MMODELOODELO DEDE R REGRESSÃOEGRESSÃO L LINEARINEAR S SIMPLESIMPLES

Exemplo

Seja o investimento em publicidade e o lucro para uma certa empresa no ano . Tem-se a tabela seguinte em que os valores de e estão em dezenas de milhares de euros:

Ano1995 50 5001996 40 4001997 80 7501998 100 9001999 120 1 3002000 90 8002001 150 1 5502002 140 1 6002003 120 1 2502004 160 1 750

Admitindo que o investimento em publicidade explica o lucro, em cada ano, e usando MRLS:

a) Estime os parâmetros do modelo, interpretando os seus valores;b) Calcule o coeficiente de correlação linear e interprete-o;c) Calcule o coeficiente de determinação e interprete o seu valor;d) Teste a hipótese contra a hipótese , com um nível de

significância de 5%; e) Aplique o teste , com um nível de significância de 5%;f) Admitindo que em 2005 se vão investir 1 800 000 euros em

publicidade preveja o valor médio do lucro obtido pontualmente;g) Nas mesmas condições de f) construa um intervalo de confiança para

o lucro médio de 2005 a 95%;h) O mesmo que em g) mas, agora, para o verdadeiro valor do lucro.

1

MMODELOODELO DEDE R REGRESSÃOEGRESSÃO L LINEARINEAR S SIMPLESIMPLES

Resolução

a)

50 500 -55 -580 3 025 31 900 336 40040 400 -65 -680 4 225 44 200 462 40080 750 -25 -330 625 8 250 108 900

100 900 -5 -180 25 900 32 400120 1 300 15 220 225 3 300 48 40090 800 -15 -280 225 4 200 78 400

150 1 550 45 470 2 025 21 150 220 900140 1 600 35 520 1 225 18 200 270 400120 1 250 15 170 225 2 550 28 900160 1 750 55 670 3 025 36 850 448 900

1 050 10 800 0 0 14 850 171 500 2 036 000

.

Portanto, um aumento de 10 000 euros no investimento em publicidade leva a um aumento médio no lucro de 115 500 euros.

.

Portanto, se não se investir em publicidade, num certo ano, espera-se um prejuízo de 1 327 500 euros. Assim, o modelo estimado é

.

50 500 444,75 3 052,562540 400 329,25 5 005,562580 750 791,25 1 701,5625

100 900 1 022,25 14 945,0625

2

120 1 300 1 253,25 2 185,562590 800 906,75 11 395,5625

150 1 550 1 599,75 2 475,0625140 1 600 1 484,25 13 398,0625120 1 250 1 253,25 10,625160 1 750 1 715,25 1 207,5625

55 377,1875

.

b) .

O coeficiente de correlação linear é positivo. Portanto se aumenta o investimento em publicidade aumenta o lucro.Como é muito próximo de 1, em módulo, indica uma boa correlação linear entre o investimento em publicidade e o lucro.

c) . A variação do investimento em publicidade explica 98% da variação do lucro. Portanto o investimento em publicidade é uma boa variável explicativa da variável lucro.

d)

2,5% 95% 2,5%

- 2,306 2,306 16,92

3

Em face da amostra dada e do nível de significância adoptado rejeita-se a hipótese .

e)

95% 5%

5,32 3,92

Em face da amostra dada e do nível de significância adoptado rejeita-se a hipótese da não linearidade.

f) . O lucro médio em 2005 será 19 462 500 euros.

g)

Para um investimento em publicidade, em 2005, de 1 800 000 euros, o lucro obtido estará em média entre 18 134 900 euros e 20 790 100 euros com uma confiança de 95%.

4

h)

Para um investimento em publicidade, em 2005, de 1 800 000 euros, o lucro obtido estará entre 17 136 300 euros e 21 795 600 euros com uma confiança de 95%.

5

MMODELOODELO DEDE R REGRESSÃOEGRESSÃO L LINEARINEAR M MÚLTIPLAÚLTIPLA

Exemplo

Sejam - vendas efectuadas durante um dado período de tempo, - anos de experiência como vendedor, - score no teste de inteligência.

a) Pretende-se estimar os parâmetros e do modelo a partir dos dados apresentados a seguir. Os

dados representam as vendas efectuadas por dez empregados de uma dada empresa, o número de anos de experiência de cada vendedor e o respectivo score no teste de inteligência. O problema da regressão consiste em determinar se o sucesso nas vendas pode ser medido em função das duas variáveis explicativas utilizadas;

Vendedor

Vendas (milhões de

euros)

Anos de experiênci

a como Vendedor

Score no teste de

inteligência

A 9 6 3B 6 5 2C 4 3 2D 3 1 1E 3 4 1F 5 3 3G 8 6 3H 2 2 1I 7 4 2J 4 2 2

b) Determine e interprete;c) Aplique o teste , com um nível de significância de 5%.d) Preveja, pontualmente, as vendas médias de um vendedor com 10

anos de experiência e 3 de score no teste de inteligência.

MMODELOODELO DEDE R REGRESSÃOEGRESSÃO L LINEARINEAR M MÚLTIPLAÚLTIPLA

6

Resolução

a)

Como ,

, pelo que

Ressalta da equação de regressão que os coeficientes associados às variáveis explicativas são ambos positivos. Isso significa que variações positivas nas variáveis explicativas produzem aumentos nas vendas médias.

7

Em média, um ano extra de experiência entre vendedores com o mesmo score de inteligência, aumenta o volume de vendas em 750 milhares de euros.

Em média, uma unidade a mais no score de inteligência, entre vendedores com os mesmos anos de experiência, aumenta o volume de vendas em 1 340 milhares de euros.

O valor negativo observado para a constante significa que, se o vendedor tivesse score de inteligência nulo e não tivesse experiência prévia como vendedor, o volume médio de vendas seria de -270 milhares de euros.

b) .

Vendedor

A 9 8,23 0,5929 15,21B 6 6,14 0,0196 0,81C 4 4,65 0,4225 1,21D 3 1,82 1,3924 4,41E 3 4,02 1,1236 4,41F 5 5,99 0,9801 0,01G 8 8,23 0,0529 8,41H 2 2,57 0,3249 9,61I 7 5,40 2,5600 3,61J 4 3,91 0,0081 1,21

51 7,477 48,9

Assim, a variação das variáveis independentes explica 85% da variação de variável independente.

c)

8

95% 5%

4,74 19,83

Em face da amostra dada e do nível de significância adoptado aceita-se a hipótese da linearidade.

d) . O valor previsto é de 11 250 milhares de euros.

AANÁLISENÁLISE DEDE S SÉRIESÉRIES T TEMPORAISEMPORAIS

Exemplo 1

Considere os seguintes valores, em milhões de euros relativos à venda de guarda-chuvas:

20021.º Trimestre 202.º Trimestre 103.º Trimestre 54.º Trimestre 18

20031.º Trimestre 252.º Trimestre 93.º Trimestre 2

9

4.º Trimestre 302004

1.º Trimestre 302.º Trimestre 203.º Trimestre 84.º Trimestre 32

a) Ajuste uma tendência usando o método de regressão linear simples;b) Determine os índices sazonais (modelo multiplicativo);c) Faça uma previsão de vendas para o terceiro trimestre de 2005.

AANÁLISENÁLISE DEDE S SÉRIESÉRIES T TEMPORAISEMPORAIS

Resolução (Exemplo 1)

a)

20 -11 -220 12110 -9 -90 815 -7 -35 49

18 -5 -90 2525 -3 -75 99 -1 -9 12 1 2 1

30 3 90 930 5 150 25

10

20 7 140 498 9 72 81

32 11 352 121209 0 287 572

A recta de tendência é .

b)

20 11,92 167,78510 12,92 77,3995 13,92 35,920

18 14,92 120,64325 15,92 157,0359 16,92 53,1912 17,92 11,161

30 18,92 158,56230 19,92 150,60220 20,92 96,6028 21,92 36,496

32 22,92 139,616

Trim.Ano 1 2 3 4

2002 167,785 77,399 35,920 120,6432003 157,035 53,191 11,161 158,5622004 150,602 96,602 36,496 139,616

475,422 227,192 83,577 418,821158,474 75,731 27,859 139,607 401,671

corrigidos 157,815 75,416 27,743 139,026 400

Factor de correcção .

Os índices são: , , e .

c) 11

E a previsão é (7 190 milhares de euros).

AANÁLISENÁLISE DEDE S SÉRIESÉRIES T TEMPORAISEMPORAIS

Exemplo 2

Considere os seguintes valores, em milhões de euros relativos à venda de guarda-chuvas:

20021.º Quadrimestre 202.º Quadrimestre 53.º Quadrimestre 15

20031.º Quadrimestre 252.º Quadrimestre 53.º Quadrimestre 30

20041.º Quadrimestre 302.º Quadrimestre 10

12

3.º Quadrimestre 35

a) Ajuste uma tendência usando o método de regressão linear simples;b) Determine os índices sazonais (modelo multiplicativo);c) Faça uma previsão de vendas para o terceiro quadrimestre de 2005.

AANÁLISENÁLISE DEDE S SÉRIESÉRIES T TEMPORAISEMPORAIS

Resolução (Exemplo 2)

a)

20 -4 -80 165 -3 -15 9

15 -2 -30 425 -1 -25 15 0 0 0

30 1 30 130 2 60 410 3 30 935 4 140 16

175 0 110 6013

A recta de tendência é .

b)

20 12,12 165,0175 13,95 35,842

15 15,78 95,05725 17,61 141,9655 19,44 25,720

30 21,27 141,04430 23,10 129,31010 24,93 40,11235 26,76 130,792

Quad.Ano 1 2 3

2002 165,017 35,842 95,0572003 141,965 25,720 141,0442004 129,310 40,112 130,792

436,292 101,674 366,893145,431 33,891 122,298 301,62

corrigidos 144,650 33,709 121,641 300

Factor de correcção .

Os índices são: , e .

c)

14

E a previsão é (39 230 milhares de euros).

15