1

ＭＴシステムの諸問題と改良手法

早稲田大学 創造理工学部 経営システム工学科

永田 靖

1/84印のページは配布資料に追記・修正しています．

異常判定予 測

MTシステム

MT法 MTA法 その他

RT法 T法

タグチ流 多変量解析法

タグチメソッド（品質工学）の主要な柱のひとつ

田口玄一博士が開発

全体的な解説：品質工学会(2007)，立林・手島・長谷川(2008)

本稿：MT法，MTA法，RT法，Ｔ法の性質・注意点を述べ，改良手法を示す．報告者らの研究を中心に紹介．

その他：TS法，マルチ法，誤圧など

2/84

3

１．はじめに

ＭＴ法・・・マハラノビス・タグチ法

No. 良・不良 x1 x2 ・・・ xp

1 良 x11 x12 ・・・ x1p

2 良 x21 x22 ・・・ x2p

・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・

n 良 xn1 xn2 ・・・ xnp

1 不良 y11 y12 ・・・ y1p

2 不良 y21 y22 ・・・ y2p

・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・

m 不良 ym1 ym2 ・・・ ymp

表１.1 データの形式 1. データの形式は判別分析

2. 良品は１つの群をなす

3. 不良品は１つの群をなさない

（例）自動販売機の貨幣認識

正貨は１つの群

偽造貨幣はいろいろなタイプ

判別分析ではなく，ＭＴ法

3/84

4

ＭＴ法（マハラノビス・タグチ法）のステップ

1. 良品で１つの群（母集団）を想定する（単位空間と呼ぶ）

2. 単位空間のデータからマハラノビスの距離を算出する

3. 不良品のデータを2で算出したマハラノビスの距離に代入して，変数を選択する

4. 良・不良を判定するためのデータをマハラノビスの距離に代入して判定する

4/84

5

ＭＴ法 vs 判別分析・管理図

ＭＴ法 判別分析 多変量管理図

良品で１つの群（母集団）を想定する（単位空間と呼ぶ）

２群を想定 正常群を想定

単位空間のデータからマハラノビスの距離を算出する

２群のデータから算出

ＭＴ法と同じ

不良品のデータより変数選択 ２群のデータから変数選択

通常，変数選択しない

予測する（判定する） 判別する 判定する

5/84

6

・統計学を学んだ者にとっては，MT法の原型は統計学の枠組みにおける自然な発想という印象．

・統計学と一線を画していた人々へMTシステムが急速に普及していったことにも興味がある（観察研究の必要性，田口博士の影響力，手法の簡便さ）．

・一方，MT法に関連して田口博士が追加していった新たなアイディアや考え方（総じて，MTシステムと呼ぶ）には興味がある．

・MTシステムが普及している現在，その方法論の妥当性を検討しておきたい．

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２. ＭＴ法

2.1 ＭＴ法と判別分析

判別分析・・・２つの群を想定する．

ＭＴ法・・・１つの群（単位空間）を想定する．

田口先生のＭＴ法の着想のきっかけ：

良品群・不良品群といっても，良品群は１つの群をなすが，不良品群は群をなすとは考えにくいなら，ＭＴ法を用いる．

「幸福な家庭は互いにすべて似かよったものであり，不幸な家庭はどこもその不幸のおもむきが異なっているものである」 （トルストイ『アンナ・カレーニナ』）

MTシステム

MT法 MTA法 その他

RT法 T法

7/84

8

判別分析の考え方

母集団[2]

母集団[1]

),( 1 N

),( 2

N

第１母集団 [1]

第２母集団 [2]

)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ

21

22]2[

11

12]1[

xxD

xxDT

T

)ˆˆ(21 2]2[2]1[ DDz

線形判別関数

は第１母集団

は第２母集団

xzxz

00

8/84

9

単位空間

×

マハラノビスの距離

ＭＴ法判別分析

母集団１

母集団２×

×

ＭＴ法が有効なデータパターン

不良のデータ

図2.1

図2.2 9/84

10

2.2 ＭＴ法における予測バイアスの問題

（宮川・永田（2003)）

),(,...,, 21 Nxxx n ～

),...,2,1()ˆ(ˆ)ˆ(ˆ 112 nizRzxxD iTii

Tii

)()( 12 xxD T

)(22 pD ～

p 次元正規分布

pDVpDE 2)(,)( 22

：棄却限界値pap 2

真値

10/84

1ˆ

ˆ1ˆ

2*

22*

i

ii

D

Dp

D

『単位空間』の名称由来

11

n p E(D02) bias

100100100100100100

103050709095

11.544.6

105.2252.51136.33198.3

1.514.655.2

182.51046.33103.3

)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ0

10

20

xxD T

),(0

Nx ～

2)1()ˆ( 2

0

pn

npDE

pDEpn )ˆ( 20なら　

表2.1

推定量

n>>pでないなら，バイアス調整が必要

11/84

12

３. ＭＴＡ法（マハラノビス・タグチ・アジョイント法）

（田口(2002)）

1

1 1 2 2 ... 0,p p i

Rn p

a x a x a x a

多重共線性： が存在しない

（１）サンプル数より変数の個数が多い（ ）

（２）変数間に線形関係がある

（ 少なくとも２つの 0）

zRz

xxDT

T

1

12 )ˆ(ˆ)ˆ(ˆ

MTシステム

MT法 MTA法 その他

RT法 T法

12/84

13

zRz

xxDT

T

1

12 )ˆ(ˆ)ˆ(ˆ

R-1 を R の余因子行列で置き換える

zRzD TA

~ˆ 2

の行列要素が：余因子行列

の余因子をと表すとき，行列の行列式を

次の列を取り除いた行，第から第余因子：行列

ji

ijijijji

ij

RjiR

rRpjiR

),(~)()1(

)1(

13/84

12/32/12/312/3

2/12/31

)1.3(

R

例

03 321 zzz

単位空間では

)20|| RrankRR （の逆行列は存在しない

41)1(

41

12/32/31

1111

1111 R

43)1(

43

12/32/12/3

2112

2121 R

3.1 MTA法の特徴 （宮川(2003)，宮川・永田（2003)）

14/84

15

131333

131

41~R

2321

2 )3(41~ˆ zzzzRzD T

A

ない．なら判定の尺度になら単位空間外で★

．なら判定の尺度になる単位空間外で★

単位空間では

0ˆ0ˆ

0ˆ

2

2

2

A

A

A

D

D

D

03 321 zzz

単位空間では

15/84

16

次の単位行列）は（ pIIRRR pp||~

11 ||~ RRRR が存在するなら

zRzRzRzD TTA

12 ||~ˆ

一方，

16/84

17

115.05.0115.05.05.05.0115.05.011

3.2

R

）（例

0,0 4321 zzzz単位空間では

)20|| RrankRR （の逆行列は存在しない

0)1(0115.0115.05.05.01

1111

1111 R

0)1(0115.0115.05.05.01

2112

2121 R

17/84

18

0~ˆ 2 zRzD TA

．ＭＴＡ法は機能しない

　

つと）（線形）関係が成り立（変数間に２つ以上の

ちるとのランクが２つ以上落

0~ˆ0~ 2 zRzDR

R

TA

0000000000000000

~R

18/84

19

212

1

ˆ||||~ˆ DRzRzRzRzD

RTT

A

が存在するとき：（１）　

まとめ）　　ＭＴＡ法の本質（

能しない．となってＭＴＡ法は機　常に，

ちるとき：のランクが２つ以上落（３）　

0ˆ 2 AD

R

は無効　　・・・　　　②単位空間外：

は有効　　・・・　　　①単位空間外：

　　単位空間内：

線形関係式単位空間での変数間の

ちるとき：のランクが１つだけ落（２）　

22

22

2

22

ˆ0ˆ

ˆ0ˆ0ˆ

)(ˆ

AA

AA

A

A

DD

DD

D

aD

R

19/84

田口博士：

「分散がゼロの変数に着目しなさい．」

「単位空間外で変動するなら有効な変数」

20

3.2 ＭＴＡ法の改良手法 （宮川・永田（2003)）

Tppp

TT wwwwwwR ...222111　

スペクトル分解：

有ベクトルに対応する長さ１の固

：固有値

ii

p

w

:

...21

Tpp

p

TT wwwwwwR

R

1...11

222

111

1

1

が存在するなら

20/84

21

が線形関係式の係数の固有ベクトル　

が１つ成立　変数間に線形関係式

）ちる（のランクが１つだけ落

pp

p

w

R

0

T

T

T

w

w

w

51,

53,

51,0

21,0,

21,

21

103,

102,

103,

25

33

22

11

12/32/1

2/312/32/12/31

)3.3(

R

例

03 321 zzz

単位空間では

21/84

22

が線形関係式の係数の固有ベクトル　

個成立が　変数間に線形関係式

）個落ちる（のランクが

pqq

pqq

qp

qpR

,...,,)(

0...)(

21

21

115.05.0115.05.05.05.0115.05.011

3.4

R

）（例

0,0 4321 zzzz単位空間では

T

T

T

T

w

w

w

w

21

,2

1,0,0,0

0,0,2

1,

21

,0

5.0,5.0,5.0,5.0,1

5.0,5.0,5.0,5.0,3

44

33

22

11

22/84

23

削除するTppp

Tqqq

Tqqq

T

pqq

pqq

wwwwwwwwR

cccc

......

0...

...,,,

111111

21

21

とみなす．

を設定閾値

222

21

2)2(

2)1(

...ˆ

ˆ

pT

qT

qT

T

wzwzwzD

zRzD

　

第２種の距離の２乗：　

第１種の距離の２乗：

Tqq

q

T wwwwR

1...1

111

23/84

24

2

1,0,2

1

21

02

1

12

103,

102,

103

103

102103

52

TT wwwwR 222

111

113.33.5)(

に基づいて例例

zRzD T 2

)1(

28322232432

223228

251

24/84

25

2321

23

2)2( )3(

51)( zzzwzD T

)3(5

1

51

53

51

,, 3213213 zzzzzzwz T

03 321 zzz

単位空間では

25/84

26

TT wwwwR 222

111

113.43.6)(

に基づいて例例

115.05.0115.05.0

5.05.0115.05.011

31

5.0,5.0,5.0,5.0

5.05.0

5.05.0

115.0,5.0,5.0,5.0

5.05.05.05.0

31

zRzD T 2

)1( 26/84

27

243

221

24

23

2)2( )(

21)(

21)()( zzzzwzwzD TT

)(2

1

212

100

,,,

)(2

1

00

212

1

,,,

4343214

2143213

zzzzzzwz

zzzzzzwz

T

T

0,0 4321 zzzz単位空間では

27/84

28

＝要点＝

・ＭＴＡ法では情報の一部しか使用しておらず，しかもＭＴＡ法では判別能力を有しない場合もある．

・ＭＴＡ法は多重共線性の問題を部分的に解決．

・多重共線性を構成する変数とそれ以外の変数に基づいて２種類の距離を作成することにより，ＭＴ法が抱える多重共線性の問題を解決できる．

（補足）固有値の小さな部分の対処の方法については，いろいろなアイディアが提出されている．

28/84

29

４. RT法（Recognition Taguchi法）

→ 画素データのような「２値データ」だけでなく，「連続量ないしは多値離散量と呼ぶ」に対しても適用できる．

・MT法の中では一番新しい手法

・RT法では，パラメータ設計と同様の簡便な計算だけ．

・標準SN比の考え方を応用して信号のない場合を取り扱う．・・・独特のアイディアに満ちた方法．

MTシステム

MT法 MTA法 その他

RT法 T法

29/84

30

「連続量や多値離散量のデータ」にRT法：

・注意が必要．

・RT法で用いられている距離には望ましくない性質

本章では，そのような性質について議論

改良する方法を提示

30/84

31

4.1 RT法の概要 （田口(2006a)）

No. x1 x2 … xp L ST Ve Y1 Y2 D2

1 x11 x12 … x1p

2 x21 x22 … x2p・

・

・

・

・

・

・

・

・… ・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

n xn1 xn2 … xnk

平均

表4.1 初期データの形式と統計量

p

jjmr

1

2

ppj

p

jj xmxmxmxmL 11221111

11 ...

1,/ 1

121

1

21111

k

SVrLxSSS e

e

p

jjTe

rLY /1111

121 eVY

m1 m2 … mpm1 m2 … mp

x11 x12 … x1p L1 ST1 Ve1 Y11 Y21

L2 ST2 Ve2 Y21 Y22

Ln STn Ven Yn1 Yn2

31/84

32

No. x1 x2 … xp L ST Ve Y1 Y2 D2

1 x11 x12 … x1p L1 ST1 Ve1 Y11 Y21

2 x21 x22 … x2p L2 ST2 Ve2 Y21 Y22・

・

・

・

・

・

・

・

・… ・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

n xn1 xn2 … xnp Ln STn Ven Yn1 Yn2

平均 m1 m2 … mp

表4.1 初期データの形式と統計量

1

)(

11

211

1111

n

YY

nSV

n

ii

1

)(

11

222

2222

n

YY

nSV

n

ii

1

))((

11

221112

12

n

YYYY

nS

V

n

iii

])())((2)()[2/1( 22211221112

21122

2 YYVYYYYVYYVD iiiii

RT法で用いられている

マハラノビスの距離

D21

D22

D2n

32/84

33

x1 x2 … xp L ST Ve Y1 Y2 D2

新 x1 x2 … xp L ST Ve Y1 Y2

新たなデータの採取と統計量の計算

した値を使う：初期データより計算2112221121

22211221112

21122

2

,,,,,,...,,

])())((2)()[2/1(

YYVVVmmm

YYVYYYYVYYVD

p

RT法で用いられている

マハラノビスの距離

初期データより定めた閾値と比較して異常かどうか判定

D2

33/84

34

4.2 RT法の適用上の注意 （永田・土居(2009)）－変数の単位の問題－

一番初期に提案されたMTシステムでは

・マハラノビスの距離では各変数間の単位が異なってもよい

・マハラノビスの距離は変数の単位に依存しない量

),...,2,1()ˆ(ˆ)ˆ(ˆ 112 nizRzxxD iTii

Tii

)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ0

10

20

xxD T

34/84

35

・変数間で単位が異なると，r や L などの計算において単位が異なるものを加える → 加え合わさった量の意味が不明

p

jjmr

1

2ppj

p

jj xmxmxmxmL 11221111

11 ...

1,/ 1

121

1

21111

k

SVrLxSSS ee

p

jjTe

RT法の適用では：

・全ての変数（項目）の単位が揃っている，または，無次元数

・田口：「p個の項目 x1, x2, …, xp が全て同一次元のデータ(たとえば画素のデータ，時系列のデータなど)であるとき」

・田口(2006a,b)では文字認識問題を意図してRT法が提案

・単位の問題に配慮せずに適用されている事例が散見

35/84

36

全ての項目の単位が揃っていても，揃っていなくても・・・大久保・永田（2012)は次を示した．

・他の項目よりも非常に大きな絶対値をとる項目があれば，その項目により判定結果がほぼ決まる．

・他の項目に比べ微小な値しかとらない項目は，判定結果にほとんど寄与しない．

36/84

37

4.3 統計量の意味と基本的性質 （永田・土居(2009)）

it

r ≠ 0(少なくとも１つの m j はゼロではない)を仮定しているもし， r = 0 (m1 = m2 =…= mp =0)なら，Yi1 は定義できない

i

ippii

Tipiii

tm

tmtmtm

xxxx

),...,,(

),...,,(

2211

21

Tpmmmm ),...,,( 21

Tptttt ),...,,( 21

1x

m2m

1m

2x

ix

p =2 の場合

p

jjmr

1

2

0

t

単位空間のn 個の点を次のように表す

rLY i /111

37/84

38

rtmY iT

i /11

))1/((

/)(

2

2

kSVY

rtmttS

eieii

iT

iT

iei

1/1

)/1(1111

11

rtm

rtmn

Yn

Y

T

iT

n

i

n

ii

iT

iei

iT

i

ttS

tmY

011

01

2

1

i

i

YY

)(0 mxt ii

it

1x

m2m

1m

2x

ix

単位空間

])())(1(2)1()[2/1( 2221122112

2122

2 YYVYYYVYVD iiiii

0])[2/1( 2211

2 YVDi中心位置でのマハラノビスの距離が0でない

0

t

38/84

iが抜けていました

39

4.4 RT法で用いるマハラノビスの距離の性質（永田・土居(2009)）

])())(1(2)1()[2/1( 2221122112

2122

2 YYVYYYVYVD iiiii

・項目数p，各項目の従う確率分布，各項目間の相関関係を設定

・200組(n=200)の乱数を発生

・200個の Di2 (i=1,2,…,200)の値を求める

・各データに対して平均ベクトルからのユークリッド距離の２乗を求め，(dEi

2,Di2) (i=1,2,…,200)の散布図を考察対象

2222

211

2

)(...)()()()(

pipii

iT

iEi

mxmxmxmxmxd

39/84

40

(例4.1) 2項目(p=2)，x1～U(1,2)，x2～U(4,5)，独立

(dEi2,Di

2)の散布図図4.1 RT法のマハラノビスの距離のプロット(p=2，一様分布，独立)

it

1x

m2m

1m

2x

ix

単位空間

)()(2 mxmxd iT

iEi

])(

))(1(2)1()[2/1(

22211

22112

2122

2

YYV

YYYVYVD

i

ii

ii

40/84

41

(例4.2) 2項目(p=2)，x1～N(1,12)，x2～N(2,12)，独立

図4.2 RT法のマハラノビスの距離のプロット(p=2，正規分布，独立)

)()(2 mxmxd iT

iEi

(dEi2,Di

2)の散布図

])(

))(1(2

)1()[2/1(

22211

22112

2122

2

YYV

YYYV

YVD

i

ii

ii

)()(2 mxmxd iT

iEi

1/8441/84

42

(例4.3) 2項目(p=2)，x1～N(1,12)，x2～N(2,12)，相関あり

図4.3 RT法のマハラノビスの距離のプロット(p=2，正規分布，相関=0.5)

(dEi2,Di

2)の散布図

])(

))(1(2

)1()[2/1(

22211

22112

2122

2

YYV

YYYV

YVD

i

ii

ii

)()(2 mxmxd iT

iEi

it

1x

m2m

1m

2x

ix

単位空間

42/84

43

(例4.4) 5項目(p=5)，x1～U(1,2)，x2～U(2,3)，x3～U(3,4)，x4～U(4,5)， x5～U(5,6) ，独立

図4.4 RT法のマハラノビスの距離のプロット(p=5，一様分布，独立)

(dEi2,Di

2)の散布図

43/84

44

図4.5 RT法のマハラノビスの距離のプロット(p=5，正規分布，独立)

(例4.5) 5項目(p=5)，x1～N(1,12)，x2～N(1,12)，x3～N(1.5,12)，x4～N(2,12)， x5～N(2,12) ，独立

(dEi2,Di

2)の散布図

44/84

45

4.5 RT法で用いるマハラノビスの距離の改良１（永田・土居(2009)）

距離についての望ましい性質

・単位空間の中心位置では 0・中心位置から離れるにしたがって増加していくと考えられる距離

])(2)()[2/1( 22

#11211

#12

211

#22

2#iiiii YVYYYVYYVD

n

ii nYYV

1

211

#11 /)(

n

ii nYV

1

22

#22 /

n

iii nYYYV

1211

#12 /)(

])())(1(2)1()[2/1( 2221122112

2122

2 YYVYYYVYVD iiiii

45/84

46

(例4.6) 例4.1と同じ乱数2項目(p=2)，x1～U(1,2)，x2～U(4,5)独立

図4.7 (dEi2,Di

#2)の散布図(p=2，正規分布，独立)

(例4.7) 例4.2と同じ乱数2項目(p=2)，X1～N(1,12)，X2～N(2,12)独立

図4.6 (dEi2,Di

#2)の散布図(p=2，一様分布，独立)

46/84

47

図4.8 (dEi2,Di

#2) および (MDi2,Di

#2) の散布図(p=2，正規分布，相関係数=0.5)

(例4.8) 例4.3と同じ乱数，2項目(p=2)，X1～N(1,12)，X2～N(2,12)相関係数=0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 2 4 6 8 10 12 14 16

MD2

D#

2

(a) (dEi2,Di

#2) の散布図 (b) (MDi2,Di

#2) の散布図

)(ˆ)( 12 mxmxMD iT

ii

)()(2 mxmxd iT

iEi

47/84

48

(例4.9) 例5.4と同じ乱数5項目(p=5)，x1～U(1,2)，x2～U(2,3),x3～U(3,4)，x4～U(4,5), x5～U(5,6)独立

図4.10 (dEi2,Di

#2)の散布図(p=5，正規分布，独立)

(例4.10) 例4.5と同じ乱数5項目(p=5)，x1～N(1,12)，x2～N(1,12),x3～N(1.5,12)，x4～N(2,12),x5～N(2,12)独立

図4.9 (dEi2,Di

#2)の散布図(p=5，一様分布，独立)

48/84

49

1,22 kba ll

図4.10 (dEi2,Di

#2)の散布図(p=5，正規分布，独立)

図4.9 (dEi2,Di

#2)の散布図(p=5，一様分布，独立)

])1(2)1()[2/1( 22

#1121

#12

21

#22

2#iiiii YVYYVYVD

})1(1)1(2)1{(21 #

1122

#1221

#22

21

2# VpYVpYYVYDC iiiii

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

d E2

DC

#2

図4.11 (dEi2,DCi

#2)の散布図(p=5，一様分布，独立)

図4.12 (dEi2,DCi

#2)の散布図(p=5，正規分布，独立)

さらなる改良

49/84

50

・ＲＴ法の距離は，単位空間の中心位置で大きめの値を取ってしまい，中心から少し離れたところでゼロになるという望ましくない性質がある．

＝要点＝

・ＲＴ法を適用する際には，各変数の単位が同じか各変数が無次元数でなければならない．

・距離DC #2はRT法の望ましくない性質を改良する．

50/84

51

RT法：すべての項目の単位が同じ，または，無次元数

4.6 RT法で用いるマハラノビスの距離の改良2（大久保・永田(2012)）

No. x1 x2 … xp L ST Ve Y1 Y2 D2

1 x11 x12 … x1p

2 x21 x22 … x2p・

・

・

・

・

・

・

・

・… ・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

n xn1 xn2 … xnk

平均

表4.1 初期データの形式と統計量

p

jjmr

1

2ppj

p

jj xmxmxmxmL 11221111

11 ...

rLY /1111 m1 m2 … mpm1 m2 … mp

x11 x12 … x1p L1 ST1 Ve1 Y11 Y21

L2 ST2 Ve2 Y21 Y22

Ln STn Ven Yn1 Yn2

通常の標準化⇒RT法では機能しない（r=0となるから）

51/84

52

・RT-PC法：Y1:相関係数行列に基づく第１主成分Y2：残差の標準偏差

・RT-SD法：項目ごとにその標準偏差で割って無次元化

・RT-M法：項目ごとにその平均で割って無次元化

・RT-PC+法：Y1:相関係数行列に基づく第１主成分Y2：第２主成分・・・Yq：残差の標準偏差 52/84

53

★34項目（単位が異なる）のベンチマークデータで検討

・単位空間のサンプルサイズが十分大きい：MT＞RT-PC+＞RT-PC≒RT-SD≫RT-M≫RT

A＞B⇔A法のほうがB法より精度がよい

・単位空間のサンプルサイズが十分大きくない：RT-PC+＞RT-PC≒RT-SD≫MT≫RT-M≫RT

・RT-SD：ベクトルの方向によって検出力に違い・RT-PC：ベクトルの方向によって検出力に違いはない

★数理的検討＋シミュレーション

53/84

５．T法

・サンプル数が項目数よりも少ない場合でも実行可能

・多重共線性の問題がない

・計算が簡便である

MT法 MTA法 その他

T法 RT法

MTシステム

54/84

5.1 Ｔ法の概略 （田口(2005b)）

表5.1 全メンバーのデータ

表5.2 単位空間のデータ

表5.3 信号メンバーのデータ

中位

残り

a

No. 項目1…項目p 出力値

1

N

No. 項目1…項目p 出力値

1

a

No. 項目1…項目p 出力値

1

l項目＝説明変数

出力値＝目的変数 55/84

　)(121 ajjjj xxx

ax

)(1210 ayyy

aMy

信号データの規準化

　jijij xxX

iM

表5.4 規準化された信号データ

表5.2 単位空間のデータ

表5.3 信号メンバーのデータ

No. 項目1…項目p 出力値

1

a

No. 項目1…項目p 出力値

1

l

ijx iyNo. 項目1…項目p 出力値

1

l

ijX

　yyM ii

56/84

表5.4 規準化された信号データ

rXMXMXM ll 1212111

1

)(0

)()(1

11

111

11

1

の場合　　　　　　　　

の場合　

e

ee

e

VS

VSV

VSr

222

21 lMMMr

図5.1 イメージ

M

1XMX 11

llpll

p

p

MXXXl

MXXXMXXXMp

21

222221

111211

21

21 項目項目項目メンバー

まず，項目１ vs Ｍ

1XM 57/84

表5.4 規準化された信号データ

MX 11 項目１ vs Ｍ 11

11

ˆ

ii

XM

MX 22 項目2 vs Ｍ 22

22

ˆ

ii

XM

を予測番目の iMi

MX pp 項目p vs Ｍ pp

ipip

XM

ˆ

統合

予測値を

の個の iMp

M 2X

pX

1X

llpll

iipii

p

p

MXXXl

MXXXi

MXXXMXXXMp

21

21

222221

111211

21

21 項目項目項目メンバー

58/84

　p

ippiii

MMMM

21

2211ˆˆˆ

ˆ

llM MMMMMML ˆˆˆ2211

222

21

ˆˆˆlTM MMMS

rLS M

M

2

MTMeM SSS

1

lSV eM

eM

　eM

eMM

M V

VSr

)(1

log10 10

の統合推定値：iM

表5.4 規準化された信号データ

llpll

iipii

p

p

MXXXl

MXXXi

MXXXMXXXMp

21

21

222221

111211

21

21 項目項目項目メンバー

lM

M

M

M

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

1

　

M 2X

pX

1X

総合推定のＳＮ比

59/84

p

jjij

j

jp

j j

ii yxxyMy1

1

)(1ˆˆ

　p

ipkiii

MMMM

21

2211ˆˆˆ

ˆj

jij

j

ijij

xxXM

ˆ

線形予測式

eM

eMM

M V

VSr

)(1

log10 10

評価指標：

総合推定のＳＮ比

M 2X

pX

1X

じである．」質量を総合するのと同

はかりでいろいろなそれを総合している．

の推定を次式で行う．を求めて，

は比例式「１つひとつの項目で田口

xM

MMMMx

i

l

ˆ

,,,:

21

60/84

M 2X

pX

1X

2

2222222

2111111

)(,0)(

)(,0)()(,0)(

pppppp VEMX

VEMXVEMX

p

jjij

j

jp

j j

ii yxxyMy1

1

)(1ˆˆ

線形予測式

重回帰モデル背後のモデルが異なる

iippiii xxxy 22110

M 2X

pX

1X

yxx

xxxyp

jjijj

ippiii

1

22110

)(ˆ

ˆˆˆˆˆ

線形予測式

iM̂ 61/84

Ｔ法

l

iii

l

iii

l

iii MMyMyMyyRSS

1

2

1

2

1

2 ˆ)ˆ()(ˆ

T法 ｖｓ 重回帰分析 よくある解釈に対して

１．評価指標が違う!?

T法は総合SN比，重回帰分析は残差平方和・寄与率など

残差平方和(residual sum of squares)

重回帰分析では残差平方和を最小にする．

T法では，総合SN比を評価尺度：

eM

eMM

M V

VSr

)(1

log10 10

rRSSl

rVV

VSr

eMeM

eMM 1111)(1

総合SN比とRSSは

数学的に同値

62/84

とする．（例）項目数が３ 21, cxx

２．T法では重要な項目をすべて予測式に取り入れられる!?

→ 総合推定値：

すべての変数を取り込めているようには見えるものの，相関の強い変数を過大評価

2121ˆˆ, ii MM

31

3311

321

332211

2

ˆˆ2ˆˆˆˆ

iiiii

i

MMMMMM 　

T法 ｖｓ 重回帰分析 よくある解釈に対して

63/84

３．項目間の相関が強いとT法の結果の信憑性は低い!?

T法を想定したモデル

上記モデルでは項目間に強い相関が必然的に生じる．

M 2X

pX

1X

2

2222222

2111111

)(,0)(

)(,0)()(,0)(

pppppp VEMX

VEMXVEMX

後のシミュレーションでわかるように，このモデルの下で，T法の性能はそこそこよい．

T法 ｖｓ 重回帰分析 よくある解釈に対して

64/84

単位空間について

・単位空間は，その平均を計算して規準化するためだけ

・全データを単位空間と信号データに分ける合理的方法は？

・多くのデータを単位空間とすると，信号データ数が減る．

・そこで，単位空間のデータ数は１でもよいとされている．

⇒ 出力値ｙが中位にあるデータを単位空間とする．

⇒ これでよいか？

65/84

No. x1 x2 y

12345

25489

35486

13567

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 2 4 6 8 101x

2x

yy

No. X1 X2 M

1245

-2145

-1142

-4-212

規準化

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -2 0 2 4 6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3 4 500

0 0

原点を外している ⇒ ＳＮ比は上がらない

1X 2X

M M

66/84

Ｔ法における規準化の目的：

各項目 vs 出力値 に対して原点比例式を当てはめ

少ない個数の単位空間の平均により規準化すると原点を外す項目が出てくる．

項目数が増えると，上記の項目の個数が増加

適切な規準化をすれば，原点を通り，ＳＮ比が大きくなる項目であるのに，不適切な規準化を行うとＳＮ比が小さくなる．

しかし，

67/84

Ｔ法の改良手法の提案：Ta法とTb法

Ｔ法a：すべてのデータの平均を用いて規準化

品質工学便覧：

「全データの平均値そのものを単位空間とすれば，単回帰分析をＳＮ比で重み付けた結果と同じになり，ＭＴシステムの特徴である単位空間を使った信号付けの特徴付けが活かせない．」

私たちの見解は上記とは異なる．

68/84

No. x1 x2 y

12345

25489

35486

13567

平均 5.6 5.2 4.4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 2 4 6 8 101x

2x

yy

Ta法による規準化

0 0

原点を通る ⇒ ＳＮ比は上がる

No. X1 X2 M

12345

-3.6-0.6-1.62.43.4

-2.2-0.2-1.22.80.8

-3.4-1.40.61.62.6

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -2 0 2 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3 400 1X 2X

M M

69/84

No. x1 x2 y

12345

25489

35486

13567

Ｔ法b：各項目で，ＳＮ比が最大になるメンバーを用いて規準化

項目x1について

①No.1のメンバーで，x1 と y を規準化し，ゼロ点比例式を当てはめ，ＳＮ比を計算．

②No.2のメンバーで，x1 と y を規準化し，ゼロ点比例式を当てはめ，ＳＮ比を計算．

…⑤No.5のメンバーで，x1 と y を規準化し，ゼロ点比例式を当てはめ，ＳＮ比を計算．

Step1.

Step2 Step1で最大のSN比が得られたメンバーで規準化してMを推定

項目x2について

No. x1 x2 y

12345

25489

35486

13567

同様のステップ 70/84

p

jjij

aj

ajp

j ajii yxxyMy

11

)(1ˆˆ

p

jjij

j

jp

j jii yxxyMy

11

)(1ˆˆ

p

jt

jj

jtij

jjp

j jj

iij

j yt

xxt

tMy

1*

*

1*

*

*

)()(

)(1ˆˆ

Ｔ法の予測式：

Ｔa法の予測式：

Ｔb法の予測式：

比により規準化した時ので，メンバー項目

比例定数により規準化した時ので，メンバー項目

SN:)(

:)(**

**

jjj

jjj

tjt

tjt

71/84

Ｔ法，Ta法，Tb法，重回帰分析の性能比較

評価指標：

lRSSEERSS

l

iii yyRSS

1

2ˆ

2)ˆ( yyEPE

(1)残差平方和の平均の期待値

信号データの個数:l

(2)予測平方の期待値

新しいデータの予測誤差・・・こちらが重要な指標

残差平方和

72/84

シミュレーションによる検討

シミュレーションモデル：

(A)線形重回帰モデル

),(

),...,2,1;,...,2,1(),0(~,)1,0(~

21

22

2211

ii

iij

iippiii

xxCor

pjNiNNx

xbxbxby

　

　　

(B)Ｔ法の背後に想定されるモデル

),...,2,1;,...,2,1(),0(~,)1,1(~

),...,2,1;,...,2,1(22 pjNiNNy

pjNiyax

jiji

iijij

　

　　

),1,1,1,1,1(),,,( 521 ),5.1,5.1,1,5.0,5.0(),5.0,5.0,1,5.1,5.1( ),5.01,1,1,1,5.01(

)5.01,1,1,1,5.01(

M 2X

pX

1X

73/84

)20,5(),( Np )2,2,2,2,2(),,,( 521 bbb

0 )0.5,0.3,0.1()3,2,1(

図5.1 モデル(Ａ)でのERSS（残差平方和の期待値）

，

，

重回帰

Ｔ

Ｔa

Ｔb

0

20

40

60

80

100

120

140

σ1 σ3 σ5

ERSS

T法 Ta法 Tb法 重回帰分析

良い

重回帰

Ｔ

Ｔa

Ｔb

　　：モデル（ iippiii xbxbxby 2211A)

74/84

)20,5(),( Np )3,3,2,1,1(),,,( 521 aaa 母分散のパターン:)5(),4(),3(),2(),1(

図5.2 モデル(B)でのERSS （残差平方和の期待値）

，

，0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

σ(1) σ(2) σ(3) σ(4) σ(5)

ERSS

T法 Ta法 Tb法 重回帰分析

良い

重回帰

Ｔ

Ｔa

Ｔb

　：モデル（ iijij yax B)

M 2X

pX

1X

75/84

0

20

40

60

80

100

120

140

160

σ1 σ3 σ5

PE

T法 Ta法 Tb法 重回帰分析

)20,5(),( Np )2,2,2,2,2(),,,( 521 bbb 0 )0.5,0.3,0.1()3,2,1(

図5.3 モデル(Ａ)でのPE（予測誤差の期待値）

，

，良い

重回帰

Ｔ

Ｔa

Ｔb

　　：モデル（ iippiii xbxbxby 2211A)

76/84

)10,5(),( Np )2,2,2,2,2(),,,( 521 bbb 0 )0.5,0.3,0.1()3,2,1(

図5.4 モデル(Ａ)でのPE （予測誤差の期待値）

，

，0

20

40

60

80

100

120

140

160

σ1 σ3 σ5

PE

T法 Ta法 Tb法 重回帰分析

重回帰

Ｔ

Ｔa

Ｔb

良い

　　：モデル（ iippiii xbxbxby 2211A)

77/84

)7,5(),( Np )2,2,2,2,2(),,,( 521 bbb 0 )0.5,0.3,0.1()3,2,1(

図5.5 モデル(Ａ)でのPE （予測誤差の期待値）

，

，0

100

200

300

400

500

600

700

800

σ1 σ3 σ5

PE

T法 Ta法 Tb法 重回帰分析

重回帰

Ｔ ＴaＴb

良い

　　：モデル（ iippiii xbxbxby 2211A)

78/84

)20,5(),( Np )3,3,2,1,1(),,,( 521 aaa

母分散のパターン:)5(),4(),3(),2(),1(

図5.6 モデル(B)でのPE （予測誤差の期待値）

，

，0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

σ(1) σ(2) σ(3) σ(4) σ(5)

PE

T法 Ta法 Tb法 重回帰分析

重回帰

Ｔ

ＴaＴb

良い

が大きい項目がある

)5,...,2,1(22

2

ja

a

jj

j

　：モデル（ iijij yax B)

79/84

・サンプルサイズが項目数より十分大きいなら重回帰分析がよい

まとめ

・Ta法やTb法は，T法よりも性能がよい．

・サンプルサイズが項目数の２倍程度より小さい場合にはTa法またはTb法を用いるとよい

・多くの場合にTa法とTb法は同程度の性能を示しており，モデルやパラメータの条件によりその優劣が変化

・Ta法とTb法の優劣の入れ替わりが何に起因しているのかは今度の課題としたい．

・実務的には，計算の手間とわかりやすさを考えるとTa法を適用するのがよいであろう

80/84

☆項目と出力がどのような関係にあるのかに着目すべき M 2X

pX

1X

M 2X

pX

1X

81

・MTシステムは非常に簡便．

簡便性がタグチメソッドの一つの特徴．

簡便だから，多くの技術者が応用し，MTシステムが普及．

６．おわりに

・田口博士は，ロバストパラメータ設計に関して，永年，新しいアイディアを提案され続け，応用事例を参考にして，手法を洗練化．

本質的な部分を残し，応用が楽になるよう計算を簡便化する方針．

・MTシステムについても，本質的な部分を残しながら簡便化する方針（田口(2012)）．田口(2012)は2005年10月の田口博士の講演録．

田口博士は，この講演の3か月後に病に倒れられた． 81/84

82

本稿で指摘した各手法の問題点は，田口博士がお元気であれば指摘されただろう．

田口博士なら，これらをどう克服・改良されたかと思いを馳せている．

田口博士がおられないいま，統計科学の側面からMTシステムの本質や発展性を見極めたい．

MTシステムの研究を通じて，タグチメソッドとSQCがもっと融合できればよいと考えている（永田（2007)）．

82/84

最後に，

MTシステムを開発された田口玄一博士に敬意を表し，心からご冥福をお祈りします．

参考文献

• 稲生淳紀・永田靖・堀田慶介・森有紗(2012)：タグチのT法およびその改良手法と重回帰分析の性能比較．品質 42, 265-277.

• 大久保豪人・永田靖(2012)：タグチのRT法における同一次元でない連続量データへの適用方法．品質 42，248-264.

• 田口玄一(2002)：20世紀のＭＴＳ法と21世紀のＭＴ法．標準化と品質管理 55，61-70.• 田口玄一・兼高達貳(編)(2002)：ＭＴシステムにおける技術開発．日本規格協会．

• 田口玄一 (2005a)：目的機能と基本機能(5)．品質工学13,[2],6-10.• 田口玄一 (2005b)：目的機能と基本機能(6)．品質工学 13,[3]，5-10.• 田口玄一(2006a)：目的機能と基本機能(11)．品質工学 14, [2], 5-9.• 田口玄一(2006b)：目的機能と基本機能(12)．品質工学 14, [3], 5-9.• 田口玄一(2012)：21世紀のMTシステム，MTA法とTS法とT法，－田口玄一MTシステ

ム講演録－，品質工学 20, [3], 19--26.• 立林和夫・長谷川良子・手島昌一(2008)：入門MTシステム．日科技連出版社．

• 永田靖(2007)：タグチメソッドとSQCの“友好的”推進, クオリティマネジメント 58, 8月号, 10-17.

• 永田靖・久冨剛(2008)：項目数が$n－1$以上の場合のMTシステムの第１種の距離．品質 38，142-146.

• 永田靖(2009)：統計的品質管理．朝倉書店．8383/84

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