Miličić Matematika 2 Delimično. Teorija

8/9/2019 Milii Matematika 2 Delimino. Teorija

1/63

Nada Milicic Milos Milicic

ELEMENTI

II deo

II izdanje

Beograd, 2011

VISE MATEMATIKE

Akademska misao


2/63


3/63

SADRZAJ

PREDGOVOR 7

PREDGOVOR II IZDANJU 8

1 POLJE REALNIH BROJEVA 91. Istorijski pregled razvoja pojma realnog broja . . . . . . . . . . . . . 92. Aksiome skupa realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. Predstavljanje realnih brojeva tackama prave . . . . . . . . . . . . . 174. Prosireni skup realnih brojeva. Intervali . . . . . . . . . . . . . . . . 185. Apsolutna vrednost realnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196. Podskupovi skupa realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.1. Skup prirodnih brojeva. Princip matematicke indukcije . . . 216.2. Skup celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.3. Skup racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.4. Skup iracionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7. Dedekindov princip neprekidnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278. Ograniceni i neograniceni podskupovi skupaR . . . . . . . . . . . . 29

9. Stepenovanje i korenovanje u skupu realnih brojeva. Njutnova bi-nomna formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

10. Princip umetnutih segmenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3811. Rastojanje u skupu R. Okoline. Tacke nagomilavanja . . . . . . . . 3912. Decimalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2 KARDINALNI BROJ SKUPA 45

3 REALNA FUNKCIJA JEDNE REALNEPROMENLJIVE OSNOVNI POJMOVI 50

1. Definicija funkcije izR u R. Nacini zadavanja funkcije . . . . . . . . 502. Operacije sa funkcijama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.1. Aritmeticke operacije s funkcijama . . . . . . . . . . . . . . . 542.2. Kompozicija funkcija. Slozena funkcija . . . . . . . . . . . . . 55

3. Parne i neparne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574. Periodicne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595. Rascenje i opadanje funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616. Lokalni ekstremumi funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637. Inverzna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648. Elementarne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.1. Osnovne elementarne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.2. Algebarske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.3. Hiperbolicke funkcije. Inverzne funkcije hiperbolickih funkcija

(area-funkcije) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74


4/63

4 Sadrzaj

9. Transformacija grafika funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4 BESKONACNI BROJEVNI NIZOVI 82

1. Definicija i nacini zadavanja beskonacnog niza . . . . . . . . . . . . . 822. Granicna vrednost niza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853. Osobine konvergentnih nizova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874. Monotoni nizovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985. Podnizovi. Tacke nagomilavanja niza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046. BolcanoVajerstrasova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077. Kosijev1) kriterijum konvergencije nizova . . . . . . . . . . . . . . . . 1088. Gornji i donji limes niza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5 GRANICNA VREDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE 113

1. Granicna vrednost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131.1. Pojam granicne vrednosti funkcije . . . . . . . . . . . . . . . 1131.2. Leva i desna granicna vrednost funkcije . . . . . . . . . . . . 1161.3. Granicna vrednost funkcije kadx+ ilix .

Beskonacna granicna vrednost . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171.4. Svojstva granicnih vrednosti funkcija . . . . . . . . . . . . . . 1191.5. Beskonacno male i beskonacno velike . . . . . . . . . . . . . . 1211.6. Izracunavanje granicnih vrednosti funkcija . . . . . . . . . . . 125

2. Neprekidnost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

2.1. Pojam neprekidnosti funkcije u tacki . . . . . . . . . . . . . . 1332.2. Tacke prekida funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372.3. Osobine neprekidnih funkcija na intervalu . . . . . . . . . . . 1392.4. Ravnomerna neprekidnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6 IZVODI I DIFERENCIJALI 1441. Izvodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

1.1. Pojam prvog izvoda funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1441.2. Levi i desni izvod funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1451.3. Geometrijski smisao prvog izvoda . . . . . . . . . . . . . . . . 145

1.4. Fizicki (mehanicki) smisao prvog izvoda . . . . . . . . . . . . 1471.5. Diferencijabilnost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1641.6. Pravila diferenciranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1511.7. Izvodi osnovnih elementarnih funkcija . . . . . . . . . . . . . 1551.8. Izvodi hiperbolickih i area funkcija . . . . . . . . . . . . . . 1581.9. Tablica izvoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1591.10. Izvodi viseg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

2. Diferencijal funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1652.1. Diferencijal prvog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1652.2. Diferencijali viseg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

3. Osnovne teoreme diferencijalnog racuna . . . . . . . . . . . . . . . . 1703.1. Fermaova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1703.2. Rolova, Lagranzova i Kosijeva teorema . . . . . . . . . . . . . 1713.3. Lopitalovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175


5/63

Sadrzaj 5

3.4. Tejlorova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804. Ispitivanje funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.1. Kriterijum monotonosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.2. Odredivanje ekstremnih vrednosti funkcije . . . . . . . . . . . 1894.3. Konveksnost i konkavnost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . 1944.4. Asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984.5. Opsta shema ispitivanja funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . 201

5. Tangenta i normala krive. subtangenta i subnormala . . . . . . . . . 2056. Krivina. Krug krivine. Evoluta i evolventa . . . . . . . . . . . . . . . 206

7 NEODRED-ENI INTEGRAL 2151. Pojam primitivne funkcije i neodredenog integrala . . . . . . . . . . 2152. Osobine neodredenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2163. Tablica osnovnih neodredenih integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . 2164. Metoda smene promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2185. Metoda parcijalne integracije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2246. Integracija racionalnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2317. Integracija iracionalnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2418. Integracija trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

8 ODRE-DENI INTEGRAL 2581. Definicija odredenog integrala. Darbuove sume . . . . . . . . . . . . 258

2. Neke klase integrabilnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2663. Osobine odredenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2674. Odredeni integral kao funkcija gornje granice. Njutn-Lajbnicova for-

m u l a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 15. Smena promenljive kod odredenog integrala . . . . . . . . . . . . . . 2756. Parcijalna integracija kod odredenog integrala . . . . . . . . . . . . . 2787. Nesvojstveni integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2808. Primena odredenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

8.1. Povrsina ravnog lika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2838.2. Zapremina obrtnog tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

8.3. Duzina luka krive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2978.4. Povrsina obrtne povrsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

9 REALNE FUNKCIJE VISE REALNIH PROMENLJIVIH 3071. Realna funkcija dve realne promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

1.1. Uvodni po jmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3071.2. Granicna vrednost i neprekidnost funkcije dve promenljive . . 3091.3. Parcijalni izvodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3141.4. Totalni diferencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3201.5. Parcijalni izvodi slozene funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . 324

1.6. Izvodi implicitnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3261.7. Tangentna ravan i normala povrsi. Geometrijska interpretacija

totalnog diferencijala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3281.8. Izvod u datom smeru i gradijent funkcije . . . . . . . . . . . 331


6/63

6 Sadrzaj

1.9. Tejlorova formula za funkcije dve promenljive . . . . . . . . . 3331.10. Ekstremne vrednosti funkcija dve promenljive . . . . . . . . . 3351.11. Uslovni ekstremumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

2. Realna funkcija tri realne promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

10 DIFERENCIJALNE JEDNACINE 3541. Diferencijalne jednacine prvog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

1.1. Diferencijalna jednacina sa razdvojenim promenljivim . . . . 3551.2. Homogena diferencijalna jednacina prvog reda . . . . . . . . 3571.3. Linearna diferencijalna jednacina prvog reda . . . . . . . . . 3591.4. Bernulijeva jednacina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3631.5. Diferencijalna jednacina u obliku totalnog diferencijala . . . . 364

2. Diferencijalne jednacine drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

2.1. Specijalni tipovi diferencijalnih jednacina drugog reda . . . . 3672.2. Linearne diferencijalne jednacine drugog reda . . . . . . . . . 3702.3. Linearne diferencijalne jednacine drugog reda sa konstantnim

koeficijentima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

LITERATURA 383


7/63

PREDGOVOR

Ova knjiga je napisana prema delu nastavnog programa predmeta Ma-tematika Ina Rudarsko-geoloskom fakultetu u Beogradu i predstavlja drugi

deo udzbenika za taj predmet i sa udzbenikom Elementi vise matematike,I deo, autora M. Milicica cini jednu celinu. Kao i prvi deo udzbenika, iovaj mogu koristiti i studenti svih drugih tehnickih, prirodno-matematickihi ostalih fakulteta i visih skola.

Koncepcija knjige, kao i nacin izlaganja, podredeni su prvenstveno nje-nim korisnicima, tj. studentima I godine fakulteta i visih skola. U skladus tim, a za sto bolje osvetljavanje pojedinih pojmova i bolje razumevanjeteorijskih izlaganja, dat je veliki broj grafickih ilustracija, primera i resenihzadataka. Verujemo da ce takav nacin izlaganja materije u knjizi znatnodoprineti njenom laksem koriscenju i da moze korisno posluziti studentimau savladavanju matematickog gradiva i pripremanju ispita.

Materija obradena u knjizi podeljena je u deset poglavlja. Prvih sest ideveto poglavlje napisao je M. Milicic, dok je sedmo, osmo i deseto napisalaN. Milicic.

Rukopis knjige u celini procitali su, u svojstvu recenzenata, akademik drAleksandar Ivic, redovni profesor Rudarsko-geoloskog fakulteta u Beogradui dr Milutin Obradovic, redovni profesor Tehnolosko-metalurskog fakulte-

ta u Beogradu. Njihove sugestije i primedbe znatno su doprinele kvalittuknjige i autori su ih primili sa zahvalnoscu.

Unapred zahvaljujemo svima koji nam ukazu na omaske, greske i nedo-statke knjige.

Autori


8/63

Predgovor II izdanju

Ovo izdanje se razlikuje od prethodnog po tome sto su ispravljene uocenegreske i omaske i sto je delimicno izmenjeno VII i VIII poglavlje.

Autori


9/63

I POGLAVLJE

POLJE REALNIH BROJEVA

1. ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA POJMA

REALNOG BROJA

Jedan od najvaznijih pojmova u matematici je pojam realnog broja. Isto-rijski razvoj pojma realnog broja ide od prirodnih, preko celih i racionalnihdo iracionalnih brojeva. Mozemo smatrati da su prirodni brojevi: 1, 2, 3,

4, 5, . . . nastali sa nastankom coveka. Skup prirodnih brojeva se oznacavasaN, dakle,N={1, 2, 3, 4, 5, . . .}. U skupu prirodnih brojeva definisane sudve binarne operacije: sabiranje i mnozenje, tj. ako sum, n N, tada jei m+n N i m n N. Za sabiranje i mnozenje prirodnih brojeva vazezakoni asocijacije i komutacije, kao i zakon distribucije mnozenja u odnosuna sabiranje. Skup prirodnih brojeva je potpuno ureden po velicini relaci-jom (manje ili jednako): 1 < 2 < 3 < 4 < 5 n. Drugim recima, jednacina x + n= m ima resenje u skupu prirodnihbrojeva samo u slucaju kad je m > n. Zahtev da jednacina n +x = m imaresenje za proizvoljne m, n

Ndovodi do prosirenja skupa prirodnih broje-

va u skup celih brojeva. Broj nula dobijamo kao resenje jednacine x + 1 = 1,ili bilo koje jednacine x+ n = n (n N). Broj1 dobijamo kao resenjejednacinax + 1 = 0, ili bilo koje jednacine x + (n + 1) =n (nN). Uopste,brojn dobijamo kao resenje jednacine x+n = 0, ili bilo koje jednacinex+(n+m) =m (m, nN). Skup celih brojeva cemo oznacavati saZ(upo-trebljavaju se jos i oznakeDiE). Dakle,Z={. . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .}.Za sabiranje i mnozenje celih brojeva vaze zakoni asocijacije i komutacije,kao i zakon distribucije mnozenja u odnosu na sabiranje. U skupu Z se

definise i binarna operacija oduzimanje, tj. razlika dva cela broja. Razlikacelih brojeva m i n je broj k, takav da je n+k = m. Pisemo k = m n,jasno m n =m+ (n). SkupZ je potpuno ureden po velicini relacijom: . . . 3


10/63

10 Polje realnih brojeva

postoji ni maksimum ni minimum skupaZ; svaki broj ima svog neposrednogprethodnika i neposrednog sledbenika, izmedu svaka dva neuzastopna celabroja postoji konacno mnogo celih brojeva.

Medutim, jednacina 2x = 1 u skupu celih brojeva nema resenja, tj. uskupuZne postoji broj x, takav da je proizvod broja 2 i broja x jednak 1.Zahtev da ova jednacina, kao i sve jednacine oblika qx = p, gde p, q Zi q= 0, imaju resenje, dovodi do prosirenja skupa celih brojeva u skupracionalnih brojeva ili razlomaka. Resenje jednacine qx = p izrazavamo uobliku x = pq1. Ovim je definisana binarna operacija deljenje, s jednimizuzetkom da se ne moze deliti nulom. Kolicnik brojeva p i qje broj kojim

treba pomnoziti broj qda bi se dobio broj p. Oznacavamo ga sa p: q ili p

q,

a to je, u stvari, p q1 (q= 0). Racionalan broj je svaki broj oblika pq

, gde

p, qZ i q= 0. Skup racionalnih brojeva cemo oznacavati sa Q. Dakle,

Q=

p

q

(p, qZ) (q= 0)

.

Napomenimo da bez ogranicenja mozemo pretpostaviti da je q >0. Za sa-biranje i mnozenje racionalnih brojeva vaze zakoni asocijacije i komutacije,

kao i zakon distribucije mnozenja u odnosu na sabiranje. U skupu Q \ {0}deljenje je takode binarna operacija.Skup racionalnih brojeva potpuno je ureden relacijom, tj. za svaka

dva racionalna broja a i b vazi jedan od sledeca tri odnosa: a < b, a=b ilia > b. Izmedu dva ma koja racionalna broja a i b postoji beskonacno mnogo

racionalnih brojeva. Naime, ako je a < b, tada je broj c = a + b

2 izmedu

brojeva a i b. Isto tako, broj c1 = a+ c

2 je izmedu brojeva a i c i broj

c2 =

c + b

2 izmeduc i b, tj. a < c1 < c < c2 < b. Ovaj postupak se mozenastaviti i po svojoj prirodi je takav da mu nema kraja, sto upravo i znacida izmedu svaka dva racionalna broja postoji beskonacno mnogo racionalnihbrojeva. Zato kazemo da je skup racionalnih brojevasvuda gust.

Ako je r Q i m Z, tada je rm Q, ali ako r, m Q, tada rm nemora biti racionalan broj. Na primer,

4

5

3=

64

125je racionalan broj, dok

4

523

nije racionalan broj. Pre nego sto dokazemo da broj ciji je kvadrat 2

(a koji oznacavamo sa

2) nije racionalan, odnosno da jednacinax2 = 2 ne-ma resenja u skupu racionalnih brojeva, napomenimo da su u Staroj Grckojbrojevima davali geometrijski smisao, jer su oni dovodeni u vezu s merenjem


11/63

1. Istorijski pregled razvoja pojma realnog broja 11

velicina. Izmeriti neku velicinu znaci uporediti je sa jedinicom mere te ve-licine, tj. naci koliko se puta jedinica mere sadrzi u velicini koja se meri. Naovaj nacin se merenoj velicini pridruzuje merni broj.

Medutim, sledeci jednostavan primer me-renja duzi pokazuje da se svakoj duzi ne mozepridruziti merni broj koji bi bio racionalan.Naime, jos su u Staroj Grckoj pripadnici poznatePitagorejske2) skole (u V i IV veku pre nove ere)znali da su stranica a i dijagonala d kvadratanesamerljive duzi, tj. da je nemoguce naci duzkoja bi se ceo broj puta sadrzavala i u stranici i

u dijagonali kvadrata. Ovo je u vezi sa cinjeni-com da

2 nije racionalan broj. Naime, ako bi

sl. 1

postojala duz c koja se q puta sadrzi u a i p puta u d, gde su p i q celibrojevi, tada bi bilo a = qc i d = pc. Kako je, prema Pitagorinoj teoremi,

d= a

2, dalje bi bilo pc= qc

2, tj. p= q

2 ili

2 = p

q, sto bi znacilo da

je

2 racionalan broj.

Dokazimo, medutim, da

2 nije racionalan broj, tj. da se ne moze pred-

staviti u obliku p

q

, gde su p i qceli brojevi. Dokaz koji navodimo potice od

Euklida.3) Pretpostavimo suprotno, da je

2 = p

q, gde su p i quzajamno

prosti celi brojevi, tj. NZD (p, q) = 1. Ova pretpostavka je bitna i ona se

uvek moze uciniti, jer ako p i qnisu uzajamno prosti, razlomak p

q se moze

skratiti. Dalje sledi p = q

2, tj. p2 = 2q2, sto znaci da je p2, a samimtim i p, deljivo sa 2. Dakle, p = 2m, gde m Z, pa poslednja jednakostdaje 4m2 = 2q2, tj. q2 = 2m2, sto znaci da je i q2, a samim tim i q, deljivosa 2. Dobili smo da je 2 zajednicki cinilac brojeva p i q, sto je suprotno

pretpostavci da su p i q uzajamno prosti. Ovim smo dokazali da 2 nijeracionalan broj. Broj

2 je iracionalan.

Saznanje da odnos dijagonale i stranice kvadrata nije racionalan broj ida se, u skladu sa tim, na primer, dijagonali jedinicnog kvadrata ne mozepridruziti merni broj koji bi bio racionalan, jeste prvi susret sa iracionalnimbrojevima. To saznanje je unelo zabunu medu matematicare, jer je teskobilo prihvatiti da se posve odredenoj duzi, kakva je dijagonala kvadrata, nemoze pridruziti merni broj. Pojam iracionalnog broja bice precizno defini-

san tek dve hiljade godina kasnije, a zasluge za to pripadaju znamenitim

2)Pitagora (580500. god. pre nove ere) starogrcki matematicar.3)Euklid (365?275? god. pre nove ere), starogrcki matematicar.


12/63

12 Polje realnih brojeva

matematicarima XIX veka - Dedekindu4), Kantoru5) i Vajerstrasu.6) O ne-kim Dedekindovim i Kantorovim rezultatima u tom smislu bice reci kasnijeu okviru aksiomatske metode izucavanja realnih brojeva.

Dakle, pored racionalnih, postoje i iracionalni brojevi. Mozemo reci da

je broj iracionalan ako se ne moze predstaviti u obliku p

q, gde p, q Z i

q= 0. Skup iracionalnih brojeva cemo oznacavati sa I.Definicija 1. Jednacina oblika

a0xn + a1x

n1 + + an1x + an= 0,gde su koeficijenti ai (i = 0, 1, 2, . . . , n) celi brojevi, a0

= 0 i n

N, je

algebarska jednacina n-tog stepena.

Definicija 2. Broj koji predstavlja resenje algebarske jednacine nazivasealgebarski broj.

N Z Q I

A l g e b a r s k i b r o j e v i T r a n s c e d e n t n i

b r o j e v i

s;. 2Svi racionalni brojevi su algebarski, jer su resenja algebarske jednacine

prvog stepena a0x+ a1 = 0, a0, a1 Z i a0= 0. Broj

2 je takode al-gebarski, jer zadovoljava jednacinu x2 2 = 0. Nije tesko pokazati da sualgebarski iracionalni brojevi:

3, 2 3

5, 3+ 5 4

7 itd. Medutim, postoje ira-

cionalni brojevi koji nisu algebarski, to su transcedentni iracionalni brojevi.

Brojevi: , e, log25 itd. su transcedentni iracionalni brojevi.Unija skupa racionalnih i skupa iracionalnih brojeva je skup realnih bro-

jeva. Uobicajena oznaka za skup realnih brojeva je R. Dakle, R= Q I.Pregled prirodnih, celih, racionalnih, iracionalnih, algebarskih i transce-

dentnih brojeva dat je na sl. 2.

2. AKSIOME SKUPA REALNIH BROJEVA

Koristeci sve rezultate o svojstvima realnih brojeva do kojih su dosli

matematicari, moguce je teoriju realnih brojeva zasnovati aksiomatski, tj.4)Richard Dedekind (18311916), nemacki matematicar.5)Georg Cantor (18451918), nemacki matematicar.6)Karl Weierstrass (18151897), nemacki matematicar.


13/63

II POGLAVLJE

KARDINALNI BROJ SKUPA

Definicija 1. Za skupove X i Y kazemo da su ekvivalentniako postojibijekcijaf :XY.

Pisemo: XY.Lako je pokazati da je relacija ekvivalentnosti skupova jedna relacija

ekvivalencije.

Definicija 2. Ako su skupovi X i Y ekvivalentni, tada kazemo da oni

imaju isti kardinalni broj, ili istu moc.Pisemo: card X= card Y ili krace k(X) =k(Y).

Kardinalni broj je, dakle, zajednicko svojstvo skupova jedne klase ekvi-valencije relacije, tj. card X = card Y akko X Y. U skladu sa ovimdefinisemo da je card Xcard Y akko XY1Y.

Definicija 3. SkupX jekonacanako jeX= ( prazan skup) ili akopostoji nN, takav da je X {1, 2, . . . , n}.

Broj n je kardinalni broj skupa X, sto znaci da je kardinalni broj ko-

nacnog skupa jednak broju elemenata tog skupa.Kardinalni broj praznog skupa je 0.

Definicija 4. Za skup kazemo da je beskonacanako nije konacan.

Primer 1. Skup prirodnih brojeva je beskonacan, jer ocigledno nije ekvivalen-tan nijednom svom konacnom podskupu.

Definicija 5. Za skup X kazemo da je prebrojiv, ako je ekvivalentanskupu prirodnih brojeva N.

Da bismo pokazali da je neki skupXprebrojiv, treba pokazati da postojibijekcija f : N X ili, sto je isto, da se clanovi skup X mogu poredatiu jedan niz: x1, x2, x3, . . . (kao slike redom prirodnih brojeva 1, 2, 3, . . . pripreslikavanjuf :N X).

Primer 2. Skup parnih prirodnih brojeva je ekvivalentan skupu prirodnih bro-jeva.

Naime, psrelsikavanje koje svakom prirodnom broju n pridruzuje broj 2n jebijekcija skupa prirodnih brojeva na skup parnih brojeva.

Primer 3. Skup celih brojevaZje prebrojiv. Ocigledno, preslikavanjef :N

Z, dato saf(1) = 0, f(2n) =n, f(2n + 1) =n (nN) je bijekcija.Primer 4. Skup racionalnih brojevaQje prebrojiv. Kao sto je poznato, svaki

racionalan bro j mozemo napisati u obliku nesvodljivog razlomkap

q (pZ,qN).


14/63

46 Kardinalni broj skupa

Broj 0 mozemo napisati kao0

1. Racionalne brojeve

p

q mozemo poredati u niz prema

velicini visine h=|p| + qna sledeci nacin:0

1h=1

,1

1,1

1 h=2

,1

2,1

2 ,

2

1,2

1 h=3

,1

3,1

3 ,

3

1,3

1 h=4

,1

4,1

4 ,

2

3,2

3 ,

4

1,4

1 ,

3

2,3

2 h=5

, . . .

sto znaci da je QN, tj. da je Qprebrojiv.Primetimo da je u svim navedenim primerima skup ekvivalentan svom

pravom podskupu. Naime, skup parnih brojeva je pravi podskup skupa N,dok je skup N pravi podskup skupova Z i Q. Ovo svojstvo imaju samobeskonacni skupovi i ono se ponekad koristi u definiciji beskonacnog skupa.

Za skup koji je konacan ili prebrojiv kaze se da je najvise prebrojiv.

Tvrdenje 1. Unija najvise prebrojivo mnogo prebrojivih skupova jeprebrojiv skup.

Dokaz. Neka je prvo dato konacno mnogo prebrojivih skupova i nekasu njihovi elementi prikazani u obliku niza:

A1 ={ a11, a12, a13, . . .}

A2 ={ a21, a22, a23, . . .}

Am ={ am1, am2, am3, . . .}.Elemente njihove unije

mi=1 Ai takode mozemo prikazati u obliku niza

a11, a21, . . . , am1, a12, a22, . . . am2, a13, a23, . . . , am3, . . . ,

a zatim izvrsiti prenumeraciju posto se eventualni zajednicki elementi uzmusamo jedanput

Neka je sada dato prebrojivo mnogo skupova Ai (iN)


15/63

47

Elemente njihove unije

i=1 Ai mozemo poredati u niz, na primer, onakokako to pokazuju strelice i izvrsiti prenumeraciju zbog eventualnih ponavl-janja elemenata.

Dakle, u oba slucaja unija datih skupova je prebrojiva.Kardinalni broj skupa prirodnih brojeva i uopste prebrojivih skupova

oznacava se sa 0(alef-nula). Dakle, card N=0. Postavlja se sada pitanje:postoje li beskonacni skupovi koji nisu prebrojivi? Odgovor daje sledecetvrdenje.

Tvrdenje 2(Kantor). Skup realnih brojeva intervala (0, 1) nije prebro-jiv.

Dokaz. Neka je x1, x2, . . . , xn, . . . proizvoljan niz realnih brojeva iz in-

tervala (0, 1). Svaki clan niza mozemo prikazati pomocu beskonacnog deci-malnog zapisa:

x1= 0, a11a12a13 . . .

x2= 0, a21a22a23 . . .

xn= 0, an1an2an3 . . .

(1)

gdeaij {0, 1, 2, . . . , 9} (i, j = 1, 2, 3, . . .). Broj ciji je decimalni zapis

x= 0, a1a2a3 . . . ,

takav da je

ai =

2, ako je aii= 11, ako je aii= 1 (i= 1, 2, 3, . . .)

ocigledno pripada intervalu (0, 1), ali se razlikuje od svih clanova niza (1).Naime,xse odx1 razlikuje u prvoj decimali, od x2 u drugoj, odx3 u trecojitd. Sledi da nijedan niz brojeva iz intervala (0, 1) ne sadrzi sve brojeve iztog intervala sto, upravo, i znaci da skup realnih brojeva intervala (0, 1) nijeprebrojiv.

Sada nije tesko pokazati da je skup realnih brojeva proizvoljnog intervala(a, b) ekvivalentan skupu realnih brojeva intervala (0, 1). Naime, linearnafunkcijay = (ba)x+ a(a=b) je bijekcija intervala (0, 1) na interval (a, b),(sl. 1).

Funkcijay = tg2x 12

obostrano jednoznacno preslikava interval (0, 1)

na skup svih realnih brojeva R (sl. 2), pa sledi da je skup R ekvivalentaninteravalu (0, 1), a samim tim i svakom intervalu (a, b).


16/63

IV POGLAVLJE

BESKONACNI BROJEVNI NIZOVI

1. DEFINICIJA I NACINI ZADAVANJA BESKONACNOGNIZA

Definicija 1. Funkcija f, koja preslikava skup prirodnih brojeva N uskupAje beskonacni niz u skupuA.

Ako je f(x) = a1, f(2) =a2, f(3) = a3, . . ., f(n) = an, . . ., tada se nizmoze zapisati u obliku

(a1, a2, a3, . . . , an, . . .),

ili jednostavnije bez zagrada:

a1, a2, a3, . . . , an, . . .

Kaze se da su a1, a2, a3, . . . , an, . . . clanovi niza. Svaki niz ima beskonacnomnogo clanova. Clan an = f(n) naziva se opsti clan niza. Ako je poznatopsti clan niza, tada se niz moze jednostavno oznaciti sa (an)nN, pri cemusenN u indeksu moze izostaviti, jer se podrazumeva. Niz se moze zadatii rekurentnom formulom, na primer, oblika

a1 =b, an+1=g(an) (nN)

ili oblika

a1=b, a2=c, an+2=h (an, an+1) (nN).

Skup vrednosti niza (an)nN je skup V ={an| n N}. On moze bitikonacan ili beskonacan (prebrojiv).

Mi cemo iskljucivo razmatrati nizove ciji su clanovi realni brojevi.

Navodimo nekoliko primera nizova.

Primer 1. Niz 1,1

2,1

3, . . . ,

1

n, . . ., tj. niz

1

nnNnaziva se harmonijskiniz.

Primer 2. Niz ciji je opsti clanan= 1 + (1)n je, u stvari, niz

0, 2, 0, 2, . . . , 0, 2, . . . .


17/63

1. Definicija i nacini zadavanja beskonacnog niza 83

Primer 3. Niz ciji je opsti clanan= 1n je konstantan niz

1, 1, 1, . . . , 1, . . .

Kao sto se vidi, skup vrednosti niza u Primeru 1 je beskonacan skup V1 =1,

1

2,1

3,1

4, . . .

, u Primeru 2 dvoclan skup V2 ={0, 2}, a u Primeru 3 jednoclan

skupV3 ={1}.Niz, kao i svaku funkciju jedne promenljive, mozemo graficki predstaviti

u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu, a mozemo i na brojevnojosi.

Primer 4. Nizovi ciji su opsti clanovi an

= 2 + (

1)n

1

n, b

n =

n

1

n , c

n =

(1)n+1 nn + 1

, dn = n + 1

2 predstavljeni su graficki redom na slikama 1, 2, 3, 4.

sl. 1

sl. 2

sl. 3

Definicija 2. Ako su (an)nN i (bn)nN dati nizovi, tada su nizovi(an+bn)nN, (anbn)nN, (anbn)nN i

anbn

nN

redom zbir, ralzika,

proizvod i kolicniknizova (an)nN i (bn)nN.


18/63

84 Beskonacni brojevni nizovi

sl. 4

Napomena 1. Niz

anbn

nN

moguce je obrazovati samo u slucaju kad

su svi clanovi niza (bn)nN razliciti od nule. Niz an

bn se moze obrazovatii u slucaju kad je konacno mnogo clanova niza (bn)nN jednako nuli, pocevod onog indeksa od koga su svi clanovibn razliciti od nule.

Definicija 3. Niz (an)nN je ogranicen odozgo (odozdo) ako postoji re-alan brojM(m), takav da je

anM (anm) (nN).

BrojMse nazivamajoranta(gornja granica), a brojmminoranta(donja

granica) niza (an)nN.

Definicija 4. Niz (an)nN je ogranicen ako je ogranicen i odozgo i od-ozdo, tj. ako postoje realni brojevi M i m, tako da za sve clanove niza anvazi nejednaksot

manM. (1)

Jasno, ogranicen niz ima beskonacno mnogo majoranti, odnosno mino-

ranti, pa utvrdivanje ogranicenosti niza svodi se na pronalazenje bar jednemajorante, odnosno minorante tog niza.

Primetimo da se uslov ogranicenosti niza moze precizirati i u drugojekvivalentnoj formi: niz (an)nN je ogranicen ako postoji pozitivan brojG,


19/63

2. Granicna vrednost niza 85

takav da za svaki clan niza vazi

|an

| G. (2)

Zaista, ako svaki clan niza (an)nN zadovoljava relaciju (1), to uzimajucida je G= max{|m|, |M|}, ocigledno vazi (2). Obrnuto, ako svaki clan niza(an)nN zadovoljava relaciju (2), tada uzimajuci da je m =G i M = G,sledi (1).

Primer 5. Niz

n 1

n

nN

je oganicen. Naime, 0an n0 pripadajuokoliniO(a).

Pise se po dogovorulim

n+an=a

(cita se: limes od an, kadn tezi u beskonacnost, je a).

Formalno-logicki zapis date definicije je:

limn+an=a (O(a))(n0N)(nN)(n > n0an O(a)).Uobicajenija od date je definicija granicne vrednosti niza pomocu-oko-

lina tacke.


20/63

V POGLAVLJE

GRANICNA VREDNOST I NEPREKIDNOST

FUNKCIJE

1. GRANICNA VREDNOST FUNKCIJE

1.1. Pojam granicne vrednosti funkcije

Neka je funkcijay=f(x) definisana na skupuD i neka jea tacka nago-milavanja skupaD. Interesuje nas ponasanje vrednosti funkcijey =f(x) zavrednosti argumenta koje su bliske tacki a, tj. interesuje nas da li vrednostifunkcijey=f(x) teze nekoj tacki b kad vrednosti argumenta teze tacki a.

Definicija 1. Tacka (broj) b je granicna vrednost ili granica funkcijey=f(x) u tackix= a (ili kadx tezia) ako za svaki pozitivan broj postojipozitivan broj , koji zavisi od , tako da je za sve vrednosti argumenta x

koje zadovoljavaju nejednakost 0 0)( >0)(x)(0


21/63

114 Granicna vrednost i neprekidnost funkcije

Neka je >0 proizvoljan realan broj. Slediniz ekvivalentnih nejednakosti

1

2x 1

1

< ,|x 4|

2 < ,

|x 4|< 2.

sl. 1Ako uzmemo da je = 2 (ili bilo koji pozitivan broj manji od 2), tada za sve

vrednosti argumenta x za koje je 00 proizvoljan realan broj. Tada je

|f(x) 2|< |x + 1 2| < |x 1|< (x= 1).Ako stavimo =, tada za sve vrednosti promenljive x, za koje je 0


22/63

1. Granicna vrednost funkcije 115

sl. 2

Na sl. 3 graficki je predstavljena funkcijay =f(x) cija je granicna vred-nostb u tacki x= a jednaka vrednosti funkcije u toj tacki, tj. f(a) =b.

sl. 3 sl. 4 sl. 5

Na sl. 4 graficki je predstavljena funkcija y =f(x) koja je definisana utacki x= a, ima granicnu vrednost b u tacki x= a i pri tome je f(a)=b.

Najzad, na sl. 5 graficki je predstavljena funkcijay =f(x) koja je defi-

nisana u tacki x= a, ali nema granicnu vrednost u toj tacki.Iako to sledi iz definicije granicne vrednosti funkcije, ipak podvucimo

da ne treba mesati granicnu vrednost funkcije y = f(x) u tacki x = a, tj.limxa

f(x) i vrednost f(a), tj. vrednost funkcije y=f(x) u tacki x= a.

Primer 4. Granicna vrednost konstante f(x) =Cu proizvoljnoj tacki aRjednaka jeC.

Zaista, za dato >0 mozemo uzeti da je proizvoljan pozitivan broj. Tada zasvakox, takvo da je 0


23/63


Primer 5. Granicna vrednost identicne funkcije f(x) =x u proizvoljnoj tackiaR jea.

Naime, za dato >0 mozemo uzeti da je broj za koji vazi: 0<

. Tada

za 0 a (n N),f(xn)bd (n+).

Primer 6. Ako je

f(x) = sgn x=

+1 ako je x >00 ako je x= 0

1 ako je x


24/63


sl. 6 sl. 7

Ako je (xn)nNniz pozitivnih realnih brojeva koji konvergira ka nuli, tada jef(xn) = 1 za svako nN, pa je if(+0) = lim

x+0f(x) = 1.

Analogno se pokazuje da je f(0) = limx0

f(x) =1.

Tvrdenje 1. Funkcija y = f(x) u tacki x = a ima granicnu vrednostakko ona u toj tacki ima levu i desnu granicnu vrednost i ako su jednake.

Dokaz. Sledi iz definicije granicne vrednosti i leve i desne granicne

vrednosti funkcije.

1.3. Granicna vrednost funkcije kad x+ ili x .Beskonacna granicna vrednost

Definicija 5. Broj b je granicna vrednost funkcije y = f(x) kad x+ako za svaki realan broj >0 postoji realan broj M >0, koji zavisi od, tako da je za svako x > Mzadovoljena nejednakost|f(x) b|< .

Pise se

limx+

f(x) =b ili f(x)b kad x+.

Vidi sl. 8 a, b i c.

Definicija 6. Broj b je granicna vrednost funkcije y = f(x) kad xako za svaki realan broj >0 postoji realan broj K


25/63


sl. 8

Primer 7. Dokazati da je limx

2x + 5

x + 1 = 2.

Neka je >0 proizvoljan realan broj. Tada je2x + 5x + 1 2 < 3|x + 1| < |x + 1|>

3

x + 1 3

x 3

1

.

Uzmimo da je M = 3

1 (ili bilo koji veci bro j). Tada za svakox > M vazi

nejednakost

2x + 5

x + 1 2

< , tj.

limx+

2x + 5

x + 1 = 2.

Uzmimo da jeK=

1 +3

(ili bilo ko-

ji manji broj). Tada za svakox < K vazi

nejednakost

2x + 5

x + 1 2

< , tj.

limx

2x + 5x + 1

= 2.

Vidi sl. 9.sl. 9

Definicija 7. Kazemo da granicna vrednost funicije y = f(x) u tackix= a iznosi + ako za svaki realan broj M >0 postoji realan broj >0,koji zavisi odM, tako da je za sve vrednoti promenljive x koje zadovoljavajunejednakost 0 M.

Pise se

limxa

f(x) = + ili f(x)+ kad xa.

Analogno se definise limxa

f(x) =.


26/63


Primer 8. Dokazati da je limx1

1

(x 1)2 = +.

Neka jeM >0 proizvoljan realan broj.

Tada je 1(x 1)2 > M0 < (x 1)

2 0koji zavisi odM, tako da je za sve vrednosti promenljivex > P, f(x)> M.

Pise se

limx+f(x) = + ili f(x)+ kad x+.Analogno se definise

limx

f(x) = +, limx+

f(x) =, limx

f(x) =.

1.4. Svojstva granicnih vrednosti funkcija

Tvrdenje 2. Ako funkcia y=f(x) ima granicnu vrednost u tackix = a,ona je jedinstvena.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, da funkcija u tackix = a ima dve raz-licite granicne vrednosti: bi c. Posto jeb=c, rastojanje|b c|je pozitivno.Stavimo =

1

2|b c|. Tada postoje 1 > 0 i 2 > 0, tako da iz nejedna-

kosti 0


27/63


Tvrdenje 3. Ako je

limxa

f(x) = limxa

g(x) =b

i ako postoji okolina tackea, tako da je za svako x iz te okoline, osim mozdau tacki x= a,

f(x)h(x)g(x),tada je i

limxa

h(x) =b.

Dokaz. Ako je > 0 proizvoljan realan broj, tada postoje 1 > 0 i2 > 0, tako da iz nejednakosti 0 1, uzmimo u = sinm1 x i dv = cosn x sin xdx, odakle

dobijamo da je du= (m 1)sinm2 x cos xdx i v=cosn+1 x

n + 1 , pa je

Im,n=

sinm1 x cosn+1 x

n + 1

+m 1n + 1 sin

m2 x cosn+2 xdx

=sinm1 x cosn+1 x

n + 1 +

m 1n + 1

sinm2 x cosn x cos2 xdx

=sinm1 x cosn+1 x

n + 1 +

m 1n + 1

sinm2 x cosn x(1 sin2 x)dx,

tj.

Im,n=sinm1 x cosn+1 x

n + 1 +

m 1n + 1

Im2,n Im,n

,

odakle dobijamo rekurentnu formulu

Im,n=sinm1 x cosn+1 x

m + n +

m 1m+ n

Im2,n. (12)


40/63

6. Integracija racionalnih funkcija 231

Ako je n >1, tada slicnim postupkom dobijamo rekurentnu formulu

Im,n=sinm+1 x cosn1 x

m + n +

m

1

m+ n Im,n2. (12

)

Primer 9. Primenom formule (12) lako nalazimo da je

sin3 xdx

cos2 x =sin

2 x

cos x + 2

sin xdx

cos2 x =sin

2 x

cos x +

2

cos x+ C.

Ako je u gornjem integralu m+ n = 0 (m = 2, 3, 4, . . .), tada imamointegral

Im= sinm x

cosm x dx= tgm xdx.

Zau= sinm1 xi dv=sin xdx

cosm x dobijamodu= (m 1)sinm2 x cos xdx

i v= 1

(m 1)cosm1 x, pa dobijamo rekurentnu formulu

Im= 1

m 1 tgm1 x Im2 (m= 2, 3, 4, . . .). (13)

Slicno se nalazi da je

Im=

ctgm xdx= 1

m 1 ctgm1 x Im2 (m= 2, 3, 4, . . .). (14)

6. INTEGRACIJA RACIONALNIH FUNKCIJA

Kao sto znamo, racionalna funkcija R(x) je kolicnik dva polinoma. Dakle,

R(x) = P(x)Q(x) ,

gde suP(x) i Q(x) polinomi sa realnim koeficijentima.Kazemo jos i da je P(x)/Q(x) racionalni razlomak. Ako je stepen poli-

nomaP(x) manji od stepena polinoma Q(x),tada kazemo da je P(x)/Q(x)pravi razlomak, inace jenepravi.

Integrali racionalnih funkcija uvek se mogu izraziti pomocu elementarnihfunkcija.

Pri integraciji pojedinih funkcija necemo posebno isticati na kome inter-valu vrsimo integraciju, vec ce se podrazumevati da je to neki od intervalana kome je podintegralna funkcija definisana.

Razmotrimo sada integrale nekih prostijih racionalnih funkcija.


41/63

VIII POGLAVLJE

ODRE-DENI INTEGRAL

1. DEFINICIJA ODRE-DENOG INTEGRALA. DARBUOVE35)

SUME

Problem nalazenja povrsine dela ravni ogranicene krivom linijom doveoje do pojma odredenog integrala.

Pretpostavimo da je funkcija f(x) definisana na segmentu [a, b], a < b.Podelimo segment [a, b] pomocu tacaka a = x0 < x1 0 postoji >0, tako da za svaku podelusegmenta [a, b] na n podsegmenata i za svaki izbor tacaka i [xi1, xi](i= 1, . . . , n), iz nejednakostimax< sledi nejednakost

|P I|< .35)G. Darboux (1842 -1917), francuski matematicar.36)B. Riemann (1826-1866), nemacki matematicar.


42/63

1. Definicija odredenog integrala. Darbuove sume 259

sl. 1

Pise se I= limmax0

P.

Definicija 3. Za funkciju f(x) kazemo da je integrabilna u Rimano-vom smislu, ili krace, integrabilna na segmentu [a, b] ako postoji konacnagranicna vrednost I integralnih suma te funkcije kadamax 0. BrojInaziva se Rimanov ili odredeni integral funkcije f(x) na segmentu [a, b] ipise se

I=

ba

f(x)dx, (2)

odnosno ba

f(x)dx= limmax0

ni=1

f(i)xi. (2)

Brojeviaibsu redom,donjaigornja granica integrala,f(x) jepodintegralnafunkcija, x je integraciona promenljiva. Pri tom vazi

ba

f(x)dx=

ba

f(t)dt=

ba

f(u)du,

tj. odredeni integral predstavlja broj koji ne zavisi od nacina oznacavanjaintegracione promenljive.

Primetimo da se u definiciji odredenog integrala u jednakosti (2

) umestomax 0 ne moze staviti n + (n je broj podsegmenata na koje jepodeljen segment [a, b]). Naime, izmax0 sledin+, ali obrnuto nemora biti tacno. Na primer, ako se najduzi podsegment [xk1, xk], dobijen


43/63

260 Odredeni integral

pri prvoj podeli segmenta [a, b] na n podsegmenata u sledecim podelamavise ne deli, vec se dele ostalih n 1, tada kad n+,max =xk netezi nuli.

Iz Definicije 3 sledi da je odredeni integral ba

f(x)dx, u slucaju kad je

funkcija f(x) nenegativna, jednak granicnoj vrednosti niza povrsina stepe-nastih figura obrazovanih od pravougaonika kadamax 0, a sto znacida je

ba

f(x)dx jednak povrsini ,,krivolinijskog trapeza, tj. figure u ravni

Oxy ogranicene grafikom funkcije y = f(x), osom Ox i pravama x = a ix= b, a sto cemo kasnije dokazati. Videti sl. 1.

Iz definicije odredenog integrala takode sledi da neogranicena funkcijana segmentu [a, b] nije integrabilna na tom segmentu.

sl. 2

Neka je, na primer, f(x)0za svako x [a, b] i neka je Ppodela segmenta [a, b] na pod-segmente [x0, x1], [x1, x2], . . . , [xn1, xn],gde je x0 = a i xn = b. Akofunkcija f(x) nije ogranicena nasegmentu [a, b], tada ona nije

ogranicena na bar jednom pod-segmentu [xk1, xk] podele Psegmenta [a, b]. Tada za svako

n N postoje tacke (n)k [xk1, xk] takve da je

f((n)k )> n. (3)

Vidi sl. 2.Kako za fiksirane i[xi1, xi] (i= 1, 2, . . . , n, i=k) integralna suma

i=1i=k

f(i)xi

ima potpuno odredenu vrednost, na osnovu (3) sledi da za svaki realan broj

M >0 postoji n0

N, tako da je za (n0)k

[xk1, xk]

f((n0)k )xk+

i=1i=k

f(i)xi > M,


44/63


45/63


sl. 3 sl. 4

tj.

mximixif(i)xiMixiMxi (i= 1, 2, . . . , n),odnosno

mni=1

xini=1

mixini=1

f(i)xini=1

MixiMni=1

xi,

konacnom(b a)sSM(b a). (4)

Iz nejednakosti (4) sledi da su za sve podele segmenta [a, b] skupovi:donjih Darbuovih suma s, integralnih suma i gornjih Darbuovih suma Sograniceni.

Pokazimo da za skup integralnih suma P, koje dobijamo za fiksir-anu podelu P segmenta [a, b] i razlicite izbore tacaka i [xi1, xi] (i =1, 2, . . . , n), vazi

s= inf{P}, S= sup{P}. (5)Kako je, na osnovu (4), s P za sve integralne sume P podele P,

treba jos da dokazemo da za svako > 0, postoji suma P, takva da jeP < s + .

Zaista, ako tacke i izaberemo tako da je

f(i)< mi+

b a (i= 1, 2, . . . , n),

tada je

P s=ni=1

f(i) mi

xi< b a

ni=1

xi= b a (b a) =,


46/63


tj.p< s + .

Ovim smo dokazali prvu jednakost. Druga jednakost se dokazuje analogno.Definicija 5. Ako je skup tacaka podele P segmenta [a, b] podskup

skupa tacaka podele P tog segmenta, tada kazemo da je podela P profin-jenjepodeleP.

Tvrdenje 2. Ako susiSdonja i gornja Darbuova suma podele P,a s

i S donja i gornja Darbuova suma podele P koja je profinjenje podele P,tada je

s

s

S

S.

Dokaz. Dovoljno je dokazati da tvrdenje vazi u slucaju kad je podelaP

realizovana sa jednom tackom vise. Neka je podela P realizovana pomocutacaka a = x0 < x1


47/63


sto je i trebalo dokazati.Iz Tvrdenja 2 i Posledice 1 sledi da je za sve podele skup donjih Dar-

buovih suma sogranicen odozgo, na primer, bilo kojom gornjom Darbuovomsumom, a da je skup gornjih Darbuovih suma S ogranicen odozdo, naprimer, bilo kojom donjom Darbuovom sumom, a sto znaci da postojekonacni

I= sup{s} iI = inf{S}i pri tome je za sve sumes i S

sII S. (6)

Tvrdenje 3. Funkcija f(x), ogranicena na segmentu [a, b], je integra-bilna na tom segmentu akko je

limmax0

(S s) = 0. (7)

Dokaz. Pretpostavimo da je funkcija f(x) integrabilna na segmentu

[a, b] i da je I =

ba

f(x)dx. Na osnovu Definicije 2 i Definicije 3 to znaci

da za svako >0 postoji >0, tako da za sve podele segmenta [a, b] i sve

izbore tacakai za integralne sume funkcije f(x) vazi:ako jemax< ,tada je| I|<

2, tj. I

2< < I+

2.

Iz (5) sledi da za odgovarajuce donje i gornje Darbuove sume s iSvazi:ako jemax< ,tada je 0S s, tj. lim

max0(S s) = 0,

dakle, vazi (7).Pretpostavimo sada da vazi (7). To znaci da za svako > 0 postoji

>0, tako da za sve podele segmenta [a, b], takve da jemax < vazi

S s < , (8)sto, s obzirom na (6), znaci da je I = I

. Ako stavimo da je I =I =I,

tada nejednakost (6) prelazi u nejednakost

sIS. (9)

Kako, prema (4), za Darbuove sume s i S i odgovarajucu integralnusumu vazi

sS, (10)zaista, na osnovu poslednje tri nejednakosti, sledi da vazi

ako jemax< ,tada je|I |< ,


48/63


tj.I= lim

max0,

a sto i znaci da je funkcijaf(x) integra-bilna na segmentu [a, b], sto je trebaloi dokazati.Napomenimo da se brojeviI = sup

P

{s}i I = inf

P{S} nazivaju redom donji

i gornji Darbuov integral. Moze sedokazati da je

I = limmax0 s i I = limmax0 S. sl. 5

Primer 1. Izracunati

10

xdxkoriscenjem definicije odredenog integrala.

Podelimo interval [0, 1] na n jednakih podintervala duzinex= 1n

i za tacke

k uzmimo desne krajeve podintervala, tj.

1=x, 2= 2x , . . . , n =nx

(videti sliku 5).

Nadimo integralnu sumu

=

n

i=1 f(

i)xi=n

i=1(i x) x=

n

i=1 i(x)

2

= (1 + 2 + + n)(x)2 = n(n + 1)2

1

n

2=

1

2

n + 1

n

=1

2

1 +

1

n

.

Na osnovu Definicije 3 sledi da je

10

xdx= limn

= limn

1

2

1 +

1

n

=

1

2.


49/63


Primer 2. Izracunati

10

exdx.

Na osnovu definicije odredenog integrala je(vidi sl. 6)

10

exdx= limn

ni=1

ei1n 1

n

= limn+

1

n

e1n + e

2n + + en1n + enn

= limn+

1

ne1n

1 + e

1n + + en2n + en1n

= limn+

1n

e 1n 1 en

n

1 e 1n= lim

n+e

1

n (e 1)e1n 1

1

n=e 1, jer je

limn+

e1n = 1, lim

n+

e1n 1

1

n

= 1. sl. 6

2. NEKE KLASE INTEGRABILNIH FUNKCIJAVideli smo da neogranicene funkcije nisu integrabilne. Isto tako, ni svaka

ogranicena funkcija nije integrabilna, kao sto to pokazuje primer Dirihleo-ve37) funkcije

f(x) =

1, ako je x racionalno,0, ako je x iracionalno.

Naime, ako su i racionalne tacke, tada je integralna suma (1) jednakan

i=1xi = ba, jer je f(i) = 1, a ako su i iracionalne tacke, tada jeintegralna suma jednaka 0, jer je f(i) = 0; prema tome, granicna vrednostintegralne sume ne postoji, tj. Dirihleova funkcija, iako ogranicena, nijeintegrabilna.

Ovde cemo pokazati da su neprekidne, neke prekidne i monotone funkcijeintegrabilne funkcije.

Tvrdenje 4. Ako je funkcija f(x) neprekidna na segmentu [a, b], tadaje f(x) integrabilna na [a, b].

Dokaz. Posto, na osnovu Tvrdenja 14, odeljka 2.4, V poglavlja iz ne-prekidnosti funkcije f(x) na segmentu [a, b] sledi njena ravnomerna nepre-

37)P. G. Dirichlet (1805 -1859), nemacki matematicar.


50/63

IX POGLAVLJE

REALNE FUNKCIJE VISE REALNIH

PROMENLJIVIH

1.REALNA FUNKCIJA DVE REALNE PROMENLJIVE

1.1. Uvodni pojmovi

Kao sto znamo, skup svih uredenih parova realnih brojeva R2 ={(x1,x2)|x1, x2 R}, u kome su sabiranje i mnozenje skalarom definisani nasledeci nacin:

x + y= (x1, x2) + (y1, y2) = (x1+ y1, x1+ y2).

x= (x1, x2) = (x1, x2) (R),

je vektorski prostor nad poljem R.

Ako za proizvoljne x= (x1, x2) i y= (y1, y2) iz R2 stavimo

xy=x1y1+ x2y2, (1)

lako je proveriti da je sa (1) definisan skalarni proizvod u R2, sto znaci daje vektorski prostorR2 sa definisanim skalarnim proizvodom jedan euklidskivektorski prostor.

Elemente od R2 predstavljacemo tackama euklidske ravni E2 u odnosuna Dekartov pravougli koordinatni sistemOxy. Ako jeMtacka izE

2kojom

smo predstavili ureden par (x, y)R2, tada cemo element (x, y) oznacavatisa M(x, y) ili prosto sa M. U skladu sa ovim, elemente skupaR2 zvacemotackama.

Iz (1) sledi pojam rastojanja u R2. Naime, rastojanje izmedu tacakaM1(x1, y1) i M2(x2, y2) iz R

2 je

d(M1, M2) =

(x1 x2)2 + (y1 y2)2.

Uvedimo sada neke pojmove.Definicija 1. Pod-okolinom ( >0) tacke M0R2 podrazumevamo

skup tacaka M R2, takvih da je d(M, M0)< .


51/63

308 Realne funkcije vise realnih promenljivih

sl. 1

U ravni Dekartovog pravouglog koordinat-nog sistema Oxy -okolina tacke M0 pred-stavlja skup svih tacaka M koje se nalaze uunutrasnjosti kruga poluprecnikasa centromu tacki M0 (sl. 1).

Definicija 2. SkupXR2 jeotvorenakoza svaku tacku M X postoji -okolina kojaje podskup od X.

Definicija 3. SkupXR2 je zatvorenako je skup R \ X otvoren.Definicija 4. Pod granicom ili rubomskupa X

R2 podrazumevamo

skup XR2, takav da svaka -okolina proizvoljne tacke M X sadrzi itacke iz X i iz R \ X.

Definicija 5. Pod okolinom tacke M podrazumevamo svaki otvorenskup koji sadrzi tacku M.

Definicija 6. Skup tacakaM R2, takvih da jed(M0, M)R (R >0)je zatvorena dvodimenzionalna kugla (lopta) poluprecnika R sa centrom utacki M0.

Ako jed(M0, M)< R, tada je skup tacaka Motvorena dvodimenzional-na kugla(lopta).

Primetimo da je-okolina tacke M0, u stvari, jedna otvorena dvodimen-zionalna kugla (lopta) poluprecnika sa centrom u tacki M0.

Definicija 7. Skup X R2 je ogranicen ako sve njegove tacke pripa-daju nekoj dvodimenzionalnoj kugli.

Definicija 8. Za skup X R2 kazemo da je povezanako za bilo kojedve tacke M, N

X postoji neprekidna linija koja prolazi kroz M i N i

pripada skupuX.

Definicija 9. Otvoren i povezan skup naziva se oblast.

Zatvoren i povezan skup naziva se zatvorena oblast.

Definicija 10. TackaM jetacka nagomilavanja skupaXako se u sva-koj njenoj -okolini nalazi bar jedna tacka iz Xrazlicita od M.

Definicija 11. Neka je D R2 neprazan skup. Ako se svakoj tackiM(x, y)

D pridruzi, prema zakonu (pravilu)f, tacno jedan realan brojz,

tada jef realna funkcija dve realne promenljive.

Pisemo

z=f(x, y) ili z =f(M).


52/63

1. Realna funkcija dve realne promenljive 309

Promenljivex i y su nezavisno promenljive ili argumenti, z je zavisno pro-menljiva ili funkcija. SkupD je domen, a skup

V ={zR|z=f(x, y) (x, y)D}

skup vrednosti funkcijef.

Grafikfunkcijez =f(x, y) je geometrijsko mesto tacakaM(x,y,z) u De-kartovom pravouglom koordinatnom sistemuOxyz, takvih da jez =f(x, y),(x, y)D (sl. 2).

sl. 2 sl. 3

Grafik funkcije z = f(x, y) moze predstavljati povrs u koordinatnomsistemu Oxyz. Tada kazemo da je z=f(x, y) jednacina te povrsi.

Primer 1. Funkcijaz=x + 2y definisana je za svako (x, y)R2.Primer 2. Funkcijaz = 4 x

2

y2 definisana je, tj. z je realan broj, ako je

4x2y2 0, tj. x2 +y2 4, pa je domen funkcije skupD ={(x, y)|x2 +y2 4}.Primer 3. Grafik funkcije z =x2 +y2 je, kao sto znamo iz analiticke geome-

trije, kruzni paraboloid (sl. 3).

1.2. Granicna vrednost i neprekidnost funkcije dve promenljive

Neka je funkcijaz =f(x, y) definisana na skupu D i neka je M0(x0, y0)tacka nagomilavanja skupa D.

Definicija 12. Broj c je granicna vrednostfunkcije z =f(x, y) u tackiM0(x0, y0) ako za svaki realan broj >0 postoji broj >0 (koji zavisi od),tako da za svaku tackuM(x, y) za koju vazi 00)( >0)(M)(0< d(M, M0)< f(M) c|< ).

Lako je videti da vazi sledece tvrdenje.

Tvrdenje 1. Potreban i dovoljan uslov da funkcijaz =f(x, y) ima gra-

nicnu vrednost cu tacki M0(x0, y0) je da se ona moze predstaviti u obliku

f(x, y) =c + (x, y),

gde je lim(x,y)(x0,y0)

(x, y) = 0.

Treba razlikovati granicnu vrednost lim(x,y)(x0,y0)

f(x, y) od ponovljenih

(uzastopnih) granicnih vrednosti:

limxx0

( limyy0

f(x, y)) i limyy0

( limxx0

f(x, y)).

Primer 4. Ponovljene granicne vrednosti funkcijef(x, y) = x yx + y

u tacki (0, 0)

su:

limy0

limx0

x yx + y

= lim

y0

yy

=1

i

limx0 limy0

x yx + y = limx0

x

x = 1.

Medutim, granicna vrednost lim(x,y)(0,0)

f(x, y) ne postoji. Zaista, ako tacka (x, y)

tezi tacki (0, 0) preko dva niza: (xn, yn) =

1

n,1

n

i (xn, y

n) =

2

n,1

n

(n+),

odgovarajuci nizovi vrednosti funkcije teze razlicitim granicama: zn=f(xn, yn) =

00, zn =f(xn, yn) = 1

3 1

3 (n+).

Primer 5. Ponovljene granicne vrednosti funkcije f(x, y) = xy

x2 + y2 u tacki

(0, 0) su:

limy0

limx0

xy

x2 + y2

= lim

y0

0

0 + y2 = 0


54/63

1. Realna funkcija dve realne promenljive 311

i

limx0 limy0

xy

x2

+ y2 = limx0

0

x2

+ 0

= 0,

dakle, jednake su.Medutim, lim

(x,y)(0,0)f(x, y) ne postoji. Zaista, ako (x, y) (0, 0) po pravoj

y=kx (kR), tada je

lim(x,y)(0,0)

xy

x2 + y2 = lim

x0

kx2

x2 + k2x2 =

k

1 + k2,

sto za razne vrednostik ima razlicite vrednosti.

Primer 6. Data je funkcija f(x, y) = x sin

1

y . Pokazimo da postoje granicnevrednosti lim

y0(limx0

f(x, y)) i lim(x,y)(0,0)

f(x, y), a da ne postoji granicna vrednost

limx0

(limy0

f(x, y)). Zaista,

limy0

(limx0

f(x, y)) = limy0

limx0

x sin1

y

= lim

y0

0 sin1

y

= 0.

Kako je

0x sin

1

y

|x| 1 =|x|,

sledi da je

limx,y)(0,0)

x sin1

y = 0.

Medutim, granicna vrednost limx0

limy0

x sin1

y

ne postoji, jer ne postoji lim

y0sin

1

y.

Iz datih primera vidi se da iz postojanja granicne vrednosti funkcije udatoj tacki ne sledi postojanje i ponovljenih granicnih vrednosti u toj tacki iobrnuto - iz postojanja ponovljenih granicnih vrednosti funkcije ne sledi po-

stojanje i granicne vrednosti funkcije u odgovarajucoj tacki. Ovo ne znacida se ne moze uspostaviti odredena veza izmedu ove dve vrste granicnihvrednosti funkcije dve promenljive.

Tvrdenje 2. Ako postoji granicna vrednost funkcije z =f(x, y) u tackiM0(x0, y0) i ako postoji >0, takvo da za svako y(y0 , y0+ ), y=y0postoji granicna vrednost

g(y) = limxx0

f(x, y),

tada postoji i ponovljena granicna vrednost limyy0( limxx0 f(x, y)) i pri tome je

limyy0

( limxx0

f(x, y)) = lim(x,y)(x0,y0)

f(x, y).


55/63

X POGLAVLJE

DIFERENCIJALNE JEDNACINE

Kod izucavanja raznih pojava cesto nije moguce ustanoviti zakonitostkoja povezuje (samo) velicine koje karakterisu datu pojavu, dok se relativnolako nalazi zavisnost izmedu tih velicina i njihovih izvoda. Na taj nacin seproucavanje pojava (procesa) opisuje relacijom koja povezuje trazenu funk-ciju i njene izvode ili diferencijale, tj. nekom diferencijalnom jednacinom.

Definicija 1. Diferencijalnom jednacinomnaziva se relacija

F(x,y,y, y, . . . , y(n)) = 0 (1)

koja povezuje nezavisno promenljivux, nepoznatu funkcijuy =y(x) i njeneizvode y, y, . . . , y(n) (ili diferencijale dy, d2y, . . . d(n)y).

Redomdiferencijalne jednacine (1) naziva se red najviseg izvoda (ili di-ferencijala) koji se pojavljuje u datoj jednacini.

Resenjem diferencijalne jednacine (1) naziva se n puta diferencijabilnafunkcija y = y(x) koja identicki zadovoljava datu jednacinu za svako x iz

nekog segmenta [a, b].Postupak nalazenja resenja diferencijalne jednacine naziva se integraci-jom date jednacine (dakle, primenjujemo operaciju inverznu operaciji dife-renciranja), a grafik resenjay=y(x) naziva se integralnom krivomdiferen-cijalne jednacine.

Ovde cemo razmatriti neke diferencijalne jednacine prvog idrugog reda.

1. DIFERENCIJALNE JEDNACINE PRVOG REDA

Definicija 2. Opsti oblik diferencijalne jednacine prvog reda je

F(x,y,y) = 0. (2)

Ako se jednacina (2) moze resiti po y, dobijamo tzv. normalni oblik dife-rencijalne jednacine:

y =f(x, y). (3)

Odgovor na pitanje pod kojim pretpostavkama postoji jedinstveno resenjediferencijalne jednacine (3) daje sledece tvrdenje.

Tvrdenje 1 (Kosijeva teorema). Ako su funkcija f(x, y) i njen par-cijalni izvod fy(x, y) neprekidni u nekoj oblasti D ravni xOy, tada postoji


56/63

1. Diferencijalne jednacine prvog reda 355

interval (x0, x0+),x0D na kojem postoji jedinstveno resenjey =y(x)jednacine (3) koje zadovoljava uslovy(x0) =y0.

Geometrijski, to znaci da kroz svaku unutrasnju tacku (x0, y0) oblastiDprolazi samo jedna integralna kriva jednacine (3).Problem nalazenja resenjay =y(x) jednacine (3), koje zadovoljava uslov

y(x0) =y0, naziva se Kosijevim problemom, a uslov y(x0) = y0 - pocetnimuslovom.

Definicija 3. Opstim resenjem diferencijalne jednacine (3) naziva sefunkcijay=y(x, C), gde je C proizvoljna konstanta ako:

1) ona predstavlja resenje date diferencijalne jednacine za svaku vrednostkonstante C;

2) za bilo koji pocetni uslov y(x0) = y0, (x0, y0) D moze se odreditijedinstvena vrednost konstanteC=C0, tako da je y0=y(x0, C0).

Ako je opste resenje dato u implicitnom obliku

(x,y,C) = 0 (4)

tada se jednacina (4) naziva opstim integralomdiferencijalne jednacine (3).Geometrijski, opste resenje y = y(x, C) predstavlja familiju integralnih

krivih koje zavise od jednog parametra C i imaju osobinu da kroz jednu

tacku ravni xOy prolazi samo jedna kriva toga skupa.

Definicija 4. Partikularnim resenjem diferencijalne jednacine (3) na-zivamo resenje y =y(x, C0) koje se dobija iz opsteg resenja y = y(x, C) zakonkretnu vrednost konstante C=C0. Ako u relaciji (4) stavimo C=C0,dobijamopartikularni integraldiferencijalne jednacine.

Primer 1. Pokazati da je funkcija y=y(x) definisana jednacinomx2 + 4xy y2 = 1 integral diferencijalne jednacine (x+ 2y)dx + (2x y)dy= 0.

Resenje. Diferenciranjem leve i desne strane jednacinex2 + 4xy

y2 = 1 po

promenljivoj xdobijamo 2x+4y+4xy2yy = 0, odnosnoy(4x2y)+2x+4y= 0.Deobom sa 2 i mnozenjem sa dx dobijene jednacine (imajuci u vidu da je y =

dy

dx)

dobijamo (x + 2y)dx + (2x y)dy= 0.

1.1. Diferencijalna jednacina sa razdvojenim promenljivim

U specijalnom slucaju, kada je u diferencijalnoj jednacini

y =f(x, y)

funkcijaf(x, y) =f1(x)f2(y), imamo

y = dy

dx=f1(x)f2(y),


57/63

356 Diferencijalne jednacine

a odavde, deobom sa f2(y), uz uslov f2(y)= 0, dobijamo

dy

f2(y) =f1(x)dx. (5)

Jednacina (5) se naziva diferencijalnom jednacinom sa razdvojenim pro-menljivim. Opsti oblik jednacine ovog tipa dacemo u sledecoj definiciji.

Definicija 5. Diferencijalna jednacina oblika

A1(x)B1(y)dx+ A2(x)B2(y)dy= 0, (6)

gde suA1(x),A2(x),B1(y),B2(y) date funkcije, naziva sediferencijalnomjednacinom sa razdvojenim promenljivim.

Ako su B1(y)= 0 iA2(x)= 0, tada, deobom jednacine (6) sa A2(x)B1(y)dobijamo jednacinu:

A1(x)

A2(x)dx=B2(y)

B1(y)dy,

oblika (5) u kojoj su promenljive razdvojene. Integracijom leve i desne straneove jednacine dobijamo

A1(x)

A2(x)dx=

B2(y)

B1(y)dy+ C. (7)

Ako relacija (7) sadrzi sva resenje diferencijalne jednacine (6), tada (7)predstavlja opsti integral diferencijalne jednacine (6).

Kod razdvajanja promenljivih mogu se izgubiti neka resenja jednacine(6): to su resenja jednacina A2(x) = 0 i B1(y) = 0. Ako je y = y0 korenjednacine B1(y) = 0, tada, posto je dy0 = 0 i B1(y0) = 0, zamenom y =y0u jednacini (6) dobijamo identitet. Dakle, y = y0 je za svako x resenje di-ferencijalne jednacine (6). Ako se to resenje ne moze dobiti iz relacije (7)za neku vrednost C, onda se ono mora razmatrati odvojeno od resenja (7).Analogno zakljucujemo, ako jex = x0koren jednacine A2(x) = 0, da je tadax= x0 za svako y resenje diferencijalne jednacine (6).

Ako se integrali iz relacije (7) ne mogu izraziti pomocu elementarnihfunkcija, tada kazemo da je resenje diferencijalne jednacine izrazeno ukva-draturama (i u tom slucaju, takode, smatramo da je problem integracije

diferencijalne jednacine resen).Primer 2. Naci jednacinu familije krivih znajuci da je tangens ugla tangente

u svakoj tacki bilo koje krive iz familije krivih jednak kolicniku ordinate i apscisete tacke uzetom sa negativnim znakom.


58/63


Resenje. Neka je jednacina krive trazene familije krivih y = y(x). Tangensugla tangente te krive je u svakoj njenoj tacki jednaky(x). Prema uslovima zadat-

ka, tangens je jednak

y

x. Odavde sledi diferencijalna jednacina trazene familije:

y = yx

, odnosno, dy

dx = y

x. Mnozenjem leve i desne strane sa

dx

y , y= 0

dobijamo jednacinu sa razdvojenim promenljivim

dx

x =dy

y .

Integracijom dobijamo ln |x| + ln |y|= ln |C|ili xy =C. Prema tome, datu osobinuima familija hiperbola cije su asimptote koordinatne ose.

Primer 3. Naci ono partikularno resenje jednacine

3x 3

ydx + (1 x2)dy= 0

koje zadovoljava pocetni uslov y(0) = 0.

Resenje. Mnozenjem leve i desne strane jednacine sa 1

3

y(1 x2) , y= 0,x=1, dobijamo jednacinu sa razvijenim promenljivim:

3x

1 x2 dx + dy

3y = 0.

Integracijom dobijamo32

ln |1 x2| +32

y2/3 = 3

2ln C, C >0, odakle mnozenjem

sa 2

3 i sredivanjem dobijamo opsti integral jednaciney2/3 = ln C|1 x2|. Zamenom

pocetnog uslova x = 0, y = 0 u opstem integralu, dobijamo 0 = ln C, odakle jeC = 1. Prema tome, partikularni integral dobijamo uvrstavanjem ove vrednostikonstanteCu opstem integralu: y2/3 = ln |1 x2|. Resavanjem ove jednacine po

y, dobijamo trazeno partikularno resenje: y= ln3

|1 x2

|.

1.2. Homogena diferencijalna jednacina prvog reda

Ovde cemo razmotriti diferencijalne jednacine koje se odredenom sme-nom svode na diferencijalne jednacine sa razdvojenim promenljivim.

Definicija 6. Funkcija f(x, y) se naziva homogenom funkcijom reda ku odnosu na promenljive x i y ako vazi identitet:

f(tx,ty) =tkf(x, y)

za svako tR.


59/63


Primer 4.Funkcija f(x, y) =

x(x2 + y2)

y3je homogena funkcija nultog reda

jer je

f(tx, ty) =tx(t2x2 + t2y2)

t3y3=t0f(x, y).

Definicija 7. Diferencijalna jednacina prvog reda

y =f(x, y) (8)

naziva se homogenom (po x i y) ako je f(x, y) homogena funkcija nultogreda.

Dakle, ako je jednacina (8) homogena, tada je

f(tx,ty) =f(x, y).

Ako uzmemo t = 1

x, dobijamo f(x, y) = f

1,

y

x

=

yx

, tj. homogena

funkcija nultog reda se moze predstaviti u obliku funkcije jednog argumentay

x. Ako uvedemo novu funkciju u = u(x) umesto funkcijey =y(x) smenom

u= yx , y=ux, y =ux + u

i zamenimo dobijene izraze za y i y u jednacini (8) dobijamo jednacinu

ux + u= (u),

tj.du

dx x= (u) u.

Odavde, mnozenjem sa dx

x

1

(u) u , gde je x= 0, (u)= u, dobijamojednacinu sa razdvojenim promenljivim

du

(u) u =dx

x,

a odatle integracijom,

du

(u) u=

dx

x

i zamenomusa y

x posle integracije, dobijamo opste resenje ili opsti integral

homogene jednacine (8).


60/63


Primer 5. Naci opste resenje diferencijalne jednacine

x2yex/y =xyex/y + y2.

Resenje. Zamenom yx = 1

xy, pri cemu je x= x(y) nepoznata funkcija, dobi-

jamo

x21

xexy =xye

xy + y2.

Odavde, mnozenjem jednacine sa x

y2, y= 0, sledi:

x2

y2exy =

x

yexy

x + x.

Posto je jednacina homogena, uvodimo smenu u= x

y, u= u(y). Odavde dobi-

jemo x = u y, x(y) = u+uy. Zamenom dobijenih izraza zax i x u jednacinidobijamo:

u2eu =u eu(u + uy) + u + uy.Odavde sledi

u(u yeu + y) =u,

odnosno du

dy y(ueu + 1) =u.

Odavde, mnozenjem jednacine sa dy

y u , uz uslov y= 0, u= 0, dobijamo jednacinusa razdvojenim promenljivim:

eu +1

u

du=dy

y .

Integracijom dobijamo opste resenje: e

u

+ ln |u|= ln |y|+ ln |C|, odakle zamenomu=

x

y sledi e

xy = ln

xy ln |y| + ln |C|, exy = ln

yx1

y C

, exy = lnCx

.

1.3. Linearna diferencijalna jednacina prvog reda

Definicija 8. Linearnom diferencijalnom jednacinom prvog redanazivase jednacina

y + P(x)y=Q(x) (9)

linearna po nepoznatoj funkciji y i njenom izvodu y, gde su P(x) i Q(x) funkcije argumentax.


61/63


62/63


Uzmimo za funkcijuv(x) bilo koje partikularno resenje razlicito od nule,na primer:

v =eP dx. (15)

Zamenomv iz (15) u jednacini (14), dobijamo jednacinu sa razdvojenimpromenljivim:

u eP dx =Q,

odakle sledi

u =du

dx=Qe

Pdx,

odnosno,du= Qe

P dxdx.

Integracijom dobijamo

u= C+

Qe

P dxdx. (16)

Zamenom dobijenih resenjau i v iz (15) i (16) u relaciji (10) dobijamo opsteresenje diferencijalne jednacine (9):

y=eP dx

C+

Qe

P dxdx

. (17)

Druga metoda za resavanje jednacine (9) je tzv. Lagranzova metodavarijacije konstanata. Postupamo na sledeci nacin. Prvo nalazimo opsteresenje odgovarajuce homogene jednacine

y + P y= 0 (18)

u kojoj se promenljive mogu razdvojiti:

dy

y =Pdx.

Odavde, posle integracije, dobijamo

ln |y|= ln C1

P dx, C 1>0

pa je

|y|= C1ePdx (19)


63/63


opste resenje linearne homogene jednacine (18).Lagranzova metoda se sastoji u tome da opste resenje nehomogene jed-

nacine (9) trazimo u obliku opsteg resenja homogene jednacine, ali smatra-juci C1 ne konstantom, vec funkcijom argumenta x, dakle, u obliku

y=C1(x)e

P(x)dx, (20)

Funkciju C1 = C1(x) odredicemo tako da funkcija (20) bude opsteresenje jednacine (9). Zato nadimo

y =C1e

P dx C1 P e

Pdx

i zamenimo y i y iz (20) u jednacini (9):

C1e

P dx C1P e

P dx + C1P

P dx =Q.

Dobili smo jednacinu sa razdvojenim promenljivim

dC1dx

=QeP dx, odnosno dC1=Qe

P dxdx.

Integracijom dobijamo

C1(x) =C+ QePdx

dx

i zatim, zamenom C1(x) u relaciji (20), dobijamo opste resenje linearne di-ferencijalne jednacine (9).

Primer 6. Naci ono partikularno resenje jednacine

xy ln x= y + ln x

koje zadovoljava pocetni uslov y(e2) = 2ln 2.

Resenje. Deobom leve i desne strane jednacine sa x ln x, gde je x ln x= 0

dobijamo jednacinu

y 1x ln x

y= 1

x,

cije opste resenje, posto je jednacina linearna, nalazimo po formuli (17):

y=eP(x)dx

C+

Q(x)e

P(x)dxdx

=e

dxxlnx

C+

1

xe

dxxlnx dx

=

Miličić Matematika 2 Delimično. Teorija

Documents

Transcript of Miličić Matematika 2 Delimično. Teorija