, pero sin considerar el efecto de la variable mixta. El segundo corresponde al efecto de la varianza del monto de las reclamaciones y el último a la varianza causada por el efecto de la variable mixta. En la sección pasada se demostró que el efecto de la varianza de la variable mixta es el más importante dentro de la varianza del número de incumplimiento cuando el número de créditos de la cartera en grande. De la misma forma sucede en la varianza de las pérdidas. Para ver esto se toma el límite de la varianza de la pérdida entre la perdida esperada.

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⋅=⋅+⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 2

2222

22

1h

xh

aPEaPEPE

SV σμλ

σλ

2limlim hn PESV

PESV σ

λ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→∞→

Este resultado indica que entre mayor sea el número de créditos en la cartera, la varianza de la pérdida tiende a la varianza de la variable mixta por el cuadrado de la pérdida esperada. Se observa que el efecto de la varianza del número de incumplimiento y del tamaño de las reclamaciones, los cuales se pueden catalogar como riesgo idiosincrásico, tienden a cero. La siguiente tabla contiene un ejemplo de una cartera real que muestra la contribución de cada sumando en la varianza total para diferentes tamaños de cartera. Donde 21 XV μλ ⋅= ( )2

22 XaV μλ −⋅= , 2223 hXV σλμ ⋅⋅= , %1⋅= nλ y donde los

parámetros 476,251,188,112 =a , 089,86$=Xμ 11.02 =hσ fueron obtenidos de la

distribución de la suma asegurada y del historial de comportamiento de una cartera de seguros de crédito a la vivienda real:

29

Contribución de la varianza de las pérdidas.

Número de Créditos n

Número esperado de incumplimientos 

λV1/V(S) V2/V(S) V3/V(S)

1,000 10 38.31% 19.52% 42.17%10,000 100 7.99% 4.07% 87.94%

100,000 1,000 0.90% 0.46% 98.65%1,000,000 10,000 0.09% 0.05% 99.86%

10,000,000 100,000 0.01% 0.00% 99.99%100,000,000 1,000,000 0.00% 0.00% 100.00%

Esto demuestra que el principal componente de riesgo de las carteras de seguros de crédito a la vivienda es el riesgo sistémico, lo que da al seguro de crédito a la vivienda su naturaleza catastrófica.

3.4.4 Estimación de la Distribución Poisson Mixta Compuesta

Si bien ya se tienen determinados la pérdida esperada y la varianza de la distribución de pérdidas, queda pendiente estimar dicha distribución. A continuación se describen algunos métodos para obtenerla:

Simulación Monte Carlo Este método es el más general ya se puede aplicar a cualquier tipo de distribución. Consiste en simular primeramente el valor de la variable mixta, para lo cual se puede se debe suponer alguna distribución. Con dicho valor se obtiene las probabilidades de incumplimiento condicionadas a la variable mixta ( )hq con lo que es posible simular el incumplimiento de cada crédito i a través de distribuciones Bernoulli con probabilidades ( )hqi . El último paso consiste en simular el monto de la reclamación

de los créditos que incumplieron y agregarlos para obtener la pérdida de la cartera. Este procedimiento se repite hasta obtener la distribución de pérdidas. Este método tiene la desventaja de que requiere una gran cantidad de cálculos.

Modelo Pólya

El modelo Pólya es un modelo Poisson mixto compuesto donde la variable mixta h

tiene una distribución Gamma con media 1 y varianza 2hσ . Esto conlleva a que la

distribución del número de incumplimientos sea una distribución binomial negativa

con parámetros ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+== −

−

λσλθσ 2

2 ,h

hr , con lo que las probabilidades del número de

incumplimiento se obtienen de la siguiente manera

30

[ ] ( ) nr

rrn

nNP θθ ⋅−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+

== 11

1´

Además de que la distribución del número de incumplimientos se obtiene de manera explícita, el modelo Pólya tiene la ventaja de que la distribución de pérdidas se puede calcular mediante las fórmulas recursivas de Panjer. Estas fórmulas requieren de dos condiciones para aplicarse:

1. Que el número de incumplimientos siga la formula recursiva

[ ] [ ]1−=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +== nNP

nbanNP ,....3,2,1=∀n

2. Que la distribución del tamaño de las reclamaciones sea no negativa, discreta y equidistante, es decir que iX se pueda expresar como iMMi ⋅=

ri ,.....2,1,0=∀ donde M es un número positivo. Las distribuciones binomial, poisson y binomial negativa cumplen con la condición uno. De tal forma que se pueden aplicar a los modelos Poisson Compuesto y Pólya. La segunda condición requiere que la discretización de la distribución del monto de las reclamaciones, lo cual no representa ningún problema en la práctica. Se puede, por ejemplo, utilizar la distribución empírica de la cartera suponiendo que la pérdida de cada crédito corresponde a la reclamación esperada. Con la discretización del monto de las reclamaciones, las pérdidas de la cartera se hacen a su vez discreta de tal forma que las pérdidas son de la forma jMS ⋅= .

Denotando [ ]iXPsi == , se tiene que bajo las fórmulas recursivas

[ ] ( )[ ]11

−⋅=⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+=⋅= ∑

=

jMSPsjbiajMSP

j

ii

Y [ ] ( )λλ −⋅== 0exp0 sSP para el caso Poisson Compuesto.

[ ] ( ) aba

basaSP

+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−⋅⋅

+== 0110 λ para el caso Pólya (binomial negativa)

[ ]a

ba

saaSP

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−==

110

0

para el caso binomial.

Para el caso particular del modelo Pólya Compuesto se tiene que

[ ]2

2

2

0h

h

hSPσ

σλσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

==

[ ] ( ) ( )[ ]1111

22 −⋅=⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⋅= ∑=

jMSPsjijMSP i

j

ih

h

σσλλ

31

Aproximación por medio de distribución de la Variable Mixta

El método más sencillo para obtener la distribución de pérdidas de la cartera consiste hacer uso de una aproximación por medio de la distribución de la variable mixta. Como se demostró anteriormente, la varianza de la distribución de perdidas converge a la varianza de la variable mixta por la pérdida esperada. Este resultado se puede generalizar y demostrar que la distribución de pérdidas converge a la distribución de la variable mixta por la pérdida esperada. Este resultado se encuentra tanto en los estudios de teoría de riesgo, como en los trabajos de riesgo de crédito. En la teoría de riesgo se encuentra que

( ) ( )sFsPESPsF h

PES →⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ≤= cuando ∞→PE (3.24)

Un resultado equivalente se encuentra en el trabajo de Gordy 2003. Sobre este y otros trabajos del autor se basa la fórmula de capital de Basilea II. En este trabajo Gordy demuestra el siguiente resultado

0| →⎥⎦⎤

⎢⎣⎡− hSASE

SAS

cuando ∞→n (3.25)

Donde ∑=

=n

iiSASA

1

denota el monto total de suma asegurada de la cartera.

De esta forma se puede aproximar la distribución de pérdidas de S mediante la distribución de [ ]hSE | . Este resultado dicen si los créditos son independientes dado el valor de la variable mixta y no existen grandes riesgos de tal forma que el riesgo idiosincrásico se diversifica, entonces a medida que aumenta el número de créditos el porcentaje de pérdida con respecto a la suma asegurada de la cartera tiende al valor esperado dado el valor de la variable mixta. Aplicando este resultado a la variable aleatoria de la distribución de pérdidas

nXXXS +++= K21 (3.1)

Y suponiendo como hasta ahora que el monto, la severidad y el evento de incumplimiento son independientes dado el valor de la variable mixta se tiene que

[ ] [ ] [ ] [ ]∑∑∑===

⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=n

iiiii

n

iii

n

ii hIEhLGDEhSAEhILGDMEhXEhSE

111

||||||(3.26)

Haciendo diferentes supuestos se pueden obtener caracterizaciones sencillas de la distribución de pérdidas. Por ejemplo, para los modelos compuestos mixtos se tiene que

[ ] [ ] [ ]∑=

⋅⋅⋅=n

iiii hqhLGDEhSAEhSE

1

||| (3.27)

32

Además, si se supone que la suma asegurada y la severidad son independientes de la variable mixta entonces la distribución de pérdidas es simplemente la pérdida esperada de la cartera multiplicada por variable mixta.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] PEhqLGDESAEhhqhLGDEhSAEhSEn

iiii

n

iiii ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ∑∑

== 11

||| (3.28)

Con lo que obtiene un resultado muy importante para modelar las pérdidas de una cartera de seguro de crédito a la vivienda. Esto es que la distribución de pérdidas se puede aproximar por medio de la distribución de la variable mixta por la pérdida esperada. Cabe destacar que resultado no requiere que los créditos tengan las mismas probabilidades de incumplimiento, ni severidad, ni sumas aseguradas. En el caso del modelo Póyla, la distribución de la variable mixta es Gamma, lo que daría que la distribución de pérdidas fuera Gamma con media PE y varianza

22hPE σ⋅ .

Es recomendable, si se está estimando el capital económico mediante un percentil de la distribución, y se quiere evitar el supuesto de que la severidad es independiente del factor de riesgo, y en su lugar considerar que en escenarios macroeconómicos desfavorables la severidad es mayor, se puede suponer que ante estos escenarios la severidad es el 100% de la suma asegurada, de tal forma que el capital económico con nivel de confianza α sería es

[ ] [ ]αα αα ≤⋅=⋅=≤= hPSAhSASPS . (3.29)

33

4 Modelos de Riesgo de Largo Plazo Los créditos a la vivienda son de largo plazo pues tienen plazos que van desde 5 hasta 30 años. De hecho los plazos más largos son los más demandados, debido a que estos requieren pagos mensuales menores. El seguro de crédito a la vivienda es también un producto a largo plazo ya que se otorga por el plazo remanente del crédito. Si bien podría otorgarse a plazos menores, por ejemplo un año, dichas coberturas no son demandas por los otorgantes del crédito, debido que estos ya han asumido el riesgo por todo el plazo del crédito, de tal forma que buscan una cobertura que los cubra por todo el plazo. En el capítulo 3 se describieron modelos de riesgo para carteras de crédito a la vivienda contemplando un horizonte de corto plazo. El siguiente capítulo extiende estos modelos para aplicarlos a un horizonte de largo plazo. Estos modelos resultan necesarios para describir el riesgo inherente del seguro de crédito a la vivienda y poder establecer cuotas de riesgo, esquemas de reaseguro y de rendimiento de capital apropiados. Asimismo sirven para proyector los flujos de reclamaciones y primas ante distintos escenario y permite medir la volatilidad de los mismos. Los modelos de largo plazo son más complejos que los de corto, debido a que es necesario tomar en cuenta la dinámica propia de los créditos. Cómo se describió en el capítulo 2 el saldo del crédito va cambiando en el tiempo, al igual que la severidad y las probabilidades de incumplimiento. Por esta razón, contrario a los modelo de corto plazo en los que se podía utilizar los saldos, tasas de severidad y probabilidades de incumplimiento estimados en ese momento, en los modelos de largo plazo es necesario considerar hacer las proyecciones necesarias. Para ello se emplearan las proyecciones de saldo y tasas de severidad descritas en el capítulo 2. Para el caso de las probabilidades de incumplimiento se utilizarán las curvas de incumplimiento, las cuales tienen su símil con las tablas de mortalidad de los seguros de vida. El presente capítulo comienza con una descripción de los elementos fundamentales que se utilizan en los modelos de riesgo de largo plazo. Al igual que con los de corto plazo, muchos de estos elementos se encuentran tanto en el ámbito asegurador como el ámbito bancario. El elemento base para la modelación a largo plazo del seguro de crédito a la vivienda son los modelos de supervivencia. 4.1 Modelos de Supervivencia Cuando se modelo un crédito o seguro a largo plazo no sólo se requiere determinar si el seguro reclama o no, sino que es necesario determinar el momento en que éste incumple. Esto debido a que el monto de la reclamación depende del momento en que se dé el siniestro. Para ello, se define a X como la variable aleatoria que indica el tiempo al incumplimiento. Para el caso del seguro de crédito a la vivienda indica el mes de edad del crédito en el que este incumple. La función de distribución de X se denota como

( ) [ ]xXPxFX ≤= . (4.1)

34

La cual indica la probabilidad de que el crédito incumpla antes del mes x de vigencia. La modelación del tiempo al incumplimiento equivale a la utilización de los modelos de supervivencia que se utilizan tanto en los seguros de vida como los campos medicina, ingeniería etc. El complemento de esta función de distribución se conoce como función de supervivencia e indica la probabilidad de que un crédito “sobreviva”, es decir, que no incumpla en el siguiente periodo x

( ) [ ]xXPxFxS >=−=1)( . (4.2) La probabilidad de que el crédito no incumpla durante toda su vigencia es

)(PlazoS X . Donde Plazo indica el plazo del crédito en meses. Cuando se trabaja con estas funciones de supervivencia, un aspecto que resulta muy útil en la práctica es el de considerar las probabilidades condicionales. Las probabilidades de incumplimiento condicionales toman en cuenta el hecho de que al transcurrir el tiempo los créditos habrán incumplido, en cuyo caso el tiempo del incumplimiento es conocido, o se habrán mantenido vigentes. Dado el evento de que el crédito se mantiene vigente por un periodo x las probabilidades de que el crédito incumpla durante el siguiente periodo t es

[ ])(1

)()(|xF

xFtxFxXxtXPqxt −−+

=>+≤= 0≥t (4.3)

Y de que sobreviva es

[ ]xXxtXPqp xtxt >+>=−= |1 0≥t Estas probabilidades corresponde a las “curva de incumplimiento” descritas en el capítulo 2. Al dividirse la ecuación 4.3 por t y tomando el límite cuando éste tiende a cero, se obtiene la “tasa de incumplimiento adelantada” o “fuerza de incumplimiento”

( ))(1)(1

)()(1lim)(0 xF

xfxF

xFtxFt

xqt −

=−

−+=

→, (4.4)

Donde ( )xf es la función de densidad del tiempo al incumplimiento

)(')( xFxf = . (4.5) La tasa de incumplimiento adelantada puede interpretarse como la probabilidad instantánea de incumplimiento condicionada a que el crédito se encuentra vigente al tiempo x . Cabe hacer notar la siguiente igualdad

35

( ) ( )xSdxd

xSxSxq ln)(

')( −=−=, (4.6)

de tal manera que la probabilidad de supervivencia se puede expresar en términos de la fuerza de incumplimiento como

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∫−=t

dssqtS0

exp. (4.7)

La razón para nombrar esta función como tasa de incumplimiento adelantada proviene del hecho de que la fórmula

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∫−=+

=+tx

xxt dssq

xStxSp exp

)()(

(4.8) tiene una similitud matemática con la fórmula del precio de un bono cupón cero, donde la tasa de incumplimiento adelantada tiene el mismo papel que la tasa adelantada (forward). Por otro lado, en seguros de vida, se le conoce como fuerza de mortalidad, de ahí que también la nombremos como fuerza de incumplimiento. La caracterización de modelos a través de la fuerza de incumplimiento ha sido utilizada en muchas aplicaciones. En seguros de vida se encuentran las casos de De Moivre de 1972, Gompertz de 1825, Makeham de 1860 y Weibull de 1939, ver Bowers et al. (1997). En la industria de manufacturas y sistemas a este tipo de funciones se les conoce como tasa de fallo en manufacturas y sistemas. Igualmente son utilizados en biología y las ciencias médicas. 4.2 Modelos de Tasa de Fallo Proporcionales Uno de estos modelos que ha sido muy utilizado es el modelo de tasa de fallo proporcional (proporcional hazzard rate) propuesto por D.R. Cox (1972). Este modelo supone que la tasa de fallo, o en nuestro caso, la fuerza de incumplimiento se puede dividir en dos componentes

( ) ( ) ( )tqzztq ⋅= βexp; (4.9) En donde:

( )tq que representa una fuerza de incumplimiento base que sólo depende del

tiempo y ( )βzexp que representa un factor que depende de una serie de variables

explicativas ( )mzzzz ...., 21= que hacen que el objeto en cuestión sea más o

menos probable de fallar. El uso principal de este modelo ha sido el de determinar qué y cómo diversos factores z que pueden afectar las tasas de fallo. En particular, en los créditos a la vivienda se ha utilizado este modelo para determinar cómo factores como el LTV, las tasas de interés, la región geográfica, etc. afectan el prepago (Green and Shoven

36

1986 y Quigley 1987) y más recientemente para el incumplimiento (Quigley y Van Order 1991). Si bien, el mismo Cox cuando elabora este modelo tenía como propósito determinar la tasa de fallo a través de variables explicativas, en su trabajo no deja de mencionar posibles variantes del modelo. Una de estas variantes consiste en determinar el tiempo de incumplimiento bajo diversos escenarios de estrés. Esta variante consiste en el siguiente modelo

( ) ( ) ( )shtqtsq ⋅=; (4.10) en donde ( )tq es la tasa de fallo (fuerza de incumplimiento) es un escenario

promedio y ( )sh es la función del estrés. Definiendo este modelo de la siguiente forma

( ) ( ) ( )thxqtxq ⋅=; o txtx hqq ⋅= (4.11)

se puede aplicar al caso particular de los seguros de crédito a la vivienda en donde

( )xq representa la curva de incumplimiento, misma que depende de la edad del crédito x y ( )th representa el factor de riesgo que depende del mes t .

De esta forma las probabilidades de incumplimiento txq se dividen en dos

componentes: por un lado en las probabilidades de incumplimiento esperadas y por otro lado en el riesgo de incertidumbre de estas probabilidades debido a factores exógenos. Este modelo tiene una forma análoga a los modelos mixtos descritos el capítulo anterior, por lo que generaliza el concepto de la variable mixta al marco conceptual de las funciones de supervivencia. Por esta razón se nombra al proceso ( )th , proceso mixto. 4.3 Procesos Mixtos Así como es necesario determinar una distribución para la variable mixta en los modelos estadísticos, en este caso en necesario especificar el proceso mixto. Para ello se requiere que el proceso mixto sea congruente con las series de tiempo de los incumplimientos observados, en donde, existen periodos de pocos incumplimientos y periodos de altos incumplimientos. Asimismo, de la misma manera en la variable mixta se define como no negativa con media uno y una cierta varianza, resulta necesario que el proceso mixto sea no negativo y que tenga una regresión a la media de uno. Algunos modelos para la modelación de tasas de interés cumplen con estas características. En particular se encuentra los modelos de la forma

( ) ( )( ) ( ) ( )tdWthdtthktdh γσθ ⋅+−−= (4.12) donde ( )tW es un proceso de Wiener (proceso Browniano) y k , θ , γ y σ son escalares constantes.

37

Los parámetros tienen interpretaciones naturales:

θ representa la media de largo plazo del proceso mixto. A medida que el tiempo se va a infinito el valor esperado de h es θ . Esto es muy conveniente para el modelo ya que permite fijar este valor en uno. De esta forma si bien podemos estar en un periodo de altos o bajos incumplimientos en general el proceso mixto tendrá una media a largo plazo de 1. k es la velocidad promedio de regresión a la media que índica que tan rápido el valor de h regresa a su media de largo plazo θ . Por ejemplo, en el caso de que se estuviera en un periodo de crisis económica con un alto número de incumplimientos, este parámetro indica el tiempo promedio que requiere para regresar a los niveles promedio. Un valor de uno índica que proceso regresa a su media en un solo periodo, mientras que un valor de cero indicaría que no hay regresión. σ es el coeficiente de volatilidad e indica que tanto puede variar el nivel de h de un periodo a otro más allá de su tendencia de regresión a la media. γ es un parámetro que indica la sensibilidad que tiene el proceso de ser más volátil cuando el proceso mixto es grande y menos volátil cuando el proceso es pequeño. A mayor valor de γ mayor esta sensibilidad. Un valor de cero indica que la volatilidad no depende de las tasas de interés.

Entre los procesos más conocidos que se podrían aplicar como estrés a las probabilidades de incumplimiento están, considerando que k , θ , y σ , están

1. Vasicek γ =0. 2. Cox Ingersoll Ross γ =0.5.

3. Brennan-Schwartz γ =1.

Los procesos 2 y 3 tienen la ventaja de que son no negativos. Esto se debe precisamente a que el parámetro γ es en estos casos mayor o igual a 0.5. De esta forma a medida que el proceso tiende a cero, la volatilidad, que depende del nivel del proceso en ese momento, también tiende a cero, con lo que es arrastrado por la regresión a la media. El modelo de Vasicek podría quedar descartado ya que éste puede volverse negativo. Sin embargo, puede considerarse si la probabilidad de ello es baja. Como se verá en el capitulo siguiente, se realizaron pruebas estadísticas para encontrar el valor de los parámetros que mejor ajustaban al proceso mixto observado para una cartera de crédito a la vivienda. Los modelos aceptados fueron el de Vasicek y el Cox Ingersoll Ross (CIR), de hecho el parámetro γ óptimo fue de 0.10. Esto índica que si bien la volatilidad del proceso depende del nivel del proceso, la sensibilidad parece ser menor que la propuesta por el proceso de CIR. Sin embargo, la aplicación con este parámetro de 0.10 generaba procesos negativos, por lo que se optó por utilizar el proceso CIR.

38

Otra ventaja de utilizar el proceso CIR es que éste tiene media y varianza conocida dado el nivel actual de ( )th

( ) ( )[ ] ( ) ( )tktk eeththtthE Δ−Δ− −+=Δ+ 1| θ (4.13)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22

22

12

| tktktk ek

eek

ththtthV Δ−Δ−Δ− −+−=Δ+σθσ

. (4.14) Se observa que valor esperado es un promedio ponderado entre el valor actual ( )th y

la media de largo plazo θ , y que la varianza depende de los tres parámetros así como del nivel actual del proceso ( )th . Asimismo se conoce la función de distribución de la variable mixta al tiempo tt Δ+ dado el valor de la variable al tiempo t es una ji-cuadrada no central

( )[ ]uqtthc 2,22;22 +Δ+⋅ℵ (4.15) con 22 +q grados de libertad y parámetro de no centralidad u2 , donde

( )tkekc Δ−−⋅

≡12

2σ ( ) tkethcu Δ−⋅⋅≡

122 −≡

σθkq

Esto permite generar directamente el valor del proceso mixto para cualquier ventana de tiempo, sin necesidad de generar todo el proceso. Además tiene la ventaja de que dicha distribución depende del nivel actual del proceso, de tal forma que si actualmente se está pasando por un periodo de altos incumplimientos, en donde el valor actual del proceso es mayor a uno ( ) 10 >h , esto se verá reflejado tanto en la pérdida esperada, como en la varianza de la pérdida, siendo estas mayores que en el caso de que el nivel fuera uno o menor. 4.4 Distribución de Pérdida y Proyección de Siniestros El conocer la distribución del valor del proceso mixto para cada momento permite estimar las distribuciones de pérdida en cada periodo. De acuerdo a los resultados descritos en el capítulo anterior, esta distribución por la pérdida esperada resulta en una buena aproximación de la distribución de pérdidas para una cartera con un número suficientemente grande de créditos. De esta manera la distribución de pérdidas ( )tS al tiempo t se puede obtener como

( )( ) ( )thtPE

tS⋅→ cuando ∞→n (4.16)

39

La pérdida esperada de cada crédito se obtiene de multiplicar la probabilidad de incumplimiento, la tasa de severidad y la suma asegurada de acuerdo a las curvas descritas en el capítulo 2.

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )∑∑==

⋅⋅=⋅=n

ix

n

ixi tqtSevtSAtqtBEtPE

11 (4.17)

Cabe destacar que este resultado es válido en la medida de que haya un número suficiente de crédito en cualquier momento t . El contar con un proceso de pérdida permite además estimar los flujos de las reclamaciones en el tiempo. Esto resulta muy valioso para proyectar las reclamaciones, ingreso de primas, elaborar estados financieros proforma, evaluar esquemas de reaseguro, etc. Para obtener distintos escenarios de flujos de reclamaciones se puede llevar a cabo el siguiente proceso de simulación:

1. Se genera una trayectoria del proceso mixto ( )th . 2. La trayectoria simulada se multiplica por la curva de incumplimiento. 3. Se determinan las reclamaciones esperadas sobre la curva de incumplimiento

o bien se realiza una simulación del tiempo de incumplimiento de cada crédito.

4. Se determinan los montos de las pérdidas de los créditos incumplidos de acuerdo al tiempo del incumplimiento.

5. Se agregan los flujos de los distintos créditos para obtener un escenario de flujos.

O bien, se pueden omitir los pasos del dos al 5 y hacer uso directamente de la fórmula (4.16) con lo cual sólo sería necesario hacer la simulación de las trayectorias del proceso mixto y multiplicarlas por la trayectoria de la pérdida esperada. Adicionalmente se pueden descontar los flujos para obtener el valor presente de las reclamaciones esperadas de la cartera de crédito. Este ejercicio se presenta en el siguiente capítulo.

40

5 Aplicación Numérica a una Cartera de Seguros de Crédito a la Vivienda El siguiente capítulo aplica los modelos de pérdida obtenidos en los capítulos anteriores a una cartera real de seguros de crédito a la vivienda.

5.1 Descripción de las base de datos

Se utilizaron dos bases de datos:

o Historial de morosidad o Cartera de seguros de crédito a la vivienda

El Historial de Morosidad es una base de datos que contiene la fecha de originación del crédito y la morosidad histórica mensual de con aproximadamente 340,000 créditos a la vivienda fondeados o asegurados por Sociedad Hipotecaria Federal. La morosidad se refiere al número de pagos que tiene un crédito. El historial va desde enero de 2003 hasta marzo de 2010, con lo que se tiene 87 meses de observación e incluye créditos que se han originado desde enero de 1995 hasta créditos originados hasta marzo de 2010. El siguiente cuadro muestra un ejemplo de un historial de morosidad:

Historial de Morosidad

Póliza Ene-03 Feb-03 Mar-03 …. Mar-101 0 1 0 -2 0 0 0 -3 5 6 7 -:n - - 0 2

En este ejemplo, la póliza 1 tiene en enero una morosidad de cero pagos vencidos, lo que indica que está al corriente, en febrero tiene un pago vencido, lo que significa que no hizo el pago, en marzo tiene nuevamente una morosidad de cero, lo que indica que se puso al corriente haciendo dos pagos en dicho mes. Esta base se utilizó para estimar la curva de incumplimiento y el proceso mixto que se utilizan en el presente ejercicio. Estos parámetros requieren el mayor número de datos posibles para obtener una estimación robusta, de ahí que se haya utilizado esta base aún cuando no todos estos créditos hayan tenido seguro de crédito a la vivienda. La segunda base de datos contiene una cartera conformada por 59,999 pólizas de seguros de créditos a la vivienda pertenecientes a Sociedad Hipotecaria Federal. Esta base contiene la edad de cada crédito, misma que se utiliza para determinar la probabilidad de incumplimiento con base en la curva de incumplimiento estimada. Asimismo contienen la suma asegurada de cada crédito a julio de 2010. La siguiente gráfica muestra la distribución de la suma asegurada.

41

Distribución de Suma Asegurada

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

0-10

50-60

100-110

150-160

200-210

250-260

300-310

350-360

400-410

450-460

500-510

550-560

600-610

650-660

700-710

750-760

800-810

850-860

900-910

950-960

Suma Asegurada (miles de pesos)

Frec

uenc

ia

Estadísticas de la Distribución de la Suma Asegurada

Promedio 86,089$       Desv Estandar 61,457$       Mediana 74,436$       Percentil 75% 103,453$     Percentil 90% 155,630$     

5.2 Estimación de la curva de incumplimiento y el proceso mixto Con la base del historial de morosidad se estimaron una curva de incumplimiento y un proceso mixto. El primer paso consistió en establecer una definición de incumplimiento. Idealmente el incumplimiento debe corresponder a la reclamación del seguro, sin embargo, existen aun pocos eventos de reclamaciones que permitan estimar tanto la curva de incumplimiento como el proceso mixto. Por esta razón, se optó por definir incumplimiento como el evento en el que un crédito llega a tener seis o más meses de morosidad. El siguiente paso consistió en crear dos tablas, una con el número de créditos vigentes por edad del crédito y mes corriente, y otro con el número de créditos que habiendo estado vigentes en el mes corriente pasaron a un estado de incumplimiento en el siguiente mes, igualmente por edad y mes corriente del crédito. Las siguientes gráficas muestran un ejemplo de dichas tablas.

42

Tabla de créditos vigentes txl por edad y mes corriente

Vigentes lxtEdad(x) Ene-03 Feb-03 Mar-03 Abr-03 …. Mar-10

1 5,679 4,823 4,942 6,135 … 4,572 2 3,783 5,669 4,792 4,916 … 3,700 3 4,038 3,768 5,633 4,768 … 6,080 4 7,309 4,027 3,747 5,602 … 4,861 5 4,643 7,268 4,003 3,726 … 4,720 6 4,536 4,630 7,232 3,934 … 5,527 7 4,845 4,516 4,596 7,202 … 3,660 : : : : : :x 3,860 3,989 4,798 4,460 … 7,128

Mes Corriente (t)

Tabla de créditos incumplidos txd por edad y mes corriente

Incumplidos dxtEdad(x) Ene-03 Feb-03 Mar-03 Abr-03 …. Mar-10

1 11 8 7 15 … 132 13 4 15 7 … 93 6 5 17 13 … 284 13 7 11 20 … 245 14 18 8 12 … 196 7 7 19 55 … 237 8 12 13 22 … 44: : : : : :x 6 4 15 9 … 26

Mes Corriente (t)

La curva de incumplimiento se obtiene agregando los datos de las columnas de cada tabla, con lo que se obtiene un vector de créditos vigentes por edad de la primera

tabla ∑=

=T

t

txx ll

1, y uno de créditos incumplidos de la segunda ∑

=

=T

t

txx dd

1.

Posteriormente se obtienen las probabilidades de incumplimiento condicionales a la edad del crédito, dividiendo los datos del vector de créditos incumplidos entre el

vector de créditos vigentes x

xx l

dq = . La siguiente gráfica muestra la curva de

incumplimiento obtenida.

43

Curva de Incumplimiento Condicionada Observada

0.00%

0.05%

0.10%

0.15%

0.20%

0.25%

0.30%

0.35%

0.40%

0.45%

0.50%

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99 106 113 120 127

EDAD Mes

Prob

abili

dad

cond

icio

nal

Se observa que en las últimas edades se tiene tanto una mayor probabilidad de incumplimiento como una mayor volatilidad de la misma. Esto se debe a que en este periodo el número de observaciones se reduce considerablemente, además de que corresponde a los créditos más viejos que se tienen en la base. Por esta razón se considera apropiado no utilizar esta última parte de la curva. Asimismo se observa que la edad máxima para la que se tienen observaciones es de 128. Con el fin de poder hacer proyecciones de incumplimientos futuros es necesario tener una curva que llegue a 360 meses (plazo máximo de los créditos). Para ello se realiza un suavizamiento de la curva mediante promedios móviles así como una extrapolación de la curva, en la que se supone que las probabilidades de incumplimiento decrecen de manera exponencial. El punto a partir del cual se realiza la extrapolación es a partir del mes 87. Las siguientes gráficas muestran las curvas de incumplimiento obtenidas tras el suavizamiento y la extrapolación.

Curva de Incumplimiento Condicionada Suavizada

0.00%

0.05%

0.10%

0.15%

0.20%

0.25%

0.30%

0.35%

0.40%

1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103

EDAD Mes

Prob

abili

dad

cond

icio

nal

44

Curva de Incumplimiento Condicionada Suavizada y Extrapolada

0.00%

0.05%

0.10%

0.15%

0.20%

0.25%

0.30%

0.35%

0.40%

1 20 39 58 77 96 115 134 153 172 191 210 229 248 267 286 305 324 343EDAD Mes

Prob

abili

dad

cond

icio

nal

Por su parte, para obtener el proceso mixto primero se construyó una tabla con las probabilidades de incumplimiento condicionales por edad y mes corriente, las cuales se calculan como el cociente del número de créditos incumplidos observados para cada edad y mes corriente entre el correspondiente número de créditos vigentes

tx

txt

x ld

q = .

Posteriormente, se obtiene una tabla de factores mixtos por edad y mes corriente que se calcula dividiendo la probabilidad de incumplimiento condicional por edad y mes corriente de la tabla anterior, entre la probabilidad de incumplimiento de la edad

correspondiente a la curva de incumplimiento observada x

txt

x qq

h = .

Finalmente se obtiene el proceso mixto como un promedio por mes corriente de los

factores mixtos, ponderados por el número de créditos vigentes ( ) ( )∑=⋅=

X

i

tx

tx lh

tlth

1

1

donde ( ) ∑=

=T

t

txltl

1.

El proceso mixto obtenido se muestra en la siguiente gráfica:

45

-

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

Feb-03

Jun-03

Oct-03

Feb-04

Jun-04

Oct-04

Feb-05

Jun-05

Oct-05

Feb-06

Jun-06

Oct-06

Feb-07

Jun-07

Oct-07

Feb-08

Jun-08

Oct-08

Feb-09

Jun-09

Oct-09

Feb-10

Mes (t)

h(t)

Proceso Mixto Observado

Se observa que en los últimos meses, el valor del proceso ha estado incrementándose en los últimos meses y que ha estado por encima del valor promedio uno. Esto es congruente con la situación de crisis observada en dichos meses en el mercado hipotecario. El valor del proceso a marzo de 2010 es de 1.49, lo que significa que el incumplimiento fue 49% mayor al incumplimiento promedio. A este proceso mixto se le ajustaron procesos estocástico de la forma

( ) ( )( ) ( ) ( )tdWthdtthktdh γσθ ⋅+−−= Los procesos que se ajustaron fueron: el Vasicek, cuyo parámetro gamma está

definido como γ =0, el proceso CIR cuyo parámetro gamma es γ =0.5, y un proceso sin restricción sobre el parámetro γ . Se utilizó el Método de Momentos Generalizado de Hansen (1982) para estimar los

parámetros de dichos modelos. Los resultados obtenidos, restringiendo el valor de θ a ser igual a uno son:

Resultados de la Estimación de los

Procesos Estocásticos al Proceso Mixto

Los números en rojo representan valores predeterminados.

46

Todos los parámetros estimados resultaron significativos al 99% de confianza. La siguiente tabla muestra los estadísticos t. Si estos estadísticos están fuera del intervalo de confianza significa que existe evidencia estadística de que los parámetros son distintos de cero.

Estadísticos t

Sin restricción CIR Vasicekκ 13.30 5.19 16.61σ2 61.55 13.81 74.76γ 1.55

Intervalo de confianza al

99% ( -0.67, 0.67) ( -0.64, 0.64) ( -0.64, 0.64) En el modelo sin restricción, se observa que existe evidencia estadística de que el parámetro γ es distinto de cero, aunque el valor que toma es mucho menor al 0.50 propuesto por el modelo CIR. Para medir el ajuste de los modelos, se realizaron las pruebas de ajuste propuestas Chan et al (1992) para medir y comparar el ajuste de estos modelos. Tanto el modelo CIR como el Vasicek ajustan correctamente y no pueden ser rechazados ni a un nivel de 20%. Al simularse los procesos Vasicek y el modelo sin restricción se encontró que varias de las trayectorias simuladas se volvían negativas, por lo que se decidió utilizar únicamente el proceso CIR. La simulación se hizo utilizando el método de discretización de Milstein, el cual discretiza el proceso de la siguiente manera:

( ) ( )121

1222

111 −⋅⋅⋅+⋅Δ⋅⋅+Δ−−= +

−++ ttttitt hththhh εγσεσθκ γγ

Donde 21+tε es un número aleatorio con distribución normal estándar.

La siguiente gráfica muestra algunos ejemplos de trayectorias simuladas del modelo CIR, así como la trayectoria esperada, ajustado considerando el valor inicial ( ) 50.10 =h

47

Trayectorias Simuladas del Proceso CIR

-0.200.400.600.801.001.201.401.601.80

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56

Mes (t)

Tray

ecto

rias

Pro

ceso

Mix

to h

(t)

Trayectoria Esperada

5.3 Distribución de pérdida anual Utilizando la curva de incumplimiento y el proceso mixto, se estimaron cuatro modelos de pérdida anual, dos que suponen una distribución gamma para la variable mixta, y otros dos que suponen que la variable mixta sigue el proceso CIR estimado. Para el presente ejercicio se supuso que la pérdida dado el incumplimiento es la suma asegurada del crédito.

5.3.1 Distribuciones de Pérdida bajo una Variable mixta Gamma Bajo el supuesto de que la variable mixta tiene una distribución gamma, esta debe

tener media uno y una varianza anual 2hσ . Para estimar la varianza anual se

promediaron las observaciones del proceso mixto ( )th por grupos excluyentes de doce meses. La siguiente gráfica muestra las variables mixtas anuales obtenidas.

48

Distribución la variable mixta

-

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Año

Varia

ble

mix

ta a

nual

Esta gráfica representa la versión anual del proceso mixto. La varianza obtenida es

1101.02 =hσ .

Con esta variable mixta se obtuvieron dos distribuciones de pérdida. Aproximación Gamma. Se obtiene mediante el método de aproximación de la distribución de la variable mixta. La variable mixta tienen distribución gamma con

media uno y varianza 1101.02 =hσ , por lo que la distribución de pérdidas S es

gamma con media igual a la pérdida esperada PE y varianza ( ) 22hPESV σ⋅= .

Monte Carlo Gamma. La segunda se obtuvo a través de simulación Monte Carlo, en donde se simulaba un valor de la variable mixta h para posteriormente simular el

incumplimiento de cada crédito k como variables Bernoulli ( )hqk ⋅)12( con

probabilidades de incumplimiento anuales )12(kq . Las probabilidades de incumplimiento

anual se obtienen de la curva de incumplimiento de acuerdo a la edad del crédito

( )∑ ∏=

−

=−+−+ −⋅=

12

1

1

111

)12( 1i

i

jjxixk qqq . Una vez simulado los incumplimientos se agregan las

pérdidas de los créditos incumplidos. Este proceso se hizo para 20,000 simulaciones de la variable mixta. A continuación se muestran las funciones de densidad y estadísticos obtenidos.

49

Distribución de Pérdida con Variable Mixta Gamma

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

$0 $31$62

$92$123

$154$185

$215$246

$277$308

$338$369

$400$431

$461$492

Pérdida (Miles de Pesos)

Monte Carlo Gamma

AproximaciónGamma

Estadísticos de la Distribución de Pérdida con Variable Mixta Gamma

Aproximación Gamma

Monte Carlo Gamma

Media 153,821,777$ 153,601,999$ Desviación Estandar 51,032,229$ 51,538,934$

Mediana 148,216,564$ 147,971,616$ Percentil (99%) 296,647,615$ 298,466,808$

Percentil (99.5%) 316,609,579$ 318,863,934$ Percential (99.9%) 360,375,993$ 377,509,461$

Como puede observarse las distribuciones son prácticamente idénticas, lo que indica que la aproximación a través de la distribución de la variable mixta es adecuada. Si se comparan los estadísticos, se observa pequeñas diferencias entre los percentiles más elevados. El siguiente cuadro incorpora la diferencia de la distribución en monto y en porcentaje respecto a la distribución obtenida por simulación Monte Carlo.

50

Estadísticos de la Distribución de Pérdida con Variable Mixta Gamma

Aproximación Gamma

Monte Carlo Gamma

Diferencia en Monto

Diferencia Porcentual

Media 153,821,777$ 153,601,999$ 219,777 0.1%Desviación Estandar 51,032,229$ 51,538,934$ -506,705 -1.0%

Mediana 148,216,564$ 147,971,616$ 244,948 0.2%Percentil (99%) 296,647,615$ 298,466,808$ -1,819,192 -0.6%

Percentil (99.5%) 316,609,579$ 318,863,934$ -2,254,355 -0.7%Percential (99.9%) 360,375,993$ 377,509,461$ -17,133,468 -4.5%

La diferencia entre las medias (pérdida esperada) se debe al proceso de simulación del método de Monte Carlo, siendo el valor de la aproximación gamma el valor real. Se puede observar que las diferencias entre los estadísticos de estas distribuciones son relativamente pequeñas, lo que justifica el uso del método de aproximación.

5.3.2 Distribuciones de Pérdida Bajo un Proceso Mixto CIR Se obtuvieron otras dos distribuciones de pérdida, una Aproximación CIR y Monte Carlo CIR, siguiendo los mismos métodos que las distribuciones anteriores, con la diferencia de que en lugar de suponer una distribución gamma para la variable mixta, se supuso que esta se sigue un proceso CIR con los parámetros obtenidos anteriormente. El valor del proceso en el tiempo cero es uno ( ) 10 =h .

Parámetros del Proceso CIR

θ 1.00κ 0.42σ2 0.13γ 0.50

De acuerdo a este proceso, el valor de la variable mixta en un año sigue una distribución chi-cuadrada no central. Sin embargo, en el presente ejercicio se simulo el proceso para un periodo de un año y se tomo el valor del proceso al término de este. La simulación se hizo utilizando la discretización de Milstein. Las distribuciones y los estadísticos obtenidos son:

51

Distribuciones de Pérdida con Proceso Mixto CIR

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

 $‐    $31 

 $62  $92 

 $123 

 $154 

 $185 

 $215 

 $246 

 $277 

 $308 

 $338 

 $369 

 $400 

 $431 

 $461 

Pérdida (Miles de Pesos)

Aproximación CIR

Monte Carlos CIR

Estadísticos de la Distribución de Pérdida con Proceso Mixto CIR

Aproximación CIR Monte Carlo CIR

Diferencia en Monto

Diferencia Porcentual

Media 153,720,819$ 153,685,657$ 35,162$ 0.02%Desviación Estandar 41,620,262$ 41,783,868$ 163,605-$ -0.39%

Mediana 150,354,489$ 150,529,151$ 174,662-$ -0.12%Percentil (99%) 264,244,237$ 263,822,501$ 421,736$ 0.16%

Percentil (99.5%) 277,143,986$ 277,699,435$ 555,449-$ -0.20%Percential (99.9%) 311,657,449$ 310,933,981$ 723,468$ 0.23%

Como puede observase en estas distribuciones tampoco existe una gran diferencia entre las distribución obtenidas por los métodos de Monte Carlo y aproximación. A continuación se muestra la gráfica y la tabla con las cuatro distribuciones.

52

Distribuciones de Pérdida

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

 $‐    $31 

 $62  $92 

 $123 

 $154 

 $185 

 $215 

 $246 

 $277 

 $308 

 $338 

 $369 

 $400 

 $431 

 $461 

 $492 

Pérdida (M

iles de

 Pesos) Monte Carlo Gamma

Aproximación Gamma

Aproximación CIR

Monte Carlos CIR

Estadísticos de la Distribución de Pérdida con Proceso Mixto CIR

Aproximación Gamma

Monte Carlo Gamma

Aproximación CIR Monte Carlo CIR

Media 153,821,777$ 153,601,999$ 153,720,819$ 153,685,657$ Desviación Estandar 51,032,229$ 51,538,934$ 41,620,262$ 41,783,868$

Mediana 148,216,564$ 147,971,616$ 150,354,489$ 150,529,151$ Percentil (99%) 296,647,615$ 298,466,808$ 264,244,237$ 263,822,501$

Percentil (99.5%) 316,609,579$ 318,863,934$ 277,143,986$ 277,699,435$ Percential (99.9%) 360,375,993$ 377,509,461$ 311,657,449$ 310,933,981$

Haciendo un comparativo entre las cuatro distribuciones, se observa que la diferencia fundamental proviene del supuesto de distribución de la variable mixta. Mientras que la consideración de la distribución del número de incumplimiento o la del tamaño de las pérdidas resulta poco relevante debido al efecto de diversificación. Por ello la determinación del capital económico del seguro de crédito a la vivienda, un vez que se tiene determinada la pérdida esperada, debe estar enfocada a modelar las variaciones del factor sistémico.

53

5.4 Flujos y distribución de pérdida por el plazo del crédito El utilizar un modelo basado en un proceso mixto tiene la ventaja de que permite modelar el comportamiento de los flujos para toda la vida restante de la cartera. El presente ejercicio utiliza el modelo CIR descrito anteriormente con la diferencia de que se supone que el valor del proceso al tiempo cero es el último valor observado esto es =)0(h 1.5, con se toma en cuenta el hecho de que actualmente se está pasando por un periodo con alto número de incumplimiento. La siguiente gráfica muestra una trayectoria simulada del proceso en conjunto con la trayectoria esperada del proceso.

Trayectoria del Proceso Mixto

‐

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1 17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209 225 241 257 273

Mes (t)

Proceso mixto h(t)

Trayectoria Simulada

Trayectoria Esperada

Se observa que el valor esperado del proceso mixto es mayor a uno durante el primer año debido a que se parte de un valor de 1.5 y posteriormente se mantiene en uno. Sin embargo, en la trayectoria simulada se tienen periodos por arriba y por debajo de uno. La siguiente gráfica muestra un ejemplo de aplicar a la curva de incumplimiento de un crédito con edad de 36 meses el proceso mixto

54

Trayectoria de las Probabilidades de Incumplimiento

0.00%

0.05%

0.10%

0.15%

0.20%

0.25%

0.30%

0.35%

0.40%

0.45%

0.50%

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 201 211 221 231 241 251 261

Mes (t)

Prob

abili

dad

de in

cum

plim

ient

o

Probabilidad Simulada

Probabiidad Esperada

Se observa como a medida que la probabilidad de incumplimiento esperada se reduce lo mismo ocurre con la volatilidad. La siguiente gráfica muestra la evolución esperada de las pérdidas de la cartera, así como una trayectoria simulada

Trayectoria de la Pérdida Esperada

$0$2,000,000$4,000,000

$6,000,000$8,000,000$10,000,000$12,000,000$14,000,000

$16,000,000$18,000,000$20,000,000

1 17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209 225 241 257 273

Mes (t)

Pérdida (Pesos)

Trayectoria Simulada

Trayectoria Esperada

A medida que el saldo de la cartera amortiza y la probabilidad de incumplimiento disminuye lo mismo ocurre con las pérdidas.

55

La siguiente distribución se obtiene de generar 10,000 simulaciones de procesos mixtos y aplicarlos a la trayectoria de pérdida esperada en valor presente1.

Distribución de las Pérdidas Proyectadas de la Cartera de Seguros de Crédito a la Vivienda en Valor Presente

0.0%

0.5%

1.0%

1.5%

2.0%

2.5%

3.0%

3.5%

4.0%

$630

$640

$650

$660

$670

$680

$690

$700

$710

$720

$730

$740

$750

$760

$770

$780 Pérdida (Millones de Pesos)

Estadísticos de la Distribución de las Pérdidas Proyectadas de la Cartera de Seguros de Crédito a la Vivienda en Valor Presente

Promedio 700,284,217$ Desv. Estándar 22,127,874$ Mediana 699,816,769$ Percentil (99%) 752,717,698$ Percentil (99.5%) 758,606,979$ Percentil (99.9%) 771,996,316$

La distribución de pérdidas proyectadas para el resto de la vida de la cartera resulta en menos volátil que la distribución para un periodo, esto se debe a que en el largo plazo se espera que los ciclos de alto incumplimiento se compensen con los de bajo incumplimiento.

1 Las tasas de descuento aplicadas fueron 5% para créditos en pesos y 3% para créditos en UDIS. 

56

6 Conclusiones Los seguros de crédito a la vivienda presentan características diferentes a los seguros de otros ramos, lo que presenta retos importantes para modelar las pérdidas derivadas de las reclamaciones de estos seguros. Los principales retos se derivan de que existe una gran cantidad de variables que inciden en el comportamiento de los créditos, en que son de largo plazo y en que dependen de factores exógenos como el estado de la economía, por lo que no se pueden considerarse independientes. Sin embargo, también presentan características que facilitan la modelación, como es el hecho de que las sumas aseguradas y por ende el tamaño de las pérdidas son relativamente homogéneos. La teoría de riesgo del ámbito actuarial, en conjunto con algunos estudios de riesgo de crédito, presentan las bases para encontrar la distribución de pérdidas de estos seguros. El enfoque doble estocástico presenta un marco metodológico adecuado y tiene la ventaja, sobre otros enfoques, de presentar un marco conceptual sencillo y que permite estimar modelos de fácil implementación. En particular, las distribuciones compuestas mixtas, como el modelo de Pólya compuesto, resultan adecuados por considerar la dependencia entre factores exógenos que de esta manera incorporan la dependencia entre los créditos. Más aun, dado que las carteras son homogéneas en su suma asegurada, la distribución de pérdidas se puede obtener de manera muy sencilla aproximándola mediante la distribución la variable mixta, para lo cual únicamente se requiere, además de dicha distribución, la pérdida esperada. Esto resulta en un modelo sumamente fácil de implementar. Este enfoque doble estocástico se puede extender para considerar la naturaleza de largo plazo del seguro. La variable mixta se generaliza a un proceso estocástico, llamado proceso mixto. Bajo este enfoque se obtienen distribuciones de pérdida para cada momento en el tiempo, considerando tanto la evolución de los saldos, como de las probabilidades de incumplimiento y tasas de severidad. Una ventaja de este modelo es que considera el estado actual del factor exógeno en la determinación de la pérdida esperada y la varianza de las pérdidas, de tal forma que si se está en un periodo de alto incumplimiento la pérdida esperada y la varianza son mayores. Este modelo permite a su vez la determinación de flujos de pérdidas, ingreso de primas, bajo un esquema comprensible y de fácil aplicación.

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Bibliografía Beard, R.E., T. Pentikäinen, M. Pesonen, 1984, Risk theory, 3rd edition, Chapman & Hall. Bluhm, C., Overbeck, L., and Wagner, C., 2001, Irreconcilable differences, RISK, 14(10): S33-S37, October 2001. Bluhm, C., Overbeck, L., and Wagner, C., 2003, An introduction to credit risk modelling, Chapman & Hall. Bowers, N.L., JR. Gerber H.U, Hickmann. J.C., Jones, D.A., and Nesbitt, C.J., 1997, Actuarial Mathematics, 2nd Edition, Schaumberg, Illinois, Society of Actuaries. Büllhlmann, H, 1970, Mathematical methods of risk theory, Springer Verlag, Heidelberg. Chan K.C., G. Andrew Karolyi, Francis A. Longstaff, Anthony B. Sanders, 1992, An Empirical Comparison of Alternative Models of the Short-Term Interest Rate. Clapp, J.M., Deng, Y, and An X. (2004). Alternative models for competing risks of mortgage termination. Working Paper No. 2004-1002. University of Southern California, Lusk Center for Real Estate. Comisión Nacional Bancaria y de Valores, 2005, Disposiciones Generales Aplicables a las Instituciones de Crédito (“Circular Única”), Diario Oficial de la Federación, 2 de diciembre de 2005, Capítulo V Sección Segunda. Comisión Nacional de Vivienda, 2009, Necesidades de Vivienda 2006-2012, http://www.conavi.org.mx Cox, D.R., 1972, Regression Models and Life Tables, Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), Vol. 34, No. 2., pp. 187-220. Cox, J. C., Ingersoll, J., and Ross, S., 1985, A theory of the Term Structured of Interest Rates, Econometrica 53, 385-407. Credit Suisse Finacial Products, 1997, CreditRisk+: A Credit Risk Management Framework, London. Davis, M. and Lo, V., 1999, Modelling default correlation in bond portfolios, In: C. Alexander (ed.), ICBI Report on Credit Risk. Daykin, C.D., T. Pentikäinen, M. Pesonen, 1994, Practical Risk Theory for Actuaries, Chapman & Hall. De Groot, Morris H., 1988, Probabilidad y Estadística, Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington Delaware. Deelstra, G. and Parker, G., 1995, A Covariance Equivalent Discretisation of the CIR model, 5th AFIR International Colloquium, Brussels. Duffie, D. and Singleton, K.J., 1999, Modelling term structures of defaultable bonds, Review of Financial Studies 12, 687-720.

58

Duffie, D. and Singleton, K.J., 1999, Simulating Correlated Defaults, Working Paper, Graduate School of Business, Standford University. Gerber, H. 1979, An introduction to mathematical risk theory, S.S. Huebner Foundation, University of Pennsylvania, Philadelphia. Giesecke, K. and Tomececk, P., 2005, Dependent events and changes of time, Working Paper, Cornell University. Gordy, Micheal B., 2000, A Comparative Anatomy of Credit Risk Models, Journal of Banking & Finance. Gordy, Micheal B., 2003, A risk-factor model foundation for Ratings-Based Bank Capital Rules, Journal of Financial Intermediation, Volume 12, Issue 3, pp. 199-232. Gupton, Greg M., Christopher C. Finger, Mickey Bhatia, 1997, CreditMetrics Technical Document, New York: J.P. Morgan & Co. Incorporated. Hansen, Lars Peter, 1982, Large sample propierties of Generalized Method of Moments estimators, Econometrica 50, 1029-1054. Hosmer, D.W. and Lemeshow, S. (2000). Applied Logistic Regression (2nd edition). New York: Wiley. Jarrow, R.A. and Yu, F., 2001, Counterparty risk and the pricing of defaultable securities, Journal of Finance, 56 (Oct). Li. D., 1999, On default correlation: a copula function approach, Working Paper, RiskMetrics Group, New York. Panjer, H., 1980, The Aggregate Claims Distribution an Stop-Loss Reinsurance, Transaction of the Society of Actuaries, 32, 523-535. Panjer, H., 1981, Recursive Evaluation of a Family of Compound Distributions, ASTIN Bulletin, 12, 22-26. Quercia, R. G. and Stegman, M.A. (1992) Residential Mortgage Default: A review of the literature. Journal of Housing Research Volume 3, issue 2. Quigley, John y Van Order, Robert. 1991. Defaults on mortgage obligations and capital requirements for U.S. savings institutions, Journal of Public Economics 44 353-369. Ross, S. (2006). A first course of probability (7th edition). Pearson: Prentice Hall. Sklar, A., 1973, Random Variables, Joint Distribution Functions and Copulas, Kybernetika 9, 449-460. Smith, L.D., Sanchez, S.M. and Lawrence, E.C. (1996). A comprehensive model for managing credit risk on home mortgage portfolios. Decision Sciences. Volume 27, Number 2. Wilson, Thomas C, 1998, Portfolio Credit Risk, FRBNY Economic Policy Review, October 1998.