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Mini-curso: Introdução à otimização sob incerteza
Aula 3 – Otimização avessa ao risco
Prof. Fabrício Oliveira [email protected]
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
UNESP, 9 a 13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
1. Medidas de risco 1. Variância; 2. Probabilidade de déEicit (shortfall probability) 3. Escassez esperada (expected shortage) 4. Value-‐at-‐Risk (VaR) 5. Value-‐at-‐Risk Condicional (CVaR)
2. Otimização robusta 3. Restrições probabilísticas
Conteúdo programado!
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
UNESP, 9 a 13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
Otimização sob incerteza
§ Modelos de programação estocástica: § Dados de entrada modelados como processos estocásticos;
§ Valor da função objetivo é uma variável aleatória § Pode ser caracterizada por uma distribuição de probabilidade;
p(!)
x1
x2
xn
...
Q(x1,!)
Q(x2,!)
Q(xn,!)E [Q(xn,!)]
E [Q(x1,!)]
E [Q(x2,!)]
A função objetivo como variável aleatória: § Precisamos de uma função que, de alguma forma, caracterize a distribuição de dessa variável aleatória: § Critério mais comum: média;
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
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Otimização sob incerteza
§ Assim, um problema onde maximizamos o lucro resulta na maximização do lucro esperado deste problema;
§ Problema: demais parâmetros caracterizando a distribuição são negligenciados. § Ex: Uma variável aleatória representando o lucro com um valor esperado aceitável para o tomador de decisão pode possuir embutida uma probabilidade não-‐desprezível de lucros negativos (perdas)
§ Como contornar tal diEiculdade: gestão de risco
p(!)
x1
x2
xn
...
Q(x1,!)
Q(x2,!)
Q(xn,!)E [Q(xn,!)]
E [Q(x1,!)]
E [Q(x2,!)]
O valor esperado não é capaz de de representar a exposição a resultados negativos (ou seja, ao risco)
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
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Gestão de risco
Primeiramente, precisamos deEinir a que risco estamos nos referindo: § Queremos nos proteger do risco de a
distribuição dos lucros (maximização) possuir características não desejáveis, como por exemplo, altas probabilidades de incorrer em custos negativos (perdas).
Como controla-‐lo em modelos de otimização: § inserir na formulação termos que são
capazes de medir o risco associado a uma distribuição de probabilidade; § Toda solução gera um per;il de risco, ao qual é possível se associar uma medida
§ Tal termo é comumente referido como função de risco ou medida de risco;
p(!)
x1
x2
xn
Q(x1,!)
Q(x2,!)
Q(xn,!)E [Q(xn,!)]
E [Q(x1,!)]
E [Q(x2,!)]
r[Q(x1, w)]
r[Q(x2, w)]...
r[Q(xn, w)]
Medida de risco
r[f(x,!)] | r : x ! R
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
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Gestão de risco
Vamos considerar todas as medidas de risco considerando problemas de 2 estágios (por ser mais simples) onde a função objetivo consiste da maximização de um lucro esperado. § A generalização para problemas multi-‐
estágio não é evidente pois incorre-‐se em problemas de consistência temporal.
§ Medidas de risco consideradas: 1. Variância; 2. Probabilidade de déEicit (shortfall
probability) 3. Escassez esperada (expected shortage) 4. Value-‐at-‐Risk (VaR) 5. Value-‐at-‐Risk Condicional (CVaR)
p(!)
x1
x2
xn
Q(x1,!)
Q(x2,!)
Q(xn,!)E [Q(xn,!)]
E [Q(x1,!)]
E [Q(x2,!)]
r[Q(x1, w)]
r[Q(x2, w)]...
r[Q(xn, w)]
Medida de risco
r[f(x,!)] | r : x ! R
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
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Tomada de decisão neutra à risco
§ Vamos considerar o problema de otimização:
max
x,y(!)c
T
x+
X
!2
(!)q(!)
T
y(!)
s.a:
Ax = b
T (!)x+W (!)y(!) = h(!), 8! 2
x 2 X, y(!) 2 Y, 8! 2
Var. 1o Estágio Var. 2o Estágio
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§ DeEinindo:
§ Podemos reescrever nosso problema de otimização de dois estágios como sendo:
f(x,!) = c
Tx+max
y(!)q(!)T y(!) | T (!)x+W (!)y(!) = h(!), y(!) 2 Y
Tomada de decisão neutra à risco
max
x
E!
[f(x,!)]
s.a: x 2 X
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§ Observe o que essa formulação nos diz: § Considere f(x,ω) como o valor da variável aleatória f(x, .) avaliada no argumento ω;
§ Dessa forma, variando x em X, uma família de variáveis aleatórias f(x, .), onde x pertence a X é induzida pelos problemas de segundo-‐estágio;
§ Assim, encontrar o melhor x corresponde a encontrar a melhor variável aleatória da família.
§ Nesse problema, isso é alcançado através do ranqueamento das variáveis de acordo com seu valor esperado e selecionando-‐se a maior;
x1
x2...xn
f(x,!)
(!)
(!)
(!)
µ1
µ2
µn
Tomada de decisão neutra à risco
max
x
E!
[f(x,!)]
s.a: x 2 X
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Exemplo prático
§ Considere o seguinte problema: § Problema do comercializador de energia:
§ Preciso deEinir os montantes de energia a ser comprados hora a hora, a qual venderei para um grupo de clientes;
§ Objetivo: maximizar meu lucro; § Tenho duas opções: comprar no mercado spot (preço incerto) ou exercer compra sob contratos preEixados (mercado futuro) de valor e quantidade máxima (sem mínimo);
§ Preço de venda para os clientes e demandas horárias conhecidos.
Demanda
Mercado spot
Mercado futuro
Eu
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Exemplo prático
§ Dados de entrada: § Horizonte: 3h § Preço de venda: 35/MWh § Demandas: 150, 225, 175 (MW)
Contrato Preço ($/MWh) Qtde Máxima (MW)
1 34 50 2 35 30 3 36 25 Cenário t=1 t=2 t=3
1 28.5 36.3 31.4 2 27.3 37.5 29.6 3 29.4 35.7 31.3 4 33.9 38.9 37.5 5 34.5 38.9 37.5 6 29.2 34.8 31.2 7 34.1 36.9 32.1 8 33.4 35.4 34.9 9 28.4 36.3 32.9 10 27.6 38.9 32.1
25
30
35
40
t=0 t=1 t=2 t=3
Price ($/M
Wh)
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Exemplo prático
§ Formulação do problema:
max
xf ,yt,!
3X
t=1
C
P
C
t
3X
f=1
3X
t=1
F
f
x
f
10X
!=1
(!)
3X
t=1
P
t!
y
t!
s.a:
0 x
f
X
max
f
, f = 1, 2, 3
3X
f=1
x
f
+ y
t!
= P
C
t
, t = 1, 2, 3;! = 1, . . . , 10
y
t!
0
Demanda
Mercado spot
Mercado futuro
Eu
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Exemplo prático
§ Formulação do problema:
max
xf ,yt,!
3X
t=1
C
P
C
t
3X
f=1
3X
t=1
F
f
x
f
10X
!=1
(!)
3X
t=1
P
t!
y
t!
s.a:
0 x
f
X
max
f
, f = 1, 2, 3
3X
f=1
x
f
+ y
t!
= P
C
t
, t = 1, 2, 3;! = 1, . . . , 10
y
t!
0
Receita Custo (contratos) Custo spot
Limites para os contratos
Total comprado tem que atender demanda
Demanda
Mercado spot
Mercado futuro
Eu
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Exemplo prático
§ Solução: § FO: $618.75 § Solução ótima x1* = x2* = x3* = 0
Cenário Lucro ($) 1 1312.5 2 1537.5 3 1330.0 4 57.5 5 -‐1240.0 6 1580.0 7 -‐362.5 8 167.5 9 1065.0 10 740.0 20% de chance de
ter prejuízo
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
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Tomada de decisão avessa ao risco
§ A grande desvantagem de se ignorar o risco é que os valores ótimos de x e y(ω) pode nos levar a ter o maior rendimento médio às expensas de obter lucros muito baixo em alguns cenários desfavoráveis.
§ De forma a controlar esse efeito, normalmente utiliza-‐se um termo que modele o risco de variabilidade associado a f(x,w). è medida de risco.
§ Matematicamente:
Medida de risco
r! f(x,!) | r! : x ! R
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
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§ Temos basicamente dois paradigmas distintos para a consideração do risco na formulação do problema de otimização:
1. Considerar o risco na função objetivo, minimizando-‐o
2. Considerar o risco segundo um “orçamento”, como restrição
max
x
E!
[f(x,!)] r
!
f(x,!)
s.a:
x 2 X
max
x
E!
[f(x,!)]
s.a:
r
!
f(x,!)
x 2 X
Peso (se 0 è neutro ao risco)
Tomada de decisão avessa ao risco
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Tomada de decisão avessa ao risco
§ Em ambos os casos, a solução ótima está condicionada aos parâmetros que deEinem a tolerância à exposição ao risco; § Soluções indicam pontos e;icientes, cuja coleção deEine uma fronteira e;iciente;
§ Em termos gerais, um ponto eEiciente é um par retorno esperado/risco de forma que é impossível encontrar um conjunto de variáveis de decisões que provenham simultaneamente maior retorno e menor risco
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Medidas de risco
§ São usadas para caracterizar o risco; § Permitem a comparação direta entre duas soluções distintas em termos de risco.
§ Propriedades desejáveis para medidas de risco (Artzner et. al 1999): 1. Invariância translacional: (risco constante para constante)
2. Subaditividade: (efeito portfólio)
3. Homogeneidade positiva: (dobro do investimento, dobro de risco...)
4. Monotonicidade: (melhor performance = menor risco) Se f1(!) f2(!) para todo f1(!), f2(!) 2 F , entao r!f1(!) r!f2(!)
r!f1(!) a = r!f1(!) a para todo f1(!) 2 F
r!f1(!) + f2(!) r!f1(!)+ r!f2(!) para todo f1(!), f2(!) 2 F
r!f1(!) + a = r!f1(!)+ a para todo f1(!) 2 F
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Medidas de risco
§ Variância (Markowitz, 1952) § Primeiramente proposta por H. M. Markowitz; § Modelo média-‐variância: considera o valor esperado e a variância do retorno; § Variância:
§ Dessa forma, podemos incorporar a variância no modelo neutro a risco: V (x) = E![(f(x,!) E![f(x,!)])
2]
max
x,y(!)(1 )
c
T
x+
X
!2
(!)q(!)
T
y(!)
!
X
!2
(!)
f(x,!)
X
!
02
(w
0)f(x,w
0)
!2
s.a:
Ax = b
T (!)x+W (!)y(!) = h(!), 8! 2
x 2 X, y(!) 2 Y, 8! 2
Peso ponderativo
Problema quadrático
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Medidas de risco
§ Voltando ao exemplo:
max
xf ,yt!
(1 )
0
@3X
t=1
C
P
C
t
3X
f=1
3X
t=1
F
f
x
f
10X
!=1
!
3X
t=1
P
t!
y
t!
1
A
10X
!=1
!
P
t!
y
t!
10X
w
0=1
!
0
3X
t=1
P
t!
0yt!
0
!2
s.a:
0 x
f
X
max
f
, f = 1, 2, 3
3X
f=1
x
f
+ y
t!
= P
C
t
, t = 1, 2, 3; ! = 1, . . . , 10
y
t!
, t = 1, 2, 3; ! = 1, . . . , 10
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
UNESP, 9 a 13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
Medidas de risco
§ Resultados: β = 1 § FO = $208.65 (62% menor) § Solução ótima:
§ x1* 50; x2* = 30; x3* = 25
Min. variância = exercer o máximo dos contratos
Cenário Lucro ($)
1 463.50
2 499.50
3 502.00
4 69.50
5 -‐545.50
6 626.00
7 -‐140.50
8 106.00
9 363.00
10 143.00
Pior cenário é 56% melhor…
… mas o melhor cenário é 60.4% pior…
…afeta ambas as caudas da distribuição!
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Medidas de risco
§ Resultados: β = 1 § FO = $208.65 (62% menor) § Solução ótima:
§ x1* 50; x2* = 30; x3* = 25
Min. variância = excercer o máximo dos contratos
Cenário Lucro ($)
1 463.50
2 499.50
3 502.00
4 69.50
5 -‐545.50
6 626.00
7 -‐140.50
8 106.00
9 363.00
10 143.00
Pior cenário é 56% melhor…
… mas o melhor cenário é 60.4% pior…
…afeta ambas as caudas da distribuição!
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
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Medidas de risco
Observações: § Possui a diEiculdade de
tornar o modelo quadrático, e portanto mais diEícil de ser resolvido;
§ Penaliza desvios para ambos os sentidos: § Cenários de alta rentabilidade também são penalizados;
§ Não é uma medida coerente para medida ao risco;
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Medidas de risco
Probabilidade de dé[icit (shortfall probability, Browne, 1999) § De[inição: probabilidade do lucro
ser menor que um valor pre;ixado η.
§ Em termos gerais, quanto menor a probabilidade de déEicit, melhor para o tomador de decisão.
§ A probabilidade de déEicit é dada pela soma das probabilidades dos cenários abaixo (“à esquerda”) de η.
SP (, x) = P (! | f(x,!) < ), 8 2 R
P (!)
f(x,!)
SP (, x)
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max
x,y(!),(!)(1 )
c
T
x+
X
!2
(!)q(!)
T
y(!)
!
X
!2
(!)(!)
s.a:
Ax = b
T (!)x+W (!)y(!) = h(!), 8! 2
c
T
x+ q(!)
T
y(!)
M(!), 8! 2
(!) 2 0, 1, 8! 2
x 2 X, y(!) 2 Y, 8! 2
Medidas de risco
§ Incorporando a probabilidade de dé[icit no modelo neutro a risco:
Estrutura matemática que “conta” quantos cenários Eicam abaixo de η e acumula suas probabilidades
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
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Medidas de risco
§ Voltando ao exemplo:
max
xf ,yt!
(1 )
0
@3X
t=1
C
P
C
t
3X
f=1
3X
t=1
F
f
x
f
10X
!=1
!
3X
t=1
P
t!
y
t!
1
A
10X
!=1
!
!
s.a:
0 x
f
X
max
f
, f = 1, 2, 3
3X
f=1
x
f
+ y
t!
= P
C
t
, t = 1, 2, 3; ! = 1, . . . , 10
y
t!
0, t = 1, 2, 3; ! = 1, . . . , 10
0
@3X
t=1
C
P
C
t
3X
f=1
3X
t=1
F
f
x
f
3X
t=1
P
t!
y
t!
1
A M
!
,! = 1, . . . , 10
!
2 0, 1
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
UNESP, 9 a 13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
Medidas de risco
§ Resultados (β = 1, η=$175) § FO = $539.44 (13% menor)
§ Solução ótima: § x1* = 49; x2* = x3* = 0;
Cenário Lucro ($) θ
1 1028.54 0
2 1165.42 0
3 1055.83 0
4 175.00 0
5 -‐804.27 1
6 1247.08 0
7 -‐147.08 1
8 250.73 0
9 849.58 0
10 573.54 0 SP ($175, x) =10X
!=1
!! = 0.1(1) + 0.1(1) = 0.2
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
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Medidas de risco
§ Resultados (β = 1, η=$175) § FO = $539.44 (13% menor)
§ Solução ótima: § x1* = 49; x2* = x3* = 0;
Cenário Lucro ($) θ
1 1028.54 0
2 1165.42 0
3 1055.83 0
4 175.00 0
5 -‐804.27 1
6 1247.08 0
7 -‐147.08 1
8 250.73 0
9 849.58 0
10 573.54 0 SP ($175, x) =10X
!=1
!! = 0.1(1) + 0.1(1) = 0.2
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Medidas de risco
Observações: probabilidade de dé[icit § Aumenta a complexidade do problema ao inserir variáveis inteiras na formulação;
§ Não nos permite obter informações relativas a distribuição dos lucros além de η; § Uma cauda gorda não é capaz de ser detectada;
§ Não consiste de uma uma medida coerente de risco: § Unidade de medida distinta (não é lucro!);
§ Valor meta Eixo η;
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Medidas de risco
Escassez esperada (expected shortage, Acerbi, Nordio e Sirtori, 2001) § De[inição: valor esperado do lucro dos cenários com um lucro menor que um valor preEixado η.
ES(, x) = E [max f(x,!), 0]SP (, x)
, 8 2 R
Para fazer a conta da média, precisamos considerar só a probabilidade dos cenários que dão lucro menor que η.
P (!)
f(x,!)
ES(, x)
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Medidas de risco
§ Incorporando a escassez esperada no modelo neutro à risco:
Estrutura matemática que acumula quanto cada cenário excedeu η e calcula a média dos excessos.
max
x,y(!),(!)(1 )
c
T
x+
X
!2
(!)q(!)
T
y(!)
!
X
!2
(!)s(!)
s.a:
Ax = b
T (!)x+W (!)y(!) = h(!), 8! 2
c
T
x+ q(!)
T
y(!)
s(!), 8! 2
s(!) 0, 8! 2
x 2 X, y(!) 2 Y, 8! 2
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
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Medidas de risco
§ Voltando ao exemplo:
max
xf ,yt!
(1 )
0
@3X
t=1
C
P
C
t
3X
f=1
3X
t=1
F
f
x
f
10X
!=1
!
3X
t=1
P
t!
y
t!
1
A
10X
!=1
!
s
!
s.a:
0 x
f
X
max
f
, f = 1, 2, 3
3X
f=1
x
f
+ y
t!
= P
C
t
, t = 1, 2, 3; ! = 1, . . . , 10
y
t!
0, t = 1, 2, 3; ! = 1, . . . , 10
0
@3X
t=1
C
P
C
t
3X
f=1
3X
t=1
F
f
x
f
3X
t=1
P
t!
y
t!
1
A s
!
,! = 1, . . . , 10
s
!
0
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
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Medidas de risco
§ Resultados: (β = 1, η=$0) § FO = $208.65 (62% menor) § Solução ótima:
§ x1* 50; x2* = 30; x3* = 25
Cenário Lucro ($) s
1 463.50 0
2 499.50 0
3 502.00 0
4 69.50 0
5 -‐545.50 545.50
6 626.00 0
7 -‐140.50 140.50
8 106.00 0
9 363.00 0
10 143.00 0 ES(0, x) = 0
P10!=1 !s
!P10
!=1|s0 !
=54.55 + 14.05
0.2= $342.75
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
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Medidas de risco
§ Resultados: (β = 1, η=$0) § FO = $208.65 (62% menor) § Solução ótima:
§ x1* 50; x2* = 30; x3* = 25
Cenário Lucro ($) s
1 463.50 0
2 499.50 0
3 502.00 0
4 69.50 0
5 -‐545.50 545.50
6 626.00 0
7 -‐140.50 140.50
8 106.00 0
9 363.00 0
10 143.00 0 ES(0, x) = 0
P10!=1 !s
!P10
!=1|s0 !
=54.55 + 14.05
0.2= $342.75
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UNESP, 9 a 13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
Medidas de risco
§ Observações: escassez esperada § Note que, neste caso:
§ A complexidade é pouco afetada;
§ O risco é medido na mesma unidade do lucro;
§ No entanto, ainda assim não é uma medida coerente de risco: § Valor Eixo η
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Medidas de risco
Value-‐at-‐Risk (Jorion, 2000) § De[inição: Dado uma probabilidade
α, O VaR é dado pelo maior valor η que garante que a probabilidade de se obter um lucro menor que η é menor que 1-‐α.
§ Pode-‐se pensar o VaR como sendo o quantil (1-‐α) da distribuição do lucro
P (!)
f(x,!)
V aR(↵, x) = max :
P (!|f(x,!) < ) 1 ↵, 8↵ 2 (0, 1)
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Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
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Medidas de risco
§ Incorporando o VaR ao modelo neutro à risco:
Estrutura matemática que “conta” quais cenários excederam η ao passo que maximiza η dinamicamente
max
x,y(!),(!),(1 )
c
T
x+
X
!2
(!)q(!)
T
y(!)
!+
s.a:
Ax = b
T (!)x+W (!)y(!) = h(!), 8! 2
X
!2
(!)(!) 1 ↵
c
T
x+ q(!)
T
y(!)
M(!), 8! 2
(!) 2 0, 1, 8! 2
x 2 X, y(!) 2 Y, 8! 2
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Medidas de risco
§ Voltando ao exemplo:
max
xf ,yt!,!,
(1 )
0
@3X
t=1
C
P
C
t
3X
f=1
3X
t=1
F
f
x
f
10X
!=1
!
3X
t=1
P
t!
y
t!
1
A+
s.a:
0 x
f
X
max
f
, f = 1, 2, 3
3X
f=1
x
f
+ y
t!
= P
C
t
, t = 1, 2, 3; ! = 1, . . . , 10
y
t!
0, t = 1, 2, 3; ! = 1, . . . , 10
0
@3X
t=1
C
P
C
t
3X
f=1
3X
t=1
F
f
x
f
3X
t=1
P
t!
y
t!
1
A M
!
,! = 1, . . . , 10
10X
!=1
!
!
1 ↵
!
2 0, 1,! = 1, . . . , 10
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UNESP, 9 a 13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
Medidas de risco
§ Resultados: (β = 1, α=0.8) § FO = $535.75 (η=$177.50) § Solução ótima:
§ x1* 50; x2* = 0; x3* = 0
Cenário Lucro ($) θ
1 1022.50 0
2 1157.50 0
3 1050.00 0
4 177.50 0
5 -‐795.00 1
6 1240.00 0
7 -‐142.50 1
8 252.50 0
9 845.00 0
10 570.00 0
η (VaR)
P (!|f(x,!) < ) = 0.1 + 0.1 = 0.2
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Medidas de risco
§ Resultados: (β = 1, α=0.8) § FO = $535.75 (η=$177.50) § Solução ótima:
§ x1* 50; x2* = 0; x3* = 0
Cenário Lucro ($) θ
1 1022.50 0
2 1157.50 0
3 1050.00 0
4 177.50 0
5 -‐795.00 1
6 1240.00 0
7 -‐142.50 1
8 252.50 0
9 845.00 0
10 570.00 0
η (VaR)
P (!|f(x,!) < ) = 0.1 + 0.1 = 0.2
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Medidas de risco
§ Obsevações: VaR § Também aumenta a complexidade do problema, ao inserir variáveis inteiras;
§ Assim como o shortfall probability, não é possível obter informações referentes à “espessura” da cauda; § A cauda pode ser “gorda”, no sentido de cenários avassaladores poderem vir a ocorrer com relativa probabilidade;
§ Não é uma medida coerente de risco
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Medidas de risco
§ Value-‐at-‐Risk Condicional (CVaR, Rockafellar e Uryasev, 2000) § De[inição: Dado uma probabilidade α, O CVaR é deEinido como a média dos lucros menores que o quantil 1-‐α da distribuição de lucro.
§ No caso de todos os cenários serem equiprováveis, o CVaR é computado como o lucro esperado dos (1-‐ α)% piores cenários.
P (!)
f(x,!)
CV aR(↵, x) = max 1
1 ↵
E[max f(x,!), 0], 8↵ 2 (0, 1)
CV aR(↵, x)
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Medidas de risco
§ Incorporando o CVaR ao modelo neutro à risco:
max
x,y(!),s(!),(1 )
c
T
x+
X
!2
(!)q(!)
T
y(!)
!+
P!2 (!)s(!)
1 ↵
s.a:
Ax = b
T (!) +W (!)y(!) = h(!), 8! 2
c
T
x+ q(!)
T
y(!)
s(!), 8! 2
s(!) 0, 8! 2
x 2 X, y(!) 2 Y, 8! 2
Estrutura matemática que acumula o que excede de η ao passo que maximiza η
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Medidas de risco
§ Voltando ao exemplo:
max
xf ,yt!,!,
(1 )
0
@3X
t=1
C
P
C
t
3X
f=1
3X
t=1
F
f
x
f
10X
!=1
!
3X
t=1
P
t!
y
t!
1
A+
P10!=1 !
s
!
1 ↵
!
s.a:
0 x
f
X
max
f
, f = 1, 2, 3
3X
f=1
x
f
+ y
t!
= P
C
t
, t = 1, 2, 3; ! = 1, . . . , 10
y
t!
0, t = 1, 2, 3; ! = 1, . . . , 10
0
@3X
t=1
C
P
C
t
3X
f=1
3X
t=1
F
f
x
f
3X
t=1
P
t!
y
t!
1
A s
!
,! = 1, . . . , 10
s
!
0,! = 1, . . . , 10
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UNESP, 9 a 13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
Medidas de risco
§ Resultados: (β = 1, α = 0.8) § FO = $208.65 (62% menor) § Solução ótima:
§ x1* 50; x2* = 30; x3* = 25
Cenário Lucro ($) s
1 463.50 0
2 499.50 0
3 502.00 0
4 69.50 0
5 -‐545.50 405.00
6 626.00 0
7 -‐140.50 0
8 106.00 0
9 363.00 0
10 143.00 0 CV aR(↵, x) = 140.50 1
1 0.8(0.1 405.00) = 343.00
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UNESP, 9 a 13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
Medidas de risco
§ Resultados: (β = 1, α = 0.8) § FO = $208.65 (62% menor) § Solução ótima:
§ x1* 50; x2* = 30; x3* = 25
Cenário Lucro ($) s
1 463.50 0
2 499.50 0
3 502.00 0
4 69.50 0
5 -‐545.50 405.00
6 626.00 0
7 -‐140.50 0
8 106.00 0
9 363.00 0
10 143.00 0 CV aR(↵, x) = 140.50 1
1 0.8(0.1 405.00) = 343.00
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
UNESP, 9 a 13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
Medidas de risco
§ Observações: CVaR § Também conhecido como “mean excess loss” ou “average value-‐at-‐risk”
§ Não aumenta a complexidade pois não são adicionadas variáveis inteiras;
§ É capaz de levar em conta o efeito de “caudas gordas”;
§ E ainda é uma medida coerente de risco.
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
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Medidas de risco
§ Observações Einais: § Levar em conta riscos permite tomar decisões que evitam resultados indesejados
§ Usualmente, a gestão de risco é feito por intermédio de medidas de risco.
§ Algumas medidas tradicionais: § Variância – não-‐linear § Shortfall probability e expected shortfall – requerem targets e aumentam complexidade, mas são amigáveis no que se refere a algoritmos de decomposição
§ VaR e CVaR não usam tais targets. Mais ainda, CVaR é coerente. § Atualmente CVaR é amplamente utilizado pois, além de ser uma medida coerente, pode ser expresso através de funções lineares
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
UNESP, 9 a 13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
Otimização Robusta
§ Consiste de um paradigma completamente diferente, no que se refere a consideração de incerteza em problemas de otimização;
§ Neste caso, o paradigma envolve questões como aversão à risco e viabilidade § Alguns autores consideram a utilização de medidas de risco e o uso de chance constraints como otimização robusta
§ Os primeiros trabalhos sobre otimização robusta datam da década de 50 § Análise de pior caso e modelos maximin (ou minimax); § Na década de 70, ganhou força novamente com o trabalho de Soyster (73). § Um novo “boom” aconteceu no início da década de 00, com os trabalhos de Dimitri Bertsimas e Melvin Sim (2004).
§ Atualmente, existem diversas formas de se ver um problema de otimização que podem ser consideradas com sendo “otimização robusta”
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UNESP, 9 a 13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
Otimização Robusta
§ Oriunda da necessidade de se gerar soluções robustas. § Imunes à erros de estimação dos dados de entrada ou eventuais variabilidades;
§ O conceito de robustez está intrinsicamente atrelado a deEinição de um conjunto de incerteza. § Conjunto que deEine a permissividade de variabilidade;
§ A geometria do conjunto de incerteza é fundamental para a tratabilidade do problema;
minx
c
T
x+ d
s.a: Ax b
minx
c
T
x+ d
s.a: Ax b, (c, d, A, b) 2
min
x
max
(c,d,A,b)2c
T
x+ d
s.a: Ax b Pior caso!
Conjunto de!incerteza!
DETERM
INÍSTICO
SOB INCERTEZA
ROBUSTO
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
UNESP, 9 a 13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
Otimização Robusta
§ A otimização robusta se baseia na “análise de pior caso” § Estaremos sempre buscando a melhor solução possível, assumindo que a natureza se comportará da pior maneira possível.
§ Desta forma, seja o seguinte problema de otimização linear:
§ Assumindo que o valor da função objetivo é nosso “medidor de qualidade” de uma dada solução, temos…
minx
c
T
x+ d
s.a: Ax b
minx
c
T
x+ d
s.a: Ax b, (c, d, A, b) 2
Modelo determinísAco Modelo sob incerteza Conjunto de incerteza
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
UNESP, 9 a 13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
Otimização Robusta
§ Assumindo que o valor da FO é nosso “medidor de qualidade” de uma dada solução, temos… § Pior que pode acontecer:
§ Dessa forma, podemos deEinir o nosso problema robusto (contraparte robusta) como sendo:
max
(c,d,A,b)2c
Tx+ d
min
x
max
(c,d,A,b)2c
T
x+ d
s.a: Ax b
Pior caso (worst-‐case scenario)
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
UNESP, 9 a 13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
Otimização Robusta
§ Hipóteses básicas: 1. As variáveis de decisão x representam decisões do tipo “aqui e agora”, ou seja, a
elas devem ser atribuídos valores como resultado da resolução do problema antes que os dados reais se revelem;
2. O agente tomador de decisão só é responsável pelas consequências das decisões realizadas quando, e somente quando, os dados reais estão dentro do conjunto de incertezas Θ;
3. As restrições são inElexíveis, i.e., não são permitidas violações; § DeEinições:
§ Conjunto de incerteza: seja o conjunto Ji o conjunto de coeEicientes de uma dada linha i de A que estão sujeitos à incerteza.
§ Cada entrada aij de A é modelada como uma variável aleatória ãij que assume valores no intervalo simétrico e limitado [aij – âij, aij + âij ]. Além disso, deEinimos ηij = (ãij -‐ aij)/âij, que obedece uma distribuição qualquer desconhecida e assume valores no intervalo [-‐1, 1] ;
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Otimização Robusta
§ Dessa forma, podemos pensar (sem perda de generalidade) a contraparte robusta como sendo o seguinte problema de otimização binível:
§ Observação: § No caso de a incerteza ser em um dos coeEicientes da FO, ou em um termo independente, o problema pode ser facilmente reescrito na forma acima. § Para tal, basta reescrever a função objetivo como uma restrição e “anexa-‐la” a matriz A.
min
x
c
T
x
s.a:
X
j
a
ij
x
j
+max
2U
8<
:X
j2Ji
ij
a
ij
x
j
9=
; b
i
, 8i
x
j
0, 8jPior caso (worst-‐case scenario)
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
UNESP, 9 a 13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
Contraparte robusta
Representação em “caixa” (Soyster, 1973) § A ideia é utilizar uma caixa para
representar o conjunto de possíveis valores para os parâmetros incertos § Utiliza-‐se o máximo nível de proteção possível;
§ Assume-‐se que todos os parâmetros incertos assumirão o pior valor possível simultâneamente.
§ Vantagem: simplicidade de implementação;
§ Desvantagem: elevado grau de conservadorismo (alta deterioração da função-‐objetivo)
a1
a2
[a1 a1] [a1 + a1]
[a2 a2]
[a2 + a2]
a1
a2
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
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Contraparte robusta
max
2U
8<
:X
j2Ji
ij aijxj : |j | 1, 8j 2 Ji
9=
;
=
X
j2Ji
aijxj
No óAmo do pior caso, η = 1 se âij é posi7vo para todo i,j
U = | kk1 1 = |j | 1, 8j 2 Ji
DeEinição da caixa como conjunto de incerteza:
No pior caso, temos que:
Representação em “caixa” (Soyster, 1973) § A ideia é utilizar uma caixa para
representar o conjunto de possíveis valores para os parâmetros incertos § Utiliza-‐se o máximo nível de proteção possível;
§ Assume-‐se que todos os parâmetros incertos assumirão o pior valor possível simultâneamente.
§ Vantagem: simplicidade de implementação;
§ Desvantagem: elevado grau de conservadorismo (alta deterioração da função-‐objetivo)
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
UNESP, 9 a 13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
Contraparte robusta
minx
c
T
x
s.a:X
j
a
ij
x
j
+X
j2Ji
a
ij
x
j
b
i
, 8i
x
j
0, 8j
Parcela de proteção ao pior caso.
U = | kk1 1 = |j | 1, 8j 2 Ji
Assim, a contraparte robusta pode ser escrita como sendo:
Representação em “caixa” (Soyster, 1973) § A ideia é utilizar uma caixa para
representar o conjunto de possíveis valores para os parâmetros incertos § Utiliza-‐se o máximo nível de proteção possível;
§ Assume-‐se que todos os parâmetros incertos assumirão o pior valor possível simultâneamente.
§ Vantagem: simplicidade de implementação;
§ Desvantagem: elevado grau de conservadorismo (alta deterioração da função-‐objetivo)
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
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Contraparte robusta
a1
a2
[a1 a1] [a1 + a1]
[a2 a2]
[a2 + a2]
a1
a2
Representação em “esfera” (Ben-‐Tal & Nemirovski, 2000) § A ideia é reduzir o elevado
conservadorismo da representação de Soyster por intermédio de uma estrutura geométrica elipsoidal.
§ A intuição da forma utilizada se refere ao “feeling” que a probabilidade de todos os parâmetros assumirem seus piores casos simultaneamente é baixa. § A técnica permite que seja controlado
o nível de conservadorismo, através da deEinição do “diâmetro”
§ Vantagem: redução (e eventual controle) do conservadorismo;
§ Desvantagem: aumenta a complexidade do problema (SOCP)
ΩΩ= 1
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Contraparte robusta
a1
a2
[a1 a1] [a1 + a1]
[a2 a2]
[a2 + a2]
a1
a2
Representação em “esfera” (Ben-‐Tal & Nemirovski, 2000) § A ideia é reduzir o elevado
conservadorismo da representação de Soyster por intermédio de uma estrutura geométrica elipsoidal.
§ A intuição da forma utilizada se refere ao “feeling” que a probabilidade de todos os parâmetros assumirem seus piores casos simultaneamente é baixa. § A técnica permite que seja controlado
o nível de conservadorismo, através da deEinição do “diâmetro”
§ Vantagem: redução (e eventual controle) do conservadorismo;
§ Desvantagem: aumenta a complexidade do problema (SOCP)
ΩΩ= √2
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Contraparte robusta
max
2U
8<
:X
j2Ji
ij aijxj :
X
j2Ji
2ij
2
9=
;
=max
2U
8>><
>>:
vuuut
0
@X
j2Ji
ij aijxj
1
A2
:
X
j2Ji
2ij
2
9>>=
>>;
=max
2U
8>><
>>:
vuuut
0
@X
j2Ji
ij
1
A2 0
@X
j2Ji
aijxj
1
A2
:
X
j2Ji
2ij
2
9>>=
>>;
=
sX
j2Ji
a
2ijx
2j
U = | kk2 =
8<
:X
j2Ji
2j 2
9=
;
DeEinição do elipsóide como conjunto de incerteza:
No pior caso, temos que:
Representação em “esfera” (Ben-‐Tal & Nemirovski, 2000) § A ideia é reduzir o elevado
conservadorismo da representação de Soyster por intermédio de uma estrutura geométrica elipsoidal.
§ A intuição da forma utilizada se refere ao “feeling” que a probabilidade de todos os parâmetros assumirem seus piores casos simultaneamente é baixa. § A técnica permite que seja controlado
o nível de conservadorismo, através da deEinição do “diâmetro”
§ Vantagem: redução (e eventual controle) do conservadorismo;
§ Desvantagem: aumenta a complexidade do problema (SOCP)
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Contraparte robusta
minx
c
T
x
s.a:X
j
a
ij
x
j
+
sX
j2Ji
a
2ij
x
2j
b
i
, 8i
x
j
0, 8j
Parcela de proteção ao pior caso.
U = | kk2 =
8<
:X
j2Ji
2j 2
9=
;
Assim, a contraparte robusta pode ser escrita como sendo:
Representação em “esfera” (Ben-‐Tal & Nemirovski, 2000) § A ideia é reduzir o elevado
conservadorismo da representação de Soyster por intermédio de uma estrutura geométrica elipsoidal.
§ A intuição da forma utilizada se refere ao “feeling” que a probabilidade de todos os parâmetros assumirem seus piores casos simultaneamente é baixa. § A técnica permite que seja controlado
o nível de conservadorismo, através da deEinição do “diâmetro”
§ Vantagem: redução (e eventual controle) do conservadorismo;
§ Desvantagem: aumenta a complexidade do problema (SOCP)
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Contraparte robusta
Representação poliédrica (Bertsimas & Sim, 2004) § Neste caso também busca-‐se reduzir
o nível de conservadorismo com relação ao método de Soyster; § A ideia é controlar, através de um parâmetro ajustável Γ, que representa quantas “dimensões” podem assumir o pior caso.
§ Contingência guarda-‐chuva: o método garante que sempre serão considerados os Γ que mais “prejudicam” o problema.
§ Vantagem: controle do conservadorismo e simplicidade;
§ Desvantagem: interpretação de Γ; a1
a2
[a1 a1] [a1 + a1]
[a2 a2]
[a2 + a2]
a1
a2
Γ = 1
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Contraparte robusta
a1
a2
[a1 a1] [a1 + a1]
[a2 a2]
[a2 + a2]
a1
a2
Γ = 2
Representação poliédrica (Bertsimas & Sim, 2004) § Neste caso também busca-‐se reduzir
o nível de conservadorismo com relação ao método de Soyster; § A ideia é controlar, através de um parâmetro ajustável Γ, que representa quantas “dimensões” podem assumir o pior caso.
§ Contingência guarda-‐chuva: o método garante que sempre serão considerados os Γ que mais “prejudicam” o problema.
§ Vantagem: controle do conservadorismo e simplicidade;
§ Desvantagem: interpretação de Γ;
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Contraparte robusta
max
2U
8<
:X
j2Ji
ij aijxj :
X
j2Ji
|j |
9=
;
DeEinição do poliédro Γ-‐dimensional como conjunto de incerteza:
No pior caso, temos que:
max
z
X
j2Ji
aijxjzij
s.a:
X
j2Ji
zij i
0 zij 1, 8j 2 Ji
U = | kk1 = X
j2Ji
|j |
Que pode ser escrito como o seguinte problema de otimização:
Representação poliédrica (Bertsimas & Sim, 2004) § Neste caso também busca-‐se reduzir
o nível de conservadorismo com relação ao método de Soyster; § A ideia é controlar, através de um parâmetro ajustável Γ, que representa quantas “dimensões” podem assumir o pior caso.
§ Contingência guarda-‐chuva: o método garante que sempre serão considerados os Γ que mais “prejudicam” o problema.
§ Vantagem: controle do conservadorismo e simplicidade;
§ Desvantagem: interpretação de Γ;
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
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Contraparte robusta
min,p
X
j2Ji
pij + ii
s.a: i + pij aijxj
pij 0, 8j 2 Ji
i 0
max
z
X
j2Ji
aijxjzij
s.a:
X
j2Ji
zij i
0 zij 1, 8j 2 Ji
Para que evitemos poblemas de não-‐linearidade, consideramos a formulação dual deste problema:
Representação poliédrica (Bertsimas & Sim, 2004) § Neste caso também busca-‐se reduzir
o nível de conservadorismo com relação ao método de Soyster; § A ideia é controlar, através de um parâmetro ajustável Γ, que representa quantas “dimensões” podem assumir o pior caso.
§ Contingência guarda-‐chuva: o método garante que sempre serão considerados os Γ que mais “prejudicam” o problema.
§ Vantagem: controle do conservadorismo e simplicidade;
§ Desvantagem: interpretação de Γ;
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minx
c
T
x
s.a:X
j
a
ij
x
j
+
i
i
+X
j2Ji
p
ij
b
i
, 8i
i
+ p
ij
a
ij
y
j
, 8i, j 2 J
i
x
j
0, 8jp
ij
0, 8i, j
i
0, 8i
Contraparte robusta
Parcela de proteção ao pior caso.
U = | kk1 = X
j2Ji
|j |
Assim, a contraparte robusta pode ser escrita como sendo:
Representação poliédrica (Bertsimas & Sim, 2004) § Neste caso também busca-‐se reduzir
o nível de conservadorismo com relação ao método de Soyster; § A ideia é controlar, através de um parâmetro ajustável Γ, que representa quantas “dimensões” podem assumir o pior caso.
§ Contingência guarda-‐chuva: o método garante que sempre serão considerados os Γ que mais “prejudicam” o problema.
§ Vantagem: controle do conservadorismo e simplicidade;
§ Desvantagem: interpretação de Γ;
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Exemplo Prático
Problema da mochila
§ Instância considerada: § 50 itens, cj = U[1, 200], pj = U[1, 100]; § Desvios aleatórios de 50% para qj ;
max
x
X
j
c
j
x
j
s.a:
X
j
q
j
x
j
V
0 x
j
1, 8j
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Exemplo Prático
Problema da mochila § Contrapartes robustas
max
x
X
j
c
j
x
j
s.a:
X
j
q
j
x
j
+
X
j
q
j
x
j
V
0 x
j
1, 8j
max
x
X
j
c
j
x
j
s.a:
X
j
q
j
x
j
+
sX
j
q
2j
x
2j
V
0 x
j
1, 8j
max
x
X
j
c
j
x
j
s.a:
X
j
q
j
x
j
+ +
X
j
p
j
V
+ p
j
q
j
x
j
, 8j0 x
j
1, 8j
Soyster
Ben-‐Tal & Nemirovski
Bertsimas & Sim
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Exemplo Prático
Resultados: Soyster
Ben-‐Tal & Nemirovski
Bertsimas & Sim
# Var. 50 50 101 # Const. 51 51 101 Tipo LP NLP LP FO 3874 4388 4483-‐3847
3800
3900
4000
4100
4200
4300
4400
4500
4600
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51
Valor d
a FO
Γ
Γ = 1 a 50
Pior caso sempre coberto para Γ> 30
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Garantias probabilísticas
§ Tanto a geometria quanto a extensão do conjunto de incerteza é deEinida pelo decisor.
§ O espaço de incerteza, por sua vez, é pre-‐estabelecido a priori.
§ Dependendo do “orçamento de robustez” estabelecido, a abrangência do espaço é maior ou menor, segundo o quanto de tal espaço é coberto pelo conjunto estabelecido.
§ Ao analisar a proporção entre o conjunto de incerteza e o espaço de incerteza, podemos pensar em probabilidades de viabilidade
a1
a2
[a1 a1] [a1 + a1]
[a2 a2]
[a2 + a2]
a1
a2
Γ = 1
a1
a2
[a1 a1] [a1 + a1]
[a2 a2]
[a2 + a2]
a1
a2
Γ = 2
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Garantias probabilísticas
§ Se o conjunto de incerteza cobre completamente o espaço de incerteza temos que probabilidade de inviabilidade é zero (Soyster).
§ No entanto, pode ser conservador demais buscar cobrir o espaço de incerteza completamente.
§ Dessa forma, buscamos avaliar o trade-‐off entre cobrir parte do conjunto, aceitando certo grau de exposição.
§ A pergunta é: como medimos esse grau de exposição? § Usando uma medida de probabilidade de inviabilidade.
a1
a2
[a1 a1] [a1 + a1]
[a2 a2]
[a2 + a2]
a1
a2
Γ = 1
a1
a2
[a1 a1] [a1 + a1]
[a2 a2]
[a2 + a2]
a1
a2
Γ = 2
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Garantias probabilísticas
Probabilidade de inviabilidade § Podemos deEinir a probabilidade de inviabilidade como sendo o seguinte:
§ Existem vários limites para essa probabilidade que são conhecidos na literatura. § Em geral eles estão associados com a geometria do conjunto
§ Um exemplo é a expressão geral, que é comprovadamente um limite para Pvio é dado por:
P
vio = Pr
8<
:X
j
aijxj +X
j2Ji
j aijxj > bi
9=
;
P vio e2
2|Ji|
onde:
= = 1 (Soyster)
= (Ben-tal e Nemirovski)
= (Bertsimas e Sim)
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Garantias probabilísticas
Probabilidade de inviabilidade § Podemos deEinir a probabilidade de inviabilidade como sendo o seguinte:
P
vio = Pr
8<
:X
j
aijxj +X
j2Ji
j aijxj > bi
9=
;
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
Probabilidade
Gama
Limite para probabilidade
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Restrições probabilísticas
§ Em determinadas situações pode não ser possível o estabelecimento de custos de recurso
§ Pensando no custo do recurso como uma penalização para o desvio face a uma meta, pode ser o caso de estarmos interessados em atendê-‐la somente na maioria dos casos § Ou seja, que, para algumas realizações, tais metas poderiam não ser atendidas.
§ Dessa forma, consideraremos que uma decisão será admissível se ela satisfazer as restrições com probabilidade igual ou maior que um grau de con;iabilidade α
p(x) := PT (!)x h(!) ↵
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Restrições probabilísticas
§ Tais restrições são conhecidas como restrições probabilisticas e busam inserir a consideração admissibilidade relativa.
§ T(ω) é uma matriz m x n, h(ω) um vetor m e p(x) representa a conEiabilidade da decisão. § Pensando em T(ω)x ≥ h(ω) como uma meta, p(x) pode ser entendido como a probabilidade de satisfazer tal meta.
§ Note que, neste caso, estamos preocupados com a satisfação da meta (T(ω)x ≥ h(ω)), sem se importar com a magnitude da violação. § Em problemas com recurso a ótica é exatamente oposta.
p(x) := PT (!)x h(!) ↵
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Restrições probabilísticas
§ Existem duas classes de restrições probabilísticas: § Restrições Probabilísticas Individuais (RPI)
§ Restrições Probabilísticas Conjuntas (RPC)
§ A principal diferença é que, nas RPI, metas são estabelecidas individualmente, enquanto nas RPC há uma espécie de atendimento simultâneo. § Se, quando agrupadas, as metas individuais representam uma única meta síntese è RPC
§ Se cada uma das metas individuais descreve um objetivo diferente è RPI
pi(x) := PTi(!)x hi(!) ↵i, 8i = 1, . . . ,m
p(x) := PTi(!)x hi(!), 8i = 1, . . . ,m ↵
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Restrições probabilísticas
§ Existem duas classes de restrições probabilísticas: § Restrições Probabilísticas Individuais (RPI)
§ Restrições Probabilísticas Conjuntas (RPC)
§ Considerações de ordem prática: em geral, RPC são muito mais diEíceis computacionalmente do que várias RPI. § Em alguns casos podem ser usar RPI para aproximar uma RPC § Propriedade: considere p(x) > α. Se x satisfaz pi(x) > αi, para todo i = 1,…, m, sendo αi = 1 – (1-‐α)/m, então x satisfaz p(x) > α (vide desigualdade de Bonferroni)
pi(x) := PTi(!)x hi(!) ↵i, 8i = 1, . . . ,m
p(x) := PTi(!)x hi(!), 8i = 1, . . . ,m ↵
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Restrições probabilísticas
§ Exemplo: gestão de um fundo de pensão § Considere um fundo de pensão de uma companhia com certas obrigações Einanceiras para os próximos 15 anos.
§ Capital inicial $250 000,00. § Três títulos (bonds) que dão retornos anuais (coupons). § Objetivo: maximizar o total de dinheiro ao Eim de 15 anos.
§ αij – rendimento por título I no ano j § βj – pagamento a ser feito no ano j § γi – custo por título do tipo I § xi – quantidade de títulos i a serem comprados
K nX
i=1
ixi +jX
k=1
nX
i=1
↵ikxi jX
k=1
k
Dinheiro após a compra
Rendimentos dos títulos
Pagamentos
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UNESP, 9 a 13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
Restrições probabilísticas
§ Exemplo: gestão de um fundo de pensão § Vamos assumir que queremos montantes de dinheiro positivos em todos os períodos.
§ SimpliEicando a notação:
K nX
i=1
ixi +jX
k=1
nX
i=1
↵ikxi jX
k=1
k 0, 8j = 1, . . . , 15
aij :=jX
k=1
↵ik i
bj :=jX
k=1
k K
max
x0
nX
i
a
im
x
i
s.a:
nX
i
a
ij
x
i
b
j
, j = 1, . . . ,m
Lucro com bounds até o ano m
Lucro positivo em cada ano
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Restrições probabilísticas
§ Dados do problema e solução:
(x1, x
2, x
3) = (31, 11; 55, 53; 147, 29)
Solução ótima: Valor Einal: 127 331,97
Fluxo de dinheiro ao longo dos anos
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Restrições probabilísticas
§ Note que, formalmente, em nenhum momento a restrição é violada, porém em 3 momentos temos uma quantidade de dinheiro nula. § Solução muito dependente da exatidão dos
pagamentos (βj)
§ Agora, vamos considerar que tais pagamentos se comportam como uma variável aleatória de média βj e desvio-‐padrão 500 x j.
§ Ao simularmos 100 cenários e analisarmos o Eluxo de dinheiro, observamos que 77 dos 100 cenários apresentam ;luxo negativo em algum momento do horizonte de planejamento (15 anos)
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Restrições probabilísticas
§ De forma a tornar a solução mais robusta, vamos utilizar restrições probabilisticas individuais § Pediremos que a probabilidade de se estar com uma quantidade positiva de dinheiro seja maior que α = 95%.
§ Para tal, vamos deEinir:
§ Assim, podemos reescrever nosso problema como sendo:
j =jX
k=1
j K
max
x0
nX
i
a
im
x
i
s.a: P(
nX
i
a
ij
x
i
j
) ↵
j
, j = 1, . . . ,m
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Restrições probabilísticas
§ Em geral, tais problemas não são fáceis de resolver. § Em geral se baseia em aproximações ou premissas que simpliEicam o tratamento.
§ Nesse caso em particular, assumindo normalidade e independência, temos:
2j =
jX
k=1
2k, j = 1, . . . ,m
P
nX
i=1
aijxi j
! ↵j )
nX
i=1
aijxi bj + jq↵j
Independência Normalidade
P
nX
i=1
aijxi j
! ↵j = P
1j
nX
i=1
aijxi bj
! j
!
Linear e comportada!
j = 1i
(j j)
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Restrições probabilísticas
§ Solução ótima § Há uma tendência de migração para os títulos de menor prazo
§ Aqui, 14 dos 100 cenários apresentam Eluxo negativo.
§ Note que, ainda assim, não é uma proteção deEinitiva, dado que a proteção é feita para cada ano
(x1, x
2, x
3) = (62, 87; 72, 63; 101, 06)
Valor ;inal: $103 924,54
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Restrições probabilísticas
§ O problema é que, apesar das restrições RPI garantirem que em cada ano a probabilidade de rendimentos negativos ser pequena, a probabilidade de rendimentos negativos em pelo menos um ano continua alta. § Note que, para uma conEiabilidade de 95%, 14% dos cenários apresentam Eluxo negativo ao
longo dos 15 anos.
§ Para, tal podemos considerar tais restrições de forma conjunta, por intermédio de RPC § Dessa, podemos reformular nosso problema como sendo:
§ Má notícia: integral multidimensional para a qual não é conhecida conversão determinística. § Alguns softwares possuem módulos built-‐in para tratamento desse tipo de problema,
particularmente no caso normal multivariado. § São dados de entrada o vetor de médias e a matriz de covariância.
max
x0
nX
i
a
im
x
i
s.a: P(
nX
i
a
ij
x
i
j
, j = 1, . . . ,m
) ↵
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Restrições probabilísticas
§ Solução ótima § Novamente há uma tendência de migração para os títulos de menor prazo § Aqui, somente 5 dos 100 cenários apresentam Eluxo negativo.
Valor ;inal: $99 101,75 (x
1, x2, x
3) = (66, 91; 80, 26; 89, 30)
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Restrições probabilísticas
Propriedades importantes: § Problemas com restrições probabilística são pouco difundidos devido a sua complexidade computacional.
§ Não existem resultados gerais que garantam convexidade do conjunto viável desse tipo de restrição.
§ Ex.: ω uniforme [0, 1]
RPC : C(↵) = x | p(x) ↵RPI : C(↵1, . . . ,↵m) = \m
i=1Ci(↵i) = \mi=1pi(x) ↵i
p(x) = P(!x1 + x2 7)
= P! 7 x2
x1
= 1 7 x2
x1
1 7 x2
x1 ↵ ) (1 ↵)x1 + x2 7
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Restrições probabilísticas
Propriedades importantes: § Problemas com restrições probabilística são pouco difundidos devido a sua complexidade computacional.
§ Não existem resultados gerais que garantam convexidade do conjunto viável desse tipo de restrição.
§ Ex.: ω uniforme [0, 1]
RPC : C(↵) = x | p(x) ↵RPI : C(↵1, . . . ,↵m) = \m
i=1Ci(↵i) = \mi=1pi(x) ↵i
1 7 x2
x1 ↵ ) (1 ↵)x1 + x2 7
α = 0,3 α = 0,7
Só é convexo para α > 0,5!
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Restrições probabilísticas
Propriedades importantes: § BOA NOTÍCIA: Existem casos particulares para os quais são garantidos
resultados de convexidade § Caso 1: Caso univariado, matriz T determinística e h(ω) = ω. Sendo F a a
função distribuição (acumulada) de ω, C(α) é fechado e convexo para α =[0,1]
§ Caso 2: Caso multivariado, matriz T deterministica e h(ω) = ω. Sendo F a função distribuição (acumulada) e f a densidade de ω, se: 1. log(f) é côncava (Prékopa) ou 2. f-‐1/m é convexa (Borell) Então C(α) é fechado e convexo para α =[0,1] § Casos onde isso vale: Normal multivariada e uniforme.
p(x) := PTx ! ↵
) C(↵) = x | Tx F
1(↵)
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Restrições probabilísticas
Propriedades importantes: § BOA NOTÍCIA: Existem casos particulares para os quais são garantidos
resultados de convexidade § Caso 3: Caso multivariado, matriz T estocástica e e h(ω) = h determinístico.
com média μ e matriz de covariância Σ. Então C(α) é convexo para α =[1/2,1]
§ Quando a matriz T não é constante, tais problemas crescem muito em complexidade. § Podem ser usadas técnicas de amostragem para obtenção de estimativas para valor da solução ótima
§ Em geral, usa-‐se o caso normal como referência
C(↵) =n
x 2 Rn | µTx h+ 1(↵)
px
Txo