“Modelado y simulación de un actuador elástico en...

MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO

Tema A3b Mecanismos y Robótica: actuadores robóticos.

“Modelado y simulación de un actuador elástico en serie”

Carlos Manuel Lara-Barrios a, Andrés Blanco Ortega a, Arturo Abúndez Pliego a, Benjamín González

Vizcarra b, Miguel Ángel Ávila Puic b

aTecnológico Nacional de México / Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico, Departamento de Ingeniería Mecánica, Prolongación

Palmira s/n esq. Apatzingán, Col. Palmira, CP 62490, Cuernavaca, Morelos, México b Escuela de Ciencias de la Ingeniería y Tecnología / Universidad Autónoma de Baja California, Blvd. Universitario #1000, Unidad Valle de las Palmas,

Tijuana, Baja California, México.

*Autor contacto.Dirección de correo electrónico: [email protected]

R E S U M E N

El desarrollo de mecanismos de accionamiento para aplicaciones robóticas que interactúan con superficies irregulares

ha permitido plantear el concepto de “actuador elástico en serie”. La investigación relacionada con estos dispositivos

ha estudiado su aplicación en distintas áreas de la robótica como el diseño de vehículos de exploración o mecanismos

de accionamiento en robots bípedos y en prótesis inteligentes. Junto con el diseño de estos actuadores, se han explorado

también los algoritmos de control adecuados para dichas aplicaciones. En este artículo se presenta el modelado

dinámico de un actuador elástico en serie y la evaluación de un algoritmo de control para seguimiento de trayectorias

basado en la propiedad de planitud diferencial. Se presentan los resultados de simulación cuando el modelo dinámico

sigue una trayectoria armónica con y sin perturbación armónica externa. Los resultados encontrados demuestran la

robustez del algoritmo de control al compensar el seguimiento de trayectoria con perturbación.

Palabras Clave: planitud diferencial, representación en espacio de estados, actuador elástico en serie (AES), simulación

dinámica, robótica, control.

A B S T R A C T

The development of actuation mechanisms on robotic applications interacting with irregular surfaces has allowed the

concept of "series elastic actuator". Related research with these devices have studied its applications on the field of

robotics as exploration vehicles or actuation mechanisms on biped robots and intelligent prosthetics. Along with

actuator design, control algorithms have been studied for such applications. This paper presents the dynamic modelling

of a series elastic actuator and the assessment of a control algorithm for path tracking based on differential flatness.

Simulation results are presented when the dynamic model follows a harmonic path with and without an external

harmonic disturbance. Results shown that the robustness of the control algorithm compensates the path tracking with

disturbances.

Keywords: differential flatness, state-space representation, series elastic actuator (SEA), dynamic simulation, robotics,

control.

1. Introducción

El término “actuador” se puede definir como un componente

de máquina cuya finalidad es transmitir una acción dentro

de un sistema automatizado a partir de una fuente de energía

de entrada. Los actuadores más comunes en aplicaciones

robóticas transmiten fuerza mecánica a partir de energía

neumática, hidráulica o eléctrica. Las características más

comunes para la selección de actuadores en aplicaciones de

robótica involucran aspectos como: densidad de fuerza,

impedancia mecánica, ancho de banda de fuerza, rango

dinámico, entre otras [1] .

A mediados de la década de 1990, Pratt y Williamson

propusieron el concepto de Actuador Elástico en Serie

(AES, de Series Elastic Actuator en inglés) en [2] con el

objetivo de ofrecer un sistema de accionamiento con

características adecuadas para la transmisión de fuerzas y

movimiento en aplicaciones de robótica humanoide y

vehículos de exploración, como lo son la tolerancia a cargas

de impacto, el control estable de la fuerza y la capacidad de

almacenar energía potencial, principalmente. El principio de

funcionamiento estaba basado en un ensamble motor-

reductor conectado en serie con un elemento elástico pasivo

(representado por un resorte) que a su vez se acopla con la

carga a accionar. Esta configuración básica se presenta en la

Figura 1.

En comparación con sistemas de accionamiento

convencionales, al emplear un AES la interfaz entre el

actuador y su carga de salida se vuelve menos rígida,

permitiendo tener un efecto de filtro paso bajo para cargas

de impacto, reduciendo también las fuerzas de reacción no

deseadas en los sistemas de transmisión acoplados al motor.

ISSN 2448-5551 DM 1 Derechos Reservados © 2017, SOMIM


Este tipo de actuadores tiene un control preciso de la

fuerza a la salida en función de la deformación del resorte

en serie a partir de la ley de Hooke; evitando así el uso de

sensores costosos como celdas de carga que además no son

tolerantes ante determinadas fuerzas de impacto. En

términos generales, un ensamble de AES tiene propiedades

características de su diseño como lo son: baja impedancia

mecánica, baja fricción, ancho de banda mejorado y alta

sensibilidad a la fuerza [3].

Figura 1. Principio de funcionamiento de un actuador elástico en

serie.

El control para AES tuvo sus primeros acercamientos a

través de controladores anticipativos y retroalimentados

empleando lazos PID y sus variaciones típicas [2,4]. Los

desarrollos más recientes en este ámbito han empleado

también otras estrategias como el control de impedancia

[5,6], seguimiento de trayectorias [7–9] o control adaptativo

[10], principalmente para aplicaciones en el desarrollo de

prótesis robóticas de miembro inferior.

En este artículo se plantea el modelado de un AES en

espacio de estados y la simulación de un controlador para el

seguimiento de trayectorias basado en la propiedad de

planitud diferencial sobre un prototipo virtual con el

objetivo de abordar el diseño y la caracterización de este tipo

de actuadores.

La propiedad de planitud diferencial, planteada en

[11,12], permite realizar la planeación y el seguimiento de

trayectorias a partir de la definición de una salida plana del

sistema a partir de su matriz de controlabilidad. Un sistema

lineal es diferencialmente plano si todas las variables del

sistema pueden ser expresadas a partir de las derivadas

sucesivas de la salida plana.

La sección 2 de este artículo describe el modelo dinámico

del sistema a partir de un prototipo virtual, así como su

expresión en espacio de estados. La sección 3 presenta el

diseño del controlador para seguimiento de trayectorias a

partir del espacio de estados y la propiedad de planitud

diferencial. Posteriormente, la sección 4 muestra la

implementación del controlador en el prototipo virtual

dentro de un ambiente de simulación dinámica para

comprobar el seguimiento de trayectorias. Finalmente se

presentan los resultados de los análisis realizados en la

sección 5. La sección 6 presenta las conclusiones y el trabajo

futuro relacionado.

2. Modelado dinámico del actuador elástico en serie

Partiendo del modelo planteado originalmente por [2], se

propone el modelado del prototipo virtual de AES lineal

mostrado en la Figura 2. El prototipo virtual contempla el

ensamble de un servomotor con una transmisión de engranes

acoplada a la salida con un tornillo de avance rápido. Una

tuerca se desplaza en dirección longitudinal sobre el tornillo

en función del giro del motor. A su vez, la tuerca está

acoplada a través de resortes a un ensamble que representa

el extremo móvil del actuador que estaría en contacto con la

carga a accionar.

Figura 2. Prototipo virtual de actuador elástico en serie.

El modelo matemático de la dinámica del sistema parte

del arreglo de masas mostrado en la Figura 3, donde dos

masas 1m y 2m están acopladas por un resorte de rigidez

k . Cada masa representa un grado de libertad en la

dirección horizontal con coordenadas generalizadas

expresadas como 1x y 2x para cada masa, respectivamente.

Se considera que cada masa se desplaza con

amortiguamiento viscoso 1b y 2b . El modelo dinámico

considera también las perturbaciones 1d y 2d con el fin de

representar la dinámica no modelada, efectos no-lineales de

fricción seca, fuerzas externas, etc. Una fuerza iF actuando

sobre la masa 1m representa la fuerza de entrada, mientras

que la fuerza oF representa la fuerza a la salida del

actuador.

Partiendo de la segunda ley de Newton, se obtienen las

ecuaciones que gobiernan la dinámica del sistema

1 1 2 1 1 1 1im x F kx kx b x d (1)

2 2 1 2 2 2 2m x kx kx b x d (2)

Las ecs. (1) (2) se expresan como el conjunto de variables

de estado de la forma:

z Az Bu (3)

que resulta en

11 1 1

11 1 12 2

1

3 3

4 4 2

2

2

2 2 2

0 1 0 0 00

0 1

0 0 0 1 00

0 0

bk kz z d

mz zm u

z z

z

m m m

b

m m m

z dk k

m

(4)



donde 1 1z x , 2 1z x , 3 2z x , 4 2z x y iF u .

Mientras que A representa la matriz dinámica, B es la

matriz de control, z es el vector de estados y u representa

el vector de entradas del sistema.

Figura 3. Diagrama esquemático del modelo dinámico del actuador

elástico en serie propuesto.

3. Diseño del controlador de seguimiento de trayectorias

basado en planitud diferencial

El controlador utiliza la propiedad de planitud diferencial de

la dinámica del sistema con el objetivo de realizar un

seguimiento de trayectorias. De acuerdo con esta propiedad,

un sistema es diferencialmente plano si su representación en

espacio de estados es controlable. Se obtuvo la matriz de

controlabilidad oC del sistema a partir de

2 3

oC B AB A B A B (5)

La controlabilidad de un sistema se comprueba siempre

que las dimensiones de la matriz de controlabilidad oC sean

iguales a su rango. Del cálculo resulta que el rango de

4oC , por lo cual el sistema es controlable y, a su vez,

diferencialmente plano.

La salida plana F del sistema en espacio de estados se

obtiene de la última fila en la inversa de la matriz de

controlabilidad oC . Lo cual se expresa como:

1

21

1 2 3

3

4

10 0 0 1 o

z

zF m m z

z

Cz k

(6)

De acuerdo con [12], la salida plana se expresa

únicamente a partir de la variable de estado, por lo cual la

salida plana se reduce a:

3z F (7)

Posteriormente, las variables de estado y la entrada de

control u se expresan en términos de F y sus derivadas

sucesivas:

2 21

m bz F F F

k k (8)

2 22

m bz F F F

k k (9)

4z F (10)

1 2

1 2 2 1

1 2 1 2 1 2

1

1

IVm mu F b m b m F

k k

m m b b F b b Fk

(11)

Se diseña el controlador promedio basado en la propiedad

de planitud diferencial. De la ec. (11) se sustituye la derivada

de alto orden por un controlador auxiliar auxv :

1 2 11 2 2 1

11 2 1 2 1 2

m m

auxk k

k

u v b m b m F

km km b b F b b F

(12)

Se define el control auxiliar para el seguimiento de

trayectorias planificadas deseadas (dF ) incluyendo dos

términos de acción integral que proporciona la robustez al

sistema en lazo cerrado frente a perturbaciones de primer

grado:

5 4

3 2 1 0

0 0 0

IV

aux d d d

t

d d d

t

d

v F t F F t F F t

F F t F F t F F d

F F d d

(13)

Donde i representa coeficientes constantes

seleccionados de manera que el polinomio cumpla con el

criterio de Hurwitz para garantizar que la dinámica del error

sea asintóticamente estable en el seguimiento de trayectorias

de la salida plana. Posteriormente, la salida plana y sus

derivadas sucesivas se calculan en términos de los estados

del sistema:

3F z (14)

4F z (15)

2 2

1 3 4

2 2 2 2

b dk kF z z z

m m m m (16)

2

2 2 2 2 2

1 2 3 42 2 2 2

2 22 2 2 2

+kb kb b b dk k

F z z z zm mm m m m

(17)



Con el control propuesto vaux, se igualan las dos

relaciones del control (11) y (12) para obtener la dinámica

en lazo cerrado del sistema.

5 4

3 2

1 00 0 0

0

IV IV

d d d

d d

t t

d d

F F t F F t F F t

F F t F F t

F F d F F d d

(18)

Al considerar el error como de F F y derivar, se

obtiene el polinomio característico del sistema ( )p s en

lazo cerrado:

6 5 4 3 2

5 4 3 2 1 0 0p s s s s s s s (19)

Se propuso un polinomio de sexto orden para determinar

las ganancias del controlador:

3

2 22 0n ns s (20)

con valores 0.7071 y 20n .

4. Simulación

El modelo matemático del controlador basado en la

propiedad de planitud diferencial fue expresado en un

diagrama de bloques de Simulink dentro del software

matemático Matlab (como el mostrado en la Figura 4)

vinculado al software de ingeniería asistida por

computadora MSC ADAMS para obtener la respuesta del

sistema en el seguimiento de trayectorias con y sin

perturbaciones externas.

Para la simulación se consideró amortiguamiento viscoso

en ambas masas y una fuerza de perturbación, como se

observa en la Figura 5. La Tabla 1 presenta los valores de

simulación utilizados en el modelo dinámico del sistema. La

trayectoria deseada 3dz para el controlador consideró una

trayectoria sinusoidal, dada por la ec. (21)

3 sind dF t z A t (21)

con valores de amplitud 0.008A m y de frecuencia31.41 /rad s .

Tabla 1. Parámetros de simulación del AES.

Parámetro Valor Unidades

m1 0.042 kg

m2 0.328 kg

b1 2 Ns/m

b2 2 Ns/m

k 3960 N/m

Figura 4. Diagrama de bloques del modelo dinámico del AES y el

controlador para seguimiento de trayectorias.

Figura 5. Prototipo virtual del actuador elástico en serie dentro del

ambiente de simulación multicuerpo MSC ADAMS.

5. Resultados

La Figura 6 muestra los resultados obtenidos del

seguimiento de trayectoria en la simulación del prototipo

virtual del AES dentro del ambiente de ADAMS View en

co-simulación con el controlador en Simulink basado en la

propiedad de planitud diferencial. En esta simulación no se

consideró perturbación sobre las masas del modelo

dinámico. Se observó el seguimiento de la trayectoria

deseada en la respuesta para 3z .

En la Figura 7 se muestra la respuesta obtenida al aplicar

una perturbación armónica modelada con la ec. (22) sobre la

masa 2m correspondiente a la salida plana 3z . Se observó

la compensación de la perturbación a partir del controlador

por planitud diferencial para alcanzar el seguimiento de

trayectoria.

2 0.005sin2

d t

(22)

Al graficar la fuerza de control u para ambos casos, se

observó una diferencia de amplitud entre la simulación sin

perturbación y la simulación con perturbación. La

comparación de la fuerza de control en estos dos casos se

muestra en la Figura 8.



Figura 6. Resultados de simulación del AES con seguimiento de

trayectoria para la posición de la salida plana z3 sin perturbación.

Figura 7. Resultados de simulación del AES con seguimiento de

trayectoria para la posición de la salida plana z3 con perturbación.

Figura 8. Resultados de simulación del AES para la fuerza de control

u con y sin perturbación.

6. Conclusiones

Los resultados de simulación demostraron que el

controlador basado en la propiedad de planitud diferencial

del modelo dinámico del AES propuesto puede ofrecer un

control robusto del actuador ante perturbaciones externas.

La frecuencia de la fuerza de perturbación fue menor que la

frecuencia de la función planteada para la trayectoria

deseada. Los resultados demostraron diferencias en las

amplitudes de posición deseadas para ambas simulaciones.

Para el caso del seguimiento de trayectorias sin

perturbación, los primeros ciclos de la trayectoria

presentaron una diferencia de amplitud de 57% con respecto

de la amplitud de la posición deseada, mientras que en

estado estable la diferencia se encontró cerca del 13%.

La simulación con perturbación tuvo una diferencia de

amplitud en los primeros ciclos de 65% con respecto de la

posición deseada; en estado estable la diferencia más grande

en la amplitud de la posición se mantuvo cerca del 23%.

A pesar de las diferencias de amplitud para el

seguimiento de una trayectoria armónica, la robustez del

controlador realiza el seguimiento de trayectoria ante

perturbaciones externas. En un modelo físico, tales

perturbaciones pueden ser causadas por dinámica no

modelada debido a idealizaciones en el modelado o fuerzas

externas actuando en el extremo del AES. El seguimiento de

trayectoria puede reducir el error observado mediante la

sintonización de ganancias del controlador, lo que derivaría

en un esfuerzo más grande de control.

La aplicación de la propiedad de planitud diferencial para

el desarrollo del controlador de seguimiento de trayectorias

permitió explorar este algoritmo como una técnica

alternativa para el control de AES en estudios que

involucren la aplicación de estos dispositivos de

accionamiento en ambientes con dinámica variable.

El trabajo futuro relacionado con esta investigación

involucra la comprobación de las simulaciones presentadas

en este trabajo en un prototipo físico para observar el

comportamiento de la dinámica no modelada en forma de

perturbaciones y la posterior caracterización de la dinámica

de un actuador elástico en serie para su aplicación en el

desarrollo de prótesis robóticas de miembro inferior.

Agradecimientos

El M.C. Carlos Manuel Lara Barrios agradece al Consejo

Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por la beca

doctoral asignada.

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