Otto-von-Guericke-Universitat Magdeburg¨ · Identischer Preis fur¨ beide Markte¨ Markt 1 Markt 2...
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UnternehmensinteraktionAbdolkarim SadriehOtto-von-Guericke-Universitat Magdeburg
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 1
Monopol
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 2
Annahmen
• Ein Produzent (Monopolist)• Preis p, Menge q• Erlosfunktion: Erlos = Preis × Menge (≡ R(q,p))
• Kostenfunktion: K (q,p)
• Gewinnfunktion: π(q,p) = R(q,p)−K (q,p)
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 3
MonopolEin-Markt-Fall
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 4
Annahmen
• Ein Absatzmarkt• Beziehung zwischen Menge und Preis
• Nachfragefunktion: q(p) = α−βp• Preisabsatzfunktion: p(q) = α/β −q/β ≡ a−bq• Parameterkonstellation:
α = a/b, β = 1/b, a = α/β , b = 1/β
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 5
PreisabsatzfunktionMaximaler Preis a
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 6
PreisabsatzfunktionSteigungsparameter b
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 7
Annahmen
Zielsetzung: Maximierung des Gewinns
• Preiswahl• Mengenwahl
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 8
Kosten
• Annahme: Lineare KostenK (q) = kq → K (p) = k(α−βp)
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 9
Preiswahl
• Gewinnfunktion:
maxp
π(p) = p(α−βp)︸ ︷︷ ︸Erlos
−k(α−βp)︸ ︷︷ ︸Kosten
• Notwendige Bedingung:
0 = α−2βp + βk
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 10
Preiswahl
• Ergebnis: Preis, Menge, Gewinn
p =α + βk
2β
q =α−βk
2
π =(α−βk)2
4β
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 11
Mengenwahl
Annahme: K (q) = kq• Gewinnfunktion:
maxq
π(q) = (a−bq)q︸ ︷︷ ︸Erlos
− kq︸︷︷︸Kosten
• Notwendige Bedingung:
0 = a−2bq−k
a−2bq︸ ︷︷ ︸Grenzerlos
= k︸︷︷︸Grenzkosten
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 12
Mengenwahl
• Ergebnis: Menge, Preis, Gewinn
q =a−k2b
p =a + k
2
π =(a−k)2
4b
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 13
Grafische Analysep(q) = a-bqGrenzerlöse PStückkosten ka
a/ba/2b
popt. Preis-Mengen-Kombination
GE = GKq
p
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 14
Wichtiger Hinweis!
Bei der Optimierung einer Gewinnfunktion gilt ”Grenzerlos= Grenzkosten”! Aber:
• Mengenwahl:
a−2bq︸ ︷︷ ︸Grenzerlos
= k︸︷︷︸Grenzkosten
• Gilt nicht fur die Preiswahl:
α−2βp = βk
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 15
Kosten
• Annahme: Quadratische KostenK (q) = kq2 → K (p) = k(α−βp)2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 16
Quadratische Kosten
Preiswahl• Gewinnfunktion:
maxp
π(p) = p(α−βp)−k(α−βp)2
• Notwendige Bedingung:
0 = α−2βp + 2βk(α−βp)
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 17
Quadratische Kosten
• Ergebnis: Preis, Menge, Gewinn
p =α(1 + 2βk)
2β (1 + βk)
q =α
2(1 + βk)
π =α2
4β (1 + βk)
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 18
Quadratische Kosten
Mengenwahl• Gewinnfunktion:
maxq
π(q) = (a−bq)q−kq2
• Notwendige Bedingung:
dπ(q)
dq= 0 = a−2bq−2kq
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 19
Quadratische Kosten
• Ergebnis: Menge, Preis, Gewinn
q =a
2(b + k)
p =a(b + 2k)
2(b + k)
π =a2
4(b + k)
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 20
MonopolZwei-Markte-Fall
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 21
Annahmen
• Zwei Absatzmarkte (i = 1,2)• Beziehung zwischen Menge und Preis
• Preisabsatzfunktion: pi(qi) = ai −biqi• Annahme: a1 > a2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 22
Annahmen
Zielsetzung: Maximierung des Gewinns
• Identischer Preis fur beide Markte (IP)• Differenzierte Preise (DP)
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 23
Annahmen
• Erlosfunktion:IP R(q1) + R(q2) = pq1 + pq2
DP R(q1) + R(q2) = p1q1 + p2q2
• Kostenfunktion (keine Fixkosten): K (q1 +q2) = kq1 +kq2
• Gewinnfunktion: π = R(q1) + R(q2)−K (q1 + q2)
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 24
Identischer Preis fur beide Markte
Aggregation der Preisabsatzfunktionen (PAF)• Aggregierte PAF P(q1,q2)• Zusammengesetzt aus zwei Intervallen
Intervall I Es fragen nur Konsumenten aus Markt 1, d.h. mit einerZahlungsbereitschaft zwischen a1 und a2, nach.
Intervall II Es fragen Konsumenten aus beiden Markten, d.h.auch mit einer Zahlungsbereitschaft kleiner als a2,nach.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 25
Identischer Preis fur beide Markte
Markt 1 Markt 2
400500600700800900
1000
Prei
s
Markt 1
PAF1400500600700800900
1000
Prei
s
Markt 2
PAF2
0100200300400500600700800900
1000
0 1000 2000 3000 4000
Prei
s
Markt 1
PAF1
GK
GE1
0100200300400500600700800900
1000
0 1000 2000 3000 4000
Prei
s
Markt 2
PAF2
GK
GE2
0100200300400500600700800900
1000
0 1000 2000 3000 4000
Prei
s
Menge
Markt 1
PAF1
GK
GE1
0100200300400500600700800900
1000
0 1000 2000 3000 4000
Prei
s
Menge
Markt 2
PAF2
GK
GE2
Aggregierter Markt
0100200300400500600700800900
1000
0 1000 2000 3000 4000
Prei
s
Menge
Markt 1
PAF1
GK
GE1
0100200300400500600700800900
1000
0 1000 2000 3000 4000
Prei
s
Menge
Markt 2
PAF2
GK
GE2
800
900
1000
Aggregierter Markt
Interval I Interval II
0100200300400500600700800900
1000
0 1000 2000 3000 4000
Prei
s
Menge
Markt 1
PAF1
GK
GE1
0100200300400500600700800900
1000
0 1000 2000 3000 4000
Prei
s
Menge
Markt 2
PAF2
GK
GE2
500
600
700
800
900
1000
Prei
s
Aggregierter Markt
PAF_I
PAF_II
Interval I Interval II
0100200300400500600700800900
1000
0 1000 2000 3000 4000
Prei
s
Menge
Markt 1
PAF1
GK
GE1
0100200300400500600700800900
1000
0 1000 2000 3000 4000
Prei
s
Menge
Markt 2
PAF2
GK
GE2
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Prei
s
Aggregierter Markt
PAF_I
PAF_II
GK
GE_I
GE_II
Interval I Interval II
0100200300400500600700800900
1000
0 1000 2000 3000 4000
Prei
s
Menge
Markt 1
PAF1
GK
GE1
0100200300400500600700800900
1000
0 1000 2000 3000 4000
Prei
s
Menge
Markt 2
PAF2
GK
GE2
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
Prei
s
Menge
Aggregierter Markt
PAF_I
PAF_II
GK
GE_I
GE_II
Interval I Interval II
0100200300400500600700800900
1000
0 1000 2000 3000 4000
Prei
s
Menge
Markt 1
PAF1
GK
GE1
0100200300400500600700800900
1000
0 1000 2000 3000 4000
Prei
s
Menge
Markt 2
PAF2
GK
GE2
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
Prei
s
Menge
Aggregierter Markt
PAF_I
PAF_II
GK
GE_I
GE_II
Interval I Interval II
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 26
Identischer Preis fur beide Markte
Intervall I: Nur ein Markt fragt nach• Die PAF fur dieses Intervall ist pI(q) = a1−b1q.• Es fragen nur Konsumenten nach die eine
Zahlungsbereitschaft uber a2 haben.• Im Intervall [0, q] werden nur Konsumenten aus Markt
1 berucksichtigt.
pI(q)≡ a2 = a1−b1q → q =a1
b1− a2
b1
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 27
Identischer Preis fur beide MarkteIntervall II: Beide Markte fragen nach• Es fragen ebenfalls Konsumenten aus Markt 2 nach.• Die gemeinsame Nachfragefunktion fur Intervall II
betragt QII = q1 + q2• Die einzelnen Nachfragefunktionen sind
pi(qi) = ai −biqi → qi(pi) =ai
bi− pi
bi
• Demnach ergibt sich die aggregierteNachfragefunktion fur Intervall II zu
QII(p) =a1
b1− p
b1+
a2
b2− p
b2
=a1b2 + a2b1
b1b2− b1 + b2
b1b2p.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 28
Identischer Preis fur beide Markte
Intervall II: Beide Markte fragen nach (Fortsetzung)• Die gemeinsame PAF ist demnach die Inverse von
QII(p)
pII(Q) =a1b2 + a2b1
b1 + b2− b1b2
b1 + b2Q.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 29
Identischer Preis fur beide Markte
Aggregierte Preisabsatzfunktion
p =
{a1−b1Q, Q ≤ qa1b2+a2b1
b1+b2− b1b2
b1+b2Q, Q > q
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 30
Identischer Preis fur beide Markte
Gewinnmaximierung fur Intervall I• Gewinnfunktion:
maxQI
π(QI) = (a1−b1QI)QI−kQI
• Notwendige Bedingung:
0 = a1−2b1QI−k
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 31
Identischer Preis fur beide Markte
• Ergebnis: Menge, Preis, Gewinn
QI =a1−k2b1
pI =a1 + k
2
πI =(a1−k)2
4b1
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 32
Identischer Preis fur beide Markte
Gewinnmaximierung fur Intervall II• Gewinnfunktion:
maxQII
π(QII) = (a1b2 + a2b1
b1 + b2− b1b2
b1 + b2QII)QII−kQII
≡ (A−BQII)QII−kQII
• Notwendige Bedingung:
0 = A−2BQII−k
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 33
Identischer Preis fur beide Markte
• Ergebnis: Menge, Preis, Gewinn
QII =A−k
2B,
pII =A + k
2,
πII =(A−k)2
4B
• Wobei gilt:
A =a1b2 + a2b1
b1 + b2und B =
b1b2
b1 + b2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 34
Identischer Preis fur beide Markte
• bzw. Menge, Preis, Gewinn
QII =a1b2 + a2b1− (b1 + b2)k
2b1b2
pII =a1b2 + a2b1 + (b1 + b2)k
2(b1 + b2)
πII =(b1 + b2)(a1b2 + a2b1− (b1 + b2)k)2
4b1b2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 35
Identischer Preis fur beide Markte
Entscheidung:• Fur πI > πII : wahle Preis pI und Menge qI .• Fur πI < πII : wahle Preis pII und Menge qII .
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 36
Differenzierte PreiseGewinnmaximierung• Gewinnfunktion:
maxq1,q2
π(q1,q2) = (a1−b1q1)q1 + (a2−b2q2)q2
−kq1−kq2
• Notwendige Bedingungen:
∂π(q1)
∂q1= 0 = a1−2b1q1−k
∂π(q2)
∂q2= 0 = a2−2b2q2−k
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 37
Differenzierte Preise
• Ergebnis: Mengen, Preise
q1 =a1−k2b1
, p1 =a1 + k
2
q2 =a2−k2b2
, p2 =a2 + k
2
• Ergebnis: Gewinn
πDP =(a1−k)2
4b1+
(a2−k)2
4b2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 38
Vergleich zwischen DP und IP
• Fur πI > πII ist sofort ersichtlich, dass auch πDP > πI gilt.D.h. der Gewinn aus zwei Markten ist hoher als derGewinn aus einem Markt alleine. Demnach werden indiesem Fall differenzierte Preise verwendet.
• Fur πI < πII ist zu prufen, ob πDP > πII gilt. Tatsachlich istdas der Fall.
⇒ Der Gewinn unter differenzierten Preisen ist mindestensso hoch wie der Gewinn mit einem gemeinsamen Preis.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 39
Duopol
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 40
Annahmen
• Zwei Firmen (i = 1,2)• Unterscheidung zwischen Produkten
• Homogene Guter• Heterogene Guter
• Unterscheidung der Entscheidungssituation• Simultane Entscheidung• Sequenzielle Entscheidung
• Unterscheidung der Entscheidungsvariable• Preiswahl• Mengenwahl
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 41
Simultane EntscheidungHomogene Guter
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 42
Annahmen
• Produkte sind nicht unterscheidbar• Konsumenten kaufen immer zum niedrigeren Preis• Firmen haben keine Kapazitatsbeschrankung• Keine Absprachen• Nachfragefunktion: Q(p) = α−β ∗p• Preisabsatzfunktion: p(q) = a−bQ mit Q = q1 + q2
• Kostenfunktion: Ki = kiqi
• Gewinnfunktion: πi = piqi −Ki
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 43
Homogene GuterMengenwahl (Cournot)
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 44
Mengenwahl• Maximierung des Gewinns
maxq1
π1(q1) = (a−b(q1 + q2))q1−k1q1
• Notwendige Bedingung:
0 = a−2bq1−bq2−k1.
• Aufgrund der Symmetrie ergeben sich dieReaktionsfunktionen
q1(q2) =a−k1
2b− q2
2
q2(q1) =a−k2
2b− q1
2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 45
Schnittpunkt der ReaktionsfunktionenAnnaherung ans Cournot Gleichgewicht
q1
q2
Reaktionsfunktion 2
Reaktionsfunktion 1
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 46
Mengenwahl• Gleichgewicht im Schnittpunkt der
Reaktionsfunktionen
q1(q2) =a−k1
2b− 1
2
(a−k2
2b− q1
2
),
• Aufgrund der Symmetrie ergeben sichGleichgewichtsmengen
q1 =a−2k1 + k2
3b; q2 =
a−2k2 + k1
3b,
• Gesamtmenge
Q =2a−k1−k2
3b,
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 47
Mengenwahl
• Gleichgewichtspreis
p =a + k1 + k2
3.
• Gleichgewichtsgewinn
π1 =(a−2k1 + k2)2
9b; π2 =
(a + k1−2k2)2
9b.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 48
Mengenwahl
Ergebnis im Cournot-Wettbewerb• Marktpreis und Gesamtmenge
pC =a + k1 + k2
3; QC =
2a−k1−k2
3b
• Firmen
qCi =
a−2ki + kj
3b; π
Ci =
(a−2ki + kj)2
9b;
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 49
Strategische Substitute
• Im Cournot Modell werden dieEntscheidungsvariablen (Mengen) als strategischeSubstitute bezeichnet.
• In dem Fall ist die beste Antwort auf eine Erhohungder Produktionsmenge des Konkurrenten eineMinderung der eigenen Produktion.
Siehe Pepall et al. (2005, 241-243).
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 50
Homogene GuterPreiswahl (Bertrand)
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 51
Preiswahl
Uberlegung• Konsumenten kaufen zum gunstigsten Preis• Der Stuckkostenfaktor liegt bei ki
• Die Nachfrage hangt vom Preis ab:
qi =
0, wenn pi >
α
βoder pi > pj ;
12(α−βpi), wenn pi = pj <
α
β;
α−βpi , wenn pi < pj und pi <α
β.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 52
PreiswahlGleichgewicht• Gegenseitiges unterbieten bis der Stuckkostenfaktor
erreicht ist• ki = kj = k
Bertrand Paradox: pi = pj = k . Ein Wettberwerb mitzwei Firmen fuhrt zum gleichen Ergebnis wie imvollkommenen Wettbewerb
• ki < kji unterbietet j knapp und bedient die gesamteNachfrage: p = kj − ε (ε → 0)
• ki > kji wird im Preis unterboten und kann aufgrund derStuckkosten nicht weiter im Preis reduzieren. Daherwird i nicht produzieren.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 53
PreiswahlErgebnis im Bertrand-Wettbewerb• Marktpreis und Gesamtmenge
pB = max{ki ,kj}; QB = α−β max{ki ,kj}
• Firmen
qBi =
0, wenn ki >
α
βoder ki > kj ;
12(α−βki), wenn ki = kj <
α
β;
α−βkj , wenn ki < kj und ki <α
β.
πBi =
{0, wenn ki >
α
βoder ki ≥ kj ;
(α−βkj)(kj −ki), wenn ki < kj und ki <α
β.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 54
Schnittpunkt der ReaktionsfunktionenAnnaherung ans Bertrand Gleichgewicht
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
p2(p1)
p1(p2)
k2
k1
Gleichgewicht
p2
p1
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 55
Strategische Komplemente
• Im Bertrand Modell werden dieEntscheidungsvariablen (Preise) als strategischeKomplemente bezeichnet.
• In dem Fall ist die beste Antwort auf eine Erhohungder Preises des Konkurrenten eine Erhohung deseigenen Preises.
Siehe Pepall et al. (2005, 241-243).
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 56
Heterogene Guter
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 57
Annahmen
• 2 Produkte sind Quasi-Substitute• Firmen haben keine Kapazitatsbeschrankung• Keine Absprachen• Nachfragefunktionen:
q1 = α−βp1 + γp2, q2 = α−βp2 + γp1
• Preisabsatzfunktionen:p1 = a−bq1−dq2, p2 = a−bq2−dq1
• Es gilt
α =a(b−d)
b2−d2 , β =b
b2−d2 , γ =d
b2−d2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 58
Annahmen
• Eigenpreiseffekt (b) vs. Kreuzpreiseffekt (d)• b2 > d2 und b > 0• Produkte sind perfekte Substitute fur b2 = d2.• Produkte sind unabhangig voneinander fur d2 = 0.
• Kostenfunktion: Ki = kiqi
• Gewinnfunktion: πi = piqi −Ki
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 59
Heterogene GuterMengenwahl
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 60
Mengenwahl• Maximierung des Gewinns
maxq1
π1(q1) = (a−bq1−dq2)q1−k1q1
• Notwendige Bedingung:
0 = a−2bq1−dq2−k1.
• Aufgrund der Symmetrie ergeben sich dieReaktionsfunktionen
q1(q2) =a−dq2−k1
2b
q2(q1) =a−dq1−k2
2b.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 61
Mengenwahl
• Gleichgewicht im Schnittpunkt derReaktionsfunktionen
q1(q2) =a−d
(a−dq1−k2
2b
)−k1
2b,
• Aufgrund der Symmetrie ergeben sichGleichgewichtsmengen
q1 =(2b−d)a−2bk1 + dk2
4b2−d2
q2 =(2b−d)a−2bk2 + dk1
4b2−d2 .
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 62
Mengenwahl• Gleichgewichtspreise
p1 =b(2b−d)a + (2b2−d2)k1 + bdk2
4b2−d2
p2 =b(2b−d)a + (2b2−d2)k2 + bdk1
4b2−d2 ,
• Gleichgewichtsgewinn
π1 = b(
(2b−d)a−2bk1 + dk2
4b2−d2
)2
π2 = b(
(2b−d)a−2bk2 + dk1
4b2−d2
)2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 63
Komparative Statik
• Fur k1 = k2 = 0 ergeben sich folgende Marktergebisse
qCi =
a2b + d
; pCi =
ab2b + d
; πCi =
a2b(2b + d)2
• Parametervariation• Ein hoheres a verschiebt die Nachfrage nach außen
und fuhrt zu hoheren Mengen, Preisen und Gewinnen.• Eine hohere Differenzierung (b2−d2 steigt) fuhrt zu
hoheren Mengen, Preisen und Gewinnen (extremsteDifferenzierung: 2 Monopole).
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 64
Heterogene GuterPreiswahl
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 65
Preiswahl• Maximierung des Gewinns
maxp1
π1(p1) = (p1−k1)(α−βp1 + γp2)
• Notwendige Bedingung:
0 = α−βp1 + γp2−βp1 + βk1
• Aufgrund der Symmetrie ergeben sich dieReaktionsfunktionen
p1(p2) =α + βk1
2β+
γ
2βp2
p2(p1) =α + βk2
2β+
γ
2βp1
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 66
Preiswahl
• Gleichgewicht im Schnittpunkt derReaktionsfunktionen
p1(p2) =α + βk1
2β+
γ
2β
(α + βk2
2β+
γ
2βp1
),
• Aufgrund der Symmetrie ergeben sichGleichgewichtspreise
p1 =α
2β − γ+
β (2βk1 + γk2)
4β 2− γ2
p2 =α
2β − γ+
β (2βk2 + γk1)
4β 2− γ2 .
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 67
Preiswahl• Gleichgewichtsmengen
q1 =αβ
2β − γ+ β
βγk2− (2β 2− γ2)k1
4β 2− γ2
q2 =αβ
2β − γ+ β
βγk1− (2β 2− γ2)k2
4β 2− γ2
• Gleichgewichtsgewinn
πB1 = β
(α
2β − γ+
βγk2− (2β 2− γ2)k1
4β 2− γ2
)2
πB2 = β
(α
2β − γ+
βγk1− (2β 2− γ2)k2
4β 2− γ2
)2
.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 68
Komparative Statik• Fur k1 = k2 = 0 ergeben sich folgende Marktergebisse 1
pB1 =
a(b−d)
2b−d; qB
1 =ab
(2b−d)(b + d)
πB1 =
a2b(b−d)
(2b−d)2(b + d)
• Parametervariation• Ein hoheres a verschiebt die Nachfrage nach außen
und fuhrt zu hoheren Mengen, Preisen und Gewinnen.• Eine hohere Differenzierung (b2−d2 steigt) fuhrt zu
hoheren Mengen, Preisen und Gewinnen (extremsteDifferenzierung: 2 Monopole).
1Zur Berechnung dieser Ergebnisse mussen die Annahmen von Folie58 berucksichtigt werden
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 69
Cournot vs. Bertrand
Preise• Preise in Cournot sind hoher als in Bertrand
pC−pB =ab
2b + d− a(b−d)
2b−d=
ad2
4b2−d2 > 0
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 70
Cournot vs. Bertrand
Mengen• Mengen in Cournot sind geringer als in Bertrand
qC−qB =a
2b + d− ab
(2b−d)(b + d)
=−ad2
(4b2−d2)(b + d)< 0
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 71
Cournot vs. Bertrand
Gewinne• Gewinne in Cournot sind hoher als in Bertrand
πC−π
B =a2b
(2b + d)2 −a2b(b−d)
(2b−d)2(b + d)
=2a2bd3
(4b2−d2)(b + d)> 0
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 72
Vergleich des Gesamtgewinns2
π
Monopol
Mengenwahl mit heterogenen Gütern
Preiswahl mit heterogenen Gütern
Vollkommener Wettbewerb/
Mengenwahl mit homogenen Gütern (Cournot)
Q
Vollkommener Wettbewerb/Bertrand mit homogenen Gütern und gleichen Kosten
Die Reihenfolge ist korrekt dargestellt der Abstand und die Lage der einzelnen Kombinationen kann variieren QKombinationen kann variieren.
2Die Reihenfolge zwischen”Preiswahl mit heterogenen Gutern“ und
”Mengenwahl mit homogenen
Gutern (Cournot)“ ist nicht eindeutig bestimmt. Es gibt Faktorkombinationen fur die”Preiswahl mit
heterogenen Gutern“ zu einem niedrigeren Gewinn fuhren kann als”Mengenwahl mit homogenen
Gutern“.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 73
Sequenzielle EntscheidungHomogene Guter
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 74
Annahmen (wie im simultanen Spiel)
• Produkte sind nicht unterscheidbar• Konsumenten kaufen immer fur den niedrigeren Preis• Firmen haben keine Kapazitatsbeschrankung• Keine Absprachen• Nachfragefunktion: Q(p) = α−β ∗p• Preisabsatzfunktion: p(q) = a−bQ mit Q = q1 + q2
• Kostenfunktion: Ki = kqi
• Gewinnfunktion: πi = piqi −Ki
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 75
Entscheidung
• Sequenzielle Entscheidung• Stufe 1: Firma 1 entscheidet• Stufe 2: Firma 2 entscheidet• Losung durch Ruckwartsinduktion
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 76
Homogene GuterMengenwahl (Stackelberg)
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 77
Mengenwahl
• Maximierung des Gewinns in Stufe 2 gegeben derEntscheidung aus Stufe 1
maxq2
π2(q2) = (a−b(q1 + q2))q2−k2q2
• Notwendige Bedingung:
0 = a−2bq2−bq1−k2.
• Reaktionsfunktion von Firma 2
q2(q1) =a−k2
2b− q1
2.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 78
Mengenwahl• Maximierung des Gewinns in Stufe 1 gegeben der
zukunftigen Entscheidung aus Stufe 2
maxq1
π1(q1) = (a−b(q1 +a−k2
2b− q1
2)q1−k1q1
• Notwendige Bedingung:
0 = a−2bq1−a−k2
2+ bq1−k1.
• Gleichgewichtsmenge fur Firma 1
q1 =a−2k1 + k2
2b.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 79
MengenwahlSubstitution in q2(q1) fuhrt zu den weiteren Ergebnissen• Mengen
q2 =a + 2k1−3k2
4b; Q =
3a−2k1−k2
4b
• Preise
p =a + 2k1 + k2
4
• Gewinne
πS1 =
(a−2k1 + k2)2
8b; π
S2 =
(a + 2k1−3k2)2
16b
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 80
Mengenwahl
• Im Gleichgewicht ist die Menge desStackelbergfuhrers (leader) großer als die Menge desStackelbergnachfolgers (follower).
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 81
Mengenwahl
Komparative Statik• Preise sind niederiger als a. Es gilt 3a > 2k1 + k2 (sonst
qi < 0). Ein steigendes a erhoht die Mengen, diePreise und die Gewinne.
• Ein steigendes b verringert die Mengen beikonstantem Preis. Demnach sinken die Gewinne.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 82
Vergleich zu simultanen Entscheidungen
k1 = k2 = 0• Preise (C=Cournot, S= Stackelberg)
pC−pS =a3− a
4=
a12
> 0
Niedrigere Preise in Stackelberg.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 83
Vergleich zu simultanen Entscheidungenk1 = k2 = 0• Mengen
QC−QS =2a3b− 3a
4b=−a12b
< 0
Hohere Gesamtmengen in Stackelberg.• Mengen
qC1 −qS
1 =a3b− a
2b=−a6b
qC2 −qS
2 =a3b− a
4b=
a12b
Menge des Fuhrers liegen uber der Cournot Mengeund Menge des Nachfolgers unter der CournotMenge.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 84
Vergleich zu simultanen Entscheidungen
k1 = k2 = 0• Gewinne
πC1 −π
S1 =
a2
9b− a2
8b=−a2
72b
πC2 −π
S2 =
a2
9b− a2
16b=
7a2
144b
Gewinn des Fuhrers liegt uber dem Cournot Gewinnund Gewinn des Nachfolgers unter dem CournotGewinn.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 85
Homogene GuterPreiswahl
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 86
Preiswahl
• Losung durch Ruckwartsinduktion.• Firma 2 unterschreitet Preis 1 geringfugig, solange
seine Stuckkosten Preis 1 unterschreiten.• Preis 1 unterschreitet die Stuckosten von Firma 2,
solange diese uber den Stuckkosten von Firma 1liegen
• Ergebnis wie im simultanen Bertrand.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 87
Heterogene Guter
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 88
Annahmen (wie im simultanen Spiel)
• 2 Produkte sind Quasi-Substitute• Firmen haben keine Kapazitatsbeschrankung• Keine Absprachen• Nachfragefunktionen:
q1 = α−βp1 + γp2, q2 = α−βp2 + γp1
• Preisabsatzfunktionen:p1 = a−bq1−dq2, p2 = a−bq2−dq1
• Es gilt
α =a(b−d)
b2−d2 , β =b
b2−d2 , γ =d
b2−d2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 89
Annahmen
• Eigenpreiseffekt (b) vs. Kreuzpreiseffekt (d)• b2 > d2 und b > 0• Produkte sind perfekte Substitute fur b2 = d2.• Produkte sind unabhangig voneinander fur d2 = 0.
• Kostenfunktion: Ki = kiqi
• Gewinnfunktion: πi = piqi −Ki
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 90
Heterogene GuterMengenwahlWird nicht betrachtet
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 91
Heterogene GuterPreiswahl
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 92
Preiswahl
• Vereinfachende Annahme: Kosten (Ki) sind gleich 0• Maximierung des Gewinns in Stufe 2 gegeben der
Entscheidung aus Stufe 1.• Reaktionsfunktion ergibt sich wie in der simultanen
Entscheidung.• Reaktionsfunktion von Firma 2
p2(p1) =1
2β(α + γp1).
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 93
Preiswahl• Maximierung des Gewinns in Stufe 1 gegeben der
zukunftigen Entscheidung aus Stufe 2
maxp1
π1(p1) = p1(α−βp1 +γ
2β(α + γp1))
• Notwendige Bedingung:
0 = p1(−β +γ2
2β) + (α−βp1 +
γ
2β(α + γp1))
• Gleichgewichtspreis fur Firma 1
p1 =α(2β + γ)
2(2β 2− γ2).
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 94
PreiswahlSubstitution in p2(p1) fuhrt zu den weiteren Ergebnissen• Preis fur Firma 2
p2 =α(4β 2− γ2 + 2βγ)
(4β (2β 2− γ2))
• Mengen
q1 =α(2β + γ)
4β; q2 =
α(4β 2− γ2 + 2βγ)
(4(2β 2− γ2))
• Gewinne
π1 =α2(2β + γ)2
8β (2β 2− γ2); π2 =
α2(4β 2− γ2 + 2βγ)2
16β (2β 2− γ2)2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 95
Anmerkungen
• Erhoht Firma 1 seinen Preis, erhoht Firma 2 ebenfallsseinen Preis.
• Demnach werden die Aktionen der Spieler alsstrategische Komplemente betrachtet.
• Firma 2 hat demnach einen geringeren Preis, einegroßere Menge und einen großeren Gewinn alsFirma 1.
• Die Situation fuhrt zu einem Second MoverAdvantage.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 96
Vergleich zu simultanen Entscheidungen
• Sequenzielle Entscheidungen fuhren zu hoherenPreisen fur beide Firmen.
• Sequenzielle Entscheidungen fuhren dazu, dass dieinsgesamt abgesetzte Menge sinkt.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 97
Preiswahlmodell mit KapazitatsbeschrankungenKreps und Scheinkman 1983
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 98
Annahmen
• 2 symmetrische Firmen (i = 1,2) bieten einhomogenes Gut an
• 2 Stufen:• Stufe 1: Unternehmen wahlen Kapazitaten (xi)• Stufe 2: Unternehmen wahlen Verkaufspreise (pi)
• Keine Kosten• Losung durch Ruckwartsinduktion
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 99
Annahmen
• Die Nachfrage von Unternehmen i ist abhangig vonden Preisen und den Kapazitaten:
qi =
min(xi ,Q(pi)) , wenn pi < pj
min(
xi ,Q(pi)
2 + max(
0, Q(pi)2 −xj
)), wenn pi = pj
min(xi ,max(0,Q(pi)−xj)
), wenn pi > pj
• Wobei folgende Nachfrage angenommen wird:
pi(Q) = a−bQ⇒Q(pi) =ab− pi
b.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 100
Stufe 2
• Unternehmen werden uber die vom Konkurrentengewahlte Kapazitat informiert.
• Ein Unternehmen kann maximal soviele Produkteverkaufen wie in Stufe 1 produziert wurden (qi ≤ xi).
• Unternehmen wahlen simultan ihre Preise.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 101
Stufe 2• Bei einem marktraumenden Preis p(X) entspricht die
Nachfrage der Gesamtkapazitat X = x1 + x2.
p(X) = a−b(xi + xj)
• Die beiden Anbieter werden sich solange in denPreisen unterbieten, bis p(X) erreicht ist.
• Bei einem hoheren Preis pi > p(X) haben Anbieterden Anreiz den Konkurrenten marginal zu unterbieten,um die gesamte Kapazitat absetzen konnen.
• Vergleiche Preiswettbewerb mit homogenen Guternohne Kapazitatsbeschrankungen
• Ein niedrigerer Preis lohnt sich nicht, da ein Anbieternicht mehr als xi Einheiten vertreiben kann.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 102
Stufe 1• Maximierung des Gewinns unter Berucksichtigung der
Ergebnisse aus Stufe 2:
maxxi
πi(xi) = (a−b(xi + xj))xi .
• Notwendige Bedingung:
0 = a−2bxi −bxj .
• Aufgrund der Symmetrie ergeben sich dieReaktionsfunktionen:
x1(x2) =a−bx2
2b,
x2(x1) =a−bx1
2b.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 103
Stufe 1• Gleichgewicht im Schnittpunkt der
Reaktionsfunktionen:
x1 = x2 =a3b
• Marktpreis und Gesamtmenge:
p =a3
; Q =2a3b
• Gewinn:
π1 = π2 =a2
9b
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 104
Ergebnis
• Durch Kapaziatsbeschrankungen ergibt sich in einemPreiswahlmodell das Cournotgleichgewicht.
• Im Vergleich zu einem Preiswahlmodell ohneKapazitatsbeschrankungen
• steigt der Preis,• sinkt die angebotene Menge,• steigen die Gewinne beider Anbieter.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 105
Supply Chains
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 106
Annahmen
• 2 Stufen• Ein homogenes Gut, ein Produzent• Stufe 1 (Produktion):
Ein Produkt wird produziert und an den/die Handlerzum Preis w verkauft.⇒ Der Produzent entscheidet uber denGroßhandelspreis w .
• Stufe 2 (Einzelhandler):Der/Die Handler bedienen die Nachfrage derKonsumenten zum Preis p.⇒ Der/Die Handler entscheiden uber die zubedienende Nachfragemenge q(w).
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 107
Annahmen
• Nachfragefunktion: p = a−bq• Produzent (M):
• Stuckkosten: c• Gewinn: πM = (w−c)q
• Handler (Ri)• Stucktransaktionskosten: k• Gewinn: πRi = (p−w−k)qi
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 108
Ubersicht
• Vertikale Separation - Ein Handler• Vertikale Separation - Zwei Handler• Vertikale Separation - Vollkommene Konkurrenz• Vertikale Integration• Verleich der Ergebnisse
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 109
Vertikale SeparationEin Handler(Carlton und Perloff 2000)
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 110
Annahmen
• Losung durch Ruckwartsinduktion• Stufe 2: Gewinnmaximierung des Handlers,
Mengenwahl• Stufe 1: Gewinnmaximierung des Produzenten,
Preiswahl
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 111
Stufe 2
• Maximierung der Gewinnfunktion:
maxq
πR = (a−bq− (w + k))q
• Notwendige Bedingung:
0 = a−2bq− (w + k)
• Reaktionsfunktion
q(w) =a− (w + k)
2b
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 112
Stufe 1Produzent antizipiert die Wahl des Handlers• Maximierung der Gewinnfunktion:
maxw
πM = (w−c)q(w) = (w−c)a− (w + k)
2b
• Notwendige Bedingung:
0 =a− (w + k)− (w−c)
2b
• Großhandelspreis im Gleichgewicht
w =a + (c−k)
2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 113
Gleichgewicht• Produktionsmenge
q =a− (c + k)
4b
• Marktpreis
p =3a + (c + k)
4• Gewinne
πR =(a− (c + k))2
16b
πM =(a− (c + k))2
8b
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 114
Grafische Analysep(q) = a-bqInverse Reaktionsfunktion w(Grenzerlöse PStückkosten ca
a/ba/2ba/4b
p
w
opt. Preis-Mengen-Kombination
GE = GK
p
qAbdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 115
Vertikale SeparationZwei Handler(Carlton und Perloff 2000)
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 116
Annahmen
• Losung durch Ruckwartsinduktion• Stufe 2:
• Gewinnmaximierung der Handler R1,R2• Mengenwahl q1,q2 (Cournot)• Gesamtmenge q = q1 + q2
• Stufe 1: Gewinnmaximierung des Produzenten,Preiswahl
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 117
Stufe 2
• Maximierung der Gewinnfunktion in Stufe 2 (AnalogR2)
maxq1
πR1 = (a−b(q1 + q2))q1− (w + k)q1
• Notwendige Bedingung
0 = a−2bq1−bq2− (w + k)
• Reaktionsfunktion (Analog R2)
q1 =a−bq2− (w + k)
2b
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 118
Stufe 2
• Schnittpunkt der Reaktionsfunktion ergibt Mengen derHandler
q1 =a− (w + k)
3b
q2 =a− (w + k)
3b
• und die Gesamtmenge
q(w) =2(a− (w + k))
3b
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 119
Stufe 1Produzent antizipiert die Wahl der Handler• Maximierung der Gewinnfunktion:
maxw
πM = (w−c)q(w) = (w−c)2(a− (w + k))
3b
• Notwendige Bedingung:
0 =2(a−2w−k + c)
3b
• Großhandelspreis im Gleichgewicht
w =a + (c−k)
2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 120
Gleichgewicht• Produktionsmenge
q =a− (c + k)
3b
qi =a− (c + k)
6b• Marktpreis
p =2a + (c + k)
3• Gewinne
πRi =(a− (c + k))2
36b
πM =(a− (c + k))2
6b
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 121
Vertikale SeparationVollkommene Konkurrenz
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 122
Annahmen
• Losung durch Ruckwartsinduktion• Stufe 2:
Vollkommene Konkurrenz, Preis = Grenzkosten• Stufe 1: Gewinnmaximierung des Produzenten,
Preiswahl
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 123
Stufe 2
• Preis = Grenzkosten• Grenzkosten w + k• p = w + k• q(w) = α−β (w + k)
• q(w) = ab −
1b ∗ (w + k)
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 124
Stufe 1Produzent antizipiert die Wahl der Handler• Maximierung der Gewinnfunktion:
maxw
πM = (w−c)q(w) = (w−c)(α−β (w + k))
• Notwendige Bedingung:
0 = α + β (c−k)−2βw
• Großhandelspreis im Gleichgewicht
w =α + β (c−k)
2β=
a + (c−k)
2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 125
Gleichgewicht• Produktionsmenge
q =12
(α−β (c + k))
• Marktpreis
p =α + β (c + k)
2β
• Gewinne
πRi = 0
πM =(α−β (c + k))2
4β
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 126
Vertikale IntegrationProduzent fusioniert mit den Handler/n
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 127
Annahmen
• Produzent wird Monopolist• Produzent auch = Handler• Stuckkosten: c + k• Standard-Monopolergebnis resultiert
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 128
Gleichgewicht
• Produktionsmenge
q =a− (c + k)
2b
• Marktpreis
p =a + (c + k)
2• Gewinn
maxw
πM =(a− (c + k))2
4b
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 129
Grafische Analysep(q) = a-bqGrenzerlöse PStückkosten ka
a/ba/2b
popt. Preis-Mengen-Kombination
GE = GKq
p
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 130
Vergleichder Supply Chains
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 131
Vergleich
• Vergleich der Ergebnisse• Vertikale Integration• Vertikale Separation - Vollkommene Konkurrenz• Vertikale Separation - Zwei Handler• Vertikale Separation - Ein Handler
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 132
Marktpreise
• Wettbewerb zwischen den Handlern mindert denMarktpreis.
pE =3a + (c + k)
4
>pZ =2a + (c + k)
3
>pK =a + (c + k)
2(= pV )
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 133
Großhandelspreis
• Der Produzent setzt immer den gleichen(Großhandels)Preis,unabhangig vom Wettbewerb der Handler.
wE = wZ = wK =a + (c−k)
2(= pV )
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 134
Mengen
• Wettbewerb zwischen den Handlern erhoht dieMenge.
qE =a− (c + k)
4b
<qZ =a− (c + k)
3b
<qK =a− (c + k)
2b(= qV )
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 135
Mengen
• Wettbewerb zwischen den Handlern mindert denGewinn jedes Handlers und die Summe der Gewinneuber alle Handler.
πER =
(a− (c + k))2
16b
>2πZRi
=(a− (c + k))2
18b>∑π
KRi
= 0
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 136
Mengen
• Wettbewerb zwischen den Handlern erhoht denGewinn des Produzenten.
πE =
(a− (c + k))2
8b
<πZ =
(a− (c + k))2
6b
<πK =
(a− (c + k))2
4b(= π
V )
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 137
Separation vs. Integration (Ein Handler)
a
a/ba/2ba/4b
p
wopt. Preis-Mengen-Kombination bei vertikaler Integration
opt. Preis-Mengen-Kombination bei vertikaler Seperation
a/ba/2ba/4b
opt. Preis-Mengen-Kombination bei vertikaler Integration
opt. Preis-Mengen-Kombination bei vertikaler Seperation
q
p
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 138
Vergleich des Gesamtgewinns
πVertikale Integration/Vertikale Separation mit vollkommener Konkurrenz unter den Händlern
Vertikale Separationzwei Einzelhändler
Vertikale Separationein Einzelhändler
QVollkommener Wettbewerb
Die Reihenfolge ist korrekt dargestellt der Abstand und die Lage der einzelnen Kombinationen kann variieren QKombinationen kann variieren.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 139
Strategische Lagerhaltung in Supply ChainsAnand, Anupindi und Bassok 2008
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 140
Annahmen• 2 Perioden, 4 Stufen• Ein homogenes Gut, ein Produzent, ein Handler• Stufe 1 (Produzent Periode 1):
• Ein Produkt wird produziert und an den/die Handlerzum Preis w1 verkauft.
• Stufe 2 (Handler Periode 1):• Der Handler kauft Waren vom Produzenten und
entscheidet uber Verkaufsmenge (q1) undLagermenge (L).
• Stufe 3 (Produzent Periode 2):• Ein Produkt wird produziert und an den/die Handler
zum Preis w2 verkauft.• Stufe 4 (Handler Periode 4):
• Der Handler kauft Waren vom Produzenten undentscheidet uber Verkaufsmenge (q2).
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 141
Annahmen• Nachfragefunktion:
p1(q1) = a−bq1
p2(q2) = a−bq2
• Gewinnfunktionen:• Produzent
πM = w1(q1 + L) + w2(q2−L)
• Handler
πR = p1(q1)q1−w1(q1 + L)+p2(q2)q2−w2(q2−L)−hL
= [p1(q1)−w1]q1 +[p2(q2)−w2]q2− [w1−w2 +h]L
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 142
Annahmen• Losung durch Ruckwartsinduktion
Stufe 4: Gewinnmaximierung des Handlers,Mengenwahl (q2).
Stufe 3: Gewinnmaximierung des Produzenten,Preiswahl (w2).
Stufe 2: Gewinnmaximierung des Handlers,Mengenwahl (q1,L)
Stufe 1: Gewinnmaximierung des Produzenten,Preiswahl (w1).
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 143
Stufe 4: q2
• Maximierung der Gewinnfunktion des Handlers:
πR =[p1(q1)−w1]q1 +[a−bq2−w2]q2− [w1−w2 +h]L
• Notwendige Bedingung:
δπR
δq2= a−2bq2−w2 ≡ 0
• Reaktionsfunktion Handler Periode 2:
q2(w2) =a−w2
2b
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 144
Stufe 3: w2• Produzent antizipiert die Wahl des Handlers
• Maximierung der Gewinnfunktion des Produzenten:
πM = w1(q1 + L) + w2(q2−L)
= w1(q1 + L) + w2
(a−w2
2b−L)
• Notwendige Bedingung:
δπM
δw2=
a−2w2
2b−L ≡ 0
• Reaktionsfunktion Produzent Periode 2:
w2(L) =a2−bL
• Reaktionsfunktion Handler Periode 2:
q2(w2) =a−w2
2b=
a4b
+L2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 145
Stufe 2: q1,L• Handler antizipiert die Wahl des Produzenten
• Maximierung der Gewinnfunktion des Handlers:
πR =[a−bq1−w1]q1 +[a−bq2−w2]q2− [w1−w2 +h]L
=[a−bq1−w1]q1 +
[a4+
bL2
][a4b
+L2
]−[w1−
a2+bL+h
]L
• Notwendige Bedingung:
δπR
δq1= a−2bq1−w1 ≡ 0
• Reaktionsfunktion:
q1(w1) =a−w1
2b
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 146
Stufe 2: q1,L• Handler antizipiert die Wahl des Produzenten
• Maximierung der Gewinnfunktion des Handlers:
πR =[a−bq1−w1]q1 +[a−bq2−w2]q2− [w1−w2 +h]L
=[a−bq1−w1]q1 +
[a
16b+
aL4
+bL2
4
]−[w1−
a2+bL+h
]L
• Notwendige Bedingung:
δπR
δL=
a4
+bL2−(
w1−a2
+ 2bL + h)≡ 0
• Reaktionsfunktion:
L(w1) =a2b− 2
3b(w1 + h)
→ großer 0 fur w1 <3a4−h
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 147
Stufe 1: w1
• Reaktionsfunktionen
L(w1) =a2b− 2
3b(w1 + h)
q1(w1) =a−w1
2b
w2(w1) =23
(w1 + h)
q2(w1) =a2b−w1 + h
3b
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 148
Stufe 1: w1• Produzent antizipiert die Wahl des Handlers
• Maximierung der Gewinnfunktion des Produzenten:
πM = w1(q1 + L) + w2(q2−L)
=−17wl2 + (18a−4h)wl + 4h2
18b
• Notwendige Bedingung:
δπM
δw1=
118−34w1 + 18a−4h
b
• Reaktionsfunktion Produzent Periode 1:
w1 =9
17a− 2
17h
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 149
Gleichgewicht und Vergleich
First Best statisch(Commitment)
dynamisch(h < 1
4 a)
Großhandelspreis{w1 ,w2}
-{
a2 , a
2
} {9a−2h
17 , 6a+10h17
}eingekaufte Menge{Q1,Q2}
{a2b , a
2b
} {a4b , a
4b
} {13a−18h
34b , 3a+5h17b
}Lager L 0 0 5(a−4h)
34b
∗
verkaufte Menge{q1 ,q2}
{a2b , a
2b
} {a4b , a
4b
} {4a+h17b , 11a−10h
34b
}Endkundenpreis{p1 ,p2}
{a2 , a
2
} {3a4 , 3a
4
} {13a−h
17 , 23a+10h34
}Gewinn desProduzenten πM
- a24b
9a2−4ah+8h234b
Gewinn desHandlers πR
- a28b
155a2−118ah+304h21156b
Gewinn derSupply Chain πSC
a22b
3a28b
461a2−254ah+576h21156b
*Lagerhaltung, wenn: a > 4h.
Entspricht einem Lagerwertkostensatz von ca. 27%.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 150
Beispiel
• a = 140;b = 1;h = 1
First Best statisch dynamisch(Gleichgewicht)
GroßhandelspreisPeriode 1 (w1)
0 70 74
Lager L 0 0 20
GroßhandelspreisPeriode 2 (w2)
0 70 50
Gewinn desProduzenten (πM)
0 4900 5172
Gewinn desHandlers (πR)
9800 2450 2614
Gewinn derSuply Chain (πSC)
9800 7350 7786
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 151
Anreize fur ManagerFershtman and Judd 1987
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 152
Annahmen
• 2 Firmen (i=1,2)• Jeweils gibt es einen Eigner und einen Manager• Ziel des Eigners: Firmengewinn maximieren• Ziel des Managers: Gehalt maximieren• Preisabsatzfunktion: p = a−bq1−bq2
• Stuckkosten: ki
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 153
Ablauf
• Stufe 1: Eigner entscheiden simultan uber denAnreizparameter αi
• Stufe 2: Manager beobachten die Marktkonditionen(Preisabsatzfunktion, Kosten) und entscheidensimultan uber die Mengen
• Losung uber Ruckwartsinduktion
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 154
Stufe 2
• Manager kennen ihren Anreizvertrag Mi (Bi > 0):
Mi = Ai + BiOi ,
wobei der Vetrag vom Gewinn und vom Umsatzabhangt
Oi = αiπi + (1−αi)Si ,
• αi bezeichnet daher den Anteil des Gewinns• (1−αi) bezeichnet den Anteil des Umsatzes
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 155
Stufe 2
• Manager maximieren ihre Auszahlung (Mi) uber dieMenge (analog Firma 2)
maxqi
Oi = αi(a−b(qi + qj)−ki)qi
+ (1−αi)(a−b(qi + qj))qi
• Notwendige Bedingung fur Firma 1
0 = a−bq2−α1k1−2bq1,
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 156
Stufe 2• Reaktionsfunktionen gegeben der αi’s
q1 =a−bq2−α1k1
2b
q2 =a−bq1−α2k2
2b.
• Gleichgewicht fur Stufe 2
q1 =a−2α1k1 + α2k2
3b; q2 =
a−2α2k2 + α1k1
3b;
Q =2a−α1k1−α2k2
3b;
p =a + α1k1 + α2k2
3.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 157
Stufe 1
• Eigner maximieren ihren Gewinn uber den Anreiz(Analog Firma 2)
maxαi
π1 =
(a + α1k1 + α2k2
3−k1
)a−2α1k1 + α2k2
3b
• Notwendige Bedingung fur Firma 1
0 = a−2α1k1 + α2k2−2a−2α1k1−2α2k2 + 6k1
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 158
Stufe 1
• Reaktionsfunktionen
α1 =32− a
4k1− k2
4k1α2; α2 =
32− a
4k2− k1
4k2α1.
• Anreize im Gleichgewicht
α1 =8k1−a−2k2
5k1; α2 =
8k2−a−2k1
5k2,
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 159
Gleichgewicht• Mengen
q1 =2(a−3k1 + 2k2)
5b; q2 =
2(a−3k2 + 2k1)
5b;
Q =2(2a−k1−k2)
5b.
• Preis
p =a + 2k1 + 2k2
5.
• Gewinne
π1 =2
25b(a−3k1 + 2k2)2
π2 =2
25b(a−3k2 + 2k1)2 .
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 160
Anmerkungen
Anreize fur Manager fuhren zu• großeren Mengen• geringeren Gewinnen• niedrigerem Preis• einer effizienteren Allokation
als im gewohnlichen Cournot Spiel.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 161
Vergleich zu gewohnlichem Cournot
AB
C
q2
q1
Reaktionsfunktion von 2
Reaktionsfunktion von 1
• A: Mengen bei Cournot ohne Manageranreize• B: Mengen wenn Anbieter 1 Manageranreize setzt• C: Mengen wenn beide Manageranreize setzen
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 162
GefangenendilemmaFirmen 2
ohne Manager mit Manager
1ohne Manager Cournot Cournot Follower Leader
mit Manager Leader Follower Fershtman Judd Fershtman Judd
• Vergleich der Gewinne:Leader > Cournot > FershtmanJudd > Follower
• Es ist fur beide Firmen eine dominante StrategieManager einzustellen
• Im gewohnlichen Cournot wurden sich jedochhohere Auszahlungen ergeben
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 163
Vergleich des Gesamtgewinns
π
Monopol
Cournot (homogene Güter)
Fershtman and Judd (beide Firmen setzten Manageranreize)
QVollkommener Wettbewerb/
Die Reihenfolge ist korrekt dargestellt der Abstand und die Lage der einzelnen Kombinationen kann variieren QKombinationen kann variieren.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 164
Terminmarkte(Allaz und Vila 1993)
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 165
TerminmarkteGrundlagen
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 166
Annahmen• 2 Firmen (i=1,2)• 2 Stufen• Stufe 1:
• Firmen wahlen Forwardmengen fi• Spekulanten und Arbitrageure bieten auf dem
Terminmarkt auf die Forwardmengen, Verkauf derForwards zum Preis pf(bindend, offentlich)
• Stufe 2:• Firmen produzieren qi ,• bedienen die Forwards und• verkaufen auf dem Kassamarkt zum Preis ps
(Forwards aus Stufe 1 sind bekannt)• Losung durch Ruckwartsinduktion
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 167
Annahmen
• Preisabsatzfunktion ps = a−b(q1 + q2)
• Kostenfunktion Ki = kiqi
• Fur fi < qi kann Firma iqi − fi in Stufe 2 verkaufen
• Fur fi > qi muss Firma ifi −qi in Stufe 2
1. von der Konkurrenz kaufen oder2. Forwards zuruckkaufen
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 168
Stufe 2
• Firma 1 maximiert seinen Gewinn aus dem Kassamarktgegeben der Forwards aus Stufe 1 (Analog Firma 2)
πs1(q1) = (a−bq1−bq2)(q1− f1)−k1q1
• Notwendige Bedingung fur Firma 1
0 = a−2bq1−bq2 + bf1−k1,
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 169
Stufe 2• Reaktionsfunktionen gegeben der Forwards
q1 =a−k1 + bf1
2b− bq2
2b
q2 =a−k2 + bf2
2b− bq1
2b.
• Gleichgewicht fur Stufe 2
q1 =a + 2bf1−bf2−2k1 + k2
3b;
q2 =a + 2bf2−bf1−2k2 + k1
3b;
ps =a−bf1−bf2 + k1 + k2
3.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 170
Stufe 1
• Der Gesamtgewinn gegeben der Forwards ist
πi = pf fi + ps(qi − fi)−kiqi ,
• umgeformt
πi = [pf −ps]fi + (ps−ki)qi ,
Teil 1 ist der Arbitragegewinn und Teil 2 ist der CournotGewinn
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 171
Arbitragegewinn
• Situation in Stufe 1• Angenommen 2 Spekulanten geben Kaufgebote in
Stufe 1 ab. Das hochste Gebot gewinnt und beigleichen Geboten gewinnt Spekulant 1. DerWettbewerb druckt den Preis auf den Preis imSpotmarkt (siehe Bertrand).
• Perfect Foresight Equilibrium: ps = pf• Falls ps > pf :
Spekulanten kaufen mehr Forwards→ pf ↑• Falls ps < pf :
Spekulanten machen Verluste→ pf ↓• Arbitragegewinn, (pf −ps)fi = 0!
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 172
Stufe 1
• Der verbleibende Gewinn wird uber die Menge derForwards maximiert
maxf1
π1 =
(a−bf1−bf2 + k1 + k2
3−k1
)×
a + 2bf1−bf2−2k1 + k2
3b,
• Notwendige Bedingung
0 = a−4bf1−bf2−2k1 + k2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 173
Stufe 1
• Reaktionsfunktionen
f1 =a−2k1 + k2
4b− 1
4f2
f2 =a−2k2 + k1
4b− 1
4f1
• Forwards im Gleichgewicht
f1 =a−3k1 + 2k2
5b
f2 =a−3k2 + 2k1
5b
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 174
Gleichgewicht• Produktionsmengen
q1 =2(a−3k1 + 2k2)
5b
q2 =2(a−3k2 + 2k1)
5b• Preise
ps = pf =a + 2k1 + 2k2
5• Gesamtgewinn
π1 =2
25b(a−3k1 + 2k2)2
π2 =2
25b(a−3k2 + 2k1)2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 175
TerminmarkteStackelberg
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 176
Situation
• Firma 2 ist gezwungen keine Forwards zu verkaufen:f2 = 0
• Firma 1 wahlt f1 so, dass sein Gewinn maximiert wird,• d.h. Firma 2 wird in einen Stackelberg-Follower
gezwungen
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 177
Gleichgewicht
• Fur f2 = 0 und die Reaktionsfunktionaus Stufe 1 f1(f2 = 0) folgt
q1 =a + 2bf1−bf2−2k1 + k2
3b
=a + 2b a−2k1+k2
4b −2k1 + k2
3b
=a−2k1 + k2
2b
• Dies entspricht der Menge des Stackelbergfuhrers.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 178
Gleichgewicht• Forwards
f1 =a−2k1 + k2
4bf2 = 0
• Produktionsmengen
q1 =a−2k1 + k2
2b
q2 =a−2k2 + k1
4b;
• Preise
pf = ps =a + 2k1 + k2
4
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 179
Gleichgewicht
• Gewinne
π1 =1
8b(a−2k1 + k2)2
π2 =1
16b(a−3k2 + 2k1)2.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 180
Cournot
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 181
Situation
• Beide sind gezwungen keine Forwards zu verkaufen:f1 = f2 = 0
• Demnach ergeben sich die Standard Ergebnisse ausdem Cournot.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 182
Gleichgewicht• Forwards f1 = f2 = 0• Produktionsmengen
q1 =a−2k1 + k2
3b; q2 =
a−2k2 + k1
3b
• Preis
p =a + k1 + k2
3
• Gewinne
π1 =1
9b(a−2k1 + k2)2; π2 =
19b
(a−2k2 + k1)2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 183
TerminmarkteGefangenen Dilemma
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 184
Situation• Vergleich der Gewinne mit b = 1, k1 = k2 = k• Cournot
π1 = π2 =19
(a−k)2
• Stackelberg
πleader =18
(a−k)2
πfollower =1
16(a−k)2
• (positive) Forwards
π1 = π2 =2
25(a−k)2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 185
Gefangenendilemma
Firmen 2f2 = 0 f2 > 0
1f1 = 0 (a−k)2
9(a−k)2
9(a−k)2
16(a−k)2
8
f1 > 0 (a−k)2
8(a−k)2
162(a−k)2
252(a−k)2
25
• Dominante Strategie fi > 0 zu spielen• Hohere Auszahlung fur fi = 0
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 186
Vergleich des Gesamtgewinns
π
Monopol
Cournot (homogene Güter)
Termingeschäfte (beide Firmen verkaufen Forwards)
QVollkommener Wettbewerb/
Die Reihenfolge ist korrekt dargestellt der Abstand und die Lage der einzelnen Kombinationen kann variieren QKombinationen kann variieren.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 187
Hotelling Modelle
Lineares Hotelling Preismodell
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 188
Annahmen• Die Nachfrage fur ein homogenes Gut stammt aus
einer linearen Stadt• Lange: L > 0• An jeder Stelle der Stadt x ∈ [0,L] befindet sich genau
ein Konsument• Jeder Konsument fragt genau eine Einheit nach
• 2 Anbieter (A und B)• Vorgegebene Lokationen a und L−b• Es gilt a und (L−b) ∈ [0,L]• Symmetrische Kostenstruktur beider Anbieter
Ki = k ∗qi + F und i ∈ [A,B]
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 189
Annahmen
• Um zu Anbieter A zu gelangen, muss Konsument x dieStrecke |x−a| zurucklegen
• Um zu Anbieter B zu gelangen die Strecke |x− (L−b)|• Es entstehen lineare Entfernungskosten in Hohe von
t ∗ z• Wobei t den Entfernungskostenfaktor und z die
Entfernung darstellt
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 190
Annahmen
• Losung durch Ruckwartsinduktion• Stufe 2: Kunden wahlen den Anbieter bei dem sie das
Gut kaufen mochten• Dabei berucksichtigen sie die Preise beider Anbieter
und die Entfernungskosten
• Stufe 1: Die Anbieter wahlen ihre Preise, um ihrenGewinn zu maximieren
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 191
Stufe 2
• Die Nutzenfunktion des Konsumenten x ist
U =
{−pA− t |x−a| , falls x bei A kauft−pB− t |x− (L−b)| , falls x bei B kauft
• Konsument x ist zwischen A und B indifferent• Es gilt:
−pA− t(x−a) =−pB− t(L−b− x)
• Wenn sich A und B an der gleichen Stelle befindensetzt ein extremer Preiswettbewerb ein
• Es wird im Folgenden angenommen, dass A und B
”weit genug“ voneinander entfernt sind
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 192
Stufe 1
• Alle Kunden”links“ von x werden bei A kaufen, alle
”rechts“ von x werden bei B kaufen
• Durch Umformen der Indifferenzbedingung ergibt sichdie Nachfrage fur A
qA = x =pB−pA
2t+
L−b + a2
• Entsprechend ergibt sich die Nachfrage fur B
qB = L− x =pA−pB
2t+
L + b−a2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 193
Stufe 1• Maximierung der Gewinnfunktion fur Anbieter A:
maxpA
πA =
(pB−pA
2t+
L−b + a2
)(pA−k)−F
• Notwendige Bedingung:
0 =pB−2pA + k
2t+
L−b + a2
• Reaktionsfunktion von Anbieter A
pA (pB) =pB + k
2+
(L−b + a) t2
• Analog wird die Reaktionsfunktion fur Anbieter Bermittelt
pB (pA) =pA + k
2+
(L + b−a) t2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 194
Stufe 1• Gleichgewicht im Schnittpunkt der
Reaktionsfunktionen• Preise der Anbieter
pA =(3L−b + a) t
3+ k ; pB =
(3L + b−a) t3
+ k
• Gleichgewichtsmengen
qA = x =3L−b + a
6; qB = L− x =
3L + b−a6
• Gleichgewichtsgewinn
πA =t (3L−b + a)2
18−F ; πB =
t (3L + b−a)2
18−F
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 195
Diskussion
• Der gleichgewichtige Gewinn von A steigt,• je hoher die Entfernungskosten t sind,• je kleiner b ist• je großer a ist.
• Das gilt analog fur den Gewinn von Anbieter B• Die hergeleiteten Gleichgewichte gelten nur,
• wenn Lokationen exogen vorgegeben sind und• wenn Entfernungskosten linear sind.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 196
Endogene Lokationswahl• Es wird weiterhin ein lineares Hotelling Preismodell
angenommen• Bei endogener Lokationswahl optimiert der Anbieter
seinen Gewinn in zwei Stufen• Erste Stufe: Wahl der Lokationen• Zweite Stufe: Preissetzung
• Bei linearen Entfernungskosten gibt es keinGleichgewicht in reinen Strategien
• Wenn die Lokationen nahe aneinander liegen, habendie Anbieter Anreize auseinander zu gehen
• Wenn die Lokationen weit von einander entfernt sind,haben die Anbieter Anreize aufeinander zu zugehen
• Bei quadratischen Entfernungskosten wird derhochste Grad der Differenzierung gewahlt
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 197
Kreis Hotelling Modell
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 198
Annahmen
• Im Gegensatz zu dem linearen Hotelling Modell ist dieAnzahl der Anbieter (N) endogen
• Alle Anbieter 1...N sind symmetrisch• Symmetrische Kostenfunktion
Ki = k ∗qi + F und i ∈ [0...N]
• Anbieter sind gleichmaßig auf einem Kreis verteilt• Der Kreisumfang ist 1• Der Abstand zwischen zwei Anbietern ist 1
N
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 199
Annahmen• Es entstehen fur den Kunden lineare
Entfernungskosten in Hohe von t ∗ z• Entfernungskostenfaktor t , Entfernung z• Die Konsumenten sind gleichmaßig auf dem Kreis
verteilt• Jeder Konsument fragt genau eine Einheit nach• Aufgrund der Symmetrie kann angenommen werden,
dass p2 = pN = p
pN= p p2 = p
p1
Käufer von Anbieter 1
1N
x
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 200
Annahmen
• Losung durch Ruckwartsinduktion• Stufe 3: Kunden wahlen den Anbieter bei dem sie das
Gut kaufen mochten• Dabei berucksichtigen sie die Preise der Anbieter und
die Entfernungen
• Stufe 2: Die Anbieter wahlen ihre Preise, um ihrenGewinn zu maximieren
• Stufe 1: Markteintrittsentscheidung der Anbieter• Es werden so viele Anbieter in den Markt eintreten, bis
der Gewinn gleich 0 ist
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 201
Stufe 3• Der Kunde x wird ermittelt, der zwischen Anbieter 1
und Anbieter 2 indifferent ist• Fur den indifferenten Kunden x gilt:
p1 + t x = p + t(1N− x).
• Daraus folgt:
x =p−p1
2t+
12N
.
• Alle Kunden links von x kaufen von Anbieter 1, alleKunden rechts von x kaufen bei Anbieter 2
• Analog kann der indifferente Kunde fur alle Anbieterermittelt werden
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 202
Stufe 2• Anbieter 1 bedient sowohl Kunden die links als auch
Kunden die rechts von ihm liegen• Die Nachfrage von Anbieter 1 ergibt sich als:
q1(p1,p) = 2x =p−p1
t+
1N.
• Der Anbieter wahlt seinen Preis
maxp1
π1 = (p1−k)(p−p1
t+
1N
)−F
• Notwendige Bedingung
0 =p−2p1 + k
t+
1N
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 203
Stufe 2
• In einem symmetrischen Gleichgewicht gilt:
p1 = p2 = ... = pN = p.
• Einsetzten in die notwendige Bedingung ergibt:
p = k +tN.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 204
Stufe 1
• Im Gleichgewicht werden genau so viele Anbieter inden Markt eintreten, dass alle Anbieter Nullgewinnegenerieren
• Solange positive Gewinne generiert werden konnen,treten weitere Marktteilnehmer ein
• Bei negativen Gewinnen werden Anbieter aus demMarkt austreten
• Bei Nullgewinnen besteht weder ein Anreiz aus demMarkt auszutreten noch in den Markt einzutreten
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 205
Stufe 1• Die optimale Anzahl an Unternehmen wird ermittelt
indem der Gewinn eines einzelnen Anbieters inullgesetzt wird
πi = (p−k)1N−F =
tN2 −F !
= 0
• Damit ergibt sich die optimale Anzal von Anbietern Nals:
N =
√tF.
• Das resultiert in folgenden gleichgewichtigen Preisenund Mengen:
p = k +√
tF , q =tF
− 12
.
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 206
Wohlfahrtseffekte
• Die optimale Anbieteranzahl N aus demHotelling-Modell ubersteigt dieWohlfahrtsmaximierenden Anzahl
• Um die Wohlfahrt zu maximieren wird die Summe ausden Transportkosten des durchschnittlichen Kunden1
4N und der insgesamt anfallenden Fixkosten Lminimiert
minN
L(F , t ,N) = N ∗F +t
4N
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 207
Wohlfahrtseffekte
• Notwendige Bedingung
0 = F − t4N2
• Daraus folgt, dass die Wohlfahrtsmaximierende Anzahlan Anbieter N kleiner ist als die Anbietermenge N imGleichgewicht des linearen Hotelling Modells
N =12
√tF<
√tF
= N
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 208
Hotelling Modell mit sequentiellem Markteintritt
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 209
Annahmen
• Preise sind gleich und fix vorgegeben• Zur Vereinfachung wird p = 1 angenommen
• 3 Anbieter befinden sich in einer linearen Stadt• Lange der Stadt = 1• Sequentielle Positionswahl der Anbieter
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 210
Annahmen
• Losung per Ruckwartsinduktion• Stufe 3: Anbieter 3 Entscheidet uber seine Position• Stufe 2: Anbieter 2 Entscheidet uber seine Position• Stufe 1: Anbieter 1 Entscheidet uber seine Position
• Zur Vereinfachung wird angenommen, dass Anbieter 1die Position x1 = 1
4 wahlt
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 211
Stufe 3• Die Entscheidung von Anbieter 2 kann in 3 Intervallen
liegen:1. x2 = 1
4 − ε
2. 14 < x2 < 3
43. x2 ≥ 3
4
• Fur jedes Intervall ergibt sich eineBeste-Antwort-Funktion fur Anbieter 3
BA(Intervall1) : x3 =14
+ ε
BA(Intervall2) : x3 = x2 + ε
BA(Intervall3) : x3 =x2 + x1
2
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 212
Stufe 2
x1x2 x3
1/42
14
π ≈ 334
π ≈1.
x3
1/42.
x1 x2 2
2
1x4
2
−π ≈ 3 21 xπ ≈ −
3/4
x3
1/43
x1 x22 3
2 2x x1 x
2−
π ≈ − +2
3
1x4
2
−π ≈
1/4 2 23/4
• Gegeben der Reaktion von Anbieter 3 wahlt Spieler 2seine Position
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 213
Stufe 2
• Anbieter 2 wahlt Intervall 3• Gewinn von Anbieter 2 in Intervall 3:
π2 = 1−x2 +x2−x3
2.
• Innerhalb dieses Intervalls wahlt Anbieter 2 die Position
x2 =34
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 214
Gleichgewicht
• Im Gleichgewicht gilt:
x1 =14, π1 =
38
x2 =34, π2 =
38
x3 =12, π3 =
14
Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 215